1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Bài toán truyền nhiệt và lời giải trong phần mềm Mathematica

105 0 0
Tài liệu được quét OCR, nội dung có thể không chính xác

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 105
Dung lượng 17,92 MB

Nội dung

Đề tài Bài toán truyền nhiệt và lời giải trong phần mềm Mathematica đã hệ thống lại các kiến thức liên quan đến bài toán truyền nhiệt; chứng minh lại một cách chi tiết các định lý liên quan đến bài toán truyền nhiệt; nghiên cứu và giải quyết bài toán truyền nhiệt trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng; ứng dụng phần mềm Mathematica để giải quyết bài toán truyền nhiệt trong R4 và R5.

Trang 1

DAI HOC DA NANG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM ĐỖ THỊ TÂM

BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT VÀ LỜI

GIAI TRONG PHAN MEM MATHEMATICA

LUAN VAN THAC SI KHOA HOC

DA NANG-NAM 2017

Trang 2

DAI HOC DA NANG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SU PHAM ĐỖ THỊ TÂM

BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT VÀ LỜI

GIAI TRONG PHAN MEM MATHEMATICA

Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG

ĐÀ NẴNG-NĂM 2017

Trang 3

LOI CAM DOAN

Toi xin cam đoan đây là công trình nghiện cứu của riêng tôi

Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kj

công trình nào khác

Tác giả luận văn

Trang 4

LOI CAM ON

Luận văn thạc ï chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “ Bài toán truyền

nhiệt và lời giải trong phần mềm Mathematica” là kết quả của quá

trình cố gắng không ngừng của bản thân và đưo giúp đỡ, động viên

khích lệ của các th

này tác giả xin gửi lời cảm ơn tới những người đã giúp đỡ tôi trong thời bạn bè đồng nghiệp và người thân Qua trang viết

gian học tập - nghiên cứu khoa học vừa qua

Tôi xin tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với thầy giáo TS, Lê

Hải Trung đã trực tiếp tận tình hướng dẫn cũng như cung cấp tài liệu thông tin khoa học cần thiết cho luận văn này

Xin chân thành cẩm ơn Lãnh đạo, tất cả thầy cơ khoa Tốn của trường Đại học Đà Nẵng đã tạo điều kiện cho tơi hồn thành tốt công việc nghiên

cứu khoa học của mình

Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn đồng nghiệp, Ban giám hiệu Trường THPT Pleiku, Lớp toán K31 và gia đình đã giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện Luận văn

Tác giả luận văn

Trang 5

Muc luc

MỞ ĐẦU 1

Dẫn nhập Mathematica 3

1 Dẫn nhập Mathematica 4

1.1 Một số ki hiéu trong Mathematica 4

1.2 Cách khai báo các hàm số mới " 7

1.2.1 Khai am giá trị thực, biến thực 7

1.2.2 Khai báo hàm thực biến vếc-tơ § 1.2.3 Khai báo hàm giá trị véc-tơ 143 Vẽ đồ thị 1.3.1 Vẽ đồ thị trong mặt phẳng và không gian ba chiều 10 132 Lệnh ListPlot 11 14 Các giới hạn eee 12 1.5 Dao hàm, vi phân, nguyên 12 15.1 Tính đạo hàm eấpn .- 12 1.5.2 Tính đạo hàm của hàm véctd 13 15.3 Tính nguyên hàm của hàm,tích phân 14

1/6 Giải phương trình và hệ phương trình lỗ

16.1 Giải phương trình vi phân 17 1.7 Lam việc với ma trận c2 2c 17

1.7.1 Cách cho một ma trận cà IT

Trang 6

17.5 Phương trình matrận 19 1746 Các hàm với ma trận - 19 1/77 Tạo một ma trận với tính chất cho trước 20 1.8 Các vòng lặp 20 18.1 VonglapDo 22.2.0 00000020002 20 1.8.2 Vong lap dang For,Vong lap While, Lénh If 21

2 Bai toan truyền nhiệt 22

2.1 Xây dựng bài toán truyền nhiệt 2

2.2 Nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt

2.3 Bài toán Cauchy ee 2.4 Nghiệm của bài toán Cauuchy

2.5 Bài tốn khơng thuần nhất

2.6 Nghiệm của bài tốn khơng thuần nhất

2.7 Nguyên lý cực đại mạnh của phương trình truyền nhiệt 31

2.8 Nguyên lý cực tiểu mạnh của phương trình truyền nhiệt 33

2.9 Dịnh lý duy nhất nghiệm của bài toán đầu 34

2.10 Nghiệm tổng quát của bài toán truyền nhiệt thuần nhất với

ĐT eee ee 36

2.11 Nghiệm của bài toán giá trị ban đầu với =1_ 37

2.12 Cong thite Poisson 43

3 Lời giải của bài toán truyền nhiệt trong Mathematica 49

3.1 Lời giải của bài toán truyền nhiệt trong 40 3.2 Lời giải của bài toán truyền nhiệt trong R2 53

3.3 Lời giải của bài toán truyền nhiét trong R® 58

3.4 Lời giải của bài toán truyền nhiét trong RA 65

3.5 Lời giải của bài toán truyền nhiệt trong RP 74

Trang 7

MO DAU

1 Ly do chon dé tai

Bài toán truyền nhiệt là một trong những vấn đề căn bản và tiêu biểu nhất trong " Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng " Ý nghĩa của

bài toán truyền nhiệt được thể hiện ở việc miêu tả sự tiêu tán nhiệt,

cũng như nhiều quá trình tiêu tán khác, như tiêu tán hạt hoặc là sự

lan truyền của thế năng phản ứng trong tế bào thần kinh Với tính chất quan trọng như trên, bài toán trên đã thu hút được sự quan tâm đặc biệt

của các nhà Toán học và khoa học trên thế giới như Kevorki: (2000)

