Nếu mọi người đều phải đấu với nhau và 2 vận động viên chỉ đấu với nhau một trận thôi thì có tất cả bao nhiêu trận đấu?. Giải * Cách 1: Vận động viên thứ nhất đấu lần lượt với 15 vận độn[r]
(1)Chuyên đề 1: tiết GIỚI THIỆU SƠ LƯỢC VỀ LÝ THUYẾT TẬP HỢP VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN Tiết A LÝ THUYẾT I/ TẬP HỢP – PHẦN TỬ CỦA TẬP HỢP 1/ Trong toán học và khoa học tính toán, khái niệm tập hợp liên quan đến nhóm các đối tượng không thứ tự gọi là phần tử tập hợp Ví dụ 1: a/ Tập hợp A các phần tử a,b,c,x,y viết sau: a, b,c, x, y A = b, x, c, y, a A= Trong đó a, b, c ,x, y gọi là các phần tử tập hợp b/ Tập hợp B các số tự nhiên nhỏ 100 sau: 0,1, 2,3, ,98, 99 B= 2/ Số phần tử tập hợp - Một tập hơp có thể không có, có hay nhiều phần tử - Tập hợp không có phần tử nào gọi là tập hợp rỗng Kí hiệu Ví dụ 2: - Tập hợp A ( ví dụ trên ) có phần tử - Tập hợp B ( ví dụ trên ) có 100 phần tử - Tập hợp C các số tự nhiên nhỏ không có phần tử nào Khi đó ta viết C - Tập hợp các số tự nhiên từ a b, hai số cách d đơn vị có ( ( b – a ) : d + ( phần tử ) 3/ Các kí hiệu , Ta viết: a A: Đọc là a thuộc A ( a là phần tử tập hợp A ) a B: Đọc là a không thuộc B ( a không phải là phần tử tập hợp B ) II/ TẬP HỢP CON: 1/ Tập hợp D là tập hợp tập hợp C phần tử D thuộc C 2/ Kí hiệu D C Đọc là: D là tập hợp C ( D chứa C, C chứa D ) 3/ Mỗi tập hợp là tập hợp chính nó 4/ Tập hợp rỗng là tập hợp tập hợp a, b, x, y Ví dụ 3: C = x, y D= Ta có: D C; D D; C C 5/ Người ta chứng minh tập hợp có n phần tử thì số tập hợp nó là 2n III/ HAI TẬP HỢP BẰNG NHAU: Hai tập hợp A và B gọi là phần tử A thuộc B và phần tử B thuộc A Kí hiệu: A = B Ví dụ 4: a, b, c, x A= x, c, b, a B= Ta có A = B IV/ HỌA TẬP HỢP: Tập hợp minh họa vòng kín, bên vòng có các phần tử cùa tập hợp đó Ví dụ 5: (2) A= 1,3,5, 7, 9 minh họa sau: V/ CÁCH VIẾT TẬP HỢP: Có hai cách: 1/ Viết cách liệt kê các phần tử 1,3,5, 7, 9 Ví dụ: A = 2/ Viết cách các tính chất đặc trưng các phần tử nó x / x N; x 100 Ví dụ: Tập hợp B ví dụ 1b có thể viết: B = Lưu ý: Khi viết các tập hợp cách liệt kê các phần tử Mỗi phần tử tập hợp viết lần VI/ CÁC PHÉP TOÁN CỦA TẬP HỢP: 1/ Phép hợp: Hợp hai tập hợp A và B, kí hiệu A B, là tập hợp bao gồm tất các phần tử thuộc A thuộc B x / x A, x B A B = AB Ví dụ: cho A = [ -2 ; 1] và B = (1 ; ) Ta có A B= [ - ; ) 2/ Phép giao : Giao hai tập hợp A và B, kí hiệu là A B, là tập hợp bao gồm tất các phần tử thuộc cà A và B x / x A, và x B A B = A B Ví dụ : Cho A =(0 ; 2] và B = [1 ; ] ta có : A B = [ ; ] 3/ Hiệu hai tập hợp: Hiệu hai tập hợp A và B, kí hiệu là A\B, là tập hợp bao gồm tất các phần tử thuộc A không thuộc B x / x A, và x B A\ B = A\B B BÀI TẬP Tiết Bài tập 1: Viết tập hợp A các số tự nhiên lớn và nhỏ 12 cách Giải 8;9;10;11 - Bằng cách liệt kê các phần tử: A= x N / x 12 - Bằng cách nêu tính chất đặc trưng: A = (3) Bài tập 2: Viết tập hợp B các chữ cái cụm chữ “ SÔNG HỒNG ” Giải S,OÂ , N,G, H B = OÂ, G, N, H,S , … đúng B= Bài tập 3: Cho tập hợp A = m, n, p ; B = x,y, z Điền vào ô vuông : n A; p B; m Giải n A ; p B ; m A m B Bài tập 4: Nhìn các hình và 2, viết các tập hợp A, B, C: Hình Hình Giải m, n,4 ; B = baøn ; C = baøn,gheá A= Bài tập 5: Viết các tập hợp sau và cho biết tập hợp có bao nhiêu phần tử ? a/ Tập hợp A các số tự nhiên x mà x – = 13 b/ Tập hợp B các số tự nhiên x mà x + = c/ Tập hợp C các số tự nhiên x mà 0.x = d/ Tập hợp D các số tự nhiên x mà x.0 = Giải 18 có phần tử a/ A = 0 có phần tử b/ B = có vô số phần tử c/ C = N không có phần tử nào d/ A = 0,2, 4,6,8,10,12,14 ; B = 1,3,5,7,9 ; C = 0,5,10,15,20 Bài tập 6: Cho các tập hợp A = a/ Viết tập hợp M các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B b/ Viết tập hợp N các phần tử thuộc B, thuộc C c/ Viết tập hợp R các phần tử thuộc B không thuộc C Giải a/ M = 0,1,3,5, 7,9,10,15,20 b/ N = 1,3,7,9 c/ R = Bài tập 7: Viết các tập hợp và cho biết tập hợp có bao nhiêu phần tử a/ Tập hợp các số tự nhiên không vượt quá 50 b/ Tập hợp các số tự nhiên lớn nhỏ Giải 0,1,2, , 49,50 hay A = x N / x 50 có 51 phần tử a/ A = b/ Không có số tự nhiên nào nằm số tự nhiên liên tiếp và nên tập hợp các số tự nhiên lớn bé là số phần tử nào tập hợp (4) Bài tập 8: Cho A = 0 có thể nói A = hay không? Giải 0 A có phần tử là chữ số còn tập không có phần tử nào nên không thể nói A= A = Bài tập 9: Viết tập hợp A các số tự nhiên nhỏ và tập hợp B các số tự nhiên nhỏ dùng kí hiệu để thể mối quan hệ tập hợp trên Giải 0,1,2,3, 4,5 A= 0,1,2,3, 4,5,6,7 B= A B hay B A 8,10 Điền kí hiệu vào ô vuông Bài tập 10: Cho tập hợp A = a/ A 10 8,10 c/ b/ A A Giải Tiết a/ A 10 A b/ 8,10 A c/ Bài tập 11: Tính số phần tử các tập hợp: 40,41, 42, ,100 a/ A = 10,12,14, ,98 b/ B = 35,37,39, ,105 c/ C = Giải Cách 1: a/ Số phần tử A ( 100 – 40 ) + = 61 phần tử b/ Số phần tử B [( 98 – 10 ) : ] + = 45 Cách 2: b/ Các phần tử B là các số chẵn từ 10 98 Số chục từ 10 100 là Mỗi chục có chữ số chẵn Vậy số phần tử B là = 45 ( phần tử ) c/ Cách 1: Số phần tử C [ ( 105 -35) :2] + 1= 36 Cách 2: Ta cần tìm các số lẽ từ 35 105 Trong các số chục từ 40 100, chục có số lẽ, cùng vơi số lẽ 35,37,39,101,103,105 Vậy số phần tử C là: 5.6+ = 36 phần tử a, b, c, d và B = a, b Bài tập 12: Cho tập hợp A = a/ Dùng kí hiệu để thể quan hệ A và B b/ Dùng hình vẽ để minh họa tập hợp A , B Giải a/ A B hay B A b/ (5) Bài tập 13: Tập hợp M = phần tử a, b, c Viết các tập hợp tập hợp M cho tập hợp đó có Giải a, b ; a, c ; b, c Bài tập 14: Gọi A là tập hợp số học sinh lớp 6A có điểm 10 trở lên, B là tập hợp số học sinh lớp 6A có điểm 10 trở lên, M là tập hợp số học sinh lớp 6a có điểm 10 trở lên Dùng kí hiệu để thể quan hệ tập hợp nói trên Giải Một học sinh lớp 6A có điểm 10 trở lên là người có điểm 10 trở lên Vậy B A hay A B Tương tự ta có M A; M B Bài tập 15: Gọi A là tập hợp các số tự nhiên nhỏ Trong các cách viết sau đây cách viết nào sai ? Vì ? 0,2,3,1 a/ A = 0,1,2,3,1 b/ A = 0,1,2,3 c/ A= 0,1,2, 0,3 d/ A= Giải Trong tập hợp phần tử viết lần nên b và d sai Bài tập 16: Dựa vào đâu ta viết A = x, y, z thì ta biết x y; y z; z x Giải Lập luận bài tập 15 , ,.,: , B = x, ,:, ; C = :, , x, Trong các cách viết sau đây, Bài tập 17: Cho A = cách nào viết đúng, cách nào viết sai ? a/ A B b/ B = C c/ A = C Giải a/ Sai b/ đúng c/ đúng Bài tập 18: Cho R = ; B Trong các cách viết sau đây cách viết nào đúng, cách viết nào sai ? a/ R R b/ R = R c/ R B d/ B R e/ B B f/ B = B Giải a/ đúng b/ đúng c/ đúng d/ sai e/ sai f/ đúng m, n, p,q, r và B = m, p Bài tập 19: Cho tập hợp A = a/ Viết tập hợp các phần tử thuộc A không thuộc B b/ Viết tập hợp các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B c/ Viết tập hợp C cho C A và B C Giải (6) n, p, r m , p , m, p b/ m, n, p hay C = m, p,q, r c/ C = 1; 3; 5 A= 1; 2; 3 B= a/ Bài tập 20: Cho hay … Tìm tập hợp ( A\B) (B\A) và (A B) \ (A B) Hai tập hợp nhận là hay khác : Giải (A \ B) (B \ A) 5 2 2; 5 Ta có : (A B) \ (A B) 1; 2; 3; 5 \ 1; 3 2; 5 (A \ B) (B \ A) A B \ A B Vậy Tiết Bài tập 21: Cho A = [ - ; 1] và B = ( - 3; ) Tìm A B và A B Giải A B = [ - ; 1) và A B = ( - ; ] n , n là ước 12 n , n là ước 18 B= Bài tập 22: Cho A = Xác định A B và A B Hãy viết tập hợp đó cách Giải A B 1; 2; 34; 6; 9;12;18 n ; n là ước 36 và nhỏ 36 = A B = 1, 2, 3, n ; n là ước = Bài tập 23: Xác định tập hợp sau,và biểu diễn cgúng trên trục số 3; 3 1; a/ 2; 1; b/ 3; 3 \ 0; c/ Giải 3; 3 1; = 3; a/ 2; 1; = 1; b/ 3; 3 \ 0; = 3; c/ Tiết 5,6 Bài tập 24: Xác định tập hợp sau với A là tập tùy ý Đáp án (7) a/ A A b/ A A c/ A \ A d/ A =A =A = = e/ A d/ A \ =A =A = f/ \ A Bài tập 25: Xác định tập hợp A và B biết A \ B = A B 3; 6;9 và Giải 1;5; 7;8 và A B 3; 6;9 Từ A \ B = A 1;3;5; 7;8; 9 1;5; 7;8 và B \ A = 2;10 2;10 và A B 3; 6;9 Từ B \ A = B 2;3; 6;9;10 Bài tập 26: Cho A là tập hợp các số tự nhiên chẵn không lớn 10; B = n ; n 10 Hãy tìm : và C = A B C a/ A \ B A \ C b/ (A \ B) A \ C (B \ C) c/ Giải A 0; 2; 4; 6;8;10 n ; n 6 0;1; 2;3; 4;5; 6 4;5; 6; 7;8;9;10 C= B C 0;1; 2;3; 4;5; 6;7;8;9;10 a/ A B C A A \ B 8;10 b/ A \ C 0; 2 A \ B A \ C = 0; 2;8;10 B \ C 0;1; 2;3 c/ (A \ B) A \ C (B \ C) = 0;1; 2;3;8;10 B= Bài tập 27: Một lớp học co 50 HS đó co 15 HS giỏi Toán; 20 HS giỏi Văn và có 12 HS vừa giỏi Toán vừa giỏi Văn a/ Giáo viên muốn khen thưởng HS giỏi ( toán văn ) Hỏi có bao nhiêu HS khen thưởng b/ Hỏi có bao nhiêu HS lớp không giỏi toán và củng không giỏi văn (8) Giải Gọi E, A, B là các HS lớp, các HS giỏi toán và các HS giỏi Văn E, A, B có 50 ; 15 ; 20 phần tử A B là tập hợp HS giỏi toán và văn ( A B có 12 phần tử ) a/ Số HS khen thưởng là 15 + 20 -12 =23 ( HS) b/ Có 50 – 23 = 27 HS không giỏi toán không giỏi văn Bài tập 28: Tìm số phần tử tập hợp A và B biết tập hợp B không rỗng ( B ) và số phần tử tập hợp A B là 5, số phần tử tập hợp A B số phần tử tập hợp B Vẽ giãn đồ tương ứng với trường hợp Giải Ta tạm dùng kí hiệu card X để số phần tử tập hợp X Ta có: Card( A B ) = Card B 5 Card (A B) Vì Card( A B) là số tự nhiên nên ta có: Card( A B) = Card( A B) = ( Card( A B) vì card B 0) 1/ Trường hợp: Card ( A B) = CardB 2 CardA 4 2/ Trường hợp 2: Card ( A B) = CardB 4 CardA 3 Vậy : Số phần tử A là 4, B là : số phần tử A là 3, B là Bài tập 29: Cô giáo chủ nhiệm lớp 6A tổ chức ngoại khóa cho 50 học sinh lớp 6A có 25 học sinh tham gia tổ toán, 30 học sinh tham gia tổ văn, học sinh không tham gia tổ nào Hỏi có bao nhiêu học sinh tham gia cùng lúc tổ toán và văn? Giải Gọi x là số học sinh tham gia cùng lúc hai tổ toán và văn Số học sinh tham gia ngoại khóa là : 50-7=43 (học sinh) Theo đề bài ta có: 25+(30 - x) = 43 (25+30) - x = 43 x = 55-43 x = 12 Vậy có 12 học sinh tham gia ngoại khóa cùng lúc hai tổ toán và văn Bài tập 30: Trong đấu bóng bàn, có 16 người tham dự Nếu người phải đấu với và vận động viên đấu với trận thôi thì có tất bao nhiêu trận đấu? Giải * Cách 1: Vận động viên thứ đấu với 15 vận động viên cón lại có 15 trận đấu Vận động viên thứ hai đã đấu với vận động viên thứ nên thi đấu 14 trận với 14 vận động viên còn lại có 14 trận đấu (9) Vận động viên thứ ba thi đấu 13 trận với 13 vận động viên còn lại có 13 trận đấu …………… Tổng số trận đấu: S = 15 + 14 + 13 +………+ + + = 120 ( trận ) * Cách 2: Mỗi vận động viên phải đấu 15 trận 16 vận động viên phải có 15.16=240 trận ( đó vận động viên phải thi dấu với trận) Theo đề vận động viên đấu với trận, đó số trận đấu tất là : 240 : = 120 (trận) Bài tập 31: Người ta bắt dây điện dọc theo đường: Cứ cách 45m thì trồng cột điện Sau giải tỏa, người ta trồng lại các cột điện : Cứ cách 50m thì trồng cột Biết cột điện thứ khỏi phải trồng lại thì các cột điện cũ khỏi phải trồng lại là cột điện nào? Giải Nếu cột đầu không trồng lại thì sau đoạn đường BCNN 45+60 thì cột điện đó khỏi phải trồng lại Ta có BCNN(45,60) = 80 180: 45 = Vậy không tính cột đầu, các cột thứ 4, 8, 12 (cũ), … không phải trồng lại ( cột đầu mang kí hiệu 0) (10)