Bài 1: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT

Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Bài 1: BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN VÀ XÁC SUẤT Các kiến thức cần có  Nhắc lại giải tích tổ hợp;  Quy tắc nhân;  Chỉnh hợp lặp;  Phép thử ngẫu nhiên loại biến cố;  Khái niệm phép thử;  Xác suất biến cố;  Định nghĩa cổ điển xác suất;  Định nghĩa thống kê xác suất;  Nguyên lý xác suất lớn, xác suất nhỏ;  Các định lý cơng thức xác suất;  Xác suất có điều kiện;  Công thức nhân xác suất;  Công thức cộng xác suất; Mục tiêu Bài giới thiệu cho học viên số khái niệm (phép thử, biến cố, xác suất, …) cơng cụ tính tốn (định lý, cơng thức tính xác suất, …) lý thuyết Xác suất Với kiến thức tảng đó, học viên thực tập ứng dụng đơn giản xác suất nhiều lĩnh vực khác (kinh tế, xã hội, kỹ thuật, quản lý định, …)  Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes;  Công thức Bernouli Thời lượng  tiết STA201_Bai 1_v1.101106212 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI Tình Cơng ty xử lý nước thải Hà Nội cần tính diện tích mặt Hồ Gươm Hà Nội để xử lý nước Câu hỏi Nếu coi Hồ Gươm hình trịn, diện tích Hồ Gươm tính nào? Thực tế, Hồ Gươm hình trịn, khơng biểu diễn dạng hàm Vậy làm cách để tính diện tích mặt hồ? Bạn đưa đề xuất để tính thể tích đá vơi khai thác từ núi? STA201_Bai 1_v1.101106212 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất 1.1 Nhắc lại giải tích tổ hợp 1.1.1 Quy tắc nhân Giả sử cơng việc q trình chia thành k giai đoạn: có n1 cách thực giai đoạn thứ nhất, n2 cách thực giai đoạn thứ hai, …, nk cách thực giai đoạn thứ k Khi ta có n cách thực tồn cơng việc (hoặc q trình): n = n1 n2 nk Ví dụ: Để bay từ Hà Nội tới London phải qua trạm dừng chân Hong Kong, có hãng hàng không phục vụ bay từ Hà Nội đến Hong Kong (Vietnam Airline Pacific Airline) có hãng không phục vụ bay từ Hong Kong tới London (Air Hong Kong Limited, Cathay Pacific Airways, CR Airways Hong Kong Airlines) Vậy có n = x = cách bay từ Hà Nội tới London (qua trạm dừng chân Hong Kong) 1.1.2 Chỉnh hợp Hình 1.1: Giá trị hàm phân phối F(x) xác định qua tích phân hàm mật độ f(x) Định nghĩa: Chỉnh hợp chập k n phần tử (k  n) nhóm có thứ tự gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Ký hiệu A kn chỉnh hợp chập k n phần tử, lúc ta có cơng thức tính sau: A kn  n!  n(n  1) (n  k  1) (n  k)! Ví dụ: Có đội bóng tham dự vịng chung kết bóng đá Kết cuối trao huy chương “Vàng”, “Bạc” “Đồng” cho đội nhất, nhì ba Vậy có ba đội bóng nhận huy chương “Vàng”, “Bạc” “Đồng”? STA201_Bai 1_v1.101106212 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Mỗi ba đội bóng nhận huy chương “Vàng”, “Bạc” “Đồng” chỉnh hợp chập phần tử, số khả chọn đội đoạt giải là: A 35  x x = 60 1.1.3 Chỉnh hợp lặp Định nghĩa: Chỉnh hợp lặp chập k n phần tử (k  n) nhóm có thứ tự gồm k phần tử khơng thiết khác nhau, chọn từ n phần tử cho Số chỉnh hợp lặp chập k n phần tử kí hiệu A kn có cơng thức tính là: A kn  n k Ví dụ: Có tơ cần sửa ghé ngẫu nhiên vào trung tâm bảo dưỡng tuyến phố Có trường hợp xảy ra? Ta thấy việc đưa ô tô vào trung tâm để sửa chỉnh hợp lặp chập (mỗi lần đưa ô tô vào trung tâm sửa chữa xem ta chọn trung tâm Do có xe nên việc chọn trung tâm sửa tiến hành lần) Vậy số trường hợp xảy là: A 36  36  729 1.1.4 Hoán vị Định nghĩa: Hốn vị m phần tử nhóm có thứ tự gồm đủ m phần tử cho Số hoán vị m phần tử ký hiệu Pm tính cơng thức: Pm  m! Ví dụ: Một bàn lớp học có sinh viên Có cách xếp chỗ ngồi? Mỗi cách xếp chỗ sinh viên bàn hoán vị phần tử Số cách xếp là: P5  5!  