Giáo trình được biên soạn nhằm mục đích đào tạo giáo viên dạy môn Toán ở trường Trung học cơ sở. Giáo trình bao gồm các kiến thức lý thuyết về liên phân số, số học, số nguyên, số phức, số tự nhiên,... Ở mỗi chương lý thuyết đều có những bài tập thiết thực nhằm giúp sinh viên rèn luyện và sáng tạo trong học tập cũng như giảng dạy. Giáo trình gồm có 5 chương và được chia thành 2 phần, phần 1 bao gồm các kiến thức về số tự nhiên và số nguyên, mời các bạn cùng tham khảo.
Trang 1
' BỘ GIÁO DỤC VÁ ĐÁO TẠO
DU AN BAO TẠO GIÁO VIÊN THCS LOAN Ne 17118 « VIE (SF)
IIIIIHIIII DVL.2881
NGUYEN TIEN TAI ;
Trang 2NGUYÊN TIẾN TÀI
Trang 4
Chương Il SỐ HỮU TỈ §1 Trường sốhữu §2 Phân §3 Quan hệ thứ tự trên §4 Lực lượng của tập hợp Q Bài tập chương lII Chương IV SỐ THỰC VÀ SỐ PHỨC Bài tập chương IV Chương V
LIEN PHAN SO
Trang 5CÁC KÍ HIỆU DÙNG TRONG SÁCH Ni tập hợp số tự nhiên R: tập hạp số thực C: tập hợp số phúc A ~B: tập hợp À tương đường (hay đẳng lực) uới tap hop B CardA: bản số của tập hợp A a’: số liền sau a a:b @: thương của pháp chia a cho b a chia hết cho b
a= O,0,100\Cy ,; su bidu diễn của a trong hệ øg phân
N,aja,.a¿ số thập phân hữu hạn, có phẩn nguyên là N, phần thập phân là a,ax Ny ayety(ayeyy att): số thập phân uõ hạn tuần hoàn có chu kỳ là Oy) số thập phân uô hạn Gy N, a, Re: phần thực của số phức œ Ima: phn do ciia số phức a én phân số hữu hạn cấp n {q qi, , Qa
(do; qụ, q; ]: liên phản số uô hạn
Trang 6MỞ ĐẦU
MOĐAÀU — — ————————
Theo chương trình Cao đẳng Sư phạm năm 2003 bộ môn Số học
được tách thành hai phần: Lí thuyết số uà Cơ sở số học Lí thuyết số
được đưa oào giảng dạy cho sinh uiên ngay từ năm thứ nhất Cơ sở số học được giảng dạy cho sinh uiên năm thứ hai hoặc năm thử ba; tỉ bộ môn này cân các biến thức của Lí thuyết số, Đại số đại cương và
Giải tích Nội dung cña Cơ sở số học là trình bày uiệc xây dựng uà mở rộng các tập hợp số cùng các hình thức biểu diễn số Các tập hợp số' được xây dựng theo sơ đồ sau:
NcZcQcRcC
Trong giáo trình này các biến thức số học được trình bày uới mục tiêu rõ ràng là để đào tạo các giáo uiên giảng dạy mơn Tốn ở trường
Trung học cơ sở Điều đó được thể hiện ở các điểm sau:
1 Không quá cố gắng trình bày các hiến thức cơ bản khó: Thừu
nhận một số định lí uê tập hợp hữu hạn khi xây dựng tap hep sO te
nhiên Không trình bày chỉ tiết bai toán đối xứng hóa khi xây dựng tập
số nguyên Không trình bày chỉ tiết uiệc xây dựng trường các thương của
miền nguyễn Z khi xây dựng tap số hữu tỉ Không trình bày uiệc xây
dựng chặt chẽ trường số thực theo phương pháp làm đây khong gian
hoặc theo phương pháp "Nhát cắt Đêdêhin”
2 Chit trong các hiến thức có liên quan đến chương trình Toán phổ
thông Các hiến thức này được trình bày nhằm để soi sáng sách giáo
khoa Toán Trung học cơ sở: các khái niệm số, cách ghỉ số tự nhiên trong
hệ g ~ phân uà thực hành các pháp tính trong hé g ~ phân Biểu diễn số' nguyên trong hệ g ~ phân uà quy tắc tính toán trên các số âm, dương
Phân số vò sự biểu diễn số hiữu tỉ dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc
v6 han tudn hoàn Trình bày số thực như một số thập phân uô hạn
Trang 7
3 Nhiều bài tập nghiên cứu yêu cầu sinh oiên dùng các biến thức
vita học để tìm hiểu chương trình uà sách giáo bhoa phổ thông Các bài
tập này nhằm thiết thực chuẩn bị cho sinh uiên Cao đẳng Sư phạm bước tào hoạt động nghề nghiệp của mình ngay từ khi còn là sinh uiên Các bài
tập như uậy cũng thể hiện quan điểm đổi mới trong phương pháp giảng dạy
È trường Cao đẳng sư phạm: uừa phát huy tính độc lập chủ động uà sáng
tạo của sinh uiên, uừa có tính hưởng nghiệp
Ngoài ra, giáo trình Cơ sở số học còn thể hiện rõ tính liần môn
Các hiến thức đã học ở Đại số đại cương được uận dụng triệt để làm giảm nhẹ uiệc trình bày xây dựng tập số nguyên tà tập số hữu tỉ Nhiều
tính toán như biểu diễn số tự nhiên trong hệ g ~ phân, biểu diễn số thực
thành liên phân số, tính các giản phân của một liên phân số, được
trình bày dưới dạng thuật toán uà uiết dưới dạng giả mã để ngư học có
thể uiết lại thuật toán đó dưới một ngôn ngữ tìn học thích hợp
Cần chú ý rằng, nội dung xây dựng tập hợp số thực va tập hợp số
phức sinh niên đã được học trong các môn học: Tập hợp — logie uà một số
kiến thức bổ trợ, Phép tính oi phân tà tích phân hàm số một biển số; Đại số" đại cương Tuy nhiên, để đảm bảo tính hệ thống của một môn học, giáo trình này uẫn trình bày lại uiệc xây dựng các tập hợp số đó Thầy giáo nên
giảng dạy các nội dung này theo hướng để sinh uiên tự đọc, hệ thống lại các
