Giáo trình toán rời rạc công nghệ thông tin

CƠ SỞ LOGIC

Phép tính mệnh đề

Mệnh đề toán học là khái niệm cơ bản của toán học, không đƣợc định nghĩa mà chỉ đƣợc mô tả

Một mệnh đề chỉ có thể hoặc đúng, hoặc sai, không có mệnh đề vừa đúng, vừa sai

1 Hà nội là thủ đô của Việt Nam

4 Bây giờ là mấy giờ?

Câu 1,3 là mệnh đề đúng; câu 2 là mệnh đề sai

Câu 4 không phải là mệnh đề vì không xác định đƣợc đúng hay sai

Các mẫu tự như p, q, r thường được sử dụng để ký hiệu cho các mệnh đề và cũng được áp dụng để ký hiệu cho các biến logic, mà các biến này chỉ có thể nhận giá trị đúng hoặc sai.

Khi mệnh đề P đúng ta nói P có chân trị đúng

Khi mệnh đề P sai ta nói P có chân trị sai

Chân trị đúng ký hiệu 1, hoặc T

Chân trị sai ký hiệu 0, hay F

Khi có các mệnh đề, chúng ta sử dụng các phép toán mệnh đề để kết hợp chúng thành các mệnh đề phức hợp Các phép toán mệnh đề bao gồm:

Giáo trình Toán rời rạc trang 8

Phép toán Ký hiệu Ví dụ

Các phép toán logic được mô tả thông qua bảng chân trị, giúp xác định giá trị chân trị của mệnh đề phức hợp dựa trên các trường hợp khác nhau của giá trị chân trị từ các mệnh đề sơ cấp.

Tác dụng của bảng chân trị:

- Liệt kê sự liên hệ chân trị giữa mệnh đề phức hợp với chân trị của các mệnh đề sơ cấp cấu thành nó

- Liệt kê sự liên hệ chân trị giữa các mệnh với các mệnh đề đơn giản hơn cấu thành chúng

Cho p là một mệnh đề, chỳng ta dựng ký hiệu ơp để chỉ mệnh đề phủ định của mệnh đề p

Bảng chân trị phép phủ định: p p

Ký hiệu ơ đƣợc đọc là “khụng”, hoặc “phủ định”

Mệnh đề phủ định có giá trị đúng (1) khi mệnh đề p có giá trị sai (0), và ngược lại, mệnh đề phủ định có giá trị sai (0) khi p có giá trị đúng (1).

Cho p và q là hai mệnh đề

Ta ký hiệu mệnh đề “p và q” là p q

Bảng chân trị mệnh đề “ và ” p q p  q

Ta ký hiệu mệnh đề “p hoặc q” là p q

Bảng chân trị mệnh đề “hoặc ” p q p  q

Ta ký hiệu mệnh đề “p tuyển loại q” là p q

Bảng chân trị mệnh đề “ tuyển loại ” p q p  q

Phép kéo theo, ký hiệu , đƣợc dùng để mô hình cho phát biểu điều kiện có dạng

Cho p và q là hai mệnh đề, ký hiệu p ->q phát biểu:

Bảng chân trị mệnh đề “kéo theo ” p q p  q

Ví dụ: p= “abc là tam giác đều” q= “c 3 cạnh bằng nhau” p  q = “nếu abc là tam giác đều thì có 3 cạnh bằng nhau”

1.1.4.6 Phép toán kéo theo hai chiều

Phép kéo theo hai chiều, ký hiệu , đƣợc dùng để mô hình cho phát biểu điều kiện có dạng “…nếu chỉ nếu … “

Cho p và q là hai mệnh đề, ký hiệu p  q phát biểu “p nếu và chỉ nếu q” hay “p khi và chỉ khi q” hay “ p là điều kiện cần và đủ của q”

Bảng chân trị mệnh đề “nếu chỉ nếu ” p q P  q

Ví dụ: p= “abc là tam giác đều” q = “c 3 cạnh bằng nhau” p  q = “ abc là tam giác đều nếu chỉ nếu có 3 cạnh bằng nhau”

Các phép toán bít trong máy tính tương ứng với các liên từ logic Việc biểu diễn đúng bằng 1 và sai bằng 0 cho phép chúng ta xây dựng bảng chân trị cho các phép toán bit.

Để tính toán OR bit, AND bit và XOR bit giữa hai dãy bít 11011 và 10011, ta thực hiện phép toán trên từng cặp bit ở cùng vị trí Kết quả của phép toán OR, AND và XOR sẽ được xác định lần lượt cho từng cặp bit tương ứng.

Dạng mệnh đề

1.2.1 KHÁI NIỆM DẠNG MỆNH ĐỀ

Khái niệm: dạng mệnh đề là biểu thức cấu tạo từ :

-Các biến mệnh đề ( là các biến lấy giá trị là các mệnh đề)

-Các phép toán logic và dấu ( )

Vớ dụ: Biểu thức E(p,q) = ((ơp) ∨q) là biểu thức logic trong đ p, q là cỏc biến mệnh đề; ơ, ∨ là cỏc phộp toỏn logic nờn biểu thức trờn là 1 dạng mệnh đề

1.2.2 BẢNG CHÂN TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LOGIC

Bảng liệt kê chân trị là công cụ thể hiện các giá trị đúng sai của biểu thức logic dựa trên các trường hợp chân trị của tất cả các biến mệnh đề hoặc theo các bộ giá trị của các biến mệnh đề.

