CHƯƠNG MỞ ĐẦU
I-I Khái niệm về động lực học cơng trình
Mơn động lực học kết cấu cơng trình, hay gọi tắt là động lực học cơng trình, quan tâm nghiên cứu đến tác dụng của tải trọng thay đổi theo thời gian và thay đổi theo vị trí trên kết cấu cơng trình Trong phần tĩnh lực học kết cấu cơng trình, đã từng để cập đến tải trọng di động, nhưng thực chất chỉ nghiên cứu sự thay đổi vị trí của một nhĩm tải trọng sao cho ở vị trí nào đĩ thì tác dụng tĩnh học của nhĩm tải trọng đĩ là tác dụng hữu hiệu nhất, mà chưa xem xét và đề cập đến những tác dụng động học của tải trọng
Những tác dụng động học của tất trọng chính là nhiệm vụ nghiên cứu của mơn động lực học cơng trình Đĩ là tác động của lực quán tính, lực này phát sinh khi vật thể chuyển động, cụ thể như lực do trọng lượng bản thân kết cấu, của tải trọng đặt hay di
^ ^ ⁄4 ~ “ + 2 nx A 2 At ` ^ ⁄ 4 4A
động trên nĩ, cũng cĩ thể cả chuyển động của mơi trường ( như khơng khí, nước, động đất ) làm ảnh hưởng đến cơng trình Tuy vậy trong tính tốn thơng thường người ta hay bỏ qua lực quán tính hoặc chỉ tính gần đúng thơng qua hệ số động học Cĩ nghĩa là lấy kết quả do tải trọng tác dụng tĩnh gây ra nhân với một hệ số gọi là hệ số động học
Với sự phát triển của khoa học kỹ thuật, các cơng trình càng được xây dựng hiện đại hơn (bằng vật liệu nhẹ, thanh mảnh hơn, nhịp lớn hơn, hình thức đa dạng hơn), ti trọng tác dụng trên kết cấu cũng lớn hơn thì việc tính tốn động học của kết cấu cơng trình khơng thể bỏ qua mà phải được quan tâm nhiều hơn Mặt khác việc tính tốn động học khá phức tạp, địi hỏi cơng cụ tính tĩan mạnh Ngày nay đã được sự hỗ trợ hữu hiệu của các máy tính, cho nên nhiều bài tốn động học trước kia khơng giải quyết được thì nay
đã được giải quyết thỏa đáng
Đối tượng nghiên cứu của động lực học cơng trình khá rộng như :
- Động lực học của các kết cấu cơng trình giao thơng ( Câu, hầm, đường sắt,
đường ơtơ, sân bay, các loại máy dùng trong xây dựng
- Động lực học các kết cấu xây dựng nhà cơng nghiệp, nhà dân dụng cao tầng Các thấp nâng, tháp treo, tháp vơ tuyến
- _ Động lực học các cơng trình thủy điện, đập, đê chắn sơng
Động đất, chấn động của mơi trường
- - Động lực học các máy đặt trong cơng trình xây dựng ( Mĩng máy, cánh tuyếc bin, búa máy, nhà sàn )
- Động lực học của giĩ, nước
- - Động lực học của các loại kết cấu vỏ mỏng : Tấm, vỏ, vỏ tàu, máy bay, tên lửa Động lực học cơng trình trở thành một mơn riêng chuyên nghiên cứu ảnh hưởng của
của động học đến cơng trình từ những năm 30 của thế kỷ thứ XX, nhưng nĩ chỉ thực sự phát triển sau khi cĩ sự ra đời của các thế hệ máy tính điện tử Cho đến nay trên thế”
giới đã hình thành những trường phái nghiên cứu ở một số nước như : Mỹ, Nhật, Liên Xơ Tiệp, Đức, Ba Lan và đã được nhiều kết quả khả quan trên các lĩnh vực về nghiên cứu lý luận và ứng dụng
Trang 31-2 Các phương pháp cơ bản để giải bài tốn dao động cơng trình
Chúng ta nhắc lại hai dạng cơ bản là phương pháp tĩnh và phương pháp năng lượng
1- Phương pháp tĩnh
Trên cơ sở các phương trình tĩnh học quen thuộc (nếu là phẳng : 3 phương trình, nếu là hệ khơng gian : 6 phương trình) bổ sung các yếu tố tác dụng của lực quán tính Thí dụ : Đối với hệ phẳng : 2 d“X(t Sx - ym ow — ) 0 2y d“Y( 5 3 Y- yom _ ) =0 owl) Mu — > muy at? =0 Trong đĩ :
X(t), Y(t) Là chuyển vị tịnh tiến của khối lượng m theo phương trục X và Y
œu() Là chuyển vị xoay của khối lượng m quanh trục u (trục vuơng gĩc
với mặt phẳng x0y)
d?xX(t) - d7Y()
—m 5 ; —m.——>“
đt dt
Các thành phần theo phương X, Y của lực quán tính của khối lượng m khi chuyển động
2
Jm(u) [pudm
m
Moment quan tinh của khối lượng m đối với trục u, Pu là khoảng
cách từ phân tố khối lượng dm đến trục u : 2- Phương pháp năng lượng
Dựa trên cơ sở định luật bảo tồn năng lượng
K + U =Const
Trong đĩ : K— Động năng của hệ khi dao động
Trang 43- Ngồi các phương pháp trên, đối với từng bài tốn cụ thể, kết cấu cụ thể, tải
trọng tác dụng
Người ta cĩ thể giải bài tốn động lực học cơng trình bằng những phương pháp khác
nhau nhằm đơn giản hĩa quá trình tính tốn
1-3 Bậc tự do của hệ đàn hơi
Định nghĩa về độ tự do của hệ đàn hổi cũng tương tự như trong phần cơ học kết cấu,
chỉ khác ở chỗ ta xét trên khối lượng Do đĩ bậc tự do của hệ đàn hồi là thơng số độc
lập cần thiết để xác định vị trí của tất cả các khối lượng đặt trên hệ đĩ
Bậc tự do của hệ càng nhiều thì việc bảo tồn động học càng phức tạp hơn Những
Trang 6CHƯƠNG |
DAO DONG CUA HE CO MOT BAC TU DO
1-1 Phương trình vi phân tổng quát của dao động
Để thiết lập phương trình tổng quát của hệ cĩ một bậc tự do, ta nghiên cứu trường hợp sau đây : PtỊ a) a” x him = hah yee) ean YO pr by) R 4 ar, de "vì C) {f Hinh 1-1
