QUAN HỆ MỜ VÀ ĐẠI LƯỢNG MỜ

Chương QUAN HỆ MỜ VÀ ĐẠI LƯỢNG MỜ 2.1 QUAN HỆ MỜ TỔNG QUÁT Khái niệm tập mờ làm mềm dẻo khái niệm tập cổ điển Tất phép toán thực tập cổ điển, hay phần tử biết xác mở rộng để thực phép toán tương tự mà tri thức khơng hồn hảo buộc ta phải sử dụng tập mờ với khái niệm mở rộng Những khái niệm phép toán mở rộng phải trùng với khái niệm phép toán cổ điển, mà hàm thuộc lấy giá trị tập {0, 1}, tức áp dụng với tập „rõ‟ Một khái niệm mở rộng quan trọng có nhiều ứng dụng khái niệm quan hệ mờ Khái niệm quan hệ mờ mở rộng khái niệm quan hệ cổ điển định nghĩa tập hợp rõ ràng Các quan hệ mờ nêu bật mối liên hệ khơng xác hay có cấp độ phần tử tập, hay nhiều tập hợp Cũng giống khái niệm quan hệ tập hợp cổ điển xem tập tích Descartes tập hợp, quan hệ mờ xem tập mờ tích Descartes tập hợp Vì vậy, bạn sinh viên cần nắm vững kiến thức tập hợp, quan hệ tập hợp cổ điển khái niệm tập mờ tích Descartes tập „rõ‟ „mờ‟ trước nghiên cứu quan hệ mờ 2.1.1 Định nghĩa quan hệ mờ Chúng ta bắt đầu xem xét trường hợp đơn giản quan hệ mờ, quan hệ mờ phần tử tập hợp tham chiếu U đó, trường hợp có nhiều ứng dụng quan hệ mờ, quan hệ mờ hai Trong chuyên đề này, ta chủ yếu xét quan hệ mờ hai vũ trụ tham chiếu Việc mở rộng định nghĩa hình thức cho quan hệ mờ nhiều ngơi, nhiều vũ trụ tham chiếu khơng khó khăn Đối với quan hệ cổ điển với phần tử a, b  U, chúng có quan hệ với nhau, khơng có quan hệ với Ta gán giá trị cho cặp (a, b) a b có quan hệ với nhau, gán giá trị trường hợp trái lại Như hàm hai biến fR(a, b) lấy giá trị tập {0, 1}sẽ xác định tất cặp (a, b)  U U có quan hệ với theo quan hệ R đó, cặp phần tử tạo nên tập tích Decac U U, gọi quan hệ hai tập hợp U Với quan hệ mờ, cặp phần tử (a, b) có mối liên hệ khơng xác có nhiều cấp độ liên hệ 1, khơng có hai mức độ Như vậy, ta dùng hàm fR(a, b) lấy giá trị miền [0, 1] xác định nhiều cấp độ quan hệ a b, với a, b  U , tức xác định quan hệ mờ U, quan hệ tập mờ tích Descartes U  U Ta có định nghĩa hình thức cho quan hệ mờ R tập U sau: Định nghĩa 2.1 Một quan hệ mờ hai R (hay đơn giản quan hệ mờ R) tập U, ký hiệu R(U), tập mờ tích Decac U  U, với hàm thuộc fR : U U  [0, 1] Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 24 Nếu hai phần tử a, b U có liên hệ với theo quan hệ R với cấp độ  ta viết fR(a, b) =  Nếu tập U hữu hạn: U = {u1, u2 , , un}thì quan hệ mờ hai ngơi U biểu diễn ma trận vuông cấp n, ký hiệu M(R), (hoặc cho bảng n hàng, n cột) mà phần tử ij nằm hàng i cột j mức độ liên hệ ui với uj, tức ij =fR(ui, uj) M(R) = {ij } ; ij = fR(ui,uj) ; với i = 1, 2, , n ; j = 1, 2, , n (2.1) Việc cho quan hệ mờ R U tương đương với việc cho ma trận M(R) Thí dụ 2.1 Cho tập sinh viên: {Hùng, Liên, Dung}, ký hiệu ngắn gọn: U = {H , L, D} Cho R quan hệ mờ hai U, mức độ tin cậy sinh viên sinh viên Ta biểu diễn quan hệ mờ R dạng bảng: R H L D H 0.9 0.5 L 0.9 0.1 D 0.3 0.1 Tức ta có mức độ tin cậy cặp SV sau: fR(H, L) = fR(L, H) = 0.9; fR(L, D) = fR(D, L) = 0.1; fR(H, D) = 0.3; fR(D, H) = 0.5; fR(H, H) = fR(L, L) = fR(D, D) =  Nếu biểu diễn quan hệ dạng tập mờ ta có: R(U) ={  1.0 0.9 0.3 0.9 1.0 0.1 0.5 0.1 ; ; ; ; ; ; ; ; } ( H , H ) ( H , L ) ( H , D ) ( L, H ) ( L, L ) ( L, D ) ( D , H ) ( D , L ) ( D , L ) Quan hệ R cho ma trận quan hệ mờ theo công thức (2.1): 1 0.9 0.3 M(R) = 0.9 0.1 0.5 0.1  Có thể mở rộng định nghĩa quan hệ mờ nhiều tập tham chiếu U1, U2, …,Uk sau: Định nghĩa 2.2 Một quan hệ mờ k R (hay đơn giản quan hệ mờ R) k tập tham chiếu U1, U2, …,Uk , ký hiệu R(U), tập mờ tích Decac U = U1 U2 … Uk với hàm thuộc: fR : U1 U2 … Uk  [0, 1] (2.2) Định nghĩa 2.2 định nghĩa tổng quát cho quan hệ mờ Khi tập U1= U2 =…= Uk = U ta có quan hệ mờ k ngơi U, tập mờ tích Descartes Un, xác định hàm thuộc fR : Un  [0, 1] Trường hợp đơn giản định nghĩa này, với U1= U2 = U, ta nói R quan hệ mờ U, xác định hàm thuộc: fR(x, y)  [0, 1] , x, y  U Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 25 Nhận xét: Đối với quan hệ cổ điển hai R X, X tập hữu hạn gồm n phần tử, ta sử dụng ma trận vng cấp n để biểu diễn quan hệ R Ma trận ma trận 0-1 (chỉ gồm phần tử 1), ký hiệu xác định sau:  1 if xi Rx j M(R) = [ aij]nn , với xi , x j  X : aij    0 if ( xi , x j ) R( X ) Thí dụ 2.2 Trở lại thí dụ 1.6 chương 1, xét tập X = {1, 2, 3, 4} a/ Ta xác định mối quan hệ L (Less: nhỏ hơn)giữa phần tử X sau: với a, b  X, ta nói a có quan hệ L với b, a nhỏ b Vậy quan hệ L X xác định tập hợp: L(X) = {(1,2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4) } Khi ta biểu diễn quan hệ “rõ” L X ma trận: 0  M(L) = 0 0  0 1  1 0 1  0 0 b/ Ta xác định mối quan hệ D (Divided: chia hết) phần tử X sau: -  a, b  X, ta nói a có quan hệ D với b, a chia hết cho b Vậy quan hệ D X xác định tập: D(X) = {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (4, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 3) (4, 4)} Khi ta biểu diễn quan hệ “rõ” D X ma trận: 1  M(D) = 1 1  1 0 0  0 0  1 c/ Xét quan hệ đồng dư theo modulo 2, ký hiệu Mod 2, xác định sau: -  a, b  X, ta nói a có quan hệ Mod với b, a b có số dư chia cho Vậy quan hệ Mod X xác định tập: Mod 2(X) = {(1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 3) (4, 4)} Khi ta biểu diễn quan hệ “rõ” Mod X ma trận: 1  M(Mod 2) = 0 1  0 0  1 0  1 Dễ thấy quan hệ Mod X quan hệ phản xạ, điều tương ứng với ma trận quan hệ có phần tử đường chéo 1; hữa quan hệ đối xứng, điều tương ứng với ma trận quan hệ ma trân đối xứng Tính bắc cầu kiểm tra trực tiếp, kiểm chứng M(Mod 2)M(Mod 2) = M(Mod 2) Vậy quan hệ M(Mod 2) quan hệ tương đương X Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 26 Trong phần sau, ta dùng ma trận để biểu diễn cho quan hệ “rõ” quan hệ mờ, với quan hệ rõ phần tử ma trận thuộc tập {0, 1}, cịn với quan hệ mờ phần tử ma trận quan hệ thuộc miền [0, 1], lần ta lại thấy quan hệ mờ tổng quát quan hệ cổ điển 2.1.2 Hợp thành quan hệ mờ Với quan hệ cổ điển ba tập tham chiếu X, Y, Z, có quan hệ X Y, quan hệ Y Z cho phép xác định quan hệ X Z, quan hệ thứ ba gọi hợp thành hai quan hệ ban đầu Với quan hệ mờ vậy, ta xây dụng quan hệ mờ hợp thành hai quan hệ mờ cho trước, khái niệm quan hệ hợp thành mờ mở rộng khái niệm quan hệ hợp thành cổ điển Chẳng hạn, ta có quan hệ mờ R: chiều rộng sản phẩm nhỏ nhiều so với chiều dài Quan hệ xác định lớp không xác chiều rộng chiều dài sản phẩm, mà chiều rộng nhỏ nhiều so với chiều dài Đây quan hệ mờ hai tập XY cặp số thực chiều rộng, chiều dài sản phẩm vũ trụ tham chiếu Giả sử ta có quan hệ mờ S: chiều dài sản phẩm nhỏ chiều cao, quan hệ mờ hai xác định tập YZ cặp số thực chiều dài chiều cao sản phẩm vũ trụ tham chiếu xét Như vậy, kết hợp hai quan hệ mờ này, ta quan hệ mờ chiều rộng chiều cao sản phẩm Phép kết hợp gọi phép hợp thành hai quan hệ R S Định nghĩa 2.3 Hợp thành quan hệ mờ hai R X  Y với hàm thuộc fR(x, y) quan hệ S Y Z với hàm thuộc fS(y, z) quan hệ mờ X  Z , ký hiệu RoS (hoặc đơn giản RS) có hàm thuộc xác định sau:  (x,z) X Z , fR S(x, z) = supy Y {min[fR(x, y); fS(y, z)]} o (2.3) Một số trường hợp đặc biệt:  Nếu X,Y, Z tập hữu hạn, hàm thuộc quan hệ hợp thành xác định sau:  (x,z) X Z , fR S(x, z) = maxy Y {min[fR(x, y); fS(y, z)]} o (2.4)  Nếu X = Y = Z, tức R S quan hệ hai X, với X tập hữu hạn, hàm thuộc quan hệ hợp thành RoS xác định sau:  x, z  X , fR S(x, z) = maxy X {min[fR(x, y); fS(y, z)]} o (2.5)  Nếu R S quan hệ hai ngơi X, với X tập hữu hạn, hàm thuộc quan hệ hợp thành RoS xác định đơn giản hơn:  x, z  X , fR R (x, z) = maxy X {min[fR(x, y); fR(y, z)]} o (2.6) Nếu quan hệ mờ R có ma trận M(R), quan hệ S có ma trận M(S) ma trận quan hệ hợp thành R o S ký hiệu xác định sau: M(RoS) = M(R)  M(S) (2.7) phép  xác định phần tử ma trận quan hệ hợp thành theo công thức (2.4) Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 27 Về hình thức, phép nhân  cho hai ma trận quan hệ mờ (2.7) áp dụng tương tự phép nhân hai ma trận thông thường, cần thay phép tính cộng số hạng phép lấy „max‟ phép tính tích phần tử thay phép lấy „min‟ Thí dụ 2.3 Cho quan hệ ngơi R X  Y quan hệ S Y  Z có ma trân quan hệ mờ tương ứng M(R) M(S) sau: 1 0.2 0.8 M ( R)  0.2 0.5 0.8 0.5  0.2 0.4  0.6 0.3  0 0.3  ; M ( S )  0  Theo cơng thức (2.7), ta tính ma trận quan hệ mờ hợp thành RoS là: 0.2 0.4  M ( R S )  0.2 0.6 0.3 0.2 0.4  Nhiều người ta cần xác định quan hệ hợp thành R với nó, tức tính RoR Thí dụ 2.4 Xét quan hệ mờ hai ngơi R thí dụ 2.1 cho ma trận M(R) sau: H L D 1 0.9 0.3 M ( R)  0.9 0.1 0.5 0.1  H L D Theo công thức (2.7), ta tính ma trân quan hệ hợp thành R o R 1 0.9 0.3 M ( R R)  0.9 0.3 0.5 0.5  Quan hệ R mức độ tin cậy đối tượng trực tiếp với đối tượng khác, quan hệ R o R hiểu mức độ tin cậy đối tượng với đối tượng kia, thông qua đối tượng trung gian Chẳng hạn, R mức độ tin cậy D L 0.1, quan hệ RoR mức độ tin cậy D với L, thông qua trung gian khác 0.5, tính theo cơng thức (2.6): fRoR (D, L) = max{min[fR(D,H); fR(H,L)], min[fR(D,L); fR(L,L)], min[fR(D,D); fR(D,L)]} = max{min[0.5; 