Giáo trình Toán rời rạc cung cấp cho người học những kiến thức như: đại số mệnh đề; phép đếm; đại số quan hệ; đại số boole. Mời các bạn cùng tham khảo!
UỶ BAN NHÂN DÂN TỈNH ĐỒNG THÁP TRƢỜNG CAO ĐẲNG CỘNG ĐỒNG ĐỒNG THÁP GIÁO TRÌNH MƠN HỌC: TỐN RỜI RẠC NGÀNH, NGHỀ: CƠNG NGHỆ THƠNG TIN TRÌNH ĐỘ: CAO ĐẲNG (Ban hành kèm theo Quyết định số /QĐ-CĐCĐ ngày tháng Hiệu trƣởng trƣờng Cao đẳng Cộng đồng Đồng Tháp) Đồng Tháp, năm 2017 năm 20… MỤC LỤC CHƢƠNG 1: ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ 1 PHÉP TOÁN MỆNH ĐỀ 1.1 MỆNH DỀ 1.1.1 Khái niệm mệnh đề 1.1.2 Phân loại mệnh đề: gồm loại 1.2 BẢNG CHÂN TRỊ 1.3 CÁC PHÉP TOÁN VỀ MỆNH ĐỀ 1.3.1 Phép phủ định 1.3.2 Phép hội (phép nối liền, giao) 1.3.3 Phép tuyển (phép nối rời, hợp) 1.3.4 Phép kéo theo (mệnh đề có điều kiện) 1.3.5 Phép kéo theo hai chiều (Phép tƣơng đƣơng) CÁC TÍNH CHẤT 2.1 BIỂU THỨC LOGIC (DẠNG MỆNH ĐỀ) 2.1.1 Định nghĩa 2.1.2 Một số tính chất MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP SUY LUẬN 10 3.1 QUY TẮC KHẲNG ĐỊNH (MODUS PONENS) 11 3.2 QUY TẮC PHỦ ĐỊNH (MODUS TOLLENS) 11 3.3 TAM ĐOẠN LUẬN (SYLLOGISM) 12 3.4 QUY TẮC MÂU THUẨN (CHỨNG MINH BẰNG PHẢN CHỨNG) 13 3.5 QUY TẮC CHỨNG MINH THEO TRƢỜNG HỢP 13 3.6 PHẢN VÍ DỤ 14 3.7 MỘT VÀI VÍ DỤ CỤ THỂ CĨ SỬ DỤNG KẾT HỢP NHIỀU QUY TẮC SUY DIỄN 14 VỊ TỪ VÀ LƢỢNG TỪ 16 4.1 VỊ TỪ 16 4.1.1 Định nghĩa 16 4.1.2 Các phép toán vị từ 16 4.2 LƢỢNG TỪ 16 4.3 LƢỢNG TỪ HÓA VỊ TỪ HAI BIẾN 17 4.4 PHỦ ĐỊNH MỆNH ĐỀ LƢỢNG TỪ 18 BÀI TẬP ÔN TẬP CHƢƠNG 20 CHƢƠNG 2: PHÉP ĐẾM 23 TẬP HỢP 23 1.1 KHÁI NIỆM 23 1.1.1 Khái niệm tập hợp 23 1.1.2 Biểu diễn tập hợp 23 1.1.3 Một số dạng tập hợp 24 1.2 TẬP HỢP CON, TẬP HỢP BẰNG NHAU 24 1.2.1 Tập hợp 24 1.2.2 Tập hợp 25 1.3 CÁC PHÉP TOÁN 25 1.3.1 Phép hợp 25 1.3.2 Phép giao 25 i 1.3.3 Phép hiệu 26 1.4 CÁC TÍNH CHẤT 27 1.4.1 Tính chất 27 1.4.2 Lực lƣợng tập hợp 27 1.4.3 Tích Descartes tập hợp lực lƣợng 28 1.4.4 Biểu diễn tập hợp máy tính 28 ÁNH XẠ 30 2.1 ĐỊNH NGHĨA 30 2.2 ĐƠN ÁNH, TOÀN ÁNH VÀ SONG ÁNH 31 2.3 ẢNH VÀ ẢNH NGƢỢC CỦA MỘT TẬP HỢP 32 2.3.1 Định nghĩa 32 2.3.2 Định nghĩa 33 2.3.3 Ánh xạ hợp 33 2.3.4 Các tính chất ánh xạ 34 PHÉP ĐẾM 34 3.1 QUY TẮC ĐẾM 34 3.1.1 Nguyên lý cộng 34 3.1.2 Nguyên lý nhân 35 3.1.3 Nguyên lý bù trừ 37 3.1.4 Nguyên lý chuồng bồ câu (Nguyên lý Dirichlet) 38 3.2 GIẢI TÍCH TỔ HỢP 39 3.2.1 Hoán vị 39 3.2.2 Chỉnh hợp 40 3.2.3 Tổ hợp 41 3.2.4 Hoán vị lặp, chỉnh hợp lặp tổ hợp lặp 42 3.2.5 Công thức nhị thức Newton 43 BÀI TẬP ÔN TẬP CHƢƠNG 46 CHƢƠNG ĐẠI SỐ QUAN HỆ 50 QUAN HỆ 50 1.1 ĐỊNH NGHĨA 50 1.2 CÁC TÍNH CHẤT 51 1.2.1 Tính phản xạ 51 1.2.2 Tính đối xứng 52 1.2.3 Tính bắc cầu (truyền) 52 QUAN HỆ TƢƠNG ĐƢƠNG 53 2.1 ĐỊNH NGHĨA 53 2.2 LỚP TƢƠNG ĐƢƠNG 54 2.2.1 Định nghĩa 54 2.2.2 Định lý 55 QUAN HỆ THỨ TỰ 55 3.1 CÁC ĐỊNH NGHĨA 55 3.2 THỨ TỰ TOÀN PHẦN VÀ BÁN PHẦN 56 3.3 PHẦN TỬ LỚN NHẤT, PHẦN TỬ NHỎ NHẤT 57 3.4 PHẦN TỬ TỐI ĐẠI, PHẦN TỬ TỐI TIỂU 57 3.5 BIỂU ĐỒ HASSE 58 3.6 TẬP THỨ TỰ TỐT 59 ii NGÔN NGỮ TRUY VẤN DỮ LIỆU 59 4.1 CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP 60 4.2 CÁC PHÉP TOÁN QUAN HỆ 62 BÀI TẬP ÔN TẬP CHƢƠNG 64 CHƢƠNG ĐẠI SỐ BOOLE 66 ĐẠI SỐ BOOLE 66 1.1 ĐỊNH NGHĨA 66 1.2 TÍNH CHẤT 68 1.2.1 Các đẳng thức đại số Boole 68 1.2.2 Tính đối ngẫu đại số Boole 69 1.3 ĐỊNH LÝ 70 1.4 CÁC MỆNH ĐỀ 71 1.4.1 Định nghĩa 72 1.4.2 Mệnh đề 72 HÀM BOOLE 72 DẠNG NỐI RỜI CHÍNH TẮC 74 3.1 MỆNH ĐỀ 74 3.2 DẠNG NỐI RỜI CHÍNH TẮC 75 3.2.1 Các khái niệm 75 3.2.2 Cách tìm dạng nối rời tắc cho hàm Boole 75 BÀI TOÁN MẠCH ĐIỆN 77 MẠNG CÁC CỔNG 78 5.1 CÁC CỔNG ĐIỆN TỬ CƠ BẢN 79 5.2 CỔNG NOR VÀ NAND 83 ƢỚC LƢỢNG CÔNG THỨC 83 6.1 PHƢƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI ĐẠI SỐ 84 6.2 PHƢƠNG PHÁP BIỂU ĐỒ KARNAUGH 85 6.2.1 Biểu đồ Karnaugh hàm Boole f 85 6.2.2 Tế bào tế bào lớn 88 6.2.3 Phƣơng pháp Karnaugh tìm cơng thức đa thức tối tiểu hàm Boole 93 BÀI TẬP ÔN TẬP CHƢƠNG 99 TÀI LIỆU THAM KHẢO 102 iii CHƢƠNG 1: ĐẠI SỐ MỆNH ĐỀ Giới thiệu Trong chƣơng giới thiệu mệnh đề, biểu thức mệnh đề, phép tốn, ví dụ ứng dụng, giới thiệu số thuật ngữ chuyên dùng, tƣơng đƣơng logic cách chứng minh Mục tiêu Kiến thức: trình bày nội dung sau: - Các khái niệm, phép toán mệnh đề - Một số phƣơng pháp suy luận - Vị từ, lƣợng từ Kỹ năng: Thực đƣợc yêu cầu sau: - Giải toán mệnh đề - Sử dụng phƣơng pháp suy luận phù hợp Năng lực tự chủ trách nhiệm: - Vận dụng kiến thức học để hình thành kỹ cần thiết Phép toán mệnh đề 1.1 Mệnh đề 1.1.1 Khái niệm mệnh đề Mệnh đề tốn học phát biểu mà gán cho hai giá trị logic sai (không thể vừa vừa sai) Thƣờng ký hiệu mệnh đề toán học chữ Latin hoa: P, Q, R, S, Ví dụ 1: - Các khẳng định sau mệnh đề: “Thành Phố Cao Lãnh trung tâm tỉnh Đồng Tháp” “2 + = 7” “4 số chẳn.” - Các khẳng định sau mệnh đề: “X số nguyên tố” “Hôm ngày thứ mấy?” "x = 5" Lưu ý: Câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh, hàm phán đốn, khơng phải mệnh đề 1.1.2 Phân loại mệnh đề: gồm loại - Mệnh đề phức