phương pháp xây dựng tập hợp số thực, uà tập hợp số phức, đông thời tìm hiểu, phân tích cách trình bày vê số thực, số ý phức trong sách giáo khoa
(SGK) Toán phổ thông (xem bài tập nghiên cứu chương 1V)
Giáo trình này được viết để dùng chung cho cả hai chương trình của Cao đẳng Sư phạm Sinh uiên theo chương trình ghép môn không cân phải học đẩy đủ chương liên phân số, mà chỉ cân đọc phần liên phân
số hữu hạn, coi như một mục của chương số hữu tỉ Ngoài ra, các bài tập
nghiên cứu không là bắt buộc uới các sinh uiên theo hệ này
Cơ sở số học là môn học thiết thực trong chương trình đào tạo giáo
viên Toán trường Trung học cơ sở Kết quả học tập bộ môn này được thể hiện qua khả năng đọc, hiểu uà phân tích được sự trình bày các kiến
Trang 8Giáo trình này được oiết với những thể nghiệm của tác giả theo
hướng đổi mới giảng dạy ở trường Cao đẳng Sư phạm Những thể nghiệm này chắc chắn còn phải được điều chỉnh trong quá trình áp dụng nào thực tế Tác giả rất mong nhận được nhiều ý kiến đóng góp của các thây giáo, cõ giáo, các sinh uiên trường Cao đẳng Sư phạm va
bạn đọc xa gần
Túc giả xin chân thành cảm on GS Doan Quynh, POS TS Hoàng Kỳ, TS Bài Huy Hiên đã đọc kĩ bản thảo nà góp nhiều ý ki
quý báu
Trang 9Chương L
SỐ TỰ NHIÊN
Nếu chúng ta được tiển hố từ lồi vượn, thì đỏ là
sự kỉ diệu của tạo hoả Từ một loài vật chỉ tồn tại
với bản năng sinh tổn, đã bước ra một con người biết làm Toán và biết làm Thơ
Bạn có thể hình dung một xã hội không có số tự nhiên? Sẽ không có số nhà, không có tiển tệ, mua bán, không có thư tín, điện thoại, Đó
chỉ có thể là một xã hội nguyên thuỷ Như vậy, có thể nói số tự nhiên đã
là một phần tất yếu của một xã hội văn minh
Số tự nhiên là một thành tựu lâu đời nhất, đồng thời cũng là một thành tựu phổ cập nhất của Toán học Chúng ta dùng các số 0, 1, 9, 3, tính toán (cộng, trữ, nhân, chia) trên các số đó một cách “tự nhiệ; trong mọi hoạt động của mình, song ít khi ta tự hỏi con người đã biết
dến số tự nhiên từ bao giờ và bằng cách não?
Không ai có thể nói được đích xác từ khi nào loài người biết đến các con số Người ta tìm được một văn bản cổ khắc trên đá cách đây khoảng 6000 năm trong đó có các con số biểu thị bằng các dấu chấm và gạch nhà toán học duy tâm, thậm chí, đã cho rằng các con số là do thượng đế ban cho loài người Trong giáo trình này ta sẽ cố gắng lí giải sự ra đời của số tự nhiên theo quan điểm duy
Vì sao con người lại đặt ra các số tự nhiên?
Có thể thấy, ngay trong một xã hội đơn sơ nhất, con người cũng có
Trang 10bao nhiêu? Chẳng hạn, người ta cần biết số lượng của một dàn thú để
tổ chức một cuộc di săn, cần số lượng của bên dịch để tổ chức một
cuộc chiến đấu Khi chế độ tư hữu hình thành thì nhu cầu đó càng trở
nên rõ rệt: Người ta cần biết số lượng gia súc chăn nuôi của mình, số
lượng lương thực, hoa quả thu hoạch được, Xã hội càng phát triển
thì nhu cầu nhận biết về số lượng sự vật cũng tăng theo
Vậy con người đã nhận thức được số lượng sự vật bằng cách nào?
Con người đã nhận thức số lượng sự vật bằng cách so sánh!
nh nó với
Để nhận biết số lượng của một tập hợp nào đó ta so
một tập hợp mà ta đã biết rõ số lượng “Tập hợp này gọi là tập hợp chuẩn Ta có thể tưởng tượng ra đoạn đối thoại sau dây của hai người nguyên thuỷ: — 6 d6 có mấy con nai? — Mat
Nghe câu trả lời, chúng ta đều biểu số lượng nai bằng số lượng mắt của người và người nguyên thuỷ đã làm phép so sánh tập hợp các con
nai với tập hợp các mắt của người
Sự so sánh được tiến hành như thế nào? Để so sánh, ta cho
tương ứng mỗi vật của tập hợp đang xét với một vật xác định của tập hợp chuẩn, sao cho hai vật khác nhau được ứng với hai vật phan bi
của tập hợp chuẩn Điều này nói theo ngôn ngữ của Toán học hign d i có nghĩa là lập một đơn ánh từ tập hợp dang xét đến tập hợp chuẩn
“Thiên nhiên đã phú cho con người một tập hợp chuẩn rất thuận
tiện là tập các ngón của hai bàn tay Và cho tới nay chiing ta vẫn sử dụng cách “đếm trên dầu ngón tay” để xác định số lượng:
Đỗ hình dung rằng khi đơn ánh trở thành một song ánh (tương ứng 1~ 1) thi ta coi rằng hai tập hợp có số lượng bằng nhau Theo
ngôn ngữ Toán học, hai tập hợp như vậy được gọi là có cùng lực lượng
hay đẳng lực Dần dẫn, người ta đật ra các con số để chỉ số lượng
chung của các tập hợp đẳng lực, và số tự nhiên ra đời
Trang 11
một khái niệm trừu tượng do con người đặt ra để giải quyết một nhu
cầu bức xúc của thực tiễn
Các con số không phải ra đời ngay cùng một lúc Ban đầu, người ta mới chỉ biết đến các con số nhỏ 1, 2, 3, Dan dần do nhu cầu của