0.9], min[0.1; 1.0)], min[1.0; 0.1]} = 0.5 2.1.3 Một số tính chất đặc biệt quan hệ mờ Ta nhắc lại số tính chất quan hệ hai cổ điển (xem định nghĩa 1.1, chương 1):  Phản xạ: Quan hệ R có tính phản xạ nếu: aRa,  a  X  Đối xứng: Quan hệ R có tính đối xứng nếu: aRb  bRa  Bắc cầu: Quan hệ R có tính bắc cầu nếu: (aRb bRc)  aRc Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 28 Cũng giống quan hệ cổ điển, người ta quan tâm đến số tính chất đặc biệt quan hệ mờ hai ngơi Những tính chất mở rộng tính chất tương ứng quan hệ cổ điển Định nghĩa 2.4 Một quan hệ mờ hai R U là:  Phản xạ nếu:  x U , fR(x, x) =  Đối xứng nếu:  (x, y) U U , fR(x, y) = fR(y, x)  Bắc cầu max-min nếu:  x, z  U, fR(x, z) ≥ maxy U{min[fR(x, y); fR(y, z)]} Rõ ràng fR(x, y) lấy giá trị 1, quan hệ hai R trở thành quan hệ cổ điển tính chất trùng với tính chất tương ứng quan hệ cổ điển Trong phần cịn lại chun đề này, tính bắc cầu max-min quan hệ mờ gọi ngắn gọn tính bắc cầu, điều khơng gây nhầm lẫn Thí dụ 2.5 Xét quan hệ mờ R tập sinh viên U = {H, L, D} thí dụ 2.1 Dễ thấy R phản xạ, khơng phải đối xứng ta có fR(H, D) = 0.3  fR(D, H) = 0.5 Hơn quan hệ bắc cầu (max-min) Thật vậy, ta có fR(D, L)=0.1, điều khơng thỏa tính bắc cầu max-min cần có là: fR(D, L) ≥ max{ min[fR(D, H),fR(H, L)]; min[fR(D, L),fR(L, L)]; min[fR(D, D),fR(D, L)]} = = max{min[0.5 ; 0.9]; min[0.1 ; 1.0]; min[1.0 ; 0.1] } = max{0.5 ; 0.1 ; 0.1} = 0.5 Chú ý 2.1.3: Nếu quan hệ R biểu diễn ma trận quan hệ mờ M(R), tính đối xứng quan hệ tương ứng với tính đối xứng ma trận M(R), quan hệ R phản xạ ma trận quan hệ mờ tương ứng có phần tử đường chéo Để kiểm tra tính bắc cầu max-min quan hệ R, ta tính ma trận quan hệ hợp thành RoR, phần tử M(R) không nhỏ phần tử tương ứng M(RoR) quan hệ R bắc cầu max-min; ngược lại, có dù phần tử M(R) nhỏ phần tử tương ứng M(RoR), tính chất bắc cầu max-min bị phá vỡ Nói chung có M(RoR) = M(R) quan hệ mờ xét bắc cầu max-min Thí dụ 2.6 1 0.9 0.3 a/ Xét quan hệ mờ hai R thí dụ 2.1, có ma trận quan hệ mờ M(R) = 0.9 0.1 ,   0.5 0.1  1 0.9 0.3 mặt khác thí dụ 3.3 ta tính M(RoR) = 0.9 0.3 , R quan hệ bắc cầu   0.5 0.5  Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 29 0.2 0.4  0.6 0.3  , ta tính 0 0.3  b/ Xét quan hệ mờ hai S U, với ma trận quan hệ mờ M(S) = 0  0.2 0.6 0.3 ma trận M(SoS) =  0.6 0.3 , S quan hệ mờ hai bắc cầu max-min, nhiên    0.6 0.3 S quan hệ đối xứng phản xạ 2.2 QUAN HỆ TƯƠNG TỰ Để biểu diễn ý tưởng gần nhau, giống đối tượng, ta dùng quan hệ mờ đặc biệt thỏa mãn ba tính chất: phản xạ, đối xứng bắc cầu gọi quan hệ tương tự Quan hệ tương tự mở rộng quan hệ tương đương cổ điển, có vai trị lớn việc xây dựng mơ hình CSDL quan hệ mờ, mà ta nghiên cứu chương sau 2.2.1 Định nghĩa quan hệ tương tự Một quan hệ mờ hai U quan hệ tương tự thỏa ba tính chất: phản xạ, đối xứng bắc cầu max-min Quan hệ tương tự thường ký hiệu S (similarity relation), định nghĩa cách hình thức sau: Định nghĩa 2.5 Một quan hệ tương tự tập U ánh xạ S: U×U [0, 1], có tính chất sau: (i)  x  U, S(x, x) = 1, (tính phản xạ: reflexivity) (ii)  x, y  U, S(x, y) = S(y, x), (tính đối xứng: symmetry) (iii)  x, y, z  U, S(x, z) ≥ max yU {min[S(x, y), S(y, z)]}, (tính bắc cầu max-min: max-min transitivity) Chú ý rằng, ánh xạ S: U [0, 1] có vai trị hàm thuộc fR :U×U [0, 1] định nghĩa 2.1 ,  x, y  U, S(x, y) xác định tập mờ U Thí dụ 2.7 Cho miền trị D gồm giá trị D = {a, b, c, d}, ta xác định quan hệ S D sau: S a b c d a 0.8 0 b 0.8 0 c 0 0.7 d 0 0.7 Hình 2.1 Quan hệ S miền trị D Ta kiểm tra tính chất định nghĩa 2.5 với quan hệ S: (i) Với a, b, c, d  D, ta có S(a, a) = S(b, b) = S(c, c) = S(d, d) = 1, S phản xạ (ii) Với cặp giá trị x, y D, ta có S(x, y) = S(y, x), chẳng hạn S(a, b) = S(b, a) = 0.8, tính chất (ii) thỏa mãn, S quan hệ đối xứng Ngồi ra, tính đối xứng quan hệ S kiểm tra cách xem ma trận quan hệ mờ M(S) có phải ma trận đối xứng hay không Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 30 (iii) Để kiểm tra tính phản xạ, ta cần kiểm tra điều kiện (iii) phải thỏa mãn với giá trị a, b, c  D Theo ý 2.1.3, thực việc kiểm tra việc tính ma trận M(SoS) 1 0.8  M(SoS) = 0.8 0  0 0  1 0.8   0  0.8  0.7  0   0.7  0 0  1 0.8   0  = 0.8 0 0.7    0.7  0 0   0  = M(S) 0.7   0.7  Ta có M(SoS) = M(S), theo ý 2.1.3, S quan hệ bắc cầu max-min Do tính chất trên, S quan hệ tương tự D Thí dụ 2.8 Cho miền trị C (Color) gồm màu Blue, Green Red, C = {B, G, R}, ta có quan hệ mờ hai