Giáo trình toán rời rạc công nghệ thông tin

TUYÊN BỐ BẢN QUYỀN Tài liệu thuộc loại sách giáo trình nên nguồn thơng tin đƣợc phép dùng nguyên trích dùng cho mục đích đào tạo tham khảo Mọi mục đích khác mang tính lệch lạc sử dụng với mục đích kinh doanh thiếu lành mạnh bị nghiêm cấm LỜI GIỚI THIỆU Quyển giáo trình đƣợc biên soạn dựa theo đề cƣơng mơn học “Tốn rời rạc” Khoa Công nghệ thông tin Trƣờng Cao đẳng Công nghệ Thủ Đức để làm tài liệu tham khảo Do lần biên soạn giáo trình tham khảo cho mơn học theo hƣớng hồn tồn nên khơng tránh khỏi sai sót nội dung lẫn hình thức, nhóm biên soạn mong nhận đợc g p chân thành từ qu thầy em sinh viên để giáo trình hồn thiện … , ngày…tháng năm…… Tham gia biên soạn Lâm Thị Phƣơng Thảo Ngô Minh Anh Thƣ Giáo trình Tốn rời rạc trang GIÁO TRÌNH HỌC PHẦN Tên học phần: TOÁN RỜI RẠC Mã học phần: CSC106041 Vị trí, tính chất, ý nghĩa vai trị học phần: - Vị trí: Học phần đƣợc giảng dạy vào học kỳ thứ khóa học Tính chất: Học phần cung cấp cho sinh viên kiến thức sở logic, quan hệ, nguyên l đếm, lý thuyết đồ thị Ý nghĩa vai trò học phần: Học phần giúp sinh viên hiếu vận dụng số kiến thức vế toán lý thuyết đồ thị để hổ trợ kiến thức cho môn học chuyên ngành Mục tiêu học phần: - - - Về kiến thức:  Trình bày đƣợc kiến thức sở logic, quan hệ, nguyên l đếm, lý thuyết đồ thị Về kỹ năng:  Vận dụng đƣợc kiến thức nguyên l đếm để giải số toán đếm  Vận dụng đƣợc kiến thức lý thuyết đồ thị để giải số toán tối ƣu Về lực tự chủ trách nhiệm:  Thƣờng xun chủ động tìm hiểu vấn đề  Ln chủ động làm tập nhà, nộp qui định phƣơng pháp giao tiếp điện tử  Thuyết trình đƣợc báo cáo theo chủ đề dựa số tiêu chí cho trƣớc Giáo trình Toán rời rạc trang MỤC LỤC Chƣơng CƠ SỞ LOGIC Mục tiêu: Nội dung: 1.1 Phép tính mệnh đề 1.1.1 Khái niệm mệnh đề 1.1.2 Ký hiệu 1.1.3 Chân trị 1.1.4 Phép toán mệnh đề 1.2 Dạng mệnh đề 11 1.2.1 Khái niệm dạng mệnh đề 11 1.2.2 Bảng chân trị biểu thức logic 11 1.2.3 Sự tƣơng đƣơng logic 11 1.2.4 Biểu thức đúng, biểu thức sai 11 1.2.5 Các luật logic 12 1.2.6 Chứng minh dạng mệnh đề 13 1.3 Quy tắc suy diễn 14 1.3.1 Khái niệm 14 1.3.2 Các quy tắc suy diễn 15 1.4 Vị từ lƣợng từ 17 1.4.1 Vị từ 17 1.4.2 Lƣợng từ 18 BÀI TẬP THỰC HÀNH SỐ 19 Chƣơng QUAN HỆ 23 Mục tiêu: 23 Nội dung: 23 2.1 Định nghĩa 23 2.2 Tính chất quan hệ 23 2.2.1 Tính chất phản xạ 23 2.2.2 Tính đối xứng 23 2.2.3 Tính phản xứng 24 2.2.4 Tính bắc cầu 24 2.3 Biểu diễn quan hệ 24 2.3.1 Định nghĩa 24 2.3.2 Ví dụ 24 2.4 Quan hệ tƣơng đƣơng 24 Giáo trình Tốn rời rạc trang 2.5 Quan hệ thứ tự 25 BÀI TẬP THỰC HÀNH SỐ 26 Chƣơng PHÉP ĐẾM 28 Mục tiêu: 28 Nội dung: 28 3.1 Phép đếm 28 3.1.1 Định nghĩa 28 3.1.2 Tính chất 28 3.2 