Tuyển tập công thức giải nhanh trắc nghiệm toán

Phác đồ 9+ mơn Tốn Ngọc Huyền LB TUYỂN TẬP CƠNG THỨC GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM TỐN VẤN ĐỀ 1: CÁC CƠNG THỨC THỂ TÍCH TỨ DIỆN KHĨ T di n S.ABC có SA  a,SB  b,SC  c ASB VS ABC  BSC CSA : abc  cos2   cos2   cos2   2cos  cos  cos  T di n ABCD có AB  a,CD  b, d  AB,CD   d AB CD   VABCD  abd sin  T di n S.ABC có SSAB  S1 , SSAC  S2 , SA  a VSABC  SAB SAC   2S1S2 sin  (Cơng th c th tích góc nh di n) 3a T di n S.ABC có SA  a,SB  b,SC  c VS ABC  SAB SAC   , ASB ASC abc sin .sin .sin  Th tích t di n đ u ABCD c nh b ng a V ABCD  a3 12 T di n ABCD có AB  CD  a, BC  AD  b, AC  BD  c a 12 VABCD     b2  c b2  c  a a  c  b2  (Th tích t di n g n đ u) VẤN ĐỀ 2: GÓC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG S S S E H I A P F C B P P K G D Góc lo i 1: SA P SAH (Góc gi a c nh bên m t ph ng đáy Góc lo i 2: SB SIC BSF (Góc gi a c nh bên m t ph ng đ ng ch a đ Góc lo i 3: SK SDE KSG (Góc gi a đ ng cao SI) ng cao SK m t bên SDE ) VẤN ĐỀ 3: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG S S S P B A D P A Góc lo i 1: SAB P Góc lo i 2: SAB SCD Góc lo i 3: SMN B J O H C C K D N M SCD (Góc gi a m t bên m t ph ng đáy SHN KSJ (Góc gi a hai m t bên có hai c nh song song AB CD) OPM (Góc gi a m t bên m t ph ng đ ng ch a đ ng cao SH) NGỌC HUYỀN LB| Phác đồ 9+ mơn Tốn The Best or Nothing VẤN ĐỀ 4: CÁC VẤN ĐỀ VỀ MẶT CẦU M t c u lo i 1: Các đ nh A, B, D nhìn SC d i m t góc vng bán kính m t c u R  SC S S A C A D B B C Ví d 1: Cho hình chóp S.ABC có ABC vng t i B, SA   ABC  SC  2a Th tích m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC A a B a C a 3 D 32 a L i gi i Ta có BC  AB, BC  SA  BC  SAB  BC  SB  SBC  90  SAC Suy đ nh A, B nhìn c nh SC d i m t góc vng Bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp R  SC 4  a  Th tích kh i c u là: V  R3  a3 đvtt 3 Đáp án A Ví d 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA   ABCD SC  2a Tính th tích m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD A a 3 B a 3 C a 3 D a 3 L i gi i Ta có BC  AB, BC  SA  BC  SAB  BC  SB  SBC  90 L i có CD  AD, CD  SA  CD  SAD  CD  SD  SDC  90 Nh v y SBC SDC SAC  90 Các đ nh A, B, D nhìn c nh SC d Bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp R  SC 4R 4a aV   3 3 i m t góc vng đvtt Đáp án B M t c u lo i 2: N u SA vng góc v i đáy R2  RD2  đ ng tròn ngo i ti p m t đáy N u đáy tam giác vng RD  SA Các v n đ c n ý v RD (bán kính a c nh huy n n u đáy tam giác đ u RD  a 2 N u đáy hình ch nh t RD  đ 2 N u đáy hình vng RD  ng chéo N u đáy tam giác cân có góc 1200 c nh bên b ng a c nh đáy b ng a RD  a N u đáy tam giác th |NGỌC HUYỀN LB ng áp d ng cơng th c Herong: RD  abc p  p  a  p  b  p  c  Phác đồ 9+ mơn Tốn Ngọc Huyền LB Ví d 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA   ABCD , SA  2a ABCD hình ch nh t v i đ ng chéo có đ dài b ng a Tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp L i gi i Ta có RD  a nên bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD đ c tính theo cơng th c:  a   2a  SA2 5a 3a R R      a2      4   2 D Ví d 2: Cho hình chóp S.ABC có SA   ABCD , SA  2a ABC đ u c nh b ng a Tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC L i gi i a a Ta có RD  nên bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC đ  3 c tính theo cơng th c:  a   2a  SA2 a2 2a R R      a2      4 3   2 D Ví d 3: Cho hình chóp S.ABC có SA   ABCD , SA  2a ABC vuông t i A, BC  2a Tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC L i gi i Ta có RD  BC 2a   a nên bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC đ 2 c tính theo công th c:  2a   a SA2 R R   a2  4 2 D Ví d 4: Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , SA  2a ABC cân t i A, AB  a, BAC  120 Tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC L i gi i Theo đ nh lý hàm s cosin ta có: BC  AB2  AC  AB.AC.cos BAC  a2  a2  2a.a.cos120  a T SABC  AB.AC.BC BC a AB.AC.sin BAC   RD    a RD 2sin BAC 2sin120 Bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC đ c tính theo cơng th c:  2a   a SA2 R R   a2  4 2 D M t c u lo i 3: N u O.ABC tam di n vng t i O R2   OA2  OB2  OC  Ví d : Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đơi m t vng góc v i Bi t SA  a, SB  2a SC  3a Tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC L i gi i Bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp đ R c tính theo cơng th c: 2 a 14 1 SA  SB2  SC  a   a    3a   2 NGỌC HUYỀN LB| Phác đồ 9+ mơn Tốn The Best or Nothing M t c u lo i 4: N u chóp có c nh bên b ng hình chóp đ u) R  SA2 Trong O tâm c a 2SO đáy N u đáy tam giác đ u O tâm, tr c tâm N u đáy tam giác vng O trung m c nh huy n N u đáy hình vng hình O giao m hai đ ng chéo trung m m i đ ng Ví d 1: Cho hình chóp tam giác đ u S.ABC v i AB  a, SA  2a Tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC L i gi i AB AB a G i G tr ng tâm c a ABC SG   ABC  GA    3 Bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC đ c tính theo công th c:  2a  SA2 SA2 R   2SG SA2  GA2  2a  2 a 3       2a 33 11 Ví d 2: Cho hình chóp t giác đ u S.ABCD có AB  a SA  2a Tính bán kính m t c uoa n i ti p hình chóp S.ABCD L i gi i G i O  AC  BD  SO   ABCD OA  OC  a 1 AC  AB  2 Bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD đ c tính theo cơng th c:  2a  SA2 SA2   R 2SO SA2  OA2  2a  2 a 2       2a 14 M t c u lo i 5: N u hai m t vng góc v i (m t bên vng góc v i m t đáy R2  R12  R22  AB2 AB giao n Ví d 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng c nh a Bi t SAB đ u m m t ph ng vuông góc v i đáy Tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp L i gi i Bán kính đ ng trịn ngo i ti p SAB R1  ABCD R2  2a a  bán kính đ 3 ng trịn ngo i ti p hình vng AC a Giao n c a SAB  ABCD  AB  a  2 Bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD đ c tính theo cơng th c: 2  a   a  a2 a 21 AB2 R R R             4     2 Ví d 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác đ u c nh b ng a Bi t SAB   ABC  , SAB cân t i S SA  2a Tính bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC |NGỌC HUYỀN LB Phác đồ 9+ mơn Tốn Ngọc Huyền LB L i gi i G i H trung m AB SH  AB  SH   ABCD 2  AB  a a 15 Ta có SH  SA      2a        2 SA.SB.AB T SSAB  SH AB  R1  R1  2a.2a 4a SA.SB   bán kính đ 2SH 15 a 15 2 ng tròn ngo i ti p SAB a a ng tròn ngo i ti p ABC R2   3 Giao n c a SAB  ABC  AB  a Bán kính đ V y bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABC đ c tính theo cơng th c:  4a   a  a2 a 115 AB2   R R R       4 10  15    2 2 M t c u lo i 6: Chóp S.ABC t ng quát có chi u cao SH tâm đáy O ta gi i ph SH  x   OH  x2  RD2 đ tìm x V i x tìm đ M t c u lo i 7: Bán kính m t c u n i ti p: r  ng trình c ta có R2  x2  RD2 3V Stp M t s v n đ khác c a m t c u: M t c u ngo i ti p t di n g n đ u: R  M t c u ngo i ti p t di n đ u: R  2 a  b2  c a a m t c u n i ti p t di n g n đ u: r  12 VẤN ĐỀ 5: NHỮNG ĐIỀU CẦN NHỚ VỀ ĐA DIỆN ĐỀU Kh i đa di n đ u S đ nh S c nh S m t Lo i MPĐX T di n đ u 3; 3 L p ph 12 4; 3 8m tđ u 12 3; 4 12 m t đ u 20 30 12 5; 3 15 20 m t đ u 12 30 20 3; 5 15 ng NGỌC HUYỀN LB| Phác đồ 9+ mơn Tốn The Best or Nothing VẤN ĐỀ 6: CÁC VẤN ĐỀ VỀ MẶT TRỤ, HÌNH NÓN VÀ KHỐI TRỤ A O A G B O A O B O A B O A M I C C D O O Hình B A D H O Hình Hình * Thi t di n vng góc tr c m t đ ng trịn bán kính R B M A O D C Hình Hình Hình 1: * Thi t di n ch a tr c m t hình ch nh t ABCD AB  2R AD  h N u thi t di n qua tr c m t hình vng h  2R * Thi t di n song song v i tr c khơng ch a tr c hình ch nh t BGHC có kho ng cách t i tr c là:   d OO,  BGHC   OM Hình 2: * N u AB, CD hai đ ng kính b t kì hai đáy c a hình tr thì: VABCD  * Đ c bi t n u AB CD vng góc v i thì: VABCD  AB.CD.OO.sin  AB, CD  AB.CD.OO Hình 3: AB OO = A AB Hình 4: d  AB,OO  OM Hình 5: N u ABCD m t hình vng n i ti p hình tr đ đ ng chéo c a hình tr Nghĩa Đ ng chéo hình vng b ng ng chéo c a hình vng c)ng b ng 4R2  h2 VẤN ĐỀ 7: CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÌNH NĨN, KHỐI NÓN VÀ NÓN CỤT S r l h O C R B M A Hình Hình Hình 1:     * Các cơng th c nón c t: V  h R2  Rr  r , Sxq  l  R  r  , Stp   R2  r  l  R  r  * Thi t di n vng góc tr c cách đ nh m t kho ng x c t hình nón theo m t đ ng trịn có bán kính r |NGỌC HUYỀN LB Phác đồ 9+ mơn Tốn Ngọc Huyền LB * N u h chi u cao c a hình nón ban đ u ta có t s : r x  R h * Thi t di n ch a tr c m t tam giác cân * N u tam giác vng cân h  R N u tam giác tam giác đ u h  R Hình 2: + Thi t di n qua đ nh mà không ch a tr c c t hình nón theo m t tam giác cân SAB: + SO SAB OSM, SAB ABC SMO + N u M trung m c a AB AB  SMO VẤN ĐỀ 