Phương trình lượng giác và ứng dụng

www.facebook.com/hocthemtoan

Ths. Lê Văn Đoàn Ths. Lê Văn ĐoànThs. Lê Văn Đoàn Ths. Lê Văn Đoàn MỤC LỤC MỤC LỤCMỤC LỤC MỤC LỤC Trang Công thức lượng giác cần nắm vững 1 A – Phương trình lượng giác cơ bản 4 Bài tập áp dụng 4 Bài tập rèn luyện 7 B – Phương trình bậc hai và bậc cao đối với một hàm lượng giác 9 Bài tập áp dụng 10 Bài tập rèn luyện 12 C – Phương trình bậc nhất theo sin và cos 15 Bài tập áp dụng 16 Bài tập rèn luyện 18 D – Phương trình lượng giác đẳng cấp 20 Bài tập áp dụng 21 Bài tập rèn luyện 23 E – Phương trình lượng giác đối xứng 24 Bài tập áp dụng 25 Bài tập rèn luyện 26 F – Phương trình lượng giác chứa căn thức và trị tuyệt đối 28 Bài tập áp dụng 28 Bài tập rèn luyện 30 G – Phương trình lượng giác không mẫu mực 32 Bài tập áp dụng 32 Bài tập rèn luyện 35 H – Phương trình lượng giác chứa tham số – Hai phương trình tương đương 37 Bài tập áp dụng 37 Bài tập rèn luyện 43 I – Hệ phương trình lượng giác 47 Bài tập áp dụng 47 J – Hệ thức lượng trong tam giác – Nhận dạng tam giác 52 Bài tập áp dụng 53 Bài tập rèn luyện 56 Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7. P PP Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụnghương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng Ths. Lê Vn Đoàn ¹ ¹¹ ¹C CC Cầ ầầ ần nn n c cc c• •• • b bb b• •• • t tt th hh h“ ““ “n nn ng gg g m mm mi ii in nn nh hh h§ §§ §§ §§ §§ §§ §§ §§ §º ºº º Page - 1 - CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNGCÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC NẮM VỮNG     Công thức cơ bản Công thức cơ bảnCông thức cơ bản Công thức cơ bản ● 2 2 sin x cos x 1 + = ● tan x.cotx 1 = ● sin x tan x cos x = ● cos x cotx sin x = ● os 2 2 1 1 tan x c x + = ● 2 2 1 1 cot x sin x + =    Công thức cung nhân đôi Công thức cung nhân đôiCông thức cung nhân đôi Công thức cung nhân đôi – –– – Công thức hạ bậc Công thức hạ bậcCông thức hạ bậc Công thức hạ bậc – –– – Công thức cung nhân ba Công thức cung nhân baCông thức cung nhân ba Công thức cung nhân ba ● sin2x 2 sin x.cos x = ● 2 2 2 2 cos x sin x cos2x 2 cos x 1 1 2 sin x  −  =  − = −   ● os 2 1 c 2x sin x 2 − = ● os os 2 1 c 2x c x 2 + = ● 3 sin 3x 3 sin x 4 sin x = − ● 3 cos 3x 4 cos x 3 cos x = −    Công thức cộng cung Công thức cộng cungCông thức cộng cung Công thức cộng cung ● ( ) sin a b sin a.cos b cos a.sin b ± = ± ● ( ) os c a b cos a.cos b sin a.sin b ± = ∓ ● ( ) tan a tan b tan a b 1 tan a.tan b + + = − ● ( ) tan a tan b tan a b 1 tan a.tan b − − = + ● π 1 tan x tan x 4 1 tan x   +    + =      −   ● π 1 tan x tan x 4 1 tan x   −    − =      +      Công thức biến đổi tổng thành tích Công thức biến đổi tổng thành tíchCông thức biến đổi tổng thành tích Công thức biến đổi tổng thành tích ● a b a b cosa cos b 2 cos .cos 2 2 + − + = ● a b a b cosa cos b 2sin .sin 2 2 + − − = − ● a b a b sin a sin b 2sin .cos 2 2 + − + = ● a b a b sin a sin b 2cos .sin 2 2 + − − = ● ( ) sin a b tan a tan b cos a.cos b + + = ● ( ) sin a b tan a tan b cos a.cos b − − =    Công thức biến đổi tích thành tổng Công thức biến đổi tích