CHUYÊN đề ĐIRICHLÊ bồi DƯỠNG HSG học SINH GIỎI lớp 6, lớp 7

Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – PHẦN I: NGUYÊN LÝ ĐIRICHLÊ TRONG SỐ HỌC VÀ ĐẠI SỐ A KIẾN THỨC CƠ BẢN: Nguyên lý Đirichlê: Nội dung nguyên lý phát biểu dạng sau: * Dạng đơn giản: - Nếu nhốt thỏ vào lồng tồn lồng chứa thỏ * Dạng tổng quát: - Nếu nhốt n thỏ vào k lồng (n, k N*, n > k ) tồn lồng chứa + thỏ ( Ở kí hiệu [α] : phần nguyên số α số nguyên lớn không vượt a) Các dấu hiệu chia hết tính chất chia hết Z a) Dấu hiệu chia hết cho 2; 3;4; 5; 8; 9; 11; 25; 125 b) Tính chất chia hết tổng, hiệu, tích - Nếu a M m b M m => a ± b M m - Nếu a Mm b Mm => ( a ± b) Mm - Nếu a M b k ⇒ ka M b c) Tính chất mở rộng: - Hai số có số dư phép chia cho m hiệu chúng chia hết cho m - Tổng số dư số phép chia cho m mà chia hết cho m tổng số chia hết cho m - Nếu a b mà ƯCLN(a,m) = b Chú ý: - Các toán sử dụng nguyên lý Đirichlê thường toán chứng minh tồn vật, việc mà không cần phải cách tường minh vật, việc - Khi giải toán áp dụng nguyên lý Đirichlê dự đoán phải áp dụng nguyên lý ta cần suy nghĩ biến đổi toán để làm xuất khái niệm “ thỏ Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – ” “ lồng ”, khái niệm “ nhốt thỏ vào lồng ” trình bày ta cố gắng trình bày theo ngơn ngữ riêng tốn - Để sử dụng nguyên lý Đirichlê ta phải làm xuất tình nhốt “thỏ” vào “chuồng” thoả mãn điều kiện : + Số ‘thỏ” phải nhiều số chuồng + “Thỏ” phải nhốt hết vào “chuồng” không bắt buộc chuồng phải có thỏ B CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG DẠNG 1: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN CHỨNG MINH SỰ TỒN TẠI CHIA HẾT 1.1 Bài toán bản: VD1: Cho số tự nhiên Chứng minh chọn hai số mà hiệu chúng chia hết cho */ Phân tích: Coi số thỏ Khi chia số tự nhiên cho số dư số : 0; 1; 2; 3; 4; (coi số dư chuồng) Có số tự nhiên chia cho mà có số dư nên theo ngun lí Đirichlê tồn số chia cho có số dư Hiệu số chia hết cho Giải: Khi chia số tự nhiên cho số dư ∈ { 0; 2; 3; ; 5} ( số dư) Có số tự nhiên chia cho mà có số dư nên theo ngun lí Đirichlê tồn + = số chia cho có số dư Hiệu số chia hết cho => đpcm */ Bài toán tổng quát: Trong n số tự nhiên bất kỳ, chọn hai số mà hiệu chúng chia hết cho n – 1( n∈ N* ) */ Bài tập tương tự: Chứng minh 11 số tự nhiên có số có chữ số tận giống ( Bài tập nâng cao số chuyên đề toán 6/ tr38) HD: Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – - Cách 1: Coi 11 số tự nhiên ( 11 thỏ ) 10 chữ số tận 0; 1; 2; ( 10 chuồng) - Cách 2: Trong 11 số tự nhiên chọn số mà hiệu chúng chia hết cho 10 ( Tương tự VD1) Hiệu phải tận chữ số 0, có hai số mà chữ số tận phải giống 1.2 Bài toán lập tổng: VD2: Cho 10 số tự nhiên : a1, a2, ., a10 Chứng minh chọn số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho 10 */ Phân tích: Nếu đem 10 số tự nhiên chia cho 10 có số dư ∈{ 0; 1; 2; 3; ; 9} ( 10 số dư ) khơng vận dụng ngun lí Đirichlê ( số thỏ phải lớn số lồng) mà đề yêu cầu chọn số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho 10 nên phải tạo thỏ ( số tổng số số liên tiếp nhau) Giải: Lập tổng : S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 S10 = a1 + a2 + + a10 - Nếu tồn tổng Si ( i= 1,2,3 10) chia hết cho 10 tốn chứng minh - Nếu khơng tồn tổng tổng chia hết cho 10 ta làm sau: Ta đem 10 tổng chia cho 10 số dư ∈ { 1; 2; 3; ; 9} ( số dư) Như có 10 tổng chia cho 10 mà có số dư nên theo nguyên lý Đirichlê tồn = tổng có số dư chia cho 10 Chẳng hạn , hai tổng Sm Sn , với m > n m, n∈{ 1; 2; 3; ; 9} Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – => Sm - Sn 10 ( Hiệu tổng tổng số số liên tiếp dãy cho chia hết cho 10) ⇒ ĐPCM */ Bài toán tổng quát: Cho n số tự nhiên Chứng minh chọn số tổng số số liên tiếp dãy chia hết cho n */ Bài tập tương tự: Bài 1: Cho dãy số gồm số tự nhiên a1, a2, a3, a4, a5 Chứng minh tồn số chia hết cho tổng số số liên tiếp dãy cho chia hết cho (Đề thi chọn HSG lớp huyện Sông Lô năm 2013 – 2014) Bài 2: Viết số tự nhiên vào mặt súc sắc Chứng minh ta gieo súc sắc xuống mặt bàn mặt nhìn thấy tìm hay nhiều mặt để tổng số chia hết cho ( Bài tập nâng cao số chuyên đề toán 6/ tr39) HD: Gọi số mặt ; ; ; ; => Làm tương tự VD Bài 3: Có người ngày chơi cờ, tuần chơi khơng q 13 ván Chứng minh có số ngày liên tục mà tổng số ván cờ người chơi 20 ( TLC toán THCS toán – tập 1/ tr 178) HD: Xét số ván cờ tuần liên tiếp Giả sử ngày thứ k số ván cờ đánh ( k 21) Vì số ván cờ tuần khơng vượt 13 nên + + + 13 = 39 Lập dãy tổng: S1 = a1 S2 = a1 + a2 S21 = a1 + a2 + + a21 - Nếu tồn tổng Si ( i= 1,2,3 21) chia hết cho 20 tốn chứng minh - Nếu không tồn tổng tổng chia hết cho 20 ta làm sau: Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – Ta đem 21 tổng chia cho 20 số dư ∈ { 1; 2; 3; ; 19} ( 19 số dư) Như có 21 tổng chia cho 20 mà có 19 số dư nên theo nguyên lý Đirichlê tồn = tổng có số dư chia cho 20 => Hiệu chúng chia hết cho 20 mà tổng khác không vượt 39 nên hiệu hai tổng phải 20 Bài 4: Với 39 số tự nhiên liên tiếp, hỏi ta tìm đkhược số mà tổng chữ số chia hết cho 11 hay không? HD: Lấy 20 số tự nhiên liên tiếp đầu dãy, ta ln tìm số có chữ số hàng đơn vị có chữ số hàng chục khác Giả sử số A tổng chữ số A b Khi 11 số A, A + 1, A + 2, , A + 9, A + 19 nằm 39 số cho Vì A có tận nên tổng chữ số A, A + 1, A + 2, , A + b, b+ 1, b +2, b +9 Vì A có tận có chữ số hàng chục khác nên tổng chữ số A + 10 b + 1, tổng chữ số A + 19 b + 10 Vậy 11 số dãy A, A + 1, A + 2, , A + 9, A + 19 có tổng chữ số b, b + 1, b + 2, , b + 9, b + 10 Trong 11 số tự nhiên liên tiếp b, b + 1, b + 2, , b + 9, b + 10 ln tìm số chia hết cho 11, chẳng hạn số b + i, ( i 10 ): Nếu i ta chọn số A + i thỏa mãn yêu cầu tốn, i = 10 ta chọn số A + 19 thỏa mãn */ Nhận xét : Đối với toán mấu chốt để giải phải tìm 11 số 39 số cho có tổng chữ số thứ tự 11 số tự nhiên liên tiếp, đồng thời sử dụng nhận xét : “ Trong n số tự nhiên liên tiếp ln tìm số chia hết cho n ” VD3: Chứng minh tồn bội số 1993 chứa tồn số */ Phân tích: Yêu cầu toán cần tồn số 11 chia hết cho 1993 mà chia số tự nhiên cho 1993 có số dư ∈{ 0; 1; 2; 3; ; 1992}( 1993 số dư tương ứng với 1993 chuồng) Do để làm xuất tốn áp dụng ngun lí Đirichlê ta tạo số thỏ lớn 1993, thường chọn số thỏ số chuồng cộng 1, 1994 thỏ số có dạng = 1; = 11; = 111; … ; Giải: Ta lập dãy số gồm 1994 số chứa toàn số là: Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – =1 = 11 = 111 … Một số tự nhiên chia cho 1993 số dư ∈ {0; 1; 2; 3; ; 1992} ( 1993 số dư) Khi đem 1994 số chia cho 1993 mà có 1993 số dư nên theo nguyên lý Đirichlê tồn + = số có số dư chia cho 1993 Giả sử số là: = 1993q + r aj = 1993k + r, ( với ≤ r < 1993; i > j; q, k ∈ N* , i, j ∈ { 1; 2; 3; ; 1994}) => - aj = (1993q + r ) – (1993k + r) = 1993 (q - k) => => mà ( 10j , 1993) = => ( đpcm) - Nhận xét: Bài toán ta thay chữ số số Khi giải HS cần lập dãy số, xác định số thỏ đem nhốt VD4: Chứng minh tồn số có dạng 20172017 201700 chia hết cho 2016 Giải: Ta lập dãy số gồm 2017 số chứa toàn số 2017 là: = 2017 = 20172017 = 201720172017 … Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – Một