Vớ dụ: bảng chõn trị mệnh đề ơP˅Q p q ơp ơp˅q

Hai biểu thức logic E và F được coi là tương đương logic khi chúng có cùng chân trị trong mọi trường hợp của bộ biến mệnh đề Điều này có nghĩa là, cho bất kỳ giá trị nào của các biến mệnh đề, E và F sẽ luôn cho ra cùng một kết quả chân trị.

Khi đ ta viết: E ⇔Fđọc là “E tương đương logic với F”

Ta có thể kiểm tra xem 2 biểu thức logic c tương đương hay không bằng cách lập bảng chân trị của các biểu thức logic

1.2.4 BIỂU THỨC HẰNG ĐÚNG, BIỂU THỨC HẰNG SAI

Biểu thức logic E được xem là hằng đúng khi giá trị chân trị của E luôn bằng 1 (đúng) trong mọi tình huống của các biến mệnh đề trong biểu thức này.

Nói cách khác, E là một hằng đúng khi: E⇔1

Biểu thức logic E được xác định là hằng sai khi giá trị chân trị của nó luôn bằng 0 (sai) trong mọi tình huống của các biến mệnh đề có trong biểu thức E.

Nói cách khác, E là một hằng sai khi: E⇔0

Có thể kiểm tra một biểu thức logic có phải là hằng đúng (hằng sai) hay không bằng cách lập bảng chân trị của các biểu thức logic

-Giả sử E và F là 2 biểu thức logic Khi đ , E tương đương logic với F (tức là ta có E⇔ F) khi và chỉ khi biểu thức logic E↔ F là hằng đúng (tức là E↔F⇔1)

Với p,q,r là các biến mệnh đề, 1 là hằng đúng, 0 là hằng sai ta có các tương đương logic sau:

1.2.5.6 Luật phủ định của phủ định ơơp⇔p

1.2.5.7 Luật phủ định De Morgan ơ(p ʌ q) ⇔ ơp ˅ ơq ơ(p ˅ q) ⇔ ơp ʌ ơq ơ(p  q) ⇔ p ʌ ơq

1.2.5.8 Luật phản đảo p  q ⇔ ơq ơp

1.2.5.11 Luật phần tử bù p ʌ ơp ⇔ 0 p ˅ ơp ⇔ 1

1.2.6 CHỨNG MINH DẠNG MỆNH ĐỀ Để chứng minh dạng mệnh đề là hằng đúng, hằng sai, tương đương logic thực hiện một trong các cách:

-Sử dụng phép thay thế

Ví dụ: cho p, q, r là các biến mệnh đề, chứng minh:

Cách 2: biến đổi và dùng các luật logic

⇔ (p˅r) ˄(ơq˅r) (luật kộo theo, phủ định của phủ định)

Quy tắc suy diễn

Để suy ra các biểu thức logic mới hoặc tìm các biểu thức logic tương đương với một biểu thức logic đã cho, chúng ta có thể áp dụng những quy tắc sau đây.

Trong một biểu thức logic E, việc thay thế một biểu thức con bằng một biểu thức logic tương đương sẽ tạo ra một biểu thức mới E’ có tính chất tương đương với E.

Theo quy tắc 2, nếu biểu thức logic E được coi là một hằng đúng, việc thay thế biến mệnh đề p bằng bất kỳ biểu thức logic nào khác sẽ tạo ra một biểu thức logic mới E’ cũng là một hằng đúng.

- Hệ thống toán học bao gồm : tiên đề, định nghĩa và các khái niệm

- Định lý là một khẳng định đƣợc chứng minh là đúng

- Chứng minh gồm nhiều bước suy luận mà ở mỗi bước ta đi đến hoặc suy ra một khẳng định mới từ những khẳng định đã biết

- Lập luận chỉ ra tính đúng đắn của một mệnh đề phát biểu trong định l đƣợc gọi là một chứng minh

Trong toán học có nhiều phương pháp chứng minh khác nhau, nhưng thường thấy các chứng minh có dạng:

Nếu p1 và p2 và và pn thì q

Dạng lý luận nầy đƣợc xem là hợp l (đƣợc chấp nhận là đúng) khi ta c biểu thức (p1  p2   pn) → q là hằng đúng

Ta gọi dạng lý luận trên là một luật suy diễn

Người ta cũng thường viết luật suy diễn trên theo các cách sau đây:

Cách 1: Biểu thức hằng đúng

• Cách 3: Mô hình suy diễn p1 p2 pn

Trong đ pi là giả thiết (hay tiền đề), và biểu thức q đƣợc gọi là kết luận

1.3.2 CÁC QUY TẮC SUY DIỄN

1.3.2.1 Quy tắc suy diễn rút gọn (Rg):

B Đọc là “Nếu A và B đúng thì B đúng”

