Ôn tập cùng Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên môn Toán năm 2022-2023 có đáp án - Trường Đại học Khoa học tự nhiên, ĐHQGHN (Vòng 2) được chia sẻ sau đây sẽ giúp các em hệ thống được kiến thức môn học một cách nhanh nhất và hiệu quả nhất, đồng thời, phương pháp học này cũng giúp các em được làm quen với cấu trúc đề thi trước khi bước vào kì thi chính thức. Cùng tham khảo đề thi ngay các em nhé!
Trang 1
ĐẠT HỌC Quộc,
“TRƯỜNG ĐẠI HỌC ÔC GIÁ HÀ Nội ĐỂ TH TUYẾN SINH VÀO LỚP 10 (aera y TVNHIEN TRUONG THT CHUYEN KITTN NAM 2022
MÔN THỊ: TOÁN (Vòng 11) “hi
cu Ết a) ‘xian Lim bài: 150 phat (khong ké thoi gian phat d&) }) Voi a,,¢ tw ahtng số thực đương thỏa mãn điều kiệ 1+1„
xế PM-M=
" aye aby"
2x eda ty’ =6 3x2y+1=2/3x+y+6,
'Câu II (2.5 điểm)
1) Tìm tắt cã các cặp số nguyên đương (x, y) thỏa mãn đẳng thức
(x+yXSx +) tay) =(5x 4y)! rể” tay
2) Voi a, b, c là những số thực dương thỏa mãn các điều kiện sau:
Tu +2a<10, ð`+2a+2e<14,
(a? +16? +1)+ 4ab< 2a’ +26) +204 2b, ‘Tim giá tị lớu nhất của biểu thức Chứng minh
ra
2(a+kc bạcđ 2) Giải hệ phương trình Pada? +5! +2b* +43, (Cau IIL G diém)Cho tam giác 4#C nhọn, không cần, nội tiếp trong đường tron (0) Diém P nim trong tam giác 45C Gọi £, / lẫn lượt là hình chiếu vuông góc của ? trên các cạnh C4, 4:
Giả sử tứ giác 8CEF nội tiếp trong đường tròn (K) 1) Ching minh ring AP vuông góc BC
2) Chimg minh ring AP = 20K
3) Duong thing qua P vudng géc voi AP cit duimg tron (O) ti hai dim Q va &
Chứng mình rằng đường tròn tâm 4 bán kính 4P tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam
gic KOR, 'Câu IV (1 điểm)
“Cho các điểm 4,,4, ,.4„ theo thứ tự nằm trên một đường thẳng sao cho độ dài các đoạn 4,44, bằng & (đơn vị đài), với &=l,2 29 Ta tô mẫu mỗi đoạn thẳng “4,4,4, 4s; bởi Ì trong 3 mẫu (mỗi đoạn được tô bởi đúng ! mầu) Chứng mình
‘ring với mọi cách tô mẫu, ta luôn chọn được 2 số nguyên dương 1 j <:<29 sao cho
bai đoạn 4.4,,,.4,4,,, được tð cùng mẫu và ¿ / là bình phương của số nguyên đương
—ntr— 'Căn bồ coi thí không giải thích gì thêm
Trang 2
LỜI GIẢI ĐỀ TOÁN CHUYÊN LỚP 10/2022 THPT CHUYÊN KHTN
'Võ Quốc Bá Cần ~ Nguuễn Lê Phước = Nguuễn Văn Quú ~ Nguuễn Tiên Dũng Dương Hồng Sơn ~ Phạm Duụ Nguụên Lâm
1 Dé thi
Bài 1 (3.5 điểm)4) Cho các số thực đương a,b, thỏa mãn Ö + } + } — 1 Chứng mình rằng van 1 1 abe
3(apre* weve tras) = Vermeerb) Giải hệ phương tình ax? + xy + y= 6, 3x+2y+l=2V/2x+y+6
Bài 2 (2.5 điểm:3) Tìm tắt cả các cặp số nguyên dương (x, y) thỏa mãn
(x+y)JGx + yy? + xy? = Gx + y)? + x2y? + xy"
b) Xết các số thực dương a, b, c thay đổi thỏa mãn đồng thời các điều kiện ¢ <b <a <3, b2 +24 < 10, bŸ + 24 + 2c < 14 và (4 + 1)(bÊ + 1) + 4ab < 2(4) + bỀ + a + b) ‘Tim giá tr lớn nhất của biểu thức P= 4a? +b +20? + de?
Bai 3 (3.0 diém) Ch tam git P nim trong tam gi
ABC nhon, khong cin, n6i tiếp rong đường tròn (Ø) Điểm ABC Goi E, F lẫn lượt là hình chiếu vuông góc của điểm / trên các cạnh CA, AB Giả sử tứ giác BCEE nội tiếp trong đường tròn (K),
3) Chứng mình rằng 1P vuông góc với BC b) Chứng minh rằng 4P = 2ÓK
Trang 3
2 Lai git dé Toain cluyén lop 10/2022 ~ THPT chuyên KHTN
Trang 4
Dita = x+y vib = 2x + y, Khi dé ta06 ab = 6, la+»+l
từ phương ình thứ nhất vào phương tình thứ ba, tà được ð + Ê 4-1 = 2/2} 6,
hay B + b + 6 = 2bV/B + 6 Một cách tương đương, ta 06 (ð — v/P + 6)” — 0 Giải phường
la được b = 3, Từ đóa = 2 Nhữ vậy là cổ x + y 2 2 và2x 1 Thử lạ, ta hy thôa mãn Vậy, hệ phương eình đã cho có nghiệm duy nhất + y = 3, suy ra In ũ Bài 2 (2.5 điển)
a) Tìm tắt cả các cập số nguyên dương (x, y) thon man
Œ+9)Gx +) tay = (E0) +32 + yết
b) Xết các số thực đương , b, thay đổi thỏa mãn đồng thời các diều kiện c Sở <d <3
P+ 2a < 1002+ Tìm giá tị lớn nhất của biển thức 2a +2 < HH và +1)? +1) + dab = 200+ +046) Pada? + bt $20? + Ác? Lời giải 3) Phương trình đã cho lướng đường với Œ+y= Đ[Gx + #)*= x2]
Vix y — 1 > Ú nên từ đây tà có (Sv + y) = xy’ Suy ra x là ố lập phương Đặt ‘Oia nguyen dong thi ta cổ 5a + y = ay hay y(a ~ 1) = Sa Suy a= 1, ted 5 = 5a ~ 5a —1) chia hét cho a — 1 Suy rag —1 €{1, 5} hay ra Sa’ chia ht cho a € (2 6}
« Với 4 = 2, ta có ÿ = 40 Một cách tướng ứng, ta được (Y, )) = (8, 40) 216 Một cách tướng ứng, ta được (x,y)
(216, 216),
Vay có bai cặp số nguyên dương (x, y) thỏa mãn yêu cầu dễ bài là (8, 40) và (216, 216) b) Giả thết (4° + 1)(6? + 1) + dab < 20a ‡ bỀ + 4 + B) có thể được viết lại thành
(@?—2b + 16? 24 +1) <0
Trang 5
4 Lãi giải để Toán chuyên lập 102032 — THPT chuyên KHTN Suy rà P + 1 < 6 + 8° + 4Ẽ = T1 hay P < T6 Dâu đẳng thức xấy ra khi X = 6, y = 8 và
shay a = 3, b = ¢ = 2, Vay max P =6, n
giác 4C nhọn, không cân, nội tiếp trong đường tồn (0) Bài 3 (3.0 điển) Chu
điểm P' Điểm P nằm rong tam giác ABC Goi E, F Vin lượt là hành chiêu vuông góc
trên các cạnh CA, 4 Giả sử tứ giác BCEF nội iếp trong đường tròn (K)
3) Chứng mình rằng 4P vuông góc với BC b) Chứng mình rằng ÁP = 20K
€) Đường thẳng qua điểm P vuông góc với đường thẳng AP cắt đường tròn (Ø) tai hai điểm Q va Ñ Chứng mình rằng đường tròn tâm A bán kính ÁP tiếp xúc với đường, trồn ngoại tiếp tam giée KOR
Lời giải 1 a) Goi D là giao điểm cia hai dung thing AP va BC Do ZAEP =ZAFP 90° nên tứ giác AZ PF nộ tiếp, my m ⁄4PE = 7A FE Mat gic BFEC nbi tgp
nên Z4C8 =⁄4FE, dẫn đến Z4PE = ZACB Suy ra tứ giée CDP E nội tiếp, từ đó ⁄ADC =⁄AEP =<90° Từ dây, ta suy ra 4P L BC
b) Gọi 7 và X lần lượt là các điểm đối xứng với các điểm P và E qua điểm K Ta c6 KX = KF = KB nin ZFBX = 90°, từ d6 BX || FP Ma K là trung điểm của các đoạn thing FX và PT nén TX || EP, suy mà ba điểm B, 7, X thẳng hàng Do đó /.AB7 = 905 “Tương tự, ta có ⁄ACT — 902 Vi vay AT là đường kính của đường trồn (Ø), hay Ø là trúng điểm của đoạn A7: Do O vi K lần lượt là trung điểm của các doạn thẳng TA và TP nên ÁP = 20K
Trang 6
©) Do AP A BC, OR A AP nên ØR Ì BC mà OK là rung trực của đoạn thẳng ZC nên OK L OR Từ đồ suy ra OK là trung trực của đoạn thẳng OR “Gọi H là giao điểm thứ hai của đường thẳng TP va dung TP và đường tồn (J) ngoại tp tam pide KOR tron (0); 1 1a giao điểm thứ hai KOIR noi tiép nên PO-PR = PH-PT và PO-PR = PK:PI
2PH hay H là trung điểm của đoạn thẳng PT
Lai 06 ZAHT = 90° nén AL = ÁP Do ÁP || KJ nên ZAP = Z⁄/KĨ dẫn dến ZATP = ZITK, suy tạ bạ điểm 1 A J thing hing Do ƒ thuộc đường trồn (4, 4P) và (J) dng thời ba điểm 7, 4, 7 thẳng hàng, nên đường tròn (4, 4P) tiếp xúc với đường tn ỞỞ) ti [ Ta có điều phải chứng mình, n
Lời giải 2 a) Gọi D là giao điểm của các đường thẳng AP va BC, L la trung điểm của đoạn thẳng AP Do ZAEP = ZAFP = 9° nén bon diém A, E, P, F cũng thuộc đường tròn (1) với đường kính AP Từ các tứ giác nội tiếp 4EPE, BCEF, ta có ZAPE = ZAFE = ⁄BCE = /DCE Suy ta tứgiác CDPE nội tiếp Do đồ ZPDC = 180° — ZPEC = 90°, Vithé, ÁP LBC tai D b) Kẻ đường kính Aƒ của đường tròn (Ø) Chú ý rằng tứ giác #CEF nội tiếp, ta có
/IAE + /AEF = /IBC + ⁄FBC = ⁄ABI = 901
Trang 7
6 ời giải đề Toán chuyên lớp 142022 ~ THPT chuyên KHIN
©) Đo 4ØKỂ, là hình bình hành nén OK | AL và OK = AL Vì thể ta có OK || LP va OK = LP Suy tà OKPL, là hình bình hành, Do 46, OL || PK Ma OL | P1 (do OL la đường trung bình của am giác 4P) nên ba điểm P, K, I thang hing vi PK Do vậy, K là trùng điểm của P7
Goi là giao điểm thứ hai của /P/ vối (Ø), S là giao điểm eta AH va OR, T fa digm dBi ting Wi P qua W Ta thấy A77 1 PT và H là rung điểm của PT nên 4S là đường trung trực của PT Suy ra SP = S7, ÁP = AT: Từ đó, 7 thuộc đường tròn (4; AP) và ai tam
je APS, ATS bằng nhau (c-<) Suy ra ZSTA = SPA = 90°, Do ds, ST Ia tip tuyển cia dung tron (A, AP),
Do tử giác JOHR nội tiếp và K, /f lần lượt là trung điểm eiia PT, PT, ta có 1 PT PK =2PH->PI = PH ©PI = PQ-PR
Suy rat gide KQTR noi tiếp Ấp dạng hệ thức lượng rong tam giác vuông AST véi chú ý bin digm A 1 Ợ, cũng thuộc một đường tròn, ta có S73 = $4 - SH = SQ -SR.Suy ra XST là êp tuyển của đường tròn (TOR) Hai đường tròn (4 4P) và (KOR) có chung điểm,
T xà tiếp tuyển S7 nên chúng tiếp xúc nhau tại 7 0
Bài 4 (L0 điển) Cho các điểm Ay, A> » ao chơ độ đài các đoạn thẳng Ay Ax ¡ bằng É (đơn vị đài, vổi k = 1, 2, ., 29 Ta tô 4ụy theo thứ tự nằm trên một đường thẳng màu mỗi dogn thing Ay 42, dzds, -» dy bồi một rong ba màu cho rước (mỗi đoạn thẳng được tô bởi đứng một màu) Chứng mình rằng với mọi cách tô màu, ta luôn chọn được hai số nguyên dương 1 <j <7 < 29 sao cho hai doan thing A; Av s1, Aj Ast Auge tô cùng màu và ý — / là bình phương của một số nguyên dương
Lời giải Với mỗi Í < ý < 29, atô màu số bởi màu ô cho đoạn 4,4 Bài toán trở hành: ‘To miu 29 số nguyên đương đầu iên bởi | trong 3 màu xanh, đỏ, vàng, mỗi số đúng Ì màu Khi đồ tổn tại hai số ¡, cùng màu với ý > j thỏa mãn ï — j là số chính phương
CGiả sử ngược lạ, tổn tại cách tô miu sao cho i — / Không là số chính phương với mọi số í, j cùng màu Xết ba số I, 10, 26, ba số này đối một có hiệu là số chính phương (9 16, 25) nền chúng có màu đôi một khác nhau Tương tự với ba số 1, I7, 26 Suy ra 10 và 17 có cùng màu, giả sir 10 va 17 du man do
Làm tương tự ta có 11 và 18 cùng màu (xết hai bộ số (2, 11, 27) và (2, l8, 27)); 12 và 19 cũng màu (xết bai bộ số (3, 12, 28), (3, 19, 28)); 13 và 20 cùng màu (xét hai bộ số (4, 13, 29) va (4, 20, 29)
“Tà có 11 — 10 =F nén L1 và 10 khác màu, giả sử 11 tô màu xanh, thể thì 18 cũng tô màu anh Ta lại có 19— 18 — I nên 19 không thể có màu xanh, 19 — I0 — 3? nên 19 cũng không thể có màu đố Vậy suy ra 19 mầu vàng và I2 cũng màu vàng,
¬- thể có màu vàng như 19 Vậy suy ra 20 phải có màu đó dẫn tối 13 có màu đỏ, Điều này vô lý vì 17 và 13 đều màu đỏ và 17 — L3 = 2° Mâu thuẫn nhận được cho ta điều phải chứng mình [7