1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Giáo trình Toán rời rạc: Phần 1 - Vũ Đình Hòa

84 4 0
Tài liệu được quét OCR, nội dung có thể không chính xác

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 84
Dung lượng 5,87 MB

Nội dung

Môn Toán rời rạc là một trong những môn cơ bản nhất của ngành Công nghệ thông tin. Cuốn giáo trình Toán rời rạc này được viết cho sinh viên năm thứ nhất ngành Công nghệ thông tin. Giáo trình gồm có 7 chương và được chia thành 2 phần, phần 1 gồm 4 chương với những nội dung chính như sau: Chương 1 - logic mệnh đề, chương 2 - lý thuyết tập hợp, chương 3 - một số công thức tổ hợp, chương 4 - suy luận và kiểm chứng chương trình. Mời các bạn cùng tham khảo.

Trang 3

VŨ ĐÌNH HOÀ 42I#/28

TOAN ROI RAC

Trang 4

Bask AoW RUA OW

Trang 5

Lời nói đấu MỤC LỤC Trang Chương 1 LÔGIC MỆNH ĐỀ 1.1 Ménh 48 logic Š 1.2, Các toán tử lôgjc và bằng giá trị chân ý 1.3 Biểu thức lögjc và sự bằng nhau 1.4 Các phép toan logic véi cae bit ‘Chuong 2 LY THUYẾT TẬP HỢP 2.1 Khái niệm tập hợp 2.2 Tập hợp con và tập hợp bằng nhau 2.3 Các phép toán của tập hợp 2.4 Quan hệ và anh xa 2.6 Lực lượng của tập hợ Chương 3 MỘT SỐ CÔNG THỨC TỔ HỢP 3.1 Một sổ công thức cơ sở 3.2 Một số công thức tổ hợp 3.3 Hai nguyên lý cơ bản

3.4 Khai triển luỹ thừa của đa thức 3.6 Công thức tổ hợp rong tập hợp

Chương 4 SUY LUẬN VÀ KIỂM CHỨNG CHƯƠNG TRÌNH 61 4.1 Các quy tắc suy luận

4.2 Vị ngữ, lượng tử và định lý

.4.3 Đệ quy và định nghĩa bằng đệ quy 4.4 Kim ching chuong tinh

Chương 5 ĐẠI SỐ BOOLE VA CAU TRUC MACH LOGIC

Trang 6

Chương 6 THUAT TOAN

6.1 Khải niệm thuật toán

62 Các vấn để liên quan tới thuật toán 6.3 Các phương pháp biểu diễn thuật tốn 6.4 Ngơn ngữ lựa Pasoal = 6.6 Một vài thuật toán đặc biệt

Chương 7 LY THUYẾT ĐỒ THỊ

7.1 Khải niệm đồ

7.2 Các yếu tố cơ bản của đồ thị 7.3 Một số loại đồ thị đơn vô hướng

Trang 7

Lời nói đầu

Mơn Tốn rời rạc là một trong những môn cơ bản nhất của ngành Công nghệ thong tin Cuốn giáo trình này được viết cho sinh viên năm thứ nhất ngành Công nghệ thong tin với những nội dung sau:

„ Lôgic mệnh đề Lý thuyết tập hợp

Một số công thức tổ hợp

4 Suy luận và kiểm chứng chương trình 5 Dai s6 Boole và cấu tric mach Logic 6 Thuật toán

7 Lý thuyết đồ thị

So với cuốn sách giáo trình Toán rời rac viét cho sinh viên hệ từ xa của trường Đại học Sư phạm Hà Nội (xuất bản năm 2004), thì cuốn sách này có bổ sung thêm các kiến thức liên quan trực tiếp tới ngành Công nghệ thông tìn, chẳng hạn có thêm

phần biểu diễn tập hợp trong máy tính, kiểm chứng chương trình, một số thuật toán

tổ hợp, thuật toán trên đồ thị

Tác giả hy vọng sẽ nhận được các ý kiến phản hồi và đồng góp của các học viên cũng như bạn đọc gần xa để cuốn giáo trình hoàn thiện hơn trong các lần tái bản

Trang 9

Chương 1

Lôgic mệnh đề

Logic là một trong những hòn đá tảng của nền toán học hiện đại Nó cũng được xây dựng và phát triển trong quãng thời gian lý thuyết tập hợp ra đời Khi lý thuyết tập hợp của Cantor rơi vào khủng khoảng, người ta đã xây dựng lại lý thuyết tập hợp

trên cơ sở lý thuyét logic hiện đại :

'Các cơ sở của Lögic được đưa ra lằn đầu tiên bởi nhà toán học người Ảnh George Boole khi ông nghiên cứu các mệnh đề (các khẳng định có tính chất đúng/sai) và

được in trong cuốn sách Các định luật của tư duy năm 1854 Cuốn sách này trình

bày các hình thức suy luận có lý, các nguyên tắc suy diễn Với những quy tắc này, chúng ta có thể phân biệt được các lập luận toán học đúng và không đúng

Không chỉ có tầm quan trọng trong việc nắm bắt bản chất đúng sai của suy luận tốn học, lơgic học cịn có nhiều ứng dụng trong tin học Các quy tắc của lôgic được

dùng để thiết kế các mạch trong máy tính, để xây dựng các chương trình máy tính,

tiể kiểm tra tính đúng đắn của các chương trình và nhiều ứng dụng khác

1.1 Mệnh đề lôgic

1.1.1 Khái niệm mệnh đề và phủ định của mệnh đề

“Trong cuộc sống, con người dùng lời nói và chữ viết để truyền đạt các thông tin cho

nhau Lời nói để diễn đạt thông tin kiểu này có rất nhiều loại khác nhau và động

chạm tới tất cả các lĩnh vực của cuộc sống Chúng có thể là câu hỏi, là những lời

côi mở tình cấm, là những diễn tâ, là những lời có cánh khích le, là những lời nói buồn, là những lời nói vui Trong số những câu nói của con người sử dụng, có những

loại câu có tính chất khẳng định mã người ta có thể kiểm tra tính đúng sai của nó

Những câu nói như vậy và cách liên kết chúng đều có một nội dung toán học mà

chúng ta sẽ nghiên cứu ở đây

Trang 10

Dinh nghia 1.1 Mot ménh dé (logic) là một khẳng định mà nội dung của nó là đứng hoặc là sai, chứ không thé vita đúng uừa sai

Ví dụ Những câu nói sau không phải là mệnh đề lögïc:

1 Mưa bay, gió cuốn!

2 Cuốn sách này là của ai vậy?

3.x+3=7T

Câu 1 không phải là khẳng định nên không phải là mệnh đề Cau 2 chỉ là một câu hỏi chứ không phải là khẳng định Câu 3 tuy là một khẳng định nhưng ta không, kiểm tra được khẳng định này đúng hay sai nếu như không biết giá trị của x

Sau đây là những ví dụ về mệnh đề lögjc Ví dụ, Các câu nói sau là mệnh đề lögic:

1 Hà Nội là thủ đô của Việt Nam

2 Tổng các góc của một tam giác bằng 100°

$.4+4<1,

Chúng ta có thể thấy các mệnh đề 1 đúng, còn mệnh đề 2 và 3 là sai Cũng giống như trong đại số dùng chữ cái để biễu diễn các biến, người ta sử dụng các chữ cái để ký hiệu các mệnh đề Thông thường người ta hay chọn các chữ cái p, q, r, s để ký

hiệu mệnh đề

1.1.2 Giá trị chân lý của một mệnh đề lôgic

Dé di đến toán học hóa các mệnh đề và khảo sát các mối liên hệ giữa chúng, người ta gán cho mỗi mệnh đề một giá trị đúng/sai, mà ta gọi là giá trị chân lý của nó

Một mệnh đề logic được gán cho giá trị 7 (true) nếu nó đúng hoặc (falss) nếu nó sai và các giá trị này được gọi là giá tri chan lý của mệnh đề đã cho

Việc gán giá trị chan lý này rất quan trọng, vì trên cơ sở đó ta có thể thiết lập được bảng giá trị chăn lý của các mệnh đề để phát hiện được gi trị của các mệnh đề phức tạp nhiều biến và cũng là cơ sở để định nghĩa sự bằng nhau của các mệnh

đề cũng như các đẳng thức của mệnh dé logic

Ví dụ Nếu ký hiệu các mệnh đề lôgic trong ví dụ trên như sau:

1 p: "Hà Nội là thủ đô của Việt Nam."

2 ạ: "Tổng các góc của một tam giác bằng 100°."

Bor 4+4= 7."

Trang 11

Bảng 1.1: Bảng giá trị chân lý ' | pla|r T[FIF 1.1.3 Mệnh đề phức hợp

Trong thực tế, rất nhiều mệnh đề được xây dựng phức tạp Nếu phân tích kỹ, chúng ta sẽ thấy có một số các liên từ của ngôn ngữ đóng vai trò phép toán liên kết các

mệnh đề lại với nhau Đó là các liên từ “tà”, “hoặc”, “không”, “nếu thì " Những mệnh đề được xây dựng trên cơ sở liên kết các mệnh đề khác bằng các liên từ được gọi là mệnh đề phức hợp

Ví dụ Các mệnh đề sau là các mệnh đề phức hợp:

1 Nếu z là số nguyên, thì z? cũng là số nguyên

2 Trời vừa nắng vừa mưa

3 Biển không phải-là ao và cũng không phải là hồ

4 Để được đi học nước ngoài, hoặc là bạn phải học giỏi hoặc là bạn phải có tiền

tự túc

Đặc biệt trong thương mại và hành pháp có rất nhiều mệnh đề phức hợp Nhiễu câu

phức tạp đến nỗi chúng ta phải phân tích thật kỹ mới hiểu hết ý tứ của chúng

Ví dụ “Bạn không được đi xe máy, nếu bạn dưới 16 tuổi trừ phi đó là xe phân khối nhỏ hoặc khí bạn có giấy phép đạc biệt”

G6 rất nhiều lý do để chúng ta phải tiến hành phân tích các mệnh đề lôgic phức hợp, mục đích làm mắt di tính không rõ ràng trong diễn đạt của chúng Một trong

những cách tiếp cận phãn tích các mệnh đẻ lögic là nghiên cứu các tính chất của

những liên từ kết nối các mệnh đề đơn giản hơn trong câu Vì lý do đó, những liên kết các mệnh để được gọi là các toan tit logic Sau đây chúng ta nghiên cứu toán tử đơn giản nhất trong số các toán tử sinh ra từ các liên từ, đó là toán tử phủ định

1.14 Phủ định mệnh đề

“Trong đời sống chúng ta gặp nhiều câu với mệnh đề phi dinh mot menh dé logic cho

Trang 12

1 Nếu # > 1 là số nguyên, thì z2 không phải là số nguyên tố

2, Hôm nay trời không mưa

3 Biển không phải là ao hỗ Liên từ *Ähông phải” di

c gọi là liên từ phủ định Miệnh đề * Biển không phải là

ao hổ" phủ định mệnh đề * Biển là ao hờ” Trong ví dụ này, ta thấy liên từ phủ định “không phải" là liên từ đơn giản nhất, vì nó chỉ cần sự tham gia của một mệnh để logic la đũ để tạo nên mệnh đề l6gic mới Sau đây, ta định nghĩa toán tử phủ định

Định nghĩa 1.2 Cho trude ménh dé logic p Khi d6 cau "không phải là p” cũng là một mệnh dễ lôgic, được gọi là phủ định của p tà được ký hiệu lap hoac ¬p Nếu p đứng thi p sai va ngược lại

Vĩ dụ Cho p là mệnh đề * Ngày 20-11-2008 là ngày chủ nhật" thì là mệnh đề * Ngày

90-11-2008 không phải là ngàu chủ nhật Vì ngày 20-11-2008 không phải là ngày

chủ nhật, cho nên p sai, và do đó Ø là đúng

Toán tử phủ định là tốn tử một ngơi theo quan điểm đại số Dé tign quan sit, ta sử dụng bằng giá trị chan lý Toán từ phủ định là tốn tử một ngơi theo quan

điểm đại số Để tiện quan sát, ta sử dụng bảng giá trị chân lý - Bảng giá trị chan lý mệnh đề phủ định Safe T £ BÀI TẬP ào là một mệnh đề:

1 Trong các câu nói sau day, câu

a) Lào là một nước ở Dõng Nam Á

b) Tuyên Quang là mot tinh của Thái Lan

€)z+=z+t

4) Hãy đi về nhà dil

e) Liên hợp quốc là một tổ chức quốc tế

1) May giờ rồi?

2 Xác định giá trị chân lý của các mệnh đề sau:

a) Việt Nam nằm ở Dông A

b) Tam giác có tổng các góc bằng 1909

Trang 13

4) Trung Quốc nằm ở Nam Âu

e)1+z= 4 với z=5

3 Tìm phủ định của các mệnh đề sau: a) Hom nay là ngày chủ nhật

b) Không có ð nhiễm môi trường ở Hà Nội ©) Mùa đơng ở TP Hồ Chí Minh rắt là lạnh

1.2 Các toán tử lôgic và bảng giá trị chân lý

Phần trên chúng ta đã nói tới toán tử phủ định Dó là toán tit logic một ngồi Trong phần này, ta xem xét đến các toán tử lưgic nhiều ngơi hơn Các tốn tit logic nhiều ngơi cơ bản nhất là *bừ”, “hoặc” và “nếu tì " Trước hết, ta định nghĩa toán tử hội sinh béi lien từ *và”, sau đó ta định nghĩa các tốn tử lưgc khác

1.2.1 Phép hội

ịnh nghĩa 1.8 Cho trước hai ménh dé logic p va q Khi đó câu nói *p uà q” cũng

là một mệnh đề lôgic, được gọi là hội của p uà q đồng thời được ký hiệu bằng p A q

Hội của p uà q chỉ đứng khi cả hai mệnh đề p và q đều đúng tà sai trong các trường hợp còn lại

Ví dụ Nếu gọi p là mệnh đề "Bác Hồ sinh uào ngày 19-8" và ạ là mệnh đề * Bác Hỗ là Chủ tịch nước" thì pA q là mệnh đề “Bác Hồ sinh uào ngày 19-5 uà Bác Hồ là

Chủ tịch nước”

Trang 14

1.2.2 Phép tuyển

Liên từ *uä” cho ta phép toán hội của mệnh để lögïe Liên từ *hoxc" kết nỗi hai mệnh

đề lögïc cho ta một toán tử khác của mệnh đề lôgic Cùng với phép hội và phủ định,

chúng lập nên một hệ thống những phép toán cơ bản nhất của mộnh đề lögic Sau

đây là định nghĩa của toán tử tuyến sinh ra bởi liên từ * hoặc"

Định nghĩa 1.4 Cho trước hai mệnh đề lögic p và g Khi đó câu nói “p hoặc q”

cũng là một mệnh đề lôgic uà được gọi là tuyển của p và q, ký hiệu là pV ạ Tuyển

của p tà q chỉ sai khi cả p vag cling sai va đứng trong các trường hợp còn lại Ví dụ Nếu gọi p là mệnh đề “Hồ Xuân Hương sinh uào ngày 3-ố' và q là mệnh đề

*Hồ Xuân Hương sinh uào ngày 9-8" thì pV q là mệnh đề * Hồ Xuân Hương sinh vào

ngày 3-5 hoặc uào ngà 9-8"

Bang 1.3: Bảng giá trị chân lý của phép tuyển Pvạ tạ H H HỆ m3 nI# SA s

Cũng tương tự như trong bằng giá tri chân lý của phép hội, bảng giá trị chân lý

của phép tuyển có tắt cả 4 dòng, tương ứng với 4 khả năng khác nhau có thể khi

mỗi mệnh đề p và q có 2 giá trị T va F

1.2.3 Phép tuyển có loại

Liên từ *hoặc" cho ta phép toán tuyển của hai mệnh đề lôgie Một liên từ kháe gần với nó cũng cho ta một toán tử khác của mệnh đề lögie Dó là liên từ “hoặc

hoặc " Với hai mệnh đề lôgic p và q cho trước thì mệnh đề “hoặc p hoặc ÿ' có nghĩa

là phải có một trong hai mệnh đề p hoặc q đúng, nhưng không thể xảy ra đồng thời là p và q cùng đúng

Định nghĩa 1.5 Cho trước hai mệnh dé logic p vi q Khi đó câu nói "hoặc p hoặc 4” cũng là một mệnh đề l8gic uà được gọi là tuyển có loại của p vag, ký hiệu là p©4-

Tuyển có loại của p uà q đúng khi chỉ có đứng một trong p và q là đúng còn mệnh

đề còn lại sai

Ví dụ Nếu gọi p là mệnh đề “Hà Xuân Hương sinh vào ngày 3-8" và q là mệnh đề

*Hà Xuân Huong sinh uào ngày 9-5" thì p@ q là mệnh đề "Hồ Xuân Hương hoặc sinh uào ngàu 3-5 hoặc ào ngày 9-8", Nó có nghĩa rõ ràng là Hồ Xuân Hương chỉ có

Trang 15

Bảng 14: lắng giá trị chân lý của phép tuyển có loại pla [pea Tle T\F| Tv r|r|T rlr|r 1.2.4 Phép kéo theo

'Tốn tử lơgic được nói tới phần này là todn tif logic kéo theo được sinh bởi liên từ “nếu thà ” Phép kéo theo hay gặp trong các suy luận toán học, trong các cách diễn đạt định lý, và cả trong đời sống dưới nhiều dạng diễn đạt khác nhau Hay gặp

nhất là các cách nói:

1 nếu p thì q, 2 p kéo theo q,

3 p là điều kiện đủ của q,

4 q là điều kiện cần của p,

5 có p thì có q,

6 từ p suy ra q,

Định nghĩa 1.6 Cho trước hai mệnh đề lâgic p và ạ Khi đồ câu nói “nếu có p thì có q” cũng là một mệnh đề lôgic và được gọi là phép kéo theo của p và q, ký hiệu làp — ạ Mệnh đề p — q chỉ sai nếu p đúng, q sai va đứng trong các trường hợp cồn lại

“Trong phép kéo theo p — q, ta thường nói p là giả thiết và q là kết luận

Vé dụ Nếu gọi p là mệnh đề “Tam giác AB uông tại dink A” va q là mệnh đề

“BC? = CA? + AB?" thi mệnh đề p — q là “Nếu tam giác ABC vuông tại dink A

thi BC? = CA? + AB"

Khi có mệnh đề kéo theo p — , thì mệnh đề g — p được gọi là mệnh đề đảo và

Trang 16

Bang 1.5: Bang giá trị chân lý của phép kéo theo p—d EEEER sls SAA} 1.2.5 Phép tương đương

“Toán tử lôgic được nói tới ở đây là toán tử lögic tương đương được sinh bối liên từ „tướng đương .” Phép tương đương hay gặp trong các suy luận toán học, trong các cách diễn đạt định lý, và cả trong đời sống dưới nhiêu dạng diễn dạt khác nhau Hay gặp nhất là các cách nói: 1 p và g tương đương với nhau, 2 p nếu và chỉ nếu g, 3 p khi và chỉ khi g,

4 p tương đương với g,

Định nghĩa 1.7 Cho trước hai ménh dé logic p va q Khi đó câu nói “p tướng đương tới q” cũng là một mệnh đề lôgic Ta ký hiệu mệnh đề “p tương đương vôi q” bởi ký hiệu p= q Ménh dé p= q chỉ đúng khi p va q cùng đúng hoặc cùng sai

Ví dụ Cho p là mệnh đề “Tam giác ABC là tam giác đều" và q là mệnh đề * Tam giác ABC có ba cạnh bằng nhaử” thì mệnh đề p © g là mệnh đề "Tam giác ABC là tam giác đều khi va chỉ khi tam giác ABC có ba cạnh bằng nhat”

Trang 17

1.2.6 Phân tích mệnh đề lôgic phức hợp ⁄ /

Nói chung ta thường gặp các mệnh dễ lögic phức hợp trong đời sống hơn là gặp các ménh dé logic don giản Khi đó ta có nhu cầu phân tích mệnh đề lôgic phức hợp thành liên mệnh đề lôgic Tắt nhiên ta có quyền coi mỗi mệnh đề logic, div n6 1a mệnh để lôgic phức hợp và dài dòng, là một biến mệnh đề lôgic p đơn giản Mot

trong các phương pháp để phân tích mệnh đề phức hợp là tìm các liên từ tương ứng với các toán tử phủ định, toán tử kéo theo, toán tử hội, toán tử tuyển và toán tử

tương đương mà ta đã nói ở trên Khi đã xác định được các toán tử này, thì các mệnh đề được tạo ra khi ta cất bỏ toán tử ra khỏi mệnh đề ban đầu sẽ cho ta các mệnh đề lôgic thành phần của mệnh đề lôgic phức hợp đang xét tới

Ví dụ Cho trước mệnh để * Đạn không được di ze may, néu ban dudi 16 tụ phi dé là ze phân khối nhô hoặc khi bạn có giấy phép đặc biết" Khi đó ta phải x định các liên từ của toán tử phủ định, toán tử kéo theo, toán tử hội, toán tử tuyển

và toán tử tương đương (được ta viết nghiêng trong câu) Các mệnh đề thành phần

sẽ là:

1 “Bạn được di ze máy" (gọi là mệnh đề p),

9.*Bạn dưới 16 tuổi" (gọi là mệnh đề q),

3, *Xe má có phần khối nhở" (gọi là mệnh đề r), 4 “Ban có giấu phép đặc biệP' (gọi là mệnh đề s)

Mệnh để phức hợp ban đầu của ta sẽ là (g A ¬(r V.9)) — ¬p

BÀI TẬP

1 Cho p và q là các mệnh để sau:

?: “Tôi đã bắt đầu học mơn Tốn rời rạc”,

ạ: "Tôi đã bắt đầu học mơn “Tốn rời rạc vào hôm thứ sáu”

Hãy chuyển đổi các mệnh để sau đây thành các câu nói thơng thường: a) ¬p, b)pVq, 9)PA4, aera 9) p4 Nap 8)P—4, h) ¬pVdq

2 Hãy phân tích các mệnh đẻ phức hợp sau đây thành các liên mệnh đề logic: 1) Nhiệt độ trên 30° và rnưa tào

Trang 18

1.3 Biểu thức lôgic và sự bằng nhau

1.3.1 Biểu thức lôgic

Như đã thấy ở trên là các toán tit logic cơ bản được sinh ra trong tư duy của con người và được diễn dat qua lời nói dưới dạng các giới từ Khi hình thức hóa các mệnh 2 logic bằng céc bién logic thì chúng ta thu được một dạng biểu thức như trong đại

số, được gọi là biểu thức lögic Tuy nhiên, ở trong toán học chúng ta cũng có thể tạo

nên các liên mệnh đề lögic (các mệnh đề lögic phức hợp) bằng thực hiện các toán

tử một cách hình thức với các biến lôgic cho trước Chẳng hạn chúng ta có thể viết PAq,qVp hoặc p — g để thu được các tổ hợp với các mệnh đề cho trước p và q,

tuy không biết nó có nghĩa trong đời sống hay không

Ví dụ Với p là mệnh để * Hôm nay trời nống" và q là mệnh để *2 + 2 = 4", thì biểu thức mệnh đề p — q có nghĩa là *iôm nay trời nắng, nên 2 + 2 = ƒ' Mệnh đề được tạo thành một cách hình thức như vậy không có liên hộ gi về mặt logic déi với hai mệnh đề lôgic thành phần tuy rằng theo bảng giá trị chân lý của phép kéo theo, nó vẫn có giá trị chan ly T

Định nghĩa 1.8 Một biểu thức lôgic là một biểu thức được tạo thành từ các biến

lôgic cho trước bằng cách áp dụng các toán tử lãgic uà các dấu ngoặc "(" tà *)" mot

cách hành thức Ta quụ định tốn tử ¬ được wu tiên thực hiện trước, còn các toán tử logic khác được thực hiện lần lượt theo thứ tự từ trái sang phải tà nếu có ngoặc thà

bắt đầu thực hiện từ dấu ngoặc trong cùng ra ngoài

Ví dụ Trong biểu thức lögic ((p V q) — 7) Ap thi ta phải thực hiện phép phủ định r, sau đó thực hiện phép tuyển p V.q, tiếp đó là phép kéo theo ((p V q) — #) Sau cùng, ta thực hiện phép A,

1.3.2 Một số biểu thức lôgic quan trọng

Nếu có một phép kéo theo p — q, ta có thể lập biểu thức lôgic q — p và ¬q — ¬p

Hai ménh dé logic này đóng một vai trò quan trọng trong lập luận chứng mình toán học

Định nghĩa 1.9 Cho trước mệnh đề lôgic p — q- Khi đó mệnh đề lôgic q — p được

gi là mệnh đề lôgic đảo uà mệnh đề lơic ¬q — ¬p được gọi là mệnh đề lôgic phản

đảo của mệnh đề logic p + q da cho

Ví dụ Cho trước mệnh đề lôgic p: “Tam gide vuông có mội góc nhợn 30°” va ạ: * Tạm giác có hai cạnh dài gắp dối nhau” Mệnh đề p — q là ° Nếu tam giác vuông có một

góc nhọn 30°, thì nó có hai cạnh dài gấp dõi nhat” Mệnh đề đảo của nó là * Nếu một

Tam giác có hai cạnh dài gắp đôi nhau, thì nó là tam giác vuông tới một góc nhọn 30°, còn mệnh đề phản đảo của nó là * Nếu tam giác không có hai cạnh dài gấp đội

Trang 19

Lập mệnh đề đảo, phản đảo đúng là việc làm quan trọng trong việc tiến hành chứng mình toán học, thường gặp khi giải các bài toán quỹ tích hoặc các bài toán dựng hình

'Ta có thể thiết lập bảng giá trị chân lý của mệnh đề lögic đảo và phản đảo của mot mệnh đề logic kéo theo cho trước trên cơ sở các giá trị chân lý của các mệnh đề lôgic thành phần p và q tham gia trong biéu thite logic,

Bang 1.7: Bang giá trị chan lý của mệnh đề phản đảo và đảo P|q|7|j|p—dg|¬3—-¬p|g—p TPR | 7 T T r|r|r|r| F F + J7|7|F| 7 T7 F Flre|r|r| 7T bú kh

Đặc biệt quan trọng trong lơgic tốn cũng như trong suy luận toán học là biểu

thức lôgic (p — g) A (q — p) Biểu thức này có nghĩa là “từ p suy ra q, uà từ q su

rap” Ménh dé logic này hiểu theo nghĩa đời sống la “p uà q tương đương nhat” So sánh với bằng giá trị chân lý cha (p + q), ta thấy nó luôn có cùng gi trị chan ly

như biểu thức (p — q) A (q — ø) Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ định nghĩa sự bằng nhau (tương đương lôgic) của các biểu thức lôgic

1.3.3 Tương đương lôgic

Một vấn đề quan trọng trong toán học là tìm kiếm hoặc thay một mệnh đề lôgic này

bằng một mệnh để lôgic khác có cùng giá trị chân lý như nó Chẳng hạn, ta thấy trong cuộc sống rõ ràng là mệnh đề logic “tu p suự ro g, uà từ q suy ra p” cing chính là mệnh đề lögic "p uà ợ tương đương nhau" Sau đây chúng ta sẽ xây dựng cơ sở

toán học để có thể kết luận khi nào thì hai mệnh đề lôgic khác nhau cho trước thực

chất chỉ là một

Định nghĩa 1.10 Một biểu thức lđgic luôn có giá trị chân tý T' (đúng) uới bắt cứ

giá trị chân lý nào của các mệnh đề lôgic thành phần lạo nên nó được gọi là mệnh

đề lôgic luôn dúng hoặc là hằng đứng Một biểu thức logic luôn có giá trị chân lý F

(sai) uới bắt cứ giá trị chân lý nào của các mệnh đề lðgic thành phần tạo nên nó được gọi là biểu thức lôgic luôn sai hoặc là hằng sai Biểu thức lôgic không phải hằng

đúng hoặc không hằng sai được gọi là tiếp liên

Trang 20

Vi dụ Cho trước hai mệnh đề p và q Ta thấy dễ đàng rằng p V ¬p là mệnh đề lôgic

hằng đúng và pA ¬p là mệnh đề löic hằng sai thong qua bang giá trị chân lý dưới đây (Phần nhiễu các biểu thite logic thường gặp, chẳng hạn p — ạ, là tiếp liên)

Bảng 1.8: Bảng giá trị chan lý của pV Ø và pA ¬p Ð |pV¬p|pA-p az + T Fl Tf +

‘Thong qua các mệnh đề lögic hằng đúng và hằng sai, ta có thể định nghĩa mệnh

đề lögïc tương đương nhau như sau:

Định nghĩa 1.11 Các mệnh đề lôgie p tà q được gọi là tương đương lôgic, nếu biểu thức légic p + q la ménh dé logic hằng đúng Khi đó ta nói p và q là hai mệnh dễ lôgic tướng đương (bằng nhau) tà ký hiệu p © q

Vi du Ta có thể kiểm tra xem mệnh đề kép theo p — q và mệnh đề phản đảo của tố ¬g — ¬p có tương đương lưgic hay khơng thơng qua bảng 1.9:

Bảng 1.9: Tương đương lôgic của phép kéo theo và phản đảo p][g |p—d|¬s—-¬p]—¬g)= (¬4— +) TD ek £ T T|r|F F T #|T| 7 ay và F|F| T L, ¿0

Qua bang gid tri chãn lý này ta thấy mệnh đề kéo theo và mệnh đề phản đảo là tương đương lôgic Như vậy, khi giải một số bài toán chứng minh thay vì chứng,

minh một mệnh đề kéo theo, ta có thể chứng minh mệnh đẻ phân đảo của nó “Tính chất Dễ kiểm tra thấy rằng quan hệ tương đương lôgïc là quan hệ có 3 tính chất: phản xạ, đối xứng và bắc cầu

1, Với mọi mệnh đề p ta luôn có p + p (tinh phản xạ) 2 Nếu p.© q thi g ¢ p (tính đối xứng)

Trang 21

Ngoài ra, nhờ sự tương đương lögic của phép kéo theo p + g với biểu thức ¬p.V g

(xem bãng 1.10) mà chúng ta có thể khử các phép kéo theo trong các biểu thức lôgic

để từ một biểu thức lðgic cho trước ta thu được một biểu thức lðgic hoàn toàn không,

có phép kéo theo và phép tương đương, Bảng 1.10: Khử phếp kéo theo Pp|d|p—¬g|-pVa| ø—g)=(—pVq) Pr x mì HT T\|F| F F # Ất alee T ¬ r]r| 7 T7 T Ví dụ Chứng mình rằng (p A q) —+ (p V.q) là hằng đúng Chứng mình Ta có (pA4) — (pV) ¬(pAg) VpV g) đ#Cpvơg) V(pV) đCpV?)V(ơaVq) TvT eT

Bng phương pháp bảng giá trị chãn lý, ta có thể chứng minh những tương đương lôgic cơ bản sau đây (Sau này bạn đọc có thể thấy chúng giống với những luật cơ

bản của các phép toán của tập hợp.) is ee neoes sey PAT @ p (luật đồng nhất), pVF « p (luật đồng nhất), pAF @F (luật nuốt), pVT T (luật nuốt), pVp® p (luật lũy đẳng), pArp © p (luật lũy đẳng), ¬(¬p) + p (luật phủ định kép),

Trang 22

10 1 12 13 14 15 ‘Litu ý rằng nhờ luật kết hợp của phép hội va phép ti (pVạ)vr ®pV(qVr) (luật kết hợp),

(pAq)Ar ®pA (qAr) (luật, kết hợp),

(pVq)Ar © (pAr) V (g A7) (luật phân phối), (pAg)Vr ® (pVr) A (4V) (luật phân phối),

(pV 9) + (=p Ag) (luat De Morgan),

¬(p A4) # (4p V 7g) (luat De Morgan)

,, nên chúng ta có thể viết tuyển và hội của nhiều mệnh đề lôgic mà không cần tới dấu ngoặc, chẳng hạn thay vì viết (p V q) V r, ta viết pV q Vr, và pAq Ar thay cho (pAq) Ar

Chúng ta có phương pháp thứ hai để xác định sự tương đương lögic bằng cách

tiến hành biến đổi tương đương dựa trên các luật biến đổi tương đương cơ bản trờn Vớ d ơp AqA+) đ ¬((p Aq) Ar) ® ¬(p A4) Vơr â ~pV ơg V ơr BI TẬP Chứng mình các hằng đẳng thức sau (còn gọi là luật hấp thụ): 8) pV(pAq) %P, b)pA(Vạ) ®p Kiểm tra xem các biểu thức sau có phải là biểu thức lưgic ln đúng hay khõng: 8) ¬pA(p —¬ q) — ¬q, b)¬qA (p — q) — ¬p | Chứng minh rằng các cặp biểu thức sau tương đương lôgic: 8) p — q và ¬q — ¬p, b) ¬p + q và p © ơg, â)pg v ơ(p@q), 4) ơớp đ 4) v ơp đ q

Ta gọi một mệnh đề phức hợp thu được từ một mệnh đề phức hợp ban đầu chỉ chứa các toán tử A, V và ¬ bằng cách thay mỗi toán tử A bởi V, mỗi V bởi A,

¬ được lược bỏ, mỗi E bởi T và mỗi T bởi E là đối ngẫu của mệnh đề đã cho

Hay tim đối ngẫu của các mệnh đề sau:

a)pV¬gA—r, b) (PAgAr) V¬s,

e) (pAT) V(qAF),

Trang 23

5 Chứng minh rằng quan hệ tương dương lôgic là một quan hệ tương đương (tức

là nó phan xạ, đối xứng và bắc cầu)

1.4 Các phép tốn lơgic với các bit 1.4.1 Phép toán bit OR, AND, XOR

Máy tính dùng các bit để biểu diễn thông tin Một bit có giá trị 0 hoặc 1 Nguồn gốc của cách gọi tên bit là do nhà thống kê học nổi tiếng người Ảnh John Tukey đưa ra năm 1946 với nguyên bản là binary digit (chữ số nhị phãn) Do giá trị chan lý của

các mệnh đề lögic cũng chỉ là hai giá trị T và F, cho nên bit cũng có thể dùng dé

biểu diễn giá trị chan lý của các mệnh đề l9gic, trong d6 giá trị 1 ứng với T và giá trị

0 ứng với F Với cùng lý do đó mà bit cũng được dùng để biểu diễn các biến Boole

(boolean variable) là các biến mà giá trị của nó là đúng hoặc sai

“Trong lập trình, chúng ta hay dùng các phép toán OR, ÁND, XOR Dây là các phép toán lögïc tương ứng với các tốn tử lưgïc Phép tốn bit đứợc tiến hành trên các số 0 và 1 tương tự như các phép toán với các giá trị chân ly T và E bằng cách

thay T bởi 1 và E bởi giá trị 0 Để đơn giản, người ta cũng dùng các ]ơgic tốn tử cho các phép toán OR, AND và XOR một cách tương ứng, Trong bảng 1.11, chúng

ta có công thức thực hiện phép toán bit với các bit 0 và 1 ®

Bảng 1.11: Bảng tính cho các toán tử OR, AND; và XOR OR: AND XOR vị 0 1IJA| 0 “1l@|¬0¬¬1 0/0 I1|0| 0 0||J0| 9 71 Sel ae || Fa Le RG)

1.4.2 Phép toán OR-bit, AND-bit, XOR-bit

Định nghĩa 1.12 Thông tin trong máy tính thông thường được biểu diễn dưới dạng

một day các bit (ta còn gợi là zãu bít hoặc là zãu nhị phân) Một zâu rỗng là một

âu không có bit nào cả Số các bit lạo nên zãu nhị phân được gọi là độ dài của zâu

nhị phân

Ví dụ Xâu rỗng có đội dài 0, và 01110101 là một xâu nhị phân với chiều dài là 8

Người ta mở rộng phép tính ORR, AND và XOIR cho các xâu bit có cùng độ dài

Các phép toán mở rộng này được gọi tên một cách tương ứng là các phép toán OR-

Trang 24

đài là áp dụng các phép toán OR, AND và XOR cho các bit tương ứng ở hai xâu

Để đơn giản, người ta cũng dùng ký hiệu ìðgic toán tử để biểu diễn các phép toán

OR-bit, AND-bit và XOR-bit Ví dụ sau giải thích rõ cách thực hiện các phép toán nầy Ví đụ Với hai xâu 1001 và 0111 ta có: 1 1001 V 0111 = 1111 (phép toán OR:bit), 2, 1001 A 0111 = 0001 (phép toán AND-bit), 3 1001 @0111 = 1110 (phép toán XOR-bit) BÀI TẬP

1 Xác định giá trị cla x sau khi thực hiện các câu lệnh sau đây, biết rằng trước khi thực hiện các lệnh này thì z = 0,

a) if1+4=5 then z-=2+2, b) if (2+2=3) OR (1+4=6) then

Trang 25

Chương 2

Lý thuyết tập hợp

2.1 Khái niệm tập hợp

Lý thuyết tập hợp được nhà toán học người Đức tên là Cantor (1845 - 1918) xây dựng Theo Cantor, một tập hợp là một tổng thể các đối tượng (được gọi là các phần tử của tập hợp) có cùng một tính chất chung nào đó

Ví dụ Tập hợp các học sinh trong một lớp học, tập hợp các cuốn sách trong thư viện, tập hợp các con thú trong một vườn bách thú, tập hợp các tam giác

+ Dạc biệt là tập hợp không có phần tử nào được gọi là tập hợp rỗng và ký hiệu là0

Các đối tượng trong cùng một tập hợp được gọi là phần tử của tập hợp đó Tập hợp được nói là chứa các phần tử của nó và các phần tử được gọi là thuộc tập hợp chứa nó,

"Thông thường ta hay ký hiệu tập hợp bởi các chữ cái viết hoa và ký hiệu các phần tử bởi các chữ cái nhỏ Để ký hiệu ø là một phần tử của tập hợp A, ta viết &€ A, và nói rằng œ thuộc tập hợp 4 Khi ø không phải là phần tử của tập hgp A, ta viết a ¢ A và nói rằng a không thuộc tập hợp A

Ví dụ Với Z là tập hợp các số nguyên, ta có 1 € Z, ; ¢Z, V2¢Z

“Thơng thường việc chọn chữ cái nào để ký hiệu tập hợp là một việc tùy theo ý

của người dùng Tuy vậy, có một số tập hợp đã được quy định chỉ được ký hiệu bằng, những chữ cái nhất định, đó là: tập hợp các số tự nhiên Ñ, tập hợp các số nguyễn Z, tập hợp các số hữu tỷ Q, tập hợp các số thực R và tập hợp các số phức C

2.1.1 Các cách biểu diễn tập hợp

Trang 26

“Trong hình 2.1, ta biểu diễn tập hợp 2⁄4 và một phần tử z thuộc nó Phan mg phẳng này được tô màu hoặc đánh dấu để nhận biết được Cách biểu diễn như vậy còn được gọi là biểu đồ Venn Sơ đồ biểu diễn tập hợp các số nguyên Z va tap hyp F các số tự nhiên sẽ là các miễn mặt phẳng chứa nhau Ngoài phương pháp dùng biết đồ Venn, ta còn có cách biểu diễn hình thức một tập hợp Trong cách biểu diễn này

ta sẽ sử dụng dấu ngoặc “{” và “}” để biểu diễn tập hợp

C6 ba cách biểu diễn tập hợp như sau:

a) Biểu diễn tập hợp bằng cách liệt kê tắt cả các phần tử của nó

“Trong cách biểu diễn tập hợp bằng cách liệt kê tắt cả các phần tử của nó, ta chỉ việc kê khai tắt cả các phần tử của tập hợp đã cho bằng cách mở đầu và kết thúc việc kê khai này bởi đấu “{" và dấu “}” Chẳng hạn để biểu diễn tập jiu dB Venn hỢP Á bao gồm 3 phần tử là các số tự nhiên 1, 2 và 3, tê * viét A = {1,2,3} Tương tự như vậy, tập hợp B gdm 6 sé nguyên dương đầu tiên sẽ là Ö = {1,2,3,4,5,6}

Tuy nhiên chỉ có các tập hợp có hữu hạn phần tử mới biểu diễn được theo

cách này

b) Biểu diễn tập hợp thông qua quy luật đơn giản

“Trong cách biểu diễn này, ta cũng liệt kẽ những phần tử đầu tiên của tập hợp, và sử dụng ba dầu chấm để thể hiện là tập hợp còn các phần tử khác mà có thể dễ dàng xác định được chúng Cách biểu diễn này chỉ dùng cho những tập hợp có quy luật nhận biết các phần tử rất đơn giản ai cũng có thể nhận biết dễ dàng Chẳng hạn, khi biểu diễn tập hợp tắt cả các số tự nhiên chẵn, ta có thể viết A = {0,2,4, }, va tập hợp tất cả các số tự nhiên lẻ có thể biểu diễn là B = {1,3,5 } Tap hợp các số nguyên có thể biểu diễn thành Z 1,~2,2 } hoặc Z = { —2,—1,0,1,2 }, tag hợp các số tự nhiên là Ñ = {0,1,2, }

c) Biểu diễn tập hợp thông qua quy tắc nhận biết

Trang 27

2 Những số nào trong các số sau thuộc tập Ñ: —1, V‡ 2:

R/S es

3 Những số nào trong các số sau thuộc tập hợp Z: 5,

4 Biểu diễn các tập hợp sau:

a) Tập hợp các chữ số của hệ thập phân

b) Tập hợp có phần tử là các số nguyên dương lẻ nhỏ hơn 10 và các nguyên âm của bảng chữ cái tiếng Việt ©) Tập hợp các số chính phương d) Tập hợp các số nguyên tố dạng 4k + 1 ©) Tập hợp các số nguyên dương nhỏ hơn 100 2.2 Tập hợp con và tập hợp bằng nhau 2.2.1 Tap hợp con

Trong phần này chúng ta định nghĩa sự bằng nhau của các tập hợp trên cơ sở định nghĩa thế nào là tập hợp con của một tập hợp cho trước

Định nghĩa 2.1 Cho trước hai tập hợp A uà B Ta nói rằng tập hợp A là tập hợp cơn của tập hợp B, nếu như mỗi phần tử của tập hợp A là phần tử của tập hợp B, Khi dé ta viét AC B

“Trong trường hợp tập hợp 4 là tập hợp con của tập hợp B, ta còn nói rằng tập hợp Z chứa tập hợp A Trong trường hợp tập hợp 4 là tập hợp con của tập hợp Z và tập hợp Z không phải tập hợp con của tập hợp A thì ta nói ae Ala tap hgp con thật sự ý ; của tập hợp Ö, và ta viết 4 C B

Hình 2.2: Tập hợp chứa nhaw “ niỄ, qà Vem của tập hợp con bị chứa trong biểu đồ Venn của tập hợp chứa nó (Hình 2.2)

Ví dụ Tập hợp các số tự nhiên Ñ là tập hợp con thật sự cũa tập hợp các số nguyên Z Tập hợp các số thực R là tập hợp con thật sự của tập hợp các số phức C hợp các số hữu tỷ Q là tập hợp con thật sự của tập hợp các số thực R Quan hệ gii

các tập hợp này có thể viết gọn lại là N C Z C QC R c C

Với mỗi n, tập hợp số tự nhiên Ñ có một tập hợp con đặc biệt gồm các số tự nhiên đầu tiên từ 0 tới mø, được ký hiệu là 1,n

‘Tap hợp Ø được quy định là tập hợp con của tắt cả các tập hợp Mỗi tập hợp bắt kỳ cũng là tập hợp con của chính nó Cho trước tập hợp 4, ta ký hiệu tập hợp tht cd cdc tap hgp con cia A 1a P(A) Tap hợp các tập hợp con của tập hợp Á cho trước luôn chứa tập hợp @ va A lam phần tử

Trang 28

Ví dụ Với A = {1,2} thi P(A) = (0, {1}, {2}, (1,2})-

“Tính chất Quan hệ “chứa nhau” (C) của tập hợp là một quan hệ có tính chất phản xã và bắc cầu: 1 Với mọi tập hợp A ta c6 AC A 2 Néu thi ACC 2.2.2 Tập hợp bằng nhau “Yên cơ sở khái niệm của tập hợp con, ta định nghĩa khái niệm sự bằng nhau của các tập hợp như sau

Định nghĩa 2.2 Cho trước hai tập hợp A và B Ta nói tập hợp A và B là hai tập hợp bằng nhau khả va chỉ khi A là tập hợp cơn của tập hợp B và B là tập hợp con

của tập hợp A Khi A uà B là hai tập hợp bằng nhau thì ta viết A = B

Như vậy, nếu Á C B và ö € A thì 4= B

Vi dy Tap hgp A = {1,2} và tập hợp {z|z?~3z+2 = 0} là hai tập hợp bằng nhau, vì phương trình z2 — 3z + 2 = 0 có đúng hai nghiệm 1 và 2

“Tính chất Quan hệ "bằng nhau" của tập hợp là quan hệ tương đương: 1 Với mọi tập hợp 4 ta có 4 = 4 (tính phản xạ) 2 Nếu 4= B thì = A (tính đối xứng) 3, Neu A= B va B=C thì A = Ơ (tính bắc cầu) BÀI TẬP 1 Kiểm tra xem các mỗi quan hệ sau là đúng hay sai: a)0= {0}, Ð) 1} C {)}, ©) 0) = (a)

2 Dùng biểu đồ Venn biểu diễn mối quan hệ của các tập hợp A C B và B C Ở 3 Chứng minh tính chất của quan hệ “C” trong các tập hợp:

1 Với mọi tập hợp A tac6 AC A

2 Nếu 4C B và BC A thì A= B 3 Nếu A CB và BC C thì AC Œ

4 Cho trước tập hợp A = {1,2,3} va tap hop B = {1,3,5,7} Hay liệt kê tắt cả các tập hợp vừa là tập con của tập hgp A vite la tap hợp con của tập hợp Ö

5 Tìm hai tập hợp A và B sao cho AE Bva ACB

6 Xác định mối quan hệ giữa các tập hợp sau:

Trang 29

7 Xác định xem các cặp tập hợp sau đây có bằng nhau hay không: = a) Tập hợp {1,2,3} và tập hợp {3, 2, 1} b) Tập hợp tất cả các tập hợp con của {a,b} và {0: {a}, {b} {a, b}}- e) Tập hợp 0 và tập hop {0} i d) Tập hợp N va tap hgp {N,0,1,2, 8 Xéc dinh tap hop P(0) và tập hyp P({0}) 9 Xác định tập hợp P{1,2,3) 10 Chứng mỉnh các tính chất của quan hệ tập hợp bằng nhau: 1 Với mọi tập hợp A ta có Á = A 2 Nếu A = Z thì A 3.NéuA=BvaB=CthA=C 11 Chứng minh rằng nếu Á = B thi P(A) = P(B) 2.3 Các phép toán của tập hợp 2.3.1 Phép hợp

Định nghĩa 2.8 Cho trước tap hop A va tap hop B Hop của tập hợp A va tap hợp

B là tập hợp chứa tắt cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B, uà chỉ những phần tử

đó mà thôi

Hợp của tập hợp A va tập hợp Z được ký hiệu UB Một cách hình thức ta viết: AU B = {rlze€ 4 hoặc z€ B}

Hợp của hai tập hợp được biểu diễn theo mô hình trong biểu đồ Venn (hình 2.3)

3 Trong trường hợp tập hợp 4 và tập hợp B có

Binh 2.3: Rha, những phần tit chung’ thi ese phn tit chung’nay cht

được phép xuất hiện đúng một lần trong hợp của chúng

Ví dụ Hợp của tập hợp {1,2,3,4,5} va {2,4,6} là tập hợp {1,2,3,4,5, 6}

“Tính chất Bằng biểu đồ Venn đễ dàng thấy các tính chất sau của phép hợp hai

tập hợp:

1 Luật đồng nhất: AU0 = 4 cho mọi tập hợp 4

8 Luật nuốt : 4U U = U cho moi tap hgp ACU

3 Luật lũy đẳng: AU 4 = A cho mọi tap hop A

4 Luật giao hoán: AU ö = BUA cho tập hợp A va B tay ý

5 Luật kết hợp: (AU 8)U Ơ = 4U (BU C) cho tập hợp A, B, C thy ý-

Trang 30

k

Lưu ý Nhờ có định luặt kết hợp, cho nén ta c6 thé viét AU BUC thay vì viế (AUB) UC Nha 46 ching ta có thể nói hợp của nhiều tập hợp | ].4¡ = Ai U4¿L

=

U Án mà không cần phải nói rõ thứ tự thực hiện phép hợp như thế nào

Các tính chất của phép hợp (sau này là các phép toán khác) có thể còn được chứng minh nhờ sử dụng bảng thuộc tính Để chỉ một phần tử thuộc một tập hợp ta dùng số 1, để chỉ một phần tử không thuộc tập hợp đó ta dùng số 0 Ta sẽ xé

trong bảng thuộc tính tắt cả các trường hợp có thể xảy ra khi xét một phần tử chc trước có thể thuộc hay không thuộc các tập hợp cho trước, và chỉ ra rằng phần tử đ¿ thuộc hay không thuộc cả hai vế của đẳng thức cần chứng minh Cụ thể, để chứng minh tinh chất giao hoán của phép hợp, ta có bảng thuộc tính như sau: Bảng này ¢ 4 dòng tương ứng với 4 khả năng có thể của một phần tử trong quan hệ thuộc tật hợp Kết quả của bằng chỉ ra rằng phép hợp của hai tập hợp có tính giao hoán

“Tương tự ta có thé chứng minh tính kết hợp của phép hợp cũng bằng bảng thuộc tính Dùng bảng thuộc tính kiểm tra tính giao hoán và kết hợp A] B]C] GuBs)uC] Au(Buc) 1Ị1|1 1 1 A[B]IAUB|]BU4|J|1|1|0 1 1 1Ị1 1 1 101 1 1 10 1 1 1J0|0 1 1 0|1 1 1 0|1|1 1 1 ojo 0 0 0|J1|0 1 1 0|0|1 1 1 olojo 0 0 2.3.2 Phép giao

Định nghĩa 2.4 Cho trước tập hợp A và tập hợp B Giao của tập hop A va ta hợp B là tập hợp chứa tắt cả các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B, và chi nha phân tử đó mà thôi

Giao của hai tập hyp A và Ø được ký hiệu bởi ANB Một cách hình thức ta viết: i

ANB={z|reAva ze B} B

“Trong trường hgp tap hợp A va tap hgp B khong

Trang 31

trường hợp này, chúng ta còn nói rằng hai tập hợp là rời nhau

Ví dụ Giao của tập hợp {1,2,3,4,5} và {2,4,6} là tập hợp {2,4}

'Tính chất Bằng biểu đồ Venn, hoặc dùng bảng thuộc tính ta thấy dễ dàng các

tính chất sau của phép giao hai tập hợp: 1 Luật nuốt: A10 = 0 cho mọi tap hgp A

2 Luật đồng nhất: Af\U = Á cho mọi tập hợp Á € Ứ

3 Luật lũy đẳng: Af\ A = A cho mọi tập hợp A

4 Luật giao hon: ANB = BNA cho tap hop A va B tiy ý

5 Luật kết hợp: (An B)Ø = An (BC) cho tập hợp A, B, Ở tùy ý

Trưu ý Nhờ có định luật kết hợp, cho nên ta có thể viết 4 r1 B 71C thay vì viết (ANB)NC Nhờ đó, chúng ta có thể nói giao của nhiều tập hợp ( ].4; = 4if14af\ tỉ

-f\ Án mà không cần phải nói rõ thứ tự thực hiện phép giao như thé nào

Ngoài ra, phép hợp và phép giao còn có tính chất phân phối, được phát biểu như sau: (AUB)n(AU6), và (ANB)U(ANC) cho moi tập hợp 4, B và Ở tùy ý 2.3.3 Phép trừ

Định nghĩa 2.5 Cho trước tập hợp Ä à tập hợp B Hiệu của tập hợp A với tập - hợp B là tập hợp chứa tắt cả các phần tử thuộc A mà không thuộc B, tà chỉ những phan tử đó mà thối Hiệu của hai tập hợp A va B được ký hiệu là A\.B hoặc A~ B

A-B=lz|z€Avà z#B)

“Trong biểu đồ Venn (hình 2.5), chúng ta biểu

diễn hiệu 4 — bởi phần mặt phẳng biểu diễn tập

hợp 4 bỏ đi phần chung với phần mặt phẳng biểu

diễn tập hợp

vn Ví dụ Hiệu của tập hợp (1, 2,3} với tập hợp {2, 3, 4} Minh 2.5: Hiệu hai lốp HỢP: — là vạn hợp (1)

“Trong trường hợp tập hợp A va tap hgp B không có phần tử chung thì hiệu của

tập hợp A và tập hợp # chính là tập hợp A

Ví dụ Hiệu của tập hợp {1,2,3} với tập hợp {4,5,6} là tập hợp {1,2,3}

Nếu tập hợp A là tập hợp con của tập hợp Z thì hiệu của tập hợp 4 và tập hợp „P chính là tập hợp 0 Lưu ý ring phép trừ của tập hợp không có tính đối xứng

'Ví dụ Hiệu của tập hợp {1,2,3} với tập hợp {4,5,6} là tập hợp {1,2,3}, còn hiệu

của tập hợp {4,5,6} với tập hợp {1,2, 3} là tập hợp {4,5,6}

Trang 32

Dinh nghia 2.6 Cho trusdrmot tap hợp A uà một tập hop U chứa tập hợp 4 'Kje đó ta nói hiệu U — A là phần bù của tập hợp A trong lập hợp U tà ký hiệu U — Z

bởi CA(U) hoặc Âu tà nếu không xây ra hiểu lềm (khi ta hiểu dang nói tới các phần bù trong tập hợp cho trước U) thì ta có thể tiết ngắn gọn là Ä

Ví dụ Cho trước tập hợp 4 = {0,1,3,3} và Ư =N thì 4= (4,5, }

“Tính chất Bằng biểu đồ Venn, hoặc dùng bảng thuộc tính ta có thể chứng mink

các tính chất sau của phần bù của tập hợp:

1 Luật bù: Ä = A

2 Luật De Morgan cho giao của 2 tập hop: ANB = AUB 3 Luật De Morgan cho hợp của 2 tập hợp: 4U 8 = An B

'Trong mối liên quan tới phép trừ của tập hợp, có một phép toắn được gọi là hiệu đối xứng của hai tập hợp cho trước

Định nghĩa 2.7 Hiệu đối zứng của hai lập hợp cho trước A vd B là tập hợp chứa các phần tử chỉ thuộc đứng một trong hai tập hợp A uà B (hoặc thuộc tập hợp A hoặc thuộc tập hợp B), uà chỉ chứa đúng các phần từ này mà thôi Hiệu dối xứng của hai tập hợp cho trước A tà B dược ký hiệu là AAB hoặc A® B

Vi du Hiệu đối xứng của tập hợp (1,2,3) và tập hợp {2,3,4} là tập hợp {1,4}

“Trong biểu đồ Venn ở hình 2.6 ta thay A® B= (A-B)U(B—A).Do đó dễ thấy hiệu đối xứng có tỉnh chất giao hoán Hiệu đối xứng của tập hợp tương ứng với phép tuyển có loại ở chương lôgic mệnh đề Hình 2.6: Hiệu đối xứng 2.3.4 Hằng đẳng thức đáng nhớ Với các phép toán hợp, giao và lấy phần bù của tập hợp, ta có 15 tính chất sau, được gọi là hằng đẳng thức đáng nhớ của tập hợp:

1 Luật đồng nhất: ÁU 0 = A cho mọi tập hợp A 2 Luật đồng nhất: Ár\U = A cho mọi tập hyp ACU

3 Luật nuốt : AUU =U cho moi tap hợp 4C U

4 Luật nuốt : A10 = Ú cho mọi tập hợp A

5 Luật lũy đẳng: AU A = A cho mọi tập hợp 4: a Luật lũy đẳng: An A = A cho mọi tập hợp 4:

Trang 33

8 Luật giao hoén; AN B = BNA cho tap hop A và.Z tùy ý

9 Luật kết hợp: (AU B)U Ơ = AU (BU C) cho tập hợp 4, , C tùy ý 10 Luat két hgp: (AN B)NC = AN(BNC) cho tap hop A, B, C tay ý: 11 Luật phân phéi: AU (BNC) =(AUB)N(AUC)

12, Lust phan phéi: An (BUC) =(ANB)U(ANC)

14, Luat De Morgan cho giao cia 2 tap hop: ANB = AUB

15 Luat De Morgan cho hgp cita 2 tap hop: AUB = ANB

'Chúng ta có thể sử dụng 15 tính chất này để chứng minh các đẳng thức của tập hợp

bằng phương pháp biến đổi đại số

Ví dụ AUBUC = (AUB)UC = AUBNG = (ANB)NC=ANBNC

Ngoài phương pháp biến đổi đại số và phương pháp dùng bảng thuộc tính như

trên đã trình bày, ta còn có thể dùng phương pháp sử dụng các quy tắc để chứng minh đẳng thức trong tập hợp Ví dụ Chứng mình luật De Morgan ANB = AUB Chứng mình z|z#(4n#)) =fz|¬œ€AnB)} | ¬(€AAz€B} =z|¬œ€4)v¬(€B)} x|z# AVz# B} =fzlze2vzeÐ) iz | re AUB} =AuB

2.3.5 Tich Décac (Descartes)

“Tích Dêcac của các tập hợp được đưa ra dầu tiên bởi nhà toán hoc Phép René Descartes khi Ong biểu diễn mặt phẳng theo hai tọa độ vuông góc với nhau (hình 2.7)

Trên mặt phẳng tọa độ Dêcac, mỗi điểm được biểu diễn bởi một cặp hai số

(z,y), với z là hoành độ và là tung độ của điểm đã cho Ta còn nói rằng mặt

Trang 34

Dinh nghia 2.8 Cho A va Ø là hai tập hợp Tích D£cae của A và B là tập hợp

tất cả các cặp (a,b) uôi a € A uà b € B Một cách khác tạ có thể iễt A x B =

{(a,b) | ae A,be B}

w

Với A = 0 hoặc = 0 ta quy định A x B = 0 g| (e9) Vi du {a,b} x {1,2} = {(a,1), (a,2), (B, 1), (b,2)}-

Lưu ý Tích Dêcac không có tính chất giao hoán như nhiều phép toán khác của tập hợp Chẳng hạn,

oa =

= {(a,1), (a,2), (0,1), (0,2

ia gar {2,8} x {1,2} = {(@,1), (2), (0,1), (0,2)}

{1,2} {a,} = {(1,a), (2,4), (1,0), (2,8)}

Tich Dêcac còn được mở rộng cho nhiều tap hợp Ta có:

Định nghĩa 2.9 Cho các tập hợp Ái, i = 1, hợp này là Áy x Áa x s-+ X An = {(a1,02,

n Khi đó tích Dêcac của n tập cạn) | a¡ € Ai}

Vi dy V6i A = {+,-}, B = {a,b} va C = {1,2} thi ta có Ax 8x =

{(+54,1), (Œ+,œ,2), C+yb, 1), (+,ð, 2), (—v&, 1), (—,a,2), (—,ð, 1), (—,ð,2)}

“Trong trường hợp các tập hợp 4; bằng nhau Á¡ = Á; An = A, thi thay

vì viết Ái x Ás : x Án, ta có thể viết Á"

2.3.6 Biểu diễn tập hợp trên máy tính

C6 nhiều cách biểu diễn tập hợp trên máy tính Chẳng hạn ta có thể biểu diễn tập

hợp theo cách xếp không sắp thứ tự, nhưng cách này khong tiện lợi khi ta thực hiện các phép toán của tập hợp Lý do khiến khối lượng thời gian thực hiện các phép

toán này rất lớn là do máy tính buộc phải thực hiện các phép tìm kiếm rất mắt thời

gian Sau đây là một phương pháp biểu diễn tập hợp bằng cách thay thế mỗi tập

hợp bằng một xâu bit

Nếu phải thực hiện việc biểu diễn một số tập hợp và thực hiện các phép toán tập hợp trên máy tính, ta hãy xét tập hợp Ứ đủ lớn chứa các tập hợp đã cho như tập

hợp con, chẳng hạn lấy Ứ là hợp của các tập hợp cho trước Khi đó để biểu diễn một

tập hợp A cho trước, ta cho A ứng với một xâu a:4z an với n là số phần tử của U

và a; = 0 nếu phần tử thứ ‡ không thuộc A, và a; = 1 nếu phần tử thứ ¡ thuộc A

Dễ thấy ứng với tập hợp 0 là xãu gồm toàn các bit 0 và ứng với Ư là xâu gồm toàn các bịt 1

Ví dụ Cần biểu diễn hai tập hợp 4 = (1,2,4) và 8 = {1,3,5} thì ta chọn Ư = {1,2,8,4,5} là hợp của A và Ö với n = 5 Ta biểu diễn A là một xâu aiđạasaas vỚi

nguyên tắc xác định a; = 0 nếu phần tử thứ ¡ không thuộc 4, và a; = 1 néu phần

tử thứ ¿ thuộc 4, dễ thấy xâu ayazaaa¿as là 11010 Còn ứng với tập hợp Ø là xâu 10101

Trang 35

Ngược lại, nếu cho trước xâu œaa an thì ta cũng dé dàng xác dinh duge-tap

hợp ứng với nó Tập hợp ứng với xâu aiaa a„ chính là tập hợp các phần tử ứng với

các bit 1 trong xâu đã cho

Ví dụ Cho trước Ư = {1,3,3,4, 5} thì ứng với xâu 11011 là các phần tử ứng với các bit 1 trong U, đó chính là tập hợp các phần tử 1, 2, 4 và 5

Bằng cách biểu diễn tập hợp bằng các xãu bit chúng ta dé dàng thực hiện được các phép toán hợp, giao và trừ (hoặc lấy phần bù) của tập hợp

Để lấy phần bù của một tập hợp ứng với xâu bit ayaa aa, ta chỉ việc lập một

xâu bit mới b;ba bạ với by là phần bù của œ; được thực hiện tương tự như phép lấy phủ định trong phép toán bit, trong đó phủ định của 0 là 1 và phủ định của 1 là 0

Ví dụ Với tập hợp 4 = {1,2,4} và U = {1,2,3,4,5} trong ví dụ trên thì ứng với

phần bù của 4 trong Ứ là xâu phủ định của xâu biểu điễn A là 11010 Xâu phủ định

này là 00101 Tương ứng với xâu 00101 này là tập hợp {3,5} Tập hợp này là phần

bù của tập hợp 4 trong

Với phép hợp và phép giao của các tập hợp, trước hết ta xác định các xâu biểu

diễn của các tập hợp đã cho, sau đó ta thực hiện các phép toán OR:bit và AND-bit đối với các xâu này Kết quả của các phép toán xau bit này là xu tương ứng với hợp (giao) của các tập hợp đã cho

Ví dụ Cho trước hai tập hợp-A = {1,2,4} và B = {1,3,5} thì ta lấy U là hợp của

hai tập hgp nay, U = {1,2,3,4, 5} Xâu biểu diễn của 4 là 11010 xâu biểu diễn tap

hợp Z là 10101 Phép toán xãu bit cho ta:

11010 V 10101 = 11111 11010 A 10101 = 10000

Phép OR-bit của hai xâu này cho ta xâu 11111 và xâu thu được của phép AND-bit là 10000 ác tập hợp ứng với chúng là U (hợp của A và B) và tập hợp {1} (giao của A và B) Phép lây hiệu đối xứng của hai tập hợp tương ứng với phép toán XOR:bit

của các xâu biểu diễn

Trang 36

3 Cho A va B là hai tập hợp bắt kỳ, chứng minh các bao hàm thức=

a) ANBCA, b) ANBCB,

0) A-BCA, a) An(B-4)=0,

) AU(B—A) = AUB, f) ANB=A-(A-B)

4 Bằng bing thuộc tính hãy chứng minh luật phân phối:

(ANB)UC =(AUC)N (BUC) va (AUB)NC =(ANC)U(BNC)-

5 Cho A và Ö là hai tập hợp tùy ý Hãy chứng minh rằng:

a) ACBUA, b)ÁACAnB,

9 4-BGA-(AnB), 4)8-(B-A)=AnB, 9)(A-B)n(B~A)=0,

9(A-— B)U(B— A) = (AUB)— (AnB)

6 Cho A và Ö là hai tập hợp tùy ý, hãy chứng minh rằng: a) A@A=0, b) 4@0=A, 9 A@B=B@A, 4) (A@B)@B=A 7 Cho Á; = {1,2, ,i} với mỗi ¡ € Ñ Hãy xác định: 2003, 3) U Ay As 8 Cho A= {+,—},B = {a,b,c}, C = {1,2,3} Hay xác định: a) AxBxC, b)CxXBxA, c)CxAxB, d)BxBxB, 9)BxŒxA, ) AxCxB 9 Ching minh ring néu Ax B= B x A thi mot trong hai tap A va B la tap! 0, hoặc là 4 = B 2.4 Quan hệ và ánh xạ 2.41 Quan hệ

Cho trước hai tập hợp 4 và Ö Trong đời sống hàng ngày cũng như trong tin b chúng ta thường phải giải quyết các vấn đề có liên quan đến quan hệ giữa các P

tử của các tap hop A va B

Ví dụ Tập hợp A là tập hợp các giáo viên và B 1A tap hợp các lớp học Một P

công giáo viên dạy lớp học là một quan hệ giữa các tập hợp A và B

Trang 37

: Định nghĩa 2.10 Cho trước hai tập hợp A va B Mot quan hệ Q gitta Aiwa Bla một tập hợp con của tích Dêcac A x B: Hai phần tử a € A và b € B được nói có

quan hệ uới nhau nếu (a,b) € Q

"Để thuận tiện, nếu hai phần tử a và b được nói có quan hệ với nhau thì ta sẽ viết như thông lệ là b thay cho viết (a,b) € Ơ

Với định nghĩa này, chúng ta còn có thể thấy được khái niệm bao hàm nhau của

các quan hệ cũng chính là khái niệm bao hàm nhau của tập hợp

Ví đụ Cho A là tập hợp sinh viên trong một lớp, Xét Q; là mối quan nh “bạn bế" và Q¿ là mối quan hệ “bạn thân” thì rõ ràng ta có Ởz C Qh

“Trong trường hợp 4 = B, thì một quan hệ của tập hợp 4 và B được gọi là một, quan hệ trong 4 Có hai loại quan hệ đóng vai trò quan trọng trong toán học, đó là quan hệ tương đương và quan hệ tuyến tính, ác tính chất của quan bệ thứ tự được

nêu trong các giáo trình cơ bản về giải tích gồm 3 tính chất đặc trưng (như bao bàn

thức của các tập hợp) không được nghiên cứu sâu ở đây:

Định nghĩa 2.11 Cho trước tập hợp A Một quan hệ Ö trong A được gọi là quan hệ tương dương nếu nó thỏa mãn những điều kiện sau:

1 Với mọi phần tử a € A ta có aQa' (tính phân za),

2 Với mọi phần tử œ và b của A, nếu ta có aQb thi ta cũng có bÓa, (tính đối #ứng),

9 Với mợi phần tử a,b và c của A, nếu ta có aQb, bQc thì ta cũng có aQe (tính

bắc cầu),

Hiển nhiên quan hệ bằng nhau trong tập hợp số là quan hệ tương đương Nhưng quan hệ tương đương không nhất thiết phải là quan hệ bằng nhau, chúng ta có thể

xây dựng các quan bệ tương đương cho những số khác nhau trong tập hợp số tự nhiên

Ví dụ Cho trước hai số tự nhiên a và b Ta nói a và b có quan hệ nếu tích là một số chính phương Chẳng hạn 4 và 9 có quan hệ vì tích là một số chính phương, Bạn đọc có thể chứng minh đễ dàng rằng mối quan hệ này là một quan hệ tương đương Một số khái niệm quan trọng liên quan tới quan hệ tương đương là khái niệm phân hoạch của một tập hợp cho trước:

Định nghĩa 2.12 Cho trước một tập hop A Mot họ các tập hợp con Khong tổng (Aj), i= 1,2, của A được gọi là một phân hoạch hữu hạn của Ä, nếi chứng

thỏa mãn đồng thời các diễu kiện sau: 1) AiDLA; = 0 cho mọi 1 < ¡ý j < nụ 2) UAHA

Trang 38

Trường hợp có tô hạn tập hop con không rỗng Ai, i € N thỏa mãn điều kiện 1) 0ã 2) nói trên thà họ các tập hợp con Ai, ì € Ñ nàu được gợi là phân hoạch u hạn của

tap hop A

Ví dụ: Chọn 4 là tập hợp số tự nhiên, 4; 1a tập hợp các số tự nhiên chẵn, và 4; là tập hợp các số tự nhiên 1é Khi d6 Ay, Ao 1a mot phan hoach cia tap hgp A

Quan hệ tương đương đồng một vai trò hết sức quan trọng khi khảo sát cấu trúc của một tập hợp Cho trước một tập hợp 4, nếu tập hợp A có một quan hệ tương, đương O, thì ta có thể phân hoạch tập hợp -4 thành các tập hợp con, sao cho hai phần tử cùng thuộc một tập hợp con có quan hệ Ở với nhau Tức là, nếu Q là một: quan hệ tương đương trong A; thì họ các tập hợp A; = {z | #Qa} với ø € Á là một

phân hoạch của 4 Ở đây phải lưu ý rằng không phải một quan hệ tương đương nào

'Ø cũng sinh ra miột phân hoạch hữu hạn trên A

Ví dụ Ta xết một quan hệ Ø trên tập hợp Ñ như sau Hai cặp s6 a, b và được coi là có quan hệ Q nếu như ab lề số chính phương Khi đó dễ kiểm tra thấy @ là quan hệ tương đương, Quan hệ này sinh ra một phân hoạch vô hạn, mà thực chất mỗi lớp tướng đương có đại diện là một tích các số nguyên tố khác nhau

Ngược lại, khi có một phân hoạch 4; của tập hợp A, thi méi quan hệ * cùng thuộc

một tập con” hiển nhiên là một quan hệ tương đương trên 4 2.4.2 Ánh xạ và hàm số "Trong phần này chúng ta làm việc với những quan hệ có tính chất đặc biệt của bai tập hợp Ava B Định nghĩa 2.13 Cho trước hai tập hợp A va B Mot quan hệ ƒ của A va B được gọi là ánh zạ niễu:

a) Với mọi œ € A luôn tồn tại b € B sao cho (a,b) € ƒ,

8) Với bị tà bạ thuộc B sao cho (a,b\), (a, bạ) € ƒ ta sẽ có bị = by

Do tính chất b) mà thay vì viết (a,b) € ƒ ta có thé viét f(a) = va goi b là ảnh

của a và œ là tạo ảnh của b Ánh xạ từ A vào Ở được ký hiệu bởi ƒ : A — B Tập hợp A được gọi là miền xäc định và tập hợp các giá trị {ƒ(a) | a € 4} là miền giá trị của ánh xạ ƒ

Trong đời sống, người ta thường phải vận dụng Ánh xạ

Ví dụ Dặt tên cho con là thiết lập ánh xạ từ tập hợp con người vào tập hợp tên (với giả thiết là mỗi con người chỉ có một tên chính) Dánh số nhà là thiết lập một ánh xạ từ tập hợp các ngôi nhà vào tập hợp số tự nhiên

Định nghĩa 2.14 Cho trước các lập hợp A, B tà Ở tà các nh za f : A — By

g:B —C Khi đó ánh zạ h: A — Ơ xây dựng theo quy tắc h(a) = 9(ƒ(a)) dược got

Trang 39

Ví dụ Cho trước các tập hợp 4 = # = Ở ='R và ƒ(z)= z? và g(z) =%Ÿ cho mọi

eR, thi h(z) =zŠ là ánh xạ tích go ƒ

Có những loại ánh xạ đặc biệt sau day

Định nghĩa 2.15 Cho trước hai tap hop A va B Một ánh sạ ƒ đượ gợi là toàn ánh từ A vào B nếu nó thỏa mãn điều kiện (kí hiệu là c)):

©) uới mỗi b € B tồn tại a € A sao cho f(a) =

Ví dụ Phãn phát hết kẹo trong túi cho các em bé sao cho em: bé nào cũng.có phần là một toàn ánh từ tập hợp kẹo vào tập hợp các em bé:

Định nghĩa 2.16 Cho trước hai tập hop A va B Một ánh zạ ƒ được dọi tà đơn

ánh từ A uào B, nếu nó se mãn điều kiện (kí hiệu là d)):

d) néu (ay) = f(a) thi ay =

Ví dụ Việc đánh số trang sách của một cuốn sách là một đơn ánh từ tập hợp các trang séch vào tập hợp các số tự nhiên,

Dinh nghĩa 2.17 Cho trước hai tập hợp A tà B Một ánh œạ được gọi la song énk tit A uào B, nếu nó đồng thời uừa là đơn ánh vừa là toàn ánh

'Tóm lại, một song ánh là một quan hệ của các tập hợp và thỏa miãn đồng thời 4 tính chất a), b), c) và đ)

Ví dụ Thiết lập mã số các sinh viên trong trường là lập một song ánh từ tập hợp các sinh viên với tập hợp mã số sinh viên Yêu cầu được đặt ra là mỗi sinh viên có một mã số riêng biệt

Ghi chú: Một ánh xạ được gọi là hàm số nếu # là một tập hợp số,

Ví dụ Hàm số ƒ với ƒ(z) = z? là một ánh xạ từ tập hợp số thực R vào chính nó Dinh nghĩa 2.18 Nếu ƒ là một song ánh từ A uào B, thì ánh zạ g được zây dựng

theo quụ tắc g(b) = a cho be B uới Ƒ(a) = b, được gọi là ánh zạ ngược của ánh œạ

ƒ, ký hiệu là ƒ~1

Trang 40

2 Tim miền giá trị và miền xác định của các hàm số sau: a) Hàm số gán mỗi số tự nhiên với chữ số đầu tiên của nó

b) Ham s6 gén mỗi số nguyên dương với số nguyên dương nhỏ nhất tiếp theo

nd š

c) Ham số gán mỗi số thực với số nguyên nhỏ nhất không bé hơn nó

$3: Xác định xem trong các ánh xạ từ tập hợp 4 = {a,0,c} vào chính nó, ánh xạ nào là đơn ánh, toàn ánh và song ánh:

6, f(b) =a, fe) = 6, f(b) = 6, F(C)

es F(b) = e,ƒ(e) a, f(b) =e fc)

4 Cho mot vi du vé anh xa tit tap hgp N vao chinh nó: a) Khong phải là đơn ánh cũng không phải là toàn ánh, b) Là toàn ánh nhưng không phải là đơn ánh

©) Là đơn ánh nhưng không phải là tồn ánh

4) Khơng phải là ánh xạ đồng nhất iđw, nhưng lại là song ánh

5 Cho trước các tập hợp 4, Ö, Ở và các ánh xạ ƒ : 4 —'B, g: B — Ơ Chứng

mình rằng:

a) Nếu cả ƒ và ø đều là đơn ánh thì tích go f cũng là đơn ánh b) Nếu cả ƒ và g đều là toàn ánh thì tích go ƒ cũng là toàn ánh c) Néu cả ƒ và ø đều là song ánh thì tích go f cũng là song ánh

6 Tìm go ƒ và ƒog với ƒ(g) = z2 + 1 và g(z) = z +2 là các hàm số từ R vào R 7 Chứng tổ rằng với a và b là các hằng số, a # 0, thì hàm số ƒ(z) = az + b là

một song ánh từ R vào R Hãy xác định ánh xạ ngược của nó 8 Hãy xác định xem hàm số (từ R vào R) nào sau đây là song ánh:

212

3) f(a) = 54%, b) fl) 22244,

0) fla) = 28, 4) f(a) =2 +7,

9, Xác định miền giá trị của các hàm số ƒ : A — R sau :

a) f(a) = [#3] và A= {-2,-1,0,1,2,3,4) ((a] 18 96 nguyên lớn nhất không

‘yugt qué a) #2 +12

Ngày đăng: 25/07/2022, 10:54

w