1.3.2.2 Quy tắc suy diễn cộng (Cg):

1.3.2.3 Quy tắc suy diễn khẳng định (Kđ)

1.3.2.4 Quy tắc suy diễn phủ định (Pđ)

1.3.2.5 Quy tắc suy diễn Tam đoạn luận (Tđl)

1.3.2.6 Quy tắc suy diễn Tam đoạn luận rời (Tđlr)

1.3.2.7 Quy tắc suy diễn theo trường hợp (Th)

1.3.2.8 Quy tắc suy diễn mâu thuẫn(Mt)

Ví dụ: Hãy chỉ ra suy luận sau là đúng:

Bình thích đi chơi, nên không học Toán rời rạc Hệ quả là Bình thi trượt môn Toán rời rạc.

• Đặt A là mệnh đề “Bình đi chơi”

• Đặt B là mệnh đề “Bình không học TRR”

• Đặt C là mệnh đề “Bình thi trƣợt TRR”

• vậy A → C (quy tắc suy diễn tam đoạn luận )

Nên Kết luận trên là đúng

• Kiểm tra suy luận sau: p → (q → r ) p ˅ s t → q ơs

8 ơr → ơt (7, luật phản đảo)

Vậy suy luận là đúng

Vị từ và lƣợng từ

1.4.1.1 Định nghĩa vị từ một biến

A là một tập hợp khác rỗng Giả sử, ứng với mỗi x = a  A ta có mệnh đề p(a) Khi đ , ta n i p = p(x) là một vị từ theo một biến( xác định trên A)

Khi đ ta c p(1), thay x= 1 phát biểu “ 1 > 2” là sai;

P(4), thay x= 4 phát biểu “ 4 > 2” là đúng;

Vậy p(x) = “x>2” với x  N là vị từ một biến xác định trên tập N

1.4.1.2 Định nghĩa vị từ tổng quát

Cho A1, A2, A3,… là n tập hợp khác rỗng Mỗi bộ (x1,x2,x3,…,xn) = (a1,a2,a3,…,an) thuộc A1*A2*A3*…*An sẽ dẫn đến mệnh đề p(a1,a2,a3,…,an) Khi đó, ta định nghĩa p = p(x1,x2,x3,…,xn) là một vị từ theo n biến, được xác định trên A1*A2*A3*…*An.

Xét p(x) = “x>2” là vị từ một biến xác định trên tập N

• Với x = 3,4,5,… ta đƣợc mệnh đề đúng p(3), p(4), p(5),…

• Với x = 0,1 ta đƣợc mệnh đề sai p(0), p(1)

Xét p(x,y) = “x 2 + y = 1” là vị từ hai biến xác định trên tập P 2

• Với (x,y)=(0,1) ta đƣợc mệnh đề đúng p(0,1)

• Với (x,y)=(1,1) ta đƣợc mệnh đề sai p(1,1)

1.4.1.4 Các phép toán trên vị từ:

Cho trước các vị từ p(x), q(x) theo một biến x  A Ta có:

• Phộp phủ định của vị từ p(x) ký hiệu ơp(x) là vị từ mà khi thay x bởi phần tử cố định của A ta đƣợc mệnh đề ơ p(a)

• Phép nối liền( nối rời, kéo theo, …) của p(x) và q(x) đƣợc ký hiệu p(x) ˄ q(x) , p(x) ˅ q(x), p(x) → q(x) là vị từ mà khi thay x bởi phần tử cố định của A ta đƣợc mệnh đề p(a) ˄ q(a), p(a) ˅ q(a), (p(a) → q(a)

1.4.2.1 Định nghĩa 1 p(x) là vị từ theo một biến xác định trên A Ta định nghĩa các mệnh đề lƣợng từ hóa nhƣ sau:

 Mệnh đề “với mọi x ∈ A, P(x)”, K hiệu “∀x ∈ A, P(x)” là mệnh đề đúng khi và chỉ khi P(a) luôn đúng với mọi giá trị a ∈ A

 Mệnh đề “tồn tại x ∈ A, P(x)”, K hiệu “x ∈ A, P(x)” là mệnh đề đúng khi và chỉ khi có ít nhất 1 giá trị a 0 sao cho P(a 0 ) đúng

Mệnh đề “∀x ∈ P, x 2 +3x+10

1.4.2.2 Định nghĩa 2 p(x,y) là vị từ theo 2 biến xác định trên A*B Ta định nghĩa các mệnh đề lƣợng từ h a nhƣ sau:

P(x) là vị từ theo 1 biến xác định trên A.Ta có:

Phủ định của mệnh đề lƣợng từ hóa từ vị từ P(x1,x2,…,xn) c đƣợc bằng cách thay lƣợng từ  thành  và ngƣợc lại; thay P(x1,x2,…,xn) thành ơ P(x1,x2,…,xn)