S C mức độ giống màu sau (hình 2.2): S B G R Blue (B ) 0.7 Green (G) 0.7 Red(R) 0 Hình 2.2 Quan hệ S miền trị C Từ ma trận quan hệ mờ M(S), ta thấy S quan hệ phản xạ, đối xứng Ta tính ma trận quan hệ hợp thành S với 1 0.7  1 0.7  1 0.7     0.7  = M(S), S quan hệ bắc cầu =   0.7    0 1 1 0 1 M(SoS) = 0.7  0 max-min Do tính chất trên, S quan hệ tương tự miền C 2.2.2 Quan hệ mức  liên kết với quan hệ mờ Ta biết rằng, chất, quan hệ mờ hai ngơi U tập mờ tích Descartes U Như vậy, tất tính chất định nghĩa liên quan đến tập mờ áp dụng cho quan hệ mờ Chẳng hạn, định nghĩa chiều cao, giá đỡ, hạt nhân nhát cắt mức  quan hệ mờ tương tự với tập mờ, nhát cắt mức  quan hệ mờ khái niệm quan trọng có nhiều ứng dụng việc phân tích xử lý thơng tin Một quan hệ mờ hai R U tập mờ tích Descartes U, với hàm thuộc fR : U×U [0, 1] Nhát cắt mức  tập mờ cho ta tất cặp (x, y)U×U mà fR(x, y)  , nhát cắt mức  xác định tập „rõ‟ tích Descartes U, tức xác định quan hệ „rõ‟ hai U, gọi quan hệ mức  liên kết với quan hệ mờ R Ta có định nghĩa: Định nghĩa 2.5 Cho quan hệ mờ R U với hàm thuộc fR : U×U [0, 1], ngưỡng   [0, 1] Một quan hệ mức  liên kết với quan hệ R quan hệ ký hiệu R xác định sau:  x, y U, ta nói x có quan hệ R với y, ký hiệu xRy hay (x, y) R (U), fR(x, y)   Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 31 Như vậy, với quan hệ mờ R U, có nhiều quan hệ với mức  khác liên kết với R, quan hệ „rõ‟ U Thí dụ 2.9 Xét quan hệ mờ hai ngơi R U = {H, L, D} thí dụ 2.1, cho bảng : R H L D H 0.9 0.5 L 0.9 0.1 D 0.3 0.1 Với mức  = 0.8, ta có quan hệ R0.8 gồm cặp sau: (H, H), (H, L), (L, H), (L, L), (D, D), cặp khác coi khơng có liên hệ với (vì mức độ quan hệ ngưỡng cho trước) Ký hiệu đầy đủ cho quan hệ (xem mục 1.1.4, chương 1) : R0.8(U) = {(H, H), (H, L), (L, H), (L, L), (D, D)} Đây quan hệ hoàn toàn „rõ‟ U, biểu diễn quan hệ R0.8 dạng bảng: R0.8 H L D H 1 L 1 D 0 cho ma trận quan hệ: 1 0 M(R0.8) = 1  0  1 Tương tự, ta có ma trận quan hệ mức  = 0.5  = 0.3 liên kết với quan hệ mờ R: 1 M(R0.5) = 1  1 0 1  1 ; M(R ) = 0.3 0   1 1    Chú ý ma trận quan hệ hai R với phần tử nhận giá trị (tương ứng với hàm thuộc nhận giá trị 1) R quan hệ „rõ‟, phần tử ma trận nhận giá trị miền [0, 1] R quan hệ mờ Có thể chứng minh tính chất quan trọng quan hệ mức : (SV tự chứng minh) Tính chất 2.1 Cho quan hệ mờ R U, quan hệ R phản xạ với   [0, 1] quan hệ mức  liên kết với R, quan hệ phản xạ Tính chất 2.2 Cho quan hệ mờ R U, quan hệ R đối xứng với   [0, 1] quan hệ mức  liên kết với R quan hệ đối xứng Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 32 Tính chất 2.3 Cho quan hệ mờ R U, quan hệ R bắc cầu max-min với   [0, 1] quan hệ mức  liên kết với R quan hệ bắc cầu 2.2.3 Phân hoạch liên kết với quan hệ tương tự Cho quan hệ tương tự S miền tham chiếu U, ta xét quan hệ mức  liên kết với quan hệ S Do quan hệ mờ S quan hệ phản xạ, đối xứng bắc cầu max-min, theo tính chất 2.1, 2.2 2.3 đây, ta suy quan hệ mức  quan hệ tương tự S quan hệ phản xạ, đối xứng bắc cầu Vậy ta có bổ đề sau: Bổ đề 2.1 Nếu S quan hệ tương tự U, với   [0, 1], quan hệ mức  liên kết với S quan hệ tương đương U Bổ đề cho phép ta sử dụng quan hệ tương đương S (là quan hệ mức  liên kết với quan hệ tương tự S) để phân lớp đối tượng vũ trụ tham chiếu U, điều quan trọng việc xử lý thông tin, thu nhận tri thức từ liệu thực tế Mỗi quan hệ tương đương cổ điển cho phép phân hoạch tập hợp thành lớp tương đương, túc người ta nhóm phần tử thỏa mãn quan hệ tương đương thành lớp, tất phần tử lớp tương đương với theo quan hệ tương đương Đối với quan hệ tương tự S, quan hệ mức  liên kết với S S, quan hệ tương đương Dùng quan hệ tương đương S để phân lớp vũ trụ tham chiếu U, ta lớp mà lớp chứa phần tử tương đương mức , (thực chất tương tự nhau, gần giống mối quan hệ mờ S) Nếu ta xét quan hệ mờ S, tức chấp nhận tương tự (với mức độ cần  0), tất phần tử U thỏa mãn quan hệ (với cấp độ khác nhau), ta phân lớp U, tức tất phần tử U thuộc vào lớp Nếu ta tăng dần mức , tức tăng yêu cầu độ liên hệ phần tử, U có phân lớp rõ ràng hơn, mức  cao có phần tử lớp thỏa mãn quan hệ R , tức mức  cao U phân thành nhiều lớp, tức  cao U phân lớp “mịn” hơn, lớp mức cao bị bao hàm lớp mức thấp Ta xét thí dụ cụ thể sau Thí dụ 2.10 Cho S quan hệ tương tự miền trị C (Color) gồm màu Blue, Green Red, hay C = {B, G, R} (việc chứng minh S quan hệ tương tự xem thí dụ 2.8) S B G R Blue (B ) 0.7 Green (G) 0.7 Red(R) 0 Hình 2.3 Quan hệ tương tự S miền