5.4.3.2.1  120 1.1.5 Tổ hợp Định nghĩa: Tổ hợp chập k n phần tử (k ≤ n) nhóm khơng phân biệt thứ tự, gồm k phần tử khác chọn từ n phần tử cho Số tổ hợp chập k n phần tử kí hiệu C kn tính qua cơng thức: C kn  n! n(n  1) (n  k  1)  k!(n  k)! k! STA201_Bai 1_v1.101106212 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất CHÚ Ý Với cơng thức tổ hợp, có số đẳng thức đáng nhớ sau đây: 0!  (quy ước) Ckn  Cnn  k (học viên tự chứng minh) C kn  C kn 11  C kn 1 (học viên tự chứng minh) Ví dụ: Một đề thi gồm câu hỏi lấy ngân hàng 50 câu hỏi cho trước Có thể lập đề thi khác nhau? Số đề thi lập là: C350  50! 50.49.48   19600 3!.(47)! 3.2.1 1.2 Phép thử ngẫu nhiên loại biến cố 1.2.1 Khái niệm phép thử Khi tiến hành thí nghiệm, phép đo lường lần quan sát, coi thực nhóm điều kiện Theo lý thuyết xác suất, thực phép thử Định nghĩa : Phép thử thực nhóm điều kiện xác định (có thể lặp lại nhiều lần) để quan sát tượng có xảy hay khơng Hiện tượng xảy khơng xảy kết phép thử gọi biến cố (hoặc gọi kết cục) Để làm rõ khái niệm này, xét ví dụ sau đây: Ví dụ 1: Gieo đồng xu (cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng) thực phép thử Đồng xu lật mặt (sấp, ngửa) biến cố Ví dụ 2: Gieo súc sắc (cân đối, đồng chất, mặt phẳng cứng) phép thử Súc sắc gieo mặt chấm (1, 2, 3, 4, 5, 6) biến cố Ví dụ 3: Bắn viên đạn vào bia phép thử Viên đạn trúng hay trượt bia biến cố STA201_Bai 1_v1.101106212 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Hình 1.2: Mặt trời mọc từ đằng đông biến cố chắn Phân loại biến cố Tiếp theo, để đơn giản cho việc trình bày, đặt tên biến cố ta thường dùng dấu "=", chẳng hạn A ="lấy sản phẩm tốt" Giả sử phép thử G thực hiện, biến cố xảy phân loại theo nhiều cách khác nhau: CHÚ Ý Trong nội dung giảng này, nói gieo đồng xu, gieo súc sắc ta giả thiết điều kiện “cân đối”, “đồng chất”, “trên mặt phẳng cứng” thoả mãn 1.2.1.1 Xét góc độ có xảy hay khơng kết phép thử G, ta có loại biến cố  Biến cố ngẫu nhiên biến cố xảy không xảy phép thử thực hiện, thường ký hiệu chữ in hoa: A, B, C, Các biến cố ngẫu nhiên gọi đồng khả chúng có khả xuất phép thử  Biến cố chắn biến cố định xảy kết phép thử Biến cố chắn ký hiệu  hay U  Biến cố có biến cố định khơng xảy kết phép thử ký hiệu  hay V Ví dụ 4: Thực phép thử tung súc sắc cân đối, đồng chất Khi : o Biến cố tung mặt chẵn chấm biến cố ngẫu nhiên, o Biến cố tung mặt có số chấm nhỏ biến cố chắn, o Biến cố tung mặt chấm biến cố khơng thể có 1.2.1.2 Xét góc độ phân tích nhỏ biến cố hay khơng, ta có loại biến cố  Biến cố sơ cấp biến cố khơng thể phân tích thành biến cố nhỏ STA201_Bai 1_v1.101106212 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất  Biến cố phức hợp biến cố phân tích thành biến cố nhỏ Ví dụ 5: Biến cố đồng xu tung mặt sấp hay ngửa biến cố sơ cấp Ví dụ 6: Tung súc sắc mặt có số chấm chẵn biến cố phức hợp, phân tích thành biến cố tung mặt có 2, chấm 1.2.1.3 Xét góc độ kết hợp biến cố khác, ta có loại biến cố  Biến cố tổng: Biến cố C gọi tổng biến cố A B, ký hiệu C  A  B, C xảy hai biến cố A B xảy Biến cố