Nguyên lý cộng 28 3.2.1 Mệnh đề 28 3.2.2 Nguyên lý cộng 28 3.3 Nguyên lý nhân 29 3.3.1 Mệnh đề: 29 3.3.2 Ví dụ: 29 3.4 Nguyên lý Dirichlet tổng quát 30 3.4.1 Mệnh đề 30 3.4.2 Ví dụ 30 3.5 Chỉnh hợp 30 3.5.1 Định nghĩa 30 3.5.2 Công thức chỉnh hợp 30 3.5.3 Ví dụ 31 3.6 Tổ hợp 31 3.6.1 Định nghĩa 31 3.6.2 Công thức Tổ hợp 31 3.6.3 Ví dụ: 31 BÀI TẬP THỰC HÀNH SỐ 33 Chƣơng ĐỒ THỊ 35 Mục tiêu: 35 Nội dung: 35 4.1 Định nghĩa 35 4.1.1 Đồ thị vô hƣớng 36 4.1.2 Đơn đồ thị vô hƣớng 36 4.1.3 Đa đồ thị vô hƣớng 36 4.1.4 Giả đồ thị 36 4.1.5 Đa đồ thị c hƣớng 37 4.1.6 Đồ thị c hƣớng 37 4.2 Bậc đỉnh 37 Giáo trình Tốn rời rạc trang 4.2.1 Khái niệm 37 4.2.2 Định lý 38 4.3 Biểu diễn đồ thị 39 4.3.1 Biểu diễn ma trận kề 39 4.3.2 Biểu diễn ma trận trọng số 40 4.4 đẳng cấu đồ thị 40 4.4.1 Định nghĩa 40 4.4.2 Ví dụ 41 4.5 Đồ thị 43 4.5.1 Định nghĩa 43 4.5.2 Ví dụ 43 4.6 Tính liên thơng 43 4.6.1 Định nghĩa đƣờng đi, chu trình 43 4.6.2 Định nghĩa tính liên thơng 44 4.6.3 Thành phần liên thông 45 4.6.4 đỉnh khớp (đỉnh cắt) cạnh cầu 45 4.7 Một số dạng đồ thị đặt biệt: 46 4.7.1 Đồ thị đầy đủ(complete graph) 46 4.7.2 Đồ thị vòng (cycles) 47 4.7.3 Đồ thị bánh xe (n-wheels) 47 4.7.4 Đồ thị siêu khối (n-cubes) 48 4.7.5 Đồ thị hai phía (bipartite graph) 48 Chƣơng ĐỒ THỊ EULER VÀ HAMILTON 56 Mục tiêu: 56 Nội dung: 56 5.1 Đƣờng Euler đồ thị Euler 56 5.1.1 Định nghĩa 56 5.1.2 Định lý 57 5.1.3 Định lý 58 5.1.4 Định lý 58 5.1.5 Định lý 59 5.1.6 Thuật tốn tìm chu trình Euler 59 5.1.7 Thuật toán Fleury 60 5.2 Đƣờng Hamilton đồ thị Hamilton 62 5.2.1 chu trình Hamilton 62 5.2.2 đƣờng Hamilton 62 5.2.3 Định lý Dirak 63 Giáo trình Tốn rời rạc trang 5.2.4 thuật tốn tìm đƣờng chu trình hamilton 63 Chƣơng MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƢU TRÊN ĐỒ THỊError! Bookmark not defined Mục tiêu: Error! Bookmark not defined Nội dung: Error! Bookmark not defined 6.1 Đồ thị có trọng số tốn đƣờng ngắn nhấtError! Bookmark not defined 6.1.1 Giới thiệu Error! Bookmark not defined 6.1.2 Thuật toán Bellman-ford Error! Bookmark not defined 6.1.3 Thuật toán Dijkstra Error! Bookmark not defined 6.2 Cây khung nhỏ Error! Bookmark not defined 6.2.1 Định nghĩa khung Error! Bookmark not defined 6.2.2 Thuật toán K.ruskal Error! Bookmark not defined 6.2.3 Thuật toán Primm Error! Bookmark not defined BÀI TẬP THỰC HÀNH SỐ Error! Bookmark not defined Tài liệu tham khảo 79 Giáo trình Toán rời rạc trang CHƢƠNG CƠ SỞ LOGIC Mục tiêu: Học xong chƣơng sinh viên c thể: -Trình bày đƣợc kiến thức về: Phép tính mệnh đề Dạng mệnh đề Quy tắc suy diễn Vị từ lƣợng từ -Vận dụng vào tốn thực tiễn mơn học Nội dung: 1.1 PHÉP TÍNH MỆNH ĐỀ 1.1.1 KHÁI NIỆM MỆNH ĐỀ Mệnh đề toán học khái niệm toán học, không đƣợc định nghĩa mà đƣợc mô tả Một mệnh đề đúng, sai, khơng có mệnh đề vừa đúng, vừa sai Ví dụ: Hà nội thủ đô Việt Nam 2+2 = 3 1+5 = Bây giờ? Câu 1,3 mệnh đề đúng; câu mệnh đề sai Câu mệnh đề khơng xác định đƣợc hay sai 1.1.2 KÝ HIỆU Thƣờng dùng mẫu tự(nhƣ p, q, r, ) để ký hiệu cho mệnh đề, chúng đƣợc dùng để ký hiệu cho biến logic, tức biến lấy giá trị sai Ví dụ: p = “x = 0” q = “x = x q phát biểu: “nếu p q” hay “p kéo theo q” Bảng chân trị mệnh đề “kéo theo ” p q p  q Giáo trình Tốn rời rạc trang 1 1 0 1 Ví dụ: p= “abc tam giác đều” q= “c cạnh nhau” p  q = “nếu abc tam giác có cạnh nhau” 1.1.4.6 Phép toán kéo theo hai chiều Phép kéo theo hai chiều, ký hiệu , đƣợc dùng để mơ hình cho phát biểu điều kiện có dạng “…nếu … “ Cho p q hai mệnh đề, ký hiệu p  q phát biểu “p q” hay “p q” hay “ p điều kiện cần đủ q” Bảng chân trị mệnh đề “nếu ” p q P  q 1 0 1 0 Ví dụ: p= “abc tam giác đều” q = “c cạnh nhau” p  q = “ abc tam giác nếu có cạnh nhau” Lƣu : Các phép tốn bít máy tính tƣơng ứng với liên từ logic Bắng cách biểu diễn 1, sai ta có bảng chân trị pháp toán bit 1 1 0  0  1  1 Ví dụ: Ta có dãy bít 11011 10011 Để tính OR bit, AND bit XOR bit xâu ta lần lƣợt OR bit, AND bit XOR cặp bit vi trí với OR bit 11011 10011 11011 Giáo trình Tốn rời rạc trang 10 BÀI TẬP THỰC HÀNH SỐ V Thông tin chung:  Mã số tập : BT-ToanRR-05  Hình thức nộp : Nộp qua Moodle mơn học  Thời hạn nộp : … / … / ……  Nội dung : Chƣơng 5: Đồ thị EULER đồ thị HAMILTON BÀI TẬP Ở LỚP Đồ thị sau c chu trình Euler Xây dựng chu trình Euler tồn Giáo trình Tốn rời rạc A B C D E F trang 65 G H Hãy xác định xem đồ thị tập c đƣờng Euler không Hãy xây dựng đƣờng Euler có Hãy xác định số lần nhỏ cần phải nâng bút khỏi giấy vẽ đồ thị tập mà không đƣợc vẽ lại phần đồ thị Đồ thị sau c chu trình/đƣờng Euler Xây dựng chu trình/đƣờng Euler tồn I J K L Giáo trình Tốn rời rạc trang 66 M N Tìm giá trị sau n để đồ thị sau có chu trình Euler? a Kn b Cn c Wn Với giá trị n đồ thị tập c đƣờng Euler mà khơng có chu trình Euler? Với giá rị m,n đồ thị hai phía đầy đủ Km,n có : a Chu trình Euler b Đƣờng Euler Hãy nêu thuật toán xây dựng đƣờng đi/chu trình Euler đồ thị vơ hƣớng / c hƣớng Cho đồ thị sau đồ thị tồn chu trình Hamilton Nếu khơng tồn yếu tố chứng tỏ không tồn chu trình Hamilton đồ thị: Q Giáo trình Toán rời rạc R trang 67 S T U V BÀI TẬP Ở NHÀ 10 Các đồ thị tập có tồn đƣờng Hamilton khơng? Hãy xây dựng đƣờng Hamilton có 11 Với giá trị n để đồ thị sau có chu trình Hamilton? a Kn b Cn c Wn 12 Với giá trị m,n đồ thị hai phía đầy đủ Km,n có Chu trình Hamilton? 