hợp: mệnh đề đƣợc xây dựng từ mệnh đề khác nhờ liên kết liên từ (và, hay, , khi,…) trạng từ “khơng” Ví dụ 2: - Nếu thơng minh tơi học giỏi - số nguyên tố số lẻ - số chẳn - B học toán rời rạc học kỹ thuật lập trình - Mệnh đề sơ cấp (nguyên thủy): Là mệnh đề xây dựng từ mệnh đề khác thông qua liên từ trạng từ “khơng” Ví dụ 3: - Hơm trời mƣa - số nguyên tố 1.2 Bảng chân trị Chân trị mệnh đề: Một mệnh đề sai, khơng thể đồng thời vừa vừa sai Khi mệnh đề P ta nói P có chân trị đúng, ngƣợc lại ta nói P có chân trị sai P có chân trị ta viết P = (hoặc Đ, T), P có chân trị sai ta viết P = (hoặc S, F) Ví dụ 4: - P = “Thành phố Hồ Chí Minh thủ nƣớc Việt Nam” - Q = “10 số chẳn” P=0 Q=1 Bảng chân trị bảng thể tất trân trị mệnh đề logic, biểu diễn mối quan hệ giá trị chân lý mệnh đề 1.3 Các phép toán mệnh đề 1.3.1 Phép phủ định Cho trƣớc mệnh đế P, định nghĩa mệnh đề mới, kí hiệu P hay P , đọc “khơng P” “phủ định P” Gọi P mệnh đề phủ định P Bảng chân trị phép phủ định: P P 0 Ví dụ 5: a) P = “ Minh giỏi lập trình” P = “ Minh khơng giỏi lập trình” Nếu P = P = Nếu P = b) Q = "12 > 7", Q = Q = "12 7", Q= P= 1.3.2 Phép hội (phép nối liền, giao) P Cho trƣớc hai mệnh đề P, Q mệnh đề nối liền hai mệnh đề P, Q đƣợc kí hiệu Q (đọc “P Q”) Mệnh đề P Q P Q đúng, sai trƣờng hợp lại Bảng chân trị phép hội P Q P Q 1 1 0 0 0 Ví dụ 6: a) P = “ số nguyên tố” Q = “ số chẳn” P Q = “ số nguyên tố số chẳn” Ta có P = 1, Q = 0, P Q= b) P = “Hôm chủ nhật” Q = “Hôm trời mƣa” Mệnh đề P Q vào hôm chủ nhật trời mƣa, sai vào ngày khơng phải chủ nhật vào ngày chủ nhật mà trời lại không mƣa Lưu ý: - Khi nối hai mệnh đề từ phép hội, thƣờng ta bỏ bớt số từ trùng lặp sửa đổi chút câu văn Ví dụ 7: Dây đồng (dẫn điện) dây chì dẫn điện - Phép hội đơi cịn diễn đạt liên từ khác nhƣ: đồng thời, nhƣng, mà, dấu phẩy Ví dụ 8: - “ An giỏi tin học yếu anh văn” - “ Lan vừa giỏi tin học vừa giỏi anh văn” - “ Anh, chị đọc sách thƣ viện” - “ Món cay mà ngon” - Không phải từ ý nghĩa phép hội Ví dụ 9: - “Lý luận thực hành phải đôi với nhau” - “Trắng đen hai màu sắc đối lập nhau” 1.3.3 Phép tuyển (phép nối rời, hợp) Cho trƣớc hai mệnh đề P, Q, mệnh đề nối rời hai mệnh đề P, Q mệnh đề, kí hiệu P Q (đọc “P hay Q”) Mệnh đề P Q sai hai P, Q sai, trƣờng hợp khác P Q Bảng chân trị phép tuyển P Q P Q 1 1 1 0 Ví dụ 10: a) P = "3 > 4" , Q = "3 > 5" P Q = "3 > hay > 5" P = 0,Q = P Q= b) P = “An ca sĩ”, Q = “An nhạc sĩ” Khi ta có mệnh đề nối rời P Q P Q = “An ca sĩ hay An nhạc sĩ” Mệnh đề nối liền nhƣ hai mệnh đề hai mệnh đề Nếu hai mệnh đề P Q sai P Q sai Lưu ý: Mệnh đề P Q , từ hay (hoặc) để P Q P, Q Tuy nhiên cótrƣờng hợp P Q khơng có trƣờng hợp hai P, Q Để phân biệt rõ ràng ta có thêm phép tuyển chặt: - P Q để P Q P lẫn Q, dùng kí hiệu không chặt (phép tuyển) , gọi phép tuyển - P Q để P Q P lẫn Q, dùng kí hiệu chặt Bảng chân trị phép tuyển chặt , gọi phép tuyển P Q P Q 1 1 1 0 Ví dụ 11: Hôm thứ chủ nhật 1.3.4 Phép kéo theo (mệnh đề có điều kiện) Mệnh đề P kéo theo mệnh đề Q mệnh đề, kí hiệu P (đọc “P kéo Q theo Q” hay “Nếu P Q” hay “P điều kiện đủ Q” hay “Q điều kiện cần P”) Xét ví dụ: P = “A trúng số”, Q = “A mua laptop mới”, mệnh đề P kép theo Q “Nếu A trúng số A mua laptop mới” Ta có trƣờng hợp sau đây: - A trúng số mua laptop mới: hiển nhiên mệnh đề P Q - A trúng số nhƣng không mua laptop mới: rõ ràng mệnh đề P - A không trúng số nhƣng mua laptop mới: mệnh đề P - A không trúng số không mua laptop mới: mệnh đề P Q sai Q Q Mệnh đề P Q sai P Q sai, trƣờng hợp lại Bảng chân trị phép kéo theo P Q P Q 1 1 0 1 0 1.3.5 Phép kéo theo hai chiều (Phép tƣơng đƣơng) Mệnh đề P kéo theo mệnh đề Q ngƣợc lại (mệnh đề P tƣơng đƣơng với mệnh đề Q) mệnh đề, ký hiệu P Q (đọc “P Q” hay “P khiQ” hay “P điều kiện cần đủ Q”) Ví dụ 12: P = “Bình trúng số giải cao nhất”, Q = “Bình trúng số độc đắc” Khi mệnh đề P Q= “Nếu Bình trúng số giải cao Bình trúng số độc đắc ngƣợc lại” P chiều: Q P Q có chân trị Bảng chân trị phép kéo theo hai P Q 1 1 0 0 Các tính chất 2.1 Biểu thức logic (dạng mệnh đề) 2.1.1 Định nghĩa Biểu thức logic đƣợc cấu tạo từ: P Q - Các mệnh đề cụ thể (các mệnh đề: P, Q, R, S, ) - Các biến mệnh đề p, q, r, s …, tức biến lấy giá trị mệnh đề - Các phép toán logic phép toán , , , , dấu đóng mở ngoặc () để rõ thứ tự thực Ví dụ 13: - E(p,q, r) = (p q) r P) dạng mệnh đề p, q, r ( biến mệnh đề, P mệnh đề - E(p,q, r,s) = (p q) ( r s) Độ ƣu tiên toán tử logic: - Ƣu tiên mức 1: ( ) - Ƣu tiên mức 2: - Ƣu tiên mức 3: , - Ƣu tiên mức 4: , Bảng chân trị biểu thức logic: bảng liệt kê chân trị biểu thức logic theo trƣờng hợp chân trị tất biến mệnh đề biểu thức logic hay theo giá trị biến mệnh đề Ví dụ 14: Với biến mệnh đề, ta có hai trƣờng hợp Với hai biến mệnh đề p,q ta có bốn trƣờng hợp chân trị biến (p,q) giá trị (0,0), (0,1), (1,0) (1,1) Nhận xét: Trong trƣờng hợp tổng quát, có n biến mệnh đề ta có 2n trƣờng hợp chân trị cho n biến (trừ dịng