Cĩ một khối lượng tập trung m
đặt trên dim giản đơn AB, coi dầm là vật thể đàn hồi và khơng
cĩ khối lượng Hệ chịu tác động
của lực kích thích thay đổi theo
thời gian P() Hình 1-1
Vị trí khối lượng m khi dao
động được xác định qua hàm số
y(Ð) với quy ước khi khối lượng m
chuyển vị xuống dưới là dương và
vị trí ban đầu của khối lượng khi
chưa dao động cĩ toạ độ y=0 Trong trường hợp trên dao động
của khối lượng m chịu tác dụng của các lực sau : - _ Lực quán tính của khối lượng Z=-—m.ÿ , lực này đặt tại khối lượng m - - Lực kích thích P(t) - Lực cản| R=Bÿ Trong đĩ : B (cịn gọi là lực phản hồi) : Hệ số tỷ lệ đặc trưng cho sự cần, đơn vị là Ÿ : Vận tốc của khối lượng m
Goi:
KN cm
6¡¡ là chuyển vị theo phương chuyển động tại điểm đặt khối lượng m do
lực đơn vị tác dụng tĩnh tại điểm đặt khối lượng m sinh ra
51p là chuyển vị tại điểm đặt khối lượng m do lực đơn vị tác dụng tĩnh tại
điểm đặt của lực kích thích gây ra Hình 1-1b và c
Nếu.coi chuyển vị của hệ là nhỏ, áp dụng nguyên lý cộng tác dụng ta viết được phương trình chuyển vị y(1) của khối lượng m như sau :
y()=ð11.Z— oy ¡R+ Ơ¡p.P() Hay
Chia hai vế cho m.ỗi¡, sau khi biển đổi ta cĩ :
Trang 71-2 Dao động tự do khơng cĩ lực cản và cĩ lực can
1- Dao động tự do khơng cĩ lực cần
Đao động tự do (hay cịn gọi là đao động riêng) của hệ là dao động sinh ra bởi một lực kích động bất kỳ tác dụng trên hệ rồi ngưng ngay tức thời
Từ phương trình q- 1) viết được phương trình vi phân của dao động tự do khơng cĩ luc can: y + œ2 ‹y =0 (1-3) Đây là phương trình vi phân cấp hai khơng cĩ vế phải và cĩ hệ số là hằng SỐ c Nghiệm của phương trình (1-3) cĩ | a_] dạng : =Dp~——— = Á,cosøt + B.sinof (1-4) _ ye) eo A, B là những hằng số tích phân, xác định bằng các điều kiện ban đầu
Đạo hàm bậc nhất của chuyển vị y(t) Hình 1-2 theo thời gian sẽ cĩ được vận tốc của
khối lượng m
ÿ(£ = v=—0@.A.sinœt + œ.B.cosœt (1-5)
Khit=0;y=yova Y = Yo=Vo
Thay các điều kiện trên vào phương trình (1-4) và phương trình (1-5) cĩ được :
Vậy phương trình dao động cĩ dạng :
v ` -đ1-
ÿ=Yg.CoS@f + ——>sinœt (1-6)
@
Phương trình (1-6) cho thấy dao động của hệ cĩ hai thành phần : Dao động phụ thuộc
chuyển vị ban đầu yạ của khối lượng tỷ lệ với hàm cosot, và đao động phụ thuộc tốc độ
ban đầu vụ tỷ lệ với hàm sinot
Hình 1-3 cho thấy chuyển động của khối lượng m theo thời gian t
Trang 8
Hình 1-3 Hình 1-4
_„Nếu biểu diễn dao động bằng véc tơ quay (Hình 1-4) Trên hình biểu thị véctơ OA cĩ độ lớn bằng y¿ quay quanh điểm cố định O với vận tốc gĩc œ khơng đổi ( œ gọi là tần số gĩc của dao động) Nếu ớt thời điểm ban dau (t=0) véctơ OA trùng với trục y, thì ở th thời điểm bất kỳ t véctơ OA sẽ hợp với trục y một gĩc là œt Hình chiếu của véctợ OA lên trục y là OA¡ = yo.cosot chính las số hạng đầu của biểu thức (1-6) véctd OB c6 dé l6n V,/m va vudng goéc véi vectd OA , hình chiếu của véctơ OB lên
trục y là OB¡ = Vo sin wt chinh là số hạng thứ hai của biểu thức (1-6) a
Chuyển vị tồn phần y của khối lượng m dao động trí trên trục cy được xác định bằng tổng hai hình chiếu của hai véctơ vuơng gĩc với nhau OA và OB cùng quay với vận tỐc gĨc œ @ cling nhan được kết quả như trên nếu xết vì véctơ oc (Tổng hình học của hai véctơ OA va OB và lời giải là hình chiếu của oc trén trucy
Trang 9dạng T1 =a.cos| ot —| ——À ( J Hay y= a.sin(wt + ^) (1-9) Trong đĩ : )=arctg Yo® (1-10) Vo
Cac dai lugng a; A 1a các hằng số phụ thuộc điều kiện ban đầu của chuyển động So sánh hai biểu thức (1-6) và (1-9) ta thấy tổng của hai chuyển động đơn điều hồ là một chuyển đơn điều hồ
Độ lớn của véctơ oc là a được gọi là biên độ dao động ; ^ là gĩc lệch pha giữa hai dao động biểu diễn trên hình 1-3b và 1-3c cịn g là độ lệch pha của dao động trên hình I-3a và 1-3c E tm =— Là thời gian lệch nhau giữa hai tung độ cực đại của dao động trên hình @ : }-3a va hình 1-3c
Ta cũng thấy khi khối lượng m chuyển vị xa vị trí cân bằng nhiều nhất, tức là đạt
biên độ y„„„ thì khi đĩ vận tốc ÿ==v=0Ú_, cịn khi y = 0 thì Y=Vinax - Hay nĩi
cách khác khi thế năng bằng khơng (m ở vị trí cân bằng y = 0) thì động năng cực đại, động năng này làm khối lượng tiếp tục chuyển vị, chỉ đến lúc động năng giảm bằng
khơng (v= 0) thì thế năng lại đạt tới cực đại quá trình cứ thế tiếp diễn
Dao động chúng ta đang khảo sát là dao động điều hồ Sau đây ta xét các đại lượng đặc trưng của dao động trên, đĩ là tân số và chu kỳ đao động
Chúng ta nhắc lại vài định nghĩa sau :
Trang 10a- "Tần số vịng của đao động riêng : | | | g lg O= = |———= | —S= (1⁄) (1-11) mơi WPðIi Vy¥t Trong đĩ : g: Gia tốc trọng trường ®m/s?)