ặt ra các số lớn hơn Đặc biệt, số 0 lại là số tự nhiên ra 0 Nhưng
cuộc sống, họ
đời sau cùng Đến thế kỉ thứ 1X con người mới đặt ra
phải đến thế kỉ thứ XVII số 0 mới được xếp ngang hàng với các số khác Theo quan điểm trước đây, người ta không xếp số 0 vào tập hợp số tự nhiên Phải rất lâu nữa con người mới hình dung ra được toàn
bộ tập số tự nhiên N và tính võ hạn của nó,
Ngay sau khi ra đời, tập số tự nhiên đã trở thành tập hợp chuẩn
phổ quát và phép đếm hiện nay là cho tương ứng các vật của tập hợp
cần đếm với các số 1, 9, 3
§1 TẬP HỢP HỮU HẠN 1 TẬP HỢP ĐẰNG LỰC
Như đã thấy trong phần mở đầu, số tự nhiên dược đặt ra để đặc
trưng về số lượng của các tập hợp mà giữa chúng có một song ánh Vi
vậy, việc xây dựng tập hợp số tự nhiên sẽ được bắt đầu bằng việc nghiên
tu các tập hợp trong mối tương quan như vậy Ta có định nghĩa sau:
1 Định nghĩa
Ta nói tập hợp A tương đương (hay
A ~B, nếu có một song ánh f từ A lên B ng lực) với tập hợp B, và viết A~B © t6n tại song nh f A> B 2 Vidu
Trang 12Ví dụ 9 Giả sử AB và BC là hai doạn
thẳng có độ dài tuỳ ý có chung dầu mút B A
(A, B, C khéng thing hang) (hình bên) Kí X
hiệu [AB], [CB] tương ứng là tập hợp
cácdiểm của hai doạn thẳng này Ta chứng
mình [AB] ~ [CB] Thật vậy, xót ánh xạ: — B c
Ê [AB]—> [CB] xác định như sau:
Với mọi điểm X e [AB], ta có
CnéuX=A
f4) = {Bnếu X=B
-.JX#zA
PP sao cho XX'l/ AOnế vn Dễ kiểm tra rằng f là một song ánh
Ví dụ 3 Xét hai đường tròn Vụ, V;
đồng tâm Kí hiệu [V,], [V;] tương ứng là “ tập hợp các điểm của hai đường tròn này “Ta thiết lập một tương ứng giữa v] và
Trang 13That vậy, với mọi tập hợp A luôn có một song ánh từ A lên A b) Tinh chat đôi xứng Với mọi tập hợp A và B, nếu A ~ D thì B~ A ‘That vay, néu A ~ B thi tổn tại một song anh f: A — B khi đó ánh xạ ngược í ˆ: B—> A cũng là một song anh, vay B~ A
Nhờ tính chất này, khi có Á đẳng lực với B, ta nói A và B đẳng
lực với nhau
©) Tính chất bắc câu Với mọi tập hợp A, B, C néu A ~ B và B~€ thì A~ C
Thật vậy, nếu A ~ B và B~ € thì tổn tại các song ánh £: A => B và g:B — C Khi dé anh xa tich g of: A ~> Ở là một song ánh Vậy A ~ C
Như vậy, quan hệ đẳng lực có tính chất của một quan hệ tương
đương Vì vậy khi A đẳng lực với B ta cũng nói A tương đương với B, vA ta có thể nói về lớp các tập hợp đẳng lực 4 Binh li Cantor
Định lí sau đây được nêu lên bởi nhà toán học Cantor, người được coi là ông tổ của lí thuyết tập hợp
a) ĐỊNH LÍ Đổi với hai tập hop A va B bất hủ, luôn xảy ra một trong
hai trường hợp sau:
i) A đẳng lực uối một bộ phận của B 'B đẳng lực uới một bộ phận của A
ii) Nếu xảy ra đồng thời cả hai trường hợp trên thì A đẳng lực vdi B
b) Chú ý Khi A đẳng lực với một bộ phận B, của B, thì tổn tại một song ánh f: A => B,, khi đó nếu coi f như một ánh xạ từ A đến D thi f là một đơn ánh Ngược lại, nếu có một đơn ánh f từ A vào B thì dat B, = f(A) c B, ta cé A ~ Bụ, Như vậy, mệnh để: A đẳng lực với
Trang 14II TẬP HỢP HỮU HẠN VÀ TẬP HỢP VÔ HAN
Hình dung rằng hai tập hợp đẳng lực có cùng g
không đúng lắm, vì có những tập hợp lại đẳng lực với một bộ phận thực
sự của nó Ta cần tách biệt các tập hợp như vậy trong việc xây dựng tập hợp số tự nhiên 1 Định nghĩa hợp không đẳng lực với một bộ phận thực sự nào của nó gọi a) là một tập hợp hữu hạn b) Tập hợp không hữu hạn, gọi là tập hợp vô hạn Nói cách khác, tập hợp vô hạn là tập hợp đẳng lực với một bộ phận thực sự của nó 2 Vidụ ập hợp hữu hạn, vì Ø không có một bộ phận thực a) Ø là một sự nào,
b) Tap đơn tử {x} là một tập hợp hữu hạn vì nó chỉ có một bộ
phận thực sự duy nhất là Ø, nhưng dễ thấy tập hợp {x} không đẳng lực với tap 0
©) Tập hợp [AB], các điểm của một c
đoạn thẳng AB (A z B), là một tập hợp vô bạn Thật vậy, giả sử M là một điểm nằm trong đoạn AB; M #A và M # B Khi đó
rõ ràng [AM] là một bộ phận thực sự A if V
của [4B] Lấy C là một điểm nằm ngoài
đường thẳng AB, theo ví dụ 2, mục L2, ta có [AB] ~[AC] và cũng vậy: [AM] ~ [AC] Từ đó do tính chất đối xứng và bắc cầu của quan hệ tương:
đương suy ra [AB] ~[AM] Vậy [AB] là một tập vô hạn
II CAC TINH CHAT CUA TAP HỢP HOU HAN
ây dựng các số tự nhiên là các tập hữu
Đối tượng chính trong vi
Trang 15han và ta sẽ cần dùng các tính chất nêu đưới đây, nhưng không chứng
mình Độc giả có thể tìm dọc các chứng minh này trong [4] 1 Tinh chat 4 Tập hợp đẳng lực uới một tập hữu hạn là hữu hạn 2 Tínhchất2 Tập hợp con của một tập hữu hạn là hữu hạn 3 Tính chất3 Hợp của hai tập hữu hạn là một tập hữu hạn 4 Tinh chat 4 Tích Đêcác của hai tập hữu hạn là một tập hữu hạn §2 TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN I BẢN SỐ VẢ SỐ TỰ NHIÊN 1 Bản số Bản số là một khái niệm đặc trưng về “số lượng” cho lớp các tập hợp đẳng lực Mỗi tập hợp A đều có một bản số, kí hiệu là CardA hay |A|, sao cho: CardA = cardB = A~ B 2 Sốtựnhiên