thành tổngCông thức biến đổi tích thành tổng Công thức biến đổi tích thành tổng ● ( ) ( ) cos a b cos a b cos a.cos b 2 + + − = ● ( ) ( ) sin a b sin a b sin a.cos b 2 + + − = ● ( ) ( ) cos a b cos a b sin a.sin b 2 − − + =    Một số công thức thông dụng khác Một số công thức thông dụng khácMột số công thức thông dụng khác Một số công thức thông dụng khác ● π π sinx cosx 2 sin x 2 cos x 4 4           + = + = −               ● π π sinx cosx 2 sin x 2 cos x 4 4           − = − = +               ● 4 4 2 1 cos4x cos x sin x 1 s 3 1 in 2x 2 4 + + = − = ● 6 6 2 3 cos4x cos x sin x 1 s 5 3 in 2x 4 8 + + = − = Ths. Lê Vn Đoàn Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụngChuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng Page - 2 - ¹ ¹¹ ¹All the flower of tomorrow are in the seeks of today……”    Một số lưu ý Một số lưu ýMột số lưu ý Một số lưu ý :  Điều kiện có nghiệm của phương trình sin x cos x  = α   = α   là: 1 1− ≤ α ≤ .  Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan hoặc cot , có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết phải đặt điều kiện để phương trình xác định.  Phương trình chứa tan x , điều kiện: ( ) cos x 0 x k k 2 π ≠ ⇔ ≠ + π ∈  .  Phương trình chứa cotx , điều kiện: ( ) sin x 0 x k k≠ ⇔ ≠ π ∈  .  Phương trình chứa cả tan x và cotx , điều kiện: ( ) x k. k 2 π ≠ ∈  .  Khi tìm được nghiệm phải kiểm tra (so) với điều kiện. Ta thường dùng một trong các cách sau đây để kiểm tra điều kiện:  Kiểm tra trực tiếp bằng cách thay giá trị của x vào biểu thức điều kiện. Nếu khi thế vào, giá trị ấy làm đẳng thức đúng thì nhận nghiệm, nếu sai thì loại nghiệm.  Dùng đường tròn lượng giác, nghĩa là biểu diễn các ngọn cung của điều kiện và cung của nghiệm. Nếu các ngọn cung này trùng nhau thì ta loại nghiệm, nếu không trùng thì ta nhận nghiệm. Cách biểu diễn cung – góc lượng giác trên đường tròn: " Nếu cung hoặc góc lượng giác  AM có số đo là k2 n π α + 0 0 k.360 hay a n      +        với k ,n + ∈ ∈  thì có n điểm M trên đường tròn lượng giác cách đều nhau". Ví dụ 1: Nếu sđ  AM k2 3 π = + π thì có một điểm M tại vị trí 3 π (ta chọn k 0= ). Ví dụ 2: Nếu sđ  AM k 6 π = + π thì có 2 điểm M tại vị trí 6 π và 7 6 π (ta chọn k 0, k 1= = ). Ví dụ 3: Nếu sđ  2 AM k. 4 3 π π = + thì có 3 điểm M tại các vị trí 11 ; 4 12 π π và 19 12 π , ( ) k 0;1;2= . Ví dụ 4: Nếu sđ  k2 AM k. 4 2 4 4 π π π π = + = + thì có 4 điểm M tại các vị trí 4 π , 3 4 π , 5 4 π ; 7 4 π (ứng với các vị trí k 0,1,2,3= ). Ví dụ 5: Tổng hợp hai cung x k 6 π = − + π và x k 3 π = + π Biểu diễn cung x k 6 π = − + π trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí: 6 π − và 5 6 π Để giải được phương tr˜nh lượng giŸc cũng như cŸc ứng dụng của n‚, cŸc bạn học sinh cần nắm vững tất cả những c“ng thức lượng giŸc. Đ‚ lš hšnh trang, lš c“ng cụ cần thiết nhất để chinh phục thế giới mang t˚n: "Phương tr˜nh lượng giŸc" Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7. P PP Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụnghương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng Ths. Lê Vn Đoàn ¹ ¹¹ ¹C CC Cầ ầầ ần