Trang 11Muốn xác định giá trị tạ xác định toạ độ thời gian xảy ra chuyển vị lớn nhất của khối lượng m ta thiết lập Ymax =A.sm(@fm +À)=a 7 Vay @.†m +À=— 2 l 1T 474 t =—(— A)=— Do đĩ 1m œ `2 "Thí dụ 1-1: Xác A inh ta wong va chu ky dao déng riêng của đầm trên hình 1-6 Cho P=0,75kN; /= 1m; i = 4x4cm; E=2,1.10! kN/cm? ; g=981cm/s” P LF 77? city — lL—~—=———— 2 4 ) ee Hinh 1-6 Chuyén vi tinh tai điểm € theo cách tính thơng thường ta cĩ được : _ 3 2 2t 556 EI P Vay ø= [& = [ogy 256 2110-213 4 _ 39 6 vt 3 100°.0,75 Chu kỳ dao động riêng : _ 2m _ 2.3,14 <= 0,089 = (s) o 70,6 s1 Thí du 1-2 :
Xie nh tần số, Chủ Kỳ dao động và chuyển vị cực đaằcủa khối lượng ở đầu
thanh (hinh 1-7) P = 3,5KN; /= 1,50m; J=2140cm‘; E=2,1.10* kN/em’ Tại thời gian
Trang 12iz Chuyển vị tĩnh tại đầu thanh do lực đơn vị tác dụng _ 0ø 150 3B 3.2,1.107.2140 + Tân số vịng : 1 g o= m.Ơ11 " P.O44 wy |” t te 2 + ] 981 1 N | M ¬ Ý3,50.0,025 6) ` Me 511 =0,025 (cm/kN) _+ Chu kỳ đao động : | 09-0 I™99 T = 7 = 2.3,14 =0,0602 @) (0 104,5 + Tần số đao động : | Hinh 1-7 p = 1-1 16,6 571) T 0,0602 + Biên độ dao động : 2 (ve 2 (108 \ =a= +|-#| =,l1,2“+ = 2,1 Ÿ max Yo 2 Ga) ,l(cm) 1-2 Dao động tự do cĩ lực can
Trang 13Vậy nghiệm của phương trình (1-17) cĩ dạng tổng quát | 2 2 y= c “cục “=0 4 + ce Wo) (1-19)
Nghiệm của phương trình (1-19) rõ ràng phụ thuộc quan hệ tỷ lệ giữa œ và œ Tuỳ theo độ lớn của œ và œ sẽ xảy ra ba trường hợp sau đây : a- Trường hợp lực cần nhỏ (œ < @ ) Đây là trường hợp thường xảy ra, khi đĩ nghiệm Sj2 = -ati @“ —œ2 Goi] @, =Vo? -a? S12 =-Qat 1.01 Phương trình (1-19) cĩ đạng :
y= et (Cy eh 4 Cạ„e E914)
Nếu thay : el'®1'Í = cos M@,t + isin @,t
, va e bl! = cosajt — isinayt
Thì cĩ thể viết phương trình (1-19) dưới dạng :
y =e (A.cosw t + B.sina;t) (1-20)
| Trong đĩ: A = C¡ + C¿ và B = i.(C¡-C;) là các hằng số tích phân xác định - từ điều kiện ban đầu t=0 3® y=yo; ÿ = ÿoc=vVọ Vận tốc của chuyển động
at
V=y = ~a.e “ (A.cosat + B.sina,t)+ eo wy (- A.sinoyt + B.cosa)t)
+
Hay v=—ơy +e" #!ø¡ (— A.sinoit + B.cosøit)
Trang 1414 Hay - Vo +a : y=e “vu eosn an" 1 - _ Số hạng thứ nhất tỷ lệ với coso¡t chỉ phụ thuộc chuyển vị ban đầu yụ (1-29
Trang 15+ Chu kỳ dao động : 2m _ 21 Tị= (s) 1 lo? a2 + Tần số dao đồng : 2 2 1 @ wo” —O fÍ=—=——=——— (1/s) T on 27 + Tân số vịng của đao động tắt dần : @0¡ =Ÿ.2m (1/5) Dao động riêng tắt dẫn là một dao động điểu hịa Nhưng biên độ thay đổi theo thời -œt ~ av a a w ~ A
gian C.e và tắt dân theo quy luật số mũ âm
Để nghiên cứu độ tắt dẫn ta xét tỷ số giữa hai biên độ chuyển vị của khối lượng cách nhau một chu kỳ T; Yn _ Ce“ sin(a;t + @) Yn+1 Ce HTD) sinfo (t+ T;)+ 1 1)T0 Ký hiệu = —at e _ 0T elt + Ty )— Suy ra: ay = Yn ex Yn+l
Trang 1616 Ảnh hưởng của lực cẩn tới chu kỳ dao động Ta cĩ chu kỳ dao động tự do : 12% Oo Chu kỳ dao động cĩ lực cần : T _ 21 — 21 _ 218 — 1 1 | l2 _ œ2 oO | (2) @ T 2 a I- E oO
Trang 17ð} ty cg | U, tụ | ` ¿+ tạ] t 0 I | Un i en Hinh 1-9 c- Trường hợp ơ = œ Khi đĩ phương trình đặc trưng cĩ nghiệm kép : S12 =—ƠŒ Nghiệm cĩ dạng : y=e ®#! (Cit+ C2) (1-25)
Đây cũng là chuyển động khơng tuần hồn như trường hợp b
Qua khảo $át ba trường hợp nĩi trên, trường hợp b và c coi như khơng xảy ra dao - động và trong thực tế hai trường hợp này ít xảy ra
1-3 Dao động :ưỡng bức trong trường hợp tổng quát
Phương trình vi phân tổng quát của dao động (1-1) đã được thiết lập trong mục 1-1 ÿ +20.ÿ + @“.y=@.ð¡p.P() 1- Trường hợp lực cần nhỏ (œ < @ ) Nghiệm riêng cia phương trình (1-1) cĩ dạng : —œt _= Qa V „ y=yo.e"#t,(cosøœit +——sinoit +—®>.e"“”.sin@1Ð) (1-26) @I 4