Bản số của một tập hợp hữu hạn gọi là một số tự nhiên
Các số tự nhiên cũng lập thành một tập hợp Tập số tự nhiên được aN,
Vay: a € N © 3 A, A hữu hạn sao cho a = card Á
kí hiệ
Ban số của một tập hợp vô hạn được gọi là số siêu hạn (Sự nghiên
Trang 16$3 Vidụ
« Ta biết Ø là một tập hợp hữu hạn Vậy cardO e N Kí hiệu 0 = cardO « Tập đơn tử {x} la mét tập hữu hạn Vậy cardlx} e N Kí hiệu 1= cardtyl,
II QUAN HE THU TY TREN TAP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
Như trên ta đã thấy, số tự nhiên biểu thị "số lượng” của một tập hữu hạn Đương nhiên nếu với hai số tự nhiên a và b,a = cardA,
b = cardB mà ta có A CB thì ta sẽ coi rằng a < b (Nghĩa là "số
lượng” của tập hợp A không vượt quá "số lượng” của tập hợp B)
"Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau
4 Định nghĩa
Giả sử a, b €N, a = cardA, b= card
Ta nói a nhỏ hơn hoặc bằng b, viết là a < b, nếu A tương đương với một bộ phận của Ð Nếu a < bvà a #b thì ta viết a <b va doc laa nhỏ hơn b 2 Chúý + Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn các tập hợp A B mà a = cardA, b = cardB
‘That vay, giả sit A’, B' là bai tập hợp hữu hạn sao cho cũng có a= cardA’, b = card Khi dé A ~ A’, B ~ BỲ do đó tổn tại các song
anh f;A’'> Avag: B> B Nếu A tương đương với một bộ phận của B
thì tổn tại đơn anh h : A> B Ta ¢6 sơ đồ sau:
A—>A—»B—E+Pr
Ánh xạ tích g o(h 0) 1a mot đơn ánh từ A' đến H, nghĩa là La cũng
có A' tương đương với một bộ phận cua B’
Trang 17
* Theo định nghĩa, nếu a < b thì A tương đương với một bộ phan
A, B Nhưng khi đó ta cũng có ä = cardA, Vì vậy có thể phát biểu
định nghĩa quan hệ < như sau: với a, b e N, a < b khi và chỉ khi tổn
tại các tập hợp hữu hạn A, B sao cho A B và a = cardA, b= cardB Ta biết O là tập con của mọi tập hợp, vì vậy 0 = cardØ nhỏ hơn mọi số tự nhiên a e N,a#0
Quan hệ hai ngôi < định nghĩa ở trên có thoả mãn các yêu cầu
của một quan hệ thứ tự không? Độc giả có thể tự kiểm tra diểu đó
dựa vào định nghĩa của quan hệ thứ tự và dịnh lí Cantor trước khi
xem chứng minh của định lí sau đây
$ Định lí
Quan hệ < xác định trong định nghĩa trên là một quan hệ thứ tự
toàn phần trong tập hợp số tự nhiên N
Chứng mình
Trước hết, ta kiểm tra rằng < thoả mãn ba yêu cầu của một
quan hệ thứ tự
1) Tinh phan x
3) Tính phản đổi xứng: Giả sử a, b,e 6N, a= cardA, b
Nếu a < b và b < a thì theo định nghĩa ta có A tương đương với một bộ
phan cia B va ngược lại, B cũng tương đương với một bộ phận của A
Khi đó theo định lí Cantor, A tương dương với B Vậy a = b
VaeN,a=cardA, ta luôn có a <aviAc A card
„_ 3) Tĩnh bắc cẩu: Giả sử a, be N, a = cardA, b
Nếu a < b và b < c thì A tương đương với một bộ phận của B và B
Trang 18Mặt khác, với mọi cập số tự nhiên a, b, a = cardA, b = cardB, theo định lí Cantor giữa hai tập hợp A va B ta luôn có hoặc A tương đương
với một bộ phận của B, hoặc B tương đương với một bộ phận của A
Nghĩa là, hoặc a < b hoặc b < a Vậy quan hệ < là một quan hệ thứ tự
toàn phần trong N
Điều phải chứng minh
i SỐ TỰ NHIÊN LIỀN SAU
‘Tinh chất đặc trưng của quan hệ thứ tự trên tập số tự nhiên N
được thể hiện qua khái niệm số liền sau Hơn nữa, nhờ khái niệm này ta có thể mô tả được một cách dây đủ tập hợp số tự nhiên N Ta có định nghĩa sau
4 Định nghĩa
Giả sử a, b e N, ta nói b là số liền sau a nếu tổn tại các tập hợp
hữu hạn A, B sao cho a = cardA, b= cardB va A c B BNA Ta mot ip hợp dan tit (hay card(B \ A) = D-
Kí hiệu: số liển sau a kí hiệu laa’
Khi b là số liền sau a, ta cũng nói a là số liển trước b
Chú ý Khi b là số liền sau a, theo dịnh nghĩa, trước hết ta
phải có a < b
Ví dụ 1 là số liền sau 0 “Thật vậy, ta có 0 = cardO, 1 = card {x},
vad c {x}, [x}\`O= {x} là tập đơn tử 2 Các tỉnh chất Các tính chất sau dây của số liền sau là những đặc trưng eở bản của tập hợp số tự nhiên Ñ 1) Tính chất 1: Mọi số tự nhiên đâu có một số liên sau duy nhất Chứng mình
Giả sử a e Nụ a = cardA Lấy phần tits €A, xét tap B= Av {x}
Trang 19rdl3 thì b là một số tự BA = (x} là một tập đơn tử Vì vậy, đặt b nhiên liển sau a
Vậy mọi số tự nhiên a đều có số liển sau Bây giờ ta chứng minh số
liền sau a là duy nhất
Giả sử a có hai số liển sau là bạ và bạ