Lawrence C., Svesnhikop A.G., Bolgoliubov A.N., Krapxop V.V(2004 ), Tikhonop A.N Samarxki A.A, Titchmars E.(2000), Glusko V.P(2002), Di-

akonop V(2001), Một điều đễ nhận thấy trong các công trình của các tác giả nêu trên đều thiếu vắng sợi dây liên hệ giữa các phần mềm toán học (Mathematica, Matlap, Maple, Matcad )trong việc mô tả dáng điệu

nghiệm của bài toán truyền nhiệt cũng như việc sử dụng các phần mềm

trên để đưa ra lời giải cho bài toán này một cách nhanh chóng và chính xác Phần mềm Mathematica được Stephen Wolfram, nhà vị học người

Anh viết vào năm 1988, là một hệ thống nhằm thực hiện các tính toán

toán học trên máy tính điện tử và không ngừng được nâng cấp và phát

triển bởi công ty Wolram Research Việc đưa phần mém Mathematica

Trang 8

khoa học nói chung Không chỉ lý thuyết đối với phương trình đạo hàm

riêng còn được coi là phần mềm hàng đầu cho các môn như:

suất thống kê, Đại số tuyến tính Trong [4] bai toán truyềi

được giải quyết trong IR,R? và I3 Tuy nhiên thực tế cho thấy có nhiều bài toán đặt ra yêu cầu phải giải quyết trong IRf và R Nhằm mục tiêu tìm hiểu và giải quyết bài toán truyền nhiệt trong RR† và IRỖ cùng với sự gợi §

tốn truyền nhiệt và lời giải trong phần mềm Mathematica " cho của giáo viên hướng dẫn TS Lê Hải Trung, tôi lựa chọn đề tài " Bài

luận văn thạc sĩ của mình 2 Mục tiêu

Hệ thống lại các kiến thức liên quan đến bài toán Truyền nhiệt

Chứng mình lại một cách chỉ tiết các định lý liên quan đến bài toán

quyết bài toán truyền nhiệt trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng

truyền nhiệt Nghiên cứu và gi:

Ứng dụng phần mềm Mathematica để giải quyết bài toán truyền nhiệt

trong IR† và Rỗ,

3 Phương pháp tiếp cận

Nghiên cứu cách giải quyết bài toán truyền nhiệt trên phương diện lý thuyết

'Tổng hợp kết quả của bài toán truyền nhiệt với việ

bài toán trong R, R? và R3

Xây dựng hướng giải quyết trong R, R2, R3, R† và R5

Trang 9

Trong cấu trúc của luận văn các kiến thức được khai thác thuộc các

lĩnh vực Giải tích, Phương trình vi phân, Phương trình đạo hàm riêng, Phần mềm Mathematica

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 5.1 Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu bài toán truyền nhiệt

5.2 Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu bài toán truyền nhiệt trong R‘ va R°

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Đề tài có giá trị về mặt lý thu ử dụng luận văn như một

i li

tâm đến bài toán tìm nghiệm của phương trình truyền nhỉ:

tham khảo dành cho sinh viên nghành toán và các đối tượng quan và ứng dụng

Trang 10

Dẫn nhập Mathematica

Nội dung của chương có tham khảo tài liệu tương ứng với danh mục [1],

5]: (6), (7), ͧÌ-

1.1 Một số kí hiệu trong Mathematica

-Option bạn đọc có thể tham khảo trong thẻ Help

~ Mathematica phân biệt chữ hoa, chữ thường, các hàm của nó đều bắt

đầu bằng chữ hoa

- Các biến đi theo hàm đều được đặt trong ngoặc vuông, cú pháp hình

ví dụ như Cos[z], Sin|z]

- Để thực hiện một câu lệnh cho kết quả ta dùng tổ hợp phim "Shift

+ Enter"

- Để kết thúc một câu lệnh ta đặt dấu chấm phẩy (;), nếu không có

thức như sau Hàm [ezpr] Có thể

dấu (;) thì kết quả sẽ được hiển thị bên dướ

- Lệnh [ezpr] dùng để hiển thị kết quả thành số thập phân

Ví dụ 1.1 Nếu bạn gõ Cos(1] thì kết quả hiển thị chỉ là Cos[1], nếu bạn gõ A[Ơos[1],6] thì kết quả sẽ là 0.540302

Trang 11

- Cách đặt biến bình thường như a,b,ec,#,y.z , không được đặt

XY- a không được dùng các chữ số để đặt tên biến 1, E, Œ

- Tổ hợp Ctrl + K dé tim các hàm có tên giống nhau ở phần đầu - Lệnh ?Inf+ để tìm tat cd cdc hàm bắt đầu bằng ”Inf”, tương tự với

2 * Qhay ? « Ints

- Cin phan biét List va Matrix trong Mathematica Néu viét {1,2,3,4} thi đây là một List gồm 4 phần tử, còn nếu viết {1},{2},{3}.{4} thì đây là một matrix 4 dòng 1 cột, đối với 1 List thì không thể dùng hàm chuyển vị Transpose được, tuy nhiên bạn có thể sử dụng các phép toán ma trận

giữa Matriz và List, kết quả vẫn đúng như khi tính toán giữa các ma

trận

- Lay thanh cơng cụ tốn học bằng lệnh File/paletes/al

- Dầu móc vuông đơn { ] bắt buộc phải dùng khi gọi một hàm có sẵn

hoặc khai báo một hàm số mới như trong các thí dụ trên

- Dấu móc vuông kép [[ ]] bắt buộc được sử dụng khi gọi đến một phần tử của một ma trận

