Một số tính chất của trường hữu hạn đa thức trên trường hữu hạn

Đề tài báo cáo Một số tính chất của trường hữu hạn đa thức trên trường hữu hạn xoay quanh một số tính chất của trường hữu hạn và của đa thức trên trường hữu hạn. Đây là những kiến thức cơ sở và cơ bản nhất để chúng ta có thể tiếp tục tìm hiểu về ứng dụng của trường hữu hạn trong Toán học. Các kết quả chính bao gồm cấu trúc một trường hữu hạn, phân tích một đa thức thành các nhân tử bất khả quy.

KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA TRƢỜNG HỮU HẠN ĐA THỨC TRÊN TRƢỜNG HỮU HẠN Phạm Bá Đức, Nguyễn Thị Ngọc Anh, Lớp K61CLC, Khoa Toán – Tin GVHD: ThS Nguyễn Hữu Kiên Tóm tắt: Trường hữu hạn vấn đề hay Đại số đại, có nhiều ứng dụng hình học hữu hạn, đại số tổ hợp, hay lí thuyết mật mã Do đề tài báo cáo lần chủ yếu xoay quanh số tính chất trường hữu hạn đa thức trường hữu hạn Đây kiến thức sở để tiếp tục tìm hiểu ứng dụng trường hữu hạn Toán học Các kết bao gồm cấu trúc trường hữu hạn, phân tích đa thức thành nhân tử bất khả quy Từ khóa: Trường hữu hạn, đa thức trường hữu hạn, phân tích đa thức thành nhân tử trường hữu hạn I MỞ ĐẦU Cho F trƣờng có hữu hạn phần tử Khi char F số nguyên tố số lƣợng phần tử F p n Ngƣợc lại, với p, n cố định ln tồn trƣờng hữu hạn có p n phần tử (sai khác đẳng cấu) Kí hiệu trƣờng hữu hạn có q  p n phần tử Fq Khi ta xét đa thức Fq Đề tài đặt vấn đề tìm hiểu phân tích đa thức thành nhân tử bất khả quy, đánh giá định lƣợng định tính phân tích Trƣớc hết định lƣợng thông qua đánh giá số nghiệm phƣơng trình X q  X Fq [ x] / ( f ( x)) Tiếp theo ta tìm biểu diễn nhân tử phân tích thơng qua nghiệm phƣơng trình X q  X Fq [ x] / ( f ( x)) Từ mơ tả nhân tử bậc lũy thừa nhân tử phân tích Các kết đƣợc trình bày kết biết tính chất chung trƣờng hữu hạn đa thức trƣờng hữu hạn Mục đích tác giả chứng minh kết cách độc lập sơ cấp ngắn gọn, sử dụng kết học học phần ĐSĐC lí thuyết Galois Các kết sâu đề tài đòi hỏi thời gian nghiên cứu dài công cụ mạnh Đề tài đƣợc chia thành mục nhỏ Mục trình bày số kiến thức đại số đại cƣơng Mục trình bày kết quả, tính chất cấu trúc trƣờng hữu hạn Mục dành cho việc phân tích đa thức bất khả quy trƣờng phân rã phân tích đa thức thành nhân tử bất khả quy Sau tiến hành xem xét đa thức, đặc biệt đa thức cyclotomic việc phân tích đa thức thành nhân tử bất khả quy II NỘI DUNG Nhắc lại kiến thức đại số đại cƣơng Phần đề tài chủ yếu đƣa kiến thức tính chất cần thiết sử dụng đến chứng minh phần về: nhóm, vành, trường 16 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 Ở nhắc đến vành ta xét vành có đơn vị Ngồi ta cịn nghiên cứu tính chất đa thức nhƣ nghiệm đa thức, đa thức bất khả quy lí thuyết Galois mở rộng trƣờng Trong đề tài sử dụng kí hiệu đa thức tối thiểu bậc n c trƣờng K là: p( x)  min(n, K , c), n  deg p( x) để phân biệt với đa thức bất quy bậc m F f ( x)  irr (m, F ) Một số vấn đề trƣờng hữu hạn Ta xem xét đặc trƣng cần dùng đến trƣờng hữu hạn qua định lí sau: Định lí 2.1: Nếu F trƣờng hữu hạn char F số ngun tố Từ khơng nói thêm, ta gọi đặc số trƣờng hữu hạn p, p nguyên tố F *  F \{0} nhóm phần tử khả nghịch trƣờng hữu hạn F Fq*r  {x r | x  Fq* , r  * } Nhận xét 2.2 a  Fq  a q  a,| Fq | q Bổ đề 2.3: Cho F trƣờng hữu hạn chứa trƣờng K , charK  q, n  [ F : K ] | F | q n Định lí 2.4: Cho Fq $,$ K trƣờng Fq Khi đó, đa thức f ( x)  x q  x  K[ x] x q  x   ( x  a ), x  a  F [ x] F Fq i i q q trƣờng phân rã đa thức f ( x) K Định lí 2.5: | Fq | p n , n  N * Định lí 2.6: Cho Fq , p( x)  irr (n, Fq [ x]) Fq [ x] / ( f ( x)) trƣờng hữu hạn có q n phần tử Định lí 2.7: Với số nguyên tố p số nguyên dƣơng n tồn trƣờng hữu hạn cấp p n Mọi trƣờng hữu hạn có q  p n phần tử đẳng cấu với trƣờng phân rã đa thức x  x Fq q Định lí 2.8: Mọi trƣờng trƣờng có p n phần tử có p m phần tử với m | n Ngƣợc lại, m | n Fp n có trƣờng chứa p m phần tử Định lí 2.9: Fq* cyclic Định lí 2.10: Fq*r  Fq* | Fq*r | Fq*r  Fq*d , Fq* : Fq*d  d 17 q 1 Nếu d  gcd (r , q  1) gcd (r , q  1) KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 Đa thức trƣờng hữu hạn 3.1 Nghiệm đa thức bất khả quy trường hữu hạn Ta xem xét đa thức bất khả quy f ( x)  Fq [ x] Vì khơng thể phân tích đa thức thành nhân tử thực Fq [ x] , ta tìm trƣờng phân rã biểu diễn nghiệm trƣờng phân rã Bổ đề 3.1: Cho f ( x)  Fq [ x], f ( x)  irr (m, Fq ) n  * Khi f ( x) chia hết x q  x m chia hết n n Định lí 3.2: Cho f ( x)  Fq [ x], f ( x)  irr (m, Fq ) Khi f ( x) phân rã Fq m tách đƣợc Fq Hơn  nghiệm f ( x) { , q , q , m 1 , q } tập hợp tất nghiệm f ( x) Hệ 3.3: Trƣờng phân rã đa thức bất khả quy f  Fq [ x] Fq m Định nghĩa 3.4: Cho   Fqm Khi phần tử  , q , q , , q m 1 đƣợc gọi phần tử liên hợp với  Fq Định lí 3.5: Cho trƣờng hữu hạn Fq ,  Fq* Khi phần tử liên hợp với  trƣờng Fq có cấp nhóm Fq* Hệ 3.6: Nếu  phần tử nguyên thủy Fq phần tử liên hợp với  trƣờng Fq phần tử nguyên thủy Fq Định lí 3.7: Cho   Fqn Khi d số nguyên dƣơng nhỏ thỏa mãn  q   đa thức f ( x)  ( x   )( x   q )( x   q ) d d 1 ( x   q ) bất khả quy Fq 3.2 Phân tích đa thức thành nhân tử Xét đa thức f ( x)  Fq [ x] Một câu hỏi tự nhiên đặt phân tích đa thức thành nhân tử bất khả quy định lƣợng định tính nhƣ nào? Tức số lƣợng nhân tử bất khả quy, biểu diễn nhân tử bất khả quy nhƣ lũy thừa nhân tử phân tích đa thức f ( x) bao nhiêu? Mục viết trình bày tƣơng đối trọn vẹn câu hỏi Bổ đề 3.8: Cho g ( x)  Fq [ x] s1 , s2 phần tử khác Fq Khi gcd ( g ( x)  s1 , g ( x)  s2 )  18 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 Bổ đề 3.9: Cho f ( x) đa thức có hệ tử bậc cao Fq [ x] g ( x)  Fq [ x] Khi g ( x) thỏa mãn g ( x)q  g ( x)(mod f ( x)) f ( x) |  ( g (x)  s) f ( x) |  gcd ( f ( x), g ( x)  s) sFq sFq Định lí 3.10: Cho f ( x) đa thức có hệ tử bậc cao Fq [ x] g ( x)  Fq [ x] cho g ( x)q  g ( x)(mod f ( x)) Khi f ( x)   gcd ( f ( x), g ( x)  s) sFq Ta đánh giá định lƣợng số lƣợng nhân tử bất khả quy khai triển Định lí 3.11: Cho f ( x) đa thức bậc dƣơng Fq Khi số nghiệm phƣơng trình X q  X vành Fq [ x] / ( f ( x) q r f ( x) phân tích thành tích lũy thừa r đa thức bất khả quy Fq [ x] Nhận xét 3.12: f ( x) đa thức bậc n Fq Khi Fq [ x] / ( f ( x)) không gian véc tơ với sở 1, x, x , , x n Đặt V  {g ( x)  Fq [ x] / ( f ( x)) cho g ( x)q  g ( x)(modf ( x))} V khơng q gian Fq [ x] / ( f ( x)) chứa nghiệm X  X , dimFqV  r  số nghiệm X q  X r Ta đánh giá định tính qua việc xây dựng nhân tử Bây ta chứng minh tập nghiệm độc lập tuyến tính X q  X Fq [ x] / ( f ( x)) xác định tất nhân tử f ( x) Gọi g1 ( x)  1, g ( x), , g r ( x) tập nghiệm độc lập tuyến tính X q  X Rõ ràng ta có f ( x)   gcd ( f ( x), g ( x)  s) sFq Khi sau loại nhân tử có tích ta thu đƣợc f ( x)  m  f ( x) i 1 i fi ( x) biểu thức có dạng gcd ( f ( x), g ( x)  s) fi , f j nguyên tố Nếu m  r , tốn đƣợc giải Nếu m  r ta chứng minh bổ đề sau Bổ đề 3.13: Giả sử m  r Chứng minh i  3, r , j 1, m cho gi ( x)  s(mod ( f j ( x))s  Fq 19 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 Khi với việc khai triển nhân tử chƣa bất khả quy, ta thu đƣợc phân hoạch mịn với m phần tử Bổ đề 3.14: Giả sử m  r i  4, r , j 1, m cho gi ( x)  s(mod f j )s  Fq Tiếp tục trình ta thu đƣợc f ( x) phân tích thành tích lũy thừa đa thức bất khả quy Fq Bây ta đánh giá nhân tử lũy thừa qua định lí sau: Định lí 3.15: Cho f ( x) lũy thừa đa thức bất khả quy Fq giả sử f ( x)  i) Nếu gcd ( f ( x), f ( x))  f ( x) đa thức bất khả quy ii) Nếu gcd ( f ( x), f ( x))  p( x)  Khi f ( x)  p( x)m với m  f ( x) đa thức bất khả quy gcd ( f ( x), f ( x)) deg f ( x) deg p( x) 3.3 Đa thức chia đường tròn Cho K trƣờng charK  p (p 0) n  * Ta gọi trƣờng phân rã K đa thức x  1 K[ x] trƣờng n-cyclotomic K Kí hiệu K ( n ) n Mỗi nghiệm K ( n ) đa thức x n  đƣợc gọi bậc n đơn vị K Kí hiệu E ( n ) tập hợp tất bậc n K đơn vị Cho K trƣờng char K  p, n  sinh nhóm cyclic E (n) * không chia hết cho p Ta gọi phần tử nguyên thủy bậc n K đơn vị Cho K trƣờng có đặc số p, n  N * ,  nguyên thủy đơn vị Khi ta có đa thức Qn ( X )  n  ( x  s 1 s ) với (s, n)  Đa thức Qn đƣợc gọi đa thức chia đƣờng trịn K Định lí 3.16: Cho K trƣờng char K  p (p 0) n  * Khi E ( n ) nhóm cyclic có cấp khơng chia hết cho p Cụ thể: \\ (i) Nếu p n E ( n ) nhóm cyclic cấp n\\ (ii) Nếu p n n  mp s , p m K ( m)  K ( n ) , E ( n )  E ( m) nhóm cyclic cấp m Nhận xét 3.17: Có tất  (n) nguyên thủy bậc n K đơn vị Định lí 3.18: Cho K trƣờng đặc số p n  N * cho (n, p)  Khi 20 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 (i) x n    Q ( x) d d |n (ii) Hệ số Qn thuộc trƣờng nguyên tố K thuộc K  Q Định lí 3.19: Trƣờng chia đƣờng tròn K ( n ) mở rộng đơn K (i) Nếu K  Q Qn bất khả quy [ K ( n ) : K ]   (n) (ii) K  Fq , gcd (q, n)  Qn tách thành  (n) / d đơn thức bậc d Khi K ( n ) trƣờng phân rã nhân tử [ K ( n ) : K ]  d với d số nguyên dƣơng nhỏ cho q d  1(modn) Hệ 3.20 Cho q  p k với p số nguyên tố giả sử p n Khi Qn đa thức bất khả quy Fq  (n) số nguyên dƣơng nhỏ cho q ( n)  1(modn) Bài tập áp dụng Đề tài đƣa số tập nhằm giúp bạn đọc hiểu sâu vận dụng tốt lí thuyết trình bày báo cáo Ngồi cịn có tập tác giả đƣa hƣớng đến cách tiếp cận để giải vấn đề giải phƣơng trình bậc trƣờng hữu hạn đặc số Xét phƣơng trình: ax  bx  c  trƣờng F , a, b, c  F , a  b  (b  4ac) Nếu charF  ta có cơng thức nghiệm: x  2a Nếu charF  cơng thức nghiệm khơng cịn Vậy nghiệm phƣơng trình bậc hai trƣờng hữu hạn F2n gì? TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Dƣơng Quốc Việt, Lê Văn Chua, Cơ sở lí thuyết Galois, NXB ĐHSP [2] Dƣơng Quốc Việt, Đàm Văn Nhỉ, Cơ sở lí thuyết số đa thức, NXB ĐHSP [3] Hồng Xn Sính, Đại số đại cương, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Tiến Quang, Cơ sở lí thuyết trường lí thuyết Galoa, NXB ĐHSP [5] Jean Pierre Serre, A course in arithmatic, 1996 [6] Jurgen Neukirch, Algebraic number theory, 1999, Springer [7] H.Lidl, H.Niederreiter, Introduction to finite fields and their applications, Cambridge University Press, 1986 [8] Zhe-Xian Wan, Lectures on finite fields and Galois rings, Penguin, 2003 21 ... KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 Đa thức trƣờng hữu hạn 3.1 Nghiệm đa thức bất khả quy trường hữu hạn Ta xem xét đa thức bất khả quy f ( x)  Fq [ x] Vì khơng thể phân tích đa thức thành nhân tử thực... với đa thức bất quy bậc m F f ( x)  irr (m, F ) Một số vấn đề trƣờng hữu hạn Ta xem xét đặc trƣng cần dùng đến trƣờng hữu hạn qua định lí sau: Định lí 2.1: Nếu F trƣờng hữu hạn char F số nguyên... x)) trƣờng hữu hạn có q n phần tử Định lí 2.7: Với số nguyên tố p số nguyên dƣơng n tồn trƣờng hữu hạn cấp p n Mọi trƣờng hữu hạn có q  p n phần tử đẳng cấu với trƣờng phân rã đa thức x  x