ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN- CÓ GIẢI CHI TIẾT

HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN- CĨ GIẢI CHI TIẾT A KIẾN THỨC CƠ BẢN Diện tích hình phẳng a) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f ( x) liên tục đoạn a; b , trục hoành b hai đường thẳng x a , x b xác định: S f ( x) dx a y y  f (x) O a c1 c2 y  f (x)  y  (H )  x  a  x  b c3 b x b S   f ( x ) dx a b) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f ( x) , y g ( x) liên tục đoạn a; b hai b đường thẳng x a , x b xác định: S f ( x) g ( x) dx a y (C1 ) : y  f1 ( x )  (C ) : y  f2 ( x ) (H )  x  a x  b  (C1 ) (C2 ) b O a c1 c2 x b S   f1 ( x )  f ( x ) dx a Chú ý: b - Nếu đoạn [a; b] , hàm số f ( x) khơng đổi dấu thì: b f ( x) dx a f ( x)dx a - Nắm vững cách tính tích phân hàm số có chứa giá trị tuyệt đối - Diện tích hình phẳng giới hạn đường x g ( y ) , x h( y) hai đường thẳng y c , d y d xác định: S g ( y ) h( y ) dy c Thể tích vật thể thể tích khối trịn xoay a) Thể tích vật thể: Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b; S ( x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x , (a x b) Giả sử S ( x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học Vietjack HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher ( ) a O b x V   S ( x )dx x b a S(x) b Khi đó, thể tích vật thể B xác định: V S ( x)dx a b) Thể tích khối trịn xoay: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: y y  f (x) O a b (C ) : y  f ( x )  b (Ox ) : y  V    x a  f ( x ) dx x x  a  x  b Chú ý: - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x hoành hai đường thẳng y c, y g ( y ) , trục d quanh trục Oy: y d O c (C ) : x  g( y )  (Oy ) : x   y  c  y  d x d V y     g( y ) dy c - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y y f ( x) , g ( x) hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox: b f ( x) g ( x) dx V a I- Câu hỏi tính diện tích hình phẳng giới hạn đƣờng: Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học Vietjack HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher Những điểm cần lƣu ý: Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn b đường y f ( x), y g ( x), x a, x b S f ( x) g ( x) dx a Phƣơng pháp giải toán +) Giải phương trình f ( x) g ( x) (1) b +) Nếu (1) vơ nghiệm S f ( x) g ( x) dx a +) Nếu (1) có nghiệm thuộc a; b giả sử b S f ( x) g ( x) dx f ( x) g ( x) dx a Chú ý: Có thể lập bảng xét dấu hàm số f ( x) g ( x) đoạn a; b dựa vào bảng xét dấu để tính tích phân Trường hợp Cho hai hàm số f(x) g(x) liên tục đoạn [a; b] Diện tích hình phẳng giới hạn đường y f ( x), y g ( x) S phương trình f ( x) g ( x) f ( x) g ( x) dx Trong , nghiệm nhỏ lớn b a Phương pháp giải tốn Bước Giải phương trình f ( x) Bước Tính S Câu g ( x) tìm giá trị , f ( x) g ( x) dx trường hợp Công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y f ( x) , y g ( x) liên tục [a ; b] hai đường thẳng x a , x b (a b) là: b A S C S Câu f ( x) g ( x) dx B S ( f ( x) g ( x))2 dx D S a b a Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y b a ( f ( x) g ( x))dx b a f ( x) g ( x) dx f x , liên tục [a ; b] trục hoành hai đường thẳng x a, x b a b cho công thức: b A S a Câu b f x dx B S b f x dx a C S b f x dx a f x dx D S a Diện tích hình phẳng giới hạn đường y x3 11x 6, y x , x 0, x (Đơn vị diện tích) 18 A B C D 23 3 Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học Vietjack HỌC CÙNG VIETJACK Câu Câu Thầy Trần Xn Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher Diện tích hình phẳng giới hạn y A B f ( x) liên tục nhận giá trị không âm đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị y f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x a , x b tính theo cơng thức b A S B S f ( x)dx b f ( x)dx C S a a f ( x) liên tục đoạn [a; b] , trục hoành hai đường thẳng x a , x b tính theo cơng thức b b f ( x) dx B S a b f ( x)dx b C S f ( x) dx D S a a f ( x)dx a Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y g ( x) liên tục đoạn [a; b] , trục hoành hai đường thẳng x a , x b tính theo cơng thức b A S f ( x) , y b B S f ( x) g ( x) dx a [f ( x) g ( x)]dx a b b C S D S f ( x) g ( x) dx f ( x) g ( x) dx a a Cho đồ thị hàm số y A S f ( x)dx B S f ( x)dx C S f ( x) Diện tích hình phẳng (phần tơ đậm hình) f ( x)dx 2 f ( x)dx Câu f ( x)dx D S f ( x)dx Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y A S Câu b a a Câu D 13 Cho hàm số y b Câu x3 , y x là: C 12 f ( x)dx D S f ( x)dx Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x , x A 19 B 18 C 20 Câu 10 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f ( x)dx x3 , trục hoành hai đường thẳng D 21 x , trục hoành hai đường thẳng x , x A B 14 Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com C 13 D 14 youtube: Học Vietjack HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher Câu 11 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x , x 45 A B 45 C 45 x , trục hoành hai đường thẳng D 45 Câu 12 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y sin x , trục hoành hai đường thẳng , x x A B C D Câu 13 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x A ln , x tan x , trục hoành hai đường thẳng 3 B ln ln C 3 ln D Câu 14 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y e2 x , trục hoành hai đường thẳng x , x e6 A e6 B 2 e6 C 3 e6 D 3 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Câu 15 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y thẳng x , x 53 A B 51 C 49 Câu 16 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y thẳng x , x 142 A B 143 C 144 Câu 17 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x A 2ln B ln C 2ln x3 3x , trục hoành hai đường D 25 x 3x , trục hoành hai đường D 141 x , trục hoành đường thẳng x D ln Câu 18 Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y x đường thẳng y A B C D x Câu 19 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y cos x , trục hoành hai đường thẳng x 0, x A 2 B Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com C D youtube: Học Vietjack HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher Câu 20 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y thẳng x , x 71 A B 73 C 72 Câu 21 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y A 2ln B ln x 3x , trục hoành hai đường D 14 x , trục hoành đường thẳng x x C 2ln D ln Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y x đường thẳng y Câu 22 A B C D x Câu 23 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y cos x , trục hoành hai đường thẳng x 0, x A B C Câu 24 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y A 12 B 13 C D x y 14 D Câu 25 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y A x 15 y x3 3x x3 x 2 x 37 13 B 37 12 C D x , đường thẳng x , trục tung trục Câu 26 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y hoành 32 25 23 22 A B C D 3 3 Câu 27 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong x  3, x  202 A B 203 C Câu 28 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y A Câu 29 e2 B e2 C y  x3  x , trục hoành hai đường thẳng 201 A 201 x ln x , trục hồnh đường thẳng e2 Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y x D D x x 2, y x e e2 x hai đường thẳng 2; x Diện tích (H) 87 B 87 Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com C 87 D 87 youtube: Học Vietjack HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher Câu 30 Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y (H) e A B e 2 C e x x, y e 2 D e x Diện tích e II –HƢỚNG DẪN GIẢI Câu Cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y f ( x) , y g ( x) liên tục [a ; b] hai đường thẳng x a , x b (a b) là: b A S B S ( f ( x) g ( x))2 dx D S a b C S Câu f ( x) g ( x) dx a Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y b a ( f ( x) g ( x))dx b a f ( x) g ( x) dx f x , liên tục [a ; b] trục hoành hai đường thẳng x a, x b a b cho công thức: b A S b f x dx B S a Câu b f x dx C S a b f x dx a f x dx D S a Diện tích hình phẳng giới hạn đường y x3 11x 6, y x , x 0, x (Đơn vị diện tích) 18 A B C D 23 3 Hƣớng dẫn giải: Đặt h( x) ( x3 11x 6) x h( x) x3 x 11x x x x (loại) Bảng xét dấu x h(x) - + x3 x 11x dx S x 2x 11x x x 11x dx 1 6x x4 2x Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com 11x 6x 2 youtube: Học Vietjack HỌC CÙNG VIETJACK Câu Thầy Trần Xn Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher Diện tích hình phẳng giới hạn y A B x3 , y x là: C 12 D 13 Hƣớng dẫn giải: Ta có x3 4x x x x x x dx S x x dx 0 x4 x2 x2 2 8 (đvdt) Vậy S Chú ý:Nếu đoạn dùng công thức Câu x4 ; phương trình f ( x) f ( x) g ( x) dx g ( x) không cịn nghiệm ta f ( x ) g ( x ) dx f ( x) liên tục nhận giá trị không âm đoạn [a; b] Diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị y f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x a , x b tính theo cơng thức Cho hàm số y b A S b B S f ( x)dx b a a b f ( x)dx C S f ( x)dx f ( x)dx D S a a Hƣớng dẫn giải b Theo công thức (SGK bản) ta có S f ( x)dx a Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y f ( x) liên tục đoạn [a; b] , trục hoành hai đường thẳng x a , x b tính theo cơng thức b A S b f ( x) dx B S a b b C S f ( x)dx f ( x) dx D S a a f ( x)dx a Hƣớng dẫn giải b Theo công thức (SGK bản) ta có S f ( x) dx a Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y g ( x) liên tục đoạn [a; b] , trục hoành hai đường thẳng x a , x b tính theo cơng thức b A S b f ( x) g ( x) dx B S a [f ( x) g ( x)]dx a b C S f ( x) , y b D S f ( x) g ( x) dx f ( x) g ( x) dx a a Hƣớng dẫn giải b Theo công thức (SGK bản) ta có S f ( x) g ( x) dx a Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học Vietjack HỌC CÙNG VIETJACK Câu Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher Cho đồ thị hàm số y A S f ( x)dx f ( x)dx B S f ( x)dx C S f ( x) Diện tích hình phẳng (phần tơ đậm hình) f ( x)dx 0 D S f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx Hƣớng dẫn giải Theo định nghĩa ta có S f ( x)dx Câu f ( x)dx Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x , x A 19 B 18 x3 , trục hoành hai đường thẳng C 20 D 21 Hƣớng dẫn giải Ta có x đoạn [1;3] nên S x4 3 x dx x dx 20 Câu 10 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x , trục hoành hai đường thẳng x , x A B 14 C 13 D 14 Hƣớng dẫn giải Ta có x đoạn [1;4] nên S 4 x dx xdx 32 x Câu 11 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x , x 45 A B 45 C 45 14 x , trục hoành hai đường thẳng D 45 Hƣớng dẫn giải Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học Vietjack HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher Ta có x đoạn [1;8] nên S 43 x 3 x dx xdx 45 Câu 12 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y sin x , trục hoành hai đường thẳng , x x A B C D Hƣớng dẫn giải 3 ; Ta có sin x đoạn nên S sin x dx sin xdx cos x Câu 13 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x A ln , x tan x , trục hoành hai đường thẳng 3 B ln ln C 3 D ln Hƣớng dẫn giải Ta có tan x đoạn nên S ; 4 tan x dx tan xdx ln(cos x) ln 6 6 Câu 14 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y e2 x , trục hoành hai đường thẳng x , x A e6 2 B e6 2 C e6 3 D e6 3 Hƣớng dẫn giải Ta có e 2x đoạn [0;3] nên S e 2x 2x dx e dx e 2x e6 2 DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG VẬN DỤNG THẤP Câu 15 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y thẳng x , x 53 A B 51 C 49 x3 3x , trục hoành hai đường D 25 