trị C Xét quan hệ S liên kết với S, với  = 0.7, có ma trận quan hệ S0.7 cho hình 2.4 Các lớp tương đương theo quan hệ S0.7 là: {B, G}và {R}, tức ta coi màu Xanh Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 33 nước biển (Blue) màu Xanh thuộc lớp, với mức độ tương đương 0.7), lớp màu Đỏ (Red) Các tập {B, G}và {R} phân hoạch tập C theo quan hệ S0.7 S0.7 B G R Blue (B) 1 Green (G) 1 Red(R) 0 Hình 2.4 Quan hệ S0.7 miền trị C Nếu lấy mức  = 1.0 ma trận quan hệ S1.0 S1.0 B G R Blue (B) 0 Green (G) Red(R) 0 Hình 2.5 Quan hệ S1.0 miền trị C Mỗi màu tương đương với nó, lớp tương đương gồm màu, tập {B}, {G} {R}là phân hoạch tập C Nếu lấy mức  = tất màu coi tương đương với (với mức độ 0), tất giá trị ma trận Và tất tập C thuộc lớp tương đương, tức phân lớp tập C Có thể xét thí dụ phức tạp phân hoạch liên kết với quan hệ tương tự: Thí dụ 2.11 Cho tập tham chiếu U = {a, b, c, d}và quan hệ mờ R hai U với hàm thuộc cho bảng sau: Hình 2.6 Quan hệ R miền trị U Từ ma trận quan hệ mờ M(R), dễ nhận thấy quan hệ R phản xạ đối xứng (xem ý 2.1.3) Để kiểm tra tính bắc cầu max-min, ta tính ma trận quan hệ hợp thành M(RoR): M(RoR) = 1 0.3 0.9 0.5 1 0.3 0.9 0.5 1 0.3 0.9 0.5        0.3 0.3 0.3   0.3 0.3 0.3  = 0.3 0.3 0.3  = M(R) 0.9 0.3 0.5 0.9 0.3 0.5 0.9 0.3 0.5        0.5 0.3 0.5  0.5 0.3 0.5  0.5 0.3 0.5  Như vậy, R bắc cầu max-min Quan hệ mờ R quan hệ tương tự U Ta tính quan hệ R với mức  khác Với  = 0.3 (mức tương tự nhỏ phần tử) tất cặp phần tử có quan hệ với với mức độ lớn Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 34 mức này, tức  x, y  U xR0.3 y , ta có : 1  M(R0.3) = 1 1 1  1 1 1 1  1 1 1 1 R0.3 xác định lớp tương đương U, {a, b, c, d}, gọi phân hoạch U, ứng với R0.3 1  M(R0.5) = 0 1 1  0 1 1 0  1  Quan hệ R0.5 chia U thành lớp tương đương {a, c, d} {b} phân hoạch U 1  M(R0.9) = 0 1 0 0  0 0  0 1 Quan hệ R0.9 chia U thành lớp tương đương {a, c}, {d} {b}, phân hoạch U Cuối cùng, lấy mức  = 1, phần tử có quan hệ với nó, ma trận quan hệ là: 1 0  M(R1.0) = 0 0 0 0  0 0  0 1 Có lớp tương đương theo quan hệ R1.0 {a}, {c}, {d} {b} Như vậy, với mức , quan hệ R xác định phân hoạch U, phân hoạch gọi phân hoạch liên kết với quan hệ tương tự R Có thể biểu diễn phân hoạch liên kết với quan hệ tương tự R “cây phân hoạch” sau: R0.3 {a, b, c, d} R0.5 {a, c, d} R0.9 R1.0 {b} {a, c} {a} {d} {c} {b} {d} {b} Hình 2.7 Cây phân hoạch liên kết với quan hệ tương tự R Từ phân hoạch trên, thấy với ngưỡng  cao phân hoạch U “mịn” Chẳng hạn, với  = 0.3 ta khơng thể phân hoạch U thành lớp nhỏ hơn, với  = 0.5 U phân hoạch thành lớp, lớp {a, c, d}, lớp lại {b}, với  = 0.9 lớp {a, c, d} lại phân mịn thành {a, c} {d}, tức U phân hoạch thành {a, c}, {d} {b},  = 1.0 U phân hoạch thành.{a}, {c}, {d}và{b}, phân hoạch mịn Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 35 2.3 CÁC ĐẠI LƯỢNG MỜ Trong ứng dụng, tỷ lệ lớn tập mờ biểu diễn tính chất đối tượng biến nhận giá trị tập số thực R Chẳng hạn tính chất đối tượng nghiên cứu khoảng cách, nhiệt độ, giá cả…đó biến nhận giá trị thực, nhiên, nhiều lý do, ta khơng xác định gía trị xác biến này, mà phải đặc trương tập mờ vũ trụ tham chiếu tập số thực Những tập mờ gọi chung đại lượng mờ, có số mờ, tập mờ lồi chuẩn hóa vũ trụ tham chiếu tập số thực, mà ta định nghĩa chương trước Trong phần này, ta tiếp tục bổ sung thêm số khái niệm liên quan đến đại lượng mờ, số mờ, vài kiểu số mờ thông dụng phép toán số học mờ số mờ 2.3.1 Đại lượng mờ số mờ Có nhiều định nghĩa cho đại lượng mờ, khoảng mờ số mờ Ở ta đưa số định nghĩa đơn giản nhất, phù hợp với hầu hết định nghĩa có Định nghĩa 2.6  Một đại lượng mờ Q tập mờ chuẩn hóa tập số thực R  Một giá trị “lõi” (core) Q phần tử m  R cho fQ(m) = 1, với fQ hàm thuộc tập mờ Q Như vậy, đại lượng mờ Q xác định hàm thuộc fQ : R ×R [0, 1] Rõ ràng Q có nhiều giá trị lõi, tất giá trị R mà thực thuộc Q, tức hàm thuộc Q giá trị Như vậy, Q đại lượng mờ R Ker(Q) tập tất giá trị “lõi” Q Đại lượng mờ Q liên kết với biến nhận giá trị “vào khoảng m” hay “xấp xỉ v w” đại lượng mờ Q coi “số mờ” “khoảng mờ”, tương ứng với giá trị lõi Q m số thực u nằm khoảng [v, w] Như “khoảng mờ” hay “số mờ” để đặc trưng cho giá trị cách xác, vậy, chất khoảng mờ coi số mờ, chúng tập mờ lồi chuẩn hóa vũ trụ tham chiếu tập số thực R, hai đặc trưng quan trọng số mờ hay khoảng mờ Định nghĩa có phân biệt hai khái niệm này, nhiên, có nhiều tài liệu khơng phân biệt khoảng mờ số mờ, không cần phân biệt, ta gọi