Hệ frame địa phương, toàn cục
Cho M là một đa tạp trơn, có thể có biên hoặc không Định nghĩa 1.1.1 (xem [9] tr.178) nêu rõ rằng, với M là đa tạp trơn và T M là phân thớ tiếp xúc của nó, một trường vectơ trên M được định nghĩa là ánh xạ liên tục X: M → T M Đối với mỗi điểm p ∈ M, ta có X(p) = X p, với X p thuộc T p M Nếu X là ánh xạ trơn, thì trường vectơ tiếp xúc X được gọi là một trường vectơ trơn.
Trong luận văn này, chúng ta luôn giả định rằng trường véc tơ trên đa tạp trơn M là trơn Định nghĩa 1.1.2 (xem [9] tr.178) nêu rõ rằng một hệ frame địa phương trên tập mở U ⊆ M là bộ n thành phần trường vectơ (E 1, , E n) sao cho (E 1 | p, , E n | p) tạo thành cơ sở của T p M với mỗi p ∈ U Khi U ≡ M, hệ frame này được gọi là hệ frame toàn cục Nếu mỗi E i là hàm trơn, thì hệ frame này được gọi là hệ frame trơn.
Đa tạp Riemann và các toán tử
Trường tenxơ
Định nghĩa 1.2.1 (xem [9] tr.255) cho biết rằng, với một phân thớ véctơ π : E → M, nhát cắt địa phương của E là ánh xạ liên tục σ : M → E xác định trên tập mở U ⊆ M sao cho πσ = Id U Nếu U ≡ M, thì σ được gọi là nhát cắt toàn cục Tiếp theo, định nghĩa 1.2.2 (xem [9] tr.316) nêu rõ rằng, đối với đa tạp M, có thể có biên hoặc không, phân thớ k-tenxơ hiệp biến trên M được định nghĩa như sau.
T k (T p ∗ M ) = T p ∗ M ⊗ T p ∗ M ⊗ ⊗ T p ∗ M, (k lần), trong đó T p ∗ M là không gian đối ngẫu của không gian tiếp xúc T p M.
Tương tự, ta định nghĩa phân thớ k-tenxơ phản biến
T k (T p M), và phân thớ tenxơ hỗn hợp dạng (k, `) bởi
Các phân thớ véctơ T k (T ∗ M), T k (T M) và T (k,`) (T M) có cấu trúc tự nhiên là các phân thớ véctơ trơn trên đa tạp M Từ đó, chúng ta định nghĩa về các trường tenxơ Cụ thể, một nhát cắt của một phân thớ tenxơ được gọi là một trường tenxơ (hiệp biến, phản biến, hỗn hợp) trên đa tạp M.
Không gian các nhát cắt trơn của phân thớ k-tenxơ hiệp biến, k-tenxơ phản biến và k-tenxơ hỗn hợp được ký hiệu lần lượt là Γ(T k (T ∗ M)), Γ(T k (T M)) và Γ(T (k,`) (T M)) Những không gian này là các không gian véctơ vô hạn chiều trên R Đặc biệt, không gian tất cả các trường k-tenxơ hiệp biến trơn được ký hiệu ngắn gọn là.
T k (M ) Trong bất kì hệ tọa độ trơn (x i ), các trường k-tenxơ hiệp biến có thể biểu diễn
A = A i 1 i k dx i 1 ⊗ ⊗ dx i k ,các hàm A i 1 i k được gọi là các hàm thành phần của A trong hệ tọa độ đã chọn.
Đa tạp Riemann
Định nghĩa 1.2.4 (xem [10] tr.24) Một metric Riemann trên M là một trường
2-tenxơ hiệp biến đối xứng, xác định dương tại mọi điểm trên M.
Nói cách khác, một metric Riemann g trên M là một ánh xạ p 7→ g p ∈
L 2 (T p M ;R ) sao cho các tính chất sau thỏa mãn
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
(iii) các hệ số g ij trong mỗi biểu diễn địa phương g p =X i;j g ij (p)dx i | p ⊗dx j | p đều là các hàm khả vi.
Chú ý rằng, với mỗi p ∈ M, g p là một tích vô hướng trên T p M, do đó chúng ta thường sử dụng hX, Y i để biểu thị số thực g(X, Y ) với X, Y ∈ T p M Tương tự như hình học Euclid, chiều dài hay chuẩn của véctơ X ∈ T p M được định nghĩa là |X| := hX, X i 1/2 Định nghĩa 1.2.5 cho biết rằng đa tạp Riemann là một cặp (M, g), trong đó M là đa tạp trơn và g là một metric Riemann trên M Cuối cùng, khi áp dụng thuật toán Gram-Schmidt cho các hệ frame địa phương, ta có bổ đề về sự tồn tại hệ frame địa phương trực giao.