- _ Số hạng đầu là dao động do độ lệch yạ so với vị trí cân bằng Số hạng sau là dao
động do ẩn 1 hưởng của vận tốc ban đầu vọ
- - Lực kích thích P(t) sé lam cho chuyển vị cĩ thêm một số hạng nữa
Xét tại thời điểm r bất kỳ ở trong khoảng thời điểm 0 và t nếu trong khoảng thời
gian dr thì lự: kích thích sẽ làm cho tốc độ v cĩ gia số dv, chính dv sẽ làm cho
Trang 18_ a, Vo -at dy =ds y Yo y,.e7™ (cosa t + —.sinwt) +~2.e- sinoit Han 1 0; 1 dv + — 7 HED sine, (t— +) 4 a) j— io) P -O5 en — ~ “ „ử = =1 Dip eo “Af Hinh 1-10 Aip =P.8ip Va Aip =P.51, 5 Suyra: P=p,—le O11 Vay: S=P(t).dt=P(t) we dt 11 Hay: (1-27) Cần xác định số gia vận tốc dv Giá
trị xung lượng do tác động trong
khoảng thời gian đĩ sẽ bằng biến
Trang 19_ a Vo _-at _; dyn dlyoe “! (cos@ t +—-.sinw)t) +—%.e * sina} O} Oj} 2 + O° OP peg) e-At-) sin@,(t— t).dt 1 Lay tick phan cta biéu thức trên từ t = 0 đến + = t; ta cĩ _ a, Vo _-at : y=Yo.e ™ (cosa it +—.sin@;t) + -2.e™" sin w;t @4 @] 2 t (1-30) @“.ð —œ(t—t) -¿ + ——lE [P(t).e a(t sina (t —%).dt G1 0 ; Hay @2ð¡p | y= ae ø SIn(@1f + @)+ ——,g [P().e"#6~Ð,sin @1(t—1).dt | (1-31) Oy 0 Với | a) ax ; va tgo = _Tor0®1 _ Vọ +Œ.VYo 2- Trường hợp lực cần lớn ( œ > œ ) Phương trình cĩ dạng : y= ae oH st{ Yo? — œ2 t+ 0] 2 t @_ŠIp [P(esa~Ð shÍ ¥ œ2 —œ“(t- cde] (1-32) 3- Trường hợp ( œ = œ ) t y=ae “(Ast +Bg)+@7.Syp [P(e CO (t-a.dt 1-33) 0 * Chú ý :
Trang 2020
1-4 Dao động cưỡng bức cĩ và khơng cĩ lực cản chịu lực kích thích
tudn hoan P(t) = P.sin rt
1- Trường hợp khơng cĩ lực cần
a- Phương trình dao động
y + wy = 0” 51p P(t) (1-34)
Từ kết quả đã thiết lập cho trường hợp dao động cưỡng bức khơng cĩ lực cẩn và thay P() = P.sin rt; œ = Ư ; œ¡ = œ sẽ nhận được nghiệm của (1-34) t y =A.cosot + P.sinat + P.dyp.0 [sin w(t = T).sinrt.dt 0 - Lấy tích phân số hạng thứ ba trong cơng trức trên ta cĩ Ễ ¬ 0) rs, [sin w(t — t).sinrt.dt = 0 oO 2_ —T 2 (sinrt — —.sin@t) © Vo+Œ Thay vào nghiệm của (1-34) và chú ý A=yo;B= To T920, sẽ nhận được : 4 Vo: P.6 TL, ÿ =ÿg.cosòft +— sin@t +———E~(sin rt — —.sin œ£) (@ r? (œ In Hay ®
Vo P.oyp r P.O
y=y COS@f + —>.Sin@t — 0 œ r2 0 Ip sinot + ——2_ sinrt r2 (1-35)
— l——>
wo” œ2
Hai số hạng đầu của (1-35) phụ thuộc điều kiện ban đầu yo ; vọ của hệ và cĩ tần số của dao động tự do nếu yạ = ; vọ = 0 thì hai số hạng đĩ khơng tơn tại Số hạng
Trang 21Thy túch Pỗp = yy
(hình 1-11) là chuyển vị tại khối
lượng m do biên độ P của lực kích thích tác dụng tĩnh gây nên, ta sẽ viết được : tk l ¬ 0 Url, y= yt > (sinrt - —.sinot) "= 2 » (1-37) + Dễ nhận thấy dao động cĩ hai thành phần, một phần dao động với tần số lực kích P(t) = Psiort ty I 3 È i} nfm tis by =a, Hinh 1-11 thích r và một phần với tần số dao động tự do ø
Một điều cẩn chú ý là phần dao động riêng (số hạng thứ hai trong cơng thức) khi cĩ
lực cẩn dù nhỏ cũng sẽ mất dần sau một thời gian dao động Sau đĩ hệ sẽ chuyển sang
Trang 2222 Ka == ! 5 (sinrt — —-sinot) (1-39) a ® wo”
Trường hợp r = œ tức là tần số của đao động tự do bằng tần số của lực kích thích
lúc này xuất hiện hiện tượng cộng hưởng
Tìm giới hạn của hệ số động bằng cách áp dụng qui tắc Lơpitan ta cĩ : 1 tcosrt — —sInœt LimKg = ——— = —(sin@t — at cosat) ro _ = 2 @- r= Biéu dién ham sổ in @t—q@t.cos@t) trén hinh 1-13 | Hinh 1-13
Cĩ thể thấy hệ số động sẽ tăng lên vơ hạn theo thời gian nhưng khơng xảy ra tức
thời mà địi hỏi một thời gian nhất định
| Biên độ lớn nhất của chuyển động xuất hiện khi [sin rt| =]
» 1