chung tập mờ lồi chuẩn hóa vũ trụ tham chiếu tập số thực R số mờ Định nghĩa 2.7  Một khoảng mờ I đại lượng mờ lồi R  Một số mờ M khoảng mờ mà có giá trị lõi Như vậy, từ định nghĩa 2.6 2.7 ta thấy khoảng mờ định nghĩa tập mờ lồi chuẩn hóa tập số thực R, trùng với định nghĩa số mờ đưa chương 1, số mờ khoảng mờ đặc biệt, có giá trị lõi, tức trường hợp riêng định nghĩa số mờ chương Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 36 2.3.2 Các số mờ khoảng mờ kiểu L-R Có nhiều kiểu số mờ khoảng mờ định nghĩa, ta trình bày kiểu số mờ khoảng mờ thơng dụng nhất, số mờ khoảng mờ kiểu L-R với hàm thuộc tuyến tính, số mờ khoảng mờ trường hợp gọi số mờ tam giác số mờ hình thang Định nghĩa 2.8 Một số mờ M kiểu L-R ba M = (m, a, b) m giá trị lõi M, a “độ trải trái” (Left spread), b “độ trải phải” (Right spread) M, với a, b > 0; hàm thuộc M xác định sau: 0 , if u  m  a; or u  m  b  um 1  , if m  a  u  m  a  M (u )   1  m  u , if m  u  m  b  b 1 , if u  m  Đồ thị  Số mờ L-R với hàm gọi số mờ “tam giác” Định nghĩa 2.9 Một khoảng mờ I kiểu L-R bốn I = (m, m‟, a, b) m m‟ giá trị lõi nhỏ lớn I, a “độ trải trái” (Left spread), b “độ trải phải” (Right spread) I, với a, b > 0; hàm thuộc I xác định sau: if u  m  a; or u  m ' b 0  u  m 1  , if m  a  u  m  a  I (u )   1  m ' u , if m '  u  m ' b  b 1 if m  u  m '  Đồ thị  Khoảng mờ L-R với hàm thuộc gọi số mờ hình thang Chú ý Do khoảng mờ tập mờ lồi chuẩn hóa, nên giá trị khoảng [m, m‟] giá trị lõi khoảng mờ I, tức Ker(I) = [m, m‟] Khi m = m‟ khoảng mờ I chứa giá trị lõi, I số mờ tam giác Người ta cho số mờ tam giác việc cho sai số M theo tỷ lệ, chẳng hạn cho số mờ M = m + k%, tương đương với cho M = (m, m*k%, m*k%), độ trải trái độ trải phải nhau: a = b = m*k% Thí dụ 2.9 Cho số mờ yam giác M = (90, 10, 15) , ta có biểu diễn hình học số mờ tập mờ tam giác hình 2.8 (a) Ở M hiểu giá trị khơng biết xác: “vào khoảng 90” Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 37 µM(u) (a) µA(u) (b) 80 90 105 u 135 150 165 u Hình 2.8 (a) Số mờ M (b) số mờ N Hàm thuộc số mờ M là: if u  80; or u  105 0 0  u  80  u  90  1  , if 80  u  90  10  10   M (u )   105  u 1  90  u , if 90  u  105  15  15 1 1 if u  90   if u  80 or u  105 if 80  u  90 if 80  u  90 if u  90 Hình 2.8 (b) biểu diễn số mờ N = 150 + 10%, giá trị “khoảng chừng 150” Một khoảng mờ I = (200, 250, 20, 20)L-R tập mờ hình thang với hàm thuộc có đồ thị sau: µI (u) 180 200 250 270 u Hình 2.9 Tập mờ hình thang I xem khoảng mờ Hàm thuộc khoảng mờ I là: 0  u  200 1   20  I (u )   250 u 1   20 1  if u  180 or u  270 if 180  u  200 if 250  u  270 if 200  u  250 if u  180; or u  270 0  u  180  , if 180  u  200 :  I (u )   20  270  u , if 250  u  270  20 1 if 200  u  250  Khoảng mờ đặc trưng cho giá trị khơng biết xác: “khoảng chừng 200 250” thực chất khoảng mờ coi số mờ Trong chuyên đề này, dùng khái niệm “số mờ” để số mờ khoảng mờ, không cần phân biệt Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 38 2.3.3 Các phép toán số học mờ số mờ kiểu L-R Ta xét số phép toán số học mờ đơn giản số mờ kiểu L-R, lấy đối số mờ, phép cộng hai số mờ phép trừ hai số mờ… Với phép tốn số học khác khơng bảo đảm cho kết số mờ, ta khơng trình bày phần Định nghĩa 2.10 Cho hai số mờ kiểu L-R: M = (m, a, b)L-R N = (n, c, d)L-R , ta có phép tốn mờ:  Số đối mờ M số mờ kiểu L-R, ký hiệu xác định sau: - M = (-m, b, a)L-R  Tổng mờ M N số mờ kiểu L-R, ký hiệu xác định sau: M  N = (m+n, a+c, b+d)L-R  Hiệu mờ M N số mờ kiểu L-R, ký hiệu xác định sau: M  N = M  (- N) = (m-n, a+d, b+c)L-R  M  N = (m.n, mc+na, md+n b)L-R  Nghịch đảo số mờ M = (m, a, b)L-R , với m ≠ 0, số mờ ký hiệu xác định 1 b a sau: =( , , ) M m m m  Thương hai số mờ M = (m, a, b)L-R , N = (n, c, d)L-R , với n ≠ 0, số mờ ký M m md  na md  na hiệu xác định sau: =( , , ) N n n2 n2 Thí dụ 2.10 Xét số mờ thí dụ 2.9 với M = (90, 10, 15)L-R N = (150, 15, 15)L-R Ta có - M = (-90, 15, 10)L-R , Ta có M N = (240, 25, 30)L-R , Ta có N  M = (60, 25, 30)L-R , M  N = (13500, 2850, 3600)L-R Chú ý : Đối với phép nhân số mờ, cần đảm bảo M N có tất giá trị chứa R+, đồng thời a b bé so với m c d bé so với n Nói chung điều kiện thực tế thường thỏa mãn Có thể thực việc nhân số mờ M = (m, a, b)L-R với số thực rõ k  R: k > 0: k.M = (km, ka, kb)L-R k < 0: k.M = (km, -kb, -ka)L-R k = 0: 0.M = (số không rõ) Chẳng hạn, với số mờ thí dụ 2.10, ta có: 2M = (180, 20, 30)L-R M = (45, 5, 7.5)L-R Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 