Tuyển tập công thức giải nhanh trắc nghiệm Toán
TUYỂN TẬP CƠNG THỨC GIẢI NHANH TRẮC NGHIỆM TỐN VẤN ĐỀ 1: CÁC CƠNG THỨC THỂ TÍCH TỨ DIỆN KHĨ ̂ = α, BSC ̂ = β, CSA ̂ = φ: Tứ diện S.ABC có SA a,SB b,SC c ASB abc cos2 cos2 cos2 2cos cos cos ̂ ) Tứ diện ABCD có AB a,CD b, d AB,CD d (AB,CD VS ABC abd sin ̂ S2 , SA a ((SAB),(SAC) ) VABCD Tứ diện S.ABC có SSAB S1 , SSAC 2S1S2 sin (Cơng thức thể tích góc nhị diện) 3a ̂ ̂ = β, ASC ̂ = φ Tứ diện S.ABC có SA a,SB b,SC c ((SAB),(SAC) ) , ASB VSABC VS ABC abc sin .sin .sin Thể tích tứ diện ABCD cạnh a V ABCD a3 12 Tứ diện ABCD có AB CD a, BC AD b, AC BD c 12 VABCD a b2 c b2 c a a c b2 (Thể tích tứ diện gần đều) VẤN ĐỀ 2: GÓC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG S S S E H I A P F C B P P K G D ̂ ) = SAH ̂ (Góc cạnh bên mặt phẳng đáy) Góc loại 1: (SA,(P) ̂ (Góc cạnh bên mặt phẳng đứng chứa đường cao SI) (SIC)) = BSF Góc loại 2: (SB,̂ ̂ ) = KSG ̂ (Góc đường cao SK mặt bên SDE ) Góc loại 3: (SK,(SDE) VẤN ĐỀ 3: GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG S S S P B A D P A B J O H C C K D N M ̂ ) = SCD ̂ (Góc mặt bên mặt phẳng đáy) Góc loại 1: ((SAB),(P) ̂ ̂ (Góc hai mặt bên có hai cạnh song song AB CD) Góc loại 2: ((SAB),(SCD) ) = KSJ ̂ ̂ (Góc mặt bên mặt phẳng đứng chứa đường cao SH) Góc loại 3: ((SMN),(SHN) ) = OPM HDedu - Page VẤN ĐỀ 4: CÁC VẤN ĐỀ VỀ MẶT CẦU Mặt cầu loại 1: Các đỉnh A, B, D nhìn SC góc vng bán kính mặt cầu R SC S S A C A B B D C Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có ABC vng B, SA ABC SC 2a Thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC A a B a C a 3 D 32 a Lời giải ̂ 90 SAC ̂ Suy đỉnh A, B nhìn cạnh Ta có BC AB, BC SA BC SAB BC SB SBC SC góc vng Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R SC a Thể tích khối cầu là: V R3 a3 (đvtt) 3 Đáp án A Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA ABCD SC 2a Tính thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD A a 3 B a 3 C a 3 D a 3 Lời giải ̂ 90 Ta có BC AB, BC SA BC SAB BC SB SBC ̂ 90 Lại có CD AD, CD SA CD SAD CD SD SDC ̂ = SDC ̂ = SAC ̂ 90 Các đỉnh A, B, D nhìn cạnh SC góc vng Như SBC Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R SC 4R3 4a (đvtt) aV 3 Đáp án B Mặt cầu loại 2: Nếu SA vng góc với đáy thì: R2 RD2 SA Các vấn đề cần ý RD (bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt đáy): Nếu đáy tam giác vng RD a cạnh huyền đáy tam giác RD a 2 Nếu đáy hình chữ nhật RD đường chéo 2 Nếu đáy hình vng RD Nếu đáy tam giác cân có góc 1200 cạnh bên a cạnh đáy a cịn RD a Nếu đáy tam giác thường áp dụng công thức Herong: RD abc p p a p b p c HDedu - Page Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA ABCD , SA 2a ABCD hình chữ nhật với đường chéo có độ dài a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Lời giải Ta có RD a nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD tính theo cơng thức: a 2a SA2 5a 3a R R a2 4 2 D Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ABCD , SA 2a ABC cạnh a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Lời giải a a Ta có RD nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC tính theo cơng thức: 3 a 2a SA2 a2 2a R R a2 4 3 2 D Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA ABCD , SA 2a ABC vuông A, BC 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Lời giải Ta có RD BC 2a a nên bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC tính theo cơng thức: 2 2a a SA2 R R a2 4 2 D ̂ 120 Tính bán Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA ABC , SA 2a ABC cân A, AB a, BAC kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Lời giải Theo định lý hàm số cosin ta có: BC AB2 AC AB.AC.cos BAC a2 a2 2a.a.cos120 a Từ SABC BC a ̂ AB.AC.BC R AB.AC.sin BAC a D RD 2sin BAC 2sin120 