Trang 23
5 | (1-41)
Hình 1-14 biểu diễn quan hệ của hệ số động theo r/o
Rõ ràng Kụ rất nhạy thay đổi với tỷ số r/œ thay đổi, khi r = œ hay r = œ thì Ka sẽ tăng
Trang 24Cĩ hệ số động ta cĩ thể chuyển bài tốn động về bài tốn tinh Vi du chuyén vi yg của khối lượng m lực bất lợi nhất ok Ya =Yt-Kg Tương tự cho nội lực và ứng suất : Mg =M,.Kq 3 Qa =Q;-Kg Og =0;.Kg >; tg =T-Kg c- Hiện tượng phách Khi r @ tức r/@ = Ì ;œ +r=2@œ= 2r Do đĩ @ˆ — rˆ = (@ + r).(@® — r) = 2@.(@ — r) Thay các quan hệ trên vào phương trình (1-39) ta cĩ : * 02 r y=ÿt a (sinrt ——sin@t) @“ —F @ 2 ® ~ y= Yi 5a — (200s re tsinh—°t 20(@ — r) 2 2 |T—0œ (0.SIn t 2 _ Y=Yt- (o - r) .cosrt * | (r-o Ky hiéu}| A(t) =y; San 2P] là biên độ của dao động thì: Œ®-T y = A(t).cosrt (1-42) Chu ky ctia bién d6 dao déng A(t): ; T, = 2n AN A r—(0 r—q@ (1-43) 2 Chu kỳ của dao động : 2m T= T Ta thấy TẠ >>T
Như vậy khi r + œ thì phương trình dao động cĩ dạng theo cơng thức (1-42) Khi đĩ các biên độ dao động biến đổi theo chu kỳ TA Hiện tượng này là hiện tượng phách
điểu hồ của dao động Hình 1-16 biểu thị chu kỳ Tạ
Hiện tượng phách cũng xảy ra khi hệ chiụ từ hai lực kích thích trở lên và cũng cịn
Trang 25Hình 1-16 | 2- Trường hợp cĩ lực cần a- Phương trình dao động vẻ 2-2 Hi ÿ +20.ÿ +@“.y=œ“.ðip.PsInrt (1-44) Nghiệm cĩ dạng : y= yi + Yo (1-45) Trong đĩ :
- vị : Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân thuần nhất (Cũng chính là nghiệm của phương trình vi phân của dao động tự do) Khi œ < œ thì :
y, =e" (A.cosa@;t + B.sint) (1-46)
0, = œ2 —_ œ2
- yz: Nghiệm riêng của phương trình vi phân cĩ vế phải cĩ dạng
Y2 =C.cosrt + D.sinrt (1-47)
Tiến hành theo cách giải phương trình vi phân cĩ được nghiệm tồn phần sau :
y=e?† (A,cos0t+ B.sinœ¡£) + C.cosrt + D.sin rt Trong đĩ : @Z.ỗp.P.20.r lo? - 2Ƒ +407 17 (1-48) D=- o2 8ip.P|oˆ — r7 lo? — 2Ƒ + Ao? x?
Số hạng đâu chứa phần tử e “ biểu thị dao động tự do tắt dần Hai số hạng sau biểu
Trang 2626 Nếu biểu diễn nghiệm theo hằng số tích phân khác với : a=VD* +C? C và tgÀ= "D Thì nghiệm tổng quát cĩ đạng :
y= e tt (A.cos@ 1t + B.sin@;t) + A.sin(rt — A) (1-49)
Xác định hằng số tích phân A; B từ điều kiện : t=0;y =yo và Y=Yo=Vo Sau khi tiến hành dao ham và biến đổi, cĩ được : A =yo +a.sinÀ (1-50) B=Èo9 + Yo.Œ + œ.a.Sin,— ar COSÀ, @1
Thay vào nghiệm tồn phần cĩ được :
_ Vọ +Œ.Vo + Œ.A.SInfrf — arCOSI(
Trang 27Như vậy dao động của hệ gồm hai phần : Một phần dao động riêng với tần số œ\,
một phân dao động cưỡng bức với tần số r
Phần dao động riêngsẽ tắt dân, do cĩ hệ số e* Ì thời kỳ ổn định sẽ cĩ : ‡ + Yt Y Foo” 2, Aa” 1? q- “+ wo” wo sin(rt — A) Daodéng ty oo LÏNjuuwyzr yee VW .Đoo động cươap tức LA [\ 4 VW VS MY h Dao dong foonphan ic \ (\ dao động _cĩ lực cần ự ÿ Ư Hình 1-17 b- Hệ số động SIn(Ft — À} _ a.sinA —rcosr +e) sind.cos@ st + ———_— ' Œ@®J 2œ Với : Y=—— @ Cơng thức (1-56) cĩ thể viết dưới dạng khác nếu đặt : 27m T= - : Chu kỳ đao động riêng khơng cĩ lực cẩn 21 Tp = ¬ : Chu kỳ đao động của lực kích thích sin or] vi vậy khi đao động cưỡng bức ở (1-55)
Hình 1-17 cho thấy quá trình va dang
Nếu cho œ = 0 (Khơng cĩ lực cần) thì
sẽ nhận được kết quả như ở phần khơng
Trang 28Hệ số động cĩ trị số lớn nhất khi |sin(rt — A)| = 1 Ị t Kg= xơ 72 (1-57) (di - =x) + t” a Tổ Tổ Khi đĩ dao động riêng đã tắt - Trường hợp cộng hưởng ( r = œ ) Khđĩ T=Tp 1 y 20 Rõ ràng khi œ = 0 thì Kạ= 0
Trong thực tế œ # 0 cho nên Kạ # œ, tuy vậy người ta thiết kế tránh cho hai tân số œ
và r trùng nhau để tránh cho hệ số động Ku tăng lớn nhanh đột ngột