Vì b, là số liển sau a, nên tổn tại các tập hợp hữu hạn A,, By sao ardl,, A, C lỊ và B,N A,= {x} là một tập đơn tử Vì b, là số liển sau a, nên tổn tại các tập hợp hữu han A, By sa cho a= cardA,, by = cardB,, Ay © By va By \ A, = fy} IA mot tap don t
dA, = cardA,, nén A, ~ A, và do dó tổn tại ng ánh Í ta có thể xây dựng một ánh xạ u: cho a = cardA,, bị “Theo giả thiết a = một song ánh f; A, > A„ Nhờ giữD,=A; O{x} đến B, như s g:B, —> B, fu) néute A, the s0=| w nếut=x : iy B, ~ By hay cardDi = # cũng là một song ánh chứng minh:
2) Tính chất 9: Số 0 không là số liễn sau của bất kì xố tự nhiên nào tự nhiên khác 0 đều là số liễn sau của một số tự nhiên duy nhất Chứng mình ự nào, do đó Ú rdA, Vì a # 0
nên A #0; dod tin taix eA, Dat B=A\ i th Bc A vaA\B= {x} là một số tự nhiên và a là số liển sau b
iển trước a
có hai số liễn trước bạ và b„ Khi đó tổn tại các tập hợp hữu
Trang 20carA, =a, cari = bị, Á, C Bị, A, VD ={4]- carA, =a, carl „„ A,\B;={f}- Vicar, = carA, = a nên tổn tại một song ánh f:A,
Giả sửa" = f(@), * = [) Xét hai trường hợp:
Nếu ƒ!'= œ thì œ'= j Khi đó f[, là một song, anh từ B, j đến B,
Néu p's @ thi a's B va Pte B,,a'e B, Khi €6 nh xa:
g Bo B
Íf@) néux ep
XP? 86)” lø nếux=f
1A một song ánh từ J, đến B„
Vậy trong mọi trường hợp đều có I3, ~ B, hay bị Z bạc
Điều phải chứng minh
3) Tính chất 3: Với a, b € Ả néwa<bthi a’ <b
Chứng mình
Nếu a < b thì tổn tại các tập hữu han A, B sao cho Ac BA ZB
và ä = cardA, b = cardl, Khi đó B/ A #0 va tổn tại x6 NA: Đặt A= A Us} thi ACA'CB, khi dé aardA’ 1a
ham thie A’ c Behting Wa’ <b Điều phải chứng minh
Trang 21Khi đó theo tính chất 3, từ a < b suy ra a` < b Điều đó máu thuẫn
với giả thiết b < a' Điều phải chứng minh
Tập số tự nhiên Ñ với quan hệ thứ tự có tính chất trên được gọi là
một tập sắp thứ tự rời rạc
IV DÂY SỐ TỰNHIÊN
Với khái niệm số liền sau và các tính chị
có thể hình dung được toàn bộ tập hợp số tự nhiê
Trước hết 0 = cardO là một số tự nhiên và số 0 không đứng liền
ard {x} là số liển sau duy nhất của số 0 và giữa 0 và 1 thì tập bợp số tự đã trình bày trên, ta N sau số nào Số ] =
không có số tự nhiên nào khác Kí hiệu: 2= nhiên N dược viết thành một đãy như sau: 0, 1, 2, 3, Biểu diễn các số tự nhiên trên một nửa đường thẳng có định hướng ta được một tỉa V BẲN SỐ CỦA TẬP HỢP SỐ TỰ NHIÊN
Có bao nhiêu số tự nhiên? Ta thấy cứ mỗi số tự nhiên a lại có một
liển sau nó nữa, và như tới vô tận Đó là sự hình
số liển sau nó Số liền sau này lại có một s vậy quá trình “đếm” các số tự nhiên sẽ kéo d;
Trang 22Đặt N=N V0), rõ rằng NỈ là một bộ phận thực sự của Ñ Xét tương ứng: £NoN n fn)=
Nghĩa là £ cho tương ứng, mỗi số tự nhiên n với số liển sau n" của nó
f là một ánh xạ vì mỗi số tự nhiên n có một số liền sau duy nhất n”
va n’ # 0, Mặt khác, theo tính chất 2 mỗi số tự nhiên khác 0 đều là số
liên sau của một số tự nhiên duy nhất, do đó f vừa là một đơn ánh, vừa là một tồn ánh Vậy Í là một song ánh và ta có tập hợp số tự nhiên N tương đương với bộ phận thực sự N” của nó, nghĩa là N là một tập vô hạn
2 Định nghĩa
a) Lực lượng của tập hợp số tự nhiên Ñ gọi là sô hạn đếm được
b) Một lực lượng hữu hạn hay vô hạn đếm được gọi chung là lực lượng đếm được-
§3 NGUN LÍ QUY NẠP VÀ TÍNH SẮP THỨ TỰ TỐT
“Ta dã biết phương pháp chứng minh bằng quy nạp Đồ là một phép chứng mình khá hiệu lực của Toán học Cơ sở của phép chứng minh này
là mệnh để sau, mà ta gọi là nguyên lí quy nạp
I NGUYEN Li QUY NAP
Giả sử M là một bộ phận của tập hợp số tự nhiên N va thoả mãn
Trang 2310eM;
3) Nếu n e M thin’ € M;
Khi đó ta có M=N,
Bằng trực giác ta dễ chấp nhận mệnh để trên Thật vậy, theo diều
kiện 1) thì 0 € M Theo diều kiện 2) từ chỗ 0 M suy ra 0'=1 e Mvà
từ1 © Msuy ra 1’ tự nhiên đều thuộc M
Tập luận trên không ph chứng minh chặt chẽ, nó chỉ cho thấy nguyên lí quy nạp là khá "hiển nhiên” Trong việc xây dựng tập hợp số tự nhiên bằng phương pháp tiên dể, nguyên lí quy nạp được coi là một tiên để
II PHÉP CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP
Quy nap là một phương pháp tư duy cơ bản của con người Từ việc
quan sát các hiện tượng riêng lẻ, cá biệt rút ra được các quy luật chung
đúng cho mọi trường hợp, đó là phép quy nạp khơng hồn tồn Tuy nhiên, Tốn học coi phép quy nạp khơng hồn toàn chỉ là một dự doán về kết quả, chứ không phải là một phép chứng minh chặt chẽ Phương
pháp chứng mình bằng uy nạp Toán học, hay còn gọi là phép quy nạp
hoàn toàn, dựa trên 1 Địnhlí Giả sử hàm mệnh để Pín) oởi biển tự nhiền n, thoả mãn các điễu hiện: 1) P(0) đúng;
2) Néie Pin) ding thi Pin’) ching i hi ds Pin) ding vii moi s6'te nhién n Ching mink
sử M là tập hợp các số tự nhiên n ma P(n) dung (M 1A
