Chương 8: Giới thiệu Lý thuyết sốLý thuyết số

Chương 8: Giới thiệu Lý thuyết số Fourth Edition by William Stallings Lecture slides by Lawrie Brown Các số nguyên tố Prime Numbers       Là số nguyên dương có ước số Chúng khơng thể viết dạng tích số khác số nguyên tố, khơng quan tâm đến 2, 3, 5, số nguyên tố; 4, 6, 8, 9, 10 số nguyên tố Các số nguyên tố trung tâm lý thuyết số Danh sách số nguyên tố nhỏ 200 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 Phân tích thừa số nguyên tố Prime Factorisation   Phân tích thừa số nguyên tố số N tức viết dạng tích số nguyên tố: n=a x b x c Lưu ý phân tích tốn khó nhiều so với toán nhân số để nhận tích  eg 91=7x13 ; 3600=24x32x52 Các số nguyên tố GCD   Hai số a b khơng có ước chung ngồi 1, gọi nguyên tố  Ví dụ: 15 nguyên tố nhau, ước 1, 2, 4, 8, ước 15 1, 3, 5, 15 Chỉ có ước chung Ngược lại xác định ước chung lớn cách phân tích thừa số chúng, tìm thừa số nguyên tố chung lấy bậc lũy thừa nhỏ  eg 300=21x31x52 18=21x32 hence GCD(18,300)=21x31x50=6 Định lý Ferma Fermat's Theorem  ap-1 = (mod p)       p số nguyên tố Hay ap = p (mod p) Được dùng khố cơng tra tính ngun tố Ví dụ: 27-1 mod = 26 = 35-1 mod = 34 = GCD(a, p) = khai kiểm mod = 64 mod mod = 81 mod Hàm Ole Euler Totient Function ø(n)     Khi thực phép tính đồng dư n Tập đầy đủ phần dư: 0, 1, 2, …, n-1 Xét tậpết gọn tập phần dư bao gồm số nguyên tố với n Ví dụ với n = 10    Tập đầy đủ phần dư {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} Tập rút gọn phần dư nguyên tố với 10 {1,3,7,9} Số phần tử tập rút gọn giá trị hàm Ole ø(n) Euler Totient Function ø(n)   Muốn tính ø(n) việc đếm số số ngưyên tố với n nhỏ n loại bỏ tốn tốn nhiều cơng sức Nói chung cần biểu thức phân tích thừa số    Nếu p số nguyên tố ø(p) = p-1 Nếu p q hai số nguyên tố khác ø(p.q) = (p-1)(q-1) Vidụ ø(37) = 36 ø(21) = (3–1)×(7–1) = 2×6 = 12 Tính ø(n) Ví dụ: ø(72) = ø(8.9) = ø(8) ø(9) = ø(23).ø(32) = = (23-22)(32-31) = 4.6 = 24  Định lý Ole Euler's Theorem  Tổng quát hoá Định lý Ferma  aø(n) = (mod n)   với a,n gcd(a,n)=1 eg a=3;n=10; ø(10)=4; hence 34 = 81 = mod 10 a=2;n=11; ø(11)=10; hence 210 = 1024 = mod 11 Kiểm tra tính nguyên tố Primality Testing  Giả sử cần phải tìm số nguyên tố lớn     Lấy số đủ lớn Phương pháp truyền thống thử phép chia Chia cho tất số (chỉ cần nguyên tố) nhỏ bậc hai số Chỉ hiệu số nhỏ Có phương pháp khác sử dụng phép kiểm tra tính nguyên tố thống kê dựa tính chất   Mà số nguyên tố phải thỏa mãn Nhưng có số số khơng ngun tố, gọi giả nguyên tố thoả mãn tính chất Thuật tốn Miller - Rabin  Là phép kiểm tra dựa Định lý Ferma  Thuật toán sau:TEST (n) is: Find integers k, q, k > 0, q odd, so that (n–1)=2kq Select a random integer a, 1