Bổ đề 1.2.1 Cho (M, g) là đa tạp có biên hoặc không biên Với mỗi p ∈ M, tồn tại một hệ frame trực giao, trơn trên một lân cận của điểm p.
Bổ đề này đóng vai trò quan trọng trong việc tính toán trên các hệ tọa độ địa phương, mang lại sự thuận tiện và hiệu quả cho quá trình tính toán.
Đa tạp Riemann đủ
Một trong những công cụ quan trọng của metric Riemann là khả năng xác định độ dài cung Định nghĩa 1.2.6 (xem [9] tr.337) nêu rõ rằng cho (M, g) là đa tạp Riemann liên thông, có thể có biên hoặc không, nếu γ : [a, b] → M là một đoạn cong trơn từng khúc, thì độ dài của γ được định nghĩa theo một cách cụ thể.
Khi nghiên cứu đa tạp Riemann, chúng ta giả định rằng nó là liên thông Đối với hai điểm p, q thuộc M, khoảng cách Riemann giữa chúng, ký hiệu d g (p, q), được xác định là giá trị infimum của L g (γ) trên tất cả các đoạn cong trơn từ p đến q Điều này dẫn đến định lý cho không gian metric của đa tạp M: nếu (M, g) là đa tạp Riemann liên thông, thì với hàm khoảng cách Riemann, M trở thành một không gian metric mà topo metric của nó trùng với topo đa tạp ban đầu Đa tạp Riemann liên thông (M, g) được coi là đủ nếu (M, d g) là một không gian metric đủ, tức là mọi dãy Cauchy trong M đều hội tụ.
M hội tụ tới một điểm trong M.
Các toán tử trên đa tạp Riemann
Định nghĩa 1.2.8 (xem [13] tr.41)Gradient của hàm ϕtheo metric Riemann g là toán tử
Với ϕ, ψ ∈ C 1 (M ), ta có các tính chất sau:
Định nghĩa toán tử divergence trên đa tạp (M, g) được ký hiệu là div g, là một ánh xạ từ Γ(T M) đến C ∞ (M), thỏa mãn điều kiện d(ι X ω g ) = div g X.ω g với mọi X thuộc Γ(T M) Trong đó, ι X là phép nhân trong và ω g là dạng thể tích Riemann tương ứng với metric g của đa tạp M Công thức liên quan đến gradient của hai hàm ϕ và ψ được biểu diễn bởi ∇ g (ϕ.ψ) = ϕ∇ g ψ + ψ∇ g ϕ.
Với X, Y là các trường véctơ trơn bất kì, ϕ ∈ C ∞ (M ), ta có:
(ii) div g (ϕX) = ϕdiv g X + h∇ g ϕ, Xi g Định nghĩa 1.2.10 (xem [10] tr.49,50) Một liên thông Riemann ∇ trên đa tạp Riemann (M, g) là một ánh xạ
∇ : T (M ) × T (M) → T (M ), (X, Y ) 7→ ∇ X Y. nó biến hai trường vectơ khả vi đã cho X, Y thành trường vectơ khả vi thứ ba
∇ X Y sao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
(ii) ∇ X Y tuyến tính trên R trong Y:
∇ X (aY 1 + bY 2 ) = a∇ X Y 1 + b∇ X Y 2 với a, b ∈R (iii) ∇ thỏa mãn luật nhân:
∇ X (f Y ) = f∇ X Y + (Xf )Y f ∈ C ∞ (M ). Định nghĩa 1.2.11 (xem [4] tr.246) Hessiancủa hàm f, kí hiệu Hessf là một trường 2-tenxơ hiệp biến thỏa mãn
Hessf (X, Y ) = X(Y f) − (∇ X Y )f, ở đây, kí hiệu ∇ là liên thông Rienman. Định nghĩa 1.2.12 (xem [13] tr.43) Toán tử Laplace trên (M, g) là ánh xạ
Độ cong m-Bakry-Émery Ricci
Khụng gian đo metric trơn được định nghĩa là một bộ ba (M, g, dà), trong đó (M, g) là một đa tạp Riemann n chiều đủ, và hàm đo dà được xác định bởi công thức dà := e −f dv, với f là một hàm trơn có giá trị thực cố định trên M.
Độ cong m-Bakry-Émery Ricci trên không gian đo metric trơn được định nghĩa thông qua ánh xạ tự đồng cấu độ cong Riemann Cụ thể, cho M là một đa tạp Riemann, ánh xạ R: T(M) × T(M) × T(M) → T(M) được xác định để mô tả độ cong trong bối cảnh này.