nn n c cc c• •• • b bb b• •• • t tt th hh h“ ““ “n nn ng gg g m mm mi ii in nn nh hh h§ §§ §§ §§ §§ §§ §§ §§ §º ºº º Page - 3 - Biểu diễn cung x k 3 π = + π trên đường tròn thì có 2 điểm tại các vị trí: 3 π và 4 3 π . Tổng hợp hai cung gồm 4 điểm như hình vẽ và cung tổng hợp là: x k 3 2 π π = +  Đối với phương trình 2 2 1 1 cos x cos x 2 2 1 1 sin x sin x 2 2     = = ±   ⇔     = = ±     ta không nên giải trực tiếp vì khi đó có tới 4 nghiệm, khi kết hợp và so sánh với điều kiện rất phức tạp, ta nên hạ bậc là tối ưu nhất. Nghĩa là: 2 2 2 2 1 cos x 2 cos x 1 0 cos2x 0 2 1 cos2x 0 2 sin x 1 0 sin x 2    =  − = =    ⇔ ⇔    = − =     =    . Tương tự đối với phương trình 2 2 sin x 1 sin x 1 cos x 1 cos x 1   = = ±   ⇔   = ± =     ta không nên giải như thế, mà nên biến đổi dựa vào công thức 2 2 sin x cos x 1 + = . Lúc đó: 2 2 2 2 sin x 1 cos x 0 cos x 0 sin x 0 cos x 1 sin x 0    = = =    ⇔ ⇔    = = =        Sử dụng thành thạo câu thần chú: '' Cos đối – Sin bù – Phụ chéo ''  Đây có thể xem là câu thần chú ''đơn giản, dễ nhớ'' trong lượng giác nhưng nó lại đóng vai trò là một trong những nhân tố cần thiết, hiệu quả nhất khi giải phương trình lượng giác.  Cos đối, nghĩa là cos của hai góc đối nhau thì bằng nhau, tức là ( ) cos cos −α = α , còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: ( ) ( ) ( ) sin sin , tan tan , cot tan −α = − α −α = − α −α = − α  Sin bù, nghĩa là sin của hai góc bù nhau thì bằng nhau, tức là ( ) sin sin π − α = α , còn các cung góc lượng giác còn lại thì bằng '' – '' chính nó: ( ) ( ) ( ) cos cos , tan tan , cot tan π − α = − α π − α = − α π − α = − α  Phụ chéo, nghĩa là với hai góc phụ nhau (có tổng bằng 90 0 ) thì sin góc này bằng cos góc kia và ngược lại, tức là: sin cos , cos sin , tan cot , cot tan 2 2 2 2         π π π π             − α = α − α = α − α = α − α = α                              Ta hãy thử đến với ví dụ nhỏ sau đây để thấy được hiệu quả của '' câu thần chú '' này: Giải phương trình lượng giác: sin u cos v = Rõ ràng, ở phần phương trình lượng giác cơ bản, ta chỉ biết cách giải sao cho phương trình sin u sin v = , vậy còn phương trình sin u cos v = thì sao ? Câu trả lời ở đây chính là phụ chéo, bởi: sin u cos v sin u sin v 2   π    = ⇔ = −        ( ) u v k2 u v k2 , k 2 2 π π = − + π ∨ = + + π ∈  . π/3 5 π /6 4π/3 –π/6 O Ths. Lê Vn Đoàn Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụngChuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng Page - 4 - ¹ ¹¹ ¹All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Qua ví dụ này, chắc hẳn nếu trong bài gặp những phương trình dạng như 2 sin x cos x 3   π    = −        thì các bạn học sinh sẽ không còn cảm thấy lúng túng nữa.  