tiêu đề) Ví dụ 15: E( p, q, r) = ( p q) ( p) có bảng chân trị sau: r p q b) (s q) (p p E( p, q, r) q r 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 r Lập bảng chân trị mệnh đề sau a) ( p r p ( r) p q) ((p (r q)) s) 6.2.2 Tế bào tế bào lớn a) Biểu đồ Karnaugh từ đơn Định lý: Cho f g hàm Boole biến Khi ta có điều khẳng định dƣới đây: - Biểu đồ Karnaugh f g hợp biểu đồ Karnaugh f g - Biểu đồ Karnaugh f giao biểu đồ f g g - Biểu đồ Karnaugh f phần bù biểu đồ Karnaugh f Ví dụ 19: Biểu đồ Karnaugh hàm f = xy 89 yzt b) Tế bào tế bào lớn Cho biểu đồ Karnaugh hàm Boole f theo n biến Ta định nghĩa: b.1 Tế bào Một tế bào hình chữ nhật gồm 2k (0 k n) ô đƣợc đánh dấu liền Nếu T tế bào T biểu đồ karnaugh đơn thức m, cách xác định m nhƣ sau: lần lƣợt chiếu T lên cạnh, tồn hình chiếu nằm trọn từ đơn từ đơn xuất m Ví dụ 20: Xét hàm Boole biến x, y, z, t 1) Biểu đồ Karnaugh đơn thức xyzt là: 2) Biểu đồ Karnaugh đơn thức yzt 3) Biểu đồ Karnaugh đơn thức y.t 90 4) Tế bào sau đơn thức nào? Là biểu đồ Karnaugh đơn thức yt b.2 Tế bào lớn Một tế bào lớn tế bào mà không bị phủ tế bào khác Nói cách khác: Cho hàm Bool f, a nói T tế bào lớn kar(f) (biểu đồ Karnaugh) T thoả hai tính chất sau: + T tế bào T kar(f) + Không tồn tế bào T’ thỏa T’ Ví dụ 21: Xét hàm Boole biến x, y, z, t 1) Biểu đồ Karnaugh sau: Có tế bào lớn: 91 T T T’ kar(f) 2) Biểu đồ Karnaugh Có tế bào lớn sau: 92 3) Biểu đồ Karnaugh Có tế bào lớn sau 93 Tìm tế bào lớn biểu đồ Karnaugh sau: a) b) 6.2.3 Phƣơng pháp Karnaugh tìm cơng thức đa thức tối tiểu hàm Boole Cho hàm Boole f (dƣới dạng công thức bảng chân trị), để tìm cơng thức đa thức tối tiểu f , ta thực theo bƣớc sau: Bƣớc Xây dựng biểu đồ Karnaugh f Bƣớc Xác định tất tế bào lớn biểu đồ Karnaugh vừa xây dựng Bƣớc Tìm số lƣợng tế bào lớn để phủ kín đánh dấu biểu đồ Karnaugh, ghép chúng lại với phép , ta đƣợc cơng thức đa thức tổi tiểu cần tìm Ví dụ 22: a) Cho hàm Boole f theo ba biến có bảng chân trị sau Hãy tìm cơng thức đa thức tối tiểu f 94 Bƣớc 1: Xây dựng biểu đồ Karnaugh hàm Boole f nhƣ sau: Bƣớc 2: Xác định tất tế bào lớn: Bƣớc 3: Tìm số lƣợng tế bào lớn để phủ ô đƣợc đánh dấu Thực chất việc chọn tế bào lớn để phủ kín đƣợc đánh dấu biểu đồ Karnaugh việc chọn tế bào lớn xếp chồng chúng lên cho hình thu đƣợc giống biểu đồ Karnaugh ban đầu Trong ví dụ trên, rõ ràng trƣờng hợp này, ta phải chọn tế bào lớn Nhƣ vậy, công thức đa thức tối tiểu hàm f là: f (x, y, z) = xy xz yz b) Cho hàm Boole f (x, y, z) = x.y.z f x.y x.y.z Hãy tìm cơng thức đa thức tối tiểu Giải: Bƣớc 1: Xây dựng biểu đồ Karnaugh hàm f Biểu đồ Karnaugh nhƣ sau: 95 Bƣớc 2: Xác định tất tế bào lớn sau: Bƣớc 3: Tìm số lƣợng tế bào lớn để phủ đƣợc đánh dấu Mặc dù có tế bào lớn, nhƣng trƣờng hợp này, để phủ kín đánh dấu đồ Karnaugh, ta cần chọn tế bào lớn: xz yz Nhƣ vậy, công thức đa thức tối tiểu hàm f là: f (x, y, z) = xz yz c) Cho biểu đồ Karnaugh hàm f dƣới Hãy tìm cơng thức đa thức tối tiểu cho hàm f Bƣớc 2: Xác định tế bào lớn Bƣớc 3: Tìm số lƣợng tế bào lớn để phủ ô đƣợc đánh dấu Có tế bào lớn, nhƣng trƣờng hợp này, để phủ kín đánh dấu đồ Karnaugh, ta cần chọn tế bào lớn: xz; xyt x.y.z.t Nhƣ vậy, công thức đa thức tối tiểu hàm f là: f (x, y, z) = xz 96 xyt x.y.z.t d) Cho biểu đồ Karnaugh hàm f dƣới Hãy tìm cơng thức đa thức tối tiểu cho hàm f Bƣớc 2: Xác định tế bào lớn: Bƣớc 3: Tìm số lƣợng tế bào lớn để phủ đƣợc đánh dấu Có tế bào lớn, nhƣng trƣờng hợp này, để phủ kín đánh dấu đồ Karnaugh, ta cần chọn tế bào lớn: x.z; thức đa thức tối tiểu hàm f là: x.y.t; x.y.t; f (x, y, z,t) = x.z x.y.t e) Tìm cơng thức đa thức tối tiểu hàm Boole f (x, y, z,t) = xyzt xy xz yz 97 xyz xyt y.z.t Nhƣ vậy, công x.y.t y.z.t Bƣớc 1: Xây dựng biểu đồ Karnaugh hàm f: Bƣớc 2: Xác định tế bào lớn: có tế bào lớn Bƣớc 3: Tìm số lƣợng tế bào lớn để phủ ô đƣợc đánh dấu Để phủ kín đánh dấu đồ Karnaugh, ta cần chọn tế bào lớn Nhƣ vậy, công thức đa thức tối tiểu hàm f là: f (x, y, z, t) = x yz f) Tìm cơng thức đa thức tối tiểu hàm Boole f (x, y, z,t) = yzt y.z.t y.z.t xyzt xzt Bƣớc 1: Xây dựng biểu đồ Karnaugh hàm f: Bƣớc 2: Xác định tế bào lớn: có tế bào lớn: có tế bào lớn sau: 98 Bƣớc 3: Tìm số lƣợng tế bào lớn để phủ đƣợc đánh dấu Để phủ kín ô đánh dấu đồ Karnaugh, ta có trƣờng hợp : chọn tế bào lớn zxt, x.t, z.t tế bào lớn zxt, x.y.z, x.t, y.z.t, z.t Nhƣ vậy, ta có cơng thức đa thức tối tiểu hàm f là: f1(x, y, z,t) = xzt x.t x.y.z z.t f (x, y, z,t) = xzt x.t y.zt z.t So sánh hàm ta thấy f2 phép tốn f1 Để chọn công thức đa thức tối tiểu ta chọn f1 Tìm cơng thức đa thức tối tiểu hàm Boole sau: a) f (x, y, z,t) = x.y.z.t b) f (x, y, z, t) = xz( y x.y.z.t t) x.z.t x.y.z.t z( yt x.y.z.t x.y) 99 x.y.z.t x.y.z.t x.y.z.t BÀI TẬP ÔN TẬP CHƢƠNG 1/ Bằng cách lập bảng giá trị, chứng minh rằng: xy xz = xy yz yz xz 2/ Tìm giá trị hàm Boole dƣới biến x, y, z t lấy giá trị 1, 1, 0: a) xy x.y c) tx y e) (tx b) t xy yz d) tx yz) ty (t y)(x xy yz y) 3/ Tìm tất giá trị y z để biểu thức dƣới luôn lấy giá trị biết x = a) x xy z b) xy z c) xy xz d) xy z 4/ Tìm tích Bool biến x, y, z, t phần bù chúng, biết rắng tích có giá trị tại: a) x = t = 0, y = z = b) x = y = 1, z = t = c) x = y = z = 1,t = d) x = y = z = t = 5/ Trong đại số Bool B = {0,1}, tìm phần bù của: a) y.z zt b) y.z y.x xz b) x.z x.0 x.1 6/ Tìm đối ngẫu biểu thức sau: a) xyz x.y.z 7/ Tìm dạng nối rời tắc hàm Boole f theo biến Biết f thỏa hai điều kiện: a) f b) f (1) = {0101, 0110,1000,1011} (0) = {0000, 0001, 0010, 0100,1000,1001, 0110} Ở ta viết 0101 thay (0,1,0,1) để phần tử B4 8/ Tìm dạng nối rời tắt hàm Boole theo biến sau: a) xy xz d) xy(z g) (x xy) yz)(x y.z) b) x( y x)z c) xy e) xyz x.z f) [x( y h) x( y xz) z i) (x yz z) xz x] yz)(x zx)(z t)( y z)] 9/ Tìm dạng nối rời tắc hàm Boole theo biến sau: a) (xy zt)(x b) (xz yz c) xyz yzt z)(xz xt)xyt xt[(x yt)(xt yz zt y)(z t)] yz) tx [(x 100 z)( y t)] [(x y xy) 10/ Viết biểu thức đầu hàm f tổng hợp mạng cổng dƣới đây: a) b) c) d) 11/ Hãy vẽ mạng sữ dụng cổng NOT (bộ đảo), AND, OR để tổng hợp đầu hàm Boole sau: 101 d) (x a) xy x.y b) (x z)( y z)x e) x y)(x y(x y)(x y) z) c) xz yz f) x( y z) x 12/ Dựng mạch tổ hợp sử dụng cổng AND đảo NOT để tạo đầu tổng Boole x y 13/ Tìm cơng thức đa thức tối tiểu hàm Boole có biểu đồ Karnaugh sau: 14/ Tìm cơng thức đa thức tối tiểu hàm sau: a) xyz x.y.z b) xyz xyz xyz xyz c) z(xy yt) y(xz d) xyzt x.y xzt e) y(zt z.t) y(z.t f) xyzt xy xz xz) yz.t xzt) yz g) (x t)(x z)( y h) yt xyz xyz xyzt i) yt( y z) z(x y) j) yt(x z) x(z.t xy(z t)( y yt) xzt t) z) x.y.z.t xyz x.y.z.t 102 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Hữu Anh – Toán Rời Rạc – NXB Giáo dục [2] Đỗ Văn Nhơn – Giáo Trình Tốn Rời Rạc – NXB Giáo dục [3] Võ Văn Tuấn Dũng – Giáo Trình Tốn Rời Rạc – NXB Thống Kê 103 ... học Toán rời rạc Anh văn nhƣng A không học tin học b) A học Toán rời rạc tin học nhƣng không học lúc Tin học Anh văn c) Không A học Anh văn mà khơng học Tốn rời rạc d) Khơng A học Anh văn hay Tin. .. An mua xe sang b) Minh chơi Minh khơng ơn Tốn rời rạc Minh khơng ơn Tốn rời rạc Minh thi rớt Tốn rời rạc Mà Minh lại chơi Vậy Minh thi rớt Toán rời rạc Nếu thể mệnh đề ví dụ b thành p, q, r lý... tiêu Kiến thức: trình bày nội dung sau: - Các khái niệm, phép toán mệnh đề - Một số phƣơng pháp suy luận - Vị từ, lƣợng từ Kỹ năng: Thực đƣợc yêu cầu sau: - Giải toán mệnh đề - Sử dụng phƣơng