tổng biến cố phức hợp Một cách tổng quát, tổng n biến cố A1 , A , , A n biến cố mà xảy biến cố Ai xảy ra, ký hiệu n A i 1  A1  A  A n i Ví dụ 7: Một cơng ty có hai cửa hàng đại lý Nếu gọi A biến cố đại lý bán hàng, B biến cố đại lý bán hàng, biến cố tổng C  A  B biến cố cơng ty bán hàng Ví dụ 8: Một người khách du lịch đến thăm quan đất nước có địa điểm du lịch tiếng Các biến cố A1 , A , , A biến cố người khách du lịch thăm quan địa điểm du lịch thứ i, biến cố tổng là: A   Ai i 1 A = “người khách du lịch ghé qua thăm số địa điểm du lịch trên”  Biến cố tích: Biến cố C gọi tích hai biến cố A B, ký hiệu AB, C xảy A B xảy Tích n biến cố A1 , A , , A n biến cố mà xảy tất biến cố Ai đồng thời xảy ra, ký hiệu: n A A A i 1 STA201_Bai 1_v1.101106212 i .A n Hình 1.3: Quay ba số bạn trúng giải độc đắc Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Ví dụ 9: Gọi A1 biến cố đại lý không tiêu thụ sản phẩm công ty, B1 biến cố đại lý không tiêu thụ sản phẩm công ty, biến cố tích C1  A1B1 biến cố cơng ty khơng tiêu thụ sản phẩm  Biến cố hiệu: Hiệu biến cố A B, ký hiệu A \ B , biến cố xảy A xảy B không xảy Ví dụ 10: Giả sử biến cố A = “gieo súc sắc mặt chẵn chấm” biến cố B = “gieo súc sắc mặt chấm” Khi biến cố C = A \ B biến cố “gieo súc sắc mặt chấm chấm” 1.2.1.4 Xét quan hệ biến cố kết phép thử, ta có loại biến cố  Biến cố xung khắc: Hai biến cố A B gọi xung khắc chúng đồng thời xảy phép thử thực hiện, tức AB   Các biến cố A1 , A , , A n gọi đôi xung khắc (xung khắc đôi) hai biến cố chúng xung khắc với nhau, tức là: Ai A j = f ( "i j;i, j = 1á n) Ví dụ 11: Quan sát doanh nghiệp hoạt động năm, A biến cố doanh nghiệp làm ăn có lãi, B biến cố doanh nghiệp làm ăn thua lỗ Khi A B biến cố xung khắc AB   Định nghĩa : Nhóm biến cố A1 , A , A n lập nên hệ đầy đủ biến cố (nhóm đầy đủ biến cố), thỏa mãn hai điều kiện: o Tổng chúng biến cố chắn: A1  A   A n   o Các biến cố A1 , A , A n đôi xung khắc với Ví dụ 12: Gieo xúc sắc ký hiệu A i  "xuất mặt có i chấm", i = 1, ,6; A = "xuất mặt có số chấm chẵn"; B = "xuất mặt có số chấm lẻ"; Các biến cố A1, A2, ,A6 lập nên hệ đầy đủ biến cố; biến cố A, B lập nên hệ đầy đủ biến cố STA201_Bai 1_v1.101106212 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất  Biến cố đối lập: Biến cố không xảy biến cố A gọi biến cố đối lập với biến cố A, ký hiệu A Ta có: A  A   AA    Biến cố độc lập: Hai biến cố A B gọi độc lập với việc xảy hay khơng xảy biến cố khơng ảnh hưởng đến xác suất xảy biến cố ngược lại Khái niệm độc lập tổng quát cho nhiều biến cố: o Các biến cố A1 , A A n gọi độc lập đôi cặp biến cố chúng độc lập với o Hình 1.4: Thành tích vận động viên lần chạy độc lập với Các biến cố A1 , A , , A n gọi độc lập toàn phần (độc lập toàn thể) biến cố chúng độc lập với tổ hợp số biến cố lại  Biến cố phụ thuộc: Hai biến cố A B không độc lập gọi biến cố phụ thuộc Ví dụ 13: Có hai hộp sản phẩm Hộp I chứa sản phẩm tốt sản phẩm xấu, hộp II sản phẩm tốt sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên hộp sản phẩm Gọi A = "lấy sản phẩm tốt từ hộp I", B = "lấy sản phẩm tốt từ hộp II" Khi dễ thấy A B hai biến cố độc lập Trong trường hợp thực phép thử lấy ngẫu nhiên sản phẩm hộp I bỏ sang hộp II, lấy từ hộp II sản phẩm biến cố A B nói biến cố phụ thuộc Một số khái niệm khác quan hệ biến cố đưa định nghĩa đây: Định nghĩa :  Biến cố A gọi kéo theo biến cố B A xảy dẫn đến B xảy Khi ta ký hiệu A  B  Biến cố A B gọi tương đương A  B B  A Khi ta ký hiệu A = B  Mọi biến cố ngẫu nhiên A biểu diễn dạng tổng số biến cố sơ cấp Các biến cố sơ cấp tổng gọi biến cố thuận lợi cho biến cố A  Biến cố chắn  tổng biến cố sơ cấp Do biến cố  cịn gọi khơng gian biến cố sơ cấp Ví dụ 14: STA201_Bai 1_v1.101106212 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Trong phép thử gieo đồng xu khơng gian biến cố sơ cấp là:   S; N Trong phép thử gieo súc sắc khơng gian biến cố sơ cấp là:   A1 , A , A , A , A , A  Nhận xét Qua nội dung trình bày đây, ta thấy:  Các khái niệm biến cố tổng, tích, hiệu, đối lập tương ứng với khái niệm hợp, giao, hiệu, phần bù lý thuyết tập hợp Ta áp dụng phép toán tập hợp cho phép toán biến cố Cụ thể ta có A  A  B; AB  A; A  B  C   AB  AC; AB B A A   B  C    A  B   C; AB  BA; A  BC    AB  C   AC  B  Hai biến cố đối lập lập thành hệ đầy đủ biến cố  Quy tắc đối ngẫu De Morgan áp dụng cho biến cố: A  B A B ; AB  A  B Quy tắc de Morgan với n biến cố Augustus De Morgan( 1806 -1871) 10 STA201_Bai 1_v1.101106212 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Bằng quy nạp tổng quát định lý nhân xác suất với n biến cố sau: Định lý : Nếu P  A1A A n 1   thì: P(A1A A n )  P(A1 )  P(A A1 )   P(A n A1A A n 1 ) (1.6) Từ dễ dàng thu hệ sau: Hệ 3: Nếu biến cố A1 , A , A n độc lập toàn phần ta có: P(A1A A n )  P(A1 )  P(A )   P(A n ) (1.7) Ví dụ 2: Một hộp đựng bi xanh bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi sau lấy tiếp bi thứ hai Tính xác suất lần thứ lấy bi xanh lần thứ hai lấy bi đỏ Giải: Gọi A biến cố lần thứ bi xanh, B biến cố lần thứ hai bi đỏ Ta có: P(AB)  P(A)  P(B A)    15 14 15 Ví dụ 3: Một công nhân đứng máy, biết máy hoạt động độc lập với nhau, xác suất để thời gian T máy 1, 2, khơng bị hỏng hóc tương ứng 0,9; 0,8; 0,7 Tính xác suất để máy bị hỏng thời gian Giải: Gọi A, B, C tương ứng kiện máy 1, 2, không bị hỏng thời gian T Theo giả thiết, ta có: P(A) = 0,9; P(B) = 0,8; P(C) = 0, Xác suất tương ứng để máy bị hỏng thời gian T là: P(A) = 0,1; P(B) = 0, 2; P(C) = 0,3 Do máy hoạt động độc lập với nên biến cố A, B, C độc lập toàn phần Vậy xác suất để ba máy bị hỏng thời gian T là: P(ABC) = P(A)´ P(B)´ P(C) = 0,1´0, 2´ 0,3 = 0, 006 CHÚ Ý Hệ 3.2 cung cấp phương pháp dễ thực hành để kiểm tra tính độc lập: Hai biến cố A B độc lập P(AB)  P(A)  P(B) STA201_Bai 1_v1.101106212 17 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất 1.4.3 Công thức cộng xác suất Cho A B hai biến cố Từ định nghĩa xác suất, ta chứng minh định lý sau: Định lý : Xác suất tổng hai biến cố tổng xác suất chúng trừ xác suất tích biến cố ấy: P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB) (1.8) Từ định lý 3.3, dễ dàng suy hệ sau: Hệ 4: Nếu A B hai biến cố xung khắc ta có: P(A  B)  P(A)  P(B) (1.9) Hệ 5: Cơng thức tính xác suất tổng n biến cố trường hợp biến cố A1, A2, , An đôi xung khắc Cụ thể, ta có:  n  n P   A i    P(A i )  P(A1 )  P(A )   P(A n )  i 1  i 1 (1.10) Hơn nữa, A1 , A , , A n hệ thống đầy đủ biến cố phép thử thì: P(A1 )  P(A )  P(A n )  (1.11) Hệ 6: Đối với biến cố A ta có: P(A)   P(A) (1.12) Ví dụ 4: Hai xạ thủ người bắn phát vào bia Xác suất trúng đích người thứ 0,7 người thứ hai 0.8 Tính xác suất để có phát đạn trúng bia Giải: Gọi A biến cố xạ thủ thứ bắn trúng bia, B biến cố xạ thủ thứ hai bắn trúng bia Ta có: P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB) Vì A B độc lập nên: P(AB) = P(A).P(B) = 0, ´ 0,8 = 0,56 Vậy: P(A + B) = 0, + 0,8 - 0,56 = 0,94 Ví dụ 5: Một sản phẩm xuất xưởng phải qua ba lần kiểm tra Xác suất để phế phẩm bị loại lần kiểm tra đầu 0,8 Đồng thời, lần kiểm tra đầu sản phẩm khơng bị loại xác suất bị loại lần thứ hai 0,9 Tương tự lần thứ hai khơng bị loại xác suất bị loại lần kiểm tra thứ ba 0,95 Tính xác suất để phế phẩm bị loại qua ba lần kiểm tra 18 STA201_Bai 1_v1.101106212 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Giải: Đặt A = "phế phẩm bị loại qua ba lần kiểm tra", Ai = "phế phẩm bị loại lần kiểm tra thứ i", i = 1, 2, Ta có A tổng ba biến cố xung khắc A  A1  A1A  A1A A Do đó: P(A)  P(A1 )  P(A1 )P(A A1 )  P(A1 )P(A A1 )P(A A1A ) = 0,8 + 0,2  0,9 + 0,2  0,1  0,95 = 0,999 Tính theo cách khác, ta có: P(A)   P(A1A A )   P(A1 )P(A A1 )P(A A1A ) =1  0,2  0,1  0,05 = 0,999 1.4.4 Công thức xác suất đầy đủ công thức Bayes 1.4.4.1 Công thức xác suất đầy đủ Cho A1 , A , , A n hệ đầy đủ biến cố phép thử A biến cố phép thử Giả sử ta biết xác suất P(A i ) P(A A i ) với i = 1, , n Khi xác suất biến cố A tính theo cơng thức: n P(A)   P(A i )  P(A A i ) (1.13) i 1 Công thức gọi công thức xác suất đầy đủ Ví dụ 6: Có hộp bóng đèn, gồm hộp loại hộp có bóng chất lượng tốt bóng chất lượng Hai hộp loại hộp gồm bóng chất lượng tốt hai bóng chất lượng Lấy ngẫu nhiên hộp từ rút bóng đèn Tìm xác suất để bóng lấy bóng đèn có chất lượng Giải: Gọi A biến cố "bóng đèn lấy bóng có chất lượng kém", A1 biến cố "hộp lấy hộp loại 1", A2 biến cố "hộp lấy hộp loại 2" Vì việc chọn hộp bóng đèn hộp loại loại nên A1 A2 lập thành hệ đầy đủ biến cố Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: P(A)  P(A1 )  P(A A1 )  P(A )  P(A A ) Theo thơng tin ta có: P(A1 )  ; P(A A1 )  Vậy: STA201_Bai 1_v1.101106212 P(A )  ; ; 10 P(A A )   3 29 P(A)      10 150 19 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Ví dụ 7: Có lơ sản phẩm Lơ có 50 sản phẩm có 20 sản phẩm xấu Lơ có 40 sản phẩm, có 15 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên lô từ lấy sản phẩm Tìm xác suất để sản phẩm lấy sản phẩm tốt Giải: Ký hiệu Hi biến cố “Sản phẩm lấy từ lơ i”, i = 1, Khi {H1, H2} lập thành hệ đầy đủ biến cố Đặt A biến cố “Sản phẩm lấy sản phẩm tốt” theo cơng thức xác suất tồn phần ta có: P(A)  P(H1 )  P(A H1 )  P(H )  P(A H ) 49 P(A)      80 1.4.4.2 Công thức Bayes Với giả thiết công thức xác suất đầy đủ, thêm điều kiện phép thử thực kết biến cố A xảy ra, ta quan tâm đến việc A xảy với biến cố A i hệ đầy đủ biến cố Theo định lý nhân xác suất ta có: P(Ai A)  P(Ai A) P(Ai )  P(A Ai )  P(A) P(A) (1.14) Công thức gọi cơng thức Bayes Trong cơng thức đó, xác suất P(A i A) thường gọi xác suất hậu nghiệm, xác suất P(Ai ) gọi xác suất tiên nghiệm Ví dụ 8: Hai máy sản xuất loại linh kiện Các linh kiện đóng chung vào thùng Năng suất máy thứ hai gấp đôi suất máy thứ Máy thứ sản xuất trung bình 63% linh kiện loại tốt, cịn máy thứ hai 81% linh kiện loại tốt Từ thùng hàng lấy ngẫu nhiên linh kiện thấy linh kiện loại tốt Tìm xác suất để linh kiện máy thứ sản xuất Giải: Ký hiệu Ai biến cố “linh kiện máy thứ i sản xuất”, i = 1, A biến cố “linh kiện lấy thuộc loại tốt” Ta cần tìm P(A1 A) P(A1 ) = ; P(A A1 ) = ; P(A) = ´ 0, 63 + ´ 0,81 = 0, 75 3 Theo cơng thức Bayes ta có: P(A1 A) = P(A1 )´ P(A A1 ) P(A) Vậy: ´0, 63 P(A1 A) = = 0, 28 0, 75 20 STA201_Bai 1_v1.101106212 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất Ví dụ 9: Một dây chuyền sản xuất loại phận khác thiết bị: phận phức tạp chiếm 35%, phận đơn giản chiếm 65% tổng số linh kiện toàn thiết bị Xác suất hỏng sau khoảng năm hoạt động loại phận thiết bị tương ứng 15% 35% Máy hoạt động bị hỏng, tính xác suất bị hỏng loại phận cấu tạo máy (giả thiết loại phận cấu tạo thiết bị không hỏng đồng thời) Giải: Gọi A biến cố máy bị hỏng, Ai biến cố linh kiện bị hỏng thuộc loại i, với i = 1,2 Khi biến cố A i lập nên hệ đầy đủ biến cố Ta cần tính xác suất P(A i A) Theo cơng thức xác suất đầy đủ ta có: P(A) = P(A1 )´ P(A A1 ) + P(A )´ P(A A ) = 0,35´0,15 + 0, 65´0,35 = 0, 28 Áp dụng công thức Bayes ta lại có: P(A1 A) = 0,35´ 0,15 = 0,1875 0, 28 Tương tự ta tính được: P(A A) = 0,8125 Ví dụ 10: Biết tỷ lệ cơng nhân nghiện thuốc nhà máy 30%, tỷ lệ người viêm họng số công nhân nghiện thuốc 60%, cịn số người khơng nghiện thuốc 40%  Chọn ngẫu nhiên công nhân, thấy công nhân viêm họng Tính xác suất để cơng nhân nghiện thuốc  Nếu cơng nhân khơng bị viêm họng, tính xác suất để cơng nhân nghiện thuốc Giải: Gọi A biến cố chọn công nhân viêm họng, B biến cố công nhân chọn người nghiện thuốc Khi B B lập thành hệ đầy đủ biến cố Ta có: P(B) = 0,3 P(A B) = 0, P(B) = 0, 7; P(A B) = 0, Theo cơng thức xác suất đầy đủ, ta có: P(A) = 0,3´ 0, + 0, ´ 0, = 0.46 o Xác suất để người cơng nhân nghiện thuốc viêm họng là: P(B A) = STA201_Bai 1_v1.101106212 0,3´ 0, = 0,39 0, 46 21 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất o Xác suất để người cơng nhân nghiện thuốc khơng bị viêm họng là: P(A) = 1- P(A) = 0,54 P(B A) = 1.4.5 P(B)´ P(A B) P(A) = 0,3´ 0, = 0, 222 0,54 Công thức Bernoulli Thực lặp lại n lần phép thử cách độc lập Trong lần thử ta quan tâm xuất biến cố A Giả sử xác suất xuất A lần thử p (xác suất thành cơng) Khi đó, xác suất để n lần thử cho có x lần biến cố A xuất (x lần thành công) tính cơng thức Bernoulli: Pn (x)  C nx p x (1  p) n  x với x  0,1, 2, , n (1.15) Ví dụ 11: Một người bắn viên đạn vào bia với xác suất bắn trúng viên đạn 0,7  Tính xác suất để có viên đạn trượt bia  Tính xác suất để bia bị trúng đạn Giải: o Gọi A i biến cố viên đạn thứ i bắn trượt bia với i  1, 2,3 o Ta có tốn xác suất với lược đồ Bernoulli n   p(A i ) = 0,3 p(A )  0, i  o i  1, 2,3 Gọi A biến cố "trong viên đạn bắn vào bia có viên bị trượt" Khi ấy: P(A)  P3 (1)  C13  0,3  0,   0, 441 Gọi B biến cố "bia bị trúng đạn" Dễ dàng thấy: P(B)   P3 (0)   C30  0,3  0,  Ví dụ 12: Một đại lý lấy hàng từ tổng kho công ty SAMSUNG 14 ti vi Giả sử việc ti vi bị hỏng độc lập với xác suất bị hỏng ti vi 0,04 Tính xác suất để:  Có nhiều tivi bị hỏng,  Có nhiều hai tivi bị hỏng Giải: o Gọi A biến cố "có nhiều tivi bị hỏng" A i biến cố “chiếc ti vi thứ i bị hỏng” với i  1, ,14 Theo giả thiết P(A i )  0, 04 Ta có lược đồ Bernoulli với n = 14 sau: P(A)  P14 (0)  P14 (1)  C14  0, 04   0,96   C141  0, 04   0,96  22 14 13 STA201_Bai 1_v1.101106212 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất o Gọi B biến cố "trong 14 ti vi lấy có nhiều hai tivi bị hỏng" Ta có: P(B)  P14 (0)  P14 (1)  P14 (2)  C14  0, 04   0,96   C114  0, 04   0,96   C142  0, 04   0,96  14 13 12 Ví dụ 13: Tỷ lệ người mắc bệnh lao vùng 10% Kiểm tra ngẫu nhiên 100 người vùng  Tính xác suất để 100 người kiểm tra không người bị bệnh lao  Tính xác suất để 100 người kiểm tra có người bệnh lao Giải: o Gọi A biến cố "người kiểm tra bị bệnh lao, theo giả thiết P(A) = 0,1 o Lập luận tương tự ví dụ bên với n = 100, p = 0,1, ta có:  100 P100 (0) = C100 (0,1) (0,9) = (0,9)100  Gọi B biến cố "trong 100 người kiểm tra có người mắc bệnh lao" Khi B biến cố "trong 100 người kiểm tra khơng có người mắc bệnh lao" Ta có: P(B) = 1- P(B) = 1- P100 (0) = 1- (0,9)100 STA201_Bai 1_v1.101106212 23 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Chương giới thiệu vấn đề mở đầu lý thuyết xác suất thống kê, giới thiệu khái niệm công thức tính xác suất Các bạn cần phải nắm vững khái niệm công thức học cơng thức cộng, nhân xác suất, cơng thức tính xác suất qua biến cố đối, công thức xác suất đầy đủ, công thức Bayes công thức Bernoulli 24 STA201_Bai 1_v1.101106212 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM Cho biến cố A, B, C Biến cố “Có biến cố A, B, C xảy ra” là: a b ABC A BC c d ABC  BAC  CAB ABC Cho hai biến cố A B Khẳng định a AB   \ AB b Các biến cố A, A A  B , không xung khắc đôi c Các biến cố A, A A  B , tạo thành hệ đầy đủ biến cố d Các biến cố A \ B, AB, AB A  B tạo thành hệ đầy đủ biến số Cho biến cố A, B thoả mãn < P(A), P(B) < Kết luận kéo theo A B xung khắc? a A B xung khắc b A B xung khắc c P  AB   P  A  P  B  d P(A  B)  P  A   P  B   P  AB  Cho A, B biến cố thoả mãn < P(A), P(B) < Khẳng định a P  AB    P  A  , P  B   b Nếu P  A   P  B  A  B c P  AB    P  AB  d P  A   P  A  B \ P  B Khẳng định cho biến cố A, B với < P(A) < < P(B) 1) Lấy cầu a Tính xác suất để lần thứ lấy cầu trắng b Tính xác suất để lần thứ lấy cầu đỏ c Tính xác suất để lần cuối lấy cầu trắng d Khi lấy có hồn lại, tính lại xác suất 18 Một nhà máy sản xuất tivi có máy sản xuất Sau quan sát, thống kê máy A sản xuất 30% số tivi nhà máy, máy B sản xuất 40% số tivi nhà máy Tỷ lệ tivi chưa đạt tiêu chuẩn xuất xưởng máy tương ứng 0,35% 0,28% Các máy khác cho tỷ lệ thành phẩm đạt chuẩn xấp xỉ 100% có tỷ lệ sản xuất ngang a Lấy ngẫu nhiên tivi nhà máy sản xuất, tính xác suất để lấy bóng đèn tốt b Tính xác suất để lấy bóng đèn máy A sản xuất biết lấy bóng bị hỏng c Nếu tỷ lệ sản phẩm không đạt chuẩn máy lại 0,15% 0,23%, tính lại xác suất 19 Biết tỷ lệ người mắc bệnh ung thư địa phương 1,2% Người ta sử dụng phản ứng mà người bị bệnh phản ứng ln ln dương tính, khơng bị bệnh phản ứng dương tính với xác suất 0,2 a Tìm xác suất phản ứng dương tính b Tìm xác suất bị bệnh, khơng bị bệnh nhóm người có phản ứng dương tính c Nếu chọn ngẫu nhiên người địa phương kiểm tra lần có phản ứng dương tính, tính xác suất khơng bị bệnh 20 Để hồn thành môn học, sinh viên phải qua lần thi để dự lần thi tiếp theo, người phải thi đỗ lần trước Biết xác suất thi đỗ lần 1, tương ứng 0,9; 0,8 0,7 Chọn ngẫu nhiên sinh viên thấy sinh viên khơng hồn thành mơn học Tính xác suất để sinh viên bị trượt lần thi thứ 21 Biết người có nhóm máu AB nhận máu nhóm máu Nếu người có nhóm máu cịn lại (A, B hay O) nhận máu người có nhóm máu với họ người có nhóm máu O Cho biết tỷ lệ người có nhóm mãu O, A, STA201_Bai 1_v1.101106212 29 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất B AB tương ứng 33,7% - 37,5% - 20,9% 7,9% a Chọn ngẫu nhiên người cần tiếp máu người cho máu Tính xác suất để truyền máu thực b Chọn ngẫu nhiên người cần tiếp máu người cho máu Tính xác suất để truyền máu thực c Chọn ngẫu nhiên ca truyền máu thực thành cơng Biết người cho máu thuộc nhóm máu B Tính xác suất để người vừa nhận máu thuộc nhóm máu AB d Chọn ngẫu nhiên ca truyền máu thực thành công Biết người vừa nhận máu thuộc nhóm máu A Tính xác suất để người vừa cho máu thuộc nhóm máu O 22 Một hộp chứa a bút đỏ b bút đen Chọn ngẫu nhiên bút, xem bút màu trả lại vào hộp với c bút khác màu a Tiếp tục chọn ngẫu nhiên bút thấy bút đỏ Tính xác suất để bút chọn lần đầu bút đen b Giả sử ta lặp lại q trình nêu đề nhiều lần Tính xác suất để lần lấy thứ n, ta lấy bút đỏ, n ≥ 23 Hai công ty A B kinh doanh sản phẩm Xác suất thua lỗ công ty A 0,2 xác suất thua lỗ công ty B 0,4 Tuy nhiên thực tế, xác suất để hai công ty thua lỗ thị trường 0,1 Tính xác suất biến cố sau : a Chỉ có cơng ty thua lỗ b Có công ty làm ăn không thua lỗ 24 Chia đơi số cầu có thùng gồm trắng xanh thành phần Tìm xác suất biến cố sau : a Cả hai phần có số đỏ b Một phần có đỏ 25 Để thi nâng bậc, công nhân chọn ngẫu nhiên loại sản phẩm để gia cơng hồn thiện Xác suất để công nhân gia công sản phẩm đạt tiêu chuẩn với loại sản phẩm 0.8, 0.9 0.95 Sau thi biết người cơng nhân thi đỗ, tìm xác suất người chọn loại sản phẩm mà thành thạo nhất, biết thi sản phẩm phải hoàn thiện phải đạt tiêu chuẩn 26 Một bệnh nhân vào bệnh viện khám Bác sỹ chuẩn đốn sơ người mắc bệnh A với xác suất 1/2, bệnh B với xác suất 1/6 bệnh C với xác suất 1/3 Biết xét nghiệm sinh hóa bệnh A có phản ứng dương tính 10%, bệnh B có phản ứng dương tính 20% cịn bệnh C có phản ứng dương tính 90% Qua lần xét nghiệm thấy có lần phản ứng dương tính Bác sỹ kết luậ bệnh nhân mắc bệnh C Kết luận bác sỹ phần trăm? 27 Chiếc máy có ba phận 1, 2, Xác suất phận thời gian làm việc bị hỏng tương ứng 0.2, 0.4, 0.3 Cuối ngày làm việc có thơng báo có phận bị hỏng Tìm xác suất phận bị hỏng 28 Điều tra sở thích xem TV cặp vợ chồng cho thấy 30% ác bà vợ thường xem chương 30 STA201_Bai 1_v1.101106212 Bài 1: Biến cố ngẫu nhiên xác suất trình thể thao, 50% ơng chồng thường xem chương trình thấy vợ xem chồng xem 60% Lấy ngẫu nhiên cặp vợ chồng Tìm xác suất : a Cả hai thường xem chương trình thể thao b Có người thường xem c Khơng có thường xem d Nếu chồng xem vợ xem e Nếu chồng khơng xem vợ xem 29 Một công ty bảo hiểm chia đối tượng bảo hiểm làm loại: rủi ro (chiếm 20%), rủi ro trung bình (chiếm 50%), rủi ro cao (chiếm 30%) Biết tỷ lệ khách hàng gặp rủi ro năm tương ứng với đối tượng là: 0.05, 0.15 0.3 a Tính tỷ lệ khách hàng gặp rủi năm b Gặp khách hàng bị rủi ro, tính xác suất để người thuộc loại rủi ro 30 Có hai học sinh có lực tham dự thi, người phải trả lời hai câu hỏi Mỗi câu hỏi trả lời 15 giây đầu 20 điểm Trả lời 15 giây sau 10 điểm, sau 30 giây khơng có câu trả lời trả lời trả lời sai điểm Biết khả học sinh trả lời câu hỏi 15 giây đầu 0,4 Nội dung câu độc lập Tính xác suất để hai học sinh có số điểm STA201_Bai 1_v1.101106212 31