BÀI TẬP THỰC HÀNH SỐ 1

 Mã số bài tập : BT-ToanRR-01

 Hình thức nộp bài : Nộp qua Moodle môn học

 Nội dung : Chương 1: Cơ sở logic

1 Nếu Q có chân trị là T, hãy xác định chân trị của các biến mệnh đề P,

R, S nếu biểu thức mệnh đề sau cũng là đúng

2 Cho đoạn chương trình sau if (n > 5) then n = n + 2 ; if ((n + 2 = 8) or (n – 3 = 6)) then n = 2*n + 1 ; if ((n-3) and (n div 5=1)) then n = n + 3 ; if ((n21) and (n-7)) then n = n - 4 ; if ((n div 5 = 2) or (n+1 )) then n =n+1 ;

Ban đầu, biến nguyên n được gán trị là 7 Cần xác định giá trị của n trong hai trường hợp: a Sau mỗi câu lệnh, n sẽ được gán lại giá trị 7 b Sau tất cả các lệnh, giá trị của n sẽ được tính toán dựa trên kết quả của các câu lệnh trước đó.

3 Cho a và b là hai sốnguyên dương Biết rằng, trong 4 mệnh đề sau đây có 3 mệnh đề đúng và 1 mệnh đề sai Hãy tìm mọi cặp số(a, b) có thể có a a+1 chia hết cho b b a = 2b + 5 c a+b chia hết cho 3 d a+7 b là sốnguyên tố

4 Dùng cả 2 phương pháp, chứng minh rằng các biểu thức mệnh đề sau là hằng đúng a (P ∧ Q) → P b P → (ơ P → P) c P → ((Q → (P ∧ Q)) d ơ (P ∨ ơQ) → ơ P e ((P → Q) ∧ (Q → R)) → (P → R)

5 Dùng cả 2 phương pháp, sử dụng các công thức tương đương logic, xét xem biểu thức mệnh đề G có là hệ quả của F không ? a F = P ∧ (Q ∨ R) ; G = (P ∧ Q) ∨ R b F = (P → Q) ∧ (Q → R) ; G = P → (Q → R) c F = P ∧ Q; G = (ơP → Q) ∨ (P → ơQ)

6 Dùng cả 2 phương pháp, chứng minh các tương đương logic sau đây: a (P ∨ Q) ∧ ơ (ơP ∧ Q) ⇔ P b ơ(ơ((P ∨ Q) ∧ R) ∨ ơQ) ⇔ Q ∧ R c ((P ∨ Q) ∧ (P ∨ ơQ)) ∨ Q ⇔P ∨ Q d ơ(P ∨ Q) ∨ ((ơP ∧ Q) ∨ơQ) ⇔ơ(Q ∧ P) e (P → Q) ∧ (ơQ ∧ (R ∨ ơQ)) ⇔ơ ( Q ∨ P)

7 Cho P(x,y) là câu “x là thành phố của y” Hãy xác định giá trị chân lý của các mệnh đề sau: a P(Viên Chăn, Lào) b P(Hà Nội, Việt Nam) c P(Hà Nội, USA) d P(Bắc Kinh, Trung Quốc)

8 Cho P(x, y) là mệnh đề chứa biến: “x đã học học phần y” Với x

∈ X: tập hợp các sinh viên trong lớp, y ∈ Y: tập các học phần phải học trong kỳnày Hãy diễn đạt các mệnh đề sau: a ∃x ∃y P(x,y) b ∀x ∃y P(x,y) c ∃x∀ y ơP(x,y) d ∃x ∀y P(x,y) e ∀x∃y) ơP(x,y) f ∀x ∀y P(x,y) g ơ(∃x∀y P( x, y)) h ∀y ∃x P(x,y) i ∃y ∀x P(x,y)

9 Dùng lượng từ diễn đạt các câu nói sau, phủ định chúng rồi dịch các phủ định này trở lại câu thông thường: a Mọi người ai cũng thích môn toán rời rạc b Có một người chưa bao giờ nhìn thấy chiếc máy tính c Có một người đã học tất cảcác môn toán d Chƣa c ai đã nhìn thấy chiếc máy tính lƣợng tử e Có một lớp học mà mọi người trong đ đều giỏi môn toán f Trong mọi lớp học đều có một học sinh không học giỏi môn toán

10 Cho đoạn chương trình sau : if n-m = 5 then n = n-2 ; if ((2*m=n) and (n div 4 =1) then n = 4*m - 3 ; if ((n0) and (t=3)) ;

Với mỗi cách gán giá trị biến như sau, hãy xác định trong trường hợp nào thì vòng lặp kết thúc a x= 7, y= 2, w= 5, t= 3 b x= 0, y= 2, w= -3, t= 3 c x= 0, y= -1, w= 1, t= 3 d x= 1, y= -1, w= 1, t= 3

12 Dùng cả 2 phương pháp, chứng minh các tương đương logic sau đây: a P ∨ (P ∧ (P ∨ Q) ⇔ P b P ∨ Q ∨ (ơP ∧ ơQ ∧ R) ⇔P ∨ Q ∨ R c ((ơP ∨ ơQ) → (P ∧ Q ∧ R ) ⇔ P ∧ Q d P ∧ ((ơQ →(R ∧ R)) ∨ ơ(Q ∨ (R ∧ S) ∨ (R ∧ ơS))) ⇔ P e (P ∨ Q ∨ R) ∧ (P ∨ S ∨ ơQ) ∧ (P ∨ ơS ∨ R) ⇔P ∨(R ∧ (S ∨ ơQ)

13 Cho F(x,y) là mệnh đề chứa biến “x có thể lừa gạt y” trên tập X là tập con người trên thế gian này Hãy diễn tả các câu sau dùng lượng từ: a Mọi người ai cũng c thể lừa gạt tôi b Tôi không thể lừa gạt tất cả mọi người

Trong giáo trình Toán rời rạc, trang 22, có những quan điểm thú vị về sự lừa gạt: Không ai có thể lừa gạt tất cả mọi người, và ngay cả một cá nhân cũng không thể bị lừa gạt Hơn nữa, điều quan trọng là không ai có thể lừa gạt chính bản thân mình.

QUAN HỆ

Định nghĩa

Cho A, B là tập khác rỗng, quan hệ 2 ngôi từ tập A đến tập B là tập con của tích

Chúng ta sẽ viết aRb thay cho (a,b)  R

Quan hệ từ A đến chính nó gọi là quan hệ trên A

Tổng quát hơn, ta c thể định nghĩa một quan hệ giữa các tập hợp A1, A2, , An là một tập hợp con của A1 x A2 x x An (tích Descartes của các tập hợp A1, A2, , An)

Nhƣ vậy, khi R là một quan hệ giữa các tập A1, A2, , An thì mỗi phần tử của R là một bộ n (a1, a2, , an) với a i  A i ( i = 1,2, ,n)

Tính chất quan hệ

Quan hệ R trên A gọi là phản xạ nếu và chỉ nếu:

Ví dụ: Tập A={1,2,3,4}, quan hệ:

• R1={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1),(3,3), (4,4)} phản xạ  a  A ta luôn có (a,a)  R1

Quan hệ R trên A gọi là đối xứng nếu và chỉ nếu:

• R1={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} không đối xứng vì (4,3) không thuộc R1

• R2={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,3), (4,4)} đối xứng vì a,b  A ta đều có (a,b) và (b,a) thuộc R2

Quan hệ R trên A gọi là phản xứng nếu và chỉ nếu:

• R1={(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} không phản xứng vì (1,2), (2,1) thuộc R1, nhƣng 1 ≠ 2

• Quan hệ R trên A gọi là bắc cầu nếu và chỉ nếu:

• R1={(1,1), (1,2), (2,3), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} không bắc cầu vì (1,2), (2,3) thuộc R1, nhƣng (1,3) không thuộc R1

Biểu diễn quan hệ

Cho R là quan hệ từ A={a 1 , a 2 ,…a n } đến B={b 1 ,b 2 ,…,b m } ma trận biểu diễn R là ma trận cấp n*m, M R =[m ij ] xác định bởi :

Cho R là quan hệ từ A={1,2,3,4} đến B={x,y,z}:

• R có thể biểu diễn dưới dạng ma trận như sau: x y z

Quan hệ tương đương

Định nghĩa : Quan hệ R trên tập A gọi là tương đương nếu có tính chất phản xạ, đối xứng, bắt cầu

Quan hệ thứ tự

Định nghĩa quan hệ thứ tự: Quan hệ R trên tập A gọi là thứ tự nếu có tính chất phản xạ, phản xứng, bắt cầu

• Phản xạ  a  A ta luôn có (a,a)  R1

• Đối xứng vì  a,b  A, ta luôn có (a,b), (b,a)  R1

• Không phản xứng vì (1,2), (2,1)  R1, nhƣng 1 ≠ 2

• Bắc cầu vì  a,b,c  A, ta luôn có (a,b), (b,c), (a,c)  R1

Vậy quan hệ R1 trên A là qua hệ tương d8u7o7ng vì c tính phản xạ, đối xứng, bắc cầu

 Nội dung : Chương 2: Quan hệ

1 Trong các quan hệ sau, hãy cho biết quan hệ nào có tính phản xạ, đối xứng, phản xứng, bắt cầu a Quan hệ R trên Z : xRy = x + y chẳn b Quan hệ R trên Z : xRy = x - y lẻ c Quan hệ R trên Z : xRy = x 2 + y 2 chẳn d A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và

R = {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (4, 5), (5, 4),(5, 5), (6, 6)} e Quan hệ trên tập người: {(a, b)|a, b cùng tuổi} f Quan hệ trên tập người {(a, b)|a, b có cùng ba, mẹ} g Quan hệ trên tập người {(a, b)|a, b nói cùng 1 thứ tiếng}

2 Xét một tập A = {1, 2, 3, 4, 6, 9}, định nghiã quan hệ R trên A như sau

R = {(x, y) |x − y là bội số của 3} a Liệt kê các phần tử của R b R có là quan hệ tương đương trên A không? c R có là quan hệ thứ tự trên A không?