39 Một số kết thí dụ minh họa sau: µ M 80 90 MN N 105 135 150 165 215 240 M N 270 10650 13500 17100 u Hình 2.10 Các số mờ M, N, M N M N thí dụ 2.10 Các phép tốn áp dụng tương tự cho khoảng mờ, ta có định nghĩa sau: Định nghĩa 2.10 Cho hai khoảng mờ kiểu L-R: I = (m, m‟, a, b)L-R J = (n, n‟, c, d)L-R , ta có phép toán mờ:  Khoảng đối mờ I khoảng mờ kiểu L-R, ký hiệu xác định sau: - I = (-m‟, -m, b, a)L-R  Tổng mờ I J khoảng mờ kiểu L-R, ký hiệu xác định sau: I  J = (m+n, m‟+n‟, a+c, b+d)L-R  Hiệu mờ I J khoảng mờ kiểu L-R, ký hiệu xác định sau: I  J = (m-n‟, m‟-n, a+d, b+c)L-R  Tích mờ I J khoảng mờ kiểu L-R, ký hiệu xác định sau: I  J = (mn, m‟n‟, mc+na, m‟d+n‟ b)L-R Chú ý : Đối với phép nhân khoảng mờ, cần đảm bảo I J có tất giá trị chứa R+, đồng thời a b bé so với m c d bé so với n Nói chung điều kiện thực tế thường thỏa mãn Có thể thực việc nhân khoảng mờ I = (m, m‟, a, b)L-R với số thực rõ k  R: k > 0: k.I = (km,km‟, ka, kb)L-R k < 0: k.I = (km‟,km, -kb, -ka)L-R k = 0: 0.I = (số không rõ) Các bạn sinh viên tự tìm thí dụ cho phép toán số học mờ khoảng mờ Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 40 2.4 CÁC QUAN HỆ MỜ MỘT NGÔI Một loại quan hệ mờ sử dụng nhiều việc biểu diễn thơng tin khơng xác, quan hệ mờ ngơi Quan hệ mờ U trường hợp riêng quan hệ mờ hai U, mà đó, ta cố định phần tử Y U, xét mức độ mà phần tử khác U có liên hệ với phần tử Y Các quan hệ mờ ngơi đóng vai trị toán tử mờ tác động vào giá trị “rõ” cho kết đại lượng mờ Các đại lượng mờ cịn xác định quan hệ mờ ngôi, mà ta giới thiệu số quan hệ thường gặp biểu thức số học mờ biểu thức logic mờ có nhiều ứng dụng việc xử lý thơng tin khơng xác khơng đầy đủ 2.3.1 Quan hệ mờ “close to” Với Y giá trị cho trước miền tham chiếu U, phần tử u thuộc U có giá trị “xấp xỉ với Y”, “gần với Y” (close to Y), “vào khoảng Y” (around Y) gọi thuộc quan hệ “close to Y” Hiển nhiên Y chắn thuộc quan hệ “close to Y”, phần tử u xa Y mức độ thuộc quan hệ giảm Như vậy, quan hệ mờ “close to” xem tập mờ U, định nghĩa hình thức sau: Định nghĩa 2.6 Cho U tập số thực, với Y thuộc U, quan hệ mờ „close to Y” U tập mờ U, xác định hàm thuộc µclose to Y(u): U [0, 1] sau: u  U, µclose to Y(u) =  u-Y  1       Dễ thấy u = Y µclose to Y(Y) = 1, “close to Y” tập mờ chuẩn hóa, “close to Y” đại lượng mờ Hàm thuộc số quan hệ “close to Y” hình 2.11 Hình 2.11 Hàm thuộc quan hệ mờ “close to Y” Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 41 Nhận xét: giá trị β lớn tương ứng với đường cong mở rộng, giá trị β nhỏ tương ứng với đường cong hẹp Ta thấy hàm thuộc số mờ “close to Y ” lát cắt α = 0.5 cắt u = Y ± β Chú ý: Dựa vào quan hệ mờ “close to Y”, ta xây dựng quan hệ mờ sửa đổi: “very close to Y”, „very very…very close to Y”, “more or less close to Y” “not close to Y” Hàm thuộc quan hệ mờ định nghĩa có đồ thị sau:  µvery close to Y(u) = (µclose to Y(u))2  µvery very …very close to Y(u) = (µclose to Y(u))2*(times of 1/2  µmore or less close to Y(u) = (µclose to Y(u)) very)  µnot close to Y(u) = (1 - µclose to Y(u)) Hình 2.12 Hàm thuộc quan hệ mờ: “close to Y”, “very close to Y”, “more or less close to Y” Từ đồ thị hàm thuộc quan hệ “close to Y” ta vẽ đồ thị hàm thuộc “not close to Y” cách lấy đối xứng đồ thị “close to Y” qua trục µ = 0.5, hàm hàm lồi, tập mờ “not close to Y” tập mờ chuẩn hóa, quan hệ “not close to Y” khơng phải số mờ Hình 2.13 Hàm thuộc quan hệ mờ “not close to Y” Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 42 2.3.2 Quan hệ mờ “at least” Với Y giá trị cho trước miền tham chiếu U, phần tử u thuộc U có giá trị “ít xấp xỉ Y”, “vào khoảng Y lớn Y” (at least Y), gọi thuộc quan hệ “at least Y” Hiển nhiên Y phần tử lớn Y chắn thuộc quan hệ Những phần tử u nhỏ Y chút coi thuộc quan hệ này, nhỏ Y mức độ thuộc quan hệ giảm, u nhỏ đến mức  hồn tồn khơng thuộc quan hệ “at least Y” Như vậy, quan hệ mờ “at least Y” xem tập mờ U, định nghĩa hình thức sau: Định nghĩa 2.7 Cho U tập số thực, với Y thuộc U, quan hệ mờ “at least Y” U tập mờ U, xác định hàm thuộc µat least Y(u): U [0, 1] sau: 0 u -   u  U,  ( u )   at least Y   1 u  u uY  Dễ thấy u = Y µat least Y(Y) = 1, “at leastY” tập mờ lồi chuẩn hóa, “at least Y” số mờ  Dựa vào số mờ “at least Y”, định nghĩa số mờ “not at least Y” với hàm thuộc sau: µnot at least Y(u) = (1 - µat least Y(u)) Hàm thuộc quan hệ mờ “at least Y” “not at least Y” có đồ thị sau: Hình 2.14 Hàm thuộc quan hệ mờ “at least Y” “not at least Y” Nhận