CHỦ ĐỀ 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Timgiasuhanoi com Trung tâm Gia sư tại Hà Nội 0987 109 591 1 ĐỀ CƯƠNG ÔN TẬP TOÁN 12 CHỦ ĐỀ 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦ.
Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 ĐỀ CƯƠNG ƠN TẬP TỐN 12 CHỦ ĐỀ 1: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ Vấn đề 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ: 1.Các bước khảo sát hàm số: ax b Hàm số bậc ba: y ax3 bx cx d Hàm số y c 0, ad bc 0 cx d Hàm số bậc bốn: y ax bx c + TXĐ : D = R d + TXĐ : D = R\ + Tìm y’ c + Giải PT : y’ = ( Nếu có) ad bc + y’= (>0 0 y y’ = có nghiệm phân biệt – 3ac > a0 a 0 y x ax b (c 0, ad bc 0) : cx d d Tập xác định D = R \ c a d Đồ thị có tiệm cận đứng x tiệm cận ngang y Giao điểm c c hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị hàm số Các dạng đồ thị: c Hàm số biến y y y 0 x ad – bc > x ad – bc < ax bx c (a.a ' 0, tử không chia hết cho mẫu) : d.(NCao) Hàm số hữu tỷ y a' x b' -2- Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 b' Tập xác định D = R \ a' Đồ thị có tiệm cận đứng x b' tiệm cận xiên Giao điểm hai tiệm a' cận tâm đối xứng đồ thị hàm số Các dạng đồ thị: a.a > a.a < y = có nghiệm phân biệt y y Y = vô nghiệm x x Baøi Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: a) y x 3x x b) y x 3x 3x x3 x2 d) y ( x 1) (4 x ) e) y 3 Baøi Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: c) y x 3x f) y x 3x x a) y x x b) y x x x4 3x c) y 2 d) y ( x 1)2 ( x 1)2 e) y x x f) y 2 x x 4 Baøi Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: x 1 2x b) y x2 x 1 1 2x 3x d) y e) y 1 2x x 3 Baøi Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: a) y a) y x2 x x 1 x 1 Baøi Vẽ đồ thị hàm số: d) y x a) y x x 3 x x4 x 2 f) y 2x c) y b) y x2 x x 1 c) y x2 x x 1 e) y x2 1 x f) y x2 2x x 1 b) y x 3x -3- c) y x x Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 d) y x 1 x 1 e) y x2 x x 1 f) y x 3x x2 Vấn đề 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN Bài tốn: Viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C): y = f(x) * Tại M(x0,y0)(C) + Tìm y’ + Tính hệ số góc f’(x0) (thay x0 vào y’) + Áp dụng công thức : y = f’(x0)(x – x0) + y0 * Biết hệ số góc k + Giải pt: f’(x0) = k Hoành độ tiếp điểm x0 + Thế x0 vào pt (C) y0=f(x0) +PTTT có dạng y = f’(x0) (x – x0) + y0 Chú ý: 1, PTTT song song đường thẳng y = kx + b f '( x0 ) k x0 y0 K.luận PTTT vng góc đường thẳng y = kx + b f '( x0 ).k 1 x0 y0 K.luận * QuaM(x1,y1) (nâng cao) + Đường thẳng d quaM(x1,y1) có hệ số góc k: d: y = k(x-x1) +y1(*) + ĐKTX : f ( x ) k ( x x ) y (1) 1 (2) k f '( x ) (Thế vào tìm x => k=> pttt) Bài tập: x2 giao điểm với trục hoành x 1 Cho hàm số y = x4 x2 có đồ thị ( C ) Viết phương trình tiếp tuyến ( C) : a Tại giao điểm ( C ) trục tung b Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 24 x -1 c Tại x0 cho f ''( x0 ) Cho (C) : y = x3 – 6x2 - 9x – 1.Viết phương trình tiếp tuyến (C) : a Tại điểm uốn (C) b.Tại điểm có tung độ -1 c.Song song với đường thẳng d1 : y = 6x – d.Vng góc với đường thẳng d2 : x - 21y = x2 Cho (C) : y = Viết phương trình tiếp tuyến (C): x2 a Tại giao điểm (C ) với trục Ox b.Song song với đường thẳng d1 : y = 4x – c.Vng góc với đường thẳng d2: y = -x d.Qua giao điểm hai tiệm cận Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) (nâng cao) a y = x3 – 3x - qua điểm A(1 ; 0) 3 b y = x 3x qua điểm A(0 ; ) 2 Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = -4- Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 x2 qua điểm A(-6 ; 5) x2 x 4x d y = qua điểm A(2 ; 1) x2 Cho (C ) : y x3 3x Tìm điểm