- Dau móc nhọn {} được sử dụng theo đúng mẫu lệnh của phần mềm -Simpli fy la phân tích thành nhân tử với các cơ số nguyên tố cùng, nhau

~Faetor là phân tích đa thức thành nhân tử

-Replaceall (/.) la giới hạn khi

~Fullsimpli fy là rút gọn rồi phân tích

-Refine la rat gon bang định nghĩa thỏa mãn điều kiện ~PouerExpand là biến đổi công thức và rút gọn

-ComplerEzpand là tìm căn bậc hai của số phức -1

-FunctionExpand la tìm nghiệm của biểu thức

-Prime là Số nguyên tố

Trang 12

-Ezpand là khai triển phân thức về tổng các phân thức ~FaetorTerms là quy đồng và đưa về tích

-Coef ficient la hé s6 cha da thite

-Eaponent[a, b là Số mũ cao nhất của khai trién a theo b

-Numerator là tỉ số của phân số

-Denominator là mẫu số của phân số

Trang 13

1.2 Cách khai báo các hàm số mới Hàm số cơ bản Được khai báo bằng lệnh f(x)=f (x) = |e] f(x] = Abs [x] Fe] = Sart fo f E] " ƒ[z_]:= AreSin [x] f (2) = arceosx f [z_]:= ArcCos [2] f (x) = arctanx f [v_] := ArcTan [2] f (x) = arecotx = ArcCot [a] 7Œ) =logz Fe] = Log [aa] ƒŒ) = logz ƒ[z_]:= Eog[10,z] f (x Log {E, x) Exp [2] =a | TÍz_]:= Cosh [>] ƒ(#) = chí) Ƒ[e_] := Cosh [z] f (x) = sh(x) f [e_| = Sinh [2] f(z) =thœ) T[z_]:= Tanh [] 7) = ah) = =2 ƒ[z_] := Coth lz]

1.2.1 Khai báo hàm giá trị thực, biến thực

Trang 14

Vi du 1.2 Hàm một biến được khai báo bằng lệnh

/fz-] + Sin{x] + (Log{x})* * (Exp "!) * Cos

Ví dụ 1.3 Hàm nhiều biến được khai báo như sau

/Ir-.w-]:= Is]* lu}? + [y]+ (Sinlz)}2

* Cot[y] + [y] * Cot[z] + z * Exp"),

glx—.y-,2-]

C&ch 2 Function{x, body] 1 khai báo hàm một biến Function{21, x2, ., body) la khai bao ham nhiều biến Lấy ví dụ ở trên, ta có thể khai báo như sau Function{x, 2? + 3x + 1] Function|x, y, x? + y° Cách 3 Dùng dấu # & Lấy ví dụ ở trên, ta có thể khai báo như sau (#1? + 3#1 + 1) (#12+ #2) Tính giá trị hàm số có nhiều cách, điều đó được thể hiện qua các ví dụ sau đây,

1.2.2 Khai báo hàm thực biến véc-tơ

Ví dụ 1.4 Khai báo hàm chuẩn một biến véc-tơ

S (x) = lel) oe = (#i,#a, #u)” € R") như sau " giải thiết đã nhập ø¡

trước đó" (theo lý thuyết = Max _|s;\):

% ¡e[l m}

Trang 15

cách giữa hai điểm z và ự trong không gian định chuẩn #")

ƒ(Œ.9) = llữ ~ 9| :

B= (04,02, 002m)" € Ry = (Yrs Yor Yn)” € RY, "gid thiét di nhap

n trước đó" (theo lý thuyết le yl = Mar |x: — ul) ;e[1,.on J [x,y] := Maz [Table{ Abs[ z[[i]]—w(li] ] {¿,1.n}] ] textbfChú ý Giá trị của œ có thể lấy bằng lệnh tính số phần tử của ma trận cột # là Length[z] Ví dụ 1.6 Cho ma tran A = (4¡;)„„„„ theo lý thuyết |All, = Max Jœ„| | -

I4I tes, (Er)

Trang 16

1.3 Vẽ đồ thị 1.3.1 Vé dé thi trong mat phẳng và không gian ba chiều Vẽ đồ thị hàm một biến y = ƒ (+) ,# € Ía, b Pløt|f[z].z.a.| Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ đồ thị của hai hàm số x € [a,b]: =ƒ(z).u= 0) Plot(ƒ[x] glz] +, a,b]

Vẽ đồ thị của hàm cho bởi phương trình tham số (hoành độ và tung độ là ham bién t € [a,6]):

=z(,

y=y(t)

ParametricPlot(r(t), y{t),t, a, 0)

Vẽ đồ thị của hàm hai biến (đồ thị là một mặt trong không gian ba chiều): Plot3D[f[e, yÌ +.a, b, ,e

Vẽ đồ thị của một mặt cho bởi phương trình tham số (cả ba tọa độ của điểm thuộc mặt đó đều là hàm của hai biến #, s (£ và s là hai tham số):

~=z(ts)

y=uw(t,s)_ „t€ [a.b],s € [c,d] z=2(t,s)

ParametricPlot3D(z{t, 5], ylt, 5], 2[t, 5],t,a,b, 8, , đ]

Lệnh vẽ đồ thị của mot ham sé la Plot|] Cú pháp hình thức có thể viết

như sau Plof[ƒ, +, min, zmaz] là vẽ đồ thị hàm ƒ trên đoạn|#min, zmaz]