R(X, Y )Z = ∇ X ∇ Y Z − ∇ Y ∇ X Z − ∇ [X,Y ] Z,trong đó [X, Y ] là tích Lie của hai trường véctơ X và Y.
Trong hệ tọa độ địa phương (x i ),tự đồng cấu độ cong có biểu diễn
R = R ` ijk dx i ⊗ dx j ⊗ dx k ⊗ ∂ ` , với các hệ số R ` ijk được xác định bởi
Độ cong Ricci, hay còn gọi là tenxơ Ricci, được ký hiệu là Ric, là một trường 2-tenxơ hiệp biến được định nghĩa dựa trên vết của tự đồng cấu độ cong Cụ thể, công thức R(∂ i , ∂ j )∂ k = R ` ijk ∂ ` thể hiện mối liên hệ giữa các thành phần của tenxơ này.
R ij := R k kij Định nghĩa 1.2.16 Độ cong m-Bakry-Émery Ricci, được xác định như sau
Khi m = ∞,Ric ∞ f := Ric f := Ric + Hessf gọi là độ cong Bakry-Émery Ricci cổ điển.
Tích phân trên đa tạp Riemann
Cho M là một đa tạp trơn, n chiều, có thể định hướng và có thể có hoặc không có biên Không gian véctơ các k-dạng trơn được ký hiệu là Ω n (M ) Theo định nghĩa, ω là một n-dạng vi phân trên M.
M, có giá compact tương đối trong miền thuộc bản đồ đơn, trơn xác định dương hoặc âm (U, ϕ) Tích phân của ω trên M được định nghĩa như sau
Tiếp theo, giả sử ω có giá compact trong M, gọi {ϕ j } ∞ j=1 là một phân hoạch đơn vị của M gồm các bản đồ địa phương trơn Khi đó, ta định nghĩa
Định nghĩa tích phân của ω trên M ϕ j ω được khẳng định là chính xác, cho thấy rằng nó không bị ảnh hưởng bởi sự lựa chọn phân hoạch đơn vị trên M.
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị
Mệnh đề 1.3.1 xác định rằng tồn tại duy nhất một dạng trơn, định hướng ω g ∈ Ω n (M), được gọi là dạng thể tích Riemann Dạng này thỏa mãn điều kiện ω g (E 1 , , E n ) = 1 với mọi cơ sở frame định hướng địa phương, trực giao (E i ) trên M.
Mệnh đề 1.3.2 (xem [9] tr.389) nêu rằng cho (M, g) là một đa tạp Riemann, trong bất kỳ hệ bản đồ trơn (x i ), dạng thể tích Riemann có thể được biểu diễn địa phương dưới dạng ω g = p det(g ij )dx 1 ∧ ∧ dx n Định nghĩa 1.3.2 (xem [9] tr.422) chỉ ra rằng ω g là dạng thể tích Riemann của đa tạp Riemann (M, g), và f là một hàm thực liên tục có giá trị compact tương đối trên M.
M f ω g gọi là tích phân của f trên M.
Nếu M là compact thì thể tích của M được xác định là Vol(M ) =R
M ω g Do vậy, dạng thể tích Riemann thường được kí hiệu là dv g Theo đó, tích phân của f trên M được viết thành R
M f dv g Nếu f có giá trong miền thuộc bản đồ đơn, trơn, định hướng (U, ϕ), từ các mệnh đề trên suy ra
Z ϕ(U ) f(x)p det(g ij )dx 1 ∧ ∧ dx n Ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian
Trong không gian đo metric trơn, phương trình ∆ p,f u + F (u) = 0 (2.1) được xem xét với u thuộc W loc 1,p (M) và hàm F liên tục khả vi thỏa mãn điều kiện F (u) ≥ 0 cùng với F p−1 0 (u) u ≤ F (u) khi u > 0 Toán tử p-Laplace có trọng ∆ p,f u được định nghĩa là ∆ p,f u = e f div(e −f |∇u| p−2 ∇u) theo nghĩa phân phối, với p > 1 Chúng ta sẽ phát triển ước lượng gradient địa phương cho các nghiệm dương của phương trình (2.1), bắt đầu bằng việc trình bày nội dung của định lý chính: Định lý 2.0.1 Xét (M, g, dà) là một không gian đo metric trơn với Ric m f ≥.
Giả sử u là một nghiệm dương của phương trình (2.1) trên hình cầu B 0 (R) thuộc M, với K là một hằng số không âm Khi đó, tồn tại một hằng số C p,m chỉ phụ thuộc vào p và m.
Nhờ vào việc chứng minh Định lý 2.0.1, chúng ta có thể xác nhận một số kết quả quan trọng khi f là những hàm thường gặp Một trong những kết quả nổi bật là phương trình Allen-Cahn.
Hệ quả 2.0.1 Cho (M, g, dà) là một khụng gian đo metric trơn khụng compact với Ric m f ≥ −(m − 1)K, K là hằng số không âm Nếu u là nghiệm của phương trình
Chương 2 Ước lượng gradient cho phương trình p -Laplacian thỏa mãn 0 < u ≤ 1 trên hình cầu B 0 (R) ⊂ M thì
KR R trên hình cầu B 0 ( R 2 ), trong đó C p,m là hằng số chỉ phụ thuộc vào p và m Đặc biệt, khi K = 0 và 0 < u ≤ 1 trên M thì u ≡ 1 trên M.
Tương tự, ta có phương trình Fisher.
Hệ quả 2.0.2 Cho (M, g, dà) là một khụng gian đo metric trơn khụng compact với Ric m f ≥ −(m − 1)K, hằng số K ≥ 0 Nếu u là nghiệm dương, không lớn 1 của phương trình
∆ p,f u + cu(1 − u) = 0, 2 ≤ p ≤ 3, c > 0, trên hình cầu B 0 (R) ⊂ M thì
KR R trên hình cầu B 0 ( R 2 ), với C p,m chỉ phụ thuộc vào p và m Khi K = 0 và 0 < u ≤ 1 trên M thì u ≡ 1 trên M.
Cuối cùng, ta có hệ quả sau liên quan đến phương trình Lichnerowicz tổng quát trong lý thuyết tương đối.
Hệ quả 2.0.3 Giả sử(M, g, dà)là một khụng gian đo metric trơn khụng compact với Ric m f ≥ −(m − 1)K, K là hằng số không âm Gọi u là nghiệm của phương trình
∆ p,f u + u a − u b = 0, với p nằm giữa 1 + a và 1 + b Khi đó nếu 0 ≤ a < b mà 0 < u ≤ 1 hoặc nếu a > b ≥ 0 mà u ≥ 1 trên hình cầu B 0 (R) ⊂ M Khi đó tồn tại một hằng số C p,m chỉ phụ thuộc vào p và m sao cho
KR R trên hình cầu B 0 ( R 2 ) Đặc biệt, nếu K = 0 và 0 < u ≤ 1 trên M khi 0 ≤ a < b hoặc u ≥ 1 trên M khi a > b ≥ 0 thì u ≡ 1 trên M.
Để chứng minh Định lí 2.0.1, chúng ta giả sử u là nghiệm của phương trình (2.1) và định nghĩa v = (p − 1)lnu, w = |∇v| 2 Chứng minh sẽ dựa vào hai bổ đề chính, nhằm làm rõ các khái niệm đã nêu.
Bổ đề 2.0.1 Ước lượng tích phân gradient
Cho η ∈ C 0 ∞ (B 0 (R)) là không âm và với giả thiết như Định lí 2.0.1 Khi đó tồn tại các hệ số d 1 , d 2 , d 3 chỉ phụ thuộc vào p và m sao cho
Bổ đề 2.0.2 Ước lượng chuẩn L p
Với giả thiết như Định lí 2.0.1 và b 0 > 0 đủ lớn và R > 0, tồn tại d 4 (p, m) > 0 sao cho k w k
Chương 2 được cấu trúc thành 4 phần chính Phần 1 (Mục 2.1) trình bày chứng minh Bổ đề 2.0.1, trong đó đưa ra một bất đẳng thức quan trọng về ước lượng tích phân gradient của hàm w Tiếp theo, Mục 2.2 chứng minh Bổ đề 2.0.2, giúp xác định một chặn trên của k w k trong không gian L p Sử dụng phép lặp Moser, chúng ta có thể thu được chặn trên của k w k L ∞, điều này là then chốt cho việc chứng minh Định lý 2.0.1 trong Mục 2.3 Cuối cùng, Mục 2.4 tập trung vào việc chứng minh các hệ quả đã được đề cập trước đó.
Ước lượng tích phân gradient
Trước khi chứng minh định lý này, cần thiết phải có một số định nghĩa và bổ đề liên quan Định nghĩa 2.1.1 (xem [14]) cho biết toán tử tuyến tính hóa của toán tử p-Laplace có trọng tương ứng với u ∈ C²(M) và điều kiện ∇u ≠ 0.
L f (ψ) = e f div(e −f |∇u| p−2 A(∇ψ)), trong đó ψ là một hàm trơn trên M và A là một tenxơ được xác định bởi
|∇u| 2 Bằng tính toán trực tiếp, ta có
Chương 2 Ước lượng gradient cho phương trình p -Laplacian
Kí hiệu L f là tổng các thành phần bậc hai của L f , do vậy
Bổ đề 2.1.1 (xem [14]) Cho (M, g, dà) là một khụng gian đo metric trơn và hàm u ∈ C 3 (M ) Khi đó nếu |∇u| 6= 0 thì
, (2.4) trong đó |Hessu| 2 A = A ik A jl u ij u kl và A xác định như trên.
Chọn hệ frame địa phương trực giao của trường vectơ e₁, , eₙ với eₙ là véctơ pháp tuyến trên ∂M, ký hiệu uᵢ = du(eᵢ) và uᵢⱼ = Hessu(eᵢ, eⱼ) Đặt w = |∇u|², từ đó có wᵢ = 2uₖuₖᵢ, wⱼ = 2uₗuₗⱼ và wᵢⱼ = 2uₖⱼ uₖᵢ + 2uₖuₖᵢⱼ Kết quả dẫn đến ∆ₐu = uᵢu wᵢⱼ uⱼ = h∇w,∇uᵢ.
Bây giờ tính ∆ ∞ (|∇u| p ) và Hess(|∇u| p ) Áp dụng công thức Bochner [11], ta có
= w p 2 −1 u kj u ki + u k u kij + (p − 2) u k u ki u l u lj w
, với ∇ i = ∇ e i Điều này dẫn đến
(∇ i ∇ j w p 2 )u i u j w = w p 2 −1 u kj u j u ki u i w + u k u i u j u kij w + (p − 2) u k u ki u i u l u lj u j w 2
= u ijk u i u j u k w + u k u ik u j u ij w + u k u jk u i u ij w − 2u k u ` u k` u i u j u ij w 2
Do đó, ta có được
Điều này dẫn tới (2.3) Hơn nữa, thành phần bậc nhất của L được cho bởi
Chương 2 Ước lượng gradient cho phương trình p -Laplacian
, ở đây ta đã sử dụng công thức
Do đó, (2.4) được chứng minh
Bây giờ áp dụng Bổ đề 2.1.1 cho toán tử tuyến tính hóa L f (ψ) tại điểm v = (p − 1)lnu, với u là nghiệm của (2.1), tức là
Tiếp đến, ta sẽ ước lượngL f (Q), vớiQ = |∇v| p Trước hết, ta đánh giá|Hessv| 2 A thông qua bổ đề sau:
Bổ đề 2.1.2 Với giả thiết như Định lí 2.0.1, đặt h = (p − 1) p−1 e −v F (e p−1 v ) và α = min n 2(p − 1), m(p−1)
Chứng minh. Đầu tiên thay v vào phương trình (2.1), ta thu được
∆ p,f v = −(p − 1) p−1 e −v F (e p−1 v ) − |∇v| p (2.6) Mặt khác, đặt w = |∇v| 2 , theo định nghĩa của toán tử p-Laplace có trọng thì
2 h∇w, ∇vi w p−4 2 Kết hợp hai phương trình trên ta được w p−2 2 ∆ f v + p − 2
Để ước lượng |Hessv| 2 A tại các điểm có w > 0, ta chọn một hệ frame địa phương trực giao {e} n i=1 gần điểm đã cho với ∇v = |∇v|e 1 Từ đó, ta có w = v 1 2, w 1 = 2v i1 v i = 2v 11 v 1, và với j ≥ 2, w j = 2v j1 v 1 Điều này dẫn đến 2v j1 = w j - w 1 2 Lưu ý rằng ∆ f v = ∆v - h∇f, ∇v i, và với cách chọn hệ frame địa phương như trên, ta có h∇f, ∇vi = f 1 v 1 Do đó, phương trình (2.7) sẽ suy ra n.
Từ định nghĩa ma trận A, ta có
2w |∇w| 2 Biến đổi và sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
Thay (2.8) vào bất đẳng thức trên suy ra
Chương 2 Ước lượng gradient cho phương trình p -Laplacian
Sử dụng bất đẳng thức(a − b) 2 ≥ 1+δ a 2 − b δ 2 với a = hw 1− p 2 + w + (p − 1)v 11 ,b = f 1 v 11 và δ = m−n n−1 > 0, ta có
≥ (hw 1− p 2 + w) 2 + 2(p − 1)v 11 (hw 1− p 2 + w) m − 1 + (p − 1) 2 m − 1 v 11 2 − (f 1 v 1 ) 2 m − n Để tiếp tục làm trội, kí hiệu α = min n 2(p − 1), m(p−1)
Thế hai đẳng thức này vào bất đẳng thức phía trên, ta thu được
Bổ đề 2.1.3 Với giả thiết như Bổ đề 2.1.2 thì
Trước hết, lấy gradient hai vế (2.6), ta có
Thế dòng cuối của biểu thức ∇∆ p,f v ở trên vào (2.5), ta thu được
Chú ý rằng Ric m f = Ric f − ∇f ⊗ ∇f m − n Tính trên hệ frame địa phương đã chọn thì
∇f ⊗ ∇f m − n (∇v, ∇v) = (f 1 v 1 ) 2 m − n Áp dụng Bổ đề 2.1.2 và kết quả trên với nhận xét rằng hàmF thỏa mãn F
F (u) nên một lần nữa ta có ước lượng L f (Q) như sau:
Hơn nữa, với điều kiện Ric m f ≥ −(m − 1)K nên ta tiếp tục có đánh giá
Bất phương trình trên xảy ra bất cứ khi nào w dương thực sự Bây giờ, đặt
Chương 2 Ước lượng gradient cho phương trình p -Laplacian
K = {x ∈ Ω : w(x) = 0}; với Ω ⊂ M là một tập mở Đến đây ta có bổ đề về ước lượng tích phân R
Bổ đề 2.1.4 Cho ψ là một hàm Lipschitz không âm có giá compact trongΩ \ K, với giả thiết như Bổ đề 2.1.2, khi đó
Chứng minh. Để thuận tiện, kí hiệu X := e −f |∇v| p−2 A(∇Q) ta có
|∇v| p−2 hA(∇Q), ∇ψi dà. Để tiếp tục làm rõ tích phân trên, ta tính A(∇Q) Do
Sử dụng phân tích này, kết hợp với Bổ đề 2.1.3, ta có ước lượng
Từ nay, chúng ta sẽ sử dụng các ký hiệu 1, a2, và d1, d2, để biểu thị các hệ số chỉ phụ thuộc vào p và m Hằng số b lớn hơn 1 sẽ được xác định trong (2.14) Chúng ta sẽ kết thúc phần này bằng việc trình bày chứng minh cho Bổ đề 2.0.1.
Lấy ψ = w b η 2 , với > 0, η ∈ C 0 ∞ (B 0 (R)) và w = (w − ) + Bằng tính toán trực tiếp, ta có
Dễ thấy rằngψ là hàm Lipschitz không âm, có giá compact trong Ω\ K, áp dụng
Bổ đề 2.1.4 với Ω = B 0 (R), ta thu được
(2.9) Bây giờ ta sẽ ước lượng hai số hạng ở vế trái Chú ý rằng w p−2 w b−1 |∇w| 2 + (p − 2)w p−3 w b−1 h∇v, ∇wi 2 ≥ a 1 w p−2 w b−1 |∇w| 2 , (2.10) với a 1 =
(1 với p > 2 p − 1 với 1 < p ≤ 2. Đặt β := 1 + hw −p 2 , từ hai bất đẳng thức (2.9) và (2.10) với chú ý p > 1, β > 1,
Chương 2 Ước lượng gradient cho phương trình p -Laplacian cho → 0 ,ta có đánh giá
Mặt khác ta lại có
Kết hợp hai bất đẳng thức trên, ta thu được
Sử dụng BĐT Cauchy- Schwartz ta có
Tiếp tuc áp dụng BĐT Cauchy- Schwartz, ta có w − 1 2 h∇w, ∇v i ≤ |∇w| do vậy Z
Tương tự, ta cũng có −|∇w| ≤ w − 1 2 h∇w, ∇vi, do đó
(2.13) Kết hợp các bất đẳng (2.11), (2.12) và (2.13), ta thu được
Chọn b đủ lớn sao cho
Chú ý rằng a 3 , a 4 đều không âm và β ≥ 1 nên ta có
Tiếp theo, sử dụng bất đẳng thức k a + b k 2 ≤ 2(k a k 2 + k b k 2 ), ta có
2 w p+b−3 η 2 |∇w| 2 + 2w p+b−1 |∇η| 2 Thế BĐT này vào BĐT liền kề phía trên, ta có
Chương 2 Ước lượng gradient cho phương trình p -Laplacian Điều này tương đương với
Như vậy, Bổ đề 2.0.1 được chứng minh.
Ước lượng chuẩn L p
Để chứng minh Bổ để 2.0.2, ta cần bổ đề về bất đẳng thức Sobolev địa phương sau:
Bổ đề 2.2.1 nêu rằng trong không gian đo metric trơn, đủ, n chiều (M, g, dà), nếu điều kiện Ric m f ≥ −(m − 1)K với K là hằng số không âm và m > n ≥ 2 được thỏa mãn, thì tồn tại một hằng số C phụ thuộc vào m Điều này đảm bảo rằng với mọi hình cầu B 0 (R) ⊂ M và mọi hàm φ ∈ C 0 ∞ (B 0 (R)), các tính chất nhất định sẽ được duy trì.
(R 2 |∇φ| 2 + φ 2 )dà, ở đây V là thể tích hình cầu trắc địa B 0 (R).
Phần chứng minh của bổ đề này có thể xem ở [3] Bây giờ ta sẽ chứng minh
Từ Bổ đề 2.2.1 và Bổ đề 2.0.1, ta có
KR) với c 1 đủ lớn để làm cho b 0 thỏa mãn (2.14) Tiếp tục điều chỉnh độ lớn của c 1 để có ước lượng
Bước tiếp theo là giãn ước số hạng thứ hai của vế trái (2.15) bằng cách làm trội hai số hạng ở vế phải theo thứ tự Đầu tiên, ta sẽ đánh giá số hạng thứ nhất ở vế phải bằng cách chọn η 1 ∈ C 0 ∞ (Ω) với điều kiện 0 ≤ η 1 ≤ 1, và η 1 ≡ 1 trong B 0 (3 4 R).
Ta sử dụng bất đẳng thức H¨older cho vế phải
B 0 (R) dà p+b 1 , từ đây ta nhận được d 2 R 2
Chương 2 Ước lượng gradient cho phương trình p -Laplacian
Nhắc lại rằng bất đẳng thức Young khẳng định
AB ≤ A p p + B q q ≤ A p + B q , với A, B ≥ 0, p, q > 0, 1 p + 1 q = 1 Áp dụng điều này ta có a 6 b 2
Tiếp theo đánh giá số hạng thứ hai ở vế phải (2.15) Chú rằng a 5 b 2 0 b 2 w p+b−1 a 9 b 2 0 R −2 Do đó, để đánh giá số hạng này, ta chia hình cầu
Vì hàm dưới dấu tích phân là không âm và kết hợp với điều kiện 0 ≤ η ≤ 1 nên ta có các bất đẳng thức sau: a 5 b 2 0 b 2 e c 2 b 0 V − m 2
Chọn b = b 0 , khi đó với c 1 đủ lớn tồn tại a 10 , a 11 , a 12 sao cho a 8
Từ đây nhận được bd 2 R 2 e c 2 b 0 V − m 2
Bây giờ ta thế (2.16), (2.17) vào (2.15), ta thu được
Cuối cùng, lấy căn bậc p + b 0 − 1 cả 2 vế với chú ý η = 1 trong B 0 ( 3 4 R), ta có k w k
Theo đó Bổ đề 2.0.2 được chứng minh hoàn toàn.
Ước lượng gradient cho nghiệm phương trình p -Laplacian
Bây giờ ta sẽ chứng minh Định lí 2.0.1
Nhắc lại rằng, trong chứng minh Bổ đề 2.0.2, ta đã chứng minh được (2.15) Do
Chương 2 trình bày phương pháp ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian, trong đó số hạng thứ hai ở vế trái không âm có thể bị loại bỏ Điều này dẫn đến một bất đẳng thức mới, giúp đơn giản hóa việc phân tích và giải quyết các bài toán liên quan.
Tiếp theo, ta sử dụng phép lặp Moser Đặt b l+1 = b l m m − 2 , b l = b + p − 1, Ω l = B 0 ( R
2 + R 4l ), l = 1, 2 và chọn η l ∈ C 0 ∞ (B 0 (R)) sao cho η l ≡ 1 trong Ω l+1 , η l ≡ 0 trong B 0 (R) \ Ω l , |∇η l | ≤ C4 l
R , 0 ≤ η l ≤ 1. Với cách chọn như trên, ta có
Từ ước lượng |∇η l | suy ra k w k L bl+1 (Ω l+1 ) ≤ a 14 e c 2 b 0 V − m 2 bl 1 b 2 0 b 2 + b16 l bl 1 k w k L bl (Ω l )
1 nên ta có đánh giá b 2 0 b 2 + b16 l bl 1
1 17 m 2 4b 1 (b 0 b) m b 1 k w k L b 1 (B 0 ( 3R 4 )) Mặt khác từ Bổ đề 2.0.2 bằng cách đặt b 1 = (b 0 + p − 1) m−2 m dẫn đến k w k L b 1 (B 0 ( 3R 4 )) ≤ d 4 b 0 R
Bây giờ thế kết quả này vào trên và chọn b 0 đủ lớn, ta thu được k w k L ∞ (B 0 ( R )) ≤ a 15 b 0 R 2 .
2 ta có điều cần chứng minh.
