Đề tài Bài toán truyền nhiệt và lời giải trong phần mềm Mathematica đã hệ thống lại các kiến thức liên quan đến bài toán truyền nhiệt; chứng minh lại một cách chi tiết các định lý liên quan đến bài toán truyền nhiệt; nghiên cứu và giải quyết bài toán truyền nhiệt trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng; ứng dụng phần mềm Mathematica để giải quyết bài toán truyền nhiệt trong R4 và R5.
Trang 1
DAI HOC DA NANG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM ĐỖ THỊ TÂM
BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT VÀ LỜI
GIAI TRONG PHAN MEM MATHEMATICA
LUAN VAN THAC SI KHOA HOC
DA NANG-NAM 2017
Trang 2
DAI HOC DA NANG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM ĐỖ THỊ TÂM
BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT VÀ LỜI
GIAI TRONG PHAN MEM MATHEMATICA
Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG
ĐÀ NẴNG-NĂM 2017
Trang 3LOI CAM DOAN
Toi xin cam đoan đây là công trình nghiện cứu của riêng tôi
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kj
công trình nào khác
Tác giả luận văn
Trang 4LOI CAM ON
Luận văn thạc ï chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “ Bài toán truyền
nhiệt và lời giải trong phần mềm Mathematica” là kết quả của quá
trình cố gắng không ngừng của bản thân và đưo giúp đỡ, động viên
khích lệ của các th
này tác giả xin gửi lời cảm ơn tới những người đã giúp đỡ tôi trong thời bạn bè đồng nghiệp và người thân Qua trang viết
gian học tập - nghiên cứu khoa học vừa qua
Tôi xin tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo TS, Lê
Hải Trung đã trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như cung cấp tài liệu thông tin khoa học cần thiết cho luận văn này
Xin chân thành cẩm ơn Lãnh đạo, tất cả thầy cơ khoa Tốn của trường Đại học Đà Nẵng đã tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt công việc nghiên
cứu khoa học của mình
Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp, Ban giám hiệu Trường THPT Pleiku, Lớp toán K31 và gia đình đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện Luận văn
Tác giả luận văn
Trang 5Muc luc
MỞ ĐẦU 1
Dẫn nhập Mathematica 3
1 Dẫn nhập Mathematica 4
1.1 Một số ki hiéu trong Mathematica 4
1.2 Cách khai báo các hàm số mới " 7
1.2.1 Khai am giá trị thực, biến thực 7
1.2.2 Khai báo hàm thực biến vếc-tơ § 1.2.3 Khai báo hàm giá trị véc-tơ 143 Vẽ đồ thị 1.3.1 Vẽ đồ thị trong mặt phẳng và không gian ba chiều 10 132 Lệnh ListPlot 11 14 Các giới hạn eee 12 1.5 Dao hàm, vi phân, nguyên 12 15.1 Tính đạo hàm eấpn .- 12 1.5.2 Tính đạo hàm của hàm véctd 13 15.3 Tính nguyên hàm của hàm,tích phân 14
1/6 Giải phương trình và hệ phương trình lỗ
16.1 Giải phương trình vi phân 17 1.7 Lam việc với ma trận c2 2c 17
1.7.1 Cách cho một ma trận cà IT
Trang 617.5 Phương trình matrận 19 1746 Các hàm với ma trận - 19 1/77 Tạo một ma trận với tính chất cho trước 20 1.8 Các vòng lặp 20 18.1 VonglapDo 22.2.0 00000020002 20 1.8.2 Vong lap dang For,Vong lap While, Lénh If 21
2 Bai toan truyền nhiệt 22
2.1 Xây dựng bài toán truyền nhiệt 2
2.2 Nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt
2.3 Bài toán Cauchy ee 2.4 Nghiệm của bài toán Cauuchy
2.5 Bài tốn khơng thuần nhất
2.6 Nghiệm của bài tốn khơng thuần nhất
2.7 Nguyên lý cực đại mạnh của phương trình truyền nhiệt 31
2.8 Nguyên lý cực tiểu mạnh của phương trình truyền nhiệt 33
2.9 Dịnh lý duy nhất nghiệm của bài toán đầu 34
2.10 Nghiệm tổng quát của bài toán truyền nhiệt thuần nhất với
ĐT eee ee 36
2.11 Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu với =1_ 37
2.12 Cong thite Poisson 43
3 Lời giải của bài toán truyền nhiệt trong Mathematica 49
3.1 Lời giải của bài toán truyền nhiệt trong 40 3.2 Lời giải của bài toán truyền nhiệt trong R2 53
3.3 Lời giải của bài toán truyền nhiét trong R® 58
3.4 Lời giải của bài toán truyền nhiét trong RA 65
3.5 Lời giải của bài toán truyền nhiệt trong RP 74
Trang 7MO DAU
1 Ly do chon dé tai
Bài toán truyền nhiệt là một trong những vấn đề căn bản và tiêu biểu nhất trong " Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng " Ý nghĩa của
bài toán truyền nhiệt được thể hiện ở việc miêu tả sự tiêu tán nhiệt,