Một số cung góc hay dùng khác: ( ) ( ) sin x k2 sin x cos x k2 cos x   + π =     + π =    và ( ) ( ) ( ) sin x k2 sin x k cos x k2 cos x   + π + π = −   ∈   + π + π = −     . A – –– – PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢNPHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN    Dạng DạngDạng Dạng: : : : u v k2 sin u sin v u v k2  = + π  = ⇔  = π − + π   Đặc biệt: sin x 0 x k sin x 1 x k2 2 sin x 1 x k2 2    = ⇒ = π     π  = ⇒ = + π     π   = − ⇒ = − + π       Dạng DạngDạng Dạng: : : : u v k2 cos u cos v u v k2  = + π  = ⇔  = − + π   Đặc biệt: cos x 0 x k 2 cos x 1 x k2 cos x 1 x k2   π  = ⇒ = + π     = ⇒ = π    = − ⇒ = π + π         Dạng DạngDạng Dạng: :: : tan u tan v u v k Ðk : u,v k 2 = ⇔ = + π π ≠ + π Đặc biệt: tan x 0 x k tan x 1 x k 4   = ⇔ = π     π  = ± ⇔ = ± + π        Dạng DạngDạng Dạng: : : : cotu cot v u v k Ðk : u,v k = ⇔ = + π ≠ π Đặc biệt: cot x 0 x k 2 cot x 1 x k 4   π  = ⇔ = + π      π  = ± ⇔ = ± + π     BA BABA BAI T I TÂI T I TÂP A P AP A P AP DU P DUP DU P DUNG NGNG NG Bài1 Bài1Bài1 Bài1. Giải phương trình: ( ) cos 3x 4 cos2x 3cos x 4 0 , x 0;14   − + − = ∗ ∀ ∈     Bài2 Bài2Bài2 Bài2. Giải phương trình: ( )( ) ( ) 2 cos x 1 2 sin x cos x sin2x sin x− + = − ∗ Bài3 Bài3Bài3 Bài3. Giải phương trình: ( ) cos 3x cos2x cos x 1 0+ − − = ∗ Bài4 Bài4Bài4 Bài4. Giải phương trình: ( ) sin x cos x 1 sin 2x cos2x 0+ + + + = ∗ Bài5 Bài5Bài5 Bài5. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 sin x 1 cos 2x sin 2x 1 cos x+ + = + ∗ Bài6 Bài6Bài6 Bài6. Giải phương trình: ( ) 1 1 7 4 sin x sin x 4 3 sin x 2   π    + = − ∗        π      −        Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7. P PP Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụnghương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng Ths. Lê Vn Đoàn ¹ ¹¹ ¹C CC Cầ ầầ ần nn n c cc c• •• • b bb b• •• • t tt th hh h“ ““ “n nn ng gg g m mm mi ii in nn nh hh h§ §§ §§ §§ §§ §§ §§ §§ §º ºº º Page - 5 - Bài7 Bài7Bài7 Bài7. Giải phương trình: ( ) 4 4 7 sin x cos x cot x cot x 8 3 6     π π       + = + − ∗               Bài8 Bài8Bài8 Bài8. Giải phương trình: ( ) 4 4 4 sin 2x cos 2x cos 4x tan x tan x 4 4 + = ∗     π π       − +               Bài9 Bài9Bài9 Bài9. Giải phương trình: ( ) 3 x 1 3x sin sin 1 10 2 2 10 2     π π       − = +               Bài10 Bài10Bài10 Bài10. Giải phương trình: ( ) sin 3x sin 2x sin x 1 4 4     π π       − = +               Bài11 Bài11Bài11 Bài11. ( ) 3 8 cos x cos 3x 1 3   π    + =        Bài12 Bài12Bài12 Bài12. Giải phương trình: ( ) 3 2 sin x 2sin x 1 4   π    + =        Bài13 Bài13Bài13 Bài13. Giải phương trình: ( ) 3 sin x 2 sin x 1 4   π    − =        Bài14 Bài14Bài14 Bài14. Giải phương trình: ( ) cos x cos2x cos 3x cos 4x 0 + + + = ∗ Bài15 Bài15Bài15 Bài15. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 3 sin x sin 2x sin 3x 2 + + = ∗ . Bài16 Bài16Bài16 Bài16. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 sin x sin 2x sin 3x 2 + + = ∗ . Bài17 Bài17Bài17 Bài17. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2 sin x sin 3x cos 2x cos 4x + = + ∗ Bài18 Bài18Bài18 Bài18. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2 sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x − = − ∗ Bài19 Bài19Bài19 Bài19. Giải phương trình: ( ) sin 2 2 5x 9x cos 3x sin 7x 2 2 cos 4 2 2   π    + = + − ∗        Bài20 Bài20Bài20 Bài20. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 sin x cos 2x cos 3x = + ∗ Bài21 Bài21Bài21 Bài21. Giải phương trình: ( ) 2 2 sin 2x sin 7x 1 sin x + − = ∗ Bài22 Bài22Bài22 Bài22. Giải phương trình: ( ) sin x sin 2x sin 3x 1 cos x cos2x + + = + + ∗ Bài23 Bài23Bài23 Bài23. Giải phương trình: ( ) 3 3 3 sin x cos 3x cos x sin 3x sin 4x + = ∗ Bài24 Bài24Bài24 Bài24. Giải phương trình: ( ) 2 3 cos10x 2 cos 4x 6 cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x + + = + ∗ Bài25 Bài25Bài25 Bài25. Giải phương trình: ( ) 3 3 2 4 sin x 3 cos x 3 sin x sin x cos x 0 + − − = ∗ Bài26 Bài26Bài26 Bài26. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 sin x 1 3 cos 4x 2 sin x 4 4 cos x 3 + + − + = ∗ Bài27 Bài27Bài27 Bài27. Giải phương trình: ( ) ( ) 6 6 8 8 sin x cos x 2 sin x cos x + = + ∗ Bài28 Bài28Bài28 Bài28. Giải phương trình: ( ) ( ) 8 8 10 10 5 sin x cos x 2 sin x cos x cos2x 4 + = + + ∗ Bài29 Bài29Bài29 Bài29. Giải phương trình: ( ) ( ) 3 3 5 5 sin x cos x 2 sin x cos x + = + ∗ Bài30 Bài30Bài30 Bài30. Giải phương trình: ( ) 4 2 2 4 3 cos x 4 cos x sin x sin x 0 − + = ∗ Ths. Lê Vn Đoàn Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụngChuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng Page - 6 - ¹ ¹¹ ¹All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Bài31 Bài31Bài31 Bài31. Giải phương trình: ( ) 3 3 2 3 2 cos 3x cos x sin 3x sin x 8 − − = ∗ Bài32 Bài32Bài32 Bài32. Giải phương trình: ( ) 1 cos x cos2x cos4x cos 8x 16 = ∗ Bài33 Bài33Bài33 Bài33. Giải phương trình: ( ) 3 4 sin 3x cos2x 1 6 sin x 8 sin x = + − ∗ Bài34 Bài34Bài34 Bài34. Giải phương trình: ( ) 1 cos x cos2x cos 3x cos 4x cos5x 2 + + + + = − ∗ Bài35 Bài35Bài35 Bài35. Giải phương trình: ( ) sin2x 2 cos x sin x 1 0 tan x 3 + − − = ∗ + Bài36 Bài36Bài36 Bài36. Giải phương trình: ( ) 2 1 sin2x cos2x 2 sin x sin2x 1 cot x + + = ∗ + Bài37 Bài37Bài37 Bài37. Giải phương trình: ( ) ( ) tan x cot x 2 sin 2x cos2x + = + ∗ Bài38 Bài38Bài38 Bài38. Giải phương trình: ( ) 2 tan x tan x tan 3x 2 − = ∗ Bài39 Bài39Bài39 Bài39. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 11 tan x cot x cot 2x 3 + + = ∗ Bài40 Bài40Bài40 Bài40. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 x x sin tan x cos 0 2 4 2   π    − − = ∗        Bài41 Bài41Bài41 Bài41. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 sin2x cot x tan 2x 4 cos x + = ∗ Bài42 Bài42Bài42 Bài42. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 2 cot x tan x 16 1 cos 4x cos2x − = + ∗ Bài43 Bài43Bài43 Bài43. Giải phương trình: ( ) 1 2 tan x cot2x 2 sin 2x 2 sin 2x + = + ∗ Bài44 Bài44Bài44 Bài44. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) 3 sin x tan x 2 1 cos x 0 tan x sin x + − + = ∗ − Bài45 Bài45Bài45 Bài45. Giải phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 cos x 1 cos x 1 tan x sin x 1 sin x tan x 2 4 1 sin x − + + − = + + ∗ − Bài46 Bài46Bài46 Bài46. Giải phương trình: ( ) cos 3x tan 5x sin 7x = ∗ Bài BàiBài Bài47 4747 47. Giải phương trình: ( ) 1 1 sin2x sin x 2 cot x 2 sin x sin 2x + − − = ∗ Bài48 Bài48Bài48 Bài48. Giải phương trình: ( ) ( ) 4 4 sin x cos x 1 tan x cot2x sin2x 2 + = + ∗ Bài49 Bài49Bài49 Bài49. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2 tan x.cot 2x.cot 3x tan x cot 2x cot3x = − + ∗ Bài50 Bài50Bài50 Bài50. Giải phương trình: ( ) x cotx sin x 1 tan x tan 4 2      + + = ∗        Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7. Chuy˚n đề 7. P PP Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụnghương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng hương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng Ths. Lê Vn Đoàn ¹ ¹¹ ¹C CC Cầ ầầ ần nn n c cc c• •• • b bb b• •• • t tt th hh h“ ““ “n nn ng gg g m mm mi ii in nn nh hh h§ §§ §§ §§ §§ §§ §§ §§ §º ºº º Page - 7 - BA BABA BAI T I TÂI T I TÂP P P P RE RERE REN N N N LUYÊ LUYÊLUYÊ LUYÊN NN N Câu 1. Câu 1.Câu 1. Câu 1. Giải phương trình: 2 sin x cos x 2cos x 3 3 sin x − + = . Câu 2. Câu 2.Câu 2. Câu 2. Giải phương trình: 2 tan x cos x 1 2cos x tan x + = + . Câu 3. Câu 3.Câu 3. Câu 3. Giải phương trình: 3 3 2 sin x cos x cos x sin x 8 − = . Câu 4. Câu 4.Câu 4. Câu 4. Giải phương trình: 2 2 2 cos x cos 2x cos 3x 1 + + = . Câu 5. Câu 5.Câu 5. Câu 5. Giải phương trình: 2 2 17 sin 2x cos 8x sin 10x 2   π    − = +        . Câu 6. Câu 6.Câu 6. Câu 6. Giải phương trình: 4 6 cos x sin x cos2x + = . Câu 7. Câu 7.Câu 7. Câu 7. Giải phương trình: 1 cos 4x sin 4x 0 2 sin 2x 1 cos 4x − − = + . Câu 8. Câu 8.Câu 8. Câu 8. Giải phương trình: 2 2 1 sin x cos x cos x 2 + + = . Câu 9. Câu 9.Câu 9. Câu 9. Giải phương trình: ( ) 2 x 2 3 cos x 2 sin 2 4 1 2 cos x 1   π    − − −        = − . Câu 10. Câu 10.Câu 10. Câu 10. Giải phương trình: sin 4x 3sin 2x tan x + = . Câu 11. Câu 11.Câu 11. Câu 11. Giải phương trình: 2 3 cos10x 2cos 4x 6cos 3x cos x cos x 8 cos x cos 3x + + = + . Câu 12. Câu 12.Câu 12. Câu 12. Giải phương trình: ( ) 2 2 2 2 cos x 2 cos 2x 2 cos 3x 3 cos 4x 2 sin 2x 1 + + − = + . Câu 13. Câu 13.Câu 13. Câu 13. Giải phương trình: 5x 7 sin 2x 3 cos x 1 2 sin x , ;3 2 2 3       π π          + − − = + ∀ ∈ π                      . Câu 14. Câu 14.Câu 14. Câu 14. Giải phương trình: ( ) 2 2 sin 4x cos 6x sin 10,5 10x , 0; 2   π    − = π + ∀ ∈        . Câu 15. Câu 15.Câu 15. Câu 15. Giải phương trình: tan2x tan 3x tan 5x tan 2x tan 3x tan 5x − − = . Câu 16. Câu 16.Câu 16. Câu 16. Giải phương trình: sin x sin2x sin 3x 3 cos x cos2x cos 3x + + = + + . Câu 17. Câu 17.Câu 17. Câu 17. Giải phương trình: 2 1 cos x tan x 1 sin x + = − . Câu 18. Câu 18.Câu 18. Câu 18. Giải phương trình: 2 4 cos x cos x 3 = . Câu 19. Câu 19.Câu 19. Câu 19. Giải phương trình: 1 1 2 2 sin x 4 sin x cos x   π    + = +        . Ths. Lê Vn Đoàn Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụngChuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng Chuy˚n đề 7. Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng Page - 8 - ¹ ¹¹ ¹All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Câu 20. Câu 20.Câu 20. Câu 20. Giải phương trình: 2 2 tan x cot2x 3 sin2x + = + . Câu 21. Câu 21.Câu 21. Câu 21. Giải phương trình: 2 3 tan 3x cot2x 2 tan x sin 4x + = + . Câu 22. Câu 22.Câu 22. Câu 22. Giải phương trình: 2 2 2 sin x sin 2x sin 3x 2 + + = . Câu 23. Câu 23.Câu 23. Câu 23. Giải phương trình: ( ) 25 4x 3sin2 x 8 sin x 0 − π + π = . Câu 24. Câu 24.Câu 24. Câu 24. Giải phương trình: sin2x 2 cos x 0 1 sin2x + = + . Câu 25. Câu 25.Câu 25. Câu 25. Giải phương trình: sin x cot5x 1 cos 9x = . Câu 26. Câu 26.Câu 26. Câu 26. Giải phương trình: 2 3 tan6x 2 tan2x cot4x sin 8x − = − . Câu 27. Câu 27.Câu 27. Câu 27. Giải phương trình: 2 1 cos x tan x 1 sin x + = − . Câu 28. Câu 28.Câu 28. Câu 28. Giải phương trình: 3 3 2 cos x cos 3x sin x sin 3x 4 + = . Câu 29. Câu 29.Câu 29. Câu 29. Giải phương trình: 4 4 x x 5 sin cos 3 3 8           + =               . Câu 30. Câu 30.Câu 30. Câu 30. Giải phương trình: ( ) 2 2 sin 3x 1 4 sin x 1 − = . Câu 31. Câu 31.Câu 31. Câu 31. Giải phương trình: 3 3 2 cos x 4 sin x 3cos x sin x sin x 0 − − + = . Câu 32. Câu 32.Câu 32. Câu 32. Giải phương trình: 4 4 x x sin cos 1 2 sin x 2 2 + = − . Câu 33. Câu 33.Câu 33. Câu 33. Giải phương trình: sin 3x sin2x sin x 4 4     π π       − = +               . Câu 34. Câu 34.Câu 34. Câu 34. Giải phương trình: ( ) 2 4 4 2 sin x sin 3x tan x 1 cos x − + = . Câu 35. Câu 35.Câu 35. Câu 35. Giải phương trình: 2 x tan x cos x cos x sin x 1 tan tan x 2      + − = +        . Câu 36. Câu 36.Câu 36. Câu 36. Giải phương trình: 2 2 x 7 sin x cos 4x 2sin 2x 4 sin x , x 1 3 4 2 2   π    − = − − ∀ − <        . Câu 37. Câu 37.Câu 37. Câu 37. Giải phương trình: sin x sin2x sin 3x 1 cos x cos2x + + = + + . Câu 38. Câu 38.Câu 38. Câu 38. Giải phương trình: 2 2 2 2 cos x cos 2x cos 3x cos 4x 2 + + + = . Câu 39. Câu 39.Câu 39. Câu 39. Giải phương trình: ( ) ( ) 2 cos x cos x 1 2 1 sin x sin x cos x − = + + . Câu 40. Câu 40.Câu 40. Câu 40. Giải phương trình: sin x sin2x sin 3x sin 4x sin 5x sin 6x 0 + + + + + = . Câu 41. Câu 41.Câu 41. Câu 41. Giải phương trình: cos x cos 3x 2 cos 5x 0 + + = . [...]... phương trình: Câu 69 Gi i phương trình: cos Câu 70 Gi i phương trình: Câu 71 Gi i phương trình: Câu 72 Gi i phương trình: Câu 73 Gi i phương trình: Câu 74 Gi i phương trình: Câu 75 Gi i phương trình: Câu 76 Gi i phương trình: Câu 77 Gi i phương trình: Câu 78 Gi i phương trình: cos x cos 4x + cos 2x cos 3x + cos2 4x = Câu 79 Gi i phương trình: (1 − tan x )(1 + sin 2x ) = 1 + tan x 4x = cos2 x 3 x tan cos... cos x = 4 (1 + tan x ) − cos x Câu 113 Gi i phương trình: 12 cos x + 5 sin x + Câu 114 Gi i phương trình: Câu 115 Gi i phương trình: Câu 116 Gi i phương trình: Câu 117 Gi i phương trình: Câu 118 Gi i phương trình: sin 5x + 3 cos 5x = 2 sin 7x Câu 119 Gi i phương trình: 3 sin x + cos x = 1 Câu 120 Gi i phương trình: sin x + 5 cos x = 1 ( ) ( ) Câu 121 Gi i phương trình: 1 + 3 sin x + 1 − 3 cos x = 2... x 31 (∗) 2 Bài 320 Bài 320 Gi i phương trình: (cos 4x − cos 2x ) = 5 + sin 3x 32 Bài 321 Gi i phương trình: Bài 321 32 Bài 322 Bài 322 Gi i phương trình: 32 Bài 323 Bài 323 Gi i phương trình: 32 Bài 324 Bài 324 Gi i phương trình: 32 Bài 325 Bài 325 Gi i phương trình: 32 Bài 326 Bài 326 Gi i phương trình: 32 Bài 327 Bài 327 Gi i phương trình: 32 Bài 328 Bài 328 Gi i phương trình: 32 (∗) sin x + cos... (∗) (∗) 3 (∗) ( Bài 106 Gi i phương trình: sin x + cos x sin 2x + 3 cos 3x = 2 