số tự nhiên chia cho 2016 có số dư ∈{ 0; 1; 2; 3; ; 2015} ( 2016 số) Như đem 2017 số chia cho 2016 mà có 2016 số dư nên theo nguyên lý Đirichlê tồn + = số có số dư chia cho 2016 Giả sử số là: = 2016q + r aj = 2016k + r, ( với ≤ r < 2016; i > j; q, k ∈ N* ) =>ai - aj = (2016q + r ) – (2016k + r) = 2016 (q - k) => => => ( đpcm) - Nhận xét: Ở dạng tốn thay đổi thành nhiều đề khác VD5: Cho dãy số: 10 ; 102 ; 103 ; ; 1020 Chứng minh tồn số chia cho 19 dư (Đề KSHSG lớp huyện Sơng Lơ vịng năm học 2013 – 2014) Giải: Xét dãy số: 10 ; 102 ; 103 ; ; 1020 (1) ( có tất 20 số khác nhau) Một số tự nhiên chia cho 19 có số dư ∈ {0; 1; 2; 3; ; 18} ( 19 số dư) Đem 20 số chia cho 19 mà có 19 số dư phép chia cho 19 nên theo nguyên lý Đirichlê tồn hai số có số dư chia cho 19 Giả sử hai số là: 10m 10n ( M ⇒ Khi ta có: 10m – 10n 19 ≤ n < m ≤ 20 , m,n ∈ N ) M 10n (10m-n -1) 19 mà (10n ,19)=1, M => 10m-n -1 19 Lại có 10m-n thuộc dãy (1) (do ≤ n < m ≤ 20 ⇒ ) đpcm - Nhận xét: Qua ta thấy tồn số tự nhiên k > 10k – 19 */ Bài tập tương tự: Bài 1: CMR: Tồn số tự nhiên gồm toàn chữ số chia hết cho 2003 Bài 2: CMR: Tồn số có dạng 20172017 201700 chia hết cho 2016 Bài 3: Có hay khơng số có dạng 19931993 … 1993000 … 00 M 1994 Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – Bài 4: Chứng minh tồn số tự nhiên viết chữ số chữ số mà số chia hết cho 2015 ( Đề thi chọn HSG lớp huyện Sông Lô năm 2015 – 2016 ) Bài 5: CMR: Tồn bội số 2003 có dạng: Bài 6: Chứng minh tồn bội 13 gồm toàn chữ số Bài 7: Chứng minh số tự nhiên có k số cho 1983 k – chia hết cho 105 Bài 8: Chứng minh tồn số có dạng 202020202020 2020 chia hết cho 2019 ( Đề thi chọn HSG lớp huyện Sông Lô năm 2018 – 2019 ) Bài 9: Hỏi tìm số tự nhiên lũy thừa mà có tận 0001 không? HD: Xét dãy số gồm 10001 số 9, 92, 93, , 910001 Đem 10001 số chia cho 104 có số dư ∈ { 1; 2; 3; ; 104 -1} (104 -1 số dư) Đem 10001 số chia cho 104 mà có 104 -1 số dư phép chia cho 104 nên theo nguyên lý Đirichlê tồn hai số có số dư chia cho 104 Giả sử hai số 9m 9n ( với m > n ) => 9m - 9n = 9n ( 9m-n – 1) 104 Mà ( 9n , 104) = => 9m - n – 104 => 9m-n có tận 0001 Vậy tìm số tự nhiên lũy thừa mà có tận 0001 Bài 10: Chứng minh tồn lũy thừa 29 mà chữ số tận 00001 Bài 11: Chứng minh hệ viết số 10 tìm bội số số 1995 mà chữ số Bài 12: Một bà mẹ chiều nên ngày cho ăn kẹo Để hạn chế, tuần bà cho không ăn 12 kẹo Chứng minh số ngày liên tiếp bà mẹ cho tổng số 20 kẹo Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – Giải: Xét 21 ngày liên tiếp kể từ ngày thứ hai Gọi S(n) tổng số kẹo mà bà mẹ cho tính đến ngày thứ n Ta có:S(m) ≠ S(n), ∀m ≠ n Vì có 21 ( ≤ n ≤ 21) ( ≤ m, n ≤ 21) ngày nên tồn ≤ S ( n ) ≤ ×12 = 36 m S ( m ) ≡ S ( n ) ( mod 20 ) ⇒ S ( m ) − S ( n ) M20 ⇒ S ( m ) − S ( n ) = 20 >1 ( ≤ m, n ≤ 21) cho (vì < S(m)-S(n) < 36 ) Như từ ngày n + đến ngày thứ m, bà mẹ cho tổng cộng 20 kẹo (ĐPCM) a1 , a2 , , a2015 Bài 13: Chứng minh từ 2015 số tự nhiên , tạo nhóm, gồm số, mà tổng tất số thuộc nhóm chia hết cho 2015 HD: + Xét dãy số gồm 2015 số hạng S1 , S , , S 2015 , xác định sau: S1 = a1 ; S = a1 + a2 ; ; S 2015 = a1 + a2 + + a2015 + Nếu số hạng dãy chia hết cho 2015, toán chứng minh + Nếu tất số hạng dãy không chia hết cho 2015, chia tất số hạng dãy cho 2015 số dư thuộc tập hợp { 1;2; ;2014} Tuy nhiên chia tất số hạng dãy cho 2015 có 2015 số dư Như theo nguyên lý Diriclet tồn hai số hạng có số dư chia cho 2015 Không tính tổng qt giả sử hai số hạng là: Sm = a1 + a2 + + am ; S n = a1 + a2 + + an , ( ≤ m < n ≤ 2015 ) Xét