PHot|ƒ1, ƒ2, , +, zmán, zmaz] là vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các

Trang 17

Ví dụ 1⁄8 Plot(Sin|z]/+, z, 0,20) Để biết được danh sách các tham số được dùng kèm với hàm Plot, ta gõ câu lệnh Option [Plot] Các tham số này được khai báo ở dạng name — value

Các giá trị hay dùng nhất của tham số là:

Automatic là sự chọn lựa sẽ được tự động

None là tham số không được sử dụng

AlHlà được sử dụng trong trường hợp bất kì True là được sử dụng False la khong dude sit dung Ví dụ 1.9 Plot[Sin|x)/x, {x,0, 20}, PlotRange?\ {-0.25, 1.2}] Giải thích Tham số PlotRange?\ {-0.25, 1.2} được dùng để giới han đồ thị hàm số theo trục đọc từ -0.25 đến 1.2 1.3.2 Lệnh ListPlot ListPlot[{yl,y2}] hiển thị các giá trị y1, 2, lên hệ trục tọa độ, giá trị của z tương ứng là 1, 2,

ListPlot [{{x1, y1}, {x2, y2}}] hién thi cdc diém có tọa độ wi, yi len he

Trang 18

~ Muốn hiển thị nhiều đồ thị trên cùng một hệ trục tọa độ ta dùng lệnh

Show]

-Tham số PlotRange —> {—0.25,1.2} được dùng để giới hạn đồ thị hàm số theo trục đọc từ -0.25 đến 1.2 Một số tham số khac hay dùng là

-Ares —+ None la khong hién thị hệ trục tọa độ

~ AzesLabel là ghi chú tên của trục tọa độ

- PlotStule là chỉnh các thông số về màu sắc, cách hiển thị đậm nhạt

- Lệnh I¿stPlot có cú pháp hình thức

1.4 Các giới hạn

- Lệnh Limit [f (x), « —> a] sẽ tìm giới hạn của hàm ƒ(z) khi z tiến

tới a

-Limifƒ[z],+ —> a, Direetion —> —1] là z dần về bên trái s6 a -Limif(ƒ[z],# —> a, Direetion —y 1] là z dần về bên phải số a

-Limit(f(x],2 + Infinity] la x dần về dương vô cực

-Limit(f(2],2 + —Infinity] la x dan vé am vô cực

1.5 Đạo hàm, vi phân, nguyên hàm, tích

phân

1.5.1 Tính đạo hàm cấp n

~D[ƒ[z], z] là tìm đạo hàm cấp 1 của hàm ƒ(z) theo biến z - D[ƒ[r], z,n] là đạo hàm cấp n cita ham f(x) theo bién x,

E theo biến z ~D[F|z,, z],zÌ là đạo hàm của hàm s

~D[F|z,, z] ] là đạo hàm của hàm số F theo biến ~D[F|z

~D[ƒ[z, y].+, ] là đạo hàm theo cả biến x vay 2] la đạo hàm của hàm số F theo biến z

Trang 19

-D[ƒ,z1,z9, ] là tìm đạo hàm riêng -Từ đó muốn tính ma trận đạo hàm 90 96 00 Or ủy dz F'(x,y,2)= | % 22 0b Oz DI dc thì dùng lệnh

Transpose|D|F[z,,z],z, ĐỊF†z,w, 2].y] DỊF[e, z),]):

Trang 20

1.5.3 Tinh nguyén ham cia ham,tich phan

Trang 21

In{7] := Series [Exp [x] Sin 2x] , {,0,6} ] wg 192? 1a = —9,?_— — — 7 Out[7] = 2z — 2z zt? 60 — 180 + Of Inf8] := Limit [(Sin [x] — Tan [r]) /x*.x > 0] Ouf[S] = ~§

-Integrate|ƒ[z, y], z, a, b, y, ¢,d] la tính tích phân theo cả hai biền ø và

1.6 Giải phương trình và hệ phương trình

Trang 22

Cú pháp tổng quát đối với các đối số của lệnh Solve bao gồm một list

các phương trình phụ thuộc vào một list các biến Có nghĩa là

Solve [{equation_list} , {variable_list}]

Trang 23

1.6.1 Giải phương trình vi phân DSolve va NDSolve

-DSolvelequation, y, «] là giải phương trình vi phân với biến độc lập # ~DSolue|equationlist, list, z] là giải một list các phương trình vi phân -DSolvelequation, y, z1, z9, .] là giải phương trình đạo hàm riêng Vi du 1.12 Giải phương trình ÿ“ = 4ự + y với y (0) = 1, (0) = 0 bằng lệnh Dsotve {{y" 2] = = 4W lz]+ v|e].v|0]= = Ly] = = 0} ya Kết quả là { — Punetion [te a (s9: +?vBeŒ-v9* + se+⁄8)* ~ s/§} c(+8)]\ , Ví dụ 1.13 Giải phương trình " = ay/ + y véi y (0) = 1,y/ (0) = 0 bằng lệnh Dsolve [{y" = ay [x] + y [x] ,y [0] = = 1, y [0] = = 0}, y,2] Két qua la (acd)

{{u + Function [ta : ra

VET aH VAR _ gclloVFR) 4 Tp atl FRI],

Trang 24

Ví dụ: 1.14 {{1,3,3}, {a,b,e}, {x,y,2}} sẽ cho một ma trận có 3 dòng 3 cột Cách 3: Dùng hàm Table[J Vi du 1.15 Tablelij, {¡, 1, 10}, {j, 1, 10}] sé cho mot ma tran 10 dong 10 cột 1.7.2 Khai báo các ma trận biết trước các phần tử 3 4 Vi dy 1.16 các mà trận X = [ 12 5Ì, 10 | 21 124 A= |5 3 4 | được khai báo lần lượt bằng lệnh 2 X = {2,1,4,3}, Y = {{3}, {4}, {5}, {12}, {10}, {21}}, A = {{1,2,4}, {5, 2,4}, (2,1, 7}}-