8: CÁC VẬT THỂ TRÒN XOAY TRONG KHƠNG GIAN  h  h Các cơng th c ch m c u: Sxq  2Rh   r  h2 V  h2  R    h  3r      h  r R Ví d : M t kh i c u b ng th y tinh có bán kính b ng   dm Ng i ta mu n c t b m t ch m c u có di n tích m t c t 15 dm đ l y ph n cịn l i làm b ni cá H i th tích t i đa mà b cá có th ch a bao nhiêu? A 175 dm   B 175 dm 3   C 125 dm   D 125 dm 3   L i gi i G i V , VC CCh l n l t th tích t i đa c a b nsi cá có th ch a, th h tích kh i c u b ng th y tinh th tích kh i ch m c u b c t b  h Khi V  VC  VCh  R3  h2  R   3  r R h'  R  dm Ta có  2 S  r  15 dm  r  15     h  R2  r  42  15   h  R  h     dm  V y th tích n   175 c t i đa mà b cá có th ch a là: V  .43  .32     dm3 3     Đáp án B Các v t th sinh t kh i tr : h2 h1 R R R R R R R NGỌC HUYỀN LB| Phác đồ 9+ mơn Tốn The Best or Nothing h h  Kh i tr c t: Sxq  R  h1  h2  V  R2     2 Hình nêm lo i 1: V  R3 tan   2 Hình nêm lo i 2: V     R3 tan   3 c kh i  H  nh hình v bên Ví d 1: C t m t kh i tr b i m t m t ph ng đ Bi t r ng thi t di n m t hình elip có đ dài tr c l n b ng 10, kho ng cách t m thu c thi t di n g n m t đáy nh t m thu c thi t di n xa m t đáy t 14 (hình v ) Tính th tích c a  H  nh t t i m t đáy l n l A V H   192 B V H   275 C V H   704 D V H   176 14 R L i gi i Ta có kích th c: AB  CD  8, CE  14, AE  10  DE  CE  CD  14   AD   AD  AE  DE  10    R  4 2 2 E 10 D A 14  AB  CE    14  V y th tích c a  H  V H   R2    .4    176 đvtt     R C B Đáp án D Ví d 2: T m t khúc g hình tr có đ đ ng kính cm ng i ta c t khúc g b i m t m t ph ng qua ng kính đáy nghiêng v i đáy m t góc b ng 45 đ l y m t hình nêm (hình v ) Th tích V c a hình nêm b ng:  A V  2250 cm  B V  225 cm    C V  1250 cm   D V  1350 cm  L i gi i  d 30  15  cm  R   c  2   45  Hình nêm có kích th Th tích hình nêm V  R   R tan   153.tan 45  2250 cm 3 R R Đáp án A Các công th c liên quan đ n parabol b c elip: R R R R h a b a a h a b x Sparabol |NGỌC HUYỀN LB S  x   a   Rh;       ; Vparabol  R h; Selip  ab S  h   R  Phác đồ 9+ môn Tốn Ngọc Huyền LB Ví d : M t sân ch i tr em hình ch nh t có chi u dài 100 m chi u r ng b ng m Ng i ta d đ nh làm m t đ 100 m ng 2m n m sân nh hình v Bi t r ng vi n vi n c a đ ng hai đ ng elip Elip c a đ tr c l n tr c bé l n l t song song v i c nh c a hình ch nh t chi u r ng c a m t đ làm đ ng ng vi n ngồi có ng m Kinh phí m i m2 đ ng S ti n làm đ A 294.053.000 đ ng ng B 294.050.000 đ ng đ ng C 60 m D đ ng L i gi i    .48.28  1344  m  Elip c a đ ng vi n ngồi có a1  50  m  , b1  30  m   S1  a1b1  .50.30  1500 m Elip c a đ ng vi n có có a2  48  m  , b2  28  m   S2  a2b2 Di n tích c a m t đ S ti n làm đ   ng c n làm S  S1  S2  156 m ng là: T  156.600000  294053072,4  294053000 đ ng) Đáp án A Th tích phao: V  2 R  r  R  r   r R VẤN ĐỀ 9: CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA OXYZ Xác đ nh m thông qua h th c vector:   x A  x M    xB  x M    * Lý thuy t c b n: MA  MB  2  y A  y M    yB  y M    2  z A  zM    zB  zM   * Tuy nhiên đ tìm t a đ M đ n gi n h n ta b m máy: ta đ c xM T ng t nh v y n u nh p y A , y B ta đ A  3B b m CALC nh p l n l 23 c y M nh p z A , z B ta đ t x A , xB c zM Xác đ nh t a đ m đ c bi t tam giác:   HA.BC  0; HB AC  T a đ tr c tâm H nghi m c a h :   AB, AC  AH     Cho BC  a, AC  b, AB  c ta có Chân đ ng phân giác D c a góc A: bDB  cDC  Cho BC  a, AC  b, AB  c ta có Chân đ ng phân giác ngồi E: bED  cEC  Cho BC  a, AC  b, AB  c ta có: Tâm n i ti p: aIA  bIB  cIC  Các ng d ng c a tích có h ng: Ba vector đ ng ph ng:  a , b  c  (N u  không đ ng ph ng)   NGỌC HUYỀN LB| Phác đồ 9+ mơn Tốn The Best or Nothing B n m đ ng ph ng:  AB, AC  AD  (N u  khơng đ ng ph ng)   Th tích: VABCD  1 AB, AC  AD , di n tích tam giác: SABC   AB, AC    6 2 Th tích hình h p: V ABCD A ' B ' C ' D '   AB , AD  AA   Chú ý: N u m t hình h p ch nh t bi t di n tích ba m t th tích c a nó: V  S1S2S3 + Kho ng cách gi a hai đ + Kho ng cách t u , u  AB  2 v i A  d1 , B  d2 u , u   2 ng th ng: d  d1 , d2   ng th ng: d  A; d   m t i đ u , AM   d  ud  M  d M i quan h song song vng góc: M i quan h song song: P // P  n  n, d // d  u  u, P // d  n  u M i quan h vng góc: P  P  n  n, d  d  u  u, P  d  n  u N u d  P  u  u, A, B  P  n  AB M i quan h vng góc c a c p vector: a  b, a  c  a  b , c    T ng giao m t ph ng m t c u: Cho m t ph ng  P  : ax  by  cz  d  m t c u S  :  x  x0    y  y0    z  z0   R2  2  Tr ng h p 1:  P  không c t S n u d I ;  P   R Tr ng h p 2:  P  ti p xúc v i S n u d I ;  P   R ti p m s hình chi u vng góc   c a tâm I m t ph ng  P  Tr   ng tròn giao n d I ;  P   R Khi tâm đ ng h p 3:  P  c t m t c u S theo m t đ trịn s hình chi u vng góc c a tâm I m t ph ng  P  đ ng th i bán kính r c a đ   mãn h th c: R  r  d I ;  P   T ng giao đ Đ ng th ng m t c u: ng th ng d c t m t c u t i Chú ý 1: H th c liên h R2     AB2  d I ;  d      Chú ý 2: N u ABI vng cân R  2d I ;  d  Chú ý 3: N u ABI đ u R   m phân bi t A B ch d I ;  d   R  d I; d   Cách xác đ nh hình chi u vng góc c a A (P): axA  by A  cz A  d *B c 1: Xác đ nh giá tr t   *B c 2: T a đ hình chi u H là: H  at  xA ; bt  yA ; ct  zA  Các d ng toán v ph a2  b2  c ng trình m t ch n: Gi s m t ph ng  P  qua M c t tr c t a đ t i A  a;0;0  , B  0; b;0 ,C  0;0; c  Khi 10 |NGỌC HUYỀN LB ng ng trịn th a Phác đồ 9+ mơn Tốn Ngọc Huyền LB N u M tr ng tâm tam giác ABC thì: a  3xM , b  y M , c  3z M N u M tr c tâm c a tam giác ABC OM  nP N u VO ABC M tr ng tâm c a tam giác ABC N u 1 M tr c tâm c a tam giác ABC   2 OA OB OC 2 a b c Tâm m t c u ngo i ti p t di n OABC I  ; ;  Bán kính: R  a  b2  c 2 2   Chú ý v tam di n vuông: T ng bình ph OAB l i: S S OBC S OCA ng di n tích m t bên b ng bình ph ng di n tích m t S ABC VẤN ĐỀ 10: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG OXYZ Vi t  P  ch a d cho d Vi t d n Vi t  P  Vi t d n Vi t  P  Vi t d n l n nh t: nP  ud , ud , ud      m  P  cho d d nh nh t: ud   nP ,  nP , ud      ch a d cho P Q nh nh t: nP  ud , ud , nQ      m  P  qua A cho d  M, d  nh nh t: ud   nP ,  nP , AM      ch a d cho d M ,  P  l n nh t: nP  ud , ud , AM   v i A b t k d    m  P  qua A cho d  M, d  l n nh t: ud  nP , AM    P   VẤN ĐỀ 11: CÁC DẠNG TỐN SỐ PHỨC HAY VÀ KHĨ N u qu tích c a M  z  đ ng trịn tâm I  a; b bán kính R đ ng th i module c a s ph c c n tìm max  IJ  R max-min JM thì:  min  IJ  R N u z  c  z  c  2a qu tích c a M  z  elip x2 y   b2  a2  c 2 a b  f z 2f z f z       N u z  k  z  a  a  k  2ax  2  z  a  a  k  2ax  z m t s th c n u z  z z m t s thu n o n u z   z N u az  bz  c  v i a, b, c  2 đ ng th i z1  z2  z1 z2    i   2i ,   i  có hai nghi m ph c th c s z1 ; z2 hai s ph c liên h p c a c a 1   2i ,   i   1 2    ni i n 1  M t s t ng đ c bi t:  i  i   i   2i  3i    n  1 i n  i 1 n 2  M t s đ ng th c đ c bi t: z1  z2  z1  z2  z1  z2 N u n1   n  1 i n   i  1  zz  zz  2OM.OM z s thu n o OMM tam giác vng t i O z NGỌC HUYỀN LB| 11 Phác đồ 9+ môn Toán The Best or Nothing VẤN ĐỀ 12: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍCH PHÂN 1 ax  b   ax  b cx  d dx  ad  bc ln cx  d C Phân tích: T n t i hai s  ,  th a mãn  . ax  b  . cx  d    a.  c. x   b.  d.   a  ad  bc    a   a.  c.  ab.  bc.    ad  bc     c   b   d   ab   ad a          c a   ad  bc    ax  b  cx  d dx   Khi  c a ax  b     cx  d  a c dx dx ad  bc ad  bc  dx    ad  bc ax  b ad  bc cx  d  ax  b  cx  d   d  ax  b  d  cx  d  a c 1 ax  b   C ln ax  b  ln cx  d  C  ln   ad  bc a  ax  b  ad  bc c  cx  d  ad  bc ad  bc cx  d x  x dx  arctan  C ho c a a a x  x dx   arccot  C a a a Phân tích: a    dt * Đ t x  a tan t v i t    ;  Ta có dx  d a tan t  cos t  2  a 1 dx   dt  2 a x a a tan t  cos t       1 cos t cos t   * Đ t x  a cot t v i t   0;   Ta có dx  d a cot t      a 1 dx    dt   2 a x a a cot t  sin t  a x 2 dx  arcsin  x  C ho c a  a x 2  dt  a dt sin t 1 sin t sin t dx   arccos x 1 dt  t  C  arctan  C  a a a a dt   x 1 dt   t  C   arc cot  C  a a a a x C a Phân tích:    * Đ t x  a sin t v i t   ;  Ta có dx  d a sin t  a cos tdt  2    a x 2 dx   a cos t a  a sin t 2 dt    a cos t a cos t dt   dt  t  C  arcsin   dt    a sin t x C a Đ t x  a cos t v i t  0;  Ta có dx  d a cos t   a sin tdt    a2  x2 x a 2 dx    a sin t a  a cos t dx  ln x  x2  a2  C Phân tích: 12 |NGỌC HUYỀN LB u a sin t dt    dt  t  C   arccos  u dx  ln u  C x C a Phác đồ 9+ mơn Tốn u Ngọc Huyền LB du u du   ln u  C  u u  u dx   u *  * x2  a2    * x a x2  a2   dx   2 x2  a2 x a  d x  x2  a2  x2  a2 x2  a2  d x  x2  a2 x2  a2  x2  a2  x  d x  x2  a2   x2  a2  x x2  a2 x 1   d x  x2  a2  x2  a2 x2  a2  x2  a2  x  d x  x2  a2   x2  a2  x x2  a2 dx  ln x  x2  a2  C  xe dx   x  