CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH của HÌNH tọa độ OXYZ QUANG THIỆN

CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH CỦA HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ  CÔNG THỨC 1 : XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP.. Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.. Đường thẳng đi qua tâm đường tr

CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH CỦA HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ

 CÔNG THỨC 1 : XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP

- Gọi I x y z ; ;  là tâm nội tiếp tam giác ABC

- Ta có đẳng thức : BC IA CA IB AB IC.   0

- Từ đó tìm được tọa độ tâm I x y z ; ; 

Ví dụ 1 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Cho tam giác ABC với các tọa độ đỉnh

  1;1;1 , 4;1;1 , 1;1;5  

A B C Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Hướng dẫn giải

- Ta có : AB3;BC5,CA4

- Gọi I x y z ; ;  là tâm nội tiếp tam giác ABC

- Khi đó ta có hệ thức :

I

I

I

x

BC CA AB

BC CA AB

z

BC CA AB















   

Ví dụ 2 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm 2;2;1 , 8 4 8; ;

3 3 3

  Đường thẳng đi qua

tâm đường tròn nội tiếp tam giác AOB và vuông góc với mặt phẳng AOB có phương trình 

Hướng dẫn giải

- Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp dựa vào hệ thức : OA IB OB IA AB IO.   0

- Từ đó tìm được tâm I x y z ; ; 

- Khi đó đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp I x y z và nhận  ; ;  u n AOB  OA OB, 

   

 CÔNG THỨC 2 : XÁC ĐỊNH BÁN KÍNH NGOẠI TIẾP TAM GIÁC

- Ta có công thức trong hình học lớp 10 :

4

a b c R

S

 trong đó , ,a b c là độ dài các cạnh của tam giác

- Áp dụng trong hình tọa độ không gian Oxyz ta có :

AB BC CA R

AB AC



 

Ví dụ 1 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A2;0; 1 , 1; 2;3 , 0;1;2  B   C  Tính bán

kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hướng dẫn giải

- Ta có : AB 21,BC 11,CA 14 và 1. , 5. 3

ABC

S   AB AC 

4.5

2

AB BC CA

R

S

   là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

 CÔNG THỨC 3 : XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN CÁC TRỤC TỌA

ĐỘ, MẶT PHẲNG

- Xét điểm M x o;y ;o z o khi đó tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm M x o;y ;o z o lên các trục tọa độ

Ox, ,Oy Oz lần lượt là : A x o;0;0 , 0; ;0 , 0;0; B y o  C z o

- Xét điểm M x o;y ;o z o khi đó tọa độ hình chiếu vuông góc với M x o;y ;o z o lên các mặt phẳng tọa độ

     Oxy Oyz Oxz, , lần lượt là : A x o;y ;0 , 0; ;z ,o  B y o o C x o;0;z o

Ví dụ 1 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của M3;2;6 trên các trục tọa độ

Ox, ,Oy Oz

Hướng dẫn giải

- Ta có hình chiếu của điểm M3;2;6 trên các trục tọa độ lần lượt là

3;0;0 , 0;2;0 , 0;0;6      : 1

3 2 6

x y z

Ví dụ 2 : Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của M1;2;3 trên các mặt phẳng tọa

độ      Oxy Oyz Oxz, ,

Hướng dẫn giải

- Ta có hình chiếu của điểm M1;2;3 trên các mặt phẳng tọa độ      Oxy Oyz Oxz, , lần lượt là

1;2;0 , 0;2;3 , 1;0;3    

,

A P

n AB AC





 

 



  



  

 CÔNG THỨC 4 : XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG

- Xét điểm M x o;y ;o z o và mặt phẳng  P ax by cz d:    0

- Điểm N x y z đối xứng với  , ,  M x o;y ;o z qua mặt phẳng o  P ax by cz d:    0 là nghiệm của hệ

phương trình sau :





- Chú ý : Trong hệ phương trình trên ta có thể cho a0,b0,c0 để giải

Ví dụ 1 : Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P : 2x3y5z 4 0 và kí hiệu  Q là mặt phẳng đối xứng với mặt phẳng  P qua mặt phẳng  Oxz Hỏi phương trình của mặt phẳng  Q là

Hướng dẫn giải

- Xét điểm M x y z o; ;o o    P N x y, ; ;z   Q là điểm đối xứng của M qua  Oxz , ta có :

1

o o

o

x x

y

z z

 







 



- Thay vào phương trình của  P , ta có : 2x3.  y 5 4 0z   Q : 2x3y5 4 0z 

 CÔNG THỨC 5 : MẶT PHẲNG PHÂN GIÁC CỦA HAI MẶT PHẲNG GIAO NHAU

- Xét hai mặt :   :a x b y c z d1  1  1  1 0;  :a x b y c z d2  2  2  20

- Khi đó phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi     ,  là :

1 1 1 1 2 2 2 2



 CÔNG THỨC 6 : VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG VÀ NGOÀI CỦA TAM GIÁC

- Xét tam giác ABC , khi đó đường phân giác trong góc A có vecto chỉ phương là : u 1 .AB 1 .AC

- Ngược lại, đường phân giác ngoài góc A có vecto chỉ phương là : u 1 .AB 1 .AC

Ví dụ 1 : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A1; 2;1 ,  B 2;2;1 , 1; 2;2 C  

Hỏi đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC cắt mặt phẳng  Oyz tại điểm nào

Hướng dẫn giải

- Áp dụng công thức trên ta có vecto chỉ phương của phân giác trong góc A là :

5 5

0 0 1

 

3 1 5

1



 









 







 CÔNG THỨC 7 : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU

- Hai đường thẳng d d1, 2 cắt nhau tại điểm A x y z o; ;o o và có vecto chỉ phương lần lượt là :

1 1; ; ;1 1 2 2; ;2 2

- Đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng này có vecto chỉ phương được xác định theo công thức :

1 2

1 . 1 .

 

- Chi tiết cho hai đường phân giác :

  là vecto chỉ phương của đường phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai

1 . 1 .

  là vecto chỉ phương của đường phân giác tạo bởi góc tù giữa hai đường thẳng

  là vecto chỉ phương của đường phân giác tạo bởi góc nhọn giữa hai

1 . 1 .

  là vecto chỉ phương của đường phan giác tạo bỏi góc tù giữa hai đường thẳng

Ví dụ 1 : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng

1 3

1

z

  

  



 



Gọi  là đường thẳng đi qua điểm A 1;1;1

và có vecto chỉ phương u  2;1;2 Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d, có phương trình là

Hướng dẫn giải

- Ta có d  A 1;1;1

- Đường thẳng d có vecto chỉ phương u13;4;0 Đường thẳng  có vecto chỉ phương là u2   2;1;2

- Có u u 1 2      6 4 2 0  u u 1 2 90

- Do đó phân giác của góc nhọn d, sẽ đi qua A 1;1;1 và có vecto chỉ phương là :

1 . 1 . 1 3;4;0 1 2;1;2 19 7; ; 2 / / 19;7; 10

 

- Nên đường thẳng cần tìm là :

1 19 ' : 1 7

1 10

  

  



  