- Muốn lấy phần tử thứ của X ta dùng lệnh X([R]]

-Muốn lấy phần tử thứ & của Y ta dùng lệnh Y{{k, 1])

“Muốn lấy phần tử hàng ¿ cột j của ma trận A ta ding lệnh A[[¿, 7]]

Trang 25

1.7.3 Khai báo ma trận chỉ biết trước cỡ của ma

trận

Khai báo ma trận chỉ biết trước cỡ của ma trận, còn giá trị của phần

tử trên mỗi hàng, mỗi cột chưa biết Sau khi khai báo gid tri cla m van

thì khai báo ma trận 4 có zn hàng ø cột bằng lệnh

A = Table|a[fi,j]|, {i, 1, m}, {j, 1,n)] 1.7.4 Khai báo ma trận đặc biệt

Ma tran don vị cắp n như sau

1dentityMatriz

Ma trận vuông cấp 5 mà các phần tử nằm trên đường chéo lần lượt là a,b,e,d,e Các phần tử nằm ngoài đường chéo bằng không DiagonalMatrix{a, b,c, d, 1.7.5 Phương trình ma trận Lệnh giải hệ phương trình 4 X = Z sau khi đã nhập hai ma trận A và B LinearSolve|A, B]

1.7.6 Cac ham với ma trận

Trang 26

Eigenvalues[A] la gié tri rieng cita ma tran A

Eigenuectors[A| là vec tơ riêng của ma trận A

AMatrizPouer|A,n] là lãy thừa cấp n của ma trận A

AatrizEzp|[A] là ma trận mũ của ma tran A

Drop[A,¡,] là xóa dòng thứ ¡ từ ma trận A

Drop[A,, 7] là xóa cột thứ j từ ma trận A

Union[A, BỊ là hợp 2 ma trận A và B

1.7.7 Tạo một ma trận với tính chất cho trước

Tạo ma trận đơn vị cấp n ta dùng lệnh /dentityMatriz|

Tao ma tran đường chéo DiagonaLAatriz|u] , ø là vec-tơ đường chéo có dạng ø = {a,b,e,d, } 1.8 Các vòng lặp 1.8.1 Vòng lặp Do Thực hiện "việc 1, việc 2, , việc k" n lần ta dùng lệnh Do như sau 1; Do[việc 1;việc 2 ; lệc k, n] Dojviệc Chú ý Các công việc cách nhau bởi dầu chấm phẩy lệc 2 .: việc k, n]

Công việc cuối cùng được kết thúc bởi dấu phẩy

Do[erpr, imaz] là thực hiện expr imax lần

Dofexpr,i,imaz] 1a tinh expr với biến ¿ nhận giá trị lần lượt từ 1 đến

imax (bước nhảy bằng 1)

Dolexpr, i, imin, imaz] la tính expr với biến ¿ nhận giá trị lần lượt từ imin

đến imaz (bước nhảy bằng 1)

Trang 27

imin đến imaz(bước nhảy bằng đì)

Do|ezpr, i, imin, imaz, j, jmin, jmaz, ] là tính expr với các vòng lặp lồng nhau theo các biến j,i,

Do[Print|hello]),3]

1.8.2 Vòng lặp dạng For,Vòng lặp While, Lệnh Tf

-For|start, test, incr, body) la bat đầu với gid tri start, sau đó thực hiện

lần lượt iner và body cho đến khi fesf nhận giá trị logicFalse For{i = 0,i < 4,i++, Print{i)} -Thực h While dé lap trình như sau n lặp lại các công việc "việc 1, việc 2, , việc k" ta dùng lệnh While[biéu thite logic ,viée 1 ;viée 2 ; ; viee k] Chú ú

Sau biểu thức là dấu phẩy

Giữa hai việc cách nhau bởi dấu chấm phẩy

While|test, expr] la thuc hién expr cho dén khi nao test nhan gid tri logic

False

n= 1;While[n < 4, Primtn];n + +]

-LƑ[condiHon,t, f] là † sẽ được thực hiện nếu cơndition có giá trị True,

ngược lại, ƒ sẽ được thực hiện

~1ƒ(condition, t, ƒ, u] là tương tự như trên, nhưng nếu giá trị của condition

Trang 28

Chương 2

Bài toán truyền nhiệt

Chương này có sử dụng tài liệu tham khảo tương ứng với danh mục [1], (2), | l5] [6] [7], (8)

Quy ước

Ham f € C?(R" x [0,00)) va f c6 gid Compact; g = u (%,0) = uạ (+) là

hàm liên tục trên R"; Ur C (R" x [0,00)); Dp la bien ctia Ur

2.1 Xây dựng bài toán truyền nhiệt

Ta sẽ nghiên cứu phương trình truyền nhiệt thuần nhất u— Âu =0 (2.1) và phương trình truyền nhiệt không thuần nhất uy — Âu = ƒ, (2.2) với các điều kiện ban đầu và điều kiện phù hợp Ở đây # € U,U CTR" là )›

còn (2.1) toán tử Laplace theo các biến không gian Aư = A„ư = Š) „„, a Trong hàm vé phai f : U x (0,00) + R da cho, Ta sé thay, nhiéu tinh chat một tap mé va t > 0, ham cin tim la uw: U x (0,00) 9 R, w= u(