Trang 29c- Hiện tượng phách
Khi cĩ hiện tượng phách xảy ra phương trình dao động cĩ dạng :
œ r—Q)
y= a(l—e7“) sinrt + 2a.e7 t sin( ).tcosrt (1-58) Số hạng đầu biểu thị dao động cưỡng bức khơng cĩ lực cần, số hạng thứ hai biểu thi
đao động cưỡng bức cĩ luc can cĩ biên độ :
-gt T0 A(t) = 2ae ot sin 5 lt Chu kỳ biến đổi của biên độ A(Đ là :
27 An
Ta = =
PTOl T0
2
cịn chu kỳ của dao động là T = 27 so sánh thấy TA > T
Trang 30CHƯƠNG 2 DAO ĐỘNG CỦA HỆ CĨ MỘT SỐ BẬC TỰ DO 2-1 Phương trình vi phân tổng quát của dao động Xét một đầm cĩ n khối lượng tập trung, bỏ qua kích thước của khối
pe) 4œ) lượng và trọng lượng bản thân
m ˆ mm Can Hệ xem như cĩ n bậc tự do
xảma |, ## LAN 4 TK beh các lực như hình 2-] Hệ dao động dưới tác dụng của
} BK - Lực quán tính đo các khối lượng
‡ R dao động |
- Lực cần đặt tại các khối lượng
- = Lực kích thích
_Hình 2-1 (
Ký hiệu Z2 =~ mự.Ÿ (Đ) lực quán tính do khối lượng mạ dao động R¿@) : Lực cần đặt tại khối lượng my q(t) ; P(t) ; M(t) cac luc kích thích Theo nguyén ly Dalambe phuong trinh chuyén động của các khối lượng cĩ dạng : Yq (t) = 844 |z4(t) — Ry (t)] + 8x9 |z9(t) —Ro(t)]+ + Sn [zn (t)-Ry(t)]+ Ap) = 0 (k=1,2,3, ,n) (2-1) Trong do:
- Ski : Chuyén vi cla khéi lugng my do luc don vi dat tai khdi lugng m; theo
phương chuyển vi y; gay ra
- A(t) : Chuyển vị của khối lượng my do các tải trọng qŒ), P(Œ€), M() gây ra ( coi mụ = 0) Thay gía trị các lực quán tính vào và biến đổi, ta nhận được : yx(Ð~ơgi|— mị ÿ¡(Ð ~ Rị(Đ]— ðk;.|— mạ.ÿ2(Ð = Ra(Ð] — —Ưkn [- My-¥n(t)—Ry (ĐÌ- Axp(t) = 0 Hay: V(t) + Sy fmy.F7(t) + Ry (t)] + So [4+ mg.¥2(t) + Ro(t)] + +ðn|mn.ÿn(+Ra(@]—-Akp() = 0 (n=1,2,3, n) (2-2)
Biểu thức (2-2) là phương trình vi phân tổng quát của dao động hay phương trình
Trang 31
- Tru@éng hgp khéng xét lve can
Ye (t)+ Oj ry Fy (t) + Ơya.m2.Ÿÿ2(t)+ + Skn My Y(t) — Akp (t) = 0
(k=l,2,3, ,n) (2-3)
- Trường hợp xét dao động tự do (khơng cĩ lực kích thích) thì số hạng
Axp(t) = 0 trong cdc biểu thức trên
2-2 Dao động riêng của hệ cĩ một bậc tự do
1- Phương trình vi phân của dao động a- Khơng cĩ lực cần yy()+ mị.Ơk1.Ÿ¡(Ð) + ma2.ðk2.Ÿ2() + +mn Okn Y(t) = 0 (k=1,2,3, ,n) (2-4) Gia stv nghiém tong quat cộ dang : n Ơô(= Vy (o) (2-5) i=] Với các nghiệm riêng cĩ dạng Yg¡() = yk¡.Fị(Ð (2-6) (i =1,2,3, ,n) vụ : Các hằng số chưa biết
F(t): Cdc ham số theo thời gian t chưa xác định
Xét một nghiệm riêng thứ ¡ tương ứng với các khối lượng ta viết được :
yi) = yy)
ya) = yojFO (2-7)
ee ee eee er) Yn) = yoi-RO
Biểu thức (2-7) cho thấy tỷ lệ giữa chuyển vị của các khối lượng khơng phụ thuộc vào thời gian và là một số xác định Đường cong tạo bởi các tung dO yy, Vat ey Yni la
đường cong đàn hồi của dầm và là dạng chính thứ ¡ của dao động riêng
+ mia
4s, a
nn an
Trang 32
Thay vào phương trình (2-4) nhận được
vkiŒ)+[m.ðki.yqi + mạ.ỗw2.y2¡ + + mạ,ỗkn.yn¡ LẾ¡(Đ = 0
Hay |
Fi) _ Yki
F; (t) mỊ.Ơk]-Y1i + + mn.Ơkn -Ÿnị
Và là một đại lượng khơng đổi Trong đĩ phần bên trái phụ thuộc thời gian t Phân
bên phải phụ thuộc vào vị trí và trị số của các khối lượng Đặt gía trị của mỗi vế của biểu thức trên bằng một đại lượng khơng đổi + œ”,, vì dao động riêng là điều hồ nên lấy - (02; Ta viết được : (2-8) F(t) + o?.F.(t)=0 (2-9) Và mỊ.Ơk1-Y1i we + +My Sen Yni we —Yg¡ =0 (2-10) Phương trình (2-9) cĩ nghiệm H¡(Œ)= A¡.sin@¡t + P¡.cos @¡t Hay F,()=A, sin(@¡t+Aj) (2-11) Với A =JjAf+BỆ_ ¡ - ti =< i
Biéu thifc Fi(t) biéu thi hàm tuân hồn cĩ tần số vịng thứ ¡ của đao động riêng ø/
và pha ban dau 1a Aj