3 Cho tập X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} và quan hệ hai ngôi R xác định trên X như sau:  x  X,  y  X, xRy  (x+y) ÷ 2 (ký hiệu ÷ diễn tả ý “chia hết cho”) a Tập R có những phần tử nào? b Quan hệ hai ngôi R có tính chất gì? c R có là quan hệ tương đương trên X?

4 Cho các quan hệ trên tập A={1,2,3,4} sau Xét tính phản xạ, phản xứng, đối xứng, bắc cầu: a  1 = {(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,3),(3,4)} b  2 = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,3),(4,4)} c  3 = {(2,4),(4,2)} d 4= {(1,2),(2,3),(3,4)} e  5 = {(1,1),(2,2),(3,3),(4,4)} f  6 = {(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,4)}

5 Xét tập A = {1;2;3} Trong số các quan hệ dưới đây, hãy cho biết quan hệ nào là không phản xạ, không đối xứng, không bắc cầu a R={(1;1),(1;2),(1;3),(3;3)}

Giáo trình Toán rời rạc trang 27 b S={(1;1),(1;2),(2;1),(2;2),(3,3)} c T={(1;1),(1;2),(2;2),(2;3)}

6 Cho quan hệ  trên tập các số nguyên Xác định tính phản xạ, đối xứng, phản xứng, bắc cầu với (x,y)  khi và chỉ khi: a xy b x*y1 c x=y+1 hay x=y-1 d x và y cùng là số dương hoặc cùng là số âm e x=y 2 f xy 2 g x=y (mod 7)

Kiểm tra  là có là quan hệ tương đương?

 có phải là quan hệ tương đương trên A={1,2,3} không? Trên B={1,3} không?

9 Cho A={1,2,3,4, , 14,15} và  là một quan hệ trên A được xác định bởi (a,b) (c,d)  a+d = b+c Chứng minh  là một quan hệ tương đương

10 Kiểm chứng  là một quan hệ thứ tự trên tập hợp S a S={2,3,4,5,6,7,8,9,10}, x,yS: xy  [xy và (x-y) chẵn] hoặc [x lẻ và y chẵn] b S={2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20} xS, y S: xy  x|y c S={2, 3, 4, 6, 8, 16, 24, 32, 48, 96} xS, y S: xy  x|y d S={2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20} xS, y S: xy  x|

PHÉP ĐẾM

Phép đếm

Tập hợp A được coi là hữu hạn nếu tồn tại một số nguyên dương n và một song ánh f từ A vào {1, 2, , n} Khi đó, A có n phần tử, và phép đếm tập hợp A được thực hiện thông qua song ánh f: A → {1, 2, , n}.

Tập hợp rỗng có số phần tử là 0, và cũng đƣợc xem là tập hữu hạn Sốphần tửcủa một tập hợp hữu hạn A đƣợc ký hiệu là | A |

Nếu tập hợp A không hữu hạn, ta nói A là một tập vô hạn và viết| A | = ∞

Cho A và B là các tập hợp hữu hạn Giả sử tồn tại đơn ánh từ A vào B Khi ấy ta có:

Nguyên lý cộng

Cho A và B là 2 tập hợp hữu hạn rời nhau, nghĩa là A ∩B = ∅ Khi ấy ta có:

Nếu A1, A2, , An là các tập hợp hữu hạn và rời nhau, tức là phần giao giữa bất kỳ hai tập hợp nào trong số n tập hợp là rỗng, thì số phần tử của phần hội của các tập hợp này bằng tổng số phần tử trong từng tập hợp.

Trong trường hợp đối với hai tập hợp hữu hạn A và B tùy ý thì ta có:

Tính chất nầy có thể mở rộng cho trường hợp đối với n tập hợp tùy ý A 1 , A 2 , , A n Nhƣ sau:| A 1 ∪ A 2 ∪ ∪A n | = Σ 1≤r≤n | Ar | - Σ 1≤r2) Nếu mỗi đỉnh của G đều có bậc không nhỏ hơn n/2 thì G là đồ thị Hamilton

Giả sử G = (V, E) là một đồ thị có hướng và liên thông mạnh với n đỉnh Nếu mọi đỉnh trong G đều có bán bậc ra và bán bậc vào không nhỏ hơn n/2, thì G được xác định là đồ thị Hamilton.

 Giả sử G = (V, E) là đồ thị có hướng và đầy đủ Khi đ trong đồ thị luôn luôn tồn tại đường Hamilton

 Hệ quả: Giả sử G = (V, E) là đồ thị đầy đủ với số đỉnh 3 Khi đ trong đồ thị luôn luôn tồn tại chu trình Hamilton

5.2.4 THUẬT TOÁN TÌM ĐƯỜNG CHU TRÌNH HAMILTON Đến nay, việc tìm tiêu chuẩn để nhận biết đồ thị Hamilton vẫn là mở và cũng chƣa có thuật toán hiệu quả để kiểm tra một đồ thị có là Hamilton hay không

 Quy tắc để tìm đường/ chu trình Hamilton:

 Qui tắc 1: Lấy hết các cạnh kề với đỉnh bậc 2

 Qui tắc 2: Không cho phát sinh chu trình ít hơn n cạnh

 Qui tắc 3: Nếu đã lấy hai cạnh kề với đỉnh x thì có thể bỏ tất cả các cạnh còn lại kề với x

 Qui tắc 4: Duy trì tính liên thông và bảo đảm bậc mỗi đỉnh luôn lớn hơn hay bằng 2

 Bắt đầu từ một đỉnh, đi theo đường dài nhất có thể được (depth-first)

 Nếu đường đ chứa mọi đỉnh và có thể nối hai đỉnh đầu và cuối bằng 1 cạnh thì đ là chu trình hamilton

 Ngược lại, lùi lại một đỉnh để mở con đường theo chiều sâu khác

 Cứ tiếp tục quá trình trên cho đến khi duyệt hết các đỉnh của đồ thị

Ví dụ: Tìm chu trình/đường Hamilton cho đồ thị sau:

Duyệt theo chiều sâu ta có cây sau:

Các Chu trình Hamilton c trong đồ thị:

Các đường Hamilton c trong đồ thị:

 Nội dung : Chương 5: Đồ thị EULER và đồ thị HAMILTON

1 Đồ thị nào sau đây c chu trình Euler Xây dựng chu trình Euler nếu tồn tại

2 Hãy xác định xem trong các đồ thị bài tập 1 c đường đi Euler không Hãy xây dựng đường Euler nếu có

3 Hãy xác định số lần nhỏ nhất cần phải nâng bút khỏi giấy khi vẽ các đồ thị trong bài tập 1 mà không đƣợc vẽ lại bất kỳ phần nào của đồ thị

4 Đồ thị nào sau đây c chu trình/đường Euler Xây dựng chu trình/đường Euler nếu tồn tại

5 Tìm các giá trị sau của n để các đồ thị sau có chu trình Euler? a Kn b Cn c Wn

6 Với giá trị nào của n thì các đồ thị trong bài tập 4 c đường Euler mà không có chu trình Euler?

7 Với giá rị nào của m,n thì đồ thị hai phía đầy đủ Km,n có : a Chu trình Euler b Đường Euler

8 Hãy nêu các thuật toán xây dựng đường đi/chu trình Euler trong đồ thị vô hướng / c hướng

9 Cho các đồ thị sau đồ thị nào tồn tại chu trình Hamilton Nếu không tồn tại hãy chỉ ra yếu tố nào chứng tỏ không tồn tại chu trình Hamilton trong đồ thị:

10 Các đồ thị trong bài tập 9 có tồn tại đường Hamilton không? Hãy xây dựng đường Hamilton nếu có

11 Với giá trị nào của n để các đồ thị sau có chu trình Hamilton? a Kn b Cn c Wn

12 Với giá trị nào của m,n thì đồ thị hai phía đầy đủ Km,n có Chu trình Hamilton?

13 Ngoài 7 chiếc cầu đã xây dựng từ thế kỷ 18 ở Kaliningrad, người ta xây dựng thêm hai chiếc cầu nữa nối khu B với khu C và khu B với khu D Một người nào đ c thể đi qua 9 chiếc cấu, mỗi chiếc đi qua đúng một lần, và trở về nơi xuất phát đƣợc không?

CHƯƠNG 6 MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƯU TRÊN ĐỒ THỊ

Học xong chương này sinh viên c thể:

- Trình bày và giải quyết bài toán tìm đường đi ngắn nhất

- Trình bày và giải quyết bài toán cây khung tối tiểu

6.1 ĐỒ THỊ CÓ TRỌNG SỐ VÀ BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT

Nhiều bài toán thực tiễn có thể được mô hình hóa thông qua đồ thị có trọng số Đồ thị này bao gồm các cạnh, mỗi cạnh được gán một trọng số dưới dạng số nguyên hoặc số thực.

Để mô hình hóa hệ thống đường hàng không, ta có thể biểu diễn mỗi thành phố dưới dạng một đỉnh trong đồ thị Mỗi chuyến bay sẽ là một cạnh nối hai đỉnh tương ứng, với trọng số thể hiện phí hành khách phải trả cho chuyến bay đó.

Yêu cầu đặt ra là hành trình nào giữa hai thành phố Honolulu (a) và Heathrow London (b) có chi phí nhỏ nhất?