13 Ngồi cầu xây dựng từ kỷ 18 Kaliningrad, ngƣời ta xây dựng thêm hai cầu nối khu B với khu C khu B với khu D Một ngƣời đ c thể qua cấu, qua lần, trở nơi xuất phát đƣợc khơng? Giáo trình Tốn rời rạc trang 68 CHƢƠNG MỘT SỐ BÀI TOÁN TỐI ƢU TRÊN ĐỒ THỊ Mục tiêu: Học xong chƣơng sinh viên c thể: - Trình bày giải tốn tìm đƣờng ngắn - Trình bày giải toán khung tối tiểu Nội dung: 6.1 ĐỒ THỊ CÓ TRỌNG SỐ VÀ BÀI TOÁN ĐƢỜNG ĐI NGẮN NHẤT 6.1.1 GIỚI THIỆU Nhiều tốn thực tế mơ hình hóa đồ thị có trọng số Đ đồ thị mà cạnh n đƣợc gán số nguyên số thực gọi trọng số cạnh đ Giả sử ta cần mơ hình hóa hệ thống đƣờng hàng khơng Trong mơ hình thành phố đƣợc biểu diễn đỉnh đồ thị, chuyến bay cạnh nối hai đỉnh tƣơng ứng với trọng số phí hành khách phải trả cho chuyến bay Yêu cầu đặt hành trình hai thành phố Honolulu (a) Heathrow London (b) có chi phí nhỏ nhất? 6.1.1.1 Đồ thị có trọng số: Đồ thị G = (V, E) Đồ thị G = (V,E) gọi đồ thị có trọng số (hay chiều dài, trọng lƣợng) cạnh(cung) e đƣợc gán với số thực w(e).Ta gọi w(e) trọng lƣợng e Độ dài đƣờng từ u đếnvbằng tổng độ dài cạnh mà đƣờng qua Khoảng cách đỉnh u,v độ dài ngắn đƣờng từ u đến v Giáo trình Tốn rời rạc trang 69 Cho G = (V, E), V = {v1, v2,…,vn} đơn đồ thị có trọng số Ma trận trọng số G ma trận D= (aij) xác định nhƣ sau: { ( ) ( ( ) ) ∈ Ví dụ: 6.1.2 THUẬT TỐN BELLMAN-FORD 6.1.2.1 Ý tưởng thuật toán Bellman-Ford Thuật toán Ford-Bellman dùng để tìm đƣờng ngắn từ đỉnh s đến tất đỉnh lại đồ thị Đƣợc sử dụng cho đồ thị khơng có chu trình âm Cho đồ thị c hƣớng, có trọng số G = (V, E) Trọng số cạnh G đƣợc tính nhƣ sau:  TrongSo(u, v) = ∞ cung (u, v) ∉ E  TrongSo(u, v) = a(u, v) cung (u, v) ∈ E Thuật tốn tìm đƣờng ngắn d(v) từ đỉnh s đến đỉnh v, v ∈ V:  Xét cạnh (u,v) Nếu d(u) + TrongSo(u, v) < d(v)thì ta thay d(v) = d(u) + TrongSo(u, v)  Quá trình đƣợc lặp lại khơng thể có giá trị d(v) tốt 6.1.2.2 Ví dụ Tìm đƣờng ngắn từ đỉnh đến đỉnh đồ thị sau: Giáo trình Tốn rời rạc trang 70 Đồ thị liên thơng mạnh khơng có chu trình âm Áp dụng thuật toán BellmanFord Đƣờng ngắn từ đến là: 1235 với trọng số -1 6.1.3 THUẬT TỐN DIJKSTRA Thuật tốn Dijkstra dùng để tìm đƣờng ngắn từ đỉnh s đến tất đỉnh lại đồ thị Đƣợc sử dụng cho đồ thị khơng có cung trọng số âm 6.1.3.1 Ý tưởngThuật toán Dijkstra Phƣơng pháp xác định đỉnh có khoảng cách đến u0 từ nhỏ đến lớn  Bƣớc 1: Đỉnh có khoảng cách nhỏ đến u0 u0  Bƣớc 2: Trong V\{u0} tìm đỉnh có khoảng cách đến u0 nhỏ ( đỉnh phải đỉnh kề với u0)_ giả sử u1  Bƣớc 3:Trong V\{u0, u1} tìm đỉnh có khoảng cách đến u0 nhỏ ( đỉnh phải đỉnh kề với u0, u1)  Bƣớc 4:lặp lại bƣớc V\{u0,u1,…}= 6.1.3.2 Ví dụ Hãy tím đƣờng ngắn từ đến đỉnh đồ thị sau: Giáo trình Toán rời rạc trang 71 Bước Đỉn h chọn Khởi tạo D[1 D[2 D[3 D[4 V-s ], ], ], ], pre[1] pre[2] pre[3] pre[4] 1,2,3 ,0 9,0 1,2,4 3,3 9,0 5,0 2,4 7,1 5,0 6,4  ,4 3,3 6,4 2,0 2,0 5,0 5,0 Đƣờng ngắn từ đến là: 031 với trọng số 6.2 CÂY KHUNG NHỎ NHẤT 6.2.1 ĐỊNH NGHĨA CÂY KHUNG Một khung (spanning tree) T đồ thị liên thông G đồ thị G thoả:  T  T chứa tất đỉnh G Cho G đồ thị có trọng số, cạnh e có trọng số w(e) dƣơng Tồn khung có tổng trọng số cạnh nhỏ khung tối tiểu (minimum spanning tree) Giáo trình Tốn rời rạc trang 72 Cây khung tối tiểu T = {AE, AB, BD, BC} với w(T) = + + + = 15 6.2.2 THUẬT TỐN K.RUSKAL 6.2.2.1 Ý tưởng thuật tốn: Xóa khuyên G (nếu có) Xóa cạnh song song G (giữ lại cạnh có trọng số nhỏ nhất) (nếu có) Đặt T =  Đƣa vào T cạnh có w(e) nhỏ số cạnh chƣa chọn cho T không tạo thành chu trình Nếu T c đủ n – cạnh dừng Cịn khơng tiếp tục bƣớc 6.2.2.2 Ví dụ T =  T = {AE} T = {AE, BD} T = {AE, BD, AB} T = {AE, BD, AB, BC} MST với trọng số 15 Giáo trình Tốn rời rạc trang 73 6.2.3 THUẬT TOÁN PRIMM 6.2.3.1 Ý tưởng thuật toán: X = {x0} T =  Thêm vào T cạnh có w(e) nhỏ nối đỉnh x X đỉnh y X cho T khơng thành chu trình a X = X + {y}; T = T + {xy} Nếu X đủ n đỉnh dừng Cịn khơng tiếp tục bƣớc 6.2.3.2 Ví dụ: X = {A}; T =  X = {A, E}; T = {AE} X = {A, E, B}; T = {AE, AB} X = {A, E, B, D}; T = {AE, AB, BD} X = {A, E, B, D, C}; T = {AE, AB, BD, BC} MST với trọng số 15 Giáo trình Tốn rời rạc trang 74 BÀI TẬP THỰC HÀNH SỐ I Thông tin chung:  Mã số tập : BT-ToanRR-06  Hình thức nộp : Nộp qua Moodle môn học  Thời hạn nộp : … / … / ……  Nội dung : Chƣơng 6: Một số toán tối ƣu đồ thị BÀI TẬP 1/ Sử dụng thuật tốn Dijstra Ford-Bellman st az? az? Giáo trình Tốn rời rạc trang 75 f c? fg? s… Giáo trình Tốn rời rạc trang 76 1… U… Giáo trình Tốn rời rạc trang 77 2/Dùng thuật toận Prim, Kruskậl tìm cậy khung toi thiểu cuậ cậc đo thi Giáo trình Tốn rời rạc trang 78 Tài liệu tham khảo [1] Toán học rời rạc ứng dụng tin học Kenneth H.Rosen (sách dịch), NXB Khoa học kỹ thuật 2003, 980 trang [2] Toán rời rạc ứng dụng Tin học, Đỗ Đức Giáo, Nhà xuất Giáo dục, 2009, 407 trang Giáo trình Tốn rời rạc trang 79 ... cần quan tâm thứ tự đỉnh Vậy số tam giác c đƣợc Giáo trình Tốn rời rạc trang 31 Giáo trình Tốn rời rạc trang 32 BÀI TẬP THỰC HÀNH SỐ III Thông tin chung:  Mã số tập : BT-ToanRR-03  Hình thức... Mỗi cạnh G có đỉnh thuộc tập X đỉnh thuộc tập Y Giáo trình Tốn rời rạc trang 48 Giáo trình Tốn rời rạc trang 49 BÀI TẬP THỰC HÀNH SỐ IV Thông tin chung:  Mã số tập : BT-ToanRR-04  Hình thức... luận sau đúng: Bình chơi Bình khơng học Tốn rời rạc Bình khơng học Tốn rời rạc Bình thi trƣợt Tốn rời rạc Mà Bình thích chơi Vậy Bình thi trƣợt Tốn rời rạc • Đặt A mệnh đề “Bình chơi” • Đặt B mệnh