Tiếp cận tính toán thông minh cho việc trích xuất gan và tổn thương gan trong ảnh MR ổ bụng ba chiều 2

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP 17 CHƢƠNG 2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CHO BÀI TOÁN TRÍCH XUẤT GAN TỪ ẢNH MR Ổ BỤNG BA CHIỀU Chƣơng hai trình bày (i) Mô hình toán học trích xuất gan từ ảnh MR ổ bụng ba chiều dùng phƣơng pháp tập đồng mức và kỹ thuật biến phân (ii) Thuật toán hiệu quả trong phƣơng pháp tập đồng mức là thuật toán Fast Marching và vận dụng thuật toán này vào việc trích xuất vùng gan xấp xỉ (iii) Sử dụng kỹ thuật biến phân vào việc xây dựng thuật toán khử nhiễu và trích xuất đối tƣợng ảnh, trong đó điển.

CHƢƠNG - MƠ HÌNH TỐN HỌC CHO BÀI TỐN TRÍCH XUẤT GAN TỪ ẢNH MR Ổ BỤNG BA CHIỀU Chƣơng hai trình bày: (i) Mơ hình tốn học trích xuất gan từ ảnh MR ổ bụng ba chiều dùng phƣơng pháp tập đồng mức kỹ thuật biến phân (ii) Thuật toán hiệu phƣơng pháp tập đồng mức thuật toán Fast Marching vận dụng thuật tốn vào việc trích xuất vùng gan xấp xỉ (iii) Sử dụng kỹ thuật biến phân vào việc xây dựng thuật tốn khử nhiễu trích xuất đối tƣợng ảnh, điển hình hai thuật tốn khử nhiễu khuếch tán dị hƣớng (anisotropic difussion) GAC, sử dụng kỹ thuật biến phân để cải tiến thuật toán GAC (iv) Thuật tốn trích xuất gan bán tự động sở mơ hình tốn học vừa đề xuất, sử dụng kết hợp thuật toán Fast Marching kỹ thuật biến phân Nội dung trình bày chƣơng làm tảng cho chƣơng sau luận án Nội dung liên quan trực tiếp đến báo khoa học [CT1] hầu hết báo khoa học tác giả có sử dụng luận án 2.1 Mơ hình tốn học cho tốn trích xuất gan 2.1.1 Biểu diễn ảnh thông qua hàm số Định nghĩa 2.1: ảnh MR ổ bụng ba chiều biễu diễn thông qua hàm số đƣợc định nghĩa nhƣ công thức (2.1) I :  ¡ ¡ , (2.1) I hàm có đạo hàm cấp I(x, y, z) giá trị mức xám điểm ảnh tọa độ (x, y, z) Trong toàn luận án sử dụng ảnh MR ổ bụng ba chiều I tƣơng đƣơng với hàm I Do I hàm số liên tục có đạo hàm cấp nên định nghĩa tốn tử gradient, div, laplace nhƣ công thức (2.2) - (2.5) 17 - Gradient  I I I  I   , ,   x y z  - (2.2) Độ lớn gradient  I   I   I  || I ||   +   +    x   z   y  - (2.3) Div div( I x , I y , I z )  - I x I y I z + + x y z (2.4) Laplace 2I 2I 2I I  + + x y z (2.5) 2.1.2 Biểu diễn biên dùng tập đồng mức Định nghĩa 2.2: Biên gan đƣợc biểu diễn nhƣ mặt đồng mức, tức tập điểm ảnh biên gan có giá trị qua hàm xác định trƣớc gọi hàm đồng mức Khơng tính tổng qt ta dùng hàm đồng mức cho giá trị không (0), lúc biên đƣợc viết nhƣ phƣơng trình (2.6)   {( x, y, z) |  ( x, y, z)  0}, (2.6)  hàm đồng mức cho giá trị khơng Trong tồn luận án sử dụng hàm đồng mức hàm khoảng cách có dấu đƣợc đinh nghĩa nhƣ cơng thức (2.7) [45]  (x, y, z) gan,   ( x, y, z )  neáu (x, y, z)  ,  (x, y, z) gan  (2.7) Với việc biễu diễn biên gan dùng tập đồng mức, thơng tin hình học (pháp vector, độ cong) biên gan xác định thơng qua hàm đồng mức  nhƣ công thức (2.8) - (2.9) [59]: 18 - Pháp vector đơn vị r  n ||  || - (2.8) Độ cong trung bình      ||  ||    div  (2.9) 2.1.3 Phƣơng pháp tập đồng mức Phƣơng pháp tập đồng mức đƣợc phát triển từ đề xuất Osher Sethian, dùng để mơ tả biến dạng biên đối tƣợng theo thời gian dƣới tác dụng lực Lực phụ thuộc thông tin hình học biên liệu ảnh [59] Lúc biên công thức (2.2) đƣợc viết lại nhƣ công thức (2.10) (t )  {( x, y, z) |  ( x, y, z; t )  0} (2.10) Lấy đạo hàm hàm  theo thời gian, ta đƣợc phƣơng trình (2.11)  x  y  z      x t y t z t t (2.11) Viết lại phƣơng trình (2.11) dƣới dạng tích vơ hƣớng hai vector đƣợc phƣơng trình (2.12)       x y z    , ,  , ,    t  x y z   t t t  (2.12)       , ,    ,  x y z  r   x y z  ,  , ,   F n  F ||  ||  t t t  (2.13) Với phƣơng trình (2.12) trở thành phƣơng trình (2.14)    F ||  ||, t (2.14) Phƣơng trình (2.14) đƣợc gọi phƣơng trình tập đồng mức [59] 19 Nhƣ vậy, từ biên khởi tạo ban đầu  ( x, y, z; t  0)  0 gan, chọn lực F phù hợp ta xác định đƣợc biên gan thông qua công thức (2.15)  ( x, y, z; t  0)  0 ,     F ||  ||   t (2.15) 2.1.4 Kỹ thuật biến phân Kỹ thuật biến phân mô tả biến dạng biên (trong trƣờng hợp biên đƣợc đinh nghĩa thông qua hàm đồng mức  ) theo thời gian thông qua phiếm hàm lƣợng E ( ) Khi biên trùng với biên gan phiếm hàm E ( ) đạt cực tiểu Nhƣ vậy, tốn tìm biên gan trở thành toán tối ƣu nhƣ (2.16)  *  arg E ( )  (2.16) Nếu xây dựng phiếm hàm lƣợng E ( ) phù hợp, theo phƣơng pháp giảm gradient ta xác định đƣợc biên gan từ biên khởi tạo 0 ban đầu thơng qua phƣơng trình (2.17)  ( x, y, z , t  0)  0 ,  dE ( )    t   d  (2.17) 2.1.5 Mơ hình trích xuất gan Bài tốn trích xuất gan tƣơng đƣơng với tốn xác định biên gan, thể tích gan đƣợc xác định thơng qua số điểm ảnh gan nhân với kích thƣớc tƣơng ứng điểm ảnh Đây toán ngƣợc không chỉnh theo nghĩa Hadamard, lời giải phụ thuộc liệu không tƣờng minh [5, 55] Mô hình trích xuất gan tồn luận án sử dụng phƣơng trình (2.17) Với mơ hình tốn mà luận án phải giải (i) xác định biên đồng mức khởi tạo ban đầu 0 (ii) xác định phiếm hàm lƣợng E ( ) Do phƣơng trình (2.17) có sử dụng đạo hàm, nhạy với nhiễu nên