BÀI 7: TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH. ThS. Đoàn Trọng Tuyến.Trường Đại học Kinh tế Quốc dân

BÀI TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH ThS Đồn Trọng Tuyến Trường Đại học Kinh tế Quốc dân v1.0014105206 TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG • Giả sử hồ nước có hình dạng tam giác cong sau: y A y= x2 • B x Trong điểm B có hồnh độ x = 20 (m), cạnh cong OA có phương trình y = x2 Hãy tính diện tích hồ hình tam giác cong v1.0014105206 MỤC TIÊU • Nắm định nghĩa tích phân xác định qua cơng thức Newton – Leibnitz; • Nắm ý nghĩa hình học tích phân xác định; • Đổi biến thành thạo dạng tích phân bản, đặc biệt tích phân hàm chứa căn; • Sử dụng tốt phương pháp tích phân phần v1.0014105206 NỘI DUNG Khái niệm tích phân xác định ý nghĩa hình học Các tính chất tích phân xác định Phương pháp đổi biến số Phương pháp tích phân phần v1.0014105206 KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC 1.1 Tích phân xác định hàm số liên tục 1.2 Ý nghĩa hình học tích phân xác định v1.0014105206 1.1 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC • Định nghĩa: Cho f(x) hàm số xác định liên tục khoảng X, a, b hai số thực thuộc khoảng X Tích phân xác định từ a đến b hàm số f(x) hiệu số: F(b) – F(a) với F(x) nguyên hàm f(x) • Ký hiệu: b  f(x).dx  F(b)  F(a)  F(x) a • b a Cơng thức gọi công thức Newton – Leibnitz Chú ý: Định nghĩa nêu áp dụng cho hàm liên tục v1.0014105206 1.1 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH CỦA HÀM SỐ LIÊN TỤC Ví dụ: x2 I1   x.dx   2   cos 2x I2   sin 2x.dx    dx ln3 I3    ln 2x   2x  2 v1.0014105206 1.2 Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH • Cho hàm số y = f(x) xác định liên tục khơng âm [a, b] • Khi tích phân xác định f(x) [a, b] diện tích hình thang cong AabB giới hạn đồ thị hàm số f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b y (x) f y= B A b S   f(x).dx a a v1.0014105206 b x CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH Với giả thiết tích phân tồn tại, ta có: 1) a  f(x)dx  0; 5) b a c b b a c a  f(x)dx   f(x)dx   f(x)dx b b b a a a  f(x)  g(x) dx   f(x)dx   g(x)dx 3) 4) b  f(x)dx    f(x)dx a 2) a b b a a  k.f(x)dx  k. f(x)dx, k   b b a a f(x)  g(x), x  [a;b]   f(x)dx   g(x)dx 6) Nếu f(x) liên tục [a;b] tồn điểm   (a; b) cho: b  f(x)dx  f().(b  a) a v1.0014105206 PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Xét tích phân: b I   f(x)dx a Đặt x = (t) với t  [; ] thỏa mãn điều kiện:  (t) xác định, liên tục có đạo hàm liên tục [; ]  () = a; () = b Khi đó: b   a   I   f(x)dx   f  (t). '(t)dt   f(t)dt v1.0014105206 10 VÍ DỤ Tính tích phân I1  1 dx 5x  • Đặt t  5x  • t2  Ta có x  , • Đổi cận theo t: x = ↔ t = 2; x = ↔ t = • Theo cơng thức đổi biến ta có: dx  2t dt 3 2t.dt t.dt          1  I1    dt  t t t        2 3 2 4   t  ln  t   1  ln  5 3 v1.0014105206 11 VÍ DỤ 2 Tính tích phân I2    x dx • Đặt: x = sin t • Ta có: dx = cos t dt • Đổi cận theo t: x0 •  t  0; x  t  Theo cơng thức đổi biến ta có:    0 I2    sin2 t.cos t.dt   cos t.cos t.dt   cos2 t.dt  v1.0014105206   1  sin 2t  1   0 1  cos 2t  dt   t   2 0 12 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN Cơng thức tích phân phần tích phân xác định có dạng b b b  udv  uv a   vdu a a u = u(x) v = v(x) hàm số có đạo hàm liên tục [a;b] v1.0014105206 13 VÍ DỤ 1 3x Tính tích phân I1   x.e dx Ta đặt: u  x  3x dv  e dx  du  dx   e3 x 3x v   e dx  Theo phương pháp tích phân phần ta có: 1 e3 x 1 3x e3 x e3 x I1  x   e dx  x  30 v1.0014105206 1  2e3  14 VÍ DỤ  x Tính tích phân I2   x.sin dx Ta đặt: u  x   x dv sin dx    du  dx   x x v sin dx 3cos      3 Theo phương pháp tích phân phần ta có:     x x x x   cos dx  3x cos  sin I2  3x cos 30 30 30  v1.0014105206  3 15 GIẢI QUYẾT TÌNH HUỐNG Theo ý nghĩa hình học tích phân xác định, diện tích tam giác cong OAB x3 S   x dx  20 v1.0014105206 20  8000  2666,67 (m2) 16 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM dx Giá trị  x là: A 9/2 B 4/3 C 3/2 D 5/2 Trả lời: • Đáp án là: A 9/2 • Vì: Sử dụng cơng thức Newton – Leibnitz ta có: dx 8 32 3   x dx x  x  (4  1)  1 1 2 2 x 8  → Chọn đáp án A v1.0014105206 17 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Giá trị tích phân  (x  3e  x )2 dx là: 12  2 2e e B   3e e C   e 3e 12 D    2e e A Trả lời: Đáp án là: D    12 2e e v1.0014105206 18 CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vì: • • Khai triển tích phân 1 0 x x 2 x  (x  3e ) dx   (x  6xe  9e )dx Lại có: x3  0 x dx  3 1  9e dx   e 2 x • 2 x 9   (e2  1)  (1  e 2 ) 2 (Sử dụng tích phân phần)  6xe  x dx  6[1  2e 1 ] • Tích phân có giá trị là: v1.0014105206  12  2 2e e 19 CÂU HỎI TỰ LUẬN Tính tích phân xác định: x3 1 x  I  dx Giải: Đặt x t t  x   x  t   dx  3t dt t3  t  4t I  3t dt   dt 1 t t 1 1 dt t 1   [t  t  t  3t  3]dt   t t 3t t   3     3t   9ln t  5 0 73   9ln 20 v1.0014105206 20 TÓM LƯỢC CUỐI BÀI • b b Tích phân xác định  f(x)dx  F(x) a  F(b)  F(a) với F(X) ngun hàm f(x) a • Các tính chất tích phân xác định giống tích phân bất định • Khi sử dụng phương pháp đổi biến, đổi biến phải kèm theo đổi cận tính tích phân • Cơng thức tích phân phần: b b b  udv  uv   vdu a • a a Các dạng tích tích phân phần: b  P(x)cosax dx b b a  P(x)sinax dx a v1.0014105206 b x  P(x)e dx a  x ln (kx)dx  n a 21