Trang 33(mụỗ¡¡.— u¡ )y1¡ + I2.Ơ12.Ÿ2¡ +e + My-Oin-Y nj = QO
IH1.Ư21.Y1¡ + (m¿ỗ22T-ujÌy2¡ + + mn.Ư2n-Ynị = 0 My -On4-Y jj + H2dƯn2Ÿ2j — + (mn.ỗnn-uj)yn = O
(2-13)
Đây là phương trình cơ bản của dao động riêng : Điều kiện tổn tại nghiệm là định
thức của các hệ số của phương trình phải bằng khơng : mơii.oŸ — 1} mạ.ỗ2.Đ£ mạ.ỗịn.0Ÿ D _ m,.691 a? mM 699 we — 1 " mn.ỗ2n we =0 my 8p]; mọ.ồn2.0{ lm San o? 1 (2-14) Hay (m5; — u¡) I2.ƠI2 sae mn.ƠIn D= my (m7 899 — Uj ) _ mn.Ư2n =0 mị.ỗnỊ mọơn — (mạ.ỗõnn — u¡ ) (2-15) Giải hệ phương trình trên ta sẽ cĩ n nghiệm u¡, u¿, uạ và tương ứng cĩ được một
phổ các tần số dao động riêng œ¡ , @2, Op Trong đĩ œ¡ là tần số dao động riêng thứ nhất hay tân số cơ bản
Phương trình (2-14), (2-15) được gọi là phương trình tần số hay phương trình thế kỷ Cĩ các tần số dao động riêng ta sẽ cĩ các đạng chính của dao động
Xác định phương trình chuyển động tổng quát của khối lượng từ các cơng thức (2-7)
và (2-11) sẽ viết được phương trình chuyển động của các khối lượng ứng với tân số œ;
‡
5
yụ() = yị¡.¡ -sin(@;t + À¿)
ey
yoi(t) = yo;-Aj.sin(@jt + Aj)
aoe eeens =o ete tem ee ere mn eanes ceeerenee (2-16) >< 2 ^^ — `— il wed a > mete ye a —=- = ^^ © T— + oa — 2 .Ố Yni(t) = Yni-Aj sin(@jt +Aj)}
Thay vào nghiệm tổng quát (2-5) ta cĩ :
Trang 34"oy yK(t) =D yig-Aj sin(o;t +24) (2-17) i=] Đặt: dụ = 2H (2-18) Y1i k=1,2,3, ,n chỉ thứ tự khối lượng mẹ i=1,2,3, ,n chỉ thứ tự tần số riêng ø;¡ * và đặt C; = Vid ¡ ta lại CĨ : n Yx(t)= 3_Hr¡.C¡.sin(@¡t + A;) (2-19) i=l Đây là phương trình tổng quát của dao động tự do tại khối lượng m, - Xác định C; và À¡ Đây là các hằng số phụ thuộc vào điều kiện ban đầu của các dao động tự do Khi t=0 taco: n | yx (0) = Ð_Hk¡.C¡.sinÀj (2-20) i=l n y (0) = v;,.(0) = 3 _Hri.C¡.0¡.COSÀj i=l (k=i,1,2, ,n) từ 2n phương trình trên sẽ xác định được 2n trị số của C¡ và ^¡ - Xác định tu TY [yy = Yi ta cĩ py =~ 1 Yi
Hệ phương trình chính tắc (2-12) ta chia tất cả cho y¡¡ sẽ cĩ n phương trình chưá các hệ số tự , nhưng do tị; = 1, vậy chỉ cịn tìm (n-1) hệ số cịn lại do đĩ chỉ cần phải giải
(n-1) phương trình bất kỳ của phương trình trên : b- Cĩ kể tới lực cẩn
Coi lực cẩn tỷ lệ với vận tốc :
RŒ)=Bk.ÿ()
Phương trình vi phân của dao động riêng cĩ dạng :
y(t) + Bq [ny 1 (0) + By 1] + + Sin Ln Fn (O + Ba In (O]=0
Nghiệm tổng quát và nghiệm riêng cĩ dạng :
n
Yk (= Dyn (t) và - ygi()=ykiR;Œ)
Trang 35Sử dụng phương trình cho nghiệm thứ ¡ Yk¡.H¡(Ð) + mị OY lđ (t) + ¬ t»n " + J (2-21) +My -Okn lđ (t) + T—đ Oy =0 n Gọi Bị / m= hằng số = 2œ thì phương trình (2-21) sẽ cĩ dạng : E; (t) 124; (t) _ Yki
F; (t) _ mỊ.ƠMYli mm +mn.Ơkn -Yni (a) Cho đẳng thức này bằng = — œ'; ta nhận được :
F(t) +2.0.F,(t) + o? F(t) =0 (b)
` 2 2
Và md, OF Vj ben +My Oy -OF Yni ~Yki =0
Nghiệm của phương trình (a) cĩ dạng :
Trang 36IV 5 = 4 6 Đụ mụ, E7=(041† II— Mạ Mạ — 629 = 243 Ey th pp ¢ ohn rho st = 7Ø b) GO Ti) by TT ”P 612 = 821 = Mj.Mg =——.— 486 EJ | 3 z={
c) 8, en Thay các giá trị 811 , 822 , 612 = 52) vào
ze phương trình tần số và khai triển ta cĩ : Hình 2-3 uZ — u.(mi ƠI] + m2.ð22) + mị.m2.(ỗ11.Õ22 — 87>) = () 2 2 2 40 (4 2 7 Ø3 u —u.m.2.—.—+m | TT — | ———,—— =0 243 EJ 243 EJ 486 EJ Hay _5 me "162" EJ 1 m0 ? 486` EJ Suy ra: o, = [E =596 [= uy mh.£ — Dang dao động của dầm ứng với tần số œ;¡ (hình 2-4) Y11Œ)= Y11.Ậ1.sin(@1t+ À1) * ,
y21(t) = Y2I Ay SII(@1f + À1)
— Dang dao động của dầm ứng với tân số œ; (hình 2-5)
¥12(t) = y17-A9-sin(wzt — A2)
Trang 37Vn Em at 77M mm ty io ¬ — Y Sey Yi Hinh 2-4 Hinh 2-5
