CÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA ES –FGM
Tấm vật liệu cơ tính biến thiên
Giả sử tấm được làm bằng hỗn hợp của kim loại và gốm với tỉ lệ về thể tích tuân theo quy luật lũy thừa: c m k c V V h
Chỉ số tỉ phần thể tích k≥0 phản ánh lượng vật liệu phân bố theo bề dày h của tấm FGM Tọa độ dày z nằm trong khoảng từ -h/2 đến h/2, với các chỉ số m và c đại diện cho các thành phần kim loại và gốm tương ứng.
Các tính chất hiệu dụng của tấm FGM Pr eff được xác định theo quy luật tuyến tính của vật liệu như sau c c m m eff Pr ( z ) V Pr ( z ) V
Pr (2) Theo quy luật đã được đề cập, modun Young E được biểu diễn ở dạng
Hệ số Poisson được giả thiết là hằng số
Các phương trình cơ bản
Xét tấm hình chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b và độ dày h Hệ tọa độ Đề
Các Oxyz được chọn như hình 1 cho thấy tấm chịu tải nén theo hai phương P x và P y, được gia cố bởi các gân đặt gần nhau theo chiều dọc.
Để đảm bảo tính liên tục giữa gân và tấm, gân được sử dụng là kim loại khi nằm ở mặt tấm kim loại, và là gốm khi nằm ở mặt tấm gốm.
Hình.1 Tấm FGM có gân chịu nén
Theo lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất có tính đến yếu tố phi tuyến hình học Von
Karman thì các thành phần biến dạng của tấm tại điểm ở khoảng cách z so với mặt phẳng trung bình có dạng [27]
Trong mặt phẳng trung bình của tấm, các chuyển vị được biểu diễn bằng u = u(x,y), v = v(x,y) và w = w(x,y) theo các hướng x, y và z Đồng thời, các góc xoay của mặt cắt ngang quanh trục y và x được ký hiệu lần lượt là x và y.
Định luật Hook cho tấm và gân Định luật Hook cho tấm được xác định như sau
xy yz P yz xz P xz
Bài viết đề cập đến ảnh hưởng của biến dạng trượt của gân trong cấu trúc, với các chỉ số E và G tương ứng cho modun Young và modun trượt của gân theo hướng x và y Liên hệ giữa nội lực, momen và biến dạng được phân tích bằng cách sử dụng kỹ thuật san đều gân, bỏ qua độ xoắn và tích phân các liên hệ ứng suất-biến dạng Kết quả là các biểu diễn cho tổng hợp lực, tổng momen và tổng lực cắt của tấm ES-FGM được trình bày rõ ràng.
(10) trong đó các hệ số A ij , B ij và D ij được cho bởi [20]
Các hệ số hiệu chỉnh trượt ngang được xác định bởi công thức với giá trị 1 = 2 = 5/6 Khoảng cách giữa hai gân dọc và gân ngang lần lượt được ký hiệu là d 1 và d 2 Diện tích mặt cắt ngang của các gân dọc được ký hiệu là A 1 và A 2, trong khi độ lệch tâm của các gân dọc và gân ngang so với mặt giữa của tấm được biểu diễn bằng z 1 và z 2 Cuối cùng, chiều rộng và độ dày của các gân dọc và gân ngang lần lượt được ký hiệu là b 1, h 1 và b 2, h 2.
Các phương trình cân bằng của tấm FGM nằm trên nền đàn hồi dựa trên thuyết biến dạng trượt bậc nhất là [25,27]
y y y x xy x y xy x x yy xx xy xy yy y xx x y y x x y y x xy y xy x x
(13) ở đây q là lực vuông góc tác động lên mặt tấm; K 1 , K 2là các hệ số nền
Hệ phương trình ổn định
Thế phương trình (5) và (8-10) vào phương trình (13) dẫn tới các phương trình ổn định theo các thành phần chuyển dịch là
Tập hợp phụ thuộc lẫn nhau 5 phương trình (14) là các phương trình chủ đạo được sử dụng để phân tích sự vồng và sau vồng của tấm ES-FGM
Phân tích sự vồng tuyến tính của tấm ES-FGM chịu tải kết hợp
Để thiết lập phương trình ổn định cho tấm FGM dưới tải trọng cơ học, chúng ta áp dụng tiêu chuẩn cân bằng lân cận Giả sử trạng thái cân bằng ban đầu được xác định bởi các thành phần dịch chuyển u₀, v₀ và w₀ Khi thêm các số gia nhỏ u₁, v₁ và w₁ vào các biến dịch chuyển, tổng các thành phần dịch chuyển trong trạng thái lân cận sẽ được biểu diễn bởi các công thức: u = u₀ + u₁, v = v₀ + v₁, w = w₀ + w₁, φₓ = φₓ₀ + φₓ₁, φᵧ = φᵧ₀ + φᵧ₁.
Tương tự, lực, momen và lực ngang ở trạng thái cuối cùng của trạng thái lân cận có thể liên quan đến trạng thái cân bằng như sau
1 y yo y x xo x xy xyo xy y yo y x xo x xy xyo xy y yo y x xo x
Các số hạng có chỉ số dưới 0 đại diện cho các dịch chuyển u₀, v₀ và w₀, trong khi các số hạng với chỉ số dưới 1 là u₁, v₁ và w₁, thể hiện phần số gia của lực, mô men và lực ngang ở trạng thái cuối cùng, tất cả đều là các đại lượng tuyến tính.
Các phương trình ổn định có thể thu được bằng cách thế các phương trình
Khi áp dụng các phương trình (15) và (16) vào phương trình (14), ta nhận thấy rằng các số hạng có chỉ số dưới 0 trong phương trình cuối cùng thỏa mãn các phương trình cân bằng và do đó có thể loại bỏ Ngoài ra, các số hạng phi tuyến với chỉ số 1 cũng được loại bỏ vì chúng không đáng kể so với các số hạng tuyến tính Kết quả cuối cùng là các phương trình ổn định có dạng như sau:
Giả sử rằng tấm tựa đơn trên tất cả các cạnh biên của chúng Từ đó các điều kiện biên có dạng v 1 w 1 y 1 0 , M x 1 0 tại x=0,x=a (18)
Các lực trước khi vồng được xác định bởi [25]
Nghiệm thỏa mãn các điều kiện biên (18) có thể chọn dưới dạng :
U m u m n mn y m n mn x m n mn m n mn m n mn
, ; m và n là số bán sóng tương ứng theo chiều x và y và
U mn ,V mn ,W mn , 1 mn , 2 mn là các hệ số hằng
Thế các phương trình (20) vào các phương trình (17) dẫn tới hệ 5 phương trình thuần nhất cho U mn ,V mn ,W mn , 1 mn , 2 mn như sau
11 mn mn mn mn mn yo xo W
Vì các nghiệm của phương trình (20) không tầm thường, nên định thức của ma trận hệ số trong phương trình (21) phải bằng 0 Do đó, cần khai triển định thức và giải phương trình cho yo xo N.
Trong đó các định thức A,B và C được cho bởi A 55 45 25 15 45 44 15 14 25 15 22 12 15 14 12 11 H H H H H H H H H H H H H H H H , B 55 45 25 15 35 34 25 15 22 12 15 14 12 11 0 0 H H H H H H H H H H H H H H , C 45 44 15 14 35 34 25 15 22 12 15 14 12 11 0 0 H H H H H H H H H H H H H H (24) Đặt a P b P N
R N x y xo yo và thế N xo , N yo từ phương trình (19) vào phương trình (23) ta được 2 2 34 H 35 H 33 A
Phương trình (25) giúp xác định tải trọng vồng tới hạn của tấm tựa trên nền đàn hồi dưới tải trọng nén cơ theo hai trục Tải trọng vồng P x phụ thuộc vào các giá trị m và n, do đó cần tối thiểu hóa các biểu diễn liên quan đến m và n để tìm ra giá trị tải trọng nén tới hạn.
Phân tích sau vồng của tấm ES-FGM chịu tải kết hợp
Khi tính đến yếu tố phi tuyến hình học, nghiệm của hệ phương trình phi tuyến
(14) thỏa mãn điều kiện tựa đơn tại bốn cạnh có dạng
, ; m và n là số bán sóng tương ứng theo chiều x và y và U , V ,
W, 1 và 2 là các hệ số hằng
Thay nghiệm (26) vào phương trình (14) và áp dụng phương pháp Galerkin, tức là tính
a b x ydydx thì kết quả thu được là:
Từ các phương trình (27),(28),(30) và (31) ta giải U, V, 1 , 2 theo W thu được
Thế các phương trình (32) vào phương trình (29) ta thu được mối quan hệ của tải trọng – độ võng sau vồng như sau:
Phương trình (33) được sử dụng để nghiên cứu ứng xử sau vồng của tấm ES-FGM, chịu tải trọng nén kết hợp, tựa trên nền đàn hồi.
TÍNH TOÁN SỐ
Khảo sát bằng số sự vồng tuyến tính của tấm FGM
2.1.1 So sánh kết quả Để kiểm tra độ chính xác của phương pháp đã đề ra ta so sánh kết quả của luận văn này cho tấm FGM không gân dưới tải trọng cơ với kết quả của Shariat và Eslami sử dụng thuyết biến dạng trượt bậc ba cho tấm và kết quả của Hamid Mozafari và Amran Ayob qua bảng 1 và bảng 2 dưới đây:
So sánh tải trọng vồng tới hạn P xcr (MN) cho tấm FGM không gân (b/h=100)
So sánh tải trọng vồng tới hạn P xcr (kN) cho tấm FGM không gân
Từ sự so sánh ta thấy kết quả thu được là tương đối tốt
Trong các phần sau đây , vật liệu được sử dụng là Alumina với E c 380GPa và
Aluminum với E m 70GPa và 0.3 Tham số nền là 1 2,5.10 8 3 m
2.1.2 Ảnh hưởng của gân (không tính đến nền)
Xét tấm FGM có gân với các tham số vật liệu và tham số hình học là:
K Số các gân theo trục x, trục y và gân vuông góc tương ứng là 16,16 và
Sử dụng phương trình (25) với các giá trị khác nhau của (m,n), ta xác định tải trọng vồng tới hạn P xcr (kN) cho tấm FGM có gân Bảng 3 cho thấy tải trọng vồng tới hạn cho tấm hình vuông chỉ có gân theo phương x hoặc y là như nhau Sự kết hợp giữa gân dọc và gân ngang có ảnh hưởng lớn đến sự ổn định của tấm, với tải trọng tới hạn trong trường hợp này đạt giá trị lớn nhất Hơn nữa, tải trọng tới hạn của tấm hình vuông chịu nén đơn trục lớn hơn so với tấm chịu nén theo hai trục, cụ thể là P xcr V0.222 (kN) ứng với R=0 và P xcr (0.111 (kN) ứng với R=1.
Bảng 3 Ảnh hưởng của gân lên tải trọng vồng tới hạn P xcr (kN)
Gân vuông góc 560.2220 (1,1) 280.1110 (1,1) a ứng với mốt vồng(m,n)
2.1.3 Ảnh hưởng của nền ( không gân) Ảnh hưởng của tải trọng vồng tới hạn lên tấm FGM được cho trong bảng 4
Bảng 4 Ảnh hưởng của nền lên tải trọng vồng tới hạn của tấm FGM có gân, b ứng với mốt vồng m
Theo bảng 4, khi R=0, giá trị P xcr đạt 55.5 kN, thấp hơn P xcr 83.9 kN gấp 2,2 lần Tải trọng vồng tới hạn này phụ thuộc vào sự ảnh hưởng của cả tham số nền.
K 1 và tham số trượt K 2 là lớn nhất Gía trị P xcr 099.9(kN) với R=0 và P xcr '89.9
(kN) với R=1 ứng với cặp (m, n) = (3, 1), trong khi tải trọng vồng tới hạn cho tấm không nền ứng với (m, n) = (1, 1)
2.1.4 Ảnh hưởng của gân và nền
Bảng 5 minh họa rõ ràng ảnh hưởng của gân và nền lên sự ổn định của tấm FGM Kết quả cho thấy tải trọng vồng tới hạn ứng với gân theo hai phương và nền là lớn nhất, với P xcr đạt 642.7 kN khi R=0 và P xcr đạt 139.6 kN khi R=1, phản ánh các xu hướng và đặc tính cơ học tương tự như đã trình bày trong các phần 2.2 và 2.3.
Tải trọng vồng tối đa cho tấm không gân và không nền là thấp nhất Bảng 5 cho thấy tham số trượt K2 có tác động tích cực đến khả năng chống vồng của tấm.
Bảng 5 Ảnh hưởng của cả gân và nền lên tải trọng vồng tới hạn P xcr (kN), a ứng với cặp(m,n)
2.1.5 Ảnh hưởng của tỉ lệ thể tích k
Tấm có các gân vuông góc và nền được nghiên cứu với các giá trị k = 0; 0.5; 1; 5 và ∞, cho thấy ảnh hưởng của tỉ lệ thể tích k lên tải trọng vồng tới hạn của tấm FGM Kết quả từ bảng 6 và hình 2 chỉ ra rằng tải trọng vồng tới hạn giảm dần khi k tăng, với giá trị lớn nhất khi k = 0 và nhỏ nhất khi k = ∞ Hơn nữa, sức vồng của tấm FGM cao hơn so với tấm kim loại và thấp hơn so với tấm gốm, phản ánh tính chất thực tế của kim loại khi k cao hơn thường tương ứng với vỏ kim loại có ít gân hơn so với vỏ gốm.
Bảng 6: Ảnh hưởng của k lên tải trọng vồng tới hạn k R=0 R=1
Tả i t rọng vồ ng P x (kN ) a=b=1.5m h 1 =h 2 =0.008m b 1 =b 2 =0.003m d 1 =d 2 =0.05m
Hình 3 Ảnh hưởng của tỉ lệ a/h lên tải trọng vồng tới hạn
Tả i t rọng vồ ng P x (kN ) k a=b=0.8m h 1 =h 2 =0.008m b 1 =b 2 =0.003m d 1 =d 2 =0.1m
Hình 2 Ảnh hưởng của k lên tải trọng vồng tới hạn
2.1.6 Ảnh hưởng của biến dạng trượt của gân ( các gân vuông góc và nền)
Hình 4 Ảnh hưởng của biến dạng trượt lên tải trọng vồng tới hạn
Bảng 7 Ảnh hưởng của biến dạng trượt lên tải trọng vồng tới hạn P xcr (kN)
(1) không tính đến ảnh hưởng của biến dạng trượt của gân
(2) có tính đến ảnh hưởng của biến dạng trượt của gân
Bảng 7 và hình 4 so sánh tải trọng vồng tới hạn của tấm FGM mà không tính đến ảnh hưởng của biến dạng trượt của gân với tấm có tính đến ảnh hưởng này Kết quả cho thấy sự khác biệt giữa hai tải trọng này là rất nhỏ, cụ thể là P xcr P09.7 (kN) khác với P xcr P09.4 (kN) chỉ khoảng 0.006%.
2.1.7 Ảnh hưởng của tỉ lệ a/h ( các gân vuông góc và nền)
Bảng 8 và hình 3 cho thấy ảnh hưởng của tỉ lệ độ dài trên độ dày a/h đến tải trọng tới hạn của các gân vuông góc và nền của tấm FGM với a=b=1.5(m) và các giá trị h lần lượt là 0.075, 0.05, 0.03, 0.025, 0.015(m) Kết quả cho thấy khả năng mang tải của tấm giảm đáng kể khi tỉ lệ a/h tăng, cụ thể là P xcr =2.7988+005 (a/h , R=0) lớn hơn.
P xcr =1.1301+005 (với R=0 và a/h0) khoảng 2,5 lần Kết quả này phù hợp với tính chất của kết cấu Tấm mỏng hơn thì giá trị của tải tới hạn nhỏ hơn
Bảng 8 Ảnh hưởng của tỉ lệ a/h lên tải trọng vồng tới hạn P xcr (kN) a/h Px (R=0) Px (R=1)
2 2.Khảo sát bằng số sự vồng phi tính của tấm FGM
2.2.1 Ảnh hưởng của gân ( không tính đến nền)
Xét tấm FGM có gân với các tham số vật liệu và tham số hình học là:
K Số các gân theo trục x, trục y và gân vuông góc tương ứng là 16,16 và
Sau đây khảo sát một số trường hợp riêng thường gặp Trường hợp 1: Xét q = 0; N xo P x h; N yo =0 Từ phương trình (33), suy ra: 2 19 20 21 2
P x a Cho w dần đến 0, ta được tải vồng cận trên 19 2 4 h b a
Bây giờ tìm tải vồng cận dưới, muốn vậy ta tính 21 20
W l dW dP x Thay giá trị w vừa tìm được vào biểu thức Px ở trên ta được 21 20 2
Trường hợp 2 Xét q = 0; N xo 0; N yo = P y h Từ (33) suy ra: 2 19 20 21 2
P xd a (8) Dưới đây trình bày các kết quả tính toán số
Ta xét tấm với các với số liệu: a=b=0,8m; k=1; h= h 1 h 2 =0,008m;
Sử dụng các phương trình (7) và (8) với các giá trị khác nhau của (m,n), chúng ta có thể xác định tải trọng vồng tới hạn P xcr (N) cho tấm FGM Bảng 9 trình bày tải trọng vồng tới hạn cho tấm hình vuông trong trường hợp chỉ có gân theo phương x hoặc phương y là như nhau Đối với tấm không gân, tải trọng tới hạn là nhỏ nhất, trong khi tấm hình vuông có gân theo hai phương cho tải trọng tới hạn lớn hơn so với trường hợp chỉ có gân theo một phương.
Bảng 9 Ảnh hưởng của gân, không nền với K 1 K 2 0
T/h chỉ có gân theo phương x(số gân )
T/h chỉ có gân theo phương y(số gân )
,số gân theo phương x=8, số gân theo phương y=8
2.2.2 Ảnh hưởng của nền ( không gân) Ảnh hưởng của nền lên tải trọng vồng tới hạn của FGM được cho trong bảng sau:
Bảng 10 Ảnh hưởng của nền không gân
Tham số nền có ảnh hưởng rõ rệt đến sự ổn định của tấm, với tham số nền K1 có tác động mạnh hơn tham số trượt K2 Cụ thể, khi η=0, tải trọng tới hạn P xcr đạt giá trị 4.1492e+008, lớn hơn 2,2 lần so với P xcr =1.8499e+008 Ngoài ra, tải trọng tới hạn đạt giá trị lớn nhất khi có sự kết hợp của cả tham số nền và tham số trượt.
2.2.3 Ảnh hưởng của gân và nền
Bảng 11 minh họa ảnh hưởng của cả gân và nền lên sự ổn định của tấm FGM
Bảng 11 Ảnh hưởng của cả gân và nền( có cả gân theo phương ox và oy, số gân theo phương ox bằng 8, số gân theo phương oy bằng 8)
Bảng 11 cho thấy ảnh hưởng của gân và nền đến sự ổn định của tấm Kết quả cho thấy tải trọng ồng tới hạn lớn nhất xảy ra khi có gân theo hai phương và có nền, trong khi trường hợp không gân và không nền có tải trọng nhỏ nhất Cụ thể, khi =0, sự khác biệt này càng rõ rệt.
P xcr =6.8443e+007 ứng với trường hợp không gân, không nền còn
Giá trị P xcr = 1.2211e+009 cho thấy sự ảnh hưởng của cả gân và nền Hơn nữa, tham số trượt K2 cũng đóng vai trò quan trọng trong việc tăng cường khả năng chống vồng của tấm.
2.2.4 Ảnh hưởng của tỉ lệ thể tích k
Xét tấm có các gân vuông góc và nền Sử dụng các dữ liệu cơ bản đã cho trong phần 2.2 với k=0,1,5 và 10 Đặt h w w
Dưới đây là ảnh hưởng của tỉ lệ thể tích k lên tải trọng vồng tới hạn của tấm ứng với hai trường hợp =0 và =1
Bảng 12 Ảnh hưởng của k ứng với =0 ( đối với trường hợp không gân) w 0.001 0.002 0.005 0.01 0.02 0.05 0.1 0.5 1 2 3 5
Bảng 13: Ảnh hưởng của k ứng với =1 ( đối với trường hợp không gân) w 0.001 0.002 0.005 0.01 0.02 0.05 0.1 0.5 1 2 3 5
Tỉ lệ thể tích k ảnh hưởng đáng kể đến tải trọng vồng tới hạn của tấm FGM, như thể hiện trong bảng 12 với =0 và bảng 13 với =1 Khi giá trị w tăng, lực tới hạn cũng tăng theo, đạt giá trị lớn nhất khi k=0 Ngược lại, khi k tăng, tải trọng vồng tới hạn giảm Hơn nữa, sức vồng của tấm kim loại lớn hơn so với tấm gốm, điều này phù hợp với thực tế, vì giá trị k cao tương ứng với vỏ kim loại ít gân hơn so với vỏ gốm.
2.2.5 Ảnh hưởng của biến dạng trượt của gân( các gân vuông góc và nền) Bảng 14
Minh họa ảnh hưởng của biến dạng trượt của gân lên tải trọng vồng tới hạn của tấm FGM k =0 =1
1 không tính đến ảnh hưởng của biến dạng trượt của gân
2 có tính đến ảnh hưởng của biến dạng trượt của gân
Hình 5 Ảnh hưởng của k lên tải trọng vồng tới hạn ứng với =0
Hình 6 Ảnh hưởng của k lên tải trọng vồng tới hạn ứng với =1
Theo bảng 14, hình 5 và hình 6, sự khác biệt giữa tải trọng vồng có tính đến biến dạng trượt và tải trọng vồng không tính đến biến dạng trượt là không đáng kể Cụ thể, khi k=1 và η=0, giá trị P xcr đạt 4.1492e+008.
2.2.6 Ảnh hưởng của a/h (các gân vuông góc và nền)
Bảng 15 Ảnh hưởng của a/h đến Px (trường hợp không gân) a/h h P xt (=0) P xt (=1)
Tỉ lệ a/h có ảnh hưởng rõ rệt đến tải trọng tới hạn của các gân vuông góc và nền của tấm FGM, như được thể hiện trong Bảng 15 Cụ thể, khi tỉ lệ a/h tăng lên (h giảm), tải trọng tới hạn giảm đáng kể Điều này khẳng định thực tế rằng tấm càng mỏng thì khả năng chịu tải tới hạn càng thấp.