Để đạt được sự cải thiện hiệu suất tìm kiếm giá trị tối ưu toàn cục, chiến lược tìm kiếm của DE gồm chiến lược lai tạo chéo, chiến lược lai tạo đột biến sẽ được sử dụng để tạo ra một chi
GIỚI THIỆU
Định nghĩa bài toán tối ưu trong thiết kế kết cấu thép
Kết cấu thép được sử dụng rộng rãi trong các công trình như kết cấu công trình dân dụng, kết cấu cầu, kết cấu nhà xưởng, kết cấu cảng biển, và đóng vai trò quan trọng trong sự phát triển cơ sở hạ tầng của mỗi quốc gia Trong những năm gần đây, ở Việt Nam, sử dụng vật liệu thép trong xây dựng đã phát triển nhanh chóng, thay thế cho bê tông cốt thép trong nhiều công trình, như nhà xưởng, nhà nhịp lớn và các công trình mang tính biểu tượng khác Vật liệu thép có nhiều ưu điểm so với bê tông, bao gồm khả năng chống ăn mòn, khả năng tạo liên kết tốt với các vật liệu khác, khả năng kháng lại các thảm họa tự nhiên, khả năng chống cháy và giúp tiết kiệm chi phí Kết cấu thép sẽ phát triển mạnh mẽ ở Việt Nam trong sự lớn mạnh của nền kinh tế và ngành xây dựng Các công trình thép tiêu biểu đã được xây dựng trong nước bao gồm nhà ga hàng không Nội Bài, nhà thi đấu Nam Định, nhà biểu diễn cá heo ở Tuần Châu, Hạ Long, Nhà triển lãm Hội chợ Hải Phòng và hàng chục nhà thi đấu thể thao đã được xây dựng phục vụ cho SEA GAMES 2003 Các xu hướng phát triển của kết cấu thép trong nước bao gồm sự phát triển của kết cấu cấu trúc tinh thể, cấu trúc dàn không gian và nhà cao tầng bằng thép Công nghệ gia công kết cấu thép tại nhà máy đạt được nhiều tiến bộ, điều này dẫn đến hạn chế sai sót trong quá trình gia công các cấu kiện Kết cấu thép có khả năng chịu lực lớn và độ tin cậy cao, không dễ bị biến dạng trong quá trình sử dụng Nó cũng có cấu trúc đơn giản và nhẹ hơn so với bê tông, dễ dàng trong vận chuyển, thi công và sửa chữa Với tính công nghiệp hóa cao, kết cấu thép là lựa chọn tốt cho các công trình xây dựng Nó cũng có tính kín, không thấm nước và tiết kiệm chi phí do kết cấu khung thép đơn giản, giảm thời gian và chi phí thi công cũng như chi phí cho bảo dưỡng sửa chữa Công tác chế tạo, thi công và lắp đặt kết cấu thép cũng được thực hiện nhanh chóng hơn so với các kết cấu thông thường
Việc thiết kế các công trình bằng kết cấu thép đóng vai trò then chốt trong việc đảm bảo tính bền vũng và kinh tế Ngày nay, với sự phát triển mạnh mẽ của các máy tính và các công cụ hỗ trợ tính toán, việc thiết kế các công trình bằng thép ngày càng trở nên đơn giản hơn, đặc biệt có thể thiết kế được các công trình lớn và phức tạp với thời gian tính toán nhanh Phương pháp phần tử hữu hạn là một trong những phương pháp được áp dụng rộng rãi Dựa vào phương pháp này, người thiết kế có thể dễ dàng thu nhận được kết quả nội lực, chuyển vị Từ đó áp dụng các tiêu chuẩn thiết kế hiện hành để đạt được hai tiêu chí; (1) Tiết diện của kết cấu thép phải đảm bảo điều kiện bền theo trạng thái giới hạn thứ nhật và (2) Tiết diện của kết cấu phải đảm bảo theo trạng thái giới hạn thứ hai về điều kiện chuyển vị Hiện nay, quá trình thiết kế này đang được thực hiện dựa vào
2 quá trình “thử và sai” Hay nói cách khác, các tiết diện sẽ được thử dần để đạt được tiết diện mong muốn đảm bảo thỏa mãn hai điều kiện của bài toán thiết kế đã đề cập ở trên Qui trình thiết kế này có thể được tóm tắt như lưu đồ thể hiện ở Hình 1
Hình 1: Qui trình thiết kế kết cấu các sử dụng phương pháp phần tử hữu hạn
Phương pháp này có nhiều hạn chế bởi nó phụ thuộc rất nhiều vào chuyên môn và kinh nghiệm của người kỹ sư tính toán Do đó việc lựa chọn tối ưu tiết diện cho các kết cấu thép đến ngày nay vẫn là một thách thức lớn và cần được nghiên cứu một cách chuyên sâu
Giải quyết bài toán tối ưu đang là một xu thế tất yếu không những cho bài toán kết cấu thép mà còn cho tất cả các lĩnh vực của các ngành trong xã hội Bài toán tối ưu kết cấu thép trong bài toán thiết kế được định nghĩa là một quá trình tìm kiếm tối ưu về giải pháp kết cấu, tối ưu về thông số tiết diện và thông số vật liệu Trong phạm vi luận văn này, một phương pháp tối ưu các tiết diện của dàn thép được giới thiệu Phương pháp này được dựa trên một cải tiến của thuật toán tôi ưu đã được giới thiệu trong gần đây bởi các tác giả đến từ trường Đại học Mở - TP Hồ Chí Minh Việt Nam và đại học Ughent – Vương quốc Bỉ (Minh, Sang-To, Abdel Wahab, & Cuong-Le,
2022), có tên là Kmeans optimizer (KO) Thuật toán đã phát triển một cách tiếp cận mới trong việc tìm kiếm các giá trị tối ưu toàn cục so với các thuật toán khác, thông qua các ví dụ số, KO đã chứng minh được sự hiệu quả và độ tin cậy khi giải quyết các bài toán về tối ưu, và đặc biệt hiệu quả đối với các lớp bài toán có nhiều điểm tối ưu cục bộ.
Thuật toán tối ưu – metaheuristic optimization algorithm
Các kỹ thuật để giải quyết bài toán tối ưu đã phát triển từ rất sớm với các lý thuyết về toán thuần túy như Gradient descent (Ruder, 2016) Thuật toán này sử dụng tốt trong những bài toán có không
3 gian tìm kiếm nhỏ hoặc cận của bài toán được ràng buộc với biên độ dao động không lớn Tuy nhiên đối với những bài toán có không gian lớn, kỹ thuật này sẽ gặp khó khăn hoặc có thể không thể giải quyết được nếu hàm mục tiêu quá phức tạp (hàm phi tuyến bậc cao) Do đó để vượt qua những hạn chế này, ngày càng nhiều các thuật toán tìm kiếm mới được đề xuất Các thuật toán này được định nghĩa là thuật toán thông minh “metaheuristic optimization algorithm” Đặc điểm chung của các thuật toán này là tìm kiếm được các giải pháp tốt nhất với các kết quả chấp nhận được với thời gian tính toán là nhanh nhất có thể Sự miêu tả chi tiết của thuật toán thông minh sẽ được trình bày ở các nội dung tiếp theo
Thuật ngữ “metaheuristic” được thành lập dựa trên hai thành phần của ngôn ngữ của tiếng hy lạp cổ “Heuristic” nghĩa là “tìm kiếm” hoặc “tự học” còn từ ngữ tiền tố trước nó “meta” có nghĩa là
“ở mức độ cao” (Le-Duc, Nguyen, & Nguyen-Xuan, 2020; Verdegay, Yager, & Bonissone, 2008) Theo định nghĩa của Voss (Voò, 2000), thuật toỏn tối ưu là một quy trỡnh tổng thể được lặp đi lặp lại các hướng dẫn và thay đổi cách thức hoạt động của các phương pháp phỏng đoán để tìm ra các kết quả với sai số giảm dần một cách hiệu quả Định nghĩa này gợi ý rằng các phương pháp tối ưu hóa “metaheuristic” có thể giải quyết trực tiếp bất kỳ vấn đề tối ưu nào bằng cách cải tiến các bước di chuyển, chúng sẽ được lặp đi lặp lại để tìm các giải pháp đúng dần Hơn nữa, các thuật toán metaheuristic thường đơn giản và dễ dàng hơn nhiều so với các phương pháp dựa trên độ dốc (Gradient descent) Ngày nay, thuật toán tối ưu đã được sử dụng rộng rãi như là các phương pháp bền vững và đáng tin cậy cho một loạt các vấn đề tối ưu hóa phức tạp trong suốt hai thập kỷ qua do những đặc điểm đặc biệt này
Thuật toán tối ưu cho phép chúng ta tìm kiếm được những giải pháp cho các vấn đề tối ưu với sai số là nhỏ nhất và chấp nhận được (Haupt & Ellen Haupt, 2004) Tùy thuộc vào mỗi bài toán tối ưu, một hàm mục tiêu phải được thiết lập đầu tiên Hàm mục tiêu này sẽ chứa các biến số cần tìm sao cho giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của nó có thể được xác định bởi thuật toán tối ưu Một bài toán tối ưu có thể định nghĩa như sau:
Cho một ánh xạ: f :AR trong đó A là một tập hợp các số thực
Thỏa mãn: x 0 A với f x 0 f x ( ) với tất cả xA (Giá trị nhỏ nhất)
Khi đó x 0 A được định nghĩa là giá trị tốt nhất và mục đích của việc giải quyết bài toán tối ưu chính là tìm được giá trị này
Vấn đề này có thể được thực hiện bởi các lý thuyết toán học thuần túy, tuy nhiên phương pháp này vẫn có những hạn chế khi gặp phải các bài toán có không gian nhiều chiều hoặc có điều kiện biên lớn Hơn nữa việc tính toán các giá trị đạo hàm của một số bài toán sẽ gặp vấn đề bởi sự liên tục trong không gian nghiệm của bài toán Khi đó, thuật toán tối ưu sẽ được xem như một giải
4 pháp thay thế tiềm năng Thuật toán sẽ được thiết kế để giải quyết các bài toán tối ưu nhanh hơn và giải pháp tìm được có thể coi như là chấp nhận được Các đặc điểm chính của thuật toán tối ưu có thể được miêu tả như sau:
Thuật toán tối ưu là một chiến lược di chuyển tìm kiếm dựa trên khái niện “thử và sai” Theo đó, các kết quả thu được từ những bước di chuyển trước sẽ được ghi nhớ để thiết lập cho quá trình di chuyển ở bước tiếp theo Quá trình này sẽ diễn ra một cách liên tục cho tới khi đạt được một điều kiện dừng
Mục đích của thuật toán là khám phá ra các không gian tìm kiếm tiềm năng để tìm được giá trị tối ưu toàn cục
Các kỹ thuật cấu thành thuật toán metaheuristic trải dài từ các thủ tục tìm kiếm đơn giản đến các quá trình học phức tạp
Các thuật toán tối ưu là các cách tiếp cận gần đúng
Quá trình “thử và sai” để tìm kiếm giá trị tối ưu sẽ được thực hiện bởi một số lượng giải pháp ban đầu Đặc biệt, những giải pháp này sẽ ngày càng tự hoàn thiện (gần hơn đến giá trị tối ưu toàn cục) khi số vòng lặp tăng lên Dựa trên số lượng các giải pháp, thuật toán thông minh có thể chia thành hai nhóm; (1) Giải pháp đơn (single solution-based) và giải pháp bầy đàn (population- based) Có những ưu điểm và nhược điểm cho mỗi nhóm Giải pháp đơn là giải pháp sẽ ít tốn ít chi phí tính toán hơn so với giải pháp bầy đàn, tuy nhiên giải pháp này sẽ gặp vấn đề về việc bị hội tụ sớm, do đó mức độ chính xác bị hạn chế Ngược lại, các thuật toán dựa bầy đàn sẽ tốn nhiều chi phí tính toán hơn, tuy nhiên mức độ chính xác sẽ được cải thiện Do đó, ngày này thuật toán bầy đàn được sử dụng rộng rãi và liên tục phát triển Đặc biệt trong khoảng hai thập kỷ gần đây ngày càng nhiều thuật toán mới ra đời, đánh dấu một thời kỳ phát triển mạnh mẽ của thuật toán tôi ưu.
Những đóng góp chính của luận văn
Qua những phân tích ở các mục trước, có thể nhận thấy rằng việc sử dụng thuật toán tối ưu để giải quyết các bài toán đã và đang phát triển mạnh mẽ Nó được áp dụng một cách rộng rãi trong nhiều lĩnh vực Tuy nhiên lý thuyết No Free Lunch Theorem of Optimization (Wolpert & Macready,
1997) đã chứng minh rằng không có một thuật toán nào có thể giải quyết hiệu quả ả cho tất cả các bài toán tối ưu Điều đó có nghĩa là thuật toán có thể hiệu quả cho bài toán này nhưng lại không hiệu quả cho các bài toán khác Giả thiết này chính là động lực cho việc phát triển lĩnh vực tối ưu cho hai thập kỷ gần đây Có thể nhận ra hiện nay có hai xu hướng để phát triển; (1) đề xuất một thuật toán mới và áp dụng cho một bài toàn cụ thể, (2) cải tiến sự hiệu quả của thuật toán đã được đề xuất Dựa vào những phân tích và xu hướng đã được đề cập bên trên Luận văn đã phát triển
5 được một cải tiến của thuật toán hiện có và áp dụng thuật toán này cho bài toán tối ưu kết cấu dàn thép Các kết quả trong luận văn đã chứng minh được tính hiệu quả và độ tin cậy của thuật toán để giải quyết không những cho bài toán tối ưu dàn thép mà còn cho các bài toán tối ưu khác Một số đóng góp chính của luận văn có thể được tóm tắt như sau:
Một cái tiến của thuật toán Kmeans Optimizer (KO) được đề xuất gọi dựa vào sự lai tạo chiến lược di chuyển của thuật toán KO và chiến lược di chuyển của thuật toán tiến hóa vi phân - differential evolution (DE) (Storn & Price, 1997) được gọi là KO-DE Dựa vào sự lai tạo này, một chiến lược di chuyển mới được phát triển để tiếp cận nhanh hơn đến giá trị tối ưu toàn cục đồng thời gia tăng khả năng thoát khỏi tối ưu cục bộ
Để chứng minh mức độ tin cậy và hiệu quả của KO-DE, các hàm số cơ bản như CEC2005,
23 hàm cơ bản, 3 bài toán tối ưu về kỹ thuật đã được sử dụng Các kết quả được trình bày ở giá trị tối ưu trung bình sau 50 lần chạy độc lập và đồ thị của sự hội tụ Các ví dụ này đủ để chứng minh thuật toán KO-DE là một thuật toán hứa hẹn để giải quyết các bài toán tối ưu khác nhau
Cuối cùng, 3 bài toán dàn thép đơn giản được sử dụng để tìm giá trị tối ưu về khối lượng dựa vào các điều kiện ràng buộc của bài toán thiết kế (ứng suất và biến dạng)
Ngoài phần giới thiệu mở đầu (Chương 1), luận văn này được chia thành 4 chương với bố cục như sau
Chương 2: Tình hình nghiên cứu tổng quan của thuật toán tối ưu và việc áp dụng để giải quyết bài toán tối ưu kết cấu được sẽ được giới thiệu
Chương 3: Thuật toán KO và thuật toán DE sẽ được giới thiệu một cách chi tiết các chiến lược tìm kiếm trước tiên, sau đó một chiến lược di chuyển mới được đề xuất dựa vào sự lai tạo của hai thuật toán này gọi là KO-DE sẽ được đề xuất và miêu tả một cách chie tiết
Chương 4: Các ví dụ số sẽ được sử dụng để chứng minh sự hiệu quả của thuật toán KO-DE Chương 5: Chương này trình bày việc áp dụng thuật toán KO-DE để giải quyết cho bài toán dàn thép cơ bản Các kết quả đạt được trong chương này sẽ được so sánh với các kết quả đã được công bố sử dụng với các thuật toán khác Mục đích của việc so sánh là để chứng minh sự phù hợp và tin cậy của thuật toán KO-DE cho bài toán dàn thép Các kết luận và các đề xuất sẽ được tóm tắt và trình bày trong chương này.
TỔNG QUAN TÌNH HÌNH NGHIÊN CỨU
Sự phát triển của thuật toán tối ưu
Dựa vào cảm hứng để đề xuất thuật toán tối ưu, các thuật toán tối ưu có thể chia làm ba nhóm theo như định nghĩa của Fister (Fister Jr, Yang, Fister, Brest, & Fister, 2013) bao gồm:
Nhóm 1: là cảm hứng từ sự tiến hóa (Gong, Sun, & Ji, 2013; Mühlenbein, Gorges-Schleuter, &
Krọmer, 1988) Thuật toỏn tối ưu đó phỏt triển từ rất sớm, mộ trong những thuật toỏn rất nổi tiếng là thuật toán di truyền - Genetic algorithm (GA) được đề xuất bởi Holland (Goldberg & Holland,
1988) Trong GA, mỗi biến được coi là một gen Dựa trên giá trị của hàm mục tiêu được tính toán ở lần lặp trước, một lựa chọn ngẫu nhiên trong số chúng để tạo ra các gen mới sẽ được đảm bảo ở lần lặp tiếp theo Theo cách này, mỗi gen mới sẽ có xác suất cao hơn trong việc tìm ra các giá trị tối ưu toàn cục Các cơ chế này được thiết lập tương tự như những gì đang xảy ra trong tự nhiên Cuối cùng, một số gen của các cá thể trong quần thể được thay đổi ngẫu nhiên để bắt chước đột biến Sự thành công của thuật toán GA đã chứng minh tính hiệu quả của việc áp dụng các quy luật tự nhiên vào bài toán tối ưu Nó tạo động lực mạnh mẽ cho lĩnh vực mới về kỹ thuật tối ưu hóa
Sự xuất hiện của thuật toán này đã mang lại những lợi thế khi giải quyết các bài toán tối ưu trong trường hợp không thể giải được bằng các lý thuyết toán học thông thường Thuật toán này đã giải quyết được nhiều bài toán trong rất nhiều lĩnh vực mang lại những kết quả vô cũng hứa hẹn cho việc áp dụng các thuật toán thông minh để giải quyết các bài toán của nhiều lĩnh vực khác nhau Thuật toán này dựa vào sự mô phỏng lý thuyết tiên hóa của Darwinian Với sự ra đời của thuật toán GA, đã có rất nhiều cả tiến của thuật toán này để áp dụng phù hợp với các bài toán tối ưu cụ thể, các phiên bản cải tiến của thuật toán GA có thể được tìm thấy trong các nghiên cứu của (Gong, Sun, & Miao, 2016; Grefenstette, 2013; Tang, Man, Kwong, & He, 1996)
Một thuật toán nổi tiếng khác thuộc về nhóm này có thể kể đến như thuật toán chiến lược tiến hóa
- Evolution Strategy (ES) (Beyer & Schwefel, 2002), thuật toán lập trình di truyền Genetic Programming (GP) (Koza & Koza, 1992), thuật toán sự phát triển khác biệt - Differential Evolution (DE) (Storn & Price, 1997) Thuật toán tối ưu hóa dựa trên địa lý sinh học - Biogeography-Based Optimization algorithm (BBO) (Simon, 2008) Hầu hết những thuật toán này đều có những đặc trưng của sự lai tạo các bước di chuyển từ những bước di chuyển của các giải pháp ban đầu để tạo ra những giải pháp mới tiềm năng và hiệu quả Những ưu điểm của các thuật toán này chính là sự mở rộng hơn các không gian tìm kiếm mới, từ đó có khả năng thoát khỏi được tối ưu cục bộ Tuy nhiên mức độ chính xác của hần hết các thuật toán dạng này không được đánh giá cao bằng các thuật toán thuộc nhóm khác
Nhóm 2: Nhóm này được định nghĩa là các nhóm mà chiến lược di chuyển được lấy cảm hứng từ các hiện tượng vật lý trong tự nhiên Một trong những thuật toán ra đời sớm nhất của nhóm này là thuật toán mô phỏng - Simulated annealing (SA) (Kirkpatrick, Gelatt, & Vecchi, 1983) Theo đó, ở mỗi bước lặp lại, SA đăng ký một số trạng thái lân cận s* của trạng thái hiện tại và quyết định một cách xác suất xem có nên chuyển sang trạng thái s* hay giữ nguyên trạng thái s hay không Những xác suất này cuối cùng dẫn hệ thống chuyển sang trạng thái năng lượng thấp hơn Thông thường, bước này được lặp lại cho đến khi hệ thống đạt đến trạng thái đủ tốt Gần đây, có rất nhiều thuật toán được đề xuất dựa vào các hiện tượng vật lý như thuật toán tìm kiếm cục bộ dựa trên lực hấp dẫn - Gravitational Local Search (GLSA) (Webster & Bernhard, 2003) Thuật toán lực hấp dẫn - Gravitational Search Algorithm (GSA) (Rashedi, Nezamabadi-pour, & Saryazdi, 2009) Đặc điểm chung của hai thuật toán này là các bước di chuyển sẽ được thiết lập dựa trên việc tính toán lực hấp dẫn tương tác của từng giải pháp với các giải pháp còn lại Đặc điểm của lực hấp dẫn này sẽ được thiết kế sao cho nó có xu hướng giảm dẫn khi số vòng lặp tăng lên, nhờ đó các bước di chuyển sau sẽ có xu hướng ngắn hơn các bước di chuyển trước và tiếp cận gần đến giá trị tối ưu toàn cục tốt hơn Một thuật toán khác cũng được đề xuất gần đây là thuật toán nguyên tử - Atom search (ASO) (Zhao, Wang, & Zhang, 2019) Thuật toán ASO cố gắng bắt chước chuyển động của các nguyên tử theo thế năng Lennard-Jones được phát triển giữa các nguyên tử tương tác Thuật toán lực trung tâm - Central Force Optimization (CFO) (Formato,
2007), thuật toán hố đen Black Hole (Hatamlou, 2013), thuật toán không gian uốn cong - curved space optimization (CSO) (Moghaddam, Moghaddam, & Cheriet, 2012) là những thuật toán nổi tiếng khác được đề xuất trong nhóm này
Nhóm 3: Nhóm cuối cùng được biết đến như nhóm xuất hiện nhiều thuật toán nhất tính đến thời điểm hiện tại Nhóm này thông thường được lấy cảm hứng từ bầy đàn Các thuật toán này chủ yếu bắt chước hành vi tập thể của bầy các côn trùng, đàn động, đàn chim hoặc đàn cá quan sát được trong tự nhiên (Camazine, et al., 2020; Moussaid, Garnier, Theraulaz, & Helbing, 2009) Cơ chế tìm kiếm tối ưu toàn cục trong các thuật toán này gần giống với thuật toán ở nhóm 1 và nhóm 2 Tuy nhiên việc tìm kiếm được thực hiện bởi các tác nhân điều hướng bằng cách sử dụng trí thông minh bầy đàn để mô phỏng chiến lược di chuyển trong mỗi cá thể (Bonabeau, Marco, Dorigo, Théraulaz, & Theraulaz, 1999; Chakraborty & Kar, 2017; Patnaik, Yang, & Nakamatsu, 2017) Các thuật toán này đã trở nên phổ biến trong việc giải quyết các vấn đề tối ưu vì khả năng tìm kiếm toàn cục mạnh mẽ của chúng Nền tảng của các thuật toán này dựa trên việc mô phỏng cách thức di chuyển, tìm kiếm thức ăn, điều phối các hành động theo hành vi và chia sẻ thông tin giữa các cá thể của bầy đàn Hussain (Hussain, Salleh, Cheng, & Shi, 2019) đã báo cáo xu hướng cảm
8 hứng được các nhà nghiên cứu ưa thích để thiết kế các thuật toán metaheuristic mới như trong Hình 2 1 Có thể nhận thấy rằng cảm hứng từ sự phát triển và tồn tại của các cá thể bầy đàn trong tự nhiên chiếm một tỉ trọng lớn nhất so với việc các thuật toán được lấy cảm hứng khác Điều này chứng minh được sự phong phú của các thuật toán bầy đàn với số lượng công bố ngày càng nhiều trong những năm gần đây Các thuật toán phổ biến của nhóm bầy đàn được trình bày như trong Bảng 2 1
Hình 2 1: Biểu đồ phân bố xu hướng được lựa chọn để đề xuất các thuật toán mới
Bảng 2 1: Các thuật toán tối ưu hóa lấy cảm hứng từ các hành vi của bầy đàn trong tự nhiên đã được công bố trong những năm gần đây
1 Particle swarm optimization (PSO) (Kennedy & Eberhart, 1995) 1995 bố
2 Ant colony optimization (ACO) (Dorigo, Maniezzo, & Colorni, 1996) 1996
4 Artificial bee colony algorithm (ABC) (Basturk, 2006) 2005
6 Glow-worm swarm optimization (GSO) (Krishnanand & Ghose, 2009) 2005
7 Shuffled frog leaping algorithm (SFLA) (Eusuff, Lansey, & Pasha, 2006) 2006
8 Cat Swarm Optimization (CAT) (Chu, Tsai, & Pan, 2006) 2006
9 Bees algorithm (BA) (Pham, et al., 2006) 2006
10 Wasp Swarm Algorithm (WSO) (Pinto, Runkler, & Sousa, 2007) 2007
11 Monkey search (MA) (Mucherino & Seref, 2007) 2007
12 Wolf pack search algorithm (C Yang, Tu, & Chen, 2007) 2007
13 Bee Collecting Pollen Algorithm (BCPA) (Lu & Zhou, 2008) 2008
14 Cuckoo search (CS) (X.-S Yang & Deb, 2009) 2009
15 Dolphin Partner Optimization (DPO) (Shiqin, Jianjun, & Guangxing, 2009) 2009
18 Hunting Search (HS) (Oftadeh, Mahjoob, & Shariatpanahi, 2010) 2010
19 Bird Mating Optimizer (BMO) (Askarzadeh & Rezazadeh, 2013) 2012
20 Krill Herd (KH) (Gandomi & Alavi, 2012) 2012
21 Fruit fly Optimization Algorithm (FOA) (Pan, 2012) 2012
22 Dolphin Echolocation (DE) (A Kaveh & Farhoudi, 2013) 2013
23 The Smell Detection Agent (SDA) (A Kaveh & Farhoudi, 2013) 2014
24 Grey Wolf optimizer (GWO) (Mirjalili, Mirjalili, & Lewis, 2014) 2014
25 The ant lion optimizer (ALO) (Mirjalili, 2015) 2015
27 The Whale Optimization Algorithm (WOA) (Mirjalili & Lewis, 2016) 2016
28 Killer Whale Algorithm (KWA) (Biyanto, et al., 2017) 2016
29 Grasshopper optimization algorithm (GOA) (Saremi, Mirjalili, & Lewis, 2017) 2017
30 Salp Swarm Algorithm (SSA) (Mirjalili, et al., 2017) 2017
31 Emperor Penguins Colony (EPC) (Harifi, Khalilian, Mohammadzadeh, &
32 A mayfly optimization algorithm (MA) (Zervoudakis & Tsafarakis, 2020) 2020
33 Horse herd Optimization Algorithm (HOA) (MiarNaeimi, Azizyan, & Rashki,
34 Wild horse optimizer (WHO) (Naruei & Keynia, 2021) 2021
35 Honey Badger Algorithm (HBA) (Hashim, Houssein, Hussain, Mabrouk, &
Rõ ràng là các thuật toán lấy cảm hứng từ bầy đàn chiếm ưu thế khi nó được sử dụng rộng rãi để đề xuất một thuật toán mới Điều này được giải thích bởi những lý do sau: (i) Tính đơn giản là ưu điểm chính của các thuật toán lấy cảm hứng từ bầy đàn trong tự nhiên, phần lớn các thuật toán trong lĩnh vực này tuân theo một cấu trúc đơn giản và được lấy cảm hứng từ các khái niệm đơn giản Điều này thúc đẩy một mô phỏng toán học để tạo ra các dạng trí tuệ bầy đàn khác nhau như được đưa ra trong Bảng 2 1, (ii) Các thuật toán lấy cảm hứng từ bầy đàn là các thuật toán dựa trên dân số có nền tảng là thuật toán tối ưu hóa ngẫu nhiên, được coi là hộp đen (Droste, Jansen,
& Wegener, 2006) Điều này có nghĩa là quá trình dẫn xuất của mô hình toán học bị bỏ qua Nói
10 cách khác, các thuật toán tối ưu hóa tập trung vào việc thay đổi đầu vào và giám sát đầu ra để đạt được mục tiêu (hàm mục tiêu)
Nền tảng toán học của hầu hết các thuật toán tối ưu hóa là bài toán tối ưu xác suất ngẫu nhiên (stochastic optimization) Các thuật toán cố gắng tạo một tập hợp các biến ngẫu nhiên và gán các biến này cho các tác nhân trong một quần thể Giá trị của hàm mục tiêu, được đặc trưng bởi các biến ngẫu nhiên này, sau đó được tính toán để xác định giải pháp tốt nhất Qua mỗi lần lặp, quá trình tạo ra một tập hợp các biến ngẫu nhiên mới thông qua việc cập nhật vị trí của từng tác nhân, được thực hiện liên tục để cập nhật giá trị mới của hàm mục tiêu Do đó, giải pháp đảm bảo tốt nhất cho sự cân bằng giữa khám phá và khai thác cần được xác định để đảm bảo sự thành công của từng thuật toán tối ưu Để có được giải pháp cân bằng tốt nhất giữa khả năng khai thác không gian và khám phá không gian, thông thường, các thuật toán tối ưu sẽ lấy cảm hứng từ các quy luật tự nhiên, và cố gắng chuyển đổi các quy luật này thành các công thức toán học
Thuật toán tối ưu bầy đàn hạt (PSO) (Kennedy & Eberhart, 1995) là thuật toán thông minh bầy đàn phổ biến nhất để giải các bài toán tối ưu liên tục hoặc rời rạc Khái niệm chính trong PSO bao gồm hai yếu tố Đầu tiên là tạo sự cân bằng giữa hai tính năng quan trọng là khai thác và khám phá Theo (Dorigo, et al., 1996) khả năng khái thác có nghĩa là thuật toán tìm thấy không gian tìm kiếm mới, cách xa vị trí tối ưu hiện tại Và khả năng khai thác có nghĩa là thuật toán tìm thấy vị trí tiềm năng gần vị trí tốt nhất được ghi nhận tại vòng lặp trước Thứ hai là thông tin trong PSO sẽ được ghi lại sau mỗi lần lặp Do đó, giải pháp tốt nhất toàn cục và giải pháp tốt nhất cục bộ thu được ở lần lặp trước sẽ được truyền tới từng cá thể ở lần lặp tiếp theo Thông tin này sẽ hướng dẫn từng cá thể trong bầy đàn tự cải thiện trong quá trình di chuyển Trong PSO, vận tốc được sử dụng như một chiến lược riêng biệt để chuyển sang vị trí mới giữa tối ưu cục bộ và tối ưu toàn cầu Ở dạng toán học của vận tốc, sự cân bằng được thiết lập thông qua hai vectơ ngẫu nhiên được sử dụng để cung cấp sự đa dạng cho chuyển động của mỗi cá thể và hai tham số ảnh hưởng tương đối của tốt nhất cục bộ và tốt nhất toàn cục Vị trí mới của mỗi cá thể sẽ được cập nhật bằng sự kết hợp giữa vị trí hiện tại của cá thể đó và vận tốc của nó Vị trí này sẽ đạt đến sự hội tụ khi đủ số lần lặp yêu cầu
Có ba xu hướng nghiên cứu chính về thuật toán tối ưu, chúng có thể tóm tắt như sau:
Xu hướng thứ nhất được hình thành dựa trên chiến lược di chuyển đến không gian tìm kiếm tiềm năng Ưu điểm của cách tiếp cận này là thiên về khả năng khai thác và tốc độ hội tụ hơn là khả năng khám phá Để làm chậm quá trình chuyển động và tránh bỏ qua vùng tìm kiếm tiềm năng, phương pháp cập nhật véc tơ vận tốc cũng được đề xuất PSO là một thuật toán nổi tiếng cho xu hướng này
Xu hướng thứ hai là tạo ra một bước di chuyển ngẫu nhiên để tìm không gian tìm kiếm mới Ưu điểm của cách tiếp cận này là thiên về khả năng khai thác không gian tìm kiếm mới hơn là khai thác CS (X.-S Yang & Deb, 2009) là một thuật toán nổi tiếng cho xu hướng này Dựa trên ưu điểm của phân phối Lévy, chiến lược di chuyển trong CS luôn là một chiến lược hiệu quả, đặc biệt là để giải các bài toán tối ưu có nhiều điểm tối ưu toàn cục Nếu đủ số lần lặp, thuật toán CS sẽ luôn tìm được giá trị toàn cục tốt nhất với sai số chấp nhận được Tuy nhiên, nếu số lần lặp không đủ lớn, thuật toán CS có thể gặp vấn đề về hội tụ
Xu hướng thứ ba dựa vào quá trình lai ghép giữa hai vị trí ngẫu nhiên để tạo ra một không gian tìm kiếm mới ABC (Basturk, 2006), GA (Goldberg & Holland, 1988), DE (Storn & Price, 1997) là các thuật toán thuộc xu hướng này Các thuật toán này tương tự như CS, chúng thiên về khả năng khám phá hơn là khả năng khai thác và có thể coi là các thuật toán tiềm năng để giải các bài toán tối ưu đa địa phương
Bài toán thiết kế kết cấu sử dụng thuật toán tối ưu
Tối ưu hóa kết cấu là một trong những chủ đề thú vị cho nhiều nhà nghiên cứu Theo hướng nghiên cứu này, bên cạnh việc đề xuất các thuật toán tối ưu hiệu quả giúp giảm chi phí và cải thiện hiệu suất của các cấu trúc kết cấu, các nhà nghiên cứu đã cũng đã cố gắng tìm ra các giải pháp hiệu quả để xử lý các ràng buộc tai phi tuyến cao hoặc các biến thiết kế rời rạc Trong thập kỷ vừa qua, nhiều kỹ thuật tối ưu hóa đã được phát triển và áp dụng thành công cho một loạt các tối ưu hóa của các kết cấu từ đơn giản đến phức tạp Thiết kế tối ưu khung thép hoặc dàn thép là một nhiệm vụ đầy thách thức đối với người thiết kế kết cấu vì thực tế là nhà thiết kế phải chọn các tiết diện cần thiết từ một tập hợp rời rạc của tiết diện thực tế có sẵn Người thiết kế có thể tùy ý gán bất kỳ một trong những tiết diện có sẵn này cho bất kỳ một trong các thành phần kết cấu trong khung thép, hoặc dàn thép Sau đó, quá trình phân tích kết cấu sẽ được thực hiện bởi các chương trình có sẵn hoặc được lập trình trước Dựa vào các kết quả đạt được, người thiết kế sẽ điều chỉnh tiết diện ban đầu để đảm bảo tính kinh tế và an toàn Những nỗ lực ban đầu để có được giải pháp của các vấn đề tổ hợp như vậy được sử dụng là phương pháp lập trình toán học Các thuật toán tối ưu hóa kết cấu được phát triển trong các tình huống này dựa trên các kỹ thuật lập trình toán học như
12 lập trình nhánh kết hợp các tiêu chí ràng buộc của điều kiện biên Saka (Saka, 1990) đã trình bày các tiêu chí tối ưu dựa trên thuật toán thiết kế trọng lượng tối thiểu cho kết cấu thép liên kết chốt khi thiết kế theo yêu cầu phương pháp ứng suất cho phép của tiêu chuẩn viện thép Mỹ (ASD- AISC) Grierson and Cameron (Grierson & Cameron, 1990) là người đầu tiên phát triển phần mềm để tối ưu kết cấu tên là SODA
Phần mềm này đã xem xét các yêu cầu thiết kế từ các tiêu chuẩn của Canada về kết cấu (CAN/CSA-S16-01 - Thiết kế các trạng thái giới hạn của kết cấu thép) và thu được tiết diện thép tối ưu cho các cấu kiện của khung thép từ bộ thép tiết diện có sẵn C.M Chan and Grierson (Chan
& Grierson, 1993) đã đề xuất một phương pháp trong đó các mặt cắt ngang được chọn từ các tiết diện thép tiêu chuẩn trình bày một kỹ thuật tối ưu hóa thực tế dựa trên phương pháp tiếp cận tiêu chí tối ưu cho thiết kế khung nhà thép cao tầng Chương trình này dựa trên xem xét các hạn chế về độ trôi dạt của các tầng, cường độ vật liệu và kích thước tiết diện giữa nhiều tầng trong bài toán thiết kế phù hợp với các thiết kế hiện hành Tiêu chí tối ưu là cách tiếp cận hàm mục tiêu với các mối quan hệ ràng buộc giữa các biến gần đúng cho các đặc trưng tiết diện của mặt cắt Theo đó, các tác giả sử dụng kỹ thuật tối ưu rời rạc Các kết quả đạt được thật sự hứa hẹn và đã áp dụng thành công cho bài toán tối ưu một kết cấu khung nhà thép
Các thuật toán dựa trên các kỹ thuật lập trình toán học cần một điểm thiết kế để bắt đầu tìm kiếm giải pháp tối ưu và yêu cầu đáng kể tính toán độ dốc (đạo hàm) trong quá trình khám phá này Trong một số trường hợp, hàm mục tiêu và các ràng buộc có thể có các đỉnh không đều mà việc tìm kiếm độ dốc có thể khá khó khăn (Horst & Pardalos, 2013; Horst & Tuy, 2013) Mặc dù những kỹ thuật này có thể được sử dụng thành công trong thiết kế tối ưu tiết khung thép hoặc dàn thép, tuy nhiên khối lượng tính toán của chúng quá lớn và đôi khi khó thực hiện Một trong những lý do cho điều này là các phương pháp lập trình toán học đưa ra giả thiết về các biến thiết kế liên tục trong việc xây dựng bài toán thiết kế Giả thiết này để đảm bảo đạo hàm của hàm mục tiêu là liên tục Tuy nhiên, các bài toán với các biến rời rạc thì các lý thuyết về toán sẽ gặp khó khăn
Giải pháp cho các vấn đề thiết kế tối ưu được mô tả ở trên đòi hỏi phải lựa chọn phần thép thích hợp từ danh sách tiêu chuẩn sao cho trọng lượng của khung trở thành tối thiểu trong khi các ràng buộc được thỏa mãn Điều này biến vấn đề thiết kế thành một vấn đề rời rạc vấn đề lập trình Như đã đề cập trước đó, các kỹ thuật giải pháp có sẵn trong số phương pháp lập trình toán học để có được giải pháp của các vấn đề như vậy là hơi cồng kềnh và không hiệu quả cho sử dụng thực tế
Do đó cấu trúc tối ưu hóa đã không được các kỹ sư thực hành phổ biến như nó đã có thích giữa các nhà nghiên cứu Mặt khác, sự xuất hiện của máy tính mới các kỹ thuật dựa trên sự mô phỏng các mô hình được tìm thấy trong tự nhiên đã thay đổi điều này hoàn cảnh Những kỹ thuật này
13 được lấy cảm hứng từ sự tương tự với vật lý (mô phỏng ủ), với sinh học (thuật toán tiến hóa, tìm kiếm cấm kỵ) hoặc với tập tính (kiến khuẩn lạc, trình tối ưu hóa bầy đàn hạt) Họ không cần thông tin độ dốc cũng như độ lồi của hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc Hơn nữa họ thậm chí không yêu cầu một mối quan hệ rõ ràng giữa hàm mục tiêu và các ràng buộc Thay thế chúng là các phương pháp tìm kiếm ngẫu nhiên làm cho chúng khá hiệu quả và linh hoạt để chống lại sự bùng nổ kết hợp của các khả năng (Siarry, Dreo, Petrowski, & Taillard, 2006) Để vượt qua được những khó khắn này, thuật toán thông minh được sử dụng Các phương pháp này là tìm kiếm và tối ưu hóa ngẫu nhiên phi truyền thống và chúng rất phù hợp và hiệu quả trong việc tìm nghiệm của tổ hợp vấn đề tối ưu hóa Chúng không yêu cầu về việc tính toán độ dốc của hàm mục tiêu và các ràng buộc Chúng sử dụng các quy tắc chuyển đổi xác suất chứ không phải các quy tắc xác định dựa vào phương pháp đạo hàm Trong phần tiếp theo của luận văn này trước các nghiên cứu tối ưu kết cấu khung – dàn thép sử dụng thuật toán thông minh sẽ được trình bày một cách ngắn gọn
Camp et al đã phát triển một phương pháp cho thiết kế tối ưu của hệ kết cấu khung phẳng chịu nhiều trường hợp tổ hợp tải trọng khác nhau sử dụng thuật toán di truyền Các hàn mục tiêu và các hàm rạng buộc theo ứng suất và chuyển vị được thiết lập dựa trên các tiêu chuẩn của Viện Xây dựng Thép Hoa Kỳ (AISC-ASD) (C Camp, Pezeshk, & Cao, 1997) Leite and Topping (Leite
& Topping, 1998) đã đề xuất một cải tiến của thuật toán GA cho phép giảm thời gian tính toán và cải thiện kết quả Các ví dụ bao gồm dầm hàn, dàn thép mười thanh kết cấu dầm liên tục ba nhịp và tiết diện chữ I dự ứng lực được thiết kế bởi thuật toán được phát triển để chứng minh tính hiệu quả của các sửa đổi được đề xuất Ebenaua et al đã đề xuất một kỹ thuật chiến lược tiến hóa ES kết hợp với một mô hình toán biểu diễn thành hàm phạt thích ứng chức năng ràng buộc của bài toán tối ưu Thuật toán đã xây dựng được áp dụng để xác định thiết kế tối ưu của kết cấu thép phi tuyến hình học ba chiều trong đó các biến thiết kế được trộn lẫn, rời rạc hoặc cấu trúc liên kết Hajela et al (Hajela, Yoo, & Lee, 1997) ứng dụng thuật toán miễn nhiễm để thiết kế tối ưu khung thép liên kết ngàm Nghiên cứu mô tả các yếu tố chính về cách hoạt động của hệ thống miễn dịch có thể được mô hình hóa trong bối cảnh tìm kiếm di truyền Nó cung cấp một cái nhìn tổng quan về cách mô hình này cải thiện đặc điểm hội tụ của thuật toán di truyền đặc biệt trong việc xử lý thiết kế có các ràng buộc đi kèm Fourie and Groenwold (Fourie & Groenwold, 2002) áp dụng thuật toán tối ưu hóa bầy đàn PSO để thiết kế tối ưu của các kết cấu với các biến kích là thước và hình dạng của tiết diện Kích thước tiêu chuẩn và vấn đề thiết kế hình dạng được chọn từ nghiên cứu này được sử dụng để đánh giá hiệu suất của thuật toán đã phát triển Hiệu suất của PSO được so sánh với thuật toán độ dốc (gradient và GA) Kết quả cho thấy thuật toán PSO đã chứng minh
14 được mứ độ tin cậy và đã giải quyế thành công bài toán tối ưu với sai số chấp nhận được Perez and Behdinan (Ruben E Perez & Kamran Behdinan, 2007) trình bày thuật toán thiết kế tối ưu dựa trên PSO cho khung thép liên kết bằng khớp Hiệu quả của phương pháp đề xuất được kiểm tra bằng cách xem xét ba dàn chuẩn từ các nghiên cứu đã được công bố Được biết, thuật toán đề xuất đã tìm thấy các giải pháp tối ưu tốt hơn hơn các kỹ thuật thiết kế tối ưu khác được xem xét trong các vấn đề thiết kế này Mặc dù các thuật toán PSO, GA đã chứng minh được tính hiệu quả và mức độ tin cậy của chúng thông qua các nghiên cứu đã công bố Tuy nhiên với việc ngày càng phát triển của các bài toán tối ưu mới, các chiến lược tìm kiếm của PSO hoặc GA trong một số trường hợp không còn phù hợp Các thuật toán được đề xuất sau này ngày càng hoàn thiện hơn và chứng minh được sự hiệu quả hơn so với thuật toán PSO và GA Kaveh (Ali Kaveh & Zaerreza,
2022) đã sử dụng một cải tiến của thuật toán chăn cừu gọi là ESSOA để tối ưu kết cấu của dàn thép 10 thanh, dàn thép 72 thanh, hệ vòm với 120 thanh dàn, tháp trụ điện với 272 thanh dàn Các kết quả đạt được trong nghiên cứu này được đánh giá là tốt hơn so với các thuật toán khác Y Sun (Sun, Li, Shabaz, & Sharma, 2022) đã đề xuất một cải tiến của thuật toán PSO để thiết kế tối ưu hình dạng của một kết cấu dàn thép Các kết quả trong nghiên cứu này cũng đầy hứa hẹn Các nghiên cứu gần đầy về tối ưu kết cấu sử dụng thuật toán thông minh có thể được tham khảo chi tiế trong các nghiên cứu của (H Cao, Sun, Chen, Kong, & Feng, 2023; Khodadadi, Snasel, & Mirjalili, 2022; Maheshkumar, Rao, Khatir, & Cuong-Le, 2023; Vu-Huu, Pham-Van, Pham, & Cuong-Le, 2023) Có thể nhận thấy rằng, Lĩnh vực tối ưu kết cấu đã phát triển mạnh mẽ từ những năm đầu của thâp niên 90 đến nay Cùng với sự phát triển mạnh mẽ của thuật toán tối ưu trong khoảng thời gian gần đây, việc áp dụng các thuật toán này để giải quyết cho các bài toán tối ưu kết cấu thép vẫn tiếp dục được nghiên cứu và công bố
Tuy nhiên, khó khăn lớn nhất hiện nay là việc tìm kiếm một thuật toán hiệu quả và đạt được đô tin cậy cao đang là một thách thức Cùng với xu hướng phát triển này, trong luận văn trình bày một cải tiến của thuật toán KO, dựa vào chiến lược đột biến và lai tạo chéo của DE, gọi là KO-
DE Sau đó thuật toán này sẽ được áp dụng để giải quyết các bài toán tối ưu về dàn thép
MỘT SỰ CẢI TIẾN CỦA THUẬT TOÁN KO DỰA TRÊN SỰ LAI TẠO CHIẾN LƯỢC DI CHUYỂN CỦA THUẬT TOÁN DE
Thuật toán Kmeans Optimizer (KO)
3.1.1 Quá trình tạo ra không gian tìm kiếm mới sử dụng lý thuyết bài toán phân cụm
Thuật toán KO là một thuật toán tối ưu mới được đề xuất năm 2022 bởi Minh, H.-L (Minh, et al.,
2022) Thuật toán này là để thiết lập một xu hướng tìm kiếm mới khác với xu hướng của hầu hết các thuật toán khác Như đã trình bày ở chương 1 và chương 2, hầu hết các thuật toán tối ưu đều dựa vào cảm hứng từ tự nhiên và cố gắng chuyển về các mô hình toán học để tạo ra một thuật toán tối ưu KO là một thuật toán hoàn toàn khác, KO chứng minh rằng các công thức toán học và một chiến lược di chuyển vị trí hợp lý có cũng có thể đảm bảo cho sự thành công của thuật toán Bài toán phân cụm và một số giả thiết toán học quan trọng đóng vai trò là nền tảng của KO Thuật toán KO dựa trên lý thuyết phân cụm theo đó lý thuyết này sẽ chia một tập hợp dữ liệu thành K nhóm con riêng biệt không chồng chéo được xác định theo cụm, với mỗi điểm dữ liệu thuộc về một nhóm riêng biệt (Forgy, 1965) Nó tìm cách duy trì các điểm dữ liệu trong cụm càng giống nhau càng tốt trong khi vẫn giữ cho các cụm càng khác biệt càng tốt Nó gán các điểm dữ liệu cho các cụm bằng cách giảm thiểu tổng bình phương khoảng cách giữa các điểm dữ liệu và trọng tâm của cụm (trung bình cộng của tất cả các điểm dữ liệu trong cụm đó) Phương sai trong cụm càng ít thì điểm dữ liệu càng đồng nhất (tương tự) Để tìm K trọng tâm tương ứng với K cụm, vấn đề là tối thiểu hóa hàm mục tiêu dựa trên các điểm dữ liệu và vị trí trọng tâm như đã cho trong công thức (3 1)
Tọa độ các điểm trọng tâm của mỗi cụm là cơ sở chính để thiết lập chiến lược di chuyển của thuật toán KO
Thuật toán KO cũng là một thuật toán dựa trên tập hợp các giải pháp ngẫu nhiên ban đầu
(population – based method) do đó KO sẽ tạo ra một tập hợp N giải pháp ban đầu được kí hiệu là
P P P P , trong đó P i p i ,1,p i ,2, ,p i D , 1 D , (i1, 2, ,N) với D là kích thước của không gian tìm kiếm Quá trình khởi tạo các giải pháp ban đầu của thuật toán KO có thể được trình bày dưới dạng ma trận như trong công thức (3 2)
Tùy vào mỗi bàitoán tối ưu, đầutiên một hàm mục tiêu được xác định gọi làhàm số F Giá trị tính toán tương ứng vớimỗigiải pháp được định nghĩa là F( P ) và được gọi là Do đó tương ứng với mỗigiải pháp ta sẽ tìm được tương ứngcác giá trịcủahàm mục tiêu đượctrình bày như trong dạng ma trận véctơ cột N hàng như công thức (3 3)
Dựatrêncác giátrị của mỗi giátrị hàm mục tiêu F (P )chúng tacó thể dự đoán đượcnhữngkhông gian tìm kiếm tiềm năng Để cóthểgia tăngcơ hội tìm kiếm được các khônggian tìm kiếm mới tốt hơn và đạt được tốc độhội tụ nhanh hơn Chỉ những không gianvới xác suấttìm được vị trí tốt nhất sẽ được xem xét Đốivớicác không giancòn lại, nơi ghi nhận sự kém chất lượngsẽ bị bỏ qua Để đạt được điều này, thuật toán KO sửdụng một giải pháp kỹ thuật gọi là sự xắpsếp có chủ đích để tạo ra một không gianmới Không gian này được kýhiệulà P và đượctrìnhbày ở dạng ma trậnnhư công thức (3 4).
Sau khi tìm được ma trận không gian tiềmnăng P , để gia tăng chất lượng của không gian tìm kiếm cũng như là những vị trí với xác suất tìmđược giá trị cục bộ KO sửdụng một chiến lược di chuyển mớigọilà sự rút gọn số lượng cácgiảiphápbanđầu Theo đó, số lượng các giải pháp ban đầu sẽ bị giảm một cách tuyến tính khí số vòng lặp tăng lên Sự giảm này sẽđượcđiềukhiểnbởi công thức (3 5).
Trong đó t,h đượcđịnhnghĩalà bướclặp hiện tại và TmaỊ, đượcđịnh nghĩa như tổng bước lặp lớn nhất được định nghĩa cho thuật toánKO Theo đó, kíchthước các giảipháp banđầucủa ma trận
P ( t ) sẽ giảm từ N đến giá trịf(t)như công thức (3 6).
Ma trậncáckhông gian tìm kiếm đượcthiết lập bởi P ( t ) được xem như là một datađầu vào Và bằng cách áp dụng bài toán phâncụm, chúngtacó thể thiết lập được một ma trậncác tọa độ trọng tâm củamỗi cụm KO định nghĩa một véc C ( t ) như là một véc tơ ma trận tọa độ trọng tâm của mỗi vùngđượcphâncụm Trong KO,số lượngmỗivùng được phâncụm được lựa chọn là K = 3.
Do đó, véc tơtrọng tâm của KOsẽcó dạng ma trận như công thức (3 7)
Có thể nhận thấy rằng bằng cách áp dụngkỹ thuật sắpxếp các vị trídựa theo giá trị hàm mục tiêu và kỹ thuật rút gọn số lượng giải pháp ban đầu kết hợp với bài toánphân cụm KO đã thu được một tập hợp các không gian tìm kiếm mới tốthơn so với P ( t ) gọi là C ( t )
Khi số vòng lặp tăng lên, mỗigiải pháp Pị = {Pị ,1 , Pị ,2, , Pi , D Ị €□ lxỡ, (i = 1,2, , N ) sẽ ngày càng tiệm cận với vị trí tốt nhất Kết quả là không gian của C ( t ) sẽ ngày càng được hoànthiệnnhư thể hiện ở Hình 3.1.
Hình 3 1: Quá trình cập nhật các vị trí của véc tơ trung tâm khi số vòng lặp tăng lên từ; (a) 5 vòng lặp đến (b) 10 vòng lặp
Hình 3 1 cho thấy rằng các vị trí vectơ trọng tâm luôn được tạo xung quanh giải pháp tốt nhất được tìm thấy ở vòng lặp t th trước Và những vị trí này ngày càng tiến gần hơn đến giải pháp tốt nhất khi số lần lặp lại tăng lên Đặc biệt các vị trí này không trùng với nghiệm tối ưu nên tránh được khả năng bị kẹt tại những vị trí tối ưu cục bộ Các vị trí vectơ trọng tâm này cùng với giải pháp tốt nhất sẽ thiết lập một xu hướng cập nhật vị trí mới, đây xem xét nền tảng chính trong thuật toán KO
3.1.2 Sự cân bằng giữa khả năng khai thác (di chuyển đến các không gian tìm kiếm tiềm năng) và khả năng khám phá (mở rộng không gian tìm kiếm) của thuật toán KO
Hầu hết các thuật toán đều sử dụng chiến lược tự hoàn thiện các giải pháp ban đầu dựa vào số vòng lặp đủ lớn Tuy nhiên chiến lược này đôi khi sẽ gặp vấn đề với các bài toán có không gian tìm kiếm lớn, hoặc các bài toán có nhiều vị trí tối ưu cục bộ Để vượt qua hạn chế này, KO sử
19 dụng một chiến lược mới đó là thay vì quá trình tự hoàn thiện từng vị trí SA SA SA 1 , 2 , , SA N
, thuật toán KO sử dụng tự hoàn thiện một bộ của giải pháp ban đầu P P P 1 , 2 , , P N như trình bày ở thuật toán 3.1 trong đó f obj được định nghĩa như là hàm mục tiêu ban đầu
Thuật toán 3.1: Quá trình tự hoàn thiện một bộ giải pháp ban đầu
Bước 1: Tạo một giải pháp ban đầu P P P 1 , 2 , , P N , tương ứng với bộ giải pháp này chính là một bộ giải pháp tìm kiếm SA SA SA 1 , 2 , , SA N Hay nói cách khác mỗi giải pháp ban đầu P i p i ,1,p i ,2, ,p i D , 1 D , (i1, 2, ,N) sẽ được hoàn thiện bởi mỗi giải pháp tìm kiếm SA i sa i ,1,sa i ,2, ,sa i D , 1 D , (i1, 2, ,N)
Bước 2: Quá trình tự hoàn thiện của P P P 1 , 2 , , P N sẽ được thực hiện bởi chiến lược lựa chọn tham lam như sau:
Tại mỗi vòng lặp, nếu f obj SA i t 1 f obj P i thì quá trình hoàn thiện mỗi
P p p p i N sẽ được thực hiện bằng cách cập nhật vị trí và giá trị hàm mục tiêu
Dựa trên thuật toán 2.1, những vị trí tốt hơn được tìm bởi mỗi giải pháp tìm kiếm
SA sa sa sa i N sẽ được lưu trữ bởi mỗi giải pháp ban đầu tương ứng P i p i ,1,p i ,2, ,p i D , 1 D , (i1, 2, ,N) Bằng kỹ thuật này, sự mở rộng không gian tìm kiếm trong KO sẽ linh hoạt hơn so với các thuật toán khác bởi sự dao động liên tục của mỗi giải pháp tìm kiếm SA i Do đó, không gian tìm kiếm luôn được làm mới trong KO từ lúc bắt đầu quá trình tìm kiếm đến lúc kết thúc Đây chính là một trong những khác biệt vượt trội của KO so với các thuật toán khác
Thuật toán tiến hóa vi phân - Differential Evolution (DE)
Thuật toán tiến hóa vi phân – DE được đề xuất bởi Storn và Price (Storn & Price, 1997) Thuật toán DE sử dụng sự khác biệt giữa các cá thể trong bộ giải pháp ban đầu để hướng dẫn thuật toán này tìm kiếm trong các cgiải pháp không gian D chiều Nó chủ yếu bao gồm khởi tạo số giải pháp ban đầu, sự lai tạo đột biến, thao tác lai ghép các thành phần riêng lẽ trong mỗi cá thể, thao tác chọn lọc, v.v Ý tưởng chính của DE là tạo thêm một vị trí mới dựa trên hai vị trí (được xem như cha và mẹ trong thuật toán tiến hóa) được lựa chọn ngẫu nhiên trong bộ giải pháp ban đầu Vị trí mới này được lựa chọn giống như dựa trên sự lai tạo của véc tơ cha và véc tơ mẹ với một xác suất
31 được thiết lập trước đó Sau cùng sự lựa chọn vị trí tốt hơn giữa vị này và vị trí của cha, mẹ được tiến hành bởi chiến lược lựa chọn tham lam
3.2.1 Khởi tạo ban đầu của thuật toán DE
Thuật toán DE tạo ra N giải pháp ban đầu, với kích thước của mỗi giải pháp là D chiều Mỗi giải pháp trong N giải pháp có dạng như sau:
Trong đó G đại diện cho vị trí thứ G trong N giải pháp ban đầu GN
Giá trị của mỗi biến thể trong một giải pháp được tính toán tùy thuộc bào từng bài toán cụ thể Nếu gọi x max là giá trị biên lớn nhất, x min là giá trị biên nhỏ nhất Giá trị của mỗi cá thể được tính toán như công thức (3 27)
0 1 iG min max min x x rand , x x (3 27)
3.2.2 Chiến lược lai tạo đột biến
Thuật toán DE sử dụng sự lai tạo đột biến (mutation) để tạo ra một vị trí mới dựa vào hai vị trí được chọn ngẫu nhiên tương ứng với vị trí r 1 , r 2 và r 3 Các vị trí này sẽ được chọn ngẫu nhiên trong N giải pháp ban đầu Theo đó vị trí mới tại bước (t+1 th ) của thứ tự ngẫu nhiên r 1 , sẽ được tính toán như công thức (3 28)
Trong đó F được định nghĩa là một số thực vô hướng có giá trị trong khoảng 0 2 , Hệ số này được dùng để điều khiển biên độ của độ lệch của X r ,G 2 t X r ,G 3 t
Có thể nhận thấy rằng thuật toán DE cũng có ý tưởng tương tự như một số thuật toán khác khi sử dụng chính những vị trí trong bộ giải pháp ban đầu để tạo ra được vị trí mới Chiến lược này đẫ áp dụng thành công trong các thuật toán di truyền GA, thuật toán bầy ong ABC Tuy nhiên sự lựa chọn các cá thể tốt của thuật toán DE lại trình bày một sự khác biệt
3.2.3 Chiến lược lai tạo chéo
Trong thuật toán DE, thao tác lai tạo chéo được đưa vào để tạo tính đa dạng của vị trí mới Theo đó, mỗi cá nhân của giải pháp cũ và mới được trao đổi lẫn nhau để tạo nên sự đa dạng Hay nói cách khác đây chính là chiến lược để mở rộng không gian tìm kiếm của các thuật toán tiến hóa Quá trình này được giới thiệu như sau:
Với mỗi vị trí hiện tại của mỗi giải pháp X i ,G x 1 ,G , x 2 ,G , , x D ,G ta sẽ tạo được một giải pháp tương ứng V i ,G được định nghĩa theo công thức (3 28) Dựa vào hai vị trí này X i ,G và V i ,G , thuật toán DE sẽ tạo ra một vị trí thử (test) U i ,G u 1 ,G ,u 2 ,G , ,u D ,G với các giá trị cá nhân thành phần được tính theo công thức (3 29)
0 1 1 2 i ,G j rand i ,G i ,G v If rand , CR or j j , j , , ,D u x otherwise
Trong đó hệ số lai tạo chéo CR là một hằng số với giá trị được giới hạn trong khoảng 0 1 , Hệ số này dùng để điều khiển xác suất trùng lặp từ phép lai tạo đột biến rand j là một đại lượng ngẫu nhiên được chọn trong khoảng 0 1 , j rand là một số nguyên vô hướng được lựa chọn trong khoảng
1, D , với D là số chiều của không gian tìm kiếm
3.2.4 Quá trình lựa chọn tham lam
Quá trình này nhằm chọn lọc giá trị tốt nhất giữa vị trí hiện tại X i ,G x 1 ,G , x 2 ,G , , x D ,G và vị trí của U i ,G u 1 ,G ,u 2 ,G , ,u D ,G thông qua tính toán giá trị hàm mục tiêu của mỗi vị trí f obj U i ,G và f obj X i ,G Nếu giá trị hàm mục tiêu của vị trí thử (test) f obj U i ,G nhỏ hơn hoặc bằng vectơ hiện tại tương ứng f obj X i ,G , thì vị trí mới sẽ được thay thế bởi vị trí thử (test) và ngược lại véc tơ hiện tại X i ,G x 1 ,G , x 2 ,G , , x D ,G sẽ tiếp tục được giữ lại cho vòng lặp tiếp theo Quá trình này có thể được tóm tắt như công thức (3 30)
Sự cải tiến thuật toán KO dựa vào chiến lược lai tạo của thuật toán DE
Điểm khác biệt của thuật toán KO so với các thuật toán khác chính là thuật toán chính là thuật toán KO tạo ra được một bộ giải pháp ban đầu, được định nghĩa là P P P 1 , 2 , , P N và một bộ giải pháp tìm kiếm SA SA SA 1 , 2 , , SA N KO đã tạo ra một chiến lược mới khi các thông tin không gian tìm kiếm tốt được tìm thấy bởi mỗi giải pháp SA i sẽ được lưu trữ bởi giải pháp ban đầu tương ứng P i thông qua quá trình lựa chọn tham lam Quá trình này có thể được minh họa như Hình 3 8
Hình 3 8: Quá trình tự hoạn thiện vị trí của bộ giải pháp ban đầu P P P 1 , 2 , , P N dựa vào chiến lược lựa chọn tham lam Bằng cách này, thuật toán KO đã tạo ra một không gian với chất lượng tốt được đinh nghĩa bởi không gian P P P 1 , 2 , , P N Bằng cách áp dụng chiên lược lai tạo và đột biến của thuật toán
DE trong không gian tìm kiếm P P P 1 , 2 , , P N ta cũng sẽ tạo ra được không gian tìm kiếm mới tiềm năng, đây chính là ý tưởng chính của thuật toán KO-DE
Quá trình hình thành vị trí mới dựa vào không gian P P P 1 , 2 , , P N được trình bày như ở thuật toán 3.3
Thuật toán 3 3: Quá trình tạo đột biến và lai tạo chéo để tạo thành các không gian tiềm năng của thuật toán KO-DE Bước 1: Lựa chọn hai vị trí ngẫu nhiên trong bộ giải pháp ban đầu P P P 1 , 2 , , P N dựa vào các giá trị ngẫu nhiên r 1 ,r 2 [1,N] Từ đó xác định được hai vị trí (cha và mẹ) P P r 1 , r 2
Bước 2: Quá trình lai tạo đột biến sẽ được thự hiện tại vòng lặp t th bất kỳ
Bước 3: Chiến lược lai tạo chéo giữa cá thể giữa vị trí hiện tại P i p , p , , p i , 1 i , 2 i ,D và V i để tạo ra một vị trí mới thử (test) U i u ,u , ,u i , 1 i , 2 i ,D với các thành phần u i được tính toán như sau:
0 1 1 2 i j rand i i v If rand , CR or j j , j , , ,D u p otherwise
Bước 4: Để chọn được vị trí tốt hơn cho vòng lặp tiếp theo, chiếu lược tham lam được sử dụng dựa vào giá trị của hàm mục tiêu để tạo ra một vị trí mới đượ gọi là “New”
Bước 5: Gắn giá trị mới tìm được ở bước 4 cho giá trị giải pháp tìm kiếm tương ứng, cập nhật
Bước 6: Tính toán giá trị hàm mục tiêu và lựa thực hiện quá trình tự hoàn thiện cho giá trị giải pháp ban đầu tương ứng
Tại mỗi vòng lặp, nếu f obj SA i t 1 f obj P i thì quá trình hoàn thiện mỗi
P p p p i N sẽ được thực hiện bằng cách cập nhật vị trí và giá trị hàm mục tiêu P i SA i t 1 ; f obj P i f obj SA i t 1
Như đã phân tích ở chương trước, thuật toán DE dựa vào đột biến và lai tạo chéo giữa hai vị trí bất kỳ để tạo ra một vị trí tìm kiếm mới Quá trình này có xu hướng thiên về khả năng khai thác
35 không gian mới Do đó, KO-DE sẽ sử dụng thuật toán 3.3 để tạo thêm một chiến lược di chuyển trong khả năng khai thác Do đó, KO-DE sẽ có 3 chiến lược cho khả năng khai thác các không gian tiềm năng và 3 chiến lược để mở rộng không gian tìm kiếm mới như Hình 3 9.
Hình 3 9: Lưu đồ thuật toán KO-DE
VÍ DỤ SỐ
So sánh khả năng hội tụ của thuật toán KO-DE với cá thuật toán khác
Để đánh giá sự hiệu quả và tin cậy của KO-DE, 23 hàm số cơ bản được sử dụng Đây là những hàm số thường được sử dụng để so sánh sự hiệu quả và tin cậy của các thuật toán đề xuất hoặc cải tiến Các kết quả có thể được tìm thấy trong (Le-Duc, et al., 2020; Mirjalili, 2016b; Mirjalili, et al., 2014) Đặc điểm của các hàm số này được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp như trình bày ở Bảng 4 1 Theo đó, các nhóm hàm số chỉ có một điểm tối ưu toàn cục là các hàm số (F1, F7), các hàm số này dùng để kiểm tra khả năng khai thác các không gian tiềm năng của thuật toán Các hàm số (F8-F13), các hàm số này là các hàm số có nhiều điểm tối ưu cục bộ, do đó nó được dùng để kiểm tra khả năng thoát khỏi tối ưu cục bộ của thuật toán cũng như khám phá các không gian mới của thuật toán Các hàm số còn lại (F14-F23) là các hàm số với số chiều không gian tìm kiếm bị giới hạn cố định, chúng được dùng để kiểm tra khả năng tìm kiếm của các thuật toán trong phạm vi không gian hẹp Đồ thị của các hàm số này trong không gian hai chiều được trình bày ở Hình 4 1
Bảng 4 1: Miêu tả 23 hàm số cơ bản Định nghĩa của 23 hàm số cơ bản Không gian
Giá trị tối ưu toàn cục
Hình 4 1: Hình dạng các hàm số trong không gian 2 chiều Để đánh giá mức độ hiệu quả của thuật toán KO-DE so với thuật toán KO Xu hướng hội tụ của giá trị hàm số của hai thuật toán sẽ được so sánh trên cùng một đồ thị Để đảm bảo sự công bằng, cả hai hàm số đều có chung một điều kiện ban đầu với số lượng giải pháp tìm kiếm được chọn là
N = 30 Số vòng lặp lớn nhất được chọn là T = 1000 để đạt được sự hội tụ cần thiết
Hình 4 2: Kết quả so sánh lịch sử hội tụ của KO-DE so với KO
Dựa vào xu hướng hội tụ về giá trị tốt nhất của mỗi thuật toán, có thể thấy rằng cả hai thuật toán đều tìm được giải pháp tốt nhất với sai số chấp nhận được của hầu hết các hàm số Đối với các hàm số chỉ có một điểm tối ưu toàn cục (F1-F7), có thể nhận thấy rằng, với 3 hàm số đầu F1, F2, F3, hầu như không có sự khác biệt đáng kể giữa hai thuật toán KO-DE và KO khi cả hai thuật toán đều tìm được giá trị tối ưu nhất Sự khác biệt giữa KO-DE thể hiện rõ ràng ở hàm số F5, F6 và F7 Có thể thấy rằng, KO-DE đạt được sự hội tụ nhanh hơn và giá trị tối ưu toàn cục cũng có bước hoàn thiện đáng kể so với thuật toán KO Điều này được lý giải do KO-DE sử dụng sẵn không gian tìm kiếm của bộ giải pháp ban đầu đã được hoàn thiện P P P 1 , 2 , , P N để thiết lập sự lai tạo và đột biến để tạo ra vị trí mới Do đó, vị trí này sẽ gần với vị trí tối ưu toàn cục hơn các chiến lược di chuyển của KO Đối với các hàm số có nhiều điểm tối ưu cục bộ (F8-F13), KO-DE thể hiện một sự vượt trội hơn so với KO Như đã trình bày ở trên, những hàm số này dùng để kiểm tra khả năng thoát khỏi khả năng bị kẹt của thuật toán ở nhũng vị trí tối ưu cục bộ bởi vì những hàm số này có nhiều điểm tối ưu cục bộ, những điểm này dùng để bẫy các giải pháp tìm kiếm của các thuật toán Trong thuật toán KO, khả năng khai thác không gian mới được đảm nhận bởi hai
45 chiến lược di chuyển, trong khi đó thuật toán KO-DE sử dụng ba chiến lược di chuyển để khai thác các không gian tìm kiếm mới Điều năng nhằm tăng cơ hội thoát khỏi tối ưu cục bộ và tiếp cận đến các không gian tiềm năng mới Đặc biệt chiến lược này sử dụng chính sự hoàn thiện của
P P P P để tạo ra không gian mới, do đó KO-DE sẽ có lợi thế hơn so với KO Đặc biệt khám phá các không gian xung quanh giải pháp tốt nhất tìm được ở vòng lặp trước đó Đối với các hàm số với số chiều không gian là cố định (F14-F23), thuật toán KO-DE cũng ghi nhận sự vượt trội so với KO Các kết quả chỉ ra rằng KO-DE đạt được sự hội tụ sớm hơn so với KO đồng thời đạt được mức độ chính xác hơn so với KO
Qua việc so sánh sự thể hiện của hai thuật toán KO-DE và KO có thể thấy rằng, KO-DE là một phiên bản hoàn thiện hơn so với KO Bằng cách thêm vào một chiến lược tìm kiếm dựa trên ý tưởng của DE, KO-DE đã đạt được một bước tiến về tốc độ hội tụ và mức độ chính xác so với
So sánh giá trị tối ưu toàn cục của thuật toán KO-DE so với các thuật toán khác
Để đánh giá sự thể hiện của thuật toán KO-DE so với các thuật toán khác, 7 thuật toán được lựa chọn để so sánh các kết quả đạt được với KO-DE bao gồm, KO, PSO (Kennedy & Eberhart, 1995), GWO (Mirjalili, et al., 2014), WOA (Mirjalili & Lewis, 2016), AOA (Abualigah, Diabat, Mirjalili, Abd Elaziz, & Gandomi, 2021), RSA (Abualigah, Abd Elaziz, Sumari, Geem, & Gandomi, 2022),
AO (Abualigah, Yousri, et al., 2021) Các thông số và kết quả từ thuật toán này được lấy có sẵn trong bài báo nghiên cứu của KO (Minh, et al., 2022) để đảm bảo sự công bằng Các thuật toán đều được tính toán với 30 lần chạy độc lập và tìm được giá trị trung bình sau 30 lần chạy này Dựa vào các giá trị trung bình này, thứ hạng của mỗi thuật toán sẽ được quyết định Không gian tìm kiếm với các hàm từ F1-F13 được chọn là 30 chiều như trong bài báo nghiên cứu của KO Các kết quả được trình bày ở Bảng 4 2 Lưu ý rằng các giá trị đạt được của các thuật toán khác và
KO được lấy từ nghiên cứu của (Minh, et al., 2022) để đảm bảo sự công bằng và khách quan.
Bảng 4 2: So sánh kết quả của 30 lần chạy độc lập giữa các thuật toán cho 23 hàm số cơ bản
KO-DE KO PSO GWO WOA AOA RSA AO
Dựa vào kết quả của Bảng 4 2, KO-DE thể hiện được sự hiệu quả nhất so với các thuật toán còn lại, kết quả đạt được của KO-DE hoàn toàn vượt trội so với các thuật toán khác, kể cả các thuật toán được phát triển gần đây Có một sự hoàn thiện đáng kể so với KO, thuật toán KO-DE xếp hạng nhất ở hầu hết các hàm số ngoại trừ các hàm F6, F10 và F12 Tuy nhiên các giá trị đạt được của các hàm số này vẫn ghi nhận một kết quả chính xác cao với sai số rất nhỏ so với giá trị tốt nhất đạt được Điều này chứng minh rằng sự cân bằng giữa khả năng tiếp cận không gian tìm kiếm tiềm năng và việc khai thác các không gian mới của thuật toán KO-DE là vượt trội so với cá thuật toán còn lại.
TỐI ƯU TIẾT DIỆN DÀN THÉP SỬ DỤNG THUẬT TOÁN KO-DE
Thiết lập hàm mục tiêu cho bài toán tối ưu kết cấu dàn thép
Mục tiêu của bài toán tối ưu kết cấu dàn thông thường là tập trung vào việc tối ưu khối lượng và tiết diện các thanh dàn với điều kiện đảm bảo được các yêu cầu về ứng suất và chuyển vị cho phép Khi kích thước hình học của thanh dàn là cố định, bài toán tối ưu khối lượng có thể được biết dưới dạng sau:
Tìm giá trị nhỏ nhất của khối lượng thép cấu thành hệ kết cấu dàn thép như công thức (5 8)
Thỏa mãn các điều kiện ràng buộc được cho trong công thức (5 8)
Trong đó: w: là khối lượng của hệ kết cấu thanh dàn với số lượng thanh dàn trong kết cấu là N m thanh
e : Là trọng lượng riêng của vật liệu thanh thứ e
L e : Là chiều dài của thanh thứ e
A e : Là tiết diện của thanh thứ e
Các thanh dàn thiết kế có ứng suất trong thanh và chuyển vị tương ứng tại nút tương ứng là e ,
c phải thỏa mãn các điều kiện bền tương ứng U và U
Các lý hiệu phụ “U” và “L” trong công thức (5 8) tương ứng là các điều kiện biên và cận dưới của các thành phần ứng suất hoặc chuyển vị Để đảm bảo giới hạn của điều kiện bền và điều kiện chuyển vị, kỹ thuật hàm phạt (penalty method) được sử dụng Theo đó sẽ có hai hàm phạt được sử dụng trong bài toán tối ưu, hàm phạt thứ nhất là hàm phạt về ứng suất được ký hiệu là e của thanh thứ “e” Hàm phạt thứ hai là hàm phạt về chuyển vị tại mỗi nút thứ “c” được kí hiệu là c e ( , , )x y z
Theo đó hàm phạt ứng suất được trình bày theo như công thức (5 8)
Khi đó tổng giá trị của hàm phạt tại vòng lặp thứ t th sẽ được tính toán theo công thức sau:
Hàm phạt theo điều kiện chuyển vị tại nút được thiết lập dựa trên giá trị chuyển vị theo 3 phương x, y và z trong hệ tọa độ tổng thể theo các điều kiện được thiết lập theo công thức (5 8)
Tổng giá trị hàm phạt theo điều kiện chuyển vị cho vòng lặp thứ t th được tính toán theo công thức (5 8)
Trong đó N c là tổng số nút trong kết cấu thanh dàn
Như vậy tổng hàm phạt của hệ kết cấu thanh dàn ở vòng lặp thứ t th được tính toán như sau
Trong đó là trọng số hàm phạt có giá trị lơn hơn 1 và luôn luôn là số dương
Dựa vào các công thức từ công thức (5 1) đến công thức (5 8) Hàm mục tiêu của bài toán thiết kế dàn tại vòng lặp thứ t th được thiết lập theo công thức sau:
Trong đó w t ( ) là tổng khối lượng các thanh dàn tại vòng lặp thứ t th được tính toán theo công thức
Ví dụ 1- tối ưu kết cấu cho dàn thép phẳng 10 thanh
Ví dụ thứ nhất trong ba ví dụ về tối ưu tiết diện kết cấu dàn thép là một hệ dàn phẳng 10 thanh, ví dụ này được sử dụng trong nhiều nghiên cứu khác nhau để so sánh kết quả đạt được của các thuật toán Sơ đồ kết cấu được cho như Hình 5 1 Các trường hợp tải trọng, ứng suất, chuyển vị cho phép được trình bày như sau:
A j : Diện tích mặt cắt ngang của thanh thứ j j 1, 2,3, ,10
L: Chiều dài, trong ví dụ này L360in
Ứng suất cho phép: max 25ksicho tất cả các thanh
Chuyển vị lớn nhất: d max 2.0in, trong mặt phẳng vuông góc x và y của tất cả các node
Khối lượng riêng của thép 0.1lb in/ 3 , Mô đun đàn hồi E10 7 psi
Tải trọng tại nút 2 và nút 4 là 10 kips
Hình 5 1: Sơ đồ kết cấu hình học của hệ dàn phẳng 10 thanh Bảng 5 1: Kết quả đạt đượt bởi KO-DE so với các thuật toán khác cho bài toán tối ưu 10 thanh dàn thép
DE (Ho- Huu, Nguyen- Thoi, Vo- Duy, &
AE-DE (Ho-Huu, et al.,
Hình 5 2: Xu hướng hội tụ của KO-DE cho bài toán 10 thanh dàn Để giải bài toán này, thuật toán KO-DE khởi tạo với số giải pháp ban đầu N = 30, số vòng lặp lớn nhất T = 1000 Thuật toán được thực thi với 10 lần độc lập để thu được kết quả tốt nhất Các kết quả đạt được bởi KO-DE so với các thuật toán khác được trình bày trong Bảng 5 1 Dựa vào kết quả có thể thấy được rằng thuật toán KO-DE đạt được giá trị tốt trong tất cả các thuật toán khác Giá trị tốt nhất đạt được là W = 5460.800, giá trị này ghi nhận một sự khác biệt lớn so với các thuật toán còn lại Điều này chứng minh rằng KO-DE đã tận dụng được lợi thế khai thác và mở rộng các không gian mới trong chiến lược di chuyển của mình để đạt được kết quả vượt trội Hình
5 2 thể hiện xu hướng hội tụ của KO-DE, có thể nhận xét rằng KO-DE chỉ cần khoảng hơn 200 vòng lặp để đạt đến sự hội tụ, điều này một lần nữa khẳng định rằng các bước di chuyển linh hoạt của KO-DE vừa có thể đạt được những bước dài trong những lần lặp đầu tiên (T