hiệu: Sn − Sm = am +1 + am+ + + an chia hết cho 2015 1.4 Bài tốn lập nhóm dư: Chun đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – VD6: Chứng minh 52 số nguyên ln chọn hai số mà tổng hiệu chúng chia hết cho 100 */ Phân tích: Ta nhận thấy coi 52 số nguyên 52 thỏ mà phép chia cho 100 có 100 số dư, số thỏ số chuồng nhiều Do ta phải thu hẹp số chuồng lại cách lập nhóm dư cho hiệu tổng số dư nhóm phải chia hết cho 100 Từ GV hướng dẫn HS chia 100 số dư phép chia cho 100 thành 51 nhóm dư : {0}; {1; 99}; {2; 98}; …; {49; 51}; {50} áp dụng nguyên lý Đirichlê Giải: Một số nguyên chia cho 100 có số dư ∈{ 0; 1; 2; ; 99} ( 100 số dư) Ta chia 100 số dư thành 51 nhóm dư sau: {0}; {1; 99}; {2; 98}; …; {49; 51}; {50} Vì có 52 số mà chia cho 100 lại có 51 nhóm dư nên theo nguyên lý Đirichlê tồn số thuộc nhóm dư => Hai số có hiệu chia hết cho 100 ( số dư chúng nhau) có tổng chia hết cho 100( số dư chúng khác nhau) => đpcm VD7: Cho số lẻ Chứng minh tồn hai số có tổng hiệu chia hết cho ( Bài tập nâng cao số chuyên đề toán 6/ tr39) HD: Một số lẻ chia cho số dư ∈{ 1; 3; 5; 7} ( số dư) Chia số dư thành nhóm dư {1; 7}; {3; 8} Vì có số lẻ ( thỏ) mà có nhóm dư ( chuồng) nên theo nguyên lý Đirichlê tồn số thuộc nhóm dư => Hai số có hiệu chia hết cho ( số dư chúng nhau) có tổng chia hết cho ( số dư chúng khác nhau) => đpcm */ Bài tập tương tự: 10 Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – * Dạng tổng quát: - Nếu nhốt n thỏ vào k lồng (n, k N*, n > k ) tồn lồng chứa + thỏ ( Ở kí hiệu [α] : phần nguyên số α số nguyên lớn khơng vượt q a) Một số tốn thường gặp: Nếu đoạn thẳng độ dài đặt số đoạn thẳng có tổng độ dài lớn có hai số đoạn thẳng có điểm chung Nếu đường trịn bán kính đặt số cung có tổng độ dài lớn có hai số cung có điểm chung Nếu hình diện tích S đặt số hình có tổng diện tích lớn S có hai số hình có điểm chung Nếu k đoạn thẳng có tổng độ dài khơng nhỏ ( khơng lớn hơn) a ln tồn đoạn thẳng có độ dài khơng nhỏ ( khơng lớn hơn) Nếu k góc có tổng độ lớn không nhỏ ( không lớn hơn) a ln tồn góc có độ lớn khơng nhỏ ( khơng lớn hơn) Nếu k hình có tổng diện tích khơng nhỏ ( khơng lớn hơn) S ln tồn hình có diện tích không nhỏ ( không lớn hơn) Chú ý: - Các toán sử dụng nguyên lý Đirichlê thường toán chứng minh tồn vật, việc mà không cần phải cách tường minh vật, việc - Khi giải tốn áp dụng ngun lý Đirichlê dự đoán phải áp dụng nguyên lý ta cần suy nghĩ biến đổi toán để làm xuất khái niệm “ thỏ ” “ lồng ”, khái niệm “ nhốt thỏ vào lồng ” trình bày ta cố gắng trình bày theo ngơn ngữ riêng tốn - Để sử dụng nguyên lý Đirichlê ta phải làm xuất tình nhốt “thỏ” vào “chuồng” thoả mãn điều kiện : + Số ‘thỏ” phải nhiều số chuồng + “Thỏ” phải nhốt hết vào “chuồng” khơng bắt buộc chuồng phải có thỏ 18 Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – B CÁC DẠNG BÀI TẬP DẠNG 1: BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VD1(Định lí Pasch): CMR: Nếu đường thẳng không qua đỉnh tam giác khơng cắt cạnh tam giác, cắt hai cạnh tam giác HD: Giả sử cho ABC đường thẳng d Đường thẳng d chia mặt phẳng thành nửa mặt phẳng I II bờ d Vì A, B, C khơng thuộc d nên chúng nằm miền I miền II Vì có điểm mà có miền nên theo nguyên lí Đirichlê tồn + = điểm thuộc miền, chẳng hạn hai điểm A, B nằm miền I => d không cắt cạnh AB - Nếu C nằm miền I => d không cắt cạnh AC, BC A d d (I) C B (II)) - Nếu C nằm miền II => d cắt cạnh AC, BC A d d (I) C B (II)) Vây đường thẳng d không cắt cạnh tam giác, cắt hai cạnh tam giác Nhận xét: Để giải toán ta vận