— Phương trình dao động tổng quát của các khối lượng cĩ dạng YỊ =H4¡.C1.sIn(@1f + À1)+ H12 C2.Sin(@2† — À2) (a) Y2 =lH2I C;.sin(@,t +ÀJ)+ H22 C2.sin(@2f — À2) Tính các hệ số pw: y Mịi =“# =1 YỊi và từ hệ phương trình chính tắc ta cĩ được : 2 2 (mị.Ð11.@ƒ —1) +m 517.0; 21 =0 2 2 (6) mỊ.Ð21.@ƒ + (m2.ư22.0ƒ — 1).H2 =0 Suy ra: 2 2 _ #2Ị ẻ - a m,.521-07 7 7 = 5 Y11 m 617.0j m.677.0] —1 - Xie dinh Cy, Co, A, 22 Ở thời điểm t = 0 cĩ : y¡(@=y¡()_ ; ÿ¡(@)=v¡(0) ya@=y¿()_ ; y¿()=v¿(0) Từ (a) ta cĩ được : y(t) = @y.Cy.cos(@jt + À1) + œ2 C2.COS(002f — À2) ÿ2(Ð =H21.01.C COS((1{ + À1) +22 02.C2.COS(02f ~ À2)
Thay các biểu thức trên vào các phương trình điều kiện ban đầu khi t = 0 để xác định
Trang 38Thí dụ 2-2 : Xác định tần số dao động riêng của dầm liên tực cĩ hai khối lượng tập trung m;= mạ =m (hình 2-6) Hệ cĩ hai bậc tự do nên phương trình tần số cĩ dạng như đã viết ở thí dụ 2-1 4: it 1 ar 2 ne List Theo cách tính ở cơ kết cấu cho đấm liên tục cĩ : = consf Ps SS} (ty) _ , _Ắ€) 23£3 CC ay ea ne 6 = 6 =————— CH”22 1336gJ 3 Hình 2-6 30 912 = 021 =~ By Thay vào phương trình tân số, khai triển và giải phương trình bậc hai ta nhận được m.£ 1 |48EI u=7o 48.EJ CY = J =] FZ uy m.¿3 7.m.£3 "_ 1 [109/72.EI Uy == ; Vay (2= |——= ss 768.EJ u2 m.£ Dang dao động của dầm với tần số œ¡ , œ; như hình 2-6 b và c 2-2 Sử dụng tính đối xứng của hệ Đối với kết cấu đối xứng, khi dao động dạng chính của dao động riêng cũng cĩ hai dạng : Đối xứng và phản đối xứng
Theo dạng chính của dao động riêng lực quán tính phát sinh t tại các khối lượng tập trung cĩ hai loại : lực quán tính đối xứng và lực quán tính phản đối xứng
Như vậy nếu kết cấu đối xứng ta, cĩ thể tách bài tốn thành hai loại và tìm tần số riêng ứng với từng loại Cĩ hai cách thực hiện :
a-Tính theo nửa hệ
Hình 2-7 cho thấy cách tính trên nửa tưng ứng với dạng dao động đổi xứng và phản
Trang 39TH đe SN —| a OL 2 a ØI 1 m m 2 n se † 0 my ® 1 a Pag —— ° 2277 m Ø1 m 2 m o a3 ` f; |} lg , pry nm 7 rry 4 4 bin, en > rT mẹ z eo Jd “ ay ⁄211 z1 ah “my Hình 2-7 ` n ° 7, b- Dùng chuyển vị kép Xét một đoạn dầm cĩ khối lượng phân bố như hình 2-§ (Giả sử số khối lượng là lẻ) Xét dao động đối xứng f | + | 0) | : Zz 2 | Oy mua Oy Mo mẹ mm | my | cự : 4k Yar Ya a Ik, x b) r= 4 $— - „=TTTLLLTTE+rrrbz, 8) 2= † {ct r C) ae ⁄ + 4 oy SE STEELE 1 i ¬ (8 d) 7,21 Loy ILL a Hình 2-8 ĐặLY¡ =2yt ;Ÿ¿ =2W) ; x ` na 4 Y gọi là chuyển vị kép cA z a
SV = 2k 5 ed Yin t= 2ym-1 eng Y= ya cdc chyén vi Phương trình của chuyển vị kép viết được :
Trang 40
4uU
Trong do :
Ski: Chuyén vi theo phuong cap luc 7, do cặp lực 7; Z4: Cặp lực quán tính tại các khối lượng mụ
I gây ra
Do Zg=-my.ÿ, nên tacĩ:
2Yy=ŸYk = Sky (—my.¥1) + Ơk2.(ma2.Ÿ2) mm + Ơkn (=mn.Ÿn) Hay my Từ quan hệ ŸI¡=2ÿ 5 Y2=2Ÿ2 joe Vy = 29, Suy ra: my
Yk =~Ưk|- SFI —Ơk2 (v2 cee —
Yq =O] |- S10ÿ0) + 342 |- M292) | „ + Ơn (emn.Ÿn)
(2-25)
J tteees Ÿng =2Ÿn—]
Okn (My )Ÿn
Đạng phương tình (2-25) tương tự phương trình (2-4) vì vậy cĩ thể tìm tân số dao
động riêng ứng với dạng đối xứng theo phương trình tân số i My 2 m9 2 —-.6,1;.07 —1 2 11-97 ) 619.07 2 12:81) oe mì m ! 51.0% 2 ỗna.oŸ seeee 2 2 Y t + ot “3 In ty ~d m m ru y, k 1 97177, her eer mh {Ste | ;Ễ he (4) ` Zz? nh, HH, bop 7 Toe, @& A1) Hình 2-9 ốằ ẻ Ố.ố ố ốẽ.ẻ.ẻ8N6 2 (m n-Opn-@; —1 Giải phương trình (2-26) sẽ cĩ được n tần số dao động ứng với các dao động đối xứng Dạng dao động phản đối xứng, hình 2-9 Do khối lượng my, khơng chuyển động do đĩ khơng cần để ý đến
Tương tự như lý luận ở
phần trên ta sẽ viết được