xét: Đồ thị hàm thuộc quan hệ “at least Y” “not at least Y” có độ dốc lớn giá trị ω lớn, tức ω gần với Y, ngược lại, độ dốc nhỏ ω xa Y, (ω < Y) Quan hệ mờ “at least Y” xác định số mờ “at least Y” U, giá trị “ít vào khoảng Y”, ý phân biệt với quan hệ “ít Y”, tức “  Y”, quan hệ rõ Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 43 2.3.3 Quan hệ mờ “at most” Với Y giá trị cho trước miền tham chiếu U, phần tử u thuộc U có giá trị “cùng xấp xỉ Y”, “vào khoảng Y nhỏ Y” (at most Y), gọi thuộc quan hệ “at most Y” Hiển nhiên Y phần tử nhỏ Y chắn thuộc quan hệ Những phần tử u lớn Y chút coi thuộc quan hệ này, lớn Y mức độ thuộc quan hệ giảm, u lớn đến mức  hồn tồn khơng thuộc quan hệ “at most Y” Như vậy, quan hệ mờ “at most Y” xem tập mờ U, định nghĩa hình thức sau: Định nghĩa 2.8 Cho U tập số thực, với Y thuộc U, quan hệ mờ “at most Y” U tập mờ U, xác định hàm thuộc µ at most Y(u): U [0, 1] sau: 1  - u   at most Y (u )    - Y  0 u u  u   Dễ thấy u = Y at mostY (Y ) = 1, “at mostY” tập mờ lồi chuẩn hóa, “at most Y” số mờ  Dựa vào số mờ “at most Y”, định nghĩa số mờ “not at most Y” với hàm thuộc sau: µnot at most Y(u) = (1- µat most Y(u)) Hàm thuộc quan hệ mờ “at most Y” “not at most Y” Hình 2.15 Hình 2.15 Hàm thuộc quan hệ mờ “at most Y” “not at most Y” Nhận xét: Đồ thị số mờ “at most Y”, “not at most Y” có phần đồ thị đường dốc với độ dốc lớn giá trị δ nhỏ, tức δ gần với Y, ngược lại, độ dốc nhỏ khi giá trị δ xa Y, (Y < δ) Các quan hệ mờ “close to”, “not close to”, “at least”, “at most”, ”not at least”, ”not at most”, xem mềm dẻo hóa quan hệ rõ tương ứng, tức quan hệ hiểu “fuzzy equal to” (fuzzy =), “fuzzy not equal to” (fuzzy ), “fuzzy greater than and equal to (fuzzy ≥)”, “fuzzy less than and equal to” (fuzzy ≤), “fuzzy less than” (fuzzy ) Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 44 Bài tập chương Cho tập số nguyên: U = {1, 2, 3, 4, 5} Xét R quan hệ “ nhỏ hay ” U sau: a, b  U, ta nói aRb a < b a/ Hãy biểu diễn quan hệ R tập tích Descartes U xU b Hãy viết ma trận quan hệ R c/ Quan hệ có tính chất tính chất sau: phản xạ, đối xứng bắc cầu? Cho tập số nguyên: U = {1, 2, 3, 4, 5} S quan hệ mờ hai U xác định hàm thuộc sau: x, y  U , f S ( x, y )  max{0;1  | x y| } a/ Hãy xác định ma trận quan hệ mờ S b/ Hãy biểu diễn quan hệ mờ S tập mờ tích Descartes U xU c/ Quan hệ có tính chất tính chất sau: phản xạ, đối xứng bắc cầu max-min? d/ S có phải quan hệ tương tự hay khơng ? Chứng minh bổ đề : Nếu S quan hệ tương tự U, với   [0, 1], quan hệ mức  liên kết với S quan hệ tương đương U Cho quan hệ S miền trị U sau: a/ Chứng minh S quan hệ tương tự U b/ Tìm phân hoạch liên kết với quan hệ tương tự S Cho số đo trọng lượng M1 M2 số gần với sai số tỷ lệ, M1 500 (gam) với sai số đến 1% M2 300 (gam) với sai số đến 1%, biểu diễn chúng bới số mờ L-R tính tổng chúng Cho số đo trọng lượng N1 500 (gam) với sai số đến 2% N2 600 (gam) với sai số đến 1%, biểu diễn chúng bới số mờ L-R tính tổng chúng Biểu diễn số mờ N1 N2 dạng số gần với sai số tỷ lệ Giá mua nhà “xấp xỉ 300 500 (triệu đồng), xác tới 10 triệu”, giá sửa chữa tu bổ ngơi nhà “xấp xỉ 30 40 (triệu đồng), xác tới triệu” Tính giá thành ngơi nhà Bài giảng Chuyên đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 45 Cho tri thức tuổi Linh: tới Hà nội lúc khoảng 20 tuổi (hơn tháng), lại Hà nội khoảng năm rưỡi (hơn tháng), sau rời khỏi Hà nội khoảng năm, sớm tháng muộn tháng a) Hãy biểu diễn tuổi Linh tới Hà nội số mờ L-R b) Hãy biểu diễn thời gian Linh Hà nội số mờ L-R c) Hãy biểu diễn tuổi Linh số mờ L-R d) Cho biết khoảng tuổi chắn Linh rời khỏi Hà nội e) Cho biết khoảng tuổi chắn Linh Hà nội Biết tầm nhìn xa sân bay vào ngày hôm qua “vào khoảng 0,5” (km), “vào khoảng 0,5” số mờ (0,5 ; 0,1 ; 0,1)L-R với hàm thuộc tam giác Tầm nhìn xa ngày hơm thấp ngày hơm qua “xấp xỉ 0,2 0,3”, “xấp xỉ 0,2 0,3” khoảng mờ (0,2 ; 0,3 ; 0,1 ; 0,1)L-R Hỏi đặc trưng tầm nhìn xa ngày hơm khoảng mờ hay số mờ nào? 10 Ta có kiện sau: a/ Bữa trưa vào khoảng 12 (sớm muộn 30 phút) b/ Thời gian ăn bữa trưa xấp xỉ tiếng (nhanh chậm 15 phút) c/ Một chút thời gian sau G (một chút khoảng 10 phút, sai số phút) d/ Giờ xuất phát vào lúc sau bữa trưa chút (hơn 30 phút) Xác định số mờ tam giác hay khoảng mờ hình thang biểu diễn thời gian kiện (đơn vị : giờ) 11 Một phịng có chiều dài „khoảng 10 m + 2%‟ chiều rộng „khoảng m + 1%‟, tính diện tích chu vi phịng Bài giảng Chun đề Logic mờ ứng dụng – nvdinh@vnua.edu.vn 46