dụng kiến thức : Nếu A, B thuộc nửa mặt phẳng bờ d d khơng cắt đoạn thẳng AB; A, B nằm hai nửa mặt phẳng bờ d d cắt đoạn thẳng AB Trong tốn để vận dụng ngun lí Đirichlê, ta coi “ thỏ ” điểm A, B, C; “ lồng ” nửa mặt phẳng bờ d 19 Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG tốn – VD2: Cho hình vuông 13 đường thẳng, đường thẳng chia hình vng thành hai tứ giác ( hình thang) có tỉ số diện tích : Chứng minh số 13 đường thẳng cho, có đường thẳng đồng quy (cùng qua điểm) Giải: A M E B Q H D R P F S N G C d Gọi d đường thẳng chia hình vng ABCD thành hai hình thang có tỉ số diện tích Đường thẳng d cắt hai cạnh kề hình vng nên đường thẳng d cắt hai cạnh đối hình vng Giả sử d cắt hai cạnh AB Cd theo thứ tự M N Gọi E, F, G, H thứ tự trung điểm AB, BC, CD,DA, d cắt đường trung bình HF P Giả sử S AMND = S BMNC AD HP = BC PF => HP = PF Như đường thẳng cho chia đường trung bình hình vng theo tỉ số Có điểm chia đường trung bình HF, EG hình vng ABCD theo tỉ số P, Q, R, S Có 13 đường thẳng, đường thẳng qua điểm P, Q, R, S nên theo ngun lý Đirichlê có +1 = đường thẳng qua điểm, tức đường thẳng đồng quy */ Nhận xét: Ở này, coi “ thỏ” đường thẳng có 13 “thỏ”, coi “ lồng ” điểm chia đường trung bình hình vng theo tỉ số có “ lồng ” ( P,Q, R, S ) Sử dụng cơng thức tính : Diện tích hình thang = đường cao x đường trung bình */ Bài tập tương tự: 20 Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – Bài 1: Cho tứ giác ABCD đường thẳng d không qua đỉnh tứ giác Chứng minh đường thẳng d không cắt cạnh tứ giác cắt hai cạnh tứ giác ( Làm tương tự VD1) DẠNG 2: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI VD1: Cho 2013 điểm, điểm chúng tìm điểm mà khoảng cách chúng nhỏ Chứng minh ln tìm điểm có khoảng cách tới 1006 điểm khác nỏ HD: Trong 2013 điểm, lấy điểm A tùy ý - Nếu khoảng cách từ 2012 điểm lại đến A nhỏ kết luận tốn ln - Giả sử tồn điểm B 2012 điểm lại mà AB > 1, theo đề điểm C 2011 điểm cịn lại ( trừ A B) có AC < có BC < Có 2011 điểm cách A cách B khoảng nhỏ nên theo nguyên lí Đirichlê tồn + = 1006 điểm cách A cách B khoảng nhỏ => đpcm */ Nhận xét: Coi 2011 điểm lại ( trừ A B) 2011 “thỏ” khoảng cách đến A B nhỏ “lồng” VD2: Cho đường tròn bán kính điểm A, B, C, D, E tùy ý Chứng minh tồn điểm M nằm đường tròn cho MA + MB + MC+ MD + ME HD: - Vẽ đường kính MN đường trịn MN = - Với điểm M, N, A ln có MA + NA MN = Tương tự, ta có MB + NB MN = MC + NC MN = MD + ND MN = ME + NE MN = => ( MA + MB + MC + MD + ME) + ( NA + NB + NC + ND + NE) 10 (1) Theo nguyên lí Đirichlê hai tổng vế trái (1) tồn tổng khơng nhỏ 10 : = Do hai điểm M, N tồn điểm, chẳng hạn M có tính chất MA + MB + MC+ MD + ME 21 Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – VD3: Bên tam giác ABC có độ dài cạnh cho điểm Chứng minh điểm ln tìm điểm mà khoảng cách chúng nhỏ A HD: D E G N M N B H C F Lấy D, E, F theo thứ tự trung điểm AB, AC, BC Khi có tam giác có cạnh ADE, BDF, CFE, DEF Có điểm nằm tam giác nhỏ nên theo ngun lí Đirichlê ln tồn tam giác nhỏ chứa điểm cho, chẳng hạn BDF chứa điểm M N, hai điểm không trùng với B, D, F Ta chứng minh MN < Thật vậy, MN cắt cạnh tam giác BDF, chẳng hạn MN cắt BD, BF thứ tự G, H Xét BGH có + = 120 => góc khơng nhỏ 60 0, chẳng hạn 600, nên BH GH Ta có MN GH mà M, N không trùng với B, D, F => MN < */ Nhận xét: Để vận dụng ngun lí Đirichlê, ta phân chia hình thành nhiều hình Ở ta coi “thỏ” n điểm có “ thỏ”, coi “lồng” tam giác độ dài cạnh nên có “lồng” */ Bài toán tổng quát: Khoảng cách lớn hai điểm nằm bên cạnh đa giác độ dài cạnh lớn đường chéo lớn đa giác */ Bài tập tương tự: Bài 1: Cho đường trịn bán kính ba điểm A, B,C tùy ý Chứng minh tồn điểm S nằm đường tròn cho SA + SB +SC 15 ( Làm tương tự VD2) HD: Vẽ đường kính SS’ đường trịn Chứng minh S S’ điểm cần tìm Bài 2: Trên đường trịn bán kính 1dm đánh dấu 20 điểm Chứng minh tồn điểm đường trịn mà tổng khoảng cách từ đến 20 điểm đánh dấu lớn 20 dm HD: Tương tự VD2 : Vẽ đường kính AB cho A, B không trùng vào 20 điểm , , … , cho Hãy chứng minh hai điểm A, B điểm phải tìm 22 Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – Bài 3: Trong hình vng cạnh 3cm, lấy 10 điểm Chứng minh 10 điểm vừa lấy đôi cách khoảng lớn 1,5cm (KSHSG8/ 14-15/ V1) HD: Chia hình vng cạnh 3cm thành hình vng cạnh 1cm đường song song hình vẽ Vì có 10 điểm nằm hình vng nhỏ nên theo ngun lí Đirichlê tồn hai điểm thuộc hình vng cạnh 1cm (có thể nằm cạnh) Mà điểm nằm hình vng cạnh 1cm cách khoảng không vượt độ dài đường chéo hình vng (và cm) Như 10 điểm lấy ln tồn điểm cách khoảng không vượt cm Vì Tồn hai cạnh AB, CD có độ dài nhỏ 28 : = 14 (cm) Chẳng hạn AB < 14 cm Gọi M trung điểm BD Với điểm A, M, C ln có MA + MC AC = 16cm => Tồn hai đoạn thẳng MA, MC 16 : = (cm), chẳng hạn MC 8cm Trong góc kề bù ln tồn góc 900 , chẳng hạn 900 => CD2 MC2 + MD2 82 + 62 = 102 Vậy CD 10cm Bài 5: 23 Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – a) Bên hình chữ nhật có kích thước x cho điểm Chứng minh tồn hai điểm điểm có khoảng cách nhỏ 2,24 b) Bên hình chữ nhật có kích thước x cho điểm Chứng minh tồn hai điểm điểm có khoảng cách nhỏ 2,24 HD: a) Chia hình chữ nhật x thành hình chữ nhật nhỏ kích thước x Vì có điểm nằm hình chữ nhật nhỏ nên theo nguyên lý theo A B nguyên lí Đirichlê tồn + = điểm thuộc hình, chẳng hạn hai điểm A, B Ta dễ chứng minh AB độ dài đường chéo hình chữ nhật kích thước x => AB = < 2,24 b) Chia hình chữ nhật x thành phần hình gồm hình ngơi nhà cà hình nửa ngơi nhà .A B Vì có điểm nằm hình nhỏ nên theo nguyên lý nguyên lí Đirichlê tồn + = điểm thuộc hình, chẳng hạn hai điểm A, B Ta dễ chứng minh AB đường chéo hình chữ nhật kích thước x2 => AB = < 2,24 Bài 6: Bên tam cạnh 6cm cho 21 điểm phân biệt Chứng minh ln tồn hình trịn bán kính 1cm chứa ba điểm 21 điểm cho HD: 24 Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – Chia tam giác cho thành lục giác cạnh 1cm phần lục giác cạnh 1cm hình ( gồm 10 phần) Vì 21 điểm nằm tam giác nên 21 điểm nằm 10 phần Khi theo ngun lý ngun lí Đirichlê tồn + = điểm thuộc phần, phần lục giác cạnh 1cm phần lục giác cạnh 1cm => Đường tròn với tâm tâm lục giác đều, bán kính 1cm chứa điểm Bài 7: Trong tam giác có cạnh lớn 2, người ta lấy điểm phân biệt Chứng minh điểm ln tồn điểm mà khoảng cách chúng không vượt HD: Chia tam giác ABC thành tam giác nhỏ có cạnh lớn 1, cách lấy điểm D, E, F theo thứ tự trung điểm cạnh AB, BC, CA Vì điểm nằm ABC nên điểm nằm tam giác nhỏ Khi theo ngun lý ngun lí Đirichlê tồn + = điểm thuộc tam giác nhỏ, khoảng cách chúng độ dài cạnh lớn tam giác nhỏ cạnh => đpcm Bài 8: Bên đường trịn có bán kính cho điểm Chứng minh tồn hai điểm điểm có khoảng cách nhỏ HD: Chia đường trịn có bán kính thành hình quạt Vì điểm nằm đường trịn có bán kính nên điểm nằm hình quạt Khi theo ngun lý ngun lí Đirichlê tồn + = điểm thuộc hình quạt, chẳng hạn điểm A, B thuộc hình quạt COD D B O E A 25 O C Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – - Nếu điểm A, B trùng với O AB < - Nếu điểm A, B không trùng với O Xét AOB có 600 => + 120 Theo nguyên lý nguyên lí Đirichlê tồn góc , 600, chẳng hạn 600 => => OA AB Kẻ bán kính OE qua A OA < OE = Vậy AB Tồn góc có độ lớn lớn 900, chẳng hạn Xét ABC có + 900 A BA D C => Tồn góc 450 => ABC thỏa mãn đề - TH2: Nếu D nằm ABC + + = 3600 => Tồn góc có độ lớn lớn 1200, chẳng hạn B Xét ABD có + 600 => Tồn góc 300 < 450 => ABD thỏa mãn đề D A 26 C Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG tốn – VD2: Cho 19 điểm khơng có điểm thẳng hàng nằm lục giác có cạnh Chứng minh ln tồn tam giác có đỉnh điểm điểm cho mà có góc khơng lớn 45 nằm đường trịn có bán kính nhỏ HD: Chia lục giác thành tam giác cạnh 1, có đỉnh tâm lục giác đều, hai đỉnh hai đỉnh liên tiếp lục giác Vì 19 điểm nằm lục giác nên 19 điểm nằm tam giác Theo nguyên lý nguyên lí Đirichlê tồn + = điểm nằm tam giác Chẳng hạn, điểm A, B, C, D Khi điểm nằm đường tròn ngoại tiếp tam giác cạnh 1, có bán kính R = < DẠNG 4: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN DIỆN TÍCH VD1: Bên hình vng cạnh 1cm lấy 100 điểm phân biệt để với đỉnh hình vuông 104 điểm Chứng minh số tam giác có ba đỉnh1 điểm 104 điểm đó, ln tồn tam giác có diện tích khơng vượt q 202 cm2 HD: Gọi 100 điểm hình vng A1, A2, ,A 100 27 Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – Bước ta nối A1 với đỉnh hình vng tam giác Ở bước tiếp theo: Xét điểm Ak (k=2,3, 100) Nếu Ak nằm tam giác tạo (ví dụ A2) ta nối với đỉnh tam giác đó, số tam giác tăng thêm Nếu Ak thuộc cạnh chung tam giác (ví dụ A3) ta nối với đỉnh đối diện cạnh chung, số tam giác tăng thêm A2 A1 A3 Như sau bước ta tam giác Trong 99 bước lại bước tăng thêm tam giác, tổng cộng có 4+2.99=202 tam giác Và 202 tam giác đơi khơng có điểm chung Vì tổng diện tích 202 tam giác 1cm2 nên tồn tam giác có diện tích khơng vượt q 202 cm2 Bài tốn tổng qt: Bên hình vng cạnh cho n điểm Chứng minh số tam giác có đỉnh điểm đó1 đỉnh hình vng, ln tồn tam giác có diện tích khơng vượt q 2n + VD : Bên hình tam giác có diện tích cho 100 điểm Chứng minh số tam giác có đỉnh điểm đỉnh tam giác đều, tồn tam giác có diện tích khơng vượt q HD: Ta chia tam giác thành hình tam giác khơng có điểm chung cho đỉnh tam giác số 100 + = 103 điểm cho Mỗi điểm đỉnh tam giác Tổng góc có đỉnh 100 điểm bên tam giác là: 360 100 = 36000 Tổng góc có đỉnh đỉnh tam giác 180 => Tổng góc tất tam giác tạo thành là: 36000 + 1800 = 36180 => Số tam giác taọ thành là: 36180 : 1800 = 201( tam giác) Vì tổng diện tích 201 tam giác nên tồn tam giác có diện tích khơng q 28 Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – Bài toán tổng quát: Bên hình tam giác có diện tích cho n điểm Chứng minh số tam giác có đỉnh điểm đỉnh tam giác đều, tồn tam giác có diện tích khơng vượt q DẠNG 5: BÀI TỐN VÈ HÌNH NẰM TRONG HÌNH KHÁC VD1: Cho 33 điểm nằm hình vng có độ dài cạnh 4, khơng có điểm thẳng hàng Người ta vẽ đường trịn có bán kính tâm điểm cho Hỏi có hay không ba điểm điểm cho cho chúng thuộc phần chung ba hình trịn có tâm ba điểm Vì sao? HD: Chia hình vng cho thành 16 hình vng đơn vị ( cạnh song song với cạnh hình vng cho có độ dài 1) Vì có 33 điểm nằm 16 hình vng đơn vị nên theo nguyên lý nguyên lí Đirichlê tồn + = điểm nằm cạnh hình vng đơn vị Chẳng hạn, điểm A, B, C nằm hình vng đơn vị MNPQ Ta có: MP = => AE MP = , với điểm E thuộc hình vng MNPQ Từ hình trịn ( A; ) phủ tồn hình vng MNPQ => hình trịn ( A; ), ( B; ) , (C; ) chứa hình vng MNPQ nên điểm A, B, C nằm phần chung hình tròn Nhận xét: Ở , số “ thỏ ” số điểm, số “ lồng ” số lưới ô vuông nhỏ PHẦN III: MỘT SỐ ĐỀ THI Câu 1: Chứng minh từ 