6.1.1.1 Đồ thị có trọng số: Đồ thị G = (V, E) Đồ thị G = (V,E) gọi là đồ thị có trọng số (hay chiều dài, trọng lƣợng) nếu mỗi cạnh(cung) e đƣợc gán với một số thực w(e).Ta gọi w(e) là trọng lƣợng của e Độ dài của đường đi từ u đếnvbằng tổng độ dài các cạnh mà đường đi qua

Khoảng cách giữa 2 đỉnh u,v là độ dài ngắn nhất của các đường đi từ u đến v

Cho G = (V, E), V = {v 1 , v 2 ,…,v n } là đơn đồ thị có trọng số

Ma trận trọng số của G là ma trận D= (a ij ) xác định nhƣ sau:

6.1.2.1 Ý tưởng thuật toán Bellman-Ford

Thuật toán Ford-Bellman là một phương pháp hiệu quả để tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnh s đến tất cả các đỉnh khác trong đồ thị Thuật toán này đặc biệt thích hợp cho các đồ thị không có chu trình âm, giúp tối ưu hóa quá trình tìm kiếm đường đi.

Cho đồ thị c hướng, có trọng số G = (V, E) Trọng số của các cạnh của G được tính nhƣ sau:

Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất d(v) từ đỉnh s đến đỉnh v, v ∈V:

 Xét cạnh (u,v) Nếu d(u) + TrongSo(u, v) < d(v)thì ta thay d(v) = d(u) + TrongSo(u, v)

 Quá trình này sẽ đƣợc lặp lại cho đến khi không thể có giá trị d(v) tốt hơn

Tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh 1 đến đỉnh 5 trong đồ thị sau:

Trong giáo trình Toán rời rạc, trang 71 đề cập đến đồ thị liên thông mạnh mà không có chu trình âm Bằng cách áp dụng thuật toán Bellman-Ford, đường đi ngắn nhất từ đỉnh 1 đến đỉnh 5 được xác định là 1 → 2 → 3 → 5, với trọng số tổng cộng là -1.

Thuật toán Dijkstra là phương pháp hiệu quả để tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnh nguồn s đến tất cả các đỉnh khác trong đồ thị Thuật toán này chỉ áp dụng cho các đồ thị không có cung trọng số âm, giúp đảm bảo tính chính xác trong việc xác định khoảng cách ngắn nhất.

Phương pháp xác định tuần tự các đỉnh có khoảng cách đến u 0 từ nhỏ đến lớn

 Bước 1: Đỉnh có khoảng cách nhỏ nhất đến u 0 là u 0

 Bước 2: Trong V\{u 0 } tìm đỉnh có khoảng cách đến u0 nhỏ nhất ( đỉnh này phải là một trong các đỉnh kề với u 0 )_ giả sử là u 1

 Bước 3:Trong V\{u 0 , u 1 } tìm đỉnh có khoảng cách đến u0 nhỏ nhất ( đỉnh này phải là một trong các đỉnh kề với u 0 , u 1 )

 Bước 4:lặp lại bước 3 cho đến khi V\{u0,u1,…}=

Hãy tím đường đi ngắn nhất từ 0 đến đỉnh 1 trong đồ thị sau:

4 2  3,3 6,4 2,0 5,0 Đường đi ngắn nhất từ 0 đến 1 là: 031 với trọng số là 3

Một cây khung (spanning tree) T của một đồ thị liên thông G là đồ thị con của G thoả:

 T chứa tất cả các đỉnh của G

Đồ thị có trọng số Cho G bao gồm các cạnh e với trọng số w(e) dương Trong đồ thị này, cây khung tối thiểu (minimum spanning tree) là cây khung có tổng trọng số các cạnh nhỏ nhất.

Cây khung tối tiểu T = {AE, AB, BD, BC} với w(T) = 2 + 4 + 3 + 6 = 15

1 Xóa các khuyên trong G (nếu có)

2 Xóa cạnh song song trong G (giữ lại cạnh có trọng số nhỏ nhất) (nếu có)

4 Đƣa vào T cạnh có w(e) nhỏ nhất trong số các cạnh chƣa chọn sao cho T không tạo thành chu trình

5 Nếu T c đủ n – 1 cạnh thì dừng Còn không thì tiếp tục bước 2

5 T = {AE, BD, AB, BC} là cây MST với trọng số 15

2 Thêm vào T cạnh có w(e) nhỏ nhất nối một đỉnh x trong X và một đỉnh y ngoài

X sao cho T không thành chu trình a X = X + {y}; T = T + {xy}

3 Nếu X đủ n đỉnh thì dừng Còn không thì tiếp tục bước 2

5 X = {A, E, B, D, C}; T = {AE, AB, BD, BC} là cây MST với trọng số 15

 Nội dung : Chương 6: Một số bài toán tối ưu trên đồ thị

1/ Sử dụng thuật toán Dijstra và Ford-Bellman st az? az?

Giáo trình Toán rời rạc trang 76 f c? fg? s…

Giáo trình Toán rời rạc trang 77 1…

Giáo trình Toán rời rạc trang 78 2/Dùng thuậ t toậ n Prim, Kruskậl tì m cậ y khung to i thiể u cu ậ cậ c đo thi trể n.

Tiêu đề	Giáo trình Toán rời rạc
Tác giả	Lâm Thị Phương Thảo, Ngô Minh Anh Thư
Trường học	Cao đẳng Công nghệ Thủ Đức
Chuyên ngành	Công nghệ thông tin
Thể loại	giáo trình

Định dạng
Số trang	79
Dung lượng	2,83 MB