ảnh cần giảm nhiễu trƣớc thực bƣớc [29] 20 Nhƣ trình bày phần tổng quan, ảnh MR ổ bụng ba chiều thì: mức xám gan phức tạp, có nhiều phần gan mức xám với số vùng ngồi gan, biên gan có vùng mờ hay đứt đoạn tiếp xúc với nội tạng khác, có vùng biên trải dài dẫn đến giá trị gradient nhỏ Vì tiếp cận luận án sẽ: (i) xác định biên đồng mức ban đầu 0 cho lấy đƣợc phần lớn vùng gan, (ii) lúc phiếm hàm lƣợng E ( ) tập trung vào tích hợp thơng tin biên mà không cần quan tâm đến phức tạp mức xám gan Nhƣ bƣớc xác định biên đồng mức ban đầu 0 xác định vùng gan xấp xỉ Từ ta có thuật tốn tổng qt trích xuất gan nhƣ thuật tốn 2.1 Thuật tốn 1- thuật tốn tổng qt trích xuất gan Đầu vào: Ảnh MR ổ bụng chiều Đầu ra: Biên gan thể tích gan Tiền xử lý: giảm nhiễu xác định ảnh cạnh tiềm Xác định biên đồng mức xấp xỉ 0 Xác định biên gan dùng cơng thức (2.17) Xác định thể tích gan 2.2 Tiền xử lý Mục đích bƣớc tiền xử lý cung cấp ảnh giảm nhiễu ảnh cạnh tiềm ảnh MR ổ bụng ba chiều, ảnh sử dụng cho bƣớc sau Ảnh cạnh tiềm đƣợc sử dụng luận án ảnh độ lớn gradient 2.2.1 Các thuật toán khử nhiễu Khử nhiễu ảnh xem nhƣ tốn tìm ảnh trơn xấp xỉ với ảnh nhiễu không gian ảnh Với việc biểu diễn ảnh thông qua hàm số, toán trở thành toán ƣớc lƣợng hàm thõa ràng buộc cho trƣớc Ràng buộc thƣờng biễu diễn dƣới dạng phiếm hàm lƣợng [49] 21 Giả sử dùng tổng bình phƣơng độ lớn gradient để đánh giá nhiễu Phiếm hàm lƣợng đƣợc viết nhƣ công thức (2.18): E ( I )   || I ||2 d  (2.18)  Cực tiểu phiếm hàm lƣợng ta xác định đƣợc ảnh trơn xấp xỉ Lúc toán khử nhiễu tƣơng đƣơng với toán tối ƣu nhƣ (2.19) I *  arg  || I ||2 d  I (2.19)  Mệnh đề 2.3: Biến phân bậc phiếm hàm: Xét phiếm hàm lƣợng có dạng E ( I )   L( I , I )d ,  (2.20) với L( I , I ) hàm I I Biến phân bậc phiếm hàm đƣợc xác định nhƣ sau [49]: dE  LI  div( LI ) dI (2.21) Theo phƣơng pháp giảm gradient, ảnh giảm nhiễu đƣợc xác định từ ảnh ban đầu thơng qua phƣơng trình I  ( LI  div( LI )) t (2.22) Nhƣ với phiếm hàm lƣợng nhƣ (2.18) ta có L( I , I ) || I ||2 , (2.23) Suy LI  0, LI  || I || I  2I || I || (2.24) Lúc ảnh giảm nhiễu đƣợc xác định thông qua phƣơng trình 22 I  div(I )  I t (2.25) Phƣơng trình (2.25) cịn đƣợc gọi phƣơng trình nhiệt Nếu ta dùng tổng độ lớn gradient để đánh giá nhiễu, ta có L( I , I ) || I ||, (2.26) suy LI  0, LI  I || I || (2.27) Lúc ảnh giảm nhiễu đƣợc xác định thơng qua phƣơng trình  I  I  div   t  || I ||  (2.28) Phƣơng trình (2.28) đƣợc gọi phƣơng trình khử nhiễu tổng biến phân (Total Variation) Khử nhiễu dùng phƣơng trình nhiệt hay tổng biến phân gọi phƣơng pháp khử nhiễu khuếch tán đẳng hƣớng Từ trình xây dựng phƣơng trình trên, ta thấy dùng độ lớn gradient để phát biên phƣơng pháp khuếch tán đẳng hƣớng không phân biệt đƣợc nhiễu biên Và nhƣ ảnh đƣợc giảm nhiễu đồng thời thơng tin biên Để khử nhiễu mà trì thông tin biên cấu trúc bản, Perona – Malik đề xuất đánh giá nhiễu dựa vào hàm (2.29) L( I , I )   log(1  I  ) (2.29) Với || I ||   xem nhƣ nhiễu đƣợc làm mịn nhanh hơn, biên có || I || >  đƣợc làm mịn chậm [46] Tƣơng tự nhƣ lập luận trên, lúc ảnh giảm nhiễu đƣợc xác định thơng qua phƣơng trình (2.30) Đây phƣơng trình khử nhiễu khuếch tán dị hƣớng Perona -Malik 23     I  div  I  t   I     (2.30) Để cài đặt, phƣơng trình (2.30) đƣợc viết lại dƣới dạng rời rạc dùng sai phân hữu hạn nhƣ phƣơng trình (2.31)     I t t  I t  div   I  t   I     (2.31) Phƣơng trình đƣợc sử dụng toàn luận án để giảm nhiễu ảnh mà trì đƣợc thơng tin biên gan u gan 2.2.2 Ảnh cạnh tiềm Trong hầu hết thuật toán luận án, ảnh độ lớn gradient ảnh MR ổ bụng ba chiều đƣợc sử dụng nhƣ ảnh cạnh tiềm Ảnh độ lớn gradient đƣợc xác định sử dụng công thức (2.32) IM  I   I   I    G   G   G  ,  x   y   z  (2.32)  IG  I D * e 2 x2  y  z 2 , (2.33)  phƣơng sai phân bố Gaus 2.2.3 Thuật toán tiền xử lý Xác định ảnh khử nhiễu sử dụng phƣơng trình (2.31) có tham số bƣớc thời gian, số vòng lặp ngƣỡng  Xác định ảnh cạnh tiềm sử dụng công thức (2.32) cần tham số phƣơng sai  Ta có thuật tốn tiền xử lý 2.2 24 Thuật toán 2- Thuật toán tiền xử lý Đầu vào: Ảnh MR ổ bụng chiều Tham số: ngưỡng  , số lần lặp, bước thời gian, phương sai  Đầu ra: Ảnh giảm nhiễu I D ảnh độ lớn gradient I M Xác định ảnh giảm nhiễu I D dùng công thức (2.31) Xác định ảnh độ lớn gradient I M dùng công thức (2.32) Trong luận án, tất tham số đƣợc sử dụng theo kinh nghiệm nghiên cứu trƣớc [29] Giá trị tham số khơng thay đổi tồn thực nghiệm Vì thuật toán tiền xử lý xem nhƣ tự động đƣợc sử dụng tất thuật toán trích xuất gan u gan luận án 2.3 Xác định vùng gan xấp xỉ 2.3.1 Phƣơng trình Eikonal Trong phƣơng pháp tập đồng mức, F  biến dạng mặt biên theo hƣớng mở rộng qua điểm lần Gọi T ( x, y, z ) thời điểm mặt biên qua điểm có tọa độ ( x, y, z ) , lúc ta định nghĩa mặt biên đồng mức thời điểm t nhƣ công thức (2.34) (t )  {( x, y, z) | T ( x, y, z)  t} (2.34) Hàm đồng mức khơng định nghĩa nhƣ phƣơng trình (2.35)  (t )  T ( x, y, z)  t (2.35) Đạo hàm hai vế phƣơng rình (2.35) lần lƣợt theo thời gian không gian ta đƣợc   1, t    T (2.36) Thay (2.36) vào phƣơng trình tập đồng mức (2.14) ta đƣợc phƣơng trình (2.37) F || T || (2.37) 25 Phƣơng trình (2.37) đƣợc gọi phƣơng trình Eikonal Để thực, phƣơng trình Eikonal đƣợc viết lại dùng sơ đồ sai phân upwind [59]: 1/2  max( Dijk xT ,  Dijk xT ,0)    y y   max( Dijk T ,  Dijk T ,0)   z z    max( Dijk T ,  Dijk T ,0)   , Fijk (2.38) Dijk xT  Dijk yT  Dijk zT  Tijk  Ti 1 jk xi  xi 1 Tijk  Tij 1k yi  yi 1 Tijk  Tijk 1 zi  zi 1 ; Dijk xT  ; Dijk yT  ; Dijk zT  Ti 1 jk  Tijk ; xi 1  xi Tij 1k  Tijk yi 1  yi Tijk 1  Tijk zi 1  zi ; (2.39) ; Tijk  T ( xi , y j , zk ) Để giải phƣơng trình (2.38) ta sử dụng thuật toán Fast Marching 2.3.2 Thuật toán Fast Marching Thuật toán Fast Marching đƣợc Sethian đề xuất năm 1996, nhằm giải xấp xỉ phƣơng trình Eikonal cách hiệu [59] Ý tƣởng thuật toán là: - Xử lý điểm lƣới sai phân theo thứ tự đặc biệt (giá trị T tăng giảm dần) - Chỉ có điểm lƣới miền láng giềng đƣợc tính tính thơng qua phƣơng trình (2.38) Để dễ trình bày ta chia lƣới sai phân thành tập hợp điểm khác nhau.Tập điểm láng giềng điểm ( xi , y j , zk ) đƣợc định nghĩa nhƣ công thức (2.40) ( xi 1 , y j , zk ),( xi 1 , y j , zk ),    N ( xi , y j , zk )  ( xi , y j 1 , zk ),( xi , y j 1 , zk ),    ( xi , y j , zk 1 ),( xi , y j , zk 1 )  (2.40) 26 Tập Accepted chứa điểm lƣới đƣợc xác định thời gian đến, tập NB chứa điểm láng giềng điểm Accepted mà khơng thuộc Accepted Tập Far chứa điểm cịn lại lƣới Trƣớc hết thời gian đến điểm NB đƣợc xác định theo công thức (2.38), sau điểm NB có thời gian đến nhỏ đƣợc đƣa vào tập Accepted Tập NB cập nhật thêm láng giềng điểm mà không thuộc Accepted Q trình tính tốn đƣợc lặp lại thời gian đến tất điểm lƣới đƣợc xác định Chi tiết q trình tính toán đƣợc thể chi tiết thuật toán 2.3 Thuật toán Thuật toán Fast Marching Đầu vào: lưới sai phân, điểm khởi tạo Đầu ra: thời gian đến điểm lưới sai phân Khởi tạo 1.1 Các điểm khởi tạo có thời gian T = đƣa vào tập Accepted 1.2 Các điểm láng giềng điểm tập Accepted không thuộc tập Accepted đƣợc đƣa vào tập NB Các điểm đƣợc cập nhật thời gian đến theo công thức (2.38) 1.3 Các điểm lại đƣa vào tập Far thiết lập thời gian đến T   Lặp 2.1 Tìm điểm p NB có thời gian đến nhỏ 2.2 Accepted  Accepted  { p} 2.3 NB  NB / { p} 2.4 q  N ( p), q  Accepted Cập nhật thời gian đến điểm q theo công thức (2.38) 2.5 q  N ( p), q  Accepted  NB : NB=NB  {q} Cho đến NB  {} 27 Để tăng tốc việc chọn điểm p tập NB bƣớc 2.1, ta dùng cấu trúc liệu min-heap để tổ chức liệu cho tập NB 2.3.3 Thuật toán xác định biên gan xấp xỉ dùng thuật toán Fast Marching Nếu xem điểm ảnh ảnh MR ổ bụng ba chiều nhƣ điểm lƣới sai phân, thuật tốn Fast Marching cho ta thời gian đến tất các điểm ảnh (tính từ điểm ảnh đƣợc chọn trƣớc gan) Tập điểm có thời gian đến tạo thành mặt đồng mức Quá trình tính tốn cho thấy hình ảnh lan truyền mặt đồng mức theo hƣớng mở rộng Khi chọn lực F hàm nghịch biến với độ lớn gradient ảnh hình ảnh lan truyền chậm nơi có độ lớn gradient cao Lúc ta chọn thời gian đến phù hợp để đƣợc mặt đồng mức xấp xỉ biên gan Các tác giả [35] đề xuất lực F nhƣ công thức (2.41) (2.42) F ,  IM (2.41) F  e I M (2.42) Trong [29, 62] [CT1, CT6] chọn lực F theo dạng công thức (2.42) Trong sử dụng hàm sigmoid định nghĩa nhƣ (2.43) để làm biên tiềm I Sig  e  IM  (2.43)  Lúc cƣờng độ mức xám phạm vi đƣợc mô tả hai tham số   đƣợc làm bật giá trị mức xám lại giá trị bão hòa [29, 62] Phƣơng trình (2.38) đƣợc viết lại nhƣ (2.44) 1/2  max( Dijk xT ,  Dijk xT ,0)    y y   max( Dijk T ,  Dijk T ,0)   z z    max( Dijk T ,  Dijk T ,0)   e Sig I (2.44) 28 Hiệu chỉnh thuật toán 2.3 ta đƣợc thuật toán 2.4 dùng cho việc xác định biên gan xấp xỉ nhƣ sau Biên gan xấp xỉ đƣợc biễu diễn thơng qua hàm khoảng cách có dấu Thuật tốn Xác định biên gan xấp xỉ dùng Fast Marching Đầu vào: Ảnh độ lớn gradient (IM) ảnh MR ổ bụng ba chiều,tập điểm khởi tạo gan Đầu ra: Biên gan xấp xỉ  Tham số: Ngưỡng thời gian Tstop,   Tạo ảnh cạnh tiềm 1.1 Xác định ảnh cạnh tiềm dùng công thức(2.43) Khởi tạo 2.1 Các điểm khởi tạo gan có I fm ( x, y, z )  đƣa vào tập Accepted 2.2 Các điểm láng giềng điểm tập Accepted mà không thuộc tập Accepted đƣợc đƣa vào tập NB Các điểm đƣợc cập nhật thời gian đến theo công thức (2.44) Trong công thức I fm thay cho T 2.3 Các điểm lại đƣa vào tập Far thiết lập thời gian đến I fm ( x, y, z )   Lan truyền 3.1 Tìm điểm p NB có I fm ( p) nhỏ 3.2 Accepted  Accepted  { p} 3.3 NB  NB / { p} 3.4 q  N ( p), q  Accepted Cập nhật thời gian đến điểm q theo công thức (2.44) 29 3.5 q  N ( p), q  Accepted  NB : NB=NB  {q} Cho đến T (q)  Tstop Xác định biên gan xấp xỉ q  I fm , Nếu I fm (q)  Tstop :  (q)  Nếu I fm (q)  Tstop :  (q)  Nếu I fm (q)  Tstop :  (q)  1 2.4 Tinh chỉnh biên gan dùng kỹ thuật biến phân Một phần đóng góp quan trọng kỹ thuật biến phân xây dựng phiếm hàm lƣợng E ( ) Phiếm hàm lƣợng xây dựng sở thông tin biên, đạt cực tiểu mặt đồng mức trùng với biên gan Điển hình cho tiếp cận thuật toán GAC [6] Cách khác để xây dựng phiếm hàm lƣợng dựa vào khác biệt thống kê vùng vùng ngồi mặt đồng mức Điển hình tiếp cận mơ hình Chan-Vese [7] Theo ý tƣởng mơ hình Chan-Vese biên gan phân ảnh MR ổ bụng thành hai vùng có cƣờng độ trung bình xa Phiếm hàm E ( S ) đƣợc xây dựng để đạt cực tiểu mặt S trùng với biên gan, định nghĩa phiếm hàm nhƣ công thức (2.45) [7] E (S )   ( I  1 ) dxdydz  inside ( S )  outside ( S ) ( I  2 ) dxdydz, (2.45) với S mặt biên phân tách ảnh I thành hai vùng inside(S) outside(S) có mức xám trung bình tƣơng ứng 1  Với hàm đồng mức hàm khoảng cách có dấu đƣợc định nghĩa nhƣ công thức (2.7), ta xác định đƣợc biên S hai vùng outside (S), inside(S) theo hàm đồng mức nhƣ (2.46) 30 S  {( x, y, z )   |  ( x, y, z )  0}, inside( )  {( x, y, z )   |  ( x, y, z )  0}, outside( )  {( x, y, z )   |  ( x, y, z )  0} (2.46) Lúc phƣơng trình (2.45) viết lại nhƣ (2.47) E ( )   H ( )( I  1 )2  (1  H ( ))( I  2 ) d ,  (2.47) H hàm Heaviside đƣợc định nghĩa nhƣ công thức (2.48) 1, nêu x  H ( x)   0, nêu x < (2.48) Để tính biến phân bậc phiếm hàm, ta sử dụng định nghĩa hàm Heaviside Dirac nhƣ công thức (2.49) H  ( x)  x (1  arctan( )),     ( x)  H  ( x)   '  (  x ) (2.49) Khi   H  H , nhƣ phiếm hàm lƣợng nhƣ (2.47) đƣợc viết lại thành phƣơng trình (2.50) E ( )   H ( )( I  1 )2  (1  H  ( ))( I  2 ) d   (2.50) Biến phân bậc phiếm hàm lƣợng dE  L  div( L ) d    ( )(( I  1 )  ( I  2 ) ) (2.51) Lúc theo phƣơng pháp giảm gradient, biên gan đƣợc xác định thơng qua phƣơng trình (2.52)     ( )(( I  1 )2  ( I  2 ) ) t (2.52) 31 Nhƣợc điểm tiếp cận không tích hợp thơng tin biên gan (khá phức tạp) trình xác định biên Các tiếp cận sở mơ hình ChanVese khơng thành cơng trƣờng hợp ảnh có mức xám khơng đồng nhƣ ảnh MR ổ bụng [29] Cách xác định 1  đƣợc đề cập chi tiết [7] nằm phạm vi luận án Trong mơ hình đề xuất luận án, kỹ thuật biến phân đƣợc dùng vào việc tinh chỉnh biên gan Vì phiếm hàm lƣợng xây dựng thông tin biên phù hợp Theo ý tƣởng thuật toán GAC, phiếm hàm lƣợng đƣợc xây dựng nhƣ (2.53) [6] E ( )   g ( I ) || H  ( ) ||)dxdydz  =    ( ) g ( I ) ||  ||) dxdydz (2.53)  Trong g(I) hàm nghịch biến với độ lớn gradient ảnh I (trong trƣờng hợp dùng hàm (2.41)) Nhƣ biên đồng mức gồm điểm có độ lớn gradient lớn cực đại, phiếm hàm đạt cực tiểu Trƣờng hợp biên gan có phần mờ hay đứt đoạn, phần khơng q nhiều khơng ảnh hƣởng nhiều đến cực trị phiếm hàm Với tiếp cận GAC có khả tinh chỉnh biên có vùng mờ hay đứt đoạn Biến phân bậc phiếm hàm lƣợng (2.53) nhƣ (2.54) dE  L  div( L ) d    ( )( g ( I ) ||  ||   g ( I )   ) (2.54) Lúc theo phƣơng pháp giảm gradient, biên gan đƣợc tinh chỉnh thông qua phƣơng trình (2.55)  ( x, y, z; t )  0    g ( I ) ||  ||   g ( I )     t (2.55) 32 0 biên gan xấp xỉ Trong thực nghiệm, thƣờng thêm số hạng để tăng tốc độ tiếp cận biên hệ số hiệu chỉnh [6] Phƣơng trình (2.55) đƣợc viết lại thành (2.56)  ( x, y, z; t  0)  0    (   ) g ( I ) ||  || g ( I )     t (2.56) Đối với ảnh MR ổ bụng ba chiều biên gan có nhiều vùng mức xám trải rộng nhƣ vùng gan phía bụng phải, giá trị gradient thƣờng nhỏ Theo quan sát vùng bƣớc trích xuất gan xấp xỉ sử dụng thuật tốn Fast Marching khơng trích xuất đƣợc tinh chỉnh sử dụng phƣơng trình (2.56) khơng cải thiện đƣợc Để cải thiện đƣợc điều này, thông tin laplace đƣợc sử dụng với thông tin gradient để đánh giá biên Phiếm hàm lƣợng (2.53) đƣợc điều chỉnh thành (2.57) E ( )     ( )( g ( I )   || I ||) ||  || dxdydz  (2.57) Phiếm hàm đạt cực tiểu biên đồng mức gồm điểm có giá trị gradient lớn laplace nhỏ [CT1] Cũng theo phƣơng pháp giảm gradient, trình tinh chỉnh biên gan thơng qua phƣơng trình (2.58) [CT1]  ( x, y, z; t  0)  0 ,     div( g ( I ) ||  ||)   div(|| I ||||  ||)   t (2.58) Để cài đặt, phƣơng trình (2.58) đƣợc viết lại dƣới dạng rời rạc sử dụng sai phân hữu hạn nhƣ (2.59)  ( x, y, z; t  0)  0 ,  t t  t   div( g ( I ) ||  ||)   div(|| I ||||  ||)   t (2.59) 2.5 Thuật tốn trích xuất gan 33 Nhƣ trình bày thuật tốn 2.2 cung cấp ảnh khử nhiễu ảnh cạnh tiềm ảnh MR ổ bụng ba chiều, thuật toán 2.4 cho phép xác định biên gan xấp xỉ phƣơng trình (2.59) tinh chỉnh biên gan Từ ta có thuật tốn trích xuất gan 2.5 đƣợc chi tiết từ thuật tốn trích xuất gan tổng qt 2.1 Thuật tốn có số tham số đƣợc sử dụng từ nghiên cứu trƣớc (tham số cho thuật toán 2.2), số tham số đƣợc xác định dựa vào thực nghiệm ảnh MR ổ bụng ba chiều (các thuật tốn phƣơng trình cịn lại) Giá trị tham số khơng đổi tồn thực nghiệm Thuật tốn đƣợc cơng bố báo khoa học [CT1] Thuật tốn Thuật tốn trích xuất gan Đầu vào: Ảnh MR ổ bụng ba chiều (I), tập điểm gieo ban đầu Đầu ra: biên gan Tiền xử lý 1.1 Tạo ảnh khử nhiễu ảnh độ lớn gradient dùng thuật toán 2.2 Tạo biên gan xấp xỉ 2.1 Tạo biên gan xấp xỉ dùng thuật toán 2.4 Tinh chỉnh biên gan 3.1 Xác định ảnh laplace sử dụng công thức (2.5) 3.2 Tinh chỉnh biên gan sử dụng phƣơng trình (2.59) Xác định thể tích gan 2.6 Kết thực nghiệm Thuật toán 2.5 đƣợc thực nghiệm tập liệu gồm 12 ảnh MR ổ bụng ba chiều đƣợc thu thập trung tâm y khoa Medic Thời gian trích xuất trung bình 1.04 ± 0.4 phút (CPU: intel G630, 1.7 GHz) trích xuất thủ cơng 24.7 ± 2.3 phút (p