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC tính theo cơng thức: 2a a SA2 R R a2 4 2 D Mặt cầu loại 3: Nếu O.ABC tam diện vng O R2 OA2 OB2 OC Ví dụ: Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC đơi vng góc với Biết SA a, SB 2a SC 3a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Lời giải Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tính theo cơng thức: R 2 1 a 14 SA SB2 SC a a 3a 2 HDedu - Page Mặt cầu loại 4: Nếu chóp có cạnh bên (hình chóp đều) R SA2 Trong O tâm 2SO đáy và: Nếu đáy tam giác O tâm, trực tâm Nếu đáy tam giác vng O trung điểm cạnh huyền Nếu đáy hình vng, hình O giao điểm hai đường chéo trung điểm đường Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC với AB a, SA 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Lời giải AB AB a Gọi G trọng tâm ABC SG ABC GA 3 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC tính theo cơng thức: 2a SA2 SA2 R 2SG SA2 GA2 2a 2 a 3 2a 33 11 Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB a SA 2a Tính bán kính mặt cầuoa nại tiếp hình chóp S.ABCD Lời giải Gọi O AC BD SO ABCD OA OC 1 a AC AB 2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD tính theo cơng thức: 2a SA2 SA2 R 2SO SA2 OA2 2a 2 a 2 2a 14 Mặt cầu loại 5: Nếu hai mặt vng góc với (mặt bên vng góc với mặt đáy) R2 R12 R22 AB2 AB giao tuyến Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Biết SAB ằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Lời giải Bán kính đường trịn ngoại tiếp SAB R1 ABCD R2 2a a bán kính đường trịn ngoại tiếp hình vng 3 AC a Giao tuyến SAB ABCD AB a 2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD tính theo cơng thức: 2 a a a2 a 21 AB2 R R R 4 2 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Biết SAB ABC , SAB cân S SA 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC HDedu - Page Lời giải Gọi H trung điểm AB SH AB SH ABCD 2 AB a a 15 Ta có SH SA 2a 2 SA.SB.AB Từ SSAB SH AB R1 SA.SB 2a.2a 4a bán kính đường trịn ngoại tiếp SAB 2SH a 15 15 2 a a Bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC R2 3 Giao tuyến SAB ABC AB a R1 Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC tính theo cơng thức: 4a a a2 a 115 AB2 R R R 4 10 15 2 2 Mặt cầu loại 6: Chóp S.ABC tổng quát có chiều cao SH tâm đáy O ta giải phương trình: SH x OH x2 RD2 đề tìm x Với x tìm ta có R2 x2 RD2 Mặt cầu loại 7: Bán kính mặt cầu nội tiếp: r 3V Stp Một số vấn đề khác mặt cầu: Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện gần đều: R Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều: R 2 a b2 c a a mặt cầu nội tiếp tứ diện gần đều: r 12 VẤN ĐỀ 5: NHỮNG ĐIỀU CẦN NHỚ VỀ ĐA DIỆN ĐỀU Khối đa diện Số đỉnh Số cạnh Số mặt Loại MPĐX Tứ diện 3; 3 Lập phương 12 4; 3 mặt 12 3; 4 12 mặt 20 30 12 5; 3 15 20 mặt 12 30 20 3; 5 15 HDedu - Page VẤN ĐỀ 6: CÁC VẤN ĐỀ VỀ MẶT TRỤ, HÌNH NĨN VÀ KHỐI TRỤ A O A G K B O A O B O A B O A M I C C D O’ D H K Hình O’ O’ K K B A’ K Hình M A’ Hình B O’ D K C Hình Hình Hình 1: * Thiết diện vng góc trục đường trịn bán kính R * Thiết diện chứa trục hình chữ nhật ABCD AB 2R AD h Nếu thiết diện qua trục hình vng h 2R * Thiết diện song song với trục khơng chứa trục hình chữ nhật BGHC có khoảng cách tới trục là: d OO, BGHC OM Hình 2: * Nếu AB, CD hai đường kính hai đáy hình trụ thì: VABCD * Đặc biệt AB CD vng góc với thì: VABCD AB.CD.OO.sin AB, CD AB.CD.OO ̂ = A'AB ̂ Hình 3: (AB,OO') Hình 4: d AB,OO OM Hình 5: Nếu ABCD hình vng nội tiếp hình trụ đường chéo hình vng đường chéo hình trụ Nghĩa là: Đường chéo hình vng 4R2 h2 VẤN ĐỀ 7: CÁC VẤN ĐỀ VỀ HÌNH NĨN, KHỐI NĨN VÀ NĨN CỤT S r l K h O C K R B M A Hình Hình Hình 1: * Các cơng thức nón cụt: V h R2 Rr r , Sxq l R r , Stp R2 r l R r * Thiết diện vng góc trục cách đỉnh khoảng x cắt hình nón theo đường trịn có bán kính r HDedu - Page * Nếu h chiều cao hình nón ban đầu ta có tỉ số: r x R h * Thiết diện chứa trục tam giác cân * Nếu tam giác vng cân h R Nếu tam giác tam giác h R Hình 2: + Thiết diện qua đỉnh mà không chứa trục cắt hình nón theo tam giác cân SAB: ̂ ) = OSM ̂ ̂ , ((SAB),(ABC) ̂ + (SO,(SAB) ) = SMO + Nếu M trung điểm AB AB SMO VẤN ĐỀ 8: CÁC VẬT THỂ TRỊN XOAY TRONG KHƠNG GIAN h h Các công thức chỏm cầu: Sxq 2Rh r h2 V h2 R h 3r h r R Ví dụ: Một khối cầu thủy tinh có bán kính dm Người ta muốn cắt bỏ chỏm cầu có diện tích mặt cắt 15 dm để lấy phần lại làm bể ni cá Hỏi thể tích tối đa mà bể cá chứa bao nhiêu? A 175 dm B 175 dm 3 C 125 dm D 125 dm 3 Lời giải Gọi V , VC CCh thể tích tối đa bể nsi cá chứa, thể h tích khối cầu thủy tinh thể tích khối chỏm cầu bị cắt bỏ h Khi V VC VCh R3 h2 R 3 r R h' R dm Ta có 2 S r 15 dm r 15 h R2 r 42 15 h R h dm 175 Vậy thể tích nước tối đa mà bể cá chứa là: V .43 .32 dm3 3 Đáp án B Các vật thể sinh từ khối trụ: h2 h1 R R R R α R R α R HDedu - Page h h Khối trụ cụt: Sxq R h1 h2 V R2 2 Hình nêm loại 1: V R3 tan 2 Hình nêm loại 2: V R3 tan 3 Ví dụ 1: Cắt khối trụ mặt phẳng khối H hình vẽ bên Biết thiết diện hình elip có độ dài trục lớn 10, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy tới mặt đáy 14 (hình vẽ) Tính thể tích H A V H 192 B V H 275 C V H 704 D V H 176 14 R Lời giải Ta có kích thước: AB CD 8, CE 14, AE 10 DE CE CD 14 AD AD AE DE 10 R 4 2 2 E 10 D A 14 AB CE 14 Vậy thể tích H V H R2 .4 176 (đvtt) R C B Đáp án D Ví dụ 2: Từ khúc gỗ hình trụ có đường kính 30 cm, người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua đường kính đáy nghiêng với đáy góc 45 để lấy hình nêm (hình vẽ) Thể tích V hình nêm bằng: A V 2250 cm B V 225 cm C V 1250 cm D V 1350 cm Lời giải d 30 15 cm R Hình nêm có kích thước 2 45 Thể tích hình nêm V R R tan 153.tan 45 2250 cm 3 α R R Đáp án A Các công thức liên quan đến parabol bậc elip: R R R R h a b a a h a b x Sparabol S x a Rh; ; Vparabol R h; Selip ab S h R HDedu - Page Ví dụ: Một sân chơi trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 m 100 m chiều rộng 60 m Người ta dự định làm đường 2m nằm sân hình vẽ Biết viền ngồi viền đường hai đường elip Elip đường viền ngồi có trục lớn trục bé song song với cạnh hình chữ 60 m nhật chiều rộng mặt đường m Kinh phí m2 làm đường 600.000 đồng Số tiền làm đường là: A 294.053.000 đồng B 294.050.000 đồng C 293.804.000 đồng D 283.604.000 đồng Lời giải .48.28 1344 m Elip đường viền ngồi có a1 50 m , b1 30 m S1 a1b1 .50.30 1500 m Elip đường viền có có a2 48 m , b2 28 m S2 a2b2 Diện tích mặt đường cần làm S S1 S2 156 m Số tiền làm đường là: T 156.600000 294053072,4 294053000 (đồng) Đáp án A Thể tích phao: V 2 R r R r r R VẤN ĐỀ 9: CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA OXYZ Xác định điểm thông qua hệ thức vector: x A x M xB x M * Lý thuyết bản: MA MB 2 y A y M yB y M 2 z A zM zB zM * Tuy nhiên để tìm tọa độ M đơn giản hơn, ta bấm máy: A 3B bấm CALC nhập x A , xB 23 ta x M Tương tự nhập y A , y B ta y M nhập z A , z B ta z M Xác định tọa độ điểm đặc biệt tam giác: HA.BC 0; HB AC Tọa độ trực tâm H nghiệm hệ: AB, AC AH Cho BC a, AC b, AB c ta có: Chân đường phân giác D góc A: bDB cDC Cho BC a, AC b, AB c ta có: Chân đường phân giác ngồi E: bED cEC Cho BC a, AC b, AB c ta có: Tâm nội tiếp: aIA bIB cIC Các ứng dụng tích có hướng: Ba vector đồng phẳng: a , b c (Nếu không đồng phẳng) HDedu - Page Bốn điểm đồng phẳng: AB, AC AD (Nếu không đồng phẳng) Thể tích: VABCD 1 AB, AC AD , diện tích tam giác: SABC AB, AC 6 2 Thể tích hình hộp: V ABCD A ' B ' C ' D ' AB , AD AA Chú ý: Nếu hình hộp chữ nhật biết diện tích ba mặt thể tích nó: V S1S2S3 u , u AB 2 với A d1 , B d2 u , u 2 + Khoảng cách hai đường thẳng: d d1 , d2 + Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng: d A; d u , AM d ud M d Mối quan hệ song song vng góc: Mối quan hệ song song: P // P n n, d // d u u, P // d n u Mối quan hệ vng góc: P P n n, d d u u, P d n u Nếu d P u u, A, B P n AB Mối quan hệ vng góc cặp vector: a b, a c a b , c Tương giao mặt phẳng mặt cầu: Cho mặt phẳng P : ax by cz d mặt cầu S : x x0 y y0 z z0 R2 2 Trường hợp 1: P không cắt S d I ; P R Trường hợp 2: P tiếp xúc với S d I ; P R tiếp điểm hình chiếu vng góc tâm I mặt phẳng P Trường hợp 3: P cắt mặt cầu S theo đường tròn giao tuyến d I ; P R Khi tâm đường trịn hình chiếu vng góc tâm I mặt phẳng P đồng thời bán kính r đường tròn thỏa mãn hệ thức: R r d I ; P Tương giao đường thẳng mặt cầu: Đường thẳng d cắt mặt cầu điểm phân biệt A B d I ; d R Chú ý 1: Hệ thức liên hệ R2 AB2 d I ; d Chú ý 2: Nếu ABI vng cân R 2d I ; d Chú ý 3: Nếu ABI R d I; d Cách xác định hình chiếu vng góc A (P): * Bước 1: Xác định giá trị t axA by A cz A d a2 b2 c * Bước 2: Tọa độ hình chiếu H là: H at xA ; bt yA ; ct zA Các dạng tốn phương trình mặt chắn: Giả sử mặt phẳng P qua M cắt trục tọa độ A a;0;0 , B 0; b;0 , C 0;0; c Khi đó: HDedu - Page 10 Nếu M trọng tâm tam giác ABC thì: a 3xM , b y M , c 3z M Nếu M trực tâm tam giác ABC OM nP Nếu VO ABC M trọng tâm tam giác ABC Nếu 1 M trực tâm tam giác ABC 2 OA OB OC 2 a b c Tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC I ; ; Bán kính: R a b2 c 2 2 Chú ý tam diện vng: Tổng bình phương diện tích mặt bên bình phương diện tích mặt 2 2 lại: SOAB SOBC SOCA SABC VẤN ĐỀ 10: CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG OXYZ ̂ ) lớn nhất: n u , u , u Viết P chứa d cho (d',(P) P d d d Viết d nằm P cho (d,̂d') nhỏ nhất: ud nP , nP , ud ̂ ) nhỏ nhất: n u , u , n Viết P chứa d cho ((P),(Q) P d d Q Viết d nằm P qua A cho d M, d nhỏ nhất: ud nP , nP , AM Viết P chứa d cho d M , P lớn nhất: nP ud , ud , AM với A d Viết d nằm P qua A cho d M, d lớn nhất: ud nP , AM VẤN ĐỀ 11: CÁC DẠNG TOÁN SỐ PHỨC HAY VÀ KHĨ Nếu quỹ tích M z đường tròn tâm I a; b bán kính R đồng thời module số phức cần tìm max IJ R max-min JM thì: min IJ R Nếu z c z c 2a quỹ tích M z elip x2 y b2 a2 c 2 a b f z 2f z f z Nếu z k z a a k 2ax 2 z a a k 2ax z số thực z z z số ảo z z Nếu az bz c với a, b, c 2 nhau, đồng thời z1 z2 z1 z2 i 2i , i có hai nghiệm phức thực z1 ; z2 hai số phức liên hợp c a 1 2i , i 1 2 ni i n 1 Một số tổng đặc biệt: i i i 2i 3i n 1 i n i 1 n 2 Một số đẳng thức đặc biệt: z1 z2 z1 z2 z1 z2 Nếu n1 n 1 i n i 1 zz zz 2OM.OM z số ảo OMM tam giác vng O z HDedu - Page 11 VẤN ĐỀ 12: MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TÍCH PHÂN 1 ax b ax b cx d dx ad bc ln cx d C Phân tích: Tồn hai số , thỏa mãn . ax b . cx d a. c. x b. d. a ad bc a a. c. ab. bc. ad bc c b d ab ad a c a ad bc ax b cx d dx Khi c a ax b cx d a dx c dx ad bc ad bc dx ad bc ax b ad bc cx d ax b cx d d ax b d cx d a c 1 ax b ln ax b ln cx d C ln C ad bc a ax b ad bc c cx d ad bc ad bc cx d x 1 x dx arctan C a a a x 1 x dx arccot C a a a Phân tích: a dt * Đặt x a tan t với t ; Ta có dx d a tan t cos t 2 a 1 dx dt 2 a x a a tan t cos t 1 cos t cos t * Đặt x a cot t với t 0; Ta có dx d a cot t a 1 dx dt 2 a x a a cot t sin t a x 2 dx arcsin x C a a x 2 dt a dt sin t 1 sin t sin t dx arccos 1 x dt t C arctan C a a a a dt 1 x dt t C arc cot C a a a a x C a Phân tích: * Đặt x a sin t với t ; Ta có dx d a sin t a cos tdt 2 a x 2 dx a cos t a a sin t 2 dt a cos t a cos t dt dt t C arcsin dt a sin t x C a * Đặt x a cos t với t 0; Ta có dx d a cos t a sin tdt a2 x2 x a 2 dx a sin t a a cos t dx ln x x2 a2 C a sin t dt dt t C arccos x C a u u dx ln u C Phân tích: HDedu - Page 12 * * u u du du ln u C u u u dx u x2 a2 * x a x2 a2 dx 2 x2 a2 x a d x x2 a2 x2 a2 x2 a2 d x x2 a2 x2 a2 x2 a2 x d x x2 a2 x2 a2 x x2 a2 x 1 d x x2 a2 x2 a2 x2 a2 x2 a2 x d x x2 a2 x2 a2 x x2 a2 dx ln x x2 a2 C xe dx x 1 e x x 1 dx ln x x2 a2 C dx d x x2 a2 x C ln xdx x 1 ln x C Phân tích: u x du dx * Đặt xe xdx xe x e xdx xe x e x C x 1 e x C x x dv e dx v e u ln x du dx ln xdx x ln x dx x ln x x C x ln x 1 C * Đặt x dv dx v x Nếu f x hàm lẻ a f x dx Nếu f x hàm chẵn a a a a f x dx 2 f x dx Phân tích: Ta có I a f x dx a a a f x dx f x dx * Đặt x t dx dt a 0 f x dx f t dt Nếu f x hàm số lẻ f t f t a 0 a a f x dx f t dt f t dt f t dt f x dx a Khi I a a a a a 0 a a a 0 f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx * Đặt x t dx dt 0 f x dx f t dt Nếu f x hàm số chẵn f t f t a 0 a a a f x dx f t dt f t dt f x dx a Khi I a a a f x dx 0 a a a a a 0 0 f x dx f x dx f x dx f x dx 2 f x dx b Dạng tốn tìm số C: F b f x dx F a a b Phân tích: a b b a a f x dx F x F b F a F b f x dx F a HDedu - Page 13 b b b f x dx f a b x dx pf x qf a b x dx p q a a a Phân tích: Đặt t a b x dt dx b * a b * a b b a b f x dx f a b t dt f a b t dt f a b x dx a b p q b p b q b pf x qf a b x d x f x d x f a b x d x f x d x f x dx p q a p q a p q a p q a p q a b b pq b pf x qf a b x d x f x d x a f x dx p q a p q a Nếu tích phân phân thức có bậc tử lớn bậc mẫu phải chia đa thức x 10 x 16 x 4x dx x dx x x x 5x Ví dụ: I x2 A B C x 1 x x 3 x x x 10 Cách tách phân thức loại 1: Ví dụ: A x x B x 1 x C x 1 x x2 A B C x 1 x x 3 x x x x 1 x x A x 5x B x x C x 3x x 1 x x A B C x A 4B 3C x A 3B 2C x 1 x x A B C Sử dụng kỹ thuật đồng hệ số, ta có hệ phương trình sau A B 3C 6 A B 2C Trên máy tính cầm tay, sử dụng phương thức EQN: w5 để giải hệ phương trình Ấn w52 nhập hệ số hệ phương trình Ta tìm nghiệm A 1, B 5,C x2 1 5 x 1 x x 3 x x x Vậy x2 11 Cách tách phân thức loại 2: x 1 x A B C x x x 1 A x 1 x B x 1 C x A B C Ví dụ: 2 x 1 x x x x 1 x 1 x x2 A x 3x B x x C x x 1 x A B x 3A 2B C x A B 2C x 1 x A B Sử dụng kỹ thuật đồng hệ số, ta có hệ phương trình sau 3 A B C 2 A B 2C Trên máy tính cầm tay, sử dụng phương thức EQN: w5 để giải hệ phương trình Ấn w52 nhập hệ số hệ phương trình Ta tìm nghiệm A 4, B 5,C 2 Vậy x2 x 1 x 4 x x x 1 HDedu - Page 14 12 v a t dt : Vận tốc nguyên hàm gia tốc theo thời gian b 13 s v t dt : Quãng đường tích phân vận tốc hai thời điểm t a t b a Ví dụ 1: Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian tính cơng thức v t 5t , thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật tính theo đơn vị mét Quãng đường vật 10 giây là: A 15 mét B 620 mét C 51 mét D 260 mét Lời giải 10 10 0 Quãng đường vật 10 giây s v t dt 5t 1 dt 260 (mét) Đáp án D Ví dụ 2: Một vật chuyển động với gia tốc a t 20 1 2t 2 m s Tính qng đường vặt di chuyển sau giây A 46 mét B 48 mét m s Khi t vận tốc vật 30 C 47 mét D 49 mét Lời giải Vận tốc vật v t a t dt 20 v t 1 2t dt 10 10 C 30 C 20 C Do v 30 2t 2.0 10 20 m s 2t 10 Quãng đường vật di chuyển sau giây là: s v t dt 20 dt 48 (mét) 0 2t 2 Đáp án B b 14 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y f x , y g x , x a x b : S f x g x dx a Ví dụ: Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị y x3 x y x x2 A S 37 12 B S C S 81 12 D S 13 Lời giải x Phương trình hồnh độ giao điểm: x x x x x x x x x 2 Diện tích hình phẳng cần tính S x 2 x2 2x dx 37 (đvdt) 12 HDedu - Page 15 Đáp án A b 15 Thể tích trịn xoay quanh trục hồnh: V f x g x dx a Ví dụ: Cho hình phẳng D giới hạn đồ thị hàm số y x2 y x Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hoành A V 124 15 B V 126 15 C V 128 15 D V 131 15 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm: x x2 x x x 4 x x2 128 Thể tích cần tính V x2 dx (đvtt) 15 Đáp án C b 16 Thể tích trịn xoay quanh trục tung: V 2 xf x dx a Ví dụ: Cho hình phẳng D giới hạn trục hoành parabol P : y 2x x2 Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục tung A V 8 B V 7 C V 10 D V 5 Lời giải x Phương trình hồnh độ giao điểm P với trục hoành: x x2 x x x 2 8 Thể tích cần tính VOy 2 x 2x x2 dx (đvtt) Đáp án A b 17 Thể tích vật thể có thiết diện với diện tích S x : V S x dx a Ví dụ: Tính thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x x , biết cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x x ta thiết diện phần tư hình trịn có bán kính A V 32 B V 64 2x C V 16 D V 8 HDedu - Page 16 Lời giải Thiết diện hình trịn có bán kính 2x , nên diện tích thiết diện S x x2 x (đvdt) 2 16 Thể tích cần tính V x4dx (đvdt) Đáp án C b 18 Độ dài đường cong: L f x dx a Ví dụ: Luồng gió thổi ổn định diều hường Tây,chiều cao diều phụ thuộc vào vị trí tính theo phương ngang từ x đến x 80 mét cho phương trình y 150 x 50 Tìm quãng 40 đường diều A 122,776 (mét) B 122,767 (mét) C 122,677 (mét) D 122,771 (mét) Lời giải Ta có y x 50 20 Quãng đường diều là: L 80 y dx 2 x 50 dx 122,776 (mét) 20 80 Đáp án A b 19 Diện tích mặt cong vật thể trịn xoay trục hồnh: S 2 f x f x dx a Ví dụ: Tính diện tích mặt trịn xoay y x x với x quay quang trục Ox A 6 C 2 B 3 D Lời giải 9 y x x 2 y 3 x x Ta có 0 x Suy đường cong gồm hai nhánh đối xứng qua trục hoành Xét đường cong y f x 1 x x x f x x Diện tích cần tính là: S x x 3 1 x 1 x x 1 dx 3 (đvdt) 30 2 x Đáp án B HDedu - Page 17 VẤN ĐỀ 13: HÀM SỐ BẬC CÓ CỰC TRỊ Cho hàm số bậc 3: y ax3 bx2 cx d có cực trị A x1 ; y1 , B x2 ; y2 Khi ta có ý sau: Điều kiện có cực trị: b2 3ac Ví dụ: Giá trị m để hàm số y x3 3x2 1 m x 3m có hai điểm cực đại, cực tiểu A m B m C m D m Lời giải Hệ số: a 1, b 3 c 1 m Hàm số có hai cực trị b2 3ac 3 3.1.3 1 m m Đáp án B Hàm số đồng biến b2 3ac 0, a nghịch biến a b 0, c Ví dụ 1: Giá trị tham số m để hàm số y A 1 m m B m 1 b2 3ac 0, a a b 0, c x mx mx m đồng biến m C m 1 D 1 m Lời giải Hệ số: a 0, b m c m Hàm số đồng biến b2 3ac m2 m2 m m m 1 1 m m Đáp án D Ví dụ 2: Giá trị tham số m để hàm số y x3 mx2 4m x nghịch biến khoảng ; A 9 m B 9 m 3 m 3 C m 9 m 3 D m 9 Lời giải Hệ số: a 1 0, b m c 4m Hàm số nghịch biến ; b2 3ac m 1 4m m2 4m m m 9 m 3 Đáp án B a a Đồng biến đoạn có độ dài : nghịch biến đoạn có độ dài : x2 x1 x2 x1 Ví dụ: Giá trị tham số m để hàm số y x3 3x2 mx m nghịch biến đoạn có độ dài A m B m C m 1 D m Lời giải Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài y 3x2 6x m có hai nghiệm phân biệt x1 , x m 3 2 3m 9 3m m cho 2 4m 4 x1 x2 2 x1 x2 x1 x2 Đáp án D HDedu - Page 18 Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực đại cực tiểu hàm số bậc ba y f x ax3 bx2 cx d y mx n mx n dư thức phép chia f x cho f x Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y x3 3mx2 m2 x m3 Lời giải Ta có y 3x2 6mx m2 Thực phép chia y x3 3mx2 m2 x m3 cho y 3x2 6mx m2 , ta thương m dư thức 2x m x 3 1 m Tức y x y 2x m Vậy phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số 3 3 y 2 x m Phương trình đường thẳng qua hai cực trị: y b2 3ac 9a x d bc 9a Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số y x3 mx2 x Lời giải Hệ số: a 1, b m, c d Phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị độ thị hàm số tính theo cơng thức y y b2 3ac 9a x d bc m 9a 3.1.7 9.1 x m.7 9.1 14 2 7m 27 m m 21 x y m2 x 9 Định lí Viet với cực trị: x1 x2 b c , x1 x2 3a 3a Phương trình bậc có ba nghiệm lập thành cấp số cộng có nghiệm x nhân nghiệm x b , lập thành cấp số 3a d a Cách nhận diện đồ thị hàm số bậc 3: y Giao Oy: y = d Điểm uốn: b x=– 3a Hình dáng đồ thị cho dấu tham số a O x1 x2 = c 3a x K Để xác định a ta ý đến hình dáng đồ thị hàm số Đồ thị lên bên phải a Đồ thị xuống bên phải a Để xác định dấu b ta ý vào vị trí điểm uốn hoành độ tương ứng x b 3a HDedu - Page 19 c Nếu hai cực trị có hồnh độ dấu 3a a, c dấu ngược lại hai cực trị có hồnh độ trái dấu a, c trái dấu Để xác định dấu c ta xét tích hai hồnh độ cực trị x1 x2 Để xác định dấu d ta xét vị trí tương giao đồ thị với trục tung Oy, tung độ giao điểm y d để xét dấu VẤN ĐỀ 14: HÀM SỐ BẬC TRÙNG PHƯƠNG CÓ CỰC TRỊ Cho hàm số y ax4 bx2 c có ba cực trị Điều kiện có ba cực trị: ab ( a, b trái dấu) Ví dụ: Giá trị tham số m để hàm số y x4 2mx2 2m m4 có ba điểm cực trị A m B m D m C m Lời giải Hệ số: a 1, b 2m Hàm số có ba điểm cực trị ab 2m m Đáp án C Ln có cực trị A 0; c hai cực trị lại đối xứng qua trục tung Tam giác tạo thành ba cực trị có tính chất đây: A * Tam giác ABC vuông cân A 8a b3 * Tam giác ABC 24a b3 ̂ = α 8a b3 tan * Tam giác ABC có góc BAC B D C * Tam giác ABC có diện tích S0 32a3S02 b5 * Bán kính đường trịn ngoại tiếp R 2S abc (với a,b,c độ dài , bán kính đường tròn nội tiếp: r abc 4S cạnh tam giác Ví dụ 1: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y x4 m 2015 x2 2017 có cực trị tạo thành tam giác vng cân A A m 2017 C m 2016 B m 2014 D m 2015 Lời giải Hệ số a 1, b m 2015 c 2017 Hàm số có cực trị ab m 2015 m 2015 Yêu cầu toán 8a b3 1 m 2015 m 2015 m 2015 m 2017 3 Đáp án A Ví dụ 2: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y x m 2017 x2 2016 có ba cực trị tạo thành tam giác A m 2015 B m 2016 C m 2017 D m 2017 Lời giải 9 , b m 2017 c 2016 Hàm số có cực trị ab m 2017 m 2017 8 Yêu cầu toán 24a b3 24 27 m 2017 m 2017 1 m 2016 Đáp án B Hệ số a HDedu - Page 20 Ví dụ 3: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y 3x4 m 2018 x2 2017 có cực trị tạo thành tam giác có góc 120 A m 2018 B m 2017 C m 2017 D m 2018 Lời giải Hệ số a 3, b m 2018 m 2017 Hàm số có cực trị ab 3.2 m 2018 m 2018 Yêu cầu toán 8.3 m 2018 tan2 60 m 2018 1 3 m 2018 1 m 2017 Đáp án C Ví dụ 4: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y mx4 4x2 12 có cực trị tạo thành tam giác có diện tích S A m 2 B m C m D m 1 Lời giải Hệ số a m, b c 12 Hàm số có cực trị ab m.4 m Yêu cầu toán 32a3 S2 b5 32.m3 2 45 m3 1 m 1 Đáp án D b2 ac b Đồ thị hàm số cắt trục hoành bốn điểm có hồnh độ lập thành cấp số cộng a c a 9b2 100 ac Ví dụ: Tìm tất giá trị thực tham số m để đồ thị hàm số y x4 m x2 2m cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng A m 13 B m Hệ số a 1, b m c 2m C m D m 1 Lời giải b2 ac m 2 m m2 m 2 m Yêu cầu toán 2m 9b 100 ac 4 m 12 m 1 m 2 m 3 m 13 m 36m 56m 156 Đáp án C HDedu - Page 21 Đồ thị hàm số cắt trục hoành tạo thành ba miền diện tích có diện tích phần diện tích phần b2 ac b a c a 5b 36 ac y x O K Ví dụ: Tìm m để đồ thị hàm số y x4 4x2 m cắt trục hoành điểm phân biệt cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hồnh có diện tích phần phía phần phía trục hồnh A m B m C m 20 D m 2 Lời giải b2 ac 4 2 m 16 m b m Hệ số a 1, b 4 c m Yêu cầu toán a c m a 5 4 36 m 5b 36 ac 0 m 20 20 m m Đáp án C VẤN ĐỀ 15: HÀM SỐ PHÂN THỨC BẬC NHẤT TRÊN BẬC NHẤT Cho hàm số phân thức hữu tỷ bậc bậc y ax b cx d d d Hàm số đồng biến D ad bc 0, D nghịch biến D ad bc 0, D c c Tiếp tuyến với tiệm cận: * Tiếp tuyến M cắt tiệm cận A B M trung điểm y AB * Khoảng cách từ M tới tiệm cận đứng: * Khoảng cách từ M tới tiệm cận ngang: * IA ad bc c cxM d IB cxM d c ad bc c cxM d cxM d với I giao tiệm cận c * Diện tích tam giác IAB khơng đổi: SIAB I B M O A x K ad bc c2 HDedu - Page 22 Đặc biệt ý: Điểm M thỏa mãn yếu tố: Tổng khoảng cách đạt giá trị nhỏ nhất/ Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất/ Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB lớn nhất/ Khoảng cách từ I tới tiếp tuyến đạt giá trị lớn điểm M phải thỏa mãn tính chất: IA IB y ' xM Cách nhận diện đồ thị hàm phân thức bậc bậc nhất: a * Tiệm cận ngang: y Nếu tiệm cận ngang nằm Ox c ac cịn nằm ac y d * Tiệm cận đứng x Nếu tiệm cận đứng nằm Oy c cd cịn bên phải cd b * Giao Oy: y Nếu giao điểm nằm Ox bd d cịn nằm bd x O K b * Giao Ox: x Nếu giao điểm nằm bên trái Oy a ab cịn bên phải ab VẤN ĐỀ 16: ĐỒ THỊ HÀM SỐ LŨY THỪA, MŨ VÀ LOGARIT Loại 1: Đồ thị hàm số mũ y x O K + Thứ tự: b a d c (Mẹo: Giao đồ thị với đường thẳng x để đánh giá nhanh nhất) + Hàm số y ax có tập xác định D , tập giá trị E 0; + Đồ thị hàm số y ax qua điểm I 0;1 có tiệm cận ngang trục hồnh Ox Loại 2: Đồ thị hàm số logarit y O x + Thứ tự: b a d c (Mẹo: Giao đồ thị với đường thẳng y để đánh giá nhanh nhất) HDedu - Page 23 + Hàm số y log a x có tập xác định D 0; , tập giá trị E + Đồ thị hàm số y log a x qua điểm I 0;1 có tiệm cận ngang trục hoành Oy Loại 3: Đồ thị hàm số lũy thừa y O + y x có tập xác định D x , D \0 K D 0; + Đồ thị hàm số y x qua điểm I 1;1 VẤN ĐỀ 17: CÁC BÀI TOÁN LÃI SUẤT CƠ BẢN CẦN BIẾT Bài toán 1: Đem số tiền a gửi ngân hàng thu số tiền P a 1 r% n Ví dụ 1: Bạn An gửi tiết kiệm số tiền 58.000.000 đồng tháng ngân hàng nhận 61.329.000 đồng Khi lãi suất hàng tháng A 0,6% B 6% C 0,7% D 7% Lời giải Gọi lãi suất hàng tháng r% Khi 61329000 58000000 1 r r 8 61329 0,7% 58000 Đáp án C Ví dụ 2: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 6%/năm lãi hàng năm nhập vào vốn Hỏi sau năm, người thu gấp ba số tiền ban đầu A 17 B 18 C 19 D 20 Lời giải Gọi số tiền ban đầu gửi ngân hàng A Sau n năm người nhận số tiền là: A A 1 0,06 1,06 n log1,06 19 (năm) n n Đáp án C Bài toán 2: Đem số tiền a hàng tháng gửi ngân hàng thu số tiền P a 1 r% 1 r% n 1 r% Ví dụ: Muốn có 100 triệu sau năm tháng phải gửi vào ngân hàng bao nhiêu, biết lãi suất 0,6%/tháng? A 3863151 đồng B 3863152 đồng C 3863150 đồng D 3863153 đồng Lời giải Gọi a số tiền gửi hàng tháng Áp dụng công thức P a 1 r% a 1 r% n 1 r% ta có P.r% 100000000.0,6% 3863151,317 đồng n 24 r % r % 1 0,6% 0,6% HDedu - Page 24 Nếu a 3863151 đồng thì số tiền người nhận sau năm P 3863151 0,6% 1 0,6% 24 1 0,6% 99999991,79 triệu Như hàng tháng gửi 3863151 đồng sau năm nhận gần 100 triệu đồng Vậy nên đáp án phải 3863152 đồng (thà gửi dư khơng thể gửi thiếu) Đáp án B Bài tốn 3: Vay số tiền P hình thức trả góp hàng tháng trả ngân hàng khoản tiền a thì: + Số tiền cịn lại ngân hàng sau n tháng là: Q P 1 r% + Khi hồn thành trả góp ta giải phương trình: P 1 r% n r% a 1 r% 1 r% a n n n 1 r% Ví dụ: Một người vay 50 triệu, trả góp theo tháng vòng 48 tháng, lãi 1,15%/tháng Hỏi hàng tháng người phải trả bao nhiêu? A 1361312,807 đồng B 1361313,807 đồng C 1361310,807 đồng D 1361311,807 đồng Lời giải Sau 48 tháng người trả hết nợ, tức 50000000 1 1,15% 50000000 1 1,15% 1,15% 48 1 1,15% a 48 1 1,15% 48 a 1 1,15% 48 1 1361312,807 đồng Đáp án A VẤN ĐỀ 18: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH ax2 bx c 0, x 0, a ax bx c 0, x 0, a ax bx c 0, x 0, a a, b, c ax2 bx c 0, x 0, a a, b, c ax2 bx c có hai nghiệm phân biệt dương 0, S 0, P ax2 bx c có hai nghiệm phân biệt âm 0, S 0, P ax2 bx c có hai nghiệm trái dấu P ax2 bx c có hai nghiệm phân biệt x1 x2 0, x1 x2 0, x1 x2 ax2 bx c có hai nghiệm phân biệt x1 x2 0, x1 x2 0, x1 x2 ax2 bx c có hai nghiệm phân biệt x1 x2 0, x1 x2 m f x có nghiệm D m f x ; max f x ; m f x có nghiệm D D D m f x ; m f x có nghiệm D m max f x D D m f x , x D m max f x ; m f x x m f x D D HDedu - Page 25 ... phương thức EQN: w5 để giải hệ phương trình Ấn w52 nhập hệ số hệ phương trình Ta tìm nghiệm A 1, B 5,C x2 1 5 x 1 x x 3 x x x Vậy x2 11 Cách tách phân thức. .. c có hai nghiệm phân biệt dương 0, S 0, P ax2 bx c có hai nghiệm phân biệt âm 0, S 0, P ax2 bx c có hai nghiệm trái dấu P ax2 bx c có hai nghiệm phân biệt... 2a SC 3a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Lời giải Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tính theo công thức: R 2 1 a 14 SA SB2 SC a a 3a 2 HDedu - Page