Microsoft Word S� TAY TOÁN H�C docx Phạm Z = SĐT 0357913986 LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY PHẠM NGUYÊN BẰNG 1 SỔ TAY TOÁN HỌC THPT CHINH PHỤC MỌI KỲ THI PHẦN 1 HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN BÀI.
SỔ TAY TOÁN HỌC THPT CHINH PHỤC MỌI KỲ THI PHẦN : HÀM SỐ VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN BÀI TOÁN : CÁC CÂU HỎI LIÊN QUAN ĐẾN HÀM BẬC : y = a.x3 + bx + cx + d ⇒ y ' = 3a.x + 2bx + c; ∆ ' y ' = b − 3ac Trong : A = 3a B = 3b Các hình dạng đồ thị (Chú ý trường hợp suy biến a = ) a>0 a b2 − 3ac = b2 − 3ac < Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUN BẰNG A/ MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒNG BIẾN – NGHỊCH BIẾN MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP CÔNG THỨC Hàm số đồng biến R a = b = c > a > b − 3ac ≤ Hàm số nghịch biến R a = b = c < a < b − 3ac ≤ Hàm số đồng biến đoạn có độ dài K a < a < ∆ y ' ( b − 3ac ) 2 ≥k ≥k A 9a ( Nếu Hàm số đồng biến khoảng lớn có độ dài K thay dấu ≥ thành dấu “ = ” ) Hàm số nghịch biến đoạn có độ dài K (Nếu Hàm số nghịch biến khoảng lớn có độ dài K thay dấu ≥ thành dấu “ = ” ) a > a > ∆ y ' ( b − 3ac ) ≥ k2 ≥k A 9a Tìm điều kiện để hàm số đồng biến Phương pháp : YCBT ↔ y ' = 3a.x + 2bx + c ≥ 0∀x ∈ ( a; b ) khoảng k = ( a; b ) Pp’ : Dùng tam thức bậc với trường hợp sau : a > b − 3ac ≤ b − 3ac > Xem lại định lý đảo dấu tam thức bậc phần phụ lục Pp’ : Phương pháp hàm số ( tham số m đồng bậc ) y ' = 3a.x + 2bx + c ≥ Đưa trường hợp sau : f ( m ) ≥ g ( x ) → f ( m ) ≥ Maxg ( x ) x∈[a ;b] ( x) f ( m ) ≤ g ( x ) → f ( m ) ≤ Ming x ∈ a ; b [ ] Chú ý g(x) liên tục Phạm Z = SĐT : 0357913986 a ;b LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG B/ MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP VỀ CỰC TRỊ : Hàm số khơng có cực trị b − 3c.a ≤ a = b = Hàm số có cực trị a = b ≠ a ≠ b − 3ac > Hàm số có hai cực trị a ≠ b − 3ac > Giải sử điểm cực trị đồ thị hàm số A (x 1; y1 ); B (x ; y2 ) ứng với đk : Ta có : x + x = −2b 3a +) Viet : c x 1x = 3a b − 3ac > +) Đường thẳng qua điểm cực trị A, B : y = px + q, với px +q phần sư phép chia y/y’ Hoặc tính trực tiếp nhớ cơng thức sau : 2c 2b bc x + d − y = − :)) 9a 9a +) Nếu so sánh điểm cực trị hàm số ta có : Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG +) Khoảng cách điểm cực trị : AB = Để điểm cực trị đồ thị hàm số A,B đường thẳng ∆ cho trước 4e + 16e3 b − 3ac ;e = a 9a Có trường hợp : b − 3ac > b TH1 : A B khác phía so với ∆ ↔ U − ; yu ∈ ∆ 3a TH2 : A,B phía nằm đường thẳng // với ∆ b − 3ac > A,B nằm ∆ ↔ k = k(AB ) ∆ Hàm số có hai cực trị trái dấu (Đồ thị hàm số có hai cực trị nằm hai phía trục Oy ) ac < Có thể câu hỏi y = có nghiệm phân biệt Hàm số có hai điểm cực trị dấu (Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị nằm phía trục Oy) b − 3ac > ac > Hàm số có hai điểm cực trị dương (Đồ thị hàm số có hai cực trị nằm bên phải trục Oy) b − 3ac > ab < ac > Hàm số có hai điểm cực trị âm (Đồ thị hàm số có hai cực trị nằm bên trái trục Oy) b − 3ac > ab > ac > 10 Hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn: a y '(α ) < x1 < α < x2 Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUN BẰNG 11 Hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn: x1 < x2 < α 12 Hàm số có hai điểm cực trị thỏa mãn: α < x1 < x2 b − 3ac > a y '(α ) > S < 2α b − 3ac > a y '(α ) > S > 2α 13 Hai điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox y y > y ' = có nghiệm CD CT 14 Hai điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox y ' = có nghiệm 15 Hai điểm cực trị đồ thị nằm phía trục Ox yCD yCT < yCD + yCT > yCD yCT > yCD + yCT < C/ MỘT SỐ CÂU HỎI THƯỜNG GẶP VỀ TƯƠNG GIAO : Phương trình y = có nghiệm lập b − Khi có nghiệm là: thành cấp số cộng hay đồ thị hàm số 3a giao Ox điểm phân biệt lập thành cấp số cộng Và hàm số có cực trị : b − 3ac > Phương trình y = có nghiệm lập d thành cấp số nhân hay đồ thị hàm số Khi có nghiệm là: − a giao Ox điểm phân biệt lập thành cấp số nhân Và hàm số có cực trị : b − 3ac > Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số điểm phân biệt lập thành cấp số Yêu cầu toán : cộng U ∈ d b − 3ac > Đường thẳng d cắt đồ thị hàm số Viết phương trình tương giao đưa vế đưa toán điểm phân biệt lập thành cấp số dạng mục với hàm số nhân Biện luận số giao điểm hàm bậc Có phương pháp : với đường khác PP1 : Nhẩm nghiệm cố định PP2 : Cô lập tham số ( với có tham số đồng bậc ) PP3 : Dựa vào tính chất đồ thị Nếu phương trình bậc có nghiệm x1 ; x2 ; x3 ta có tính chất sau : Phạm Z = SĐT : 0357913986 b x1 + x2 + x3 = − a c Định lý viét bậc 3: x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 = a d x1 x2 x3 = − a LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUN BẰNG D/ NHẬN DẠNG ĐỒ THỊ HÀM BẬC : y = a.x3 + bx + cx + d Bước : Xét dấu hệ số a dựa vào tính chất đồ thị Bước : Xét dấu d thông qua giao điểm đồ thị với trục Oy c Bước : Xét dấu c thông qua x1 x2 = a Bước : Xét dấu c thơng qua hồnh độ x = − • x1 + x2 b =− thông qua điểm U có 3a b tâm đối xứng đồ thị 3a Nếu hàm số khơng có cực trị ta bỏ bước E/ MỘT SỐ CÂU HỎI KHÁC VỀ HÀM BẬC : y = a.x3 + bx + cx + d +) Tiếp tuyến đồ thị đồ thị hàm số bậc điểm có hoành độ x1 cắt đồ thị b x x + x = − Khi : 2 tạo điểm cịn lại có hồnh độ a Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUN BẰNG BÀI TỐN : CÁC CÂU HỎI LIÊN QUAN ĐẾN HÀM BẬC 4: y = a.x + bx + c ⇒ y ' = 4a.x + 2bx *) HÌNH DẠNG ĐỒ THỊ CẦN NHỚ a=0 a>0 a0: Cực tiểu a0: Cực tiểu, CĐ DỮ KIỆN a Tam giác có tâm O nội tiếp b3 − 8a − 4ac = 10 Tam giác có tâm O ngoại tiếp b3 − 8a − 8ac = Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUN BẰNG 11 Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r0 cho trước r0 = 12 Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp R0 cho trước 13 b2 b3 a 1 + − a b3 − 8a R0 = 8ab AB = AC = n0 16a 2n 20 − b + 8b = x + y − ( c + n ) x + c.n = 0; n = 14 Đường tròn qua điểm A,B,C có phương trình : 15 Tam giác ABC có trọng tâm O b3 − 6ac = 16 Tam giác ABC có trực tâm O b3 + 8a − 4ac = 17 Tam giác ABC có: BC = kAC b3k − 8a ( k − ) = ∆ − b 4a b2 − 2a.c = 18 Tam giác ABC O tạo hình thoi b − a.c = 19 Trục hoành chia tam giác ABC thành phần có diện tích C/ BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO : y = a.x + bx + c Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG ax + b BÀI TOÁN : CÁC CÂU HỎI LIÊN QUAN ĐẾN HÀM y = cx + d d +) Tập xác định: D = R \ − c +) Đạo hàm: y ' = ad − bc ( cx + d ) - Nếu ad − bc > hàm số đồng biến khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư - Nếu ad − bc < hàm số nghịch biến khoảng xác định Đồ thị nằm góc phần tư +) Đồ thị hàm số có: TCĐ: x = − d a TCN: y = c c d a +) Đồ thị có tâm đối xứng: I − ; c c ad − bc > Phạm Z = SĐT : 0357913986 ad − bc < LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG 10 Rõ ràng ta cần chọn số 13 số từ đến 13 ta xếp số thỏa mãn nên có C 13 (Số) CƠNG THỨC : BÀI TỐN CHIA KẸO ƠLE CƠNG THỨC : BÀI TỐN BI CĨ ĐÁNH SỐ : Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUN BẰNG 160 CƠNG THỨC : Số tập ( Khác rỗng ) tập hợp có n phần tử khác rỗng 2n CÔNG THỨC 10 Nguyên Lý bù trừ CÔNG THỨC 11 : MỘT SỐ CƠNG THỨC TÍNH TỔNG CÁC CHỮ : (CÁC EM GHi TỪ BÀI HỌC RA NHÉ) CÔNG THỨC 12 : MỘT SỐ CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON (a + b )n = n ∑ Cnk a n−k b k k =0 +) Số số hạng n +1 Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG 161 ( n +) Tổng hệ số khai triển (ax + b) = a + b ) n tức thay x = +) Số hạng thứ T có nghĩa k = T - +) (1+x)n = Cn0 x + Cn1 x1 + + Cnn x n ⇒ Cn0 + Cn1 + + Cnn = n (x+1)n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + + Cnn x Thay x số ta hàng loạt tổng khác ví : ( x + 1) n = Cn0 x n + C1n x n−1 + + Cnn ; x = → ( + 1) = 3n = Cn0 n + Cn1 n−1 + + Cnn ( x + 1) n = Cn0 x n + Cn1 x n−1 + + Cnn ; x = → ( + 1) = n = Cn0 3n + Cn1 3n−1 + + Cnn n n ( (1+x)n = Cn0 x + Cn1 x1 + + Cnn x n ; x = → + ) n = 3n = Cn0 20 + C1n 21 + + Cnn 2n Khi với n cho ta tính vơ số tổng mà máy tính khơng bấm : 2019 C2019 32019 + C2019 32018 + + C2019 = 42019 +) (x–1)n = Cn0 x n − Cn1 x n −1 + + (−1)n Cnn 2x x −1 x = → Cn0 − Cn1 + + (−1)n Cnn = → C2x + C2x + + C2x = C2x + C2x + + C2x (1 − x ) 2018 = Cn0 x − C1n x1 + + Cnn ( − x ) n Thay x số ta hàng loạt tổng khác ví : 2018 = Cn0 x − Cn1 x1 + + Cnn ( − x ) ; x = → (1 − x ) 2018 = Cn0 x − Cn1 x1 + + Cnn ( − x ) ; x = → (1 − ) (1 − x ) (1 − x ) 2018 = Cn0 − Cn1 21 + + Cnn ( −2 ) 2018 = Cn0 30 − Cn1 31 + + Cnn ( −3) n n +) (Cn0 )2 + (C1n )2 + (Cn2 )2 + + (Cnn )2 = C2nn +) S = 1.Cn1 + 2.Cn2 + + n.Cnn = n.2 n −1 +) S = 2.1.Cn2 + 3.2.Cn3 + + n(n − 1).Cnn = n.(n − 1)2n − +) S = 12 C1n + 22 Cn2 + + n2Cnn = n(n + 1).2 n − +) S = C1n 3n −1 + 2Cn2 3n − + 3Cn3 3n −3 + + nCnn = n.4 n −1 +) S = 2Cn0 + n n HD: k 2Cnk = [ k (k − 1) + k ] Cnk 22 23 2n+1 n 3n+1 − Cn + Cn + + C = n +1 n n +1 1 2n+1 − S = Cn0 + Cn1 + Cn2 + + Cnn = n +1 n +1 +) Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG 162 1 (−1)n n S = Cn0 − Cn1 + Cn2 − + Cn = n +1 n +1 +) 1 1 (−1)n n S = Cn − Cn + Cn − + Cn = 2(n + 1) 2(n + 1) +) 1 1 n+1 − S = Cn0 + C1n + Cn2 + + Cnn = 2(n + 1) 2(n + 1) +) +) S = Cn0 + 2 − 1 22 − 2n+1 − n 3n+1 − 2n+1 Cn + Cn + + C = n +1 n n +1 VỀ BỔ TRỢ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG PHẲNG Phương trình tắc đường thẳng Cho đường thẳng ∆ qua M ( x0 ; y0 ) có VTCP u = (u1; u2 ) Phương trình tắc ∆: x − x0 y − y0 = u1 u2 (2) (u1 ≠ 0, u2 ≠ 0) Chú ý: Trong trường hợp u1 = u2 = đường thẳng khơng có phương trình tắc Phương trình tham số đường thẳng PT ax + by + c = với a2 + b2 ≠ đgl phương trình tổng quát đường thẳng Nhận xét: – Nếu ∆ có phương trình ax + by + c = ∆ có: VTPT n = (a; b) VTCP u = (−b; a) u = (b; −a) – Nếu ∆ qua M ( x0 ; y0 ) có VTPT n = (a; b) phương trình ∆ là: a( x − x ) + b( y − y ) = Các trường hợp đặc biệt: Các hệ số Phương trình đường thẳng ∆ c=0 a=0 b=0 Tính chất đường thẳng ∆ ∆ qua gốc toạ độ O ∆ // Ox ∆ ≡ Ox ∆ // Oy ∆ ≡ Oy • ∆ qua hai điểm A(a; 0), B(0; b) (a, b ≠ 0): Phương trình ∆: x y + = a b (phương trình đường thẳng theo đoạn chắn) • ∆ qua điểm M ( x0 ; y0 ) có hệ số góc k: Phương trình ∆: y − y0 = k ( x − x0 ) (phương trình đường thẳng theo hệ số góc) Góc hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = (có VTPT n1 = (a1; b1 ) ) ∆2: a2 x + b2 y + c2 = (có VTPT n2 = (a2 ; b2 ) ) (n , n ) (n1, n2 ) ≤ 90 (∆1 , ∆2 ) = 0 180 − (n1 , n2 ) (n1, n2 ) > 90 Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG 163 cos(∆1 , ∆2 ) = cos(n1 , n2 ) = n1 n2 n1 n2 = a1b1 + a2 b2 a12 + b12 a22 + b22 Chú ý:• ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ a1a2 + b1b2 = • Cho ∆1: y = k1 x + m1 , ∆2: y = k2 x + m2 thì: k = k + ∆1 // ∆2 ⇔ m1 ≠ m2 + ∆1 ⊥ ∆2 ⇔ k1 k2 = –1 k = k2 + ∆1 ≡ ∆ ↔ m1 = m2 + ( ∆1; ∆ ) = α ↔ tan α = k1 − k + k1k2 Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng • Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = điểm M ( x0 ; y0 ) : d ( M0 , ∆) = ax0 + by0 + c a2 + b • Vị trí tương đối hai điểm đường thẳng Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = hai điểm M ( x M ; y M ), N ( x N ; y N ) ∉ ∆ – M, N nằm phía ∆ ⇔ (ax M + by M + c )(ax N + by N + c ) > – M, N nằm khác phía ∆ ⇔ (ax M + by M + c )(ax N + by N + c ) < • Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng Cho hai đường thẳng ∆1: a1 x + b1y + c1 = ∆2: a2 x + b2 y + c2 = cắt Phương trình đường phân giác góc tạo hai đường thẳng ∆1 ∆2 là: a1 x + b1y + c1 a12 + b12 =± a2 x + b2 y + c2 a22 + b22 HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Định lí cơsin Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b AB = c A a2 = b2 + c2 − 2bc cos A ; b Ta có : b2 = c + a2 − ca cos B ; c c = a2 + b2 − ab cos C B Phạm Z = SĐT : 0357913986 a C LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG 164 Hệ cos A = b + c2 − a ; bc cos B = c2 + a2 − b2 ; ca cos C = a2 + b2 − c2 ab Định lí sin A Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b , AB = c R bán kính đường trịn b c ngoại tiếp I a B a b c = = = 2R Ta có : sin A sin B sin C C Độ dài đường trung tuyến Cho tam giác ABC có m a , mb , mc trung tuyến kẻ từ A, B, C A Ta có : b2 + c a m a2 = − ; 2 a +c b2 mb2 = − ; 2 a +b c2 mc = − b c a B Công thức tính diện tích tam giác Cho tam giác ABC có ● , hb , hc độ dài đường cao tương ứng với cạnh BC, CA, AB ; ● R bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác; ● r bán kính đường trịn nội tiếp tam giác; ● p= a +b+c nửa chu vi tam giác; ● S diện tích tam giác Khi ta có: S= 1 aha = bhb = chc 2 1 abc = bc sin A = ca sin B = ab sin C = = pr = p ( p − a)( p − b)( p − c) 2 4R +) Nếu cho điểm A,B,C ta tính : AB = ( x1; y1 ) ; AC = ( x2 ; y2 ) → S ∆ABC = Phạm Z = SĐT : 0357913986 x1 y2 − x2 y1 LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG 165 C +) Khoảng cách hai điểm A ( x A ; y A ) B ( x B ; y B ) tính theo cơng thức: 2 AB = ( x B − x A ) + ( y B − y A ) HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG : Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH BC = AB2 + AC • Định lí Pi-ta-go: • AB = BC.BH → AB2 BC = BH ; BC AC = BC.CH → AC BC = CH BC • AH = BH CH • AB AC = BC AH • AH = AB2 + AC Cho tam giác ABC vuông A có BC = a, AC = b, AB = c b = a.sin B = a.cos C ; c = a.sin C = a.cos B b = c.tan B = c.cot C ; c = b.tan C = b.cot B Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUN BẰNG 166 CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) b) 12 + 22 + + n2 = a) + + … + n = n(n + 1) c) + + + n = 3 d) 1.4 + 2.7 + + n(3n + 1) = n(n + 1)2 e) 1.2 + 2.3 + + n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) 1 n f) + + + = 1.2 2.3 n(n + 1) n + III Cấp số cộng Định nghĩa: (un) cấp số cộng ⇔ un+1 = un + d, ∀n ∈ N* Số hạng tổng quát: un = u1 + (n − 1)d với n ≥ Tính chất số hạng: uk = uk −1 + uk +1 với k ≥ Sn = u1 + u2 + + un = Tổng n số hạng đầu tiên: (d: công sai) n(u1 + un ) IV Cấp số nhân Định nghĩa: (un) cấp số nhân ⇔ un+1 = un.q với n ∈ N* Số hạng tổng quát: Tính chất số hạng: = n 2u1 + (n − 1)d (q: công bội) un = u1.q n−1 với n ≥ uk2 = uk −1.uk +1 với k ≥ Sn = nu1 n S = u1(1 − q ) n 1− q Tổng n số hạng đầu tiên: với q = với q ≠ V – TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vơ hạn (un ) có cơng bội q , với q < gọi cấp số nhân lùi vô hạn Tổng cấp số nhân lùi vô hạn: S = u1 + u2 + u3 +… + un +… = Phạm Z = SĐT : 0357913986 u1 1− q ( q < 1) LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG 167 Á KHOA TỈNH KHỐI D – THỦ KHOA KHỐI C04 CẢ NƯỚC NGUYỄN THANH THÁI – CHUYÊN ĐỊA - LỚP 12B Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG 168 PHẦN MỤC LỤC : CÁC EM TỰ GHI LẠI CHO NHỚ NHÉ Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUN BẰNG 169 Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG 170 Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG 171 Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG 172 Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG 173 Là lá, sống phải xanh Cịn đời em, em sống cho mục tiêu mà em theo đuổi ? Em à, đời người chỗ - mục tiêu vĩ đại họ làm, mà cách họ bước để chạm đến đích cuối Cuộc đời khơng có ước mơ vĩ đại, có người biến thành vĩ đại chặng đường KÝ TÊN : PHẠM NGUYÊN BẰNG – ” Người chắp cánh ước mơ ” Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TỐN 9,10,11,12 PHÂN HĨA – THẦY : PHẠM NGUN BẰNG 174 ... – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG 25 BÀI TOÁN 15 : Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG 26 Phạm Z = SĐT : 0357913986 LỚP TOÁN 9,10,11,12 PHÂN HÓA – THẦY :... HĨA – THẦY : PHẠM NGUYÊN BẰNG BÀI TOÁN : CÁC CÂU HỎI LIÊN QUAN ĐẾN HÀM BẬC 4: y = a.x + bx + c ⇒ y ' = 4a.x + 2bx *) HÌNH DẠNG ĐỒ THỊ CẦN NHỚ a=0 a>0 a