Đề thi hsg lớp 9 tỉnh Bắc Giang năm học 2012 - 2013. Có đáp án chi tiết. và thang điểm chấm.
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO
TẠO
BẮC GIANG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Đề thi có 01 trang
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 9 PHỔ THÔNG
Ngày thi: 30/3/2013
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (5,0 điểm)
1) Tính giá trị của biểu thức 3 3
26 15 3 26 15 3
P
a
Câu 2 (4,0 điểm)
1) Giải phương trình: 3 x3 8 2x2 3x10
2) Giải hệ phương trình sau:
2 2 2
1 4
Câu 3 (4,0 điểm)
1) Cho hàm số y x 2 Tìm các giá trị của m để đường thẳng có phương trình
y x m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt A x y( ; ), ( ; )1 1 B x y2 2 thoả mãn:
(x x) (y y ) 18
2) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố a b c, , đôi một khác nhau thoả mãn điều kiện
20abc30(ab bc ca ) 21 abc
Câu 4 (6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A (AB<AC), có đường cao AH và O là trung điểm của cạnh BC Đường tròn tâm I đường kính AH cắt AB, AC thứ tự tại M và N OA và
MN cắt nhau tại D
1) Chứng minh tứ giác BMNC nội tiếp.
2) Chứng minh : 1 1 1
3) Cho AB=3 và AC=4 Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN.
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho ba số dương a b, và c thoả mãn abc 1 Chứng minh rằng:
-Hết -Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Giám thị 1 (Họ tên và ký) Giám thị 2 (Họ tên và ký)
Trang 2BẮC GIANG BÀI THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HOÁ CẤP TỈNH
NGÀY THI 30 /3/2013 MÔN THI: TOÁN; LỚP: 9 PHỔ THÔNG
Bản hướng dẫn chấm có 04 trang
1
(2 điểm)
26 15 3 26 15 3
38 3.2 3 3.2.( 3) ( 3) 38 3.2 3 3.2.( 3) ( 3)
3(2 3) 3(2 3)
(2 3) (2 3)
0.5
2 3
A
2
(3 điểm)
Tính được
2
2 2
P
0.5
2
( 2) ( 3)
= 2
2
a
KL:
0.5
1
(2 điểm)
ĐK: x 2 Với điều kiện biến đổi phương trình đã cho trở thành:
3 (x2)(x 2x4) 2( x 2x4) ( x2) 0.5 Chia cả hai vế của phương trình cho x2 2x4, ta được
x
Thay vào (1) ta được t2 3t 2 0 t 1 hoặc t 2 (t/m)
0.5
2
1 2
2
x x
x
0.5
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 3+ với t 2ta có 2
2
2
x
KL:
2
(2 điểm)
2 2
+ Với y 0 Hpt trở thành:
2 2
1 0 ( 1)( 2) 0
x
0.5
+ Với y 0.Hệ trở thành
2
2
1
1
x
x y y
x
x y y
(1)
+ Đặt
2 1 ,
x
y
thay vào hpt(1) ta được 4
( 2) 1
a b
a b
0.5
+ Với a1,b3
2 1 1 3
x y
x y
Giải được nghiệm của hệ: ( ; ) (1; 2) và (x;y)=(-2;5)x y
+ KL:
0.5
1
(2 điểm)
Xét pt hoành độ giao điểm:
2
Đường thẳng cắt đths đã cho tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ
khi pt(1) có hai nghiệm phân biệt
0.5
+ Điều kiện: 1 4m 0
1 4
m
+ Khi đó A x y( ; ), ( ; ) 1 1 B x y2 2
+ Theo định lí Viet x1x2 1, x x1 2 m Ta có y1 x1 m y, 2 x2 m
(x x ) (y y ) 18 (x x ) 9 [(x x ) 4x x ] 9
0.5
+ Tìm được
1 (k / ) 1 ( / ) 2
o
KL:
0.5
2
(2 điểm)
+ Từ giả thiết suy ra: 2 1 1 1 7
3 a b c 10 Không giảm tính tổng quát giả sử a b c 1 Suy ra 2 3 2 9
3c c
Do đó c {2;3}
0.5
+ Với c 2 suy ra
0.5
Trang 42 1 1 1 7 1 1 1 1 1 2 1 1
(1) và
3 2a b 10 6a b 5 6b b5
Do đó b {7;11}
+ Với b 7 từ (1) suy ra 1 1 2 {19; 23; 29;31;37; 41}
42 a35 a + Với b 11 từ (1) suy ra 5 1 6 13
66 a 55 a ( do a>b)
0,5
+ Với c 3 từ giả thiết suy ra
3a b 30 3b b b ( do b>c)
Thay b 5 vào (*) được 6 15 7
2
Vậy có 8 bộ ba (a;b;c) thoả mãn:
(19;7;2),(23;7;2),(29;7; 2),(31;7; 2),(37; 7; 2),(41;7;2),(13;11;2),(7;5;3)
và các hoán vị của nó
0.5
1
(2 điểm)
+ Lại có AHNACH (vì cùng phụ với góc CHN ) 0.5 + Suy raACB AMN , mà AMN NMB 1800nên ACB NMB 1800 0.5
2
(2 điểm)
+ Có AID AOH vì cùng bằng hai lần ACB 0.5
+ Tam giác AID AOH AD AI
3
(2 điểm) + Tính được BC=5,
12 5
+ Gọi K là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BMN Khi đó
KI là đường trung trực của đoạn MN
Do hai tam giac AID và AOH đồng dạng nên ADI AHO900
OA MN
Do vậy KI//OA
0.5
Trang 5+ Do tứ giác BMNC nội tiếp nên OKBC Do đó AH//KO.
Bán kính
Ta có: a22b2 3 (a2b2) ( b21) 2 2 ab2b2
Tương tự:b22c2 3 2bc2c2, c22a2 3 2ac2a2
0.5
Suy ra:
0.5
Điểm toàn bài (20điểm)
Lưu ý khi chấm bài:
- Trên đây chỉ là sơ lược các bước giải, lời giải của học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà đúng thì cho điểm các phần theo thang điểm tương ứng.
- Với bài 4, nếu học sinh vẽ hình sai hoặc không vẽ hình thì không chấm.