Trang 24)0eM;
3) Nếu n € M thì n6 M:
M=N, hay P(m) dúng với mọi số tự
theo nguyên lí quy nhiên n Điều phải chứng minh
2 Phép chứng minh quy nạp
‘Theo dinh lí trên, để ching minh ham mệnh để Pín) dúng với mọi số tự nhiên n e N, La cần tiến hành theo hai bude:
Bước cơ sở: Kiểm tra rằng mệnh để đúng với n = Ú
Bước quy nạp: Chứng mình mệnh để P(n) = P{n)
Để chứng mình mệnh để kéo theo nay, ta giả sử mệnh để Pín) ä đúng với n = k (giả thiết quy nạp) và chứng mình mệnh để dúng vdin =k’ Đó là phép chứng minh quy nẠp‹ 3 Một số dạng khác của phép chứng minh quy nap ải chứng mình mệnh để Pín) đúng ên n, mà là với mọi số tự nhiên n > a a) Trong nhiều bài tốn ta ph
khơng phải với mọi số
Khi đó trong bước cơ sở ta phải trong bước quy nạp, tả gid s mình PŒ©) đúng Kiểm tra rằng mệnh để đúng vớ Pín) đúng với n = k > a và chứng
b) Trong một số bài tốn phức tạp, đơi khi ta phải tiến hành
Trang 25chứng minh nó đúng với n = k' Phép chứng mình này có lợi thế là ở bướe quy nạp để chứng minh Pk) dúng ta có nhiều giả thiết hơn (Không chi 1a P(k) diing, mà là P(0) PŒ©) đều đã dúng) Do đó phép chứng minh quy nạp dạng này có hiệu lực hơn 4 Vidụ Dat S, = nj Ching minh ring Chứng mình “Ta chứng mình quy nạp theo n Bước cơ sở: Với n = 0, tạ có 8, = {0}, đo đó card, Vậy mệnh để dúng với n= 0 Bước quy nạp: Giả sử mệnh để đúng với n = k, nghĩa là cardS, = Ta có: S,= {0, k, k} =8, {k}
Ro rang 8, c 8, và Sự: \ 6, = Ik} là một tập đơn tử Vậy theo định nghĩa của số kể sau thì eardS, là số kể sau của cardS¡, nghĩa là card 8, = (k’)’ Đó là diều phải chứng minh
Kết luận: cardS, = n' với mọi số tự nhiên n
MM TÍNH SẮP THỨ TỰ TỐT
Ta da biết một Lập hợp X cùng quan hệ thứ tự < xác định trên nó
được gọi là một tập sắp thứ tự tốt nếu mọi bộ phận khác rỗng của X đều Pừ nguyên lí quy nạp ta dé suy ra được rằng
p thứ tự tốt, Hơn nữa còn có thể chứng minh
p thứ tự tốt của N và nguyên lí quy nạp là hai có phần tử nhỏ nhá tập số tự nhiên N được rằng tính s¡
mệnh để tưởng dương Phép chứng minh quy nạp có thể tiến hành
dối với bất kì hàm mệnh đổ P@9, với x nhận giá trị trên một tập
sắp thứ tự tốt X nào đó
Trang 26
1 Địnhlí N cùng quan hệ thứ tự đã xác định là một tập sếp thứ tự tốt, nghĩa là mọi bộ phận khác rỗng các số tự nhiên đều có số nhỏ nhất Chứng mình M CN.M # O Ta chứng mình M có số nhỏ nhất
Dat M, = {ne Nin sx Vxe Mb
Nghĩa là M, bao gồm các số tự nhiên nhỏ hơn hoặc bằng mọi xố tự nhiên x € M
Rõ ràng Mụ C N và có các tính chất: 0e M,@i0<x.VxeN):
2) M, # N That vay, viM # Ø nên tén tain € N Khidén’ ¢ Mi
íL của nguyên lí quy
Như vậy, M, thoả mãn diều kiện thứ nhị
nhưng M¿ # N, nên nó không thể thoả mãn diều kiện thứ hai
h khác, tổn tại m € M, sao cho m'é M,- nhỏ nhất của M Thật vậy: vì lại ta có 'Ta chứng mình m chính là
me M, nên m < xvx eM Mặt khác, m € M vì nếu ngự
mex, Ve Mekhi dé m' $x, VÀ e Mhay me Mụ, Mẫu thuần với giả
th
ẾL về m
Vậy m € M và m < x, VxeM, nghĩa là m là số nhỏ nhất của M
Điều phải chứng minh
2 Bộ phận bị chặn trên
a) ĐỊNH NGHĨA Hộ phận M Ñ gọi là bị chặn trên, nếu tổn
tự nhiên a sao cho x < ä với mọi x € M
"Tụ có định lí sau:
Đ) ĐỊNH LÍ Mại bộ phận khác rỗng bị chặn trên của tậP hop số tự nhiên N đều có số lên nhất
Định lí này được suy ra từ tính sắp thứ tự tốt của tập số tự
Trang 27từ định
nhiên Ñ Hơn nữa có thể chứng minh ngay cả điểu ngược lại lí này suy ra được tính sắp thứ tự tốt của N, bà Độc giả hãy chứng minh diều đó coi như mộ §4 HỆ TIÊN ĐỀ VỀ SỐ TỰ NHIÊN 1 SƠ LƯỢC VỀ PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ biệt, Khác với các
Toán học là một ngành khoa học tự nhiên đã
ngành khoa học tự nhiên khác dối tượng nghiên cứu của Toán học ai khách quan, độc lập với con người, mà là
không phải là những tổn
những khái niệm do chính con người đặt ra Các khái niệm ban đầu các hình, còn mang đấu vết của thực tế
cảng trở nên trừu tượng
của Toán học như các
khách quan Nhưng càng ngày các ki
và hình thức,
Sự khác biệt về dối tượng nghiên cứu da dẫn dến sự khác biệt cơ
bản về phương pháp nghiên cứu Đối với các ngành khoa học thực
nghiệm, phương pháp nghiên cứu co ban 1a quan sát, thí nghiệm rồi
từ các kết quả của nhiễu quan sát, thí nghiệm, bằng phép quy nạp t chung Ngược lại phương pháp nghiên cứu eơ bản khái niệm b các tính rút ra các quy li
của Toán học là phép suy diễn; Từ cá
chất của chúng, người La tiếp tục đặt ra các khái niệm mới và suy ra các tính chất mới an dầu Một lí thuyết Toán học là một hệ thống các khái niệm và các mệnh để ¢ dink nghĩa
Ta biết rằng một khái niệm mới bao giờ cing du
thông qua những khái niệm trước đó Cũng vậy, một mệnh để được
chứng minh nhờ các mệnh để đã biết trước đó Vì để xây dựng một lí
thuyết Tốn học mà khơng bị rơi vào vòng l ẩn người ta thường xuất, phát từ một số khái niệm dầu tiên không định nghĩa, gọi là các khái niệm
nguyên thuỷ và một số mệnh để dầu tiên được thừa nhận, không chứng minh
Trang 28pháp tiên để Lê tự nhiên, số các khái niệm nguyên thuỷ và số œ
ma vẫn đủ
tiên để, nghĩa là số những điểu cần thừa nhận, nên ít nhã
suy ra tất cả các kết quả khác Đồng thời những mệnh để thừa nhận thường là những mệnh dể đơn giản, "hiển nhiên” Một trong những
người đầu tiên xây dựng một lí thuyết Toán học theo phương pháp
tiên đề là nhà toán học Euelide (Khoảng 300 năm trước công nguyên) Cu ch "Những nguyên lí" của ông trình bày hình học bằng
phương pháp tiên để Chính việc tranh luận xung quanh một tiên để
lä thúc dẩy sự phát triển của hình học
n sách
(tiên để V) do ông để xuất d
II HE TIEN DE PEANO
Để xây dựng tập hợp số tự nhiên Ñ bằng phương pháp tiên để, n
toán học người Y, Peano (1858 ~ 1939) đã dưa ra hệ tiên dé sau da,
1 Các khái niệm nguyên thuỷ a) Số tự nhiên b) Số liền sau 2 Các tiên để P, Có số tự nhiên 0 không phải là ›
P¿ Mỗi số tự nhiên có một và chỉ một số liền s
Py Mỗi số tự nhiên là số liển sau của không quá một số tự nhiên
Dạ, Mọi tập hợp M những số tự nhiên có các tính chit:
1)0eM;
9) nếu n € M thì số liển sau của n cũng thuộc M;
déu trang véi tap hgp số Lự nhiên
"Tập hợp số tự nhiên kí hiệu là N, xố liền sau của số tự nhiên n
kí hiệu là n'
Trang 29sau (§9, HI.9), còn tiên để P, chính là nguyên lí quy nạp Qua đó ta
thấy các tính chất của n sau và nguyên lí quy nạp là các tính
chất cơ bản nhất mà từ các tính chất này ta suy ra được mọi tính chất khác của tập hợp s ý Lự nhiên II MỘT HÌNH ẢNH CUA TAP HOP SỐ TỰ NHIÊN
Tiên để P, cho thấy N z O vì có 0 e N
Theo tiên để P¿, tồn Lại số liền sau của 0 và
Kí hiệu 1 = 0',
Lại theo tiên để P, tổn tại duy nhất
“Tiếp tục như vậy, ta được một hình ảnh của tập hợp số tự nhiên là: ;ố đó là duy nhất au của 1 Kí hiệu N={0, 1,2, 3, 1 §5 CAC PHEP TOAN TREN N e phép toán
Mỗi tự nhiên là bản số của một tập hợp hữu hạn €: i
trên tập hợp số tự nhiên cũng dược xác định thông qua các phép toán
Trang 302 Chúý
a) Điểu kiện A 2 ID = O chỉ cẩn thiết để định nghĩa phép cộng Đối với cập số a, b bất kì luôn tổn tại các tập hữu hạn A, B sao cho a= cardA, b = cardB va thod man diéu kign An B= 0
b) Dinh nghia trên không phụ thuộ
A, B Ta dễ chứng minh được rằng nếu A, B, A`, I là những
hữu hạn sao cho a = cardA = cardA', b = cardB = card, A ¬ B = Ø, A'al=Ø, thì
card(A ©2 B) = card(A' c2 B):
card(A x B) = card(A’ x B)
Ban doe hay chéng minh ce khang dinh trén
c) Khi xây dựng tập hợp số tự nhiên bằng phương pháp tiên dé, các phép toán dược định nghĩa một cách đệ quy như sau:
tháp cộng: Phép cộng cho tương ứng với một cặp số tự nhiên a, b một
số tự nhiên duy nhất, kí là a + b, sao cho:
Ja+0=a VaeN:
2a+b'=(a+b)' VaeN,VbeN
Phép nhân: Phép nhân cho tương ứng với mỗi cặp số tự nhiên a b một số tự nhiên duy nhất kí hiệu a.b, sao cho:
1)a.0=0 vaeN;
b+a VaeN,VbeN
2) ab’
II TÍNH CHAT CUA CÁC PHÉP TOÁN
Phép cộng và phép nhân các số tự nhiên được định nghĩa qua
Trang 31và phép nhân áe số tự nhiên cũng được suy ra từ các tính chất tương ứng của phép hợp và tích Đểcáe các tập hợp 1 Tính chất giao hoán Voi moi tự nhiên a, b ta có: atb=b+a: ab=ba Chứng mình Vi AU B=A U B nén tacé ngayatb=bta Mặt khác dễ thị f:AxBsBxA (ny) » (y.x)
là một song anh Vay A x B~ Bx A hay card(A x B) = card(B x A)
Titd6 suy ra ab =b.a Điều phải chứng mình Tinh chat két hop
Trang 32
f:Ax(BxC) > (Ax B)xC
& (2) (xy) 2)
là một song ánh
Vay A x Œ x O~(A x B)x Chay œudA x (B x ©) = can(Ax B) x ©),
Từ đó suy ra a.(b.e) = (a.b).e Điều phải chứng minh
Hệ quả: Tổng uà tích của ba số tự nhiên a, b, c được định nghĩa
là:a+b+e=(œ + b) +e, a.b.e = (a.b).e Theo tính chất giao hoán tà
kết hợp khi thực hiện tổng uà tích của ba số a, b, e ta có thể tuỳ ý đặt
dấu ngoặc tà tuỳ ý thay đổi thử tự của các số hạng hoặc các thừa số:
'Tổng quát, ta cũng có khái niệm và kết quả tương tự về tổng và tích nhiều số tự nhiên 3 Phần tửtrung lập Với mọi số tự nhiên a, ta có: a+0=0+a =a; a1=
Nghĩa là: số 0 là phẩn tử trung lập của phép cộng, số 1 là tử trung lập cũa phép nhân
Chứng mình
Vì 0= cardO va A U O=0 U A véi moi tap hgp A, ne a+0=0#a=a với mọi a € N Mặt khác, dễ thấy ánh x4: f:tx) xà TA a=a phần n ta có ja) a
1a mét song nh Vay fx} x A~ A hay card({x} x A) = cardÂ-