2015 số tự nhiên a1 , a2 , , a2015 , tạo nhóm, gồm số, mà tổng tất số thuộc nhóm chia hết cho 2015 (KSHSG7/ 14-15) HD: 29 Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – + Xét dãy số gồm 2015 số hạng S1 , S , , S 2015 , xác định sau: S1 = a1 ; S2 = a1 + a2 ; ; S 2015 = a1 + a2 + + a2015 + Nếu số hạng dãy chia hết cho 2015, tốn chứng minh + Nếu tất số hạng dãy không chia hết cho 2015, chia tất 1;2; ;2014} số hạng dãy cho 2015 số dư thuộc tập hợp { Tuy nhiên chia tất số hạng dãy cho 2015 có 2015 số dư Như theo ngun lý Diriclet tồn hai số hạng có số dư chia cho 2015 Khơng tính tổng quát giả sử hai S m = a1 + a2 + + am ; Sn = a1 + a2 + + an , ( ≤ m < n ≤ 2015 ) Xét hiệu: S n − S m = am+1 + am+ + + an chia hết cho 2015 số hạng là: Câu 2: Cho 2013 số khác thỏa mãn số lập nên tỉ lệ thức Chứng minh 2013 số cho có 504 số HD: Trước hết ta chứng minh: 2013 số cho nhận nhiều giá trị khác Thật chúng nhận giá trị khác ta giả sử giá trị khác a < b < c < d < e (1) +Vì số a, b, c, d lập thành tỉ lệ thức, mà từ (1) suy khơng thể có: a.b = c.d a.c = b.d Do a.d = b.c (2) + Tương tự số a, b, c, e lập thành tỉ lệ thức, mà từ (1) suy khơng thể có: a.b = c.e a.c = b.e Do a.e = b.c (3) Từ (2) (3) => d = e => mâu thuẫn với (1) Vậy 2013 số cho nhận nhiều giá trị khác Mà 2013 = 503.4 + nên theo nguyên tắc Đi-rich-lê phải có 503 + = 504 số Câu 3: Có sáu túi chứa 18, 19, 21, 23, 25 34 bóng Một túi chứa bóng đỏ năm túi chứa bóng xanh Bạn Tốn lấy ba túi, bạn Học lấy hai túi Túi cịn lại chứa bóng đỏ Biết lúc bạn Tốn có số bóng xanh gấp đơi số bóng xanh bạn Học Tìm số bóng đỏ túi cịn lại ( HSG7/ 15-16) HD: Tổng số bóng túi : 18+19+21+23+25+34=140 30 Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – Vì số bóng Tốn gấp hai lần số bóng học nên tổng số bóng hai bạn bội Ta có : 140 chia 46 dư Do số bóng đỏ số chia dư Trong sáu số cho có 23 chia dư 2, số bóng đỏ túi cịn lại Từ ta tìm số bóng Tốn : 18+21=39.Số bóng học : 19+25+34=78 Câu 4: Một tam giác có cạnh 2014 chia thành 2014 tam giác nhau, tam giác có cạnh ( cách chia hình vẽ dưới) Đánh số tự nhiên 1, 2,3, ,m vào tam giác đó, cho tam giác chứa số liên tiếp phải có cạnh chung Chứng minh m ≤ 2013.2014 + HD: + Tô màu tam cạnh màu đen trắng hình2014 vẽ 2015 + + + 2014 = + Khi số tam giác tô màu đen 2013.2014 + + + 2013 = Số tam giác tô màu trắng + Theo cách đánh số hai tam giác đánh số liên tiếp có màu khác Vì số tam giác đánh số, số tam giác đen nhiều số tam giác trắng + Vậy tổng số tam giác đánh số không nhiều 2013.2014 + = 2013.2014 + ⇒ m ≤ 2013.2014 + Câu 4: Trong tam giác cạnh 1, ta đặt 17 điểm Chứng minh rằng, tồn hai điểm mà khoảng cách chúng nhỏ 31 Chuyên đề : Nguyên lý Đirichlê bồi dưỡng HSG toán – Giải: Chia tam giác cho thành 16 tam giác nhỏ, cạnh có độ dài (như hình bên) Theo ngun tắc Dirichlet tồn hai điểm nằm hình tam giác nhỏ Hai điểm có khoảng cách bé (ĐPCM) Câu 5: Trong hình trịn tâm O bán kính R = ( đơn vị dài) Cho điểm phân biệt, biết rằng: khoảng cách hai điểm chúng không nhỏ Chứng minh rằng: điểm phải trùng với tâm O Câu 6: Trong hình vng cạnh 3cm lấy 10 điển Chứng minh 10 điểm vừa lấy đôi cách khoảng lớn 1,5cm (KS HSG TỐN 8- VỊNG 1/ 14 – 15) HD: Chia hình vng cạnh 3cm thành hình vng cạnh 1cm đường song song hình vẽ Vì có 10 điểm nằm hình vng nhỏ nên theo ngun lí Đirichlet tồn hai điểm thuộc hình vng cạnh 1cm (có thể nằm cạnh) Mà điểm nằm hình vng cạnh 1cm cách khoảng không vượt độ dài đường chéo hình vng (và cm) Như 10 điểm lấy ln tồn điểm cách khoảng không vượt cm Vì