1 e x x 1  dx  ln x  x2  a2  C dx    d x  x2  a2 x  C  ln xdx   x  1 ln x  C Phân tích:   u  x du  dx Đ t     xe xdx  xe x   e xdx  xe x  e x  C   x  1 e x  C x x  dv  e dx  v  e  u  ln x du  dx    ln xdx  x ln x   dx  x ln x  x  C  x  ln x  1  C Đ t  x dv  dx v  x  N u f  x  hàm l a  f  x  dx  N u f  x  hàm ch n a  a a a f  x  dx  2 f  x  dx Phân tích: Ta có I  a  f  x  dx  a a  a f  x  dx   f  x  dx Đ t x  t  dx  dt   a 0 f  x  dx   f  t  dt N u f  x  hàm s l f  t    f t  a a a    f  x  dx   f  t  dt   f  t  dt   f t  dt   f  x  dx a Khi I  a a a a a 0 a a a 0  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  Đ t x  t  dx  dt  0 a a  f  x  dx   f  t  dt N a u f  x  hàm s ch n f  t   f t  a    f  x  dx   f  t  dt   f t  dt   f  x  dx a Khi I  a a  a f  x  dx  0  a a a a a 0 0 f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx  2 f  x  dx b D ng toán tìm h ng s C: F  b    f  x  dx  F  a  a b Phân tích:  a b b a a f  x  dx  F  x   F  b   F  a   F  b    f  x  dx  F  a  NGỌC HUYỀN LB| 13 Phác đồ 9+ mơn Tốn b The Best or Nothing b b    f  x  dx   f  a  b  x  dx  pf  x   qf  a  b  x  dx p  q a a a Phân tích: Đ t t  a  b  x  dt  dx b * a b * a b b a b  f  x dx   f  a  b  t  dt   f  a  b  t  dt   f  a  b  x  dx a b p q b p b q b    pf x  qf a b x  x f  x  x  f a b x  x f x x f  x dx d d d d           p  q a p  q a p  q a p  q a p  q a     b b pq b d d  pf  x  qf a  b x x  f x x       a f  x  dx p  q a p  q a   N u tích phân phân th c có b c t l n h n ho c b ng b c m u ph i chia đa th c   x  10 x  16 x  4x  dx    x   dx  x  5x   x   x  3   Ví d : I   x2  A B C     x  1 x   x  3 x  x  x  10 Cách tách phân th c lo i 1: Ví d :  A  x   x    B  x  1 x    C  x  1 x   x2  A B C      x  1 x   x  3 x  x  x   x  1 x   x        A x  5x   B x  x   C x  3x   x  1 x   x      A  B  C  x   A  4B  3C  x  A  3B  2C  x  1 x   x   A  B  C   ng trình sau  A  B  3C   6 A  B  2C  S d ng k thu t đ ng nh t h s , ta có h ph ng th c EQN: w5 đ gi i h ph Trên máy tính c m tay, s d ng ph nh p h s c a h ph ng trình Ta tìm đ ng trình n w52 c nghi m A  1, B  5,C  5 x 1     x  1 x   x  3 x  x  x  V y x2  11 Cách tách phân th c lo i 2:  x  1  x    A B C   x  x   x  1 A  x  1 x    B  x  1  C  x   A B C     Ví d : 2  x  1  x   x  x   x  1  x  1  x   x2       A x  3x   B x  x   C  x    x  1  x    A  B x   3A  2B  C  x  A  B  2C  x  1  x    S d ng k thu t đ ng nh t h s , ta có h ph Trên máy tính c m tay, s d ng ph nh p h s c a h ph V y x2   x  1  x   14 |NGỌC HUYỀN LB  A  B   ng trình sau 3 A  B  C  2 A  B  2C   ng th c EQN: w5 đ gi i h ph ng trình Ta tìm đ 4   x  x   x  1 ng trình c nghi m A  4, B  5,C  2 n w52 Phác đồ 9+ mơn Tốn Ngọc Huyền LB 12 v   a  t  dt : V n t c nguyên hàm c a gia t c theo th i gian b 13 s   v  t  dt Quãng đ ng tích phân c a v n t c gi a hai th i m t  a t  b a c tính b i cơng th c v  t   5t  , Ví d 1: M t v t chuy n đ ng v i v n t c thay đ i theo th i gian đ th i gian tính theo đ n v giây quãng đ đ c ng v t đ c tính theo đ n v mét Quãng đ ng v t giây đ u tiên là: A 15 mét B 620 mét C 51 mét D 260 mét L i gi i Quãng đ ng v t đ 10 10 0 giây đ u tiên s   v  t  dt  c   5t  1 dt  260 (mét) Đáp án D Ví d 2: M t v t chuy n đ ng v i gia t c a  t   20 1  2t  m s  Tính quãng đ 2  m s  Khi t  v n t c c a v t 30 ng v t di chuy n sau giây A 46 mét B 48 mét C 47 mét D 49 mét L i gi i V n t c c a v t v  t    a  t  dt  20    v t   Quãng đ 1  2t  dt  10 10  C  30  C  20  C Do v    30   2t  2.0   10  20 m s  2t  10  c sau giây là: s   v  t  dt     20  dt  48 (mét)  0   2t ng c a v t di chuy n đ Đáp án B 14 Di n tích hình ph ng gi i h n b i đ b ng y  f  x  , y  g  x  , x  a x  b : S   f  x   g  x  dx a Ví d : Di n tích S c a hình ph ng gi i h n b i đ th y  x3  x y  x  x2 A S  37 12 B S  C S  81 12 D S  13 L i gi i Ph x   ng trình hoành đ giao m: x  x  x  x  x x  x     x   x  2 Di n tích hình ph ng c n tính S  x 2   x2  2x dx   37 đvdt 12 NGỌC HUYỀN LB| 15 Phác đồ 9+ mơn Tốn The Best or Nothing Đáp án A b 15 Th tích trịn xoay quanh tr c hồnh: V   f  x   g  x  dx a Ví d : Cho hình ph ng D gi i h n b i đ th hàm s y x2 y  x Tính th tích V c a kh i trịn xoay t o thành quay D quanh tr c hoành A V  124 15 B V  126 15 C V  128 15 D V  131 15 L i gi i Ph ng trình hồnh đ giao m: x  x2  x  x  x  4    x   x2  128 đvtt Th tích c n tính V      x2 dx  15   Đáp án C b 16 Th tích trịn xoay quanh tr c tung: V  2 xf  x  dx a Ví d : Cho hình ph ng D gi i h n b i tr c hoành parabol  P  : y  2x  x2 Tính th tích V c a kh i trịn xoay t o thành quay D quanh tr c tung A V  8 B V  7 C V  10  D V  5 L i gi i x  ng trình hồnh đ giao m c a  P  v i tr c hoành: x  x2   x   x     x  2 8 Th tích c n tính VOy  2 x 2x  x2 dx  đvtt Ph   Đáp án A b 17 Th tích c a v t th có thi t di n v i di n tích S  x  : V   S  x  dx a Ví d : Tính th tích V c a ph n v t th gi i h n b i hai m t ph ng x  x  , bi t r ng c t v t th b i m t ph ng tùy ý vng góc v i tr c Ox t i m có hồnh đ x   x   ta đ m t ph n t hình trịn có bán kính b ng A V  32 16 |NGỌC HUYỀN LB B V  64 c thi t di n 2x C V  16  D V  8 Phác đồ 9+ mơn Tốn Ngọc Huyền LB L i gi i Thi t di n hình trịn có bán kính 2x , nên di n tích thi t di n S  x     x2   x đvdt 2 16 Th tích c n tính V   x4dx   đvdt Đáp án C 18 Đ dài đ b   ng cong: L    f   x  dx a Ví d : Lu ng gió th i n đ nh di u v h theo ph đ ng ngang t x  đ n x  80 mét đ ng Tây,chi u cao c a di u ph thu c vào v trí tính c cho b i ph ng trình y  150  x  50  Tìm quãng  40 ng c a di u A 122,776 (mét) B 122,767 (mét) C 122,677 (mét) D 122,771 (mét) L i gi i Ta có y   Quãng đ  x  50  20 ng c a di u là: L  80    y  dx  2       x  50   dx  122,776 (mét)  20  80  Đáp án A b   19 Di n tích m t cong v t th trịn xoay tr c hoành: S  2 f  x   f   x  dx a Ví d : Tính di n tích m t trịn xoay y  x   x  v i  x  quay quang tr c Ox C 2 B 3 A 6 D  L i gi i 9 y  x   x 2  y   3  x x Ta có  0  x  Suy đ Xét đ ng cong g m hai nhánh đ i x ng qua tr c hoành ng cong y  f  x   1 x  x x  f  x   x Di n tích c n tính là: S      x  x 3 1 x  1       x  x  1 dx  3 đvdt 30 2 x Đáp án B NGỌC HUYỀN LB| 17 Phác đồ 9+ môn Toán The Best or Nothing VẤN ĐỀ 13: HÀM SỐ BẬC CÓ CỰC TRỊ Cho hàm s b c 3: y  ax3  bx2  cx  d có c c tr A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  Khi ta có sau Đi u ki n có c c tr :   b2  3ac  Ví d : Giá tr c a m đ hàm s y  x3  3x2  1  m x   3m có hai m c c đ i, c c ti u A m  B m  D m  C m  L i gi i H s : a  1, b  3 c  1  m Hàm s có hai c c tr  b2  3ac   3  3.1.3 1  m   m  Đáp án B Hàm s đ ng bi n b2  3ac  0, a   ngh ch bi n  a  b  0, c  Ví d 1: Giá tr c a tham s m đ hàm s y  A 1  m  m  B   m  1 b2  3ac  0, a    a  b  0, c  x  mx  mx  m đ ng bi n m  C   m  1 D 1  m  L i gi i H s : a  0, b  m c   m Hàm s đ ng bi n b2  3ac  m2   m2  m   m m  1   1  m   m   Đáp án D Ví d 2: Giá tr c a tham s m đ hàm s y  x3  mx2   4m   x  ngh ch bi n kho ng  ;   A 9  m  B 9  m  3  m  3 C   m  9  m  3 D   m  9 L i gi i H s : a  1  0, b  m c  4m  Hàm s ngh ch bi n  ;   b2  3ac    m   1 4m     m2   4m      m   m     9  m  3 Đáp án B a  a  Đ ng bi n đo n có đ dài  :  ngh ch bi n đo n có đ dài  :   x2  x1    x2  x1   Ví d : Giá tr c a tham s m đ hàm s y  x3  3x2  mx  m ngh ch bi n đo n có đ dài b ng A m  B m  C m  1 D m  L i gi i Hàm s ngh ch bi n đo n có đ dài b ng  y  3x2  6x  m  có hai nghi m phân bi t x1 , x m   9  3m     3   3m      m  cho  2 4m 4  x1  x2    2    x1  x2   x1 x2   Đáp án D 18 |NGỌC HUYỀN LB Phác đồ 9+ mơn Tốn Ph Ngọc Huyền LB ng trình đ ng th ng qua hai m c c đ i c c ti u c a hàm s b c ba y  f  x   ax3  bx2  cx  d y  mx  n mx  n d th c phép chia f  x  cho f   x  Ví d : Vi t ph  ng trình đ ng th ng qua hai m c c tr  c a đ th hàm s y  x3  3mx2  m2  x  m3  L i gi i    Ta có y  3x2  6mx  m2  Th c hi n phép chia y  x3  3mx2  m2  x  m3 cho   y  3x2  6mx  m2  ta đ c th ng 1 m T c y   x   y  2x  m V y ph 3 3 y  2 x  m Ph ng trình đ Ví d : Vi t ph m d th c 2x  m x 3 ng trình đ ng th ng qua hai c c tr : y   ng trình đ ng th ng qua hai m c c tr c a đ th hàm s  b2  3ac 9a  x  d  bc 9a ng th ng qua hai m c c tr c a đ th hàm s y  x3  mx2  x  L i gi i H s : a  1, b  m, c  d  Ph đ c tính theo cơng th c y   y  b2  3ac 9a ng th ng qua hai m c c tr c a đ th hàm s  x  d  bc    m 9a  3.1.7 9.1  x   m.7 9.1  14  2 7m 27  m m  21 x    y    m2  x  9     Đ nh lí Viet v i c c tr : x1  x2   Ph ng trình đ b c , x1 x2  3a 3a ng trình b c có ba nghi m l p thành c p s c ng có nghi m x   nhân n u nghi m x   b , l p thành c p s 3a d a Cách nh n di n đ th hàm s b c 3: y Giao Oy: y = d Đi m u n: b x a Hình dáng đ th cho d u c a tham s a O x x Đ xác đ nh c a a ta th xu ng  c a đ n hình dáng c a đ th hàm s x Đ th lên  bên ph i a  Đ bên ph i a  Đ xác đ nh d u c a b ta ý vào v trí c a m u n hoành đ t ng ng x   b 3a NGỌC HUYỀN LB| 19 Phác đồ 9+ mơn Tốn The Best or Nothing c N u hai c c tr có hồnh đ d u 3a c l i n u hai c c tr có hồnh đ trái d u a, c trái d u Đ xác đ nh d u c a c ta xét tích hai hồnh đ c c tr x1 x2  a, c d u ng Đ xác đ nh d u c a d ta xét v trí t ng giao c a đ th v i tr c tung Oy, t i tung đ giao m y  d đ xét d u VẤN ĐỀ 14: HÀM SỐ BẬC TRÙNG PHƯƠNG CÓ CỰC TRỊ Cho hàm s y  ax4  bx2  c có ba c c tr Đi u ki n có ba c c tr : ab  ( a, b trái d u) Ví d : Giá tr c a tham s m đ hàm s y  x4  2mx2  2m  m4 có ba m c c tr D m  C m  B m  A m  L i gi i H s : a  1, b  2m Hàm s có ba m c c tr ab  2m   m  Đáp án C Luôn có c c tr A  0; c  hai c c tr l i đ i x ng qua tr c tung Tam giác t o thành ba c c tr có tính ch t d i A * Tam giác ABC vuông cân t i A 8a  b  * Tam giác ABC đ u 24a  b3  * Tam giác ABC có góc BAC 8a  b3 tan  0 B D C * Tam giác ABC có di n tích S0 32a3S02  b5  * Bán kính đ ng trịn ngo i ti p R  abc , bán kính đ 4S ng trịn n i ti p: r  2S (v i a,b,c đ dài abc c nh c a tam giác Ví d 1: Tìm t t c giá tr th c c a tham s m đ hàm s y  x4   m  2015 x2  2017 có c c tr t o thành tam giác vuông cân t i A A m  2017 C m  2016 B m  2014 D m  2015 L i gi i H s a  1, b  m  2015 c  2017 Hàm s có c c tr  ab     m  2015   m  2015 Yêu c u toán  8a  b3    1   m  2015     m  2015    m  2015   m  2017 3 Đáp án A Ví d 2: Tìm t t c giá tr c a tham s m đ hàm s y x   m  2017  x2  2016 có ba c c tr t o thành tam giác đ u A m  2015 B m  2016 C m  2017 D m  2017 L i gi i 9 , b   m  2017  c  2016 Hàm s có c c tr  ab   m  2017    m  2017 8 Yêu c u toán  24a  b3   24  27  m  2017    m  2017  1  m  2016 Đáp án B H s a 20 |NGỌC HUYỀN LB Phác đồ 9+ mơn Tốn Ngọc Huyền LB y  3x4   m  2018  x2  2017 có c c tr t o Ví d 3: Tìm t t c giá tr c a tham s m đ hàm s thành tam giác có m t góc b ng 120 A m  2018 B m  2017 D m  2018 C m  2017 L i gi i H s a  3, b   m  2018  m  2017 Hàm s có c c tr  ab  3.2  m  2018   m  2018 Yêu c u toán  8.3   m  2018  tan2 60   m  2018   1 3  m  2018  1  m  2017 Đáp án C Ví d 4: Tìm t t c giá tr c a tham s m đ hàm s y  mx4  4x2  12 có c c tr t o thành tam giác có di n tích S  A m  2 B m  D m  1 C m  L i gi i H s a  m, b  c  12 Hàm s có c c tr  ab  m.4   m    Yêu c u toán  32a3 S2  b5  32.m3 2  45   m3  1  m  1 Đáp án D b2  ac    b   Đ th hàm s c t tr c hoành t i b n m có hồnh đ l p thành c p s c ng ch  a c  a 9b2  100 ac  Ví d : Tìm t t c giá tr th c c a tham s m đ đ th hàm s hoành t i y  x4   m   x2  2m  c t tr c m phân bi t có hồnh đ l p thành c p s c ng A m  13 B m  C m  D m  1 L i gi i H s a  1, b   m   c  2m  b2  ac   m  2   m    m2  m    2 m    Yêu c u toán    2m    9b  100 ac 4  m  12      m  1 m  2     m  3 m    13  m     36m  56m  156  Đáp án C NGỌC HUYỀN LB| 21 Phác đồ 9+ mơn Tốn The Best or Nothing Đ th hàm s c t tr c hoành t o thành ba mi n di n tích có di n tích ph n di n tích ph n d b2  ac    b   b ng ch  a c  a  5b  36 ac Ví d : Tìm m đ đ th hàm s i y x O y  x4  4x2  m c t tr c hoành t i m phân bi t cho hình ph ng gi i h n b i đ th hàm s tr c hồnh có di n tích ph n phía ph n phía d i tr c hoành b ng B m  A m  C m  20 D m  2 L i gi i b2  ac   4 2  m   16  m   b      m  H s a  1, b  4 c  m Yêu c u toán   a c  m   a 5  4   36 m  5b  36 ac 0  m  20   20  m  m   Đáp án C VẤN ĐỀ 15: HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT Cho hàm s phân th c h u t b c nh t b c nh t y  ax  b cx  d d d Hàm s đ ng bi n D n u ad  bc  0,   D ngh ch bi n D n u ad  bc  0,   D c c Ti p n v i ti m c n: * Ti p n t i M c t ti m c n t i A B M trung m y c a AB * Kho ng cách t M t i ti m c n đ ng: * Kho ng cách t M t i ti m c n ngang: * IA  ad  bc c cxM  d IB  cxM  d c ad  bc c cxM  d cxM  d v i I giao ti m c n c * Di n tích tam giác IAB khơng đ i: SIAB  22 |NGỌC HUYỀN LB ad  bc c2 I B M O A x K Phác đồ 9+ mơn Tốn Ngọc Huyền LB Đ c bi t ý: Đi m M th a mãn m t y u t : T ng kho ng cách đ t giá tr nh nh t/ Chu vi tam giác IAB nh nh t Bán kính đ ng tròn n i ti p tam giác IAB l n nh t/ Kho ng cách t I t i ti p n đ t giá tr l n nh t m M ph i th a mãn tính ch t: IA  IB  y '  xM   Cách nh n di n đ th hàm phân th c b c nh t b c nh t: a * Ti m c n ngang: y  N u ti m c n ngang n m Ox c ac  n u n m d i ac  y d * Ti m c n đ ng x   N u ti m c n đ ng n m Oy c cd  cịn n u bên ph i cd  b * Giao Oy: y  N u giao m n m Ox bd  d cịn n u n m d i bd  x O K b * Giao Ox: x   N u giao m n m bên trái Oy a ab  cịn n u bên ph i ab  VẤN ĐỀ 16: ĐỒ THỊ HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LOGARIT Lo i Đ th hàm s mũ y x O + Th t :  b  a   d  c (M o Giao + Hàm s y  ax có t p xác đ nh D  đ th v i đ K ng th ng x  đ đánh giá nhanh nh t) , t p giá tr E   0;   Đ th hàm s y  ax qua m I  0;1 có ti m c n ngang tr c hoành Ox Lo i Đ th hàm s logarit y x O + Th t : b  a   d  c  (M o Giao đ th v i đ ng th ng y  đ đánh giá nhanh nh t) NGỌC HUYỀN LB| 23 Phác đồ 9+ mơn Tốn The Best or Nothing + Hàm s y  log a x có t p xác đ nh D   0;  , t p giá tr E  Đ th hàm s y  log a x qua m I  0;1 có ti m c n ngang tr c hoành Oy Lo i Đ th hàm s lũy th a y O + y  x có t p xác đ nh D  n u  x  , D  \0 n u   K D   0;  n u   Đ th hàm s y  x qua m I 1;1 VẤN ĐỀ 17: CÁC BÀI TOÁN LÃI SUẤT CƠ BẢN CẦN BIẾT Bài toán 1: Đem s ti n a g i ngân hàng thu đ Ví d 1: B n An g i ti t ki m s ti n c s ti n P  a 1  r% n đ ng tháng t i m t ngân hàng nh n đ c đ ng Khi lãi su t hàng tháng A 0,6% B 6% C 0,7% D 7% L i gi i G i lãi su t hàng tháng r Khi 61329000  58000000 1  r   r  8 61329   0,7% 58000 Đáp án C Ví d 2: M t ng nhiêu năm ng i g i ti t ki m v i lãi su t i thu đ A 17 năm lãi hàng năm đ c nh p vào v n H i sau bao c g p ba s ti n ban đ u B 18 C 19 D 20 L i gi i G i s ti n ban đ u g i ngân hàng A Sau n năm ng i nh n đ c s ti n là: A  A 1  0,06   1,06    n  log1,06  19 năm n n Đáp án C Bài toán 2: Đem s ti n a hàng tháng g i ngân hàng thu đ Ví d : Mu n có 100 tri u sau c s ti n P  a 1  r%   r%  n 1 r% năm m i tháng ph i g i vào ngân hàng bao nhiêu, bi t lãi su t 0,6%/tháng? A đ ng B đ ng C đ ng D L i gi i G i a s ti n g i hàng tháng Áp d ng công th c P  a 1  r% a   r% n 1 r% P.r% 100000000.0,6%   3863151,317 đ ng n 24           r % r % 1 0,6% 0,6%           24 |NGỌC HUYỀN LB ta có đ ng Phác đồ 9+ mơn Tốn Ngọc Huyền LB N u a  3863151 đ ng thì s ti n ng i nh n đ P  3863151   0,6%  Nh v y n u hàng tháng g i án ph i c sau năm 1  0,6% 24 1 0,6%  99999991,79 tri u đ ng sau năm ch nh n đ c g n 100 tri u đ ng V y nên đáp đ ng (thà g i d ch không th g i thi u) Đáp án B Bài toán 3: Vay s ti n P d i hình th c tr góp hàng tháng tr ngân hàng kho n ti n a thì: + S ti n l i ngân hàng sau n tháng là: Q  P 1  r% + Khi hồn thành tr góp ta gi i ph Ví d : M t ng ng ng trình P 1  r% n   r% a 1 r% 1  r% a n n n 1 r% i vay 50 tri u, tr góp theo tháng vòng 48 tháng, lãi 1,15%/tháng H i hàng tháng i ph i tr bao nhiêu? A 1361312,807 đ ng B 1361313,807 đ ng C 1361310,807 đ ng D 1361311,807 đ ng L i gi i Sau tháng ng i tr h t n , t c  50000000 1  1,15%  50000000 1  1,15% 1,15% 48 1  1,15% a 48 1 1,15% 48 a 1  1,15% 48 1  1361312,807 đ ng Đáp án A VẤN ĐỀ 18: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH ax2  bx  c  0, x     0, a  ax  bx  c  0, x     0, a  ax  bx  c  0, x     0, a  ho c a, b, c  ax2  bx  c  0, x     0, a  ho c a, b, c  ax2  bx  c  có hai nghi m phân bi t d ng   0, S  0, P  ax2  bx  c  có hai nghi m phân bi t âm   0, S  0, P  ax2  bx  c  có hai nghi m trái d u P  ax2  bx  c  có hai nghi m phân bi t x1  x2     0,  x1    x2     0, x1  x2   ax2  bx  c  có hai nghi m phân bi t   x1  x2   0,  x1    x2     0, x1  x2   ax2  bx  c  có hai nghi m phân bi t x1    x2   0,  x1    x2     m  f  x  có nghi m D m   f  x  ; max f  x   ; m  f  x  có nghi m D D  D  m  f  x  ; m  f  x  có nghi m D m  max f  x  D D m  f  x  , x  D m  max f  x  ; m  f  x  x m  f  x  D D NGỌC HUYỀN LB| 25 ... H s a  1, b  4 c  m Yêu c u toán   a c  m   a 5  4   36 m  5b  36 ac 0  m  20   20  m  m   Đáp án C VẤN ĐỀ 15: HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT Cho hàm... hình chóp L i gi i Ta có RD  a nên bán kính m t c u ngo i ti p hình chóp S.ABCD đ c tính theo công th c:  a   2a  SA2 5a 3a R R      a2      4   2 D Ví d 2: Cho hình chóp S.ABC... + N u M trung m c a AB AB  SMO VẤN ĐỀ 8: CÁC VẬT THỂ TRỊN XOAY TRONG KHƠNG GIAN  h  h Các công th c ch m c u: Sxq  2Rh   r  h2 V  h2  R    h  3r      h  r R Ví d : M t