4 Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng
Với mọi số tự nhiên a, b, e ta có:
Trang 33Chứng mình
“Trong lí thuyết tập hợp ta biết các đẳng thức sau: Ax(BUO=(Ax B)U (Ax ©);
(BU ©) x A=(Bx A)U (Cx A)
Từ đó suy ra tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng 5 Luậtgiản ước
a) Với mọi số tự nhiên a, b, c; từ đẳng thức a + = b + e suy ra a =b b) Với mọi số tự nhiên a, b,e; e # 0 từ đẳng thức œ.c =b.e suy ra a =B
Chứng mình,
"Ta chứng minh bằng phản chứng chung cho cả hai mệnh để a) va b) Giả sử a # b, khi đó có thể giả thiết a < b Giả sử A, 8, € là các tập hợp hữu hạn sao cho A c B, A #B,A 0 C=B 9 C=0, a= cardA, b = cardB, c = cardC
a) Dé thấy nếu A là tập con thực sự của B thì A tz C cũng là
một tập con thực sự của B U C Ti dé suy ra
atc=card(A U C)<b+e=card(B U C)
Mâu thuẫn với giả thiết Điểu phải chứng minh
Ð) Nếu A là tập con thực sự của B thì hiển nhiên A x C c B x C
Hơn nữa giả sử y e B và y £ A, vì € # Ø nên tổn tại ít nhất một phần
tử z € C Khi đó phần tử (y, 2) e B x € nhưng (y, 2) ¢ A x C Vay Ax €]à một tập con thực sự cda B x C Hay ac=card(A x C) <be=card(B x C), mâu thuẫn với giả thiết Điểu phải chứng minh
Trang 34Chứng mình
Giả sử a = cardA, và x # A, ta có
a+1=card(A © l8)
Nhung rd ring Ac AU {x} vaA U 0 \ A = xi là tập đơn tử, nên theo định nghĩa của số liễn sau ta có a + L= a"
Mặt khác, ta có A x Ø = Ø Vậy a.0 = 0 với mọi số tự nhiên a Điều phải chứng minh
Ill, TÍNH CHẤT LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ CÁC PHÉP TOÁN 1 Tính chất tương thích của thứ tự vả phép cộng Với mọi ự nhiên a, b, ¢ ta 06: a) néua<bthiate<b+e; b) néuate<ht+cthia<b Chứng mình
a) Xem chứng minh luật giản ước của phép cộng (11-8)
b) Ta chứng mình bằng phản chứng Nếu b < a thì theo edu a) ta
suy ra b+e < a +c, mâu thuẫn với giả thiết Điều phải chứng, minh
2 Tính chất tương thích của thứ tự và phép nhân
Với mọi số tự nhiên q, b, e, e # 0 ta có:
a) nếu a < b thì ac < be
b) nếu ae < be thì a < b Chứng mình
a) Xem chứng mỉnh luật giản ước của phép nhân (IL 5)
b) Ta chứng mình bằng phần chứng Nếu b < a thì theo câu a) ta suy ra be < ae, mâu thuẫn với giả thiết Điều phải chứng minh
Trang 35WV PHÉP TRỪ
1 Địnhlí
Với mọi số tự nhiên a, b, nếu a < b thì tôn tại duy nhất số tự
nhiên e sao cho a + e = b, Chứng mình
Vì a < b nên tổn tại hai tập hợp hữu hạn A, B sao cho A C Bvà a = cardA, b = cardB Khi đó B\ A là một tập hữu hạn và Á r (BNA)=0 Đặt e = card(B A), ta có c €N và a+e=card(A U(B\ A)) = cardB = b Tính duy nhất suy ra từ luật giản ước của phép cộn 2 Địnhnghĩa Số tự nhiên e thoả mãn đẳng thức a + e= b được gọi là hiệu của b và a và kí hiệu là: e=b~a (đọc là b trữ a)
Quy tắc tìm hiệu b - a gọi là phép trữ
Định lí trên cho thấy phép trừ b ~ a thực hiện được khi và chi khia <b
3 Tính chất phân phối cửa phép nhân đối với phép trừ
Với mọi số tự nhiên a, b, e mà e < b, ta có:
8) a(b =e) = ab ~ae; b)(b-e)a = ba - ca,
Chứng mình
Trang 36
Do đó
ale + (b —e)| = ab
“Theo tính chất phân phối của phép nhân đổi với phép cộng, ‹a được: ae + a(b ~©) = ab
Nhưng đẳng thức này chứng tỏ rằng a(b - e) là hiệu của ab và ac:
a(b—e) = ab—ae
Điều phải chứng minh
b) Đẳng thức bỳ suy ra tif ding thie a) và từ tính chất giao hoán của phép nhân
V PHEP CHIA HẾT 1 Định nghĩa
Cho hai số tự nhiên
a = bg thi ta néi a chia hét cho b
‘Theo luật giản ước của phép nhân, số q (nếu có), được xác định
đuy nhất và được gọi là thương của a và b Ta kí hiệu là:
b¿b # 0 Nếu có số tự nhiên q sao cho
q=a:bhayq=
Quy tắc tìm thương của hai số gợi là phép chia 2 Tính chất
'Từ định nghĩa ta suy ra ngay các tính chất sau:
a) Số 0 chia hết cho mọi số tự nhiên khác 0
b) Moi số tự nhiên đâu chia hết cho 1
©) Nếu a,, a¿„ a, là những số tự nhiên chia hết cho b, xụ, xạ X,
Trang 37đ) Trong một đẳng thức, nếu đã biết tất cả các số hạng, trừ một
số hạng nào đó, đều chia hết cho b thì suy ra số hạng còn lại cũng chia hét cho b
VI PHÉP CHIA CÓ DƯ
Cho hai số tự nhiên a, b bất kì, nói chung không nhất thiết có a
chia hết cho b hoặc b chia hết cho a Tuy nhiên ta có định lí sau 4 Địnhlí
Với mọi cặp số tự nhiên a, b; b #0 bao giờ cũng tân tại duy nhất
cặp số tự nhiên q uà r sao cho a=bq+r, 0<r<b Chứng mình a) Sự tổn tại Xét tập hợp M=txeN| bx <al Ta thấy: M cN,M # NvàM # O vì rõ ràng 0 6 M Mặt khác với b # 0 thì b > 1, do đó bía + 1) = ba + b > ba > a Va hợp M bị
chặn trên bởi a + 1 Từ đó suy ra M có số lớn nhất
Giả sử q là số lớn nhất của M, nghĩa là q e M nhưng q =q* 1 £ M Nói cách khác ta có: bