TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ THAM KHẢO (Đề thi gồm 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 12 Năm học 2021 – 2022 ĐỀ THI MÔN TOÁN Thời gian 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 (2,0 điểm.
TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN ĐỀ THAM KHẢO (Đề thi gồm 01 trang) Bài (2,0 điểm) a) Cho hàm số KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 12 Năm học 2021 – 2022 ĐỀ THI MƠN:TỐN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) y x x m x m 2019 Tìm điều kiện tham số m để hàm số 0; 2 cho có giá trị lớn đoạn khơng vượt 2021 2sin x 2m y m.sin x b) Cho hàm số Tìm tất giá trị nguyên tham số m đoạn ; [-2021;2021] để hàm số đồng biến khoảng Bài (1,0 điểm) Gọi x, y số dương thoả mãn điều kiện log x log y log (3 x y) x a b y , với a, b số nguyên dương Tính a b x cos x 4sin sin x 2(1 sin x) cot x Bài (1,0 điểm) Giải phương trình lượng giác: ( x 2) x x y y x y 2 3x y x Bài (1,0 điểm) Giải hệ phương trình sau: Bài 5(1,0 điểm) Trị chơi quay bánh xe số chương trình truyền hình “Hãy chọn giá đúng” kênh VTV3 Đài truyền hình Việt Nam, bánh xe số có 20 nấc điểm: ,10,15, ,100 với vạch chia giả sử khả chuyển từ nấc điểm có tới nấc điểm lại Trong lượt chơi có người tham gia, người quyền chọn quay lần, điểm số người chơi tính sau: • • Nếu người chơi chọn quay lần điểm người chơi điểm quay Nếu người chơi chọn quay lần tổng điểm quay không lớn 100 điểm người chơi tổng điểm quay • Nếu người chơi chọn quay lần tổng điểm quay lớn 100 điểm người chơi tổng điểm quay trừ 100 Luật chơi quy định, lượt chơi người có điểm số cao thắng cuộc, hòa chơi lại lượt khác An Bình tham gia lượt chơi, An chơi trước có điểm số 75 Tính xác suất để Bình thắng lượt chơi Bài (2,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) AB a, AD 2a, SA 3a a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) b) Gọi M trung điểm SD (P) mặt phẳng qua B, M cắt mặt phẳng (SAD) theo đường thẳng vng góc với BM Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện tạo thành cắt khối chóp S.ABCD mặt phẳng (P) Bài (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vng A, có đỉnh C(− 4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương Bài (1,0 điểm) Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M a 2b b c c a ab bc ca a b c Trang 1/1 TRƯỜNG THPT LÊ QUÝ ĐÔN ……………HẾT…………… ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 12 Năm học 2021 – 2022 ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI MƠN:TỐN Thời gian: 180 phút (khơng kể thời gian giao đề) (Đáp án gồm 05 trang) BÀI Bài (2,0 điểm ) Ý a ĐÁP ÁN Cho hàm số y x x m x m 2019 0; 2 cho có giá trị lớn đoạn khơng vượt 2021 y x x m x m 2019 2021, x [0; 2] Ta có m x 1 x x x 2, x [0; 2] m Xét hàm số b Tìm điều kiện tham số m để hàm số f ( x) x3 x x , x [0; 2] x 1 (*) ĐIỂ M (1,0đ) 0,25 x3 x x x 1 x 2 x x x 1 / f ( x) x x x 1 x ( x 1) x 1 (loai ) Có 1 5 f (0) 2; f ; f (2) Ta có m f ( x) f (2) [0;2] (*) 2sin x m y m.sin x Cho hàm số Tìm tất giá trị nguyên tham số m ; đoạn [-2021;2021] để hàm số đồng biến khoảng * m = loại *m≠0 x ; suy t 0;1 t sin x nghịch biến + Đặt t sin x , với 2sin x 2m y ; m sin x + Để hàm số đồng biến khoảng hàm số 2t 2m y / m.t nghịch biến (0;1) y 0; t (0;1) Trang 1/1 0,25 0,25 0,25 (1,0đ) 0,25 0,25 41 2m 3m m 41 2 m 2m 3m 41 0, t (0;1) m m ( m.t 2) 41 2 m m 1 m 2 m Bài (1,0 điểm ) Do m nguyên đoạn [-2021;2021] nên có + 2021 -3+1 = 2021 số Gọi x,y số dương thoả mãn điều kiện log x log y log (3x y ) x a b y , với a, b số nguyên dương Tính a b x 9t y 6t 3 x y 4t Đặt log x log ( y ) log (3 x y ) t 2t t t 0,25 (1,0đ) 0,25 t 3 3 2 3.9 4.6 2 2 2 t 0,25 t 0,25 t x 2 a 3; b y Khi Vậy a + b = Bài (1,0 điểm ) x cos x 4sin sin x 2(1 sin x) cot x Giải phương trình lượng giác sau cot x x k sin x x l ĐK: x cos x 4sin sin x 2(1 sin x) cot x 2(cos x sin x).sin x 2(1 cos x) sin x 2(1 sin x) sin x cos x 2(1 cos x) sin x 2(cos x sin x).sin x 2(1 sin x) 2sin x 2sin x 2(1 sin x) (1 sin x)(2 sin x 2) x 2m sin x 1 1 sin x x 2n sin x 2sin x x 3 p 3 x 2n ; x p 4 + Kết hợp đk pt có nghiệm Bài (1,0 điểm ) 0,25 0,25 (1,0đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 Tìm tất giá trị m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: x4 4x3 16x m x4 4x3 16x m 4 Đặt t x 4x 16x m, t Ta có phương trình : Trang 1/1 (1,0đ) 0,25 t2 t t x4 4x3 16x m m x4 4x3 16x 16 Xét hàm số f(x) x 4x 16x 16 f '(x) 4(x3 3x2 4) 4(x 2)2(x 1) f '(x) x 1,x x Bảng biến thiên f '(x) 1 – + 0,5 + f(x) 27 Dựa vào bảng biến thiên phương trình có hai nghiệm phân biệt m 27 m 27 0,25 Trò chơi quay bánh xe số chương trình truyền hình ‚Hãy chọn giá kênh VTV3 Đài truyền hình Việt Nam, bánh xe số có 20 nấc điểm: ,10,15, ,100 với vạch chia giả sử khả chuyển từ nấc điểm có tới nấc điểm lại Trong lượt chơi có người tham gia, người quyền chọn quay lần, điểm số người chơi tính sau: • • Nếu người chơi chọn quay lần điểm người chơi điểm quay Nếu người chơi chọn quay lần tổng điểm quay khơng lớn 100 điểm người chơi tổng điểm quay (1,0đ) • Bài (1,0 điểm ) Nếu người chơi chọn quay lần tổng điểm quay lớn 100 điểm người chơi tổng điểm quay trừ 100 Luật chơi quy định, lượt chơi người có điểm số cao thắng cuộc, hòa chơi lại lượt khác An Bình tham gia lượt chơi, An chơi trước có điểm số 75 Tính xác suất để Bình thắng lượt chơi 100 n 20 Ta có Để Bình thắng ta có trường hợp • • TH1: Bình quay lần điểm số lớn 75, ta có khả thuộc tập hợp P1 20 {80;85;90;95;100} Do xác suất TH2: Bình quay lần đầu điểm số a£ 75, ta có 15 khả Do xác suất P2 0,25 15 20 Khi Bình phải quay lần để thắng Bình cần phải có tổng hai lần quay lớn 75, ta có khả thuộc tập hợp{80 - a; 85- a; 90 - a; 95 - a;100 – a} Do xác suất P3 4 16 Vậy xác suất để Bình thắng lượt là: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình chữ nhật, SA vng góc với mặt phẳng (ABCD) AB a, AD 2a, SA 3a a) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SBD) b) Gọi M trung điểm SD (P) mặt phẳng qua B, M cắt mặt phẳng (SAD) theo đường thẳng vng góc với BM Tính tỉ số thể tích hai khối đa diện tạo thành cắt khối chóp S.ABCD mặt phẳng (P) Trang 1/1 0,25 P P1 P2 P3 Bài (2,0 điểm ) 0,25 0,25 (2,0đ) Hạ AHBD, AKSH AK(SBD) Do O trung điểm AC d(C,(SBD))=d(A,(SBD)) = AK a) Có AH a a 33 , SH d(C,(SBD)) = AK Gọi I trung điểm AD ta có BI hình chiếu BM (ABCD) C/m ACBI ACBM, mà GE BM EF // AC SA SC Mà G trọng tâm SBD SE SF b ) Bài (1,0 điểm ) SA AH a 66 SH 11 0,25 Vậy phương trình BC 3x + 4y - 16 = Cho số thực không âm a, b, c thoả mãn a b c Tìm giá trị nhỏ biểu thức M a b b c c a ab bc ca a b c 2 0,25 0,25 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vng A, có đỉnh C(− 4; 1), phân giác góc A có phương trình x + y − = Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC 24 đỉnh A có hồnh độ dương + Gọi D đối xứng C qua phân giác góc A D(4;9) AB + AB qua D tạo với phân giác góc A góc 450 Suy AB: x – = Và A(4;1); AC = Mà SABC 24 AB AC 48 AB 2 0,25 0,25 SA SB SC SD 3 1 VSEMF SE SB SF SM SA SB SC SD 3 VS ABCD 4 .1 .2 SE SB SF SM 2 Có VSEMF Suy VABCDEMF 2 0.25 0,25 2 Nên B thuộc đường trịn tâm A bán kính AB = có pt (T): ( x 4) ( y 1) 36 Khi B = AB (T) B(4;7) B(4;-5) uuu r uuur AB Do , AD (0;8) hướng nên B(4;7) Bài (1,0 điểm ) 0,25 2 (1,0đ) 0,25 0,25 0,25 0,25 (1,0đ) 0,25 Trang 1/1 0,25 0,25 0,25 Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa Trang 1/1 ... ……………HẾT…………… ĐÁP ÁN KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ LỚP 12 Năm học 2021 – 2022 ĐỀ THAM KHẢO ĐỀ THI MƠN:TỐN Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) (Đáp án gồm 05 trang) BÀI Bài (2,0... m 1 m 2 m Bài (1,0 điểm ) Do m nguyên đoạn [ -2021; 2021] nên có + 2021 -3+1 = 2021 số Gọi x,y số dương thoả mãn điều kiện log x log y log (3x y ) x a b... (*) 2sin x m y m.sin x Cho hàm số Tìm tất giá trị nguyên tham số m ; đoạn [ -2021; 2021] để hàm số đồng biến khoảng * m = loại *m≠0 x ; suy t 0;1 t