đường thẳng y =2 mà từ kẻ tiếp tuyến đến (C) x 1 Cho (C ) : y Tìm điểm M (C ) cho tiếp tuyến tạo với hai tiệm x 1 cận tam giác có chi vi nhỏ Vấn đề 3: Vị trí tương đối đường cong(chủ yếu đ thẳng đcong khảo sát) Giao điểm hai đồ thị Hòanh độ giao điểm cùa hai đường cong y = f(x) y = g(x) nghiệm phương trình: f(x) = g(x) (1) Do đó, số nghiệm phân biệt (1) số giao điểm hai đường cong Sự tiếp xúc hai đường cong Hai đường cong y = f(x) y = g(x) tiếp xúc hệ phương trình f ( x) g ( x) có nghiệm f ' ( x) g ' ( x) Nghiệm hòanh độ tiếp điểm c y = BÀI TẬP Tìm tọa độ giao điểm hai đồ thị: a y = x3 - 4x2 - 4x - y = x - b y = x3 - 3x2 - y = 2x - c y = x3 – 3x y = x2 - x – d y = x4 - 4x2 – y = x2 - 2 Tìm m để đồ thị hàm số y = (x – 1)(x - mx – m) cắt trục hịanh ba điểm phân biệt Tìm m để đồ thị hàm số y = x x m cắt trục hòanh ba điểm phân biệt Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2(m – 1)x2 - 2m - khơng cắt trục hịanh Tìm m để đồ thị hàm số y = x4 – 2x2 – (m – 3) cắt trục hòanh điểm phân biệt 2x Tìm m để đt y = mx - 2m - cắt đồ thị hàm số y = Tại hai điểm phân biệt x 1 x 3x Tìm m để đthẳng y = mx - m - cắt đồ thị hàm số y = hai điểm PB x 1 x2 Tìm m để (d) qua điểm A( -1 ; -1) có hsg m cắt đồ thị hs y= điểm pb 2x x 2x Chứng minh (P) : y = x -3x – tiếp xúc với (C) : y= x 1 x2 m 10 Tìm m cho (Cm) : y = tiếp xúc với đường thẳng y = -x - x 1 11.Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: a) (C1 ) : y x3 (3 m) x mx 2; (C2 ) : trục hoành b) (C1 ) : y x x x 1; (C2 ) : y x m 12.Tìm m để hai đường (C1), (C2) tiếp xúc nhau: a) (C1 ) : y x x 1; (C2 ) : y 2mx m b) (C1 ) : y x x 1; (C2 ) : y x m c) (C1 ) : y (2m 1) x m2 ; (C2 ) : y x x 1 -5- Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 d) (C1 ) : y x2 x ; (C2 ) : y x m x 1 Vấn đề : BIỆN LUẬN SỐ NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẰNG ĐỒ THỊ Bài toán: Dựa vào đồ thị ( C) hàm số y =f(x) , Biện luận số nghiệm phương trình : F(x , m ) = ( với m tham số ) Cách giải : Chuyển phương trình : F(x , m ) = dạng : f(x) = h(m) (*) Số nghiệm phương trình (*) số giao điểm ( C) đường thẳng (d) : y= h (m) Dựa vào đồ thị (C ) , ta có kết : Nếu (d) (C ) có n giao điểm (*) có n nghiệm đơn Nếu (d) (C ) có giao điểm (*) vô nghiệm Nếu (d) (C ) tiếp xúc với m điểm (*) có m nghiệm kép BÀI TẬP Cho hàm số : y x x a.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b.Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm phương trình x x m c.Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết có hệ số góc 24 d Tìm tọa độ giao điểm đồ thị hàm số (P) : y x Cho hàm số y = - x3 + 3x2 – a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) b Dùng đồ thị (C) , biện lận số nghiệm phương trình :– x3 + 3x2 – = m m c Tìm m để PT : x3 – 3x2 + = có nghiệm Cho hàm số : y x x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Tìm m để pt x x m có nghiệm phân biệt 2x x 1 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b Biện luận số nghiệm PT (m 2) x m Cho hàm số : (C ) : y Vấn đề 5: TÌM GÍA TRỊ LỚN NHẤT – GÍA TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ Bài tốn: Tìm giátrị lớn – giá trị nhỏ hàm số y= f (x) Đoạn [a;b ] Khoảng (a ; b ) Tính y’ Giải PT y’ = Lập bảng biến thiên (a ; b ) Kết luận : max y yCD Tính y’ Giải pt y’ = tìm nghiệm x1, x2….