Trang 29

Ý nghĩa Vật lý Phương trình truyền nhiệt là một phương trình khuếch tán mô tả mật độ của các đại lượng vật lý như nhiệt, nồng độ hóa chất Nếu V C U là lượng trong V bằng thông lượng đi qua ØV (với dấu ngược lại) d = | ude = — udS, a fue=- ff ột miền con trơn bất kỳ, tốc độ của sự thay đổi tổng đại ở đây, f là mật độ thông lượng vì V là bất kỳ nên uy = —diu ƒ

Trong các trường hợp ƒ = —aDu thì phương trình đạo hàm riêng sau

uy = adiv (Du) = aÂu

Với a = 1 ta nhận được phương trình truyền nhiệt Phương trình truyền

nhiệt cũng xuất hiện trong việc nghiên cứu chuyển động Brown

2.2 Nghiệm cơ bản của phương trình truyền

nhiệt

Ta thay rằng phương trình truyền nhiệt có chứa đạo hàm bậc nhất theo £

và chứa đạo hàm bậc hai theo các biến z Vì vậy, nếu u là nghiệm của (21)

thi u (Ar, 12) cing la nghiệm cia (2.1)wi A € R Xét bet = ke

Điều này chỉ ra rằng tỉ lệ ? (r = |z|) là quan trọng đối với phương trình truyền nhiệt và gợi ý cho ta tìm nghiệm của (2.1)dưới dạng, 2 lel u(c, = (=) (t>0, reR"),

trong d6 ham v(y) = w(|y|) vdi w : R + R Mac dù làm theo cách này cũng cho ta kết quả mong muốn, nhưng ta có thể tìm nghiệm # có cấu

trúc đặc biệt như sau Dat t= A~!

Trang 30

Cần phải tim a, 8 Sở dĩ ta đến với công thức (2.3) nếu ta tìm u cia (2.1)

bất biến qua phép tỉ lệ phòng

1r(z,£) — A°u (X'z, À)

Như vậy ta đòi hỏi

1r(œ,Ê) = A°w (A?z, AI)

véi moi A> 0, 2 ER", t > 0 Dat A\=¢71, ta sẽ nhận được (2.3)

Với v (y) := u(y, 1) va dat = £"Öz rồi thay (2.3), vào (2.1), ta có

atu (y) + BE Yy Dv (y) +) Av(y) =0 (2.4) với J := + Để biến (2.4) thành biểu thức chỉ chứa biến y, ta chọn đ = 4 Khi đó (2.4) trở thành 1 au+ gU-Du+ Au=0 (25) V thế (2.5) trở thành aw + ÿrw' + w° + #Chw'=0 với r = |u| và w` = Bây giờ nếu ta đặt a = ÿ thì biểu thức cuối sẽ có dạng (rw)! + 1(r°w)! = 0 Suy ra 1 rly? + yw =a (2.6)

vdi a 1A mot hing s6 nao d6 Gia thiét ring w + 0 va w’ —> 0 khi r —> o, suy ra a = 0, và (2.6) thé thanh w’ = —}rw Khi d6

w=be*, (2.7)

với b là một hằng số nào đó Két hgp (2.4) , (2.7) và theo cách chọn a, 8 như trên thì zŠre“#” là nghiệm của phương trình truyền nhiệt (2.4) Ta

đi đến định nghĩa sau

Định nghĩa 2.1 Hàm số

Trang 31

được gọi là nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt

Chú ý rằng hàm w có kì dị tại (0,0) Vì w là hàm radial theo biến # nên

nhiều khi ta sẽ viết w (x,t) = w(|z|,£) Hằng số (4z)"⁄2

do sau đây được chọn vì lí

Bổ đề 2.2.1 (Tích phân của nghiệm cơ bản) Với mỗi £ > 0 thì ƒ t(œ,1) dy =1 (28) Chứng mỉnh Ta có Jen ti (,t)de =, at Trên đây là một cách tìm nghiệm cơ bản của phương trình truyền nhiệt Định lý 2.1 Nếu hàm z(z,f) thỏa mãn bài toán truyền nhiệt thuần nhất duu is (2.9)

với điều kiện ban đầu ứ (z,f) |.~o = uø (7) liên tục trong R* với

Gir = [1,1] x [0T] C Uy thì nó nhận giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên

phần biên Fr trong Œ¡z, được cấu thành từ đoạn (—!,f] trên trục Ox và

đoạn {z = —l,0<£< T}U{z =1,0<t<T}

Chứng minh Vi u (x,t) liên tục trên + nên tồn tại giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tren Gry

Kí hiệu A/ là giá trị lớn nhất của œ (,f) trên G¡z và m là giá trị nhỏ

nhat cia w (x,t) tren Grr

Vi Af là giá trị lớn nhat trén Grp nén A(x9,to) € Grr sao cho

u(x, to) = M véi xq € [-1,] va 0 < ty < T Ta can chitng minh (9, to)

thuộc biên Fr trong Grr -

Dat

Trang 32

Dễ thầy v (29, to) = u (0, to) = M, khi d6 ham v (r,t) không nhận giá

trị lớn nhất trên F+ trong G7

Giả sử hàm v (r,t) đạt cực đại địa phương tại (z¡,fq), với #¡ € [—l, 1] và0<f <T

Néu t) = T; -l <a <1 thi (3 — a? 45)|,,,,) > 0, déng thoi 9¢ = 9

va $y = Fy + Ae — Fy = Mom — Fs thay vao phutong trinh truyền

nhiệt tai (2, ¢;) thi

202

2 , Đụ - 7

du Ou de a glam, pMam

(Gp 8 2a le) = (ly — # 8 pe =“ pp

(vô lý mâu thuẫn với (2.1)) Do đó không tồn tại cực đại địa phương tại (i,t) Ching té u(a,t) đạt giá trị lớn nhất trên biên [+ trong G7

>0,

Chứng mỉnh tương tự hàm + (+,£) cũng nhận giá trị nhỏ nhất trên biên

Ty trong Gir

2.3 Bài toán Cauchy

Trang 33

2.4 Nghiệm của bài toán Cauuchy

Định lý 2.2 Giả thiết g € Ơ(R")f\ L* (R") và w được xác định theo (2.11) Khi đó (i) we C®(R" x (0,00) (ii) w (x,t) — Au(e,t) =0(2 ER", t>0) và đi) lim w(œ#)=g(20), z°cR", (=)¬(z90) TER", t>0 Chứng mình

ï) Vì hàm dre“ Ia kha vi vô hạn với tất cả các đạo hàm là giới nội đều

ở trên miền R" x [ổ,) với ổ > 0, ta có € Œ% (R" x (0,00)

(0) = Aw(e)= [ [(Gi=Az6) Œ=w.9)a(9)4y= 0, 043)

+€TR", £ >0), vì là nghiệm của phương trình truyền nhiệt

ii) Có định z° € R",e > 0 chon o > 0 sao cho

g(y) —9 (2°) <e,nuly—2°| <5, yeR" (2.13)

Khi đó nếu |z <§,

|ư(=,#) — ø(#9)| = |ƒ.G Œ — 9,8) [9(y) - 9 (2°) Jay

< Soyo) G (Œ = 9.t) |9 (y) — 9 (2) |dy

+ Soiyangy (= ust) |g (y) — 9 (0°) |dụ =: 1+ J

Trang 34

<§ | cay R"\B(2.0) e _ fe? # ea dy RY\B(2".0) cm lập — 0,£ —y 0® IA JS < t z Do đó, nếu |z — z0| < § và £ > 0 đủ nhỏ , ta có | (#,#) — g (#9)| < 2e

2.5 Bài tốn khơng thuần nhất

Trong mục này ta xét bài tốn Cauchy khơng thuần nhất

{ u—Au=f, trong R" x (0,00) (214)

w=u(z), trên R" x {t=O}

Làm thế nào để đưa ra công thức nghiệm? Ta nhớ lại mục trước rằng hàm

86 (x,t) => Œ (z — y,t — s) là nghiện

y €R",0 <s <t) Bay gid néu ta cố định s thì hàm số

u=(z,t,s) = ƒ Œ(œ — w.t— s) ƒ (ụ, s) dụ sẽ là nghiệm của bài toán Ss

của phương trình truyền nhiệt (với

{ tr (œ,†,s) — Âu (+,t,s) = 0, trong TR" x (s,©), u(z,t,s)=f(e,t,s), tren R"x {t=s} 08) 15) Va (2.10) véi điều kiện đầu t—0 được thay bằng điều kiện £ — s và g duge thay bằng ƒ(z,t,s) Như vậy, rõ ràng w(z,f,s) không phải là ngiệm của

Trang 35

u(0,t) =f [G(e—yt—s)f(y.s)dyds (xe R",t > 0)

oR"

-Ít reo oF J5 A06 (r€R"t>0) (216)

Để kiểm tra xem u(x,t) x4c định như trên có cho ta nghiệm của (2.10) hay không ta giả thiết rằng ƒ € C? (R" x [0;+00)) và ƒ có giá Compắc

2.6 Nghiệm của bài tốn khơng thuần nhất

Định lý 2.3 Cho w(z,f) xác định như (2.16) Khi đó ï) u € C? (R" x (0;+00)), ii) ut (x,t) — Au(2,t) =f (x,t) (« €R",t>0) va iii) lim —u(x,t)=0, 2° R" (#)-3(z°0) z€R", r>0 Chứng minh

i) Vi ham G 6 kỳ dị tại (0,0) , ta không thể lấy đạo hàm qua dấu tích

Trang 36

0 Re

+ [6.0 ie =H 0ay

Như vậy tạ, Du và tương tự u;, D, đều thuộc (R* x (0,+oe)), Bây giờ

ta tính toán như sau: ¡

u, (x,t) — Au(x,t) = f ƒ G(y,s) (2 — A.) f (e —y,t — s)] dyds

OR

+ [@0.90.z—=w.0)dy (2.17)

ss

=JJ@ (y,s) [((-2 - Ay) f (w — y,t — s)] dụds

+f fe (ys) [(-2 - Ay) f(@-y yt —s)] dyds+ JG (ust) fee 9,0) dụ

= [+J.+K

Theo bé dé (2.8) ta c6 dénh gid

II < (l~ + |Đ2/ly~) [ [Etsrautssec (28)

Bằng cách lấy tích phân từng phần và vì Ớ là nghiệm của phương trình truyền nhiệt ta cũng nhận được

xà [[ewa [(Z->)7«-»+-»] dyds (2.19)

+ ƒ Gữ,2)[ƒ Œ — 9,t = 9)]dự = Lous [Ứ Œœ —.0)] dụ

Trang 37

Kết hợp với (2.20) -(2.18) ta két luận un (2,1) ~ u(x,t) = lim [ews Uf (e—y.t—s)]dy ¿ =ƒ(9 (xeR°t>0) Khi đó IIw (.£)|[.,~ < lltƒll,~ —> 0 Khi đó ta nhận được công thức nghiệm uứ9= [ [G=wt—3)70s)ds+ [G9004 (2.20) của bài toán { u—Au=f, trong R" x (0,00), (221) u=0, trên R"x {t=0}

Với các điều kiện đặt lên các hàm g va f nhu ở trên

2.7 Nguyên lý cực đại mạnh của phương

trình truyền nhiệt

Định ly 2.4 Gia sit u € C? (Ur) NC (Ur) là nghiệm của phương trình

n nhiệt trong Ur

i) Khi d6 maxu = maxu Ur r

ii) Hơn thế nếu U liên thông và tồn tại một điểm (xo, yo) € Ur sao cho

maxu = u(zo, yo) Khi đó u là hằng sé trong U;,

Ur

Chiing minh

i) Giả sử tồn tại diém (9, yo) € Ur va u(x, yo) = M = maxu Khi 46

Trang 38

với mọi số r>0 đủ nhỏ ,E(zu,fạ,r) C Ur, ta sit dung cong thite gia tri chính để có ) owl —_ M= utente) = 5a ff mee) (o— 3)? |zo - yl? ——sdyds ~ ae ell, E(xosto:r) (to — 8)” 1

Dấu bằng chỉ xẩy ra khi œ đồng nhất bing M trong E (29, to,r) Suy ra

w(w,s) = Á với mọi (w,s) € E (zo.fạ.r) Vẽ một đường bất kỳ L trong Ur néi (xo, to) vi mot điểm nào dé (yo, so) € Ur véi so < to Ta xét

1g = min {s > so |u(x,t) = M, V(a,t) EL, s<t< to}

Vi wu 1A ham lien tuc nén cuc tiéu sẽ đạt được Giả sử rọ > sọ Khi đó w(zạ,rọ) = M véi diém (2,79) trén LO Ur, cho nén u = M trén

E (20,79; t) vai mois r > 0 dit nhé Vi E (20,7937) chtta LA{r9 — 7 St < ro} với số ø > 0 đủ nhỏ, ta nhận được mâu thuẫn Do dé ro = so va vi thé

u=M tren L

ii) Bay giờ ta cố định điểm z € U va 0 < t < to Khi đó tồn tại những diém {29,21, ,m = #} sao cho những đoạn trong JR" nối z¡ ¡ với x;

nằm trong U với

thể nối zọ bằng một đường Polygonal là một tập không rỗng, mở và đóng m (Có điều này vì tập các điểm trong U mà có

tương đối trong U) Chọn những điểm thời gian ty > ty > > tn = te Khi đó những doan 6 trong R"*! néi (x;-1, ti-1) véi (a), ti) (i = 1, ,m) đều nằm trong Ủr Theo chứng mỉnh trong Bước i) , ta c6 u = M trén

từng đoạn như thế nén u(x,t) = M

Chú ý Từ nguyên lý cực đại mạnh suy ra rằng, nếu U Ia tập liên

thông và u € C? (Ur) AC (Ur) 1a nghiem của bài toán —Au=0 trong Ur

u=0 tren OU; x [0,7] (2.22)

Trang 39

với g > 0, khi đó w sẽ dương ở khắp nơi trong Ưr nếu ø nhận giá trị đương

tại một điểm nào đó thu:

cực đại là định lý duy nhất nghiệm Ư Một ứng dụng quan trọng của nguyên lý

2.8 Nguyên lý cực tiểu mạnh của phương

trình truyền nhiệt

Dinh ly 2.5 Giả sử ứ € C? (Ưr) ñ1C (Dr) là nghiệm của phương trình

truyền nhiệt trong Ur

i) Khi d6 min = mịn ứ với Py là biên Ur

ii) Hơn thế nếu U liên thông và tồn tại một điểm (z,y¡) € Ứr sao cho

minu = u(x1,y:) Khi đó u là hằng số trong U;,

Ur

Chitng minh tuong tu nhu Nguyén ly cyte dai manh cia phuong trinh

truyền nhiệt

Định lý 2.6 (Nguyên lý cực đại của bài toán Cauchy)

Giả sử € Cÿ (R" x |0,7]) n1 C(R* x |0,7]) là nghiệm của bài toán Cauchy

u—Au=0 trong R"x (0,7) (228)

u=g trenR" x {t=0} :

và thỏa mãn điều kiện

u(x,t) < Ae°*Ủ (xe R",0<£<T), (2.24) với các hằng số A, a >0 Khi đó sup œ= supg Rnx(07] Re

Chứng minh

i) Trước tiên ta giả thiết rằng

Trang 40

Và trong trường hợp này tồn tại e > 0 sao cho

4a(T +e) < 1 (2.26)

Có định € R", > 0, ta xét

rán (+€R",£ >0)

“Tính toán trực tiếp cho ta vy, — Av = 0 trong R" x (0,T] Có định r > 0

va dat U := B°(y,r), Ur = B°(w,r) x (0,T} Khi đó theo (2.22) ta có v(2,t) = u(a,t) —

max v = max v Ur Tr (2.27) ii) Bay gid, néu x € R",

v(x,0) = u(x,0) — man <u(z0)=g() — (228) và nếu |# — g|—r, <£<T thì (2.24) ta có a 2 v(e,t) = u(x,t) = ape £n “" 1 (T+e-"” < Acai? eS ~ (T+e)"? , Theo (2.26) ta có thể chọn + > 0 sao cho qqtz = a +7 Vì thể ta tiếp tục tính toán và nhận được: v (2, t) < Acti)” — p(4 (a +7)" e(*2)"Ê < sụp g mm (2.29) 2.9 Định lý duy nhất nghiệm của bài toán đầu

Định lý 2.7 Tính duy nhất trên miền giới nội

Ngày đăng: 31/08/2022, 13:15

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN