CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH của HÌNH tọa độ OXYZ QUANG THIỆN

Sưu tầm biên soạn : Trịnh Quang Thiện - Số 45 – Ngõ Quan Thổ – Đống Đa – Hà Nội - 0961219094 CÁC CÔNG THỨC GIẢI NHANH CỦA HÌNH TỌA ĐỘ OXYZ  CƠNG THỨC : XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP - Gọi I  x; y; z  tâm nội tiếp tam giác ABC     Ta có đẳng thức : BC.IA CA.IB  AB.IC  - Từ tìm tọa độ tâm I  x; y; z  - Ví dụ : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, Cho tam giác ABC với tọa độ đỉnh A 1;1;1 , B 4;1;1 , C 1;1;5 Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Hướng dẫn giải - Ta có : AB 3; BC  5,CA - Gọi I  x; y; z  tâm nội tiếp tam giác ABC -  BC.x A  CA.xB  AB.xC  xI  BC  CA  AB       BC.y A  CA.y B  AB.yC Khi ta có hệ thức : BC.IA CA.IB  AB.IC    yI  BC  CA  AB   BC.z A  CA.z B  AB.zC  zI  BC  CA  AB   8 Ví dụ : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A  2;2;1 , B  ; ;  Đường thẳng qua  3 3 tâm đường tròn nội tiếp tam giác AOB vng góc với mặt phẳng  AOB  có phương trình - Hướng dẫn giải     Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tiếp dựa vào hệ thức : OA.IB  OB.IA  AB.IO  Từ tìm tâm I  x; y; z      Khi đường thẳng qua tâm đường tròn nội tiếp I  x; y; z  nhận u  nAOB  OA,OB     CÔNG THỨC : XÁC ĐỊNH BÁN KÍNH NGOẠI TIẾP TAM GIÁC a.b.c a, b, c độ dài cạnh tam giác 4S - Ta có cơng thức hình học lớp 10 : R  - Áp dụng hình tọa độ khơng gian Oxyz ta có : R  AB.BC.CA    AB, AC    Ví dụ : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A  2;0; 1 , B1; 2;3 , C  0;1;2  Tính bán | GV : TRỊNH QUANG THIỆN 0961219094 PAGE : TÀI LIỆU TOÁN HẢI SƠN Sưu tầm biên soạn : Trịnh Quang Thiện - Số 45 – Ngõ Quan Thổ – Đống Đa – Hà Nội - 0961219094 kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC - Hướng dẫn giải   Ta có : AB 21, BC 11,CA 14 SABC   AB, AC     Nên R  AB.BC.CA 21 11 14 11   bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 4.S 10 4.5  CƠNG THỨC : XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN CÁC TRỤC TỌA ĐỘ, MẶT PHẲNG - Xét điểm M  xo ;yo ; zo  tọa độ hình chiếu vng góc điểm M  xo ;yo ; zo  lên trục tọa độ Ox,Oy,Oz : A  xo ;0;0  , B  0; yo ;0  ,C  0;0; zo  - Xét điểm M  xo ;yo ; zo  tọa độ hình chiếu vng góc với M  xo ;yo ; zo  lên mặt phẳng tọa độ Oxy  ,Oyz ,Oxz  : A  x ;y ;0 , B  0; y ;z  ,C  x ;0; z  o o o o o o Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng qua hình chiếu vng góc M  3;2;6  trục tọa độ Ox,Oy,Oz Hướng dẫn giải - Ta có hình chiếu điểm M  3;2;6  trục tọa độ A  3;0;0  , B  0;2;0  , C 0;0;6    P  : x y z   1 Ví dụ : Viết phương trình mặt phẳng qua hình chiếu vng góc M 1;2;3 mặt phẳng tọa độ Oxy  , Oyz  , Oxz  Hướng dẫn giải - Ta có hình chiếu điểm M 1;2;3 mặt phẳng tọa độ Oxy  , Oyz  , Oxz   A 1;2;0     A 1;2;0  , B  0;2;3 , C1;0;3   P  :    n  AB, AC       CÔNG THỨC : XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG | GV : TRỊNH QUANG THIỆN 0961219094 PAGE : TÀI LIỆU TOÁN HẢI SƠN Sưu tầm biên soạn : Trịnh Quang Thiện - Số 45 – Ngõ Quan Thổ – Đống Đa – Hà Nội - 0961219094 - Xét điểm M  xo ;yo ; zo  mặt phẳng  P  : ax  by  cz  d  - Điểm N  x, y, z  đối xứng với M  xo ;yo ; zo  qua mặt phẳng  P  : ax  by  cz  d  nghiệm hệ  x  xo y  yo z  zo    a b c phương trình sau :  a x  xo  b y  yo  c z  zo  d   a b c - Chú ý : Trong hệ phương trình ta cho a  0,  b  0, c   để giải Ví dụ : Trong khơng gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng  P  : x  3y  5z   kí hiệu  Q  mặt phẳng đối xứng với mặt phẳng  P  qua mặt phẳng  Oxz  Hỏi phương trình mặt phẳng  Q  Hướng dẫn giải - Xét điểm M  xo ; yo ; zo    P  , N  x; y;z   Q  điểm đối xứng M qua  Oxz  , ta có :  x  xo  2y Oxz  : y    y  yo  2o  yo  z  z o  - Thay vào phương trình  P  , ta có : x  3.  y   5z    Q  : x  3y  5z    CÔNG THỨC : MẶT PHẲNG PHÂN GIÁC CỦA HAI MẶT PHẲNG GIAO NHAU - Xét hai mặt :   : a1x  b1y  c1z  d1  0;    : a2 x  b2 y  c2 z  d2  - Khi phương trình mặt phẳng phân giác góc tạo   ,    : a1 x  b1y  c1z  d1 a12  b12  c12  a2 x  b2 y  c2 z  d2 a22  b22  c22  CÔNG THỨC : VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG VÀ NGỒI CỦA TAM GIÁC    AB  AC - Xét tam giác ABC , đường phân giác góc A có vecto phương : u  AB AC    AB  AC - Ngược lại, đường phân giác ngồi góc A có vecto phương : u  AB AC Ví dụ : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC với A 1; 2;1 , B  2;2;1 , C 1; 2;2  Hỏi đường phân giác góc A tam giác ABC cắt mặt phẳng  Oyz  điểm | GV : TRỊNH QUANG THIỆN 0961219094 PAGE : TÀI LIỆU TOÁN HẢI SƠN Sưu tầm biên soạn : Trịnh Quang Thiện - Số 45 – Ngõ Quan Thổ – Đống Đa – Hà Nội - 0961219094 Hướng dẫn giải - Áp dụng cơng thức ta có vecto phương phân giác góc A :      1 u AB  AC   3;4;0    0;0;1    ; ;1 AB AC  5    12  3  42  02  x  1 t   8  - Khi  AM :  y  2  t   Oyz  : x   t   M  0;  ;  3 3   z   t    CÔNG THỨC : PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG CẮT NHAU - Hai đường thẳng d1 , d2 cắt điểm A xo ; yo ; zo  có vecto phương :   u1   a1; b1; c1  ; u2   a2 ; b2 ; c2  - Đường phân giác góc tạo hai đường thẳng có vecto phương xác định theo công thức :    u   u1   u2 u1 u2 - Chi tiết cho hai đường phân giác :      +) Nếu u1.u2   u   u1   u2 vecto phương đường phân giác tạo góc nhọn hai u1 u2    đường thẳng u   u1   u2 vecto phương đường phân giác tạo góc tù hai đường u1 u2 thẳng      +) Nếu u1.u2   u   u1   u2 vecto phương đường phân giác tạo góc nhọn hai u1 u2    đường thẳng u   u1   u2 vecto phương đường phan giác tạo bỏi góc tù hai đường u1 u2 thẳng  x   3t  Ví dụ : Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d :  y   4t Gọi  đường thẳng qua điểm A1;1;1 z   | GV : TRỊNH QUANG THIỆN 0961219094 PAGE : TÀI LIỆU TOÁN HẢI SƠN Sưu tầm biên soạn : Trịnh Quang Thiện - Số 45 – Ngõ Quan Thổ – Đống Đa – Hà Nội - 0961219094  có vecto phương u   2;1;2  Đường phân giác góc nhọn tạo d ,  có phương trình - Hướng dẫn giải Ta có d    A 1;1;1 -   Đường thẳng d có vecto phương u1   3;4;0  Đường thẳng  có vecto phương u2   2;1;2      Có u1.u2  6   2   u1.u2  90 - Do phân giác góc nhọn d ,  qua A 1;1;1 có vecto phương : -       19  u   u1   u2   3;4;0    2;1;2    ; ;   / / 19;7; 10   15 15  u1 u2 -  x   19t  Nên đường thẳng cần tìm : d ' :  y   7t  z   10t  | GV : TRỊNH QUANG THIỆN 0961219094 PAGE : TÀI LIỆU TOÁN HẢI SƠN ... 10 4.5  CÔNG THỨC : XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN CÁC TRỤC TỌA ĐỘ, MẶT PHẲNG - Xét điểm M  xo ;yo ; zo  tọa độ hình chiếu vng góc điểm M  xo ;yo ; zo  lên trục tọa độ Ox,Oy,Oz...      CÔNG THỨC : XÁC ĐỊNH TỌA ĐỘ ĐIỂM ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG | GV : TRỊNH QUANG THIỆN 0961219094 PAGE : TÀI LIỆU TOÁN HẢI SƠN Sưu tầm biên soạn : Trịnh Quang Thiện - Số 45 –... Viết phương trình mặt phẳng qua hình chiếu vng góc M 1;2;3 mặt phẳng tọa độ Oxy  , Oyz  , Oxz  Hướng dẫn giải - Ta có hình chiếu điểm M 1;2;3 mặt phẳng tọa độ Oxy  , Oyz  , Oxz  