Hƣớng dẫn giải Ta có x3 3x x [1; 4] Khi diện tích hình phẳng Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học Vietjack HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher S x 3x dx (x x4 4 3x )dx (x 3x )dx 3 x Câu 16 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y thẳng x , x 142 A B 143 C x4 4 x 27 51 x 3x , trục hoành hai đường 144 D 141 Hƣớng dẫn giải Ta có x 3x x [0;3] Khi diện tích hình phẳng x 3x dx S x5 ( x 3x 4)dx ( x 3x 4)dx x x5 4x x 48 96 144 5 4x Câu 17 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x A 2ln B ln C 2ln x , trục hoành đường thẳng x D ln Hƣớng dẫn giải Ta có x x nên S x dx x 1 x dx x ln x Câu 18 Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y x đường thẳng y A B C D ln x Hƣớng dẫn giải Ta có x x x x x 2 Nên S (2 x x )dx x2 2x x3 x, x [ 1; 2] Câu 19 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y cos x , trục hoành hai đường thẳng x 0, x A 2 C B D Hƣớng dẫn giải Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học Vietjack HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher Ta có cos x x Nên S 0; 4 cos x dx cos xdx sin x cos xdx sin x thẳng x , x 71 A 73 B C 4 Câu 20 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x 3x , trục hoành hai đường 72 D 14 Hƣớng dẫn giải Ta có x 3x x [0;3] Khi diện tích hình phẳng x 3x dx S x5 ( x 3x 4)dx ( x 3x 4)dx x 3 x5 4x x 48 96 144 5 4x Câu 21 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y A 2ln B ln x , trục hoành đường thẳng x x C 2ln D ln Hƣớng dẫn giải Ta có x S x dx x x nên 1 x dx x ln x 2 ln Diện tích hình phẳng giới hạn parabol y x đường thẳng y Câu 22 A B C D x Hƣớng dẫn giải Ta có x x x x x 2 Nên S (2 x x )dx x2 2x x3 x, x [ 1; 2] Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học Vietjack HỌC CÙNG VIETJACK Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher Câu 23 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y cos x , trục hoành hai đường thẳng x 0, x A C B D Hƣớng dẫn giải Ta có cos x x [0; ] Nên S cos x dx cos xdx sin x cos xdx sin x Câu 24 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y 12 B 13 C 4 A x y 14 D x 15 Hƣớng dẫn giải Ta có x x x x 1 Nên S x x dx ( x 3 x x )dx 33 x 1 12 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y Câu 25 y x A 37 13 4x 2 x3 3x x B 37 12 C D Hƣớng dẫn giải Ta có x 3x x 4x x3 x x x 2x x3 x 2 x dx Nên S x4 ( x3 x 2 x)dx x 2 x4 x3 ( x x 2 x)dx x 37 12 Câu 26 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y hoành Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com x , đường thẳng x , trục tung trục youtube: Học Vietjack HỌC CÙNG VIETJACK A Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher 22 32 B C 25 D 23 Hƣớng dẫn giải Xét pt x đoạn 0;3 có nghiệm x 2 x dx Suy S 23 x dx Câu 27 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong x  3, x  202 A 203 B C y  x3  x , trục hoành hai đường thẳng 201 D 201 Hƣớng dẫn giải Xét pt x3 x đoạn x3 x dx Suy S 3; có nghiệm x x3 x dx x3 x dx e2 B x x dx Câu 28 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y A 2; x 0; x e2 C 201 x ln x , trục hoành đường thẳng e2 D x e e2 Hƣớng dẫn giải Xét pt x ln x khoảng 0;e có nghiệm x e Suy S x ln xdx Câu 29 e2 Hình phẳng (H) giới hạn đồ thị hai hàm số y x A x x 2, y x hai đường thẳng 2; x Diện tích (H) 87 B 87 C 87 D 87 Hƣớng dẫn giải Xét phương trình ( x x 2) ( x 2) x dx Suy S x dx x2 x 87 Câu 30 Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y (H) e A B e 2 C e 2 e x x, y D e x Diện tích e Hƣớng dẫn giải Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học Vietjack HỌC CÙNG VIETJACK Xét pt e x x Thầy Trần Xuân Trường – facebook/instagram : xuantruong.teacher e x có nghiệm x 0, x 1 x e e x dx Suy S x e e x dx e 2 Đăng Ký Khóa Học Tại http:// khoahoc.vietjack.com youtube: Học Vietjack