cos 4x + sin 3 x Bài 106 (∗) Bài 107 Bài 107 Gi i phương trình: 3 sin 3x − 3 cos 9x = 1 + 4 sin 3 3x Bài 108 Bài 108 Gi i phương trình: Bài 109 Bài 109 Gi i phương trình: Bài 110 Bài 110 Gi i phương trình: Bài 111 Bài 111 Gi i phương trình: Bài 112 Gi i phương trình: Bài 112 Bài 113 Bài 113 Gi i phương trình: (∗) 9 sin x +... x 3x x 3x 1 Gi i phương trình: cos x cos cos − sin x sin sin = (∗) 2 2 2 2 2 sin 4 x + cos4 x 1 1 Gi i phương trình: = cot2x − (∗) 5 sin 2x 2 8 sin 2x Gi i phương trình: ( ) Bài 67 Bài 67 Gi i phương trình: 3 cot2 x + 2 2 sin2 x = 2 + 3 2 cos x Bài 68 Bài 68 Gi i phương trình: 3 cos 4x − 8 cos6 x + 2 cos2 x + 3 = 0 Bài 69 Bài 69 Gi i phương trình: cot x = tan x + Bài 70 Bài 70 Gi i phương trình: cot... Gi i phương trình: sin 6 x + cos6 x = cos 2x + 16 2 Câu 82 Gi i phương trình: 5 sin x − 2 = 3 tan x (1 − sin x ) Câu 80 Gi i phương trình: sin 6 x + cos6 x = ¹ C ầ n c • b • t h “ n g m in h § § § § º Page - 13 - Ths Lê V n oàn Chuy˚n đề 7 Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng 4 Câu 83 Gi i phương trình: sin 4 x + (sin x − 1) = Câu 84 Gi i phương trình: cos 1 8 8x 2x = cos2 3 3 x 2 Câu 86 Gi i phương. .. = sin 2x (∗) BAI TÂP REN LUYÊN BAI TÂP REN LUYÊN Câu 51 Gi i phương trình: 4 cos3 x + 3 2 sin 2x = 8 cos x Câu 52 Gi i phương trình: 6 sin2 3x + cos12x = 14 Câu 53 Gi i phương trình: Câu 54 Gi i phương trình: tan x − 3 cot x + 1 = 3 1 3 Gi i phương trình: + =4 sin2 x cos2 x sin x cos x 1 Gi i phương trình: − 4 tan x + 2 = 0 cos2 x 1 Gi i phương trình: = cot x + 3 sin2 x Câu 55 Câu 56 Câu 57 Page -... + cot x = 1 + 3 ¹All the flower of tomorrow are in the seeks of today……” Ths Lê V n oàn Chuy˚n đề 7 Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng ( ) Câu 58 Gi i phương trình: 1 − 2 + 2 sin x = − Câu 59 Gi i phương trình: Câu 60 Gi i phương trình: Câu 61 Gi i phương trình: Câu 62 Gi i phương trình: Câu 63 Gi i phương trình: 2 2 1 + cot2 x 4 + cos x − 9 = 0 1 + tan2 x 17π   2 sin 4 x + cos4 x − cos  − 2x... đề 7 Phương tr˜nh lượng giŸc vš ứng dụng  Câu 123 Gi i phương trình: ( 3−    ( 3 − 2) cos 3x = 1 , ∀x ∈  π ; 13π  9 9     2 ) sin x + ( 3 + 2 ) cos x = 20 Câu 122 Gi i phương trình: sin 3x + Câu 124 Gi i phương trình: sin x (1 − sin x ) = cos x (1 − cos x ) Câu 125 Gi i phương trình: 3 cos2 x = sin2 x + sin 2x Câu 126 Gi i phương trình: 3 sin 3x − 3 cos 9x = 1 + sin 3 3x Câu 127 Gi i phương. .. Gi i phương trình: cos 2x − 3 sin 2x − 3 sin x − cos x + 4 = 0 Câu 134 Gi i phương trình: 3 sin 2x − 3 cos 6x = 1 + 4 sin 3 2x 3 Câu 135 Gi i phương trình: cos x + 3 sin x = 3 − 3 sin x + cos x + 1 Câu 136 Gi i phương trình: cos 9x − 2 cos 6x − 2 = 0 sin x − sin 2x = 3 Câu 137 Gi i phương trình: cos x − cos 2x ( Câu 138 Gi i phương trình: 2 cos2 x + 3 sin 2x + 1 = 3 sin x + 3 cos x ) Câu 139 Gi i phương . ∈   Phương pháp 1 Phương pháp 1Phương pháp 1 Phương pháp 1:  Điều kiện để phương trình có nghiệm: 2 2 2 a b c + ≥  Chia 2 vế phương trình. Giải phương trình: 1 1 2 2 sin x 4 sin x cos x   π    + = +        . B – –– – PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG