(LUẬN văn THẠC sĩ) ảnh hưởng của phonon giam cầm lên trường âm – điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp khi có mặt sóng điện từ

Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được chia làm 3 chương

Chương 1: Nghiên cứu siêu mạng pha tạp và các biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng này dưới tác động của phonon giam cầm, đồng thời không có sự hiện diện của sóng điện từ.

Chương 2: Biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm khi có mặt sóng điện từ

Chương 3: Tính toán số và vẽ đồ thị

Luận văn trình bày kết luận chính ở chương 2 và chương 3, trong đó đưa ra biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm khi có sóng điện từ Bài viết cũng thực hiện tính toán và vẽ đồ thị liên quan Khi tham số được đặt bằng không, biểu thức giải tích trở về trường hợp không có sóng điện từ.

SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ BIỂU THỨC DÒNG ÂM ĐIỆN

Tổng quan về siêu mạng pha tạp

Bán dẫn siêu mạng là cấu trúc tuần hoàn nhân tạo bao gồm các lớp bán dẫn khác nhau với độ dày nanomet xếp chồng lên nhau Cấu trúc tuần hoàn này không chỉ tạo ra thế tuần hoàn của mạng tinh thể mà còn tạo ra thế phụ cho các electron, với chu kỳ lớn hơn nhiều so với hằng số mạng Thế phụ này xuất hiện do sự khác biệt giữa các đáy vùng dẫn của hai loại bán dẫn trong cấu trúc siêu mạng.

Trong bán dẫn siêu mạng, các lớp mỏng có độ dày đủ nhỏ cho electron có thể xuyên qua, cho phép xem siêu mạng như một thế tuần hoàn bổ sung bên cạnh thế của mạng tinh thể.

Bán dẫn siêu mạng được chia làm 2 loại: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn siêu mạng hợp phần

Bán dẫn siêu mạng pha tạp (DSL) được cấu tạo từ hai lớp bán dẫn cùng loại nhưng có mức pha tạp khác nhau, tạo ra các hố thế trong siêu mạng.

Siêu mạng pha tạp là cấu trúc tuần hoàn gồm các lớp bán dẫn mỏng GaAs loại n (GaAs: Si) và GaAs loại p (GaAs: Be), được ngăn cách bởi các lớp GaAs không pha tạp Cấu trúc này được gọi là tinh thể n-i-p-i, trong đó sự phân bố điện tích đóng vai trò quan trọng trong việc hình thành thế siêu mạng.

Khi mật độ các chất pha tạp không quá cao và số lượng tâm acceptor trong lớp n bằng số lượng tâm donor trong các lớp n, thì tất cả các tâm donor trong siêu mạng pha tạp sẽ có điện tích dương, trong khi tất cả các tâm acceptor sẽ có điện tích âm.

1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lƣợng của điện tử trong siêu mạng pha tạp

Hàm sóng của điện tử trong siêu mạng pha tạp có dạng:

Phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng pha tạp

Trong đó n = 1,2,3 : chỉ số lượng tử của phổ năng lượng theo phương z p p   p z : vectơ xung lượng của điện tử (vectơ sóng của điện tử)

S 0 : số chu kỳ siêu mạng d: chu kỳ siêu mạng e: khối lượng của điện tử m * : khối lượng hiệu dụng của điện tử

  : tần số plasma gây bởi các tạp chất donor n D : nồng độ pha tạp

0: hằng số điện p  : Hình chiếu của p trên mặt phẳng (x, y) r : Hình chiếu của r trên mặt phẳng (x, y)

Phổ năng lượng của điện tử trong siêu mạng pha tạp chỉ nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, khác biệt so với phổ năng lượng liên tục trong bán dẫn khối Sự khác biệt này dẫn đến những biến đổi đáng kể trong các tính chất của điện tử trong siêu mạng pha tạp.

Biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của phonon giam cầm khi không có sóng điện từ

1.2.1 Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong siêu mạng pha tạp khi không có sóng điện từ

Hamilton của hệ điện tử trong siêu mạng pha tạp cho thấy vai trò quan trọng của phonon âm giam cầm Khi xem xét tác động của phonon âm ngoài, ta nhận thấy sự ảnh hưởng rõ rệt đến tính chất điện tử của hệ thống Ngược lại, trong điều kiện không có sóng điện từ, phonon âm vẫn giữ vai trò then chốt trong việc xác định các đặc tính vật lý của mạng pha tạp Sự tương tác giữa phonon âm và điện tử là yếu tố quyết định đến hiệu suất và tính ổn định của hệ thống.

H=H e +H ph +He-ph (1.1) Trong đó:

 lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử ở trạng thái n p,  ( kiểu hạt fecmi )

Toán tử sinh và hủy phonon âm ở trạng thái k (kiểu hạt boson) được ký hiệu lần lượt là p ⊥ và q ⊥, đại diện cho xung lượng của điện tử và phonon âm trong mặt phẳng vuông góc với trục của siêu mạng pha tạp.

   là số e trung bình tại thời điểm t Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:

Biến đổi vế phải của (1.2) có tương ứng bốn số hạng với toán tử Hamilton

Thay ,, , phương trình (1.2) trở thành:

Vế phải của (1.4) chứa bốn số hạng tương ứng ba số hạng của hàm Hamilton H + Số hạng thứ nhất:

Thay các số hạng vào (1.4) ta được phương trình:

Phương trình (1.5) là một phương trình vi phân không thuần nhất, và để giải quyết nó, chúng ta sử dụng phương pháp biến thiên hằng số Đầu tiên, cần xem xét phương trình vi phân thuần nhất tương ứng với nó.

Với điều kiện đoạn nhiệt tương tác

F t , nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất có dạng:

Do đó, nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất có dạng:

Thay vào phương trình không thuần nhất và giải ra nghiệm của phương trình:

Thay (1.6) vào (1.3) ta đưa vào toán tử số hạt của điện tử và phonon, t 2 t ta được phương trình động lượng tử:

Phương trình (1.7) mô tả động lượng tử cho hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong siêu mạng pha tạp, bao gồm tương tác giữa điện tử với phonon âm trong và phonon âm ngoài, khi không có sự hiện diện của sóng điện từ.

Giải (1.7) bằng phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp, chọn gần đúng ban đầu của 0 , ( ) n p  n t là 0 ,

  n p n n p t n và có giá trị tích phân sau:

Với tích phân K đã tính ta được:

 , giải (1.8) , lấy tích phân chạy từ 0  p ta được:

Từ Hamiltonian của hệ điện tử - phonon âm trong siêu mạng pha tạp, ta xem xét tương tác giữa điện tử và phonon âm ngoài mà không có sóng điện từ Bằng cách áp dụng gần đúng lặp, chúng ta có thể xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp Dựa trên phương trình này, chúng ta sẽ tính toán biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp khi không có sóng điện từ.

1.2.2 Biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp khi không có sóng điện từ

Dòng âm điện dọc theo chiều truyền sóng âm có dạng sau:

 ở đây  p  là vận tốc của điện tử cho bởi công thức , 

Tuyến tính hóa phương trình bằng cách thay: n n n , '( )p n F ( )p n 1

Vì hàm điện tử không suy biến '

Xét các số hạng trong biểu thức (1.10):

Khi có tán xạ điện tử - phonon âm trong, ta có:

N m q vào SH1, sử dụng công thức chuyển tổng thành tích phân và tính toán ta được:

Khi có tán xạ điện tử - phonon âm ngoài, ta có:

Thay C k , N k vào SH2, sử dụng công thức chuyển tổng thành tích phân và tính toán ta được:

Như vậy, ta có biểu thức dòng âm điện phi tuyến:

Bằng phương pháp phương trình động lượng tử dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp, đã thu được kết quả dưới ảnh hưởng của phonon âm giam cầm mà không có sóng điện từ Khi có sóng điện từ, định luật bảo toàn năng lượng và xung lượng bị thay đổi do năng lượng của photon, dẫn đến sự thay đổi xác suất tán xạ của các hạt tải trong siêu mạng Cường độ của trường sóng điện từ, như bức xạ laze, làm cho các hiệu ứng động và trường âm điện trở nên phi tuyến theo cường độ sóng điện từ Các biểu hiện chi tiết sẽ được tính toán trong chương sau.

BIỂU THỨC DÒNG ÂM ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP DƯỚI ẢNH HƯỞNG CỦA PHONON GIAM CẦM KHI CÓ MẶT SÓNG ĐIỆN TỪ

Phương trình động lượng tử cho hàm phân bố điện tử trong siêu mạng pha tạp

Hamilton của hệ điện tử - phonon âm giam cầm trong siêu mạng pha tạp khi kể đến tác dụng của phonon âm ngoài và khi có sóng điện từ:

 lần lượt là toán tử sinh và hủy điện tử ở trạng thái n p,  ( kiểu hạt fecmi )

Toán tử sinh và hủy phonon âm ở trạng thái k là các yếu tố quan trọng trong nghiên cứu vật lý, với p ⊥ và q ⊥ đại diện cho xung lượng của điện tử và phonon âm trong mặt phẳng vuông góc với trục của siêu mạng pha tạp.

   c  là hàm năng lượng theo biến e ( ) p A t c

 là thế vecto của trường điện từ

 m  là tần số của phonon âm

I q : thừa số dạng của điện tử trong siêu mạng

: Hằng số tương tác điện tử - phonon âm

 là Hamilton tương tác giữa các điện tử khi có mặt sóng điện từ

  là Hamilton tương tác giữa các phonon âm

 là Hamilton tương tác giữa điện tử - phonon âm ngoài

 là Hamilton tương tác giữa điện tử - phonon âm trong

   là số e trung bình tại thời điểm t Phương trình động lượng tử cho điện tử có dạng:

Biến đổi vế phải của (2.2) có tương ứng bốn số hạng với toán tử Hamilton

Thay ,,, phương trình (2.2) trở thành:

Vế phải của (2.4) chứa bốn số hạng tương ứng ba số hạng của hàm Hamilton H + Số hạng thứ nhất:

Thay các số hạng vào (2.4) ta được phương trình:

Phương trình (2.5) là phương trình vi phân không thuần nhất được giải bằng phương pháp biến thiên hằng số Trước hết, xét phương trình vi phân thuần nhất:

Với điều kiện đoạn nhiệt tương tác

F t , nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất có dạng:

Do đó, nghiệm của phương trình vi phân không thuần nhất có dạng:

Lấy tích phân 2 vế và kết hợp điều kiện ta có

M t i dt C U k a a b b a a b b i t i p p dt ie p p A t dt mc dt C

F t i dt C U k a a b b a a b b i t i p p dt ie p p A t dt mc

( ) exp ( t t t t n n m q t m m q n n n p q n p m q m q n p n p m q m q n i p p dt e p p A t dt mc dt C I a a b b a a b b i

) ( ) ( ) exp ( ) ( ) ( ) (2.6) t t n m q t t n n m q p p dt ie p p A t dt mc i p p dt e p p A t dt mc

1 1 1 1 1 1 2 1 1 exp ( ) exp ( ) exp ( ) ( ) exp ( ) ( ) t t t t t t t t t t i dt i y t dt i dt i y t dt i dt dt i y t dt y t dt i t t i y t dt

F t iC U k dt a a b b a a b b i t i p p t t ie p p A t dt mc

( ) exp ( ) ( ) ( ) ( ) t t m m q n n n p q n p m q m q n p n p m q m q t n n m q iC I dt a a b b a a b b i p p t t ie p p A t dt

Thay vào (2.3) ta đưa vào toán tử số hạt của điện tử và phonon, t 2 t ta được phương trình động lượng tử:

 t q t n p m q n p q n p q n p q n p m q n p q n p q n p q t t ie q A t dt mc n n N i t t ie q A t dt mc n n N i t t

 t t k n n n k t k n p q k n p n p k n p k k n p n p n p q n ie q A t dt mc i C U dt n n N i t t ie q A t dt mc n n N i

Xét thế véc tơ A t( )của trường điện từ

) ( ) exp( ) sin exp( iz J z i ta có:

    exp ( ) exp 1 sin sin exp( ')exp( )

           t ieE q eE q eE q ie q A t dt o t t J o J o is t il t l s mc t m l s m m

Phương trình (2.8) mô tả động lượng tử cho hàm phân bố không cân bằng của điện tử trong siêu mạng pha tạp, bao gồm cả tương tác giữa điện tử với phonon âm nội tại và ngoại tại khi có sự hiện diện của sóng điện từ.

Giải (2.8) bằng phương pháp xấp xỉ gần đúng lặp, chọn gần đúng ban đầu của 0 , ( ) n p  n t là 0 ,

  n p n n p t n và có giá trị tích phân sau:

   Đặt s-l = k, với các tích phân đã tính ta được:

Giải (2.9), lấy tích phân chạy từ 0 p ta được:

Từ Hamiltonian của hệ điện tử - phonon âm trong siêu mạng pha tạp, chúng ta đã xem xét tương tác giữa điện tử và phonon âm, cũng như ảnh hưởng của sóng điện từ Bằng cách áp dụng gần đúng lặp, chúng tôi đã xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp Từ phương trình này, chúng tôi có thể tính toán biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng khi có sự hiện diện của sóng điện từ.

Biểu thức dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp khi có mặt sóng điện từ

Dòng âm điện dọc theo chiều truyền sóng âm có dạng sau:

Thế véctơ của trường điện từ là: A t ( )  E c  0 c os    t

Nồng độ hạt tải trong siêu mạng là: 0 ,

Thay biểu thức thế véc tơ, nồng độ hạt tải vào biểu thức tính mật độ dòng ta được :

  (2.12) Xét số hạng thứ hai của (2.12) và thay biểu thức của hàm phân bố (2.10) vào có:

Tuyến tính hóa phương trình bằng cách thay: n n n , '( )p n F ( )p n 1

Vì hàm điện tử không suy biến '

Xét các số hạng trong biểu thức (2.14)

SH e i C I J aq J aq ik t N m k p n n dp q q m e i C I m

J aq J aq ik t N q k n p p n m dp k T  k T  mk T  mL k T 

SH e i C I J aq J aq ik t N q m k p n p n m dp k T k T mk T mL k T p q p n n m m

SH e i C I J aq J aq ik t N q m k n p p n m dp k T k T mk T mL k T p q q n n m m

Thay vào số hạng 1, ta có

SH C I J aq J aq k T k T mL k T k m p ik t N q p q mk T q m p n n q

(2.15) Tính toán tương tự SH1 ta thu được SH2

2 2 p F m n l s m q n n l s p q m q n e E j t c t SH SH m e i n n e E B c t C I J aq J aq m k T k T mR k

Vì k = s-l nên s=k+l với k:   Áp dụng công thức: exp(-ik t)= os(k t)- sin(k  c  i  t) và k   k l   2 k 2 ( )

 , đồng thời áp dụng khai triển trong gần đúng của hàm Bessel J aq k 2 (  ):

Khi có tán xạ điện tử - phonon âm trong, ta có:

Trong đó: V: Thể tích chuẩn hóa

: Hằng số điện biến dạng

: Mật độ tinh thể v s : Vận tốc truyền âm

Chuyển tổng thành tích phân

Chuyển tổng thành tích phân

Khi có tán xạ điện tử - phonon âm ngoài, ta có:

N k vào J 2 , sử dụng công thức chuyển tổng thành tích phân và tính toán ta được:

Chuyển tổng thành tích phân

Dựa vào các công thức (2.23), (2.27), (2.31), (2.32) và (2.28), chúng ta có thể thiết lập biểu thức giải tích cho dòng điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp, chịu ảnh hưởng của phonon giam cầm khi có sóng điện từ xuất hiện.

Bằng phương pháp phương trình động lượng tử dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp dưới ảnh hưởng của phonon âm giam cầm khi có sóng điện từ, chúng tôi đã thu được kết quả cho thấy dòng âm điện phụ thuộc không tuyến tính vào nhiệt độ, tần số sóng âm, cường độ và tần số sóng điện từ, cũng như các tham số đặc trưng cho siêu mạng pha tạp như nồng độ pha tạp Sự phụ thuộc này bổ sung thêm yếu tố cường độ và tần số sóng điện từ, với số hạng tỉ lệ với E0^2; khi E0 tiến tới 0, số hạng này mất đi, dẫn đến kết quả tương tự như trường hợp không có sóng điện từ Hơn nữa, dòng âm điện phi tuyến còn phụ thuộc vào chỉ số giam cầm của phonon âm giam cầm m, và khi chỉ số này tiến tới 0, kết quả trở về trường hợp không có phonon âm giam cầm Để làm rõ hơn sự phụ thuộc này, biểu thức dòng âm điện sẽ được vẽ đồ thị và thảo luận ở chương 3.

TÍNH TOÁN SỐ VÀ THẢO LUẬN

Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào tần số sóng âm

Hình 3.1: Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào tần số sóng âm

Hình 3.1 minh họa sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào tần số sóng âm ngoài, với các giá trị khác nhau của cường độ sóng điện từ và tham số đặc trưng cho sự giam cầm.

Dòng âm điện phi tuyến phụ thuộc vào tần số sóng âm ngoài, với cường độ sóng điện từ khác nhau Khi tham số giam cầm m = 3 và E0 = 0, đường biểu diễn là màu đỏ; trong khi E0 khác 0, đường biểu diễn là màu xanh dương Quan sát đồ thị cho thấy dòng âm điện không chỉ phụ thuộc vào tần số sóng âm mà còn giảm khi có sự hiện diện của sóng điện từ.

Với m=3, E 0 =0 tương ứng với trường hợp có sóng điện từ thì dòng âm điện tương ứng vào cỡ 5,5.10 -7

Với m=3, E 0 0 tương ứng với trường hợp có sóng điện từ thì dòng âm điện tương ứng vào cỡ 4,49.10 -7

Dòng âm điện sẽ giảm khoảng 18% khi có sự hiện diện của sóng điện từ so với trường hợp không có sóng điện từ, và sự giảm này phụ thuộc vào tần số của sóng âm.

Sự phụ thuộc của dòng âm điện vào tần số sóng âm ngoài được thể hiện qua các giá trị khác nhau của tham số đặc trưng cho sự giam cầm Cụ thể, với cùng một giá trị E 0 khác 0, khi m = 0, đường biểu diễn là đứt xanh dương; khi m = 1, đường liền xanh lá; và khi m = 3, đường liền đỏ Quan sát đồ thị cho thấy rằng độ cao của các đỉnh thay đổi theo các giá trị tham số khác nhau, tuy nhiên vị trí của các đỉnh vẫn không thay đổi.

Với m = 0 tương ứng với trường hợp không có sự giam cầm phonon thì độ cao đỉnh là thấp nhất và dòng âm điện khoảng 2,2.10 -7

Với m = 1 tương ứng với trường hợp có sự giam cầm phonon thì độ cao đỉnh là thấp nhất và dòng âm điện khoảng 3,58.10 -7

Dòng âm điện sẽ tăng khoảng 38% khi có ảnh hưởng của phonon giam cầm so với trường hợp không có phonon giam cầm, và sự thay đổi này phụ thuộc vào tần số sóng âm.

Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào nồng độ pha tạp

Hình 3.2: Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào nồng độ pha tạp

Hình 3.2 minh họa mối quan hệ giữa dòng âm điện phi tuyến và nồng độ pha tạp, thể hiện rõ sự thay đổi ở các cường độ sóng điện từ khác nhau cùng với các giá trị khác nhau của tham số đặc trưng cho sự giam cầm.

Dòng âm điện phi tuyến phụ thuộc vào nồng độ pha tạp và cường độ sóng điện từ, với hai trường hợp khác nhau: khi E0 = 0 (đường liền đỏ) và E0 ≠ 0 (đường liền xanh dương) Đồ thị cho thấy rằng dòng âm điện phụ thuộc vào tần số sóng âm ngoài không tuyến tính trong cả hai trường hợp có và không có sóng điện từ Đặc biệt, khi có sóng điện từ, dòng âm điện phụ thuộc vào nồng độ pha tạp sẽ tăng khoảng 25% so với trường hợp không có sóng điện từ.

Sự phụ thuộc của dòng âm điện vào tần số sóng âm ngoài được thể hiện qua các giá trị khác nhau của tham số giam cầm, với các trường hợp cụ thể như E0 ≠ 0, m = 0 (đường đứt xanh dương), m = 1 (đường liền xanh lá) và m = 3 (đường liền đỏ) Đồ thị cho thấy phonon giam cầm tạo ra vị trí cực đại, và khi thay đổi chỉ số giam cầm, cả giá trị dòng âm điện lẫn vị trí đỉnh cực đại đều thay đổi.

Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào nhiệt độ

Hình 3.3: Sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến vào nhiệt độ và năng lượng Fermi

Hình 3.3 cho thấy sự phụ thuộc phi tuyến của dòng âm điện vào nhiệt độ và năng lượng Fermi với tần số  q = 3.10^11 s^-1 và n D = 23 (m^-3) Đồ thị chỉ ra rằng khi nhiệt độ tăng và có mặt sóng điện từ, dòng âm điện phi tuyến sẽ tăng dần và đạt giá trị cực đại tại nhiệt độ khoảng 335K.

Với trường hợp E 0 =0 ứng với trường hợp không có sóng điện từ, thì đỉnh cực đại ở vị trí dòng âm điện xấp xỉ 1,2.10 -7 ở vị trí nhiệt độ vào cỡ 330K

Với trường hợp E 0 0 ứng với trường hợp có sóng điện từ, đỉnh cực đại ở vị trí dòng âm điện xấp xỉ 1,8.10 -7 ở vị trí nhiệt độ vào cỡ 335K

Khi xuất hiện sóng điện từ, dòng âm điện đạt giá trị cực đại, tăng 13% so với trường hợp không có sóng điện từ.