cũng như nhiều quá trình tiêu tán khác, như tiêu tán hạt hoặc là sự
lan truyền của thế năng phản ứng trong tế bào thần kinh Với tính chất quan trọng như trên, bài toán trên đã thu hút được sự quan tâm đặc biệt
của các nhà Toán học và khoa học trên thế giới như Kevorki: (2000)
Lawrence C., Svesnhikop A.G., Bolgoliubov A.N., Krapxop V.V(2004 ), Tikhonop A.N Samarxki A.A, Titchmars E.(2000), Glusko V.P(2002), Di-
akonop V(2001), Một điều đễ nhận thấy trong các công trình của các tác giả nêu trên đều thiếu vắng sợi dây liên hệ giữa các phần mềm toán học (Mathematica, Matlap, Maple, Matcad )trong việc mô tả dáng điệu
nghiệm của bài toán truyền nhiệt cũng như việc sử dụng các phần mềm
trên để đưa ra lời giải cho bài toán này một cách nhanh chóng và chính xác Phần mềm Mathematica được Stephen Wolfram, nhà vị học người
Anh viết vào năm 1988, là một hệ thống nhằm thực hiện các tính toán
toán học trên máy tính điện tử và không ngừng được nâng cấp và phát
triển bởi công ty Wolram Research Việc đưa phần mém Mathematica
Trang 8khoa học nói chung Không chỉ lý thuyết đối với phương trình đạo hàm
riêng còn được coi là phần mềm hàng đầu cho các môn như:
suất thống kê, Đại số tuyến tính Trong [4] bai toán truyềi
được giải quyết trong IR,R? và I3 Tuy nhiên thực tế cho thấy có nhiều bài toán đặt ra yêu cầu phải giải quyết trong IRf và R Nhằm mục tiêu tìm hiểu và giải quyết bài toán truyền nhiệt trong RR† và IRỖ cùng với sự gợi §
tốn truyền nhiệt và lời giải trong phần mềm Mathematica " cho của giáo viên hướng dẫn TS Lê Hải Trung, tôi lựa chọn đề tài " Bài
luận văn thạc sĩ của mình 2 Mục tiêu
Hệ thống lại các kiến thức liên quan đến bài toán Truyền nhiệt
Chứng mình lại một cách chỉ tiết các định lý liên quan đến bài toán
quyết bài toán truyền nhiệt trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng
truyền nhiệt Nghiên cứu và gi:
Ứng dụng phần mềm Mathematica để giải quyết bài toán truyền nhiệt
trong IR† và Rỗ,
3 Phương pháp tiếp cận
Nghiên cứu cách giải quyết bài toán truyền nhiệt trên phương diện lý thuyết
'Tổng hợp kết quả của bài toán truyền nhiệt với việ
bài toán trong R, R? và R3
Xây dựng hướng giải quyết trong R, R2, R3, R† và R5
Trang 9Trong cấu trúc của luận văn các kiến thức được khai thác thuộc các
lĩnh vực Giải tích, Phương trình vi phân, Phương trình đạo hàm riêng, Phần mềm Mathematica
5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5.1 Đối tượng nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán truyền nhiệt
5.2 Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu bài toán truyền nhiệt trong R‘ va R°
6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài
Đề tài có giá trị về mặt lý thu ử dụng luận văn như một
i li
tâm đến bài toán tìm nghiệm của phương trình truyền nhỉ:
tham khảo dành cho sinh viên nghành toán và các đối tượng quan và ứng dụng
Trang 10Dẫn nhập Mathematica
Nội dung của chương có tham khảo tài liệu tương ứng với danh mục [1],
5]: (6), (7), ͧÌ-
1.1 Một số kí hiệu trong Mathematica
-Option bạn đọc có thể tham khảo trong thẻ Help
~ Mathematica phân biệt chữ hoa, chữ thường, các hàm của nó đều bắt
đầu bằng chữ hoa
- Các biến đi theo hàm đều được đặt trong ngoặc vuông, cú pháp hình
ví dụ như Cos[z], Sin|z]
- Để thực hiện một câu lệnh cho kết quả ta dùng tổ hợp phim "Shift
+ Enter"
- Để kết thúc một câu lệnh ta đặt dấu chấm phẩy (;), nếu không có
thức như sau Hàm [ezpr] Có thể
dấu (;) thì kết quả sẽ được hiển thị bên dướ
- Lệnh [ezpr] dùng để hiển thị kết quả thành số thập phân
Ví dụ 1.1 Nếu bạn gõ Cos(1] thì kết quả hiển thị chỉ là Cos[1], nếu bạn gõ A[Ơos[1],6] thì kết quả sẽ là 0.540302
Trang 11- Cách đặt biến bình thường như a,b,ec,#,y.z , không được đặt
XY- a không được dùng các chữ số để đặt tên biến 1, E, Œ
- Tổ hợp Ctrl + K dé tim các hàm có tên giống nhau ở phần đầu - Lệnh ?Inf+ để tìm tat cd cdc hàm bắt đầu bằng ”Inf”, tương tự với
2 * Qhay ? « Ints
- Cin phan biét List va Matrix trong Mathematica Néu viét {1,2,3,4} thi đây là một List gồm 4 phần tử, còn nếu viết {1},{2},{3}.{4} thì đây là một matrix 4 dòng 1 cột, đối với 1 List thì không thể dùng hàm chuyển vị Transpose được, tuy nhiên bạn có thể sử dụng các phép toán ma trận