Các hệ quả và ứng dụng
Định lý 2.0.1 đã được chứng minh với hàm F khá tổng quát, cụ thể khi F(u) = cu^σ, với c > 0 và σ ≤ p − 1, dẫn đến phương trình trong tài liệu [6] Điều này cho thấy Định lý 2.0.1 là sự tổng quát hóa các kết quả của L Zhao và D Y Yang Ngoài ra, các kết quả tương tự cũng có thể đạt được khi chọn F là các hàm quen thuộc như F(u) = u(1 - u^2) (hàm Allen-Cahn) hoặc F(u) = cu(1 - u) (hàm Fisher), hay một cách tổng quát hơn là F(u) = u^a - u^b, liên quan đến phương trình Lichnerowicz trong lý thuyết tương đối.
Sau đây ta sẽ chứng minh các hệ quả đã nói ở đầu chương này.
Với F (u) = u(1 − u 2 ) thì F 0 (u) = 1 − 3u 2 Theo đó, dưới điều kiện 2 ≤ p ≤ 4, ta có F 0 (u)u p − 1 = (1 − 3u 2 )u p − 1 ≤ u(1 − u 2 ) = F (u).
Như vậy, giả thiết định lí 2.0.1 được thỏa mãn nên ta có (2.2) Khi K = 0, thế vào (2.2), ta có
Khi R tiến tới vô cùng, với điều kiện u > 0, ta có ∇u = 0, điều này chứng tỏ u là hàm hằng trên M Kết quả này dẫn đến ∆ p,f u = 0, và thay vào phương trình, ta nhận được u(1 − u²) = 0 Dựa vào điều kiện 0 < u ≤ 1, ta suy ra rằng u = 1 trên M, từ đó chứng minh Hệ quả 2.0.2.
Lập luận tương tự như phần chứng minh Hệ quả 2.0.1 Chứng minh Hệ quả 2.0.3
Vì p nằm giữa 1 + a và 1 + b, nên trong cả hai trường hợp a < b (0 < u ≤ 1) và a > b (u > 1), ta có F p−1 0 (u) u ≤ F (u) Điều này cho thấy giả thiết của Định lý 2.0.1 được thỏa mãn, dẫn đến (2.2) Cuối cùng, khi thay K = 0 và lấy giới hạn R → +∞, ta suy ra u là hằng số Do đó, ∆ p,f u = 0, kéo theo a − u b = 0 Với u > 0 và a ≠ b, ta có u = 1 trên M.
Bài viết nghiên cứu và thiết lập ước lượng gradient cho phương trình p-Laplacian phi tuyến tổng quát, thông qua việc trình bày chi tiết từng bước chứng minh Định lý 2.0.1 về ước lượng gradient của phương trình.
∆ p,f u + F (u) = 0 trên không gian đo metric trơn thông qua các Bổ đề 2.0.1, 2.0.2.
Dựa trên kết quả của Định lý 2.0.1, luận văn đã trình bày một số hệ quả và ứng dụng cho các phương trình quan trọng trong Vật lý Toán, trong đó bao gồm phương trình Allen-Cahn, phương trình Fisher, và phương trình kiểu Lichnerowicz tổng quát.
[1] B Kotschwar and L Ni (2009), Local gradient estimates of p-harmonic functions, 1/H-flow, and an entropy formula, Ann Sci Ec Norm Supér.
[2] D Bakry and M Emery (1985), Diffusions hypercontractives (French), Séminaire de probabilités, XIX, 1983/84, Lecture Notes in Math., vol 1123, Springer, Berlin, pp 177–206.
[3] J Y Wu, Li–Yau (2010), Type estimates for a nonlinear parabolic equation on complete manifolds, J Math Anal Appl 369 (1) 400–407.
[4] K Wolfgang (2006), Differential geometry (2nd Edition), American Math- ematical Society.
[5] L Zhao (2014),Gradient estimates for a simple parabolic Lichnerowicz equa- tion , Osaka J Math 51, no 1, 245–256.
[6] L Zhao và D Yang (2018), Gradient estimates for the p-Laplacian Lich- nerowicz equation on smooth metric measure spaces, American Mathemat- ical Society 146, 5451-5461.
[7] L F Wang and Y Zhu (2012), A sharp gradient estimate for the weighted p-Laplacian, Appl Math J Chinese Univ Ser B 27, no 4, 462–474.
[8] L F Wang, Z Y Zhang, L Zhao, and Y J Zhou (2017), A Liouville theorem for weighted p-Laplace operator on smooth metric measure spaces, Math Methods Appl Sci 40, no 4, 992–1002.
[9] M L John (2013), Introduction to Smooth Manifolds (2nd Edition), Springer, NewYork.
[10] M L John (1997), Riemannian manifolds: An introduction to curvature,Springer, NewYork.