[a; b] Tính y (x1 )… , y(a) , y (b) Chọn số lớn M , kết luận : max y M a ;b a ;b Chọn số nhỏ m , kết luận : y m y yCT a ;b a ;b Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: a) y x x d) y x x b) y x 3x e) y c) y x x x 1 x2 2x -6- f) y 2x2 4x x2 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 x2 x h) y ( x 0) x x2 x Baøi Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: g) y x i) y x4 x2 x3 x a) y x 3x 12 x [–1; 5] b) y 3x x [–2; 3] c) y x x [–3; 2] d) y x x [–2; 2] ( x 0) x 1 [0; 4] x 1 x x2 h) y [0; 1] x x2 3x [0; 2] x 3 x2 7x g) y [0; 2] x2 f) y e) y i) y 100 x [–6; 8] k) y x x Bài Tìm GTLN, GTNN hàm số sau: 2sin x a) y b) y c) y 2sin2 x cos x sin x cos x cos x d) y cos2 x 2sin x e) y sin3 x cos3 x g) y x x x x f) y x2 x4 x2 h) y x x x x Bài Tìm GTLN- GTNN củahàm số sau tập tương ứng : 11 y x3 3x2 [-2;-1/2] ; [1,3) 13 y 2s inx- sin x Vấn đề 6: đoạn [0,π] 12 y x x 14 y 2cos2x+4sinx 0; 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ: Qui tắc 1: Dùng định lí Tìm f (x) Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà đạo hàm khơng có đạo hàm Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi Qui tắc 2: Dùng định lí Tính f (x) Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …) Tính f (x) f (xi) (i = 1, 2, …) Nếu f (xi) < hàm số đạt cực đại xi Nếu f (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi Bài 1: Cho hàm số y x4 2mx 2m a) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số m=1/3 b) Tìm m để hàm số đạt cực đại x = -1 Bài 2: Định m để hàm số y x3 mx (m2 m 1) x đạt cực tiểu x=1 Bài 3: Cho hàm số y f ( x) x3 3x 3mx+3m-4 a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị b) Chứng minh tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc lớn tất tiếp tuyến đồ thị hàm số -7- Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Bài 4: Cho hàm số y x 3(m 1) x 6mx 2m a)Khảo sát hàm số m=1 gọi đồ thị (C) Chứng tỏ trục hoành tiếp tuyến (C) b) Xác định m để hàm số có cực trị, tính tọa độ hai điểm cực trị ,viết phương trình đường thẳng qua điểm cực trị 1 Bài 5: Cho hàm số y f ( x) mx3 (m 1)x 3(m 2)x+ 3 a) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị b) Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu x1 , x2 thỏa x1 x2 c) Tìm m để hàm số có cực đại , cực tiểu xCD xCT d) Tìm m để hàm số có cực đại x = Bài 6: y f ( x) x -2(m+1)x 2m 1(Cm ) a) Tìm m để hàm số có cực trị b) Tìm m để hàm số có cực trị tạo thành tam giác vng(tam giác đều, tam giác có diện tích 4) Vấn đề 7: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ: Tìm điều kiện để hàm số ln đồng biến nghịch biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) Cho hàm số y f ( x, m) , m tham số, có tập xác định D Hàm số f đồng biến D y 0, x D Hàm số f nghịch biến D y 0, x D Từ suy điều kiện m Chú ý: 1) y = xảy số hữu hạn điểm 2) Nếu y ' ax bx c thì: a b c y ' 0, x R a a b c y ' 0, x R a 3) Định lí dấu tam thức bậc hai g( x ) ax bx c : Nếu < g(x) ln dấu với a b ) 2a Nếu > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu với a, ngồi khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a Nếu = g(x) ln dấu với a (trừ x = Bài Tìm m để hàm số sau đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác định) nó: a) y x 3mx (m 2)x m b) y mx xm Bài Tìm m để hàm số: d) y e) y x mx 2x c) y xm xm x 2mx xm f) y x 2mx 3m2 x 2m a) y x3 3x mx m nghịch biến khoảng có độ dài -8- Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 1 b) y x mx 2mx 3m nghịch biến khoảng có độ dài 3 c) y x (m 1) x (m 3) x đồng biến khoảng có độ dài Bài 3: Cho hàm số : y x3 (m 1) x (2m2 3m 2) x a Tìm m để hsố đồng biến R b Định m để hàm số đồng biến ( 2, ) 1 Bài 4: Cho hàm số: y mx3 (m 1) x 3(m 2) x 3 a Tìm m để hsố đồng biến R b Định m để hàm số đồng biến khoảng ( 2, ) Bài 5: Cho hàm số: y x3 (a 1) x (a 3) x a Tìm m để hsố nghịch biến R b Định m để hàm số đồng biến khoảng (0,3) x (1 m) x m Bài 6: Cho hàm số : y xm Định m để hàm số đồng biến Trong khoảng ( 1, ) mx x x2 Định m để hàm số nghịch biến x Bài 7: Cho hàm số : y -9- Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 CHỦ ĐỀ : PHƯƠNG TRÌNH BPT MŨ VÀ LOGARIT I- LŨY THỪA Định nghĩa luỹ thừa Số mũ Luỹ thừa a Cơ số a a an a.a a (n thừa số a) a a 1 a a n n a n N* 0 aR a0 n ( n N * ) a0 m (m Z , n N * ) n lim rn (rn Q, n N * ) a0 a a n a m ( n a b b n a) a0 a lim a rn m n Tính chất luỹ thừa Với a > 0, b > ta coù: a a a ; a a a a > : a a ; Với < a < b ta có: ; (a ) a ; (ab) a b a a ; b b < a < : a a am bm m ; am bm m Chú ý: + Khi xét luỹ thừa với số mũ số mũ nguyên âm số a phải khác + Khi xét luỹ thừa với số mũ khơng ngun số a phải dương Định nghĩa tính chất thức Căn bậc n a số b cho bn a Với a, b 0, m, n N*, p, q Z ta có: n ab n a n b ; Neáu n a na (b 0) ; b nb n p q n m a p aq (a 0) ; Đặc biệt n m Nếu n số nguyên dương lẻ a < b n p a p n a (a 0) ; n a mn mn a mn a am anb Nếu n số nguyên dương chẵn < a < b Chú ý: n anb + Khi n lẻ, số thực a có bậc n Kí hiệu n a + Khi n chẵn, số thực dương a có hai bậc n hai số đối Công thức lãi kép Gọi A số tiền gửi, r lãi suất kì, N số kì Số tiền thu (cả vốn lẫn lãi) là: C A(1 r )N II- LOGARIT: Định nghĩa Với a > 0, a 1, b > ta có: loga b a b a 0, a Chú ý: loga b có nghĩa b lg b log b log10 b Logarit thập phân: n 1 Logarit tự nhiên (logarit Nepe): ln b loge b (với e lim 2,718281 ) n - 10 - Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 D MẶT TRÒN XOAY HÌNH TRỤ HÌNH NĨN B A h R S O h h2 R h R A B' O' O A' * Diện tích xung quanh * Diện tích xung quanh Sxq 2 Rl Sxq Rl * Diện tích tồn phần * Diện tích tồn phần Stp 2 Rl 2 R2 Stp Rl R2 * Thể Tích Khối trụ * Thể Tích Khối trụ V(T ) R2 h V( N ) R2 h Ví dụ 1: Cho hình trụ có bán kính R = a, mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo thiết diện có diện tích 6a2 Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ Giải * Mặt phẳng qua trục cắt hình trụ theo hình chữ nhật S = R 6a2 6a 3a 2R * Diện tích xung quanh : Sxq 2 Rl 2 a.3a 6 a2 * Thể tích khối trụ : V(T ) R2 h a2 3a 3 a3 Ví dụ 2: Cho hình nón,mặt phẳng qua trục cắt hình nón tạo thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón Giải * Mặt phẳng qua trục cắt hình nón tạo tam giác cạnh 2a 2R 2a h R2 (2a)2 a2 a * Diện tích xung quanh : Sxq Rl a.2a 2 a2 * Thể tích khối trụ : V(T ) R2 h 31 a2 a 3 a3 3 B Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Cho khối chóp S.ABCD có AB = a, gọi O tâm đáy, SAO 600 1.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 2.Tính diện tích xung quanh hình nón đỉnh S, đáy đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD Giải 1) Vì S.ABCD nên SO ( ABCD) Ta có : S ABCD a ; Ví dụ 3: SOA vng O có : SO AO tan SAO VS.ABCD a a a tan 600 3 2 1 a a3 SABCD SO a 3 (đvtt) S A D O B C 2.Gọi l,r đường sinh,bán kính đáy hình nón Ta có : r OA a ; 2 a 6 a 2 3a a l SA SO AO a 2 2 2 a a a (đvdt) Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a, góc SAC 45o a) Tính thể tích khối chóp b) Tính diện tích xung quanh mặt nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Giải Sxq rl Ví dụ 4: a) Gọi O tâm hình vng ABCD SO (ABCD) V B.h, B a2 ; h SO OA.tan 450 a a3 V (đvtt) 32 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 b) Ta có R =OA, l =SA= a Vậy Sxq a a2 a 2 Ví dụ 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có tất cạnh a a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ b) Tính diện tích mặt trụ trịn xoay ngoại tiếp hình trụ a) Ta có V B.h , B diện tích đáy lăng trụ, h chiều cao lăng trụ Vì tam giác ABC đều, có cạnh a nên B SABC a2 a3 (đvtt) b) Diện tích xung quanh mặt trụ tính theo cơng thức Sxq 2 R.l h = AA’ = a V R bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC a a , l =AA’ =a 3 R Vậy diện tích cần tìm Sxq 2 Ví dụ 6: a a2 (đvdt) a 2 3 Một hình nón có đường sinh 2a thiết diện qua trục tam giác vng a) Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình nón b) Tính thể tích khối nón Giải S a) Thiết diện qua trục tam giác SAB vuông cân S nên A = B = 450 SO = OA = h=R= a Sxq = R .a 2.2a 2a =2a Stp = Sxq + Sđáy = 2 a2 2 a2 (2 2) a2 45 2 2a3 A O b) V = R h 2a a 3 Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA = a o SA vng góc với đáy Gọi I trung điểm SC a) Tính thể tích khối chóp I.ABCD b) Tính thể tích khối nón ngoại tiếp S khối chóp I.ABCD ( khối nón có đỉnh I đáy hình trịn ngoại tiếp hình vng ABCD) SA a a) Ta có IO (ABCD) IO I 2 A D B 33 O C B Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 Thể tích VI ABCD a3 S ABCD IO b) Ta có khối nón có h = IO = a AC a 2 1 a a a R h 3 2 12 Bán kính hình trịn đáy R = OA Vậy V( N ) Bài Tập Về Mặt Tròn Xoay Bài 26 Một hình trụ có khoảng cách hai đáy 7a Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục đoạn d = 3a theo thiết diện có diện tích S=56a2 Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ Bài 27 Thiết diện qua trục hình nón tam giác vng cân có cạnh huyền a Tính thể tích khối nón diện tích xquanh hình nón đă cho Bài 28 Cho hình nón trịn xoay có đường cao h=a, bán kính đáy r=1,5a Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón cho theo a Bài 29 Cho tam giác ABC vng cân A,có BC=20 (cm) Hình nón tṛịn xoay quay đường gấp khúc CBA xung quanh trục đường thẳng chứa cạnh AB Tính Diện tích xung quanh hình nón Thể tích khối nón Bài 30 Cho hình lập phương ABCD.A' B'C ' D' có cạnh a Gọi O tâm hình vng ABCD a) Tính thể tích hình chóp O A' B'C ' b) Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón có đỉnh O đáy hình tṛịn nội tiếp hình vng A' B'C ' D' Bài 31 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a có SA vng góc với đáy SA = AC a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Khi quay tam giác SAB quanh trục SA tạo hình nón Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón Bài 32 Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên 2a Gọi I trung điểm BC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC S.ABI theo a b) Một hình nón có đỉnh trùng với đỉnh hình chóp đáy hình trịn ngoại tiếp đa giác đáy hình chóp Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón 34 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 CHỦ ĐỀ : PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Dạng I TOẠ ĐỘ CỦA ĐIỂM VÀ CỦA VÉC TƠ: x x' a b y y' z z' y z a, b ; y' z' Trong KG Oxyz cho a ( x, y, z ) , b ( x' , y ' , z ' ) a b ( x x' ; y y ' ; z z ' ) a b ( x x' ; y y ' ; z z ' ) k.a (kx; ky ; kz) , k R a x2 y2 z a b z ' x' ; x x' y y ' AB xB x A ; yB y A ; z B z A a b x : x' y : y' z : z ' cos x Trong KG Oxyz AxA ; y A ; z A , BxB ; yB ; zB a.b xx' yy ' zz' a.b z xB xA 2 yB y A 2 zB z A 2 AB xx ' yy ' zz' x y z x' y ' z ' M a b xx' yy ' zz' làtđiểm: xM x A xB y y z z ; yM A B ; z M A B ; 2 Ví dụ Cho ba vectơ a (1;2; 4) , b (5;2;3) , c (1;1;2) a) Tính toạ độ vectơ d 2a 3b c b) Tính a b Ví dụ Cho a (1;2;3) b (5; 1;0) Xác định vectơ c cho c a c b Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz cho điểm A(1,1,1) , B(1,- 6, 0) , C(0,-2,2) , D(-2,0,0) a Chứng minh điểm B,C,D đỉnh tam giác, Tính diện tích BCD , Từ tính độ dài đường cao BCD kẻ từ D b Tìm tọa độ điểm E để BCDE hình bình hành Tính diện tích hình bình hành nàyvà tính thể tích khối chóp A.BCDE c Tính góc ACD góc cặp cạnh đối diện tứ diện ABCD Dạng PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU : * PTCT : S tâm I a, b, c , bán kính R có PT : x a y b z c R 2 * PTTQ : x2 y z 2ax 2by 2cz d (3) với a2 b2 c2 d Tâm I a; b; c bán kính R a b2 c d Ví dụ1: Tìm tâm bán kính mặt cầu có PT: a x y z x y z b x2 y z x y c x2 y z 8x z Ví dụ2: Lập phương trình mặt cầu a Tâm I(2;2;-3) bá kính R=3 b Qua A(3;1;0); B(5;5;0) tâm nằm Ox c Qua điểm A(1;4;0);B(-4;0;0); C(-2;-2;0) D(1;1;6) d Đường kính AB với A(1;-3;5); B(-3; 4; -3) Dạng PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Phương trình mặt phẳng 35 (1) Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 * PTTQ : Ax + By +Cz + D= với n ( A, B, C ) PVT * Cách xác định mặt phẳng : + Qua M(x0,y0,z0) điểm có pháp véc tơ n ( A, B, C ) A(x- x0) + (y – y0) + C(z – z0) = 0ø + Qua M(x0,y0,z0) có cặp véc tơ phương a (a1 , a2 , a3 ) b (b1 , b2 , b3 ) + Qua điểm A, B, C Có pháp véc tơ n [ AB, AC ] *n [a, b] (a2b3 a3b2 , a3b1 a1b3 , a1b a2b1 ) *(a2b3 a3b2 )( x x0 ) (a3b1 a1b3 )( y y0 ) (a1b a2b1 )( z z0 ) x y z 1 a b c + PT Đoạn chắn A(a,0,0); B(0,b,0); C(0,0,c) : Vị trí tương đối mặt phẳng 1 : A1 x B1 y C1 z D1 Cho MP : A2 x B2 y C2 z D2 (1) (2) - 1 caét A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2 n1 k n2 n k n2 - D1 kD2 A B C D n k n2 - // A2 B2 C D2 D1 kD2 : - Góc 2mp cos n1 n2 n1 n2 A1 A2 B1 B2 C1C A1 B1 C1 A2 B2 C 2 2 2 - 2mp vng góc : A1 A2 B1 B2 C1C2 Khoảng cách từ điểm đến MP Khoảng cách từ điểm M x0 ; y0 ; z đến mặt phẳng () :Ax - By - Cz - D = d M ; Ax By Cz D A2 B C Ví dụ 1: Viết PTTQ mp a Đi qua điểm M 1;2;3 song song với mặt phẳng : x y z b Mặt phẳng trung trực : A2;3;4, B4;1;0 c Qua điểm : A 1;2;3, B2;4;3, C4;5;6 d Qua điểm hình chiếu điểm M 2;3;4 trục tọa độ Ví dụ2 :Xét vị trí tương đối mặt phẳng: 1 : x y z : x y z Ví dụ :Xác định giá trị m, l để hai mặt phẳng song song với a) x ly z 0; mx y z b) x y mz 0; x ly z Ví dụ Tính khoảng cách từ điểm A(3; - 4; 5 đến mặt phẳng x + 5y - z + = Dạng 3: ĐƯỜNG THẲNG Phương trình ĐT * Đường thẳng qua điểm M x0 ; y0 ; z vaø nhận vectơ a a1 ; a2 ; a3 làm VTCP 36 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 x x0 y y z z x x0 a1t 2 a2 a3 PTTS: y y a t , t R, a1 a1 a3 - PTCT: a1 2 z z a t a1 a1 a3 0 2.Xét vị trí tương đối ĐT: Đường thẳng d1 qua A(xA,yA,,zA) ; có VTCP a (a1 , a , a ) Đường thẳng d2 qua B(xB,yB,zB) ; có VTCP b (b , b , b ) * a b AB a b AB d1 chéo d2 d1 cắt d2 a : a : a b : b : b * a1 : a : a = b1 : b : b (x B x A ) : (y B y A ) : (z B z A ) d1 // d2 * a1 : a : a = b1 : b : b = (x B x A ) : (y B y A ) : (z B z A ) d1 d2 * Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng : Đường thẳng d qua A(xA,yA,zA) ; có VTCP a (a1 , a , a ) Mặt phẳng ( ): Ax + By + Cz + D = có PVT n (A, B, C) * n a d cắt ( ) Aa1 + Ba2 + Ca3 n a A.a1 B.a C.a d () Ax By Cz D A () A A A n a A.a1 B.a C.a * d // () A () Ax A By A Cz A D * Góc đường thẳng mặt phẳng : x x0 y y z z Cho đường thẳng mặt phẳng () có PT: a b c ( ) : Ax By Cz D : Gọi góc đt mp (), ta có : sin Aa Bb Cc A B2 C a2 b2 c2 6.Góc giữa2 đường thẳng (là góc nhọn bù góc VT phương) cos a1 b1 a b a b a 12 a 22 a 32 b 12 b 22 b 32 Ví dụ 1: Viết PTTS, PTCT đường thẳng qua A2;0;1 có VTCP a 1;3;2 x 2t Ví dụ 2: Tìm PTCT đường thẳng qua điểm M 4;3;1 // d : y 3t z 2t x 1 y z Ví dụ 3: Xét vị trí tương đối hai đ.thẳng: x y 1 z 2 : 2 1 : 37 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 x 2t x t Ví dụ : Tính góc hai đường thẳng: 1 : y 1 t , : y 1 3t z 4t z 2t BÀI TẬP Bài : Viết phương trình mặt phẳng trường hợp sau : a Qua điểm M(2,-1,2) // mp Oxy b Qua điểm N(5,1,-2) ; // Oz ; vng góc với mặt phẳng 3x + 2y + z + 2005 = c Qua điểm P(-4,0,1) ; // đường thẳng AB với A(2,0,0) , B(3,2,-6) v/góc với mp: 5x – z – = d Qua điểm H(3,-2,0), K(2, 5,1) vng góc với mặt phẳng –3x + 2z – = e Qua giao tuyến mp () : y – 2z + = ; () : 2x + y – = : Qua điểm A(2, 0,-3) ; S.song với mp ( ) : x+ 3y -5z = ; 3. với mp 2x -3y +z – = f Qua gốc tọa độ vng góc mp (P) : x - y + z – = ; (Q) : 3x+ 2y -12z + = Bài : Cho tứ diện ABCD với đỉnh A6;2;3 , B0;1;6, C2;0;1, D4;1;0 a Viết PT mặt phẳng (ABC), (BCD) b Viết PT mp() chữa AB song song CD c Viết PT đt qua A vng góc với (BCD) tìm tọa độ giao điểm chúng Bài 3: A0;0;3 , B1;1;5, C 3;0;0, D0;3;0 a) Tính diện tích tam giác ADC b) CMR : điểm A, B, C, D đồng phẳng Bài 4: Cho điểm A(-6,-4,7) ; B(3,1,-3) ; C(1,3,0) ; D(5,3,6) Viết phương trình mặt phẳng (BCD) Viết phương trình mặt phẳng qua BC // AD Viết ptts, ptct, pttq đường thẳng d qua A vng góc với mặt phẳng (BCD) Tìm t/độ giao điểm H d mặt phẳng (BCD) Tìm tọa độ điểm A’ đ/xứng A qua(BCD) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) từ B đến đường thẳng d Bài : Trong không gian cho điểm A(6,-2,3) ; B(0,1,6) ; C(2,0,-1) ; D(4,1,0) Tính : AB.BC CA CD AB ; Viết phương trình mặt phẳng (ABC)A,B,C,D đỉnh tứ diện ABC, thể tích tứ diện ABCD.Từ tính độ dài c/cao t/ diệnABCD kẻ từ D Tính cosin góc A ABC Tìm toạ độ điểm E ABCD hình bình hành Tính diện tích hình bình hành Viết phương trình mặt phẳng (1 ) qua D // mp(ABC) Viết phương trình mặt phẳng ( ) qua D vng góc với đường thẳng AB 10 Viết phương trình mặt phẳng ( ) vng góc BC B 11.Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng BC // AD 12.Viết phương trình đường thẳng qua B vng góc (ACD) 13 Viết ptts, ptct, pttq đường thẳng AD 14 Tính khoảng cách : Từ C đến mặt phẳng (ABD) 15 Tính góc : + đường thẳng AB CD + AD mặt phẳng (ABC) Bài Trong không gian Oxyz cho điểm A(6; -2; 3), B(0; 1; 6) mặt phẳng (): 2x + 3y – z + 11 = 38 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 a Viết phương trình mặt phẳng () qua hai điểm A, B vng góc với mặt phẳng () b Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm A tiếp xúc với mặt phẳng () Bài 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 4x + 2y + 4z - = mặt phẳng (α) : x - 2y + 2z + = Tính khoảng cách từ tâm I mặt cầu (S) tới mặt phẳng (α) Viết phương trinh mặt phẳng (β) song song với mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt cầu (S) Bài : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm: M(1; -2; l), N(1; 2; -5), P(0; 0; -3) mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 6y - = Viết phương trình mặt phẳng (MNP) Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với mặt phẳng (MNP) tiếp xúc với mặt cầu (S) x 1 t x y2 z Bài 9:Cho hai dường thẳng 1 : : y t , t R z 2t a/ Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa 1 song song với b/ Cho điểm M(2;1;4).Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng cho đoạn MH có độ dài nhỏ x 3 2t ,t R Bài 10:Trong không gian Oxyz cho điểm A(-4;-2;4)và đường thẳng d: y t z 1 4t Viết phương trình đường thẳng qua điểm A , cắt vng góc với đường thẳng d Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD , AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0; 2 ) Gọi M trung điểm SC a/ Viết phương trình mặt phẳng chứa SA song song với BM b/ Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BM Bài 12: Cho hình hộp chữ nhật có đỉnh A(3 ;0 ;0), B(0 ;4 ;0), C(0 ;0 ;5), O(0 ;0 ;0 ) đỉnh D đối xứng với O qua tâm hình hộp chữ nhật a/ Xác định tọa độ đỉnh D Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (ABD) b/ Viết phương trình tham số đường thẳng qua D vng góc với mặt phẳng (ABD) Bài 13 : Trong không gian Oxyz cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0) , C(0; 0; 1), D(1; 1; 0) a/ Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A, B, C, D b/ Xác định tọa độ tâm bán kính đường trịn giao tuyến mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD) Bài 14: Trong khơng gian Oxyz cho ba mặt phẳng có phương trình : (P): x + y – = , (Q) : x – 3y – z +2 = , (R): 4y + z – = a/ Chứng minh hai mặt phẳng (P) (Q) cắt Viết phương trình tham số đường thẳng d giao tuyến (P) (Q) b/ Viết phương trình mặt phẳng (T) chứa đường thẳng d song song với mặt phẳng (R) Bài 15: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình : (S) : (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100 , (P) : 2x – 2y – z +9 = a/ Chứng minh : (P) (S) cắt b/ Xác định tâm bán kính đường tròn giao tuyến của (P) (S) Bài 16: Cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 2z – = 39 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) :x+y+z – =0 cắt (S) theo thiết diện đường trịn lớn b/ Viết phương trình mặt phẳng (K) song song với mặt phẳng (R) :x+2y+z – =0 cắt (S) theo thiết diện đường trịn có diện tích Bài 17: Cho hai đường thẳng (d1) (d2) có phương trình x 7 y 5 z 9 x y z 18 (d1) : , (d2) 3 1 1 4 a/ Chứng tỏ (d1) (d2) song song với b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) (d2) c/ Tính khoảng cách (d1) (d2) d/ Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d1) cách (d2) khoảng e/.Lập ptrình đường thẳng ( ) thuộc mặt phẳng (P) song song cách (d1)và (d2) Bài 18:Cho hai đường thẳng (d1) (d2)có phương trình : x u x 2t (d1) : y t , (t R) (d2) : y 3 2u , (u R) z 3u z 3 3t a/ Chứng minh hai đường thẳng (d1) (d2) chéo b/ Tính khoảng cách (d1) (d2) c/ Viết phương trình đường vng góc chung (d1) (d2) d/ Viết phương trình đường thẳng ( ) song song với Oz , cắt (d1) (d2) Bài 19: Cho đường thẳng (d) mặt cầu (S) có phương trình : x 3t (d) : y 2t , (t R) , (S) : x2 + ( y – )2 + (z – 1)2 = z t a/ Chứng tỏ đường thẳng (d) mặt cầu (S) tiếp xúc Tìm tọa độ điểm tiếp xúc b/ Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng (d) cắt (S) hai điểm A,B cho độ dài AB = c/ Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) cắt (S) theo thiết diện đường trịn có chu vi Bài 20: Cho đường thẳng (d) mặt phẳng (P) có phương trình : x 2t (d) : y t , (t R) , (P): 2x – y – 2z + 1= z 3t a/ Tìm điểm thuộc đường thẳng (d) cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P) b/ Gọi K điểm đối xứng I(2 ;-1 ;3) qua đường thẳng (d) Xác định tọa độ điểm K ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC –NĂM 2013-2014 40 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 41 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 42 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 43 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 44 Timgiasuhanoi.com - Trung tâm Gia sư Hà Nội - 0987 109 591 45 ... (1+i)15 Ta có: (1 + i)2 = + 2i – = 2i (1 + i)14 = (2i)7 = 128 .i7 = -128 .i z = (1+i)15 = (1+i)14(1+i) = -128 i (1+i) = -128 (-1 + i) = 128 – 128 i Bài 65: 1.Tìm số thực m để số phức: z = ( m3 +2m2... 0987 109 591 Đề TN năm 2007: (1đ5) Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác vuông đỉnh B, cạnh bên SA vng góc với đáy Biết SA=AB=BC=a Tính thể tích khối chopS.ABC Đề TN năm 2007 lần 2:... 0, xét tập số phức, ta có bậc hai ảo i Khi đó, phương trình có nghiệm phức xác định công thức: b i 2a VD2: Giải phương trình sau tập số phức: x1,2 x2 x Nhận xét: Trên tập số