giữa Matriz và List, kết quả vẫn đúng như khi tính toán giữa các ma
trận
- Lay thanh cơng cụ tốn học bằng lệnh File/paletes/al
- Dầu móc vuông đơn { ] bắt buộc phải dùng khi gọi một hàm có sẵn
hoặc khai báo một hàm số mới như trong các thí dụ trên
- Dấu móc vuông kép [[ ]] bắt buộc được sử dụng khi gọi đến một phần tử của một ma trận
- Dau móc nhọn {} được sử dụng theo đúng mẫu lệnh của phần mềm -Simpli fy la phân tích thành nhân tử với các cơ số nguyên tố cùng, nhau
~Faetor là phân tích đa thức thành nhân tử
-Replaceall (/.) la giới hạn khi
~Fullsimpli fy là rút gọn rồi phân tích
-Refine la rat gon bang định nghĩa thỏa mãn điều kiện ~PouerExpand là biến đổi công thức và rút gọn
-ComplerEzpand là tìm căn bậc hai của số phức -1
-FunctionExpand la tìm nghiệm của biểu thức
-Prime là Số nguyên tố
Trang 12-Ezpand là khai triển phân thức về tổng các phân thức ~FaetorTerms là quy đồng và đưa về tích
-Coef ficient la hé s6 cha da thite
-Eaponent[a, b là Số mũ cao nhất của khai trién a theo b
-Numerator là tỉ số của phân số
-Denominator là mẫu số của phân số
Trang 131.2 Cách khai báo các hàm số mới Hàm số cơ bản Được khai báo bằng lệnh f(x)=f (x) = |e] f(x] = Abs [x] Fe] = Sart fo f E] " ƒ[z_]:= AreSin [x] f (2) = arceosx f [z_]:= ArcCos [2] f (x) = arctanx f [v_] := ArcTan [2] f (x) = arecotx = ArcCot [a] 7Œ) =logz Fe] = Log [aa] ƒŒ) = logz ƒ[z_]:= Eog[10,z] f (x Log {E, x) Exp [2] =a | TÍz_]:= Cosh [>] ƒ(#) = chí) Ƒ[e_] := Cosh [z] f (x) = sh(x) f [e_| = Sinh [2] f(z) =thœ) T[z_]:= Tanh [] 7) = ah) = =2 ƒ[z_] := Coth lz]
1.2.1 Khai báo hàm giá trị thực, biến thực
Trang 14Vi du 1.2 Hàm một biến được khai báo bằng lệnh
/fz-] + Sin{x] + (Log{x})* * (Exp "!) * Cos
Ví dụ 1.3 Hàm nhiều biến được khai báo như sau
/Ir-.w-]:= Is]* lu}? + [y]+ (Sinlz)}2
* Cot[y] + [y] * Cot[z] + z * Exp"),
glx—.y-,2-]
C&ch 2 Function{x, body] 1 khai báo hàm một biến Function{21, x2, ., body) la khai bao ham nhiều biến Lấy ví dụ ở trên, ta có thể khai báo như sau Function{x, 2? + 3x + 1] Function|x, y, x? + y° Cách 3 Dùng dấu # & Lấy ví dụ ở trên, ta có thể khai báo như sau (#1? + 3#1 + 1) (#12+ #2) Tính giá trị hàm số có nhiều cách, điều đó được thể hiện qua các ví dụ sau đây,
1.2.2 Khai báo hàm thực biến véc-tơ
Ví dụ 1.4 Khai báo hàm chuẩn một biến véc-tơ
S (x) = lel) oe = (#i,#a, #u)” € R") như sau " giải thiết đã nhập ø¡
trước đó" (theo lý thuyết = Max _|s;\):
% ¡e[l m}
Trang 15cách giữa hai điểm z và ự trong không gian định chuẩn #")
ƒ(Œ.9) = llữ ~ 9| :
B= (04,02, 002m)" € Ry = (Yrs Yor Yn)” € RY, "gid thiét di nhap
n trước đó" (theo lý thuyết le yl = Mar |x: — ul) ;e[1,.on J [x,y] := Maz [Table{ Abs[ z[[i]]—w(li] ] {¿,1.n}] ] textbfChú ý Giá trị của œ có thể lấy bằng lệnh tính số phần tử của ma trận cột # là Length[z] Ví dụ 1.6 Cho ma tran A = (4¡;)„„„„ theo lý thuyết |All, = Max Jœ„| | -
I4I tes, (Er)
Trang 161.3 Vẽ đồ thị 1.3.1 Vé dé thi trong mat phẳng và không gian ba chiều Vẽ đồ thị hàm một biến y = ƒ (+) ,# € Ía, b Pløt|f[z].z.a.| Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của hai hàm số x € [a,b]: =ƒ(z).u= 0) Plot(ƒ[x] glz] +, a,b]
Vẽ đồ thị của hàm cho bởi phương trình tham số (hoành độ và tung độ là ham bién t € [a,6]):
=z(,
y=y(t)
ParametricPlot(r(t), y{t),t, a, 0)
Vẽ đồ thị của hàm hai biến (đồ thị là một mặt trong không gian ba chiều): Plot3D[f[e, yÌ +.a, b, ,e
Vẽ đồ thị của một mặt cho bởi phương trình tham số (cả ba tọa độ của điểm thuộc mặt đó đều là hàm của hai biến #, s (£ và s là hai tham số):
~=z(ts)
y=uw(t,s)_ „t€ [a.b],s € [c,d] z=2(t,s)
ParametricPlot3D(z{t, 5], ylt, 5], 2[t, 5],t,a,b, 8, , đ]
Lệnh vẽ đồ thị của mot ham sé la Plot|] Cú pháp hình thức có thể viết
như sau Plof[ƒ, +, min, zmaz] là vẽ đồ thị hàm ƒ trên đoạn|#min, zmaz]
PHot|ƒ1, ƒ2, , +, zmán, zmaz] là vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các
Trang 17Ví dụ 1⁄8 Plot(Sin|z]/+, z, 0,20) Để biết được danh sách các tham số được dùng kèm với hàm Plot, ta gõ câu lệnh Option [Plot] Các tham số này được khai báo ở dạng name — value
Các giá trị hay dùng nhất của tham số là:
Automatic là sự chọn lựa sẽ được tự động
None là tham số không được sử dụng
AlHlà được sử dụng trong trường hợp bất kì True là được sử dụng False la khong dude sit dung Ví dụ 1.9 Plot[Sin|x)/x, {x,0, 20}, PlotRange?\ {-0.25, 1.2}] Giải thích Tham số PlotRange?\ {-0.25, 1.2} được dùng để giới han đồ thị hàm số theo trục đọc từ -0.25 đến 1.2 1.3.2 Lệnh ListPlot ListPlot[{yl,y2}] hiển thị các giá trị y1, 2, lên hệ trục tọa độ, giá trị của z tương ứng là 1, 2,
ListPlot [{{x1, y1}, {x2, y2}}] hién thi cdc diém có tọa độ wi, yi len he
Trang 18~ Muốn hiển thị nhiều đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ ta dùng lệnh
Show]
-Tham số PlotRange —> {—0.25,1.2} được dùng để giới hạn đồ thị hàm số theo trục đọc từ -0.25 đến 1.2 Một số tham số khac hay dùng là
-Ares —+ None la khong hién thị hệ trục tọa độ
~ AzesLabel là ghi chú tên của trục tọa độ
- PlotStule là chỉnh các thông số về màu sắc, cách hiển thị đậm nhạt
- Lệnh I¿stPlot có cú pháp hình thức
1.4 Các giới hạn
- Lệnh Limit [f (x), « —> a] sẽ tìm giới hạn của hàm ƒ(z) khi z tiến
tới a
-Limifƒ[z],+ —> a, Direetion —> —1] là z dần về bên trái s6 a -Limif(ƒ[z],# —> a, Direetion —y 1] là z dần về bên phải số a
-Limit(f(x],2 + Infinity] la x dần về dương vô cực
-Limit(f(2],2 + —Infinity] la x dan vé am vô cực
1.5 Đạo hàm, vi phân, nguyên hàm, tích
phân
1.5.1 Tính đạo hàm cấp n
~D[ƒ[z], z] là tìm đạo hàm cấp 1 của hàm ƒ(z) theo biến z - D[ƒ[r], z,n] là đạo hàm cấp n cita ham f(x) theo bién x,
E theo biến z ~D[F|z,, z],zÌ là đạo hàm của hàm s
~D[F|z,, z] ] là đạo hàm của hàm số F theo biến ~D[F|z
~D[ƒ[z, y].+, ] là đạo hàm theo cả biến x vay 2] la đạo hàm của hàm số F theo biến z
Trang 19-D[ƒ,z1,z9, ] là tìm đạo hàm riêng -Từ đó muốn tính ma trận đạo hàm 90 96 00 Or ủy dz F'(x,y,2)= | % 22 0b Oz DI dc thì dùng lệnh
Transpose|D|F[z,,z],z, ĐỊF†z,w, 2].y] DỊF[e, z),]):
Trang 201.5.3 Tinh nguyén ham cia ham,tich phan
Trang 21In{7] := Series [Exp [x] Sin 2x] , {,0,6} ] wg 192? 1a = —9,?_— — — 7 Out[7] = 2z — 2z zt? 60 — 180 + Of Inf8] := Limit [(Sin [x] — Tan [r]) /x*.x > 0] Ouf[S] = ~§
-Integrate|ƒ[z, y], z, a, b, y, ¢,d] la tính tích phân theo cả hai biền ø và
1.6 Giải phương trình và hệ phương trình
Trang 22Cú pháp tổng quát đối với các đối số của lệnh Solve bao gồm một list
các phương trình phụ thuộc vào một list các biến Có nghĩa là
Solve [{equation_list} , {variable_list}]
Trang 231.6.1 Giải phương trình vi phân DSolve va NDSolve
-DSolvelequation, y, «] là giải phương trình vi phân với biến độc lập # ~DSolue|equationlist, list, z] là giải một list các phương trình vi phân -DSolvelequation, y, z1, z9, .] là giải phương trình đạo hàm riêng Vi du 1.12 Giải phương trình ÿ“ = 4ự + y với y (0) = 1, (0) = 0 bằng lệnh Dsotve {{y" 2] = = 4W lz]+ v|e].v|0]= = Ly] = = 0} ya Kết quả là { — Punetion [te a (s9: +?vBeŒ-v9* + se+⁄8)* ~ s/§} c(+8)]\ , Ví dụ 1.13 Giải phương trình " = ay/ + y véi y (0) = 1,y/ (0) = 0 bằng lệnh Dsolve [{y" = ay [x] + y [x] ,y [0] = = 1, y [0] = = 0}, y,2] Két qua la (acd)
{{u + Function [ta : ra
VET aH VAR _ gclloVFR) 4 Tp atl FRI],
Trang 24Ví dụ: 1.14 {{1,3,3}, {a,b,e}, {x,y,2}} sẽ cho một ma trận có 3 dòng 3 cột Cách 3: Dùng hàm Table[J Vi du 1.15 Tablelij, {¡, 1, 10}, {j, 1, 10}] sé cho mot ma tran 10 dong 10 cột 1.7.2 Khai báo các ma trận biết trước các phần tử 3 4 Vi dy 1.16 các mà trận X = [ 12 5Ì, 10 | 21 124 A= |5 3 4 | được khai báo lần lượt bằng lệnh 2 X = {2,1,4,3}, Y = {{3}, {4}, {5}, {12}, {10}, {21}}, A = {{1,2,4}, {5, 2,4}, (2,1, 7}}-
- Muốn lấy phần tử thứ của X ta dùng lệnh X([R]]
-Muốn lấy phần tử thứ & của Y ta dùng lệnh Y{{k, 1])
“Muốn lấy phần tử hàng ¿ cột j của ma trận A ta ding lệnh A[[¿, 7]]
Trang 251.7.3 Khai báo ma trận chỉ biết trước cỡ của ma
trận
Khai báo ma trận chỉ biết trước cỡ của ma trận, còn giá trị của phần
tử trên mỗi hàng, mỗi cột chưa biết Sau khi khai báo gid tri cla m van
thì khai báo ma trận 4 có zn hàng ø cột bằng lệnh
A = Table|a[fi,j]|, {i, 1, m}, {j, 1,n)] 1.7.4 Khai báo ma trận đặc biệt
Ma tran don vị cắp n như sau
1dentityMatriz
Ma trận vuông cấp 5 mà các phần tử nằm trên đường chéo lần lượt là a,b,e,d,e Các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng không DiagonalMatrix{a, b,c, d, 1.7.5 Phương trình ma trận Lệnh giải hệ phương trình 4 X = Z sau khi đã nhập hai ma trận A và B LinearSolve|A, B]
1.7.6 Cac ham với ma trận
Trang 26Eigenvalues[A] la gié tri rieng cita ma tran A
Eigenuectors[A| là vec tơ riêng của ma trận A
AMatrizPouer|A,n] là lãy thừa cấp n của ma trận A
AatrizEzp|[A] là ma trận mũ của ma tran A
Drop[A,¡,] là xóa dòng thứ ¡ từ ma trận A
Drop[A,, 7] là xóa cột thứ j từ ma trận A
Union[A, BỊ là hợp 2 ma trận A và B
1.7.7 Tạo một ma trận với tính chất cho trước
Tạo ma trận đơn vị cấp n ta dùng lệnh /dentityMatriz|
Tao ma tran đường chéo DiagonaLAatriz|u] , ø là vec-tơ đường chéo có dạng ø = {a,b,e,d, } 1.8 Các vòng lặp 1.8.1 Vòng lặp Do Thực hiện "việc 1, việc 2, , việc k" n lần ta dùng lệnh Do như sau 1; Do[việc 1;việc 2 ; lệc k, n] Dojviệc Chú ý Các công việc cách nhau bởi dầu chấm phẩy lệc 2 .: việc k, n]
Công việc cuối cùng được kết thúc bởi dấu phẩy
Do[erpr, imaz] là thực hiện expr imax lần
Dofexpr,i,imaz] 1a tinh expr với biến ¿ nhận giá trị lần lượt từ 1 đến
imax (bước nhảy bằng 1)
Dolexpr, i, imin, imaz] la tính expr với biến ¿ nhận giá trị lần lượt từ imin
đến imaz (bước nhảy bằng 1)
Trang 27imin đến imaz(bước nhảy bằng đì)
Do|ezpr, i, imin, imaz, j, jmin, jmaz, ] là tính expr với các vòng lặp lồng nhau theo các biến j,i,
Do[Print|hello]),3]
1.8.2 Vòng lặp dạng For,Vòng lặp While, Lệnh Tf
-For|start, test, incr, body) la bat đầu với gid tri start, sau đó thực hiện
lần lượt iner và body cho đến khi fesf nhận giá trị logicFalse For{i = 0,i < 4,i++, Print{i)} -Thực h While dé lap trình như sau n lặp lại các công việc "việc 1, việc 2, , việc k" ta dùng lệnh While[biéu thite logic ,viée 1 ;viée 2 ; ; viee k] Chú ú
Sau biểu thức là dấu phẩy
Giữa hai việc cách nhau bởi dấu chấm phẩy
While|test, expr] la thuc hién expr cho dén khi nao test nhan gid tri logic
False
n= 1;While[n < 4, Primtn];n + +]
-LƑ[condiHon,t, f] là † sẽ được thực hiện nếu cơndition có giá trị True,
ngược lại, ƒ sẽ được thực hiện
~1ƒ(condition, t, ƒ, u] là tương tự như trên, nhưng nếu giá trị của condition
Trang 28Chương 2
Bài toán truyền nhiệt
Chương này có sử dụng tài liệu tham khảo tương ứng với danh mục [1], (2), | l5] [6] [7], (8)
Quy ước
Ham f € C?(R" x [0,00)) va f c6 gid Compact; g = u (%,0) = uạ (+) là
hàm liên tục trên R"; Ur C (R" x [0,00)); Dp la bien ctia Ur
2.1 Xây dựng bài toán truyền nhiệt
Ta sẽ nghiên cứu phương trình truyền nhiệt thuần nhất u— Âu =0 (2.1) và phương trình truyền nhiệt không thuần nhất uy — Âu = ƒ, (2.2) với các điều kiện ban đầu và điều kiện phù hợp Ở đây # € U,U CTR" là )›
còn (2.1) toán tử Laplace theo các biến không gian Aư = A„ư = Š) „„, a Trong hàm vé phai f : U x (0,00) + R da cho, Ta sé thay, nhiéu tinh chat một tap mé va t > 0, ham cin tim la uw: U x (0,00) 9 R, w= u(
Trang 29Ý nghĩa Vật lý Phương trình truyền nhiệt là một phương trình khuếch tán mô tả mật độ của các đại lượng vật lý như nhiệt, nồng độ hóa chất Nếu V C U là lượng trong V bằng thông lượng đi qua ØV (với dấu ngược lại) d = | ude = — udS, a fue=- ff ột miền con trơn bất kỳ, tốc độ của sự thay đổi tổng đại ở đây, f là mật độ thông lượng vì V là bất kỳ nên uy = —diu ƒ
Trong các trường hợp ƒ = —aDu thì phương trình đạo hàm riêng sau
uy = adiv (Du) = aÂu
Với a = 1 ta nhận được phương trình truyền nhiệt Phương trình truyền
nhiệt cũng xuất hiện trong việc nghiên cứu chuyển động Brown
2.2 Nghiệm cơ bản của phương trình truyền
nhiệt
Ta thay rằng phương trình truyền nhiệt có chứa đạo hàm bậc nhất theo £
và chứa đạo hàm bậc hai theo các biến z Vì vậy, nếu u là nghiệm của (21)
thi u (Ar, 12) cing la nghiệm cia (2.1)wi A € R Xét bet = ke
Điều này chỉ ra rằng tỉ lệ ? (r = |z|) là quan trọng đối với phương trình truyền nhiệt và gợi ý cho ta tìm nghiệm của (2.1)dưới dạng, 2 lel u(c, = (=) (t>0, reR"),
trong d6 ham v(y) = w(|y|) vdi w : R + R Mac dù làm theo cách này cũng cho ta kết quả mong muốn, nhưng ta có thể tìm nghiệm # có cấu
trúc đặc biệt như sau Dat t= A~!
Trang 30
Cần phải tim a, 8 Sở dĩ ta đến với công thức (2.3) nếu ta tìm u cia (2.1)
bất biến qua phép tỉ lệ phòng
1r(z,£) — A°u (X'z, À)
Như vậy ta đòi hỏi
1r(œ,Ê) = A°w (A?z, AI)
véi moi A> 0, 2 ER", t > 0 Dat A\=¢71, ta sẽ nhận được (2.3)
Với v (y) := u(y, 1) va dat = £"Öz rồi thay (2.3), vào (2.1), ta có
atu (y) + BE Yy Dv (y) +) Av(y) =0 (2.4) với J := + Để biến (2.4) thành biểu thức chỉ chứa biến y, ta chọn đ = 4 Khi đó (2.4) trở thành 1 au+ gU-Du+ Au=0 (25) V thế (2.5) trở thành aw + ÿrw' + w° + #Chw'=0 với r = |u| và w` = Bây giờ nếu ta đặt a = ÿ thì biểu thức cuối sẽ có dạng (rw)! + 1(r°w)! = 0 Suy ra 1 rly? + yw =a (2.6)
vdi a 1A mot hing s6 nao d6 Gia thiét ring w + 0 va w’ —> 0 khi r —> o, suy ra a = 0, và (2.6) thé thanh w’ = —}rw Khi d6
w=be*, (2.7)
với b là một hằng số nào đó Két hgp (2.4) , (2.7) và theo cách chọn a, 8 như trên thì zŠre“#” là nghiệm của phương trình truyền nhiệt (2.4) Ta
đi đến định nghĩa sau
Định nghĩa 2.1 Hàm số
Trang 31được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt
Chú ý rằng hàm w có kì dị tại (0,0) Vì w là hàm radial theo biến # nên
nhiều khi ta sẽ viết w (x,t) = w(|z|,£) Hằng số (4z)"⁄2
do sau đây được chọn vì lí
Bổ đề 2.2.1 (Tích phân của nghiệm cơ bản) Với mỗi £ > 0 thì ƒ t(œ,1) dy =1 (28) Chứng mỉnh Ta có Jen ti (,t)de =, at Trên đây là một cách tìm nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt Định lý 2.1 Nếu hàm z(z,f) thỏa mãn bài toán truyền nhiệt thuần nhất duu is (2.9)
với điều kiện ban đầu ứ (z,f) |.~o = uø (7) liên tục trong R* với
Gir = [1,1] x [0T] C Uy thì nó nhận giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên
phần biên Fr trong Œ¡z, được cấu thành từ đoạn (—!,f] trên trục Ox và
đoạn {z = —l,0<£< T}U{z =1,0<t<T}
Chứng minh Vi u (x,t) liên tục trên + nên tồn tại giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tren Gry
Kí hiệu A/ là giá trị lớn nhất của œ (,f) trên G¡z và m là giá trị nhỏ
nhat cia w (x,t) tren Grr
Vi Af là giá trị lớn nhat trén Grp nén A(x9,to) € Grr sao cho
u(x, to) = M véi xq € [-1,] va 0 < ty < T Ta can chitng minh (9, to)
thuộc biên Fr trong Grr -
Dat
Trang 32
Dễ thầy v (29, to) = u (0, to) = M, khi d6 ham v (r,t) không nhận giá
trị lớn nhất trên F+ trong G7
Giả sử hàm v (r,t) đạt cực đại địa phương tại (z¡,fq), với #¡ € [—l, 1] và0<f <T
Néu t) = T; -l <a <1 thi (3 — a? 45)|,,,,) > 0, déng thoi 9¢ = 9
va $y = Fy + Ae — Fy = Mom — Fs thay vao phutong trinh truyền
nhiệt tai (2, ¢;) thi
202
2 , Đụ - 7
du Ou de a glam, pMam
(Gp 8 2a le) = (ly — # 8 pe =“ pp
(vô lý mâu thuẫn với (2.1)) Do đó không tồn tại cực đại địa phương tại (i,t) Ching té u(a,t) đạt giá trị lớn nhất trên biên [+ trong G7
>0,
Chứng mỉnh tương tự hàm + (+,£) cũng nhận giá trị nhỏ nhất trên biên
Ty trong Gir
2.3 Bài toán Cauchy
Trang 332.4 Nghiệm của bài toán Cauuchy
Định lý 2.2 Giả thiết g € Ơ(R")f\ L* (R") và w được xác định theo (2.11) Khi đó (i) we C®(R" x (0,00) (ii) w (x,t) — Au(e,t) =0(2 ER", t>0) và đi) lim w(œ#)=g(20), z°cR", (=)¬(z90) TER", t>0 Chứng mình
ï) Vì hàm dre“ Ia kha vi vô hạn với tất cả các đạo hàm là giới nội đều
ở trên miền R" x [ổ,) với ổ > 0, ta có € Œ% (R" x (0,00)
(0) = Aw(e)= [ [(Gi=Az6) Œ=w.9)a(9)4y= 0, 043)
+€TR", £ >0), vì là nghiệm của phương trình truyền nhiệt
ii) Có định z° € R",e > 0 chon o > 0 sao cho
g(y) —9 (2°) <e,nuly—2°| <5, yeR" (2.13)
Khi đó nếu |z <§,
|ư(=,#) — ø(#9)| = |ƒ.G Œ — 9,8) [9(y) - 9 (2°) Jay
< Soyo) G (Œ = 9.t) |9 (y) — 9 (2) |dy
+ Soiyangy (= ust) |g (y) — 9 (0°) |dụ =: 1+ J
Trang 34
<§ | cay R"\B(2.0) e _ fe? # ea dy RY\B(2".0) cm lập — 0,£ —y 0® IA JS < t z Do đó, nếu |z — z0| < § và £ > 0 đủ nhỏ , ta có | (#,#) — g (#9)| < 2e
2.5 Bài tốn khơng thuần nhất
Trong mục này ta xét bài tốn Cauchy khơng thuần nhất
{ u—Au=f, trong R" x (0,00) (214)
w=u(z), trên R" x {t=O}
Làm thế nào để đưa ra công thức nghiệm? Ta nhớ lại mục trước rằng hàm
86 (x,t) => Œ (z — y,t — s) là nghiện
y €R",0 <s <t) Bay gid néu ta cố định s thì hàm số
u=(z,t,s) = ƒ Œ(œ — w.t— s) ƒ (ụ, s) dụ sẽ là nghiệm của bài toán Ss
của phương trình truyền nhiệt (với
{ tr (œ,†,s) — Âu (+,t,s) = 0, trong TR" x (s,©), u(z,t,s)=f(e,t,s), tren R"x {t=s} 08) 15) Va (2.10) véi điều kiện đầu t—0 được thay bằng điều kiện £ — s và g duge thay bằng ƒ(z,t,s) Như vậy, rõ ràng w(z,f,s) không phải là ngiệm của
Trang 35u(0,t) =f [G(e—yt—s)f(y.s)dyds (xe R",t > 0)
oR"
-Ít reo oF J5 A06 (r€R"t>0) (216)
Để kiểm tra xem u(x,t) x4c định như trên có cho ta nghiệm của (2.10) hay không ta giả thiết rằng ƒ € C? (R" x [0;+00)) và ƒ có giá Compắc
2.6 Nghiệm của bài tốn khơng thuần nhất
Định lý 2.3 Cho w(z,f) xác định như (2.16) Khi đó ï) u € C? (R" x (0;+00)), ii) ut (x,t) — Au(2,t) =f (x,t) (« €R",t>0) va iii) lim —u(x,t)=0, 2° R" (#)-3(z°0) z€R", r>0 Chứng minh
i) Vi ham G 6 kỳ dị tại (0,0) , ta không thể lấy đạo hàm qua dấu tích
Trang 360 Re
+ [6.0 ie =H 0ay
Như vậy tạ, Du và tương tự u;, D, đều thuộc (R* x (0,+oe)), Bây giờ
ta tính toán như sau: ¡
u, (x,t) — Au(x,t) = f ƒ G(y,s) (2 — A.) f (e —y,t — s)] dyds
OR
+ [@0.90.z—=w.0)dy (2.17)
ss
=JJ@ (y,s) [((-2 - Ay) f (w — y,t — s)] dụds
+f fe (ys) [(-2 - Ay) f(@-y yt —s)] dyds+ JG (ust) fee 9,0) dụ
= [+J.+K
Theo bé dé (2.8) ta c6 dénh gid
II < (l~ + |Đ2/ly~) [ [Etsrautssec (28)
Bằng cách lấy tích phân từng phần và vì Ớ là nghiệm của phương trình truyền nhiệt ta cũng nhận được
xà [[ewa [(Z->)7«-»+-»] dyds (2.19)
+ ƒ Gữ,2)[ƒ Œ — 9,t = 9)]dự = Lous [Ứ Œœ —.0)] dụ
Trang 37Kết hợp với (2.20) -(2.18) ta két luận un (2,1) ~ u(x,t) = lim [ews Uf (e—y.t—s)]dy ¿ =ƒ(9 (xeR°t>0) Khi đó IIw (.£)|[.,~ < lltƒll,~ —> 0 Khi đó ta nhận được công thức nghiệm uứ9= [ [G=wt—3)70s)ds+ [G9004 (2.20) của bài toán { u—Au=f, trong R" x (0,00), (221) u=0, trên R"x {t=0}
Với các điều kiện đặt lên các hàm g va f nhu ở trên
2.7 Nguyên lý cực đại mạnh của phương
trình truyền nhiệt
Định ly 2.4 Gia sit u € C? (Ur) NC (Ur) là nghiệm của phương trình
n nhiệt trong Ur
i) Khi d6 maxu = maxu Ur r
ii) Hơn thế nếu U liên thông và tồn tại một điểm (xo, yo) € Ur sao cho
maxu = u(zo, yo) Khi đó u là hằng sé trong U;,
Ur
Chiing minh
i) Giả sử tồn tại diém (9, yo) € Ur va u(x, yo) = M = maxu Khi 46
Trang 38với mọi số r>0 đủ nhỏ ,E(zu,fạ,r) C Ur, ta sit dung cong thite gia tri chính để có ) owl —_ M= utente) = 5a ff mee) (o— 3)? |zo - yl? ——sdyds ~ ae ell, E(xosto:r) (to — 8)” 1
Dấu bằng chỉ xẩy ra khi œ đồng nhất bing M trong E (29, to,r) Suy ra
w(w,s) = Á với mọi (w,s) € E (zo.fạ.r) Vẽ một đường bất kỳ L trong Ur néi (xo, to) vi mot điểm nào dé (yo, so) € Ur véi so < to Ta xét
1g = min {s > so |u(x,t) = M, V(a,t) EL, s<t< to}
Vi wu 1A ham lien tuc nén cuc tiéu sẽ đạt được Giả sử rọ > sọ Khi đó w(zạ,rọ) = M véi diém (2,79) trén LO Ur, cho nén u = M trén
E (20,79; t) vai mois r > 0 dit nhé Vi E (20,7937) chtta LA{r9 — 7 St < ro} với số ø > 0 đủ nhỏ, ta nhận được mâu thuẫn Do dé ro = so va vi thé
u=M tren L
ii) Bay giờ ta cố định điểm z € U va 0 < t < to Khi đó tồn tại những diém {29,21, ,m = #} sao cho những đoạn trong JR" nối z¡ ¡ với x;
nằm trong U với
thể nối zọ bằng một đường Polygonal là một tập không rỗng, mở và đóng m (Có điều này vì tập các điểm trong U mà có
tương đối trong U) Chọn những điểm thời gian ty > ty > > tn = te Khi đó những doan 6 trong R"*! néi (x;-1, ti-1) véi (a), ti) (i = 1, ,m) đều nằm trong Ủr Theo chứng mỉnh trong Bước i) , ta c6 u = M trén
từng đoạn như thế nén u(x,t) = M
Chú ý Từ nguyên lý cực đại mạnh suy ra rằng, nếu U Ia tập liên
thông và u € C? (Ur) AC (Ur) 1a nghiem của bài toán —Au=0 trong Ur
u=0 tren OU; x [0,7] (2.22)
Trang 39với g > 0, khi đó w sẽ dương ở khắp nơi trong Ưr nếu ø nhận giá trị đương
tại một điểm nào đó thu:
cực đại là định lý duy nhất nghiệm Ư Một ứng dụng quan trọng của nguyên lý
2.8 Nguyên lý cực tiểu mạnh của phương
trình truyền nhiệt
Dinh ly 2.5 Giả sử ứ € C? (Ưr) ñ1C (Dr) là nghiệm của phương trình
truyền nhiệt trong Ur
i) Khi d6 min = mịn ứ với Py là biên Ur
ii) Hơn thế nếu U liên thông và tồn tại một điểm (z,y¡) € Ứr sao cho
minu = u(x1,y:) Khi đó u là hằng số trong U;,
Ur
Chitng minh tuong tu nhu Nguyén ly cyte dai manh cia phuong trinh
truyền nhiệt
Định lý 2.6 (Nguyên lý cực đại của bài toán Cauchy)
Giả sử € Cÿ (R" x |0,7]) n1 C(R* x |0,7]) là nghiệm của bài toán Cauchy
u—Au=0 trong R"x (0,7) (228)
u=g trenR" x {t=0} :
và thỏa mãn điều kiện
u(x,t) < Ae°*Ủ (xe R",0<£<T), (2.24) với các hằng số A, a >0 Khi đó sup œ= supg Rnx(07] Re
Chứng minh
i) Trước tiên ta giả thiết rằng
Trang 40Và trong trường hợp này tồn tại e > 0 sao cho
4a(T +e) < 1 (2.26)
Có định € R", > 0, ta xét
rán (+€R",£ >0)
“Tính toán trực tiếp cho ta vy, — Av = 0 trong R" x (0,T] Có định r > 0
va dat U := B°(y,r), Ur = B°(w,r) x (0,T} Khi đó theo (2.22) ta có v(2,t) = u(a,t) —
max v = max v Ur Tr (2.27) ii) Bay gid, néu x € R",
v(x,0) = u(x,0) — man <u(z0)=g() — (228) và nếu |# — g|—r, <£<T thì (2.24) ta có a 2 v(e,t) = u(x,t) = ape £n “" 1 (T+e-"” < Acai? eS ~ (T+e)"? , Theo (2.26) ta có thể chọn + > 0 sao cho qqtz = a +7 Vì thể ta tiếp tục tính toán và nhận được: v (2, t) < Acti)” — p(4 (a +7)" e(*2)"Ê < sụp g mm (2.29) 2.9 Định lý duy nhất nghiệm của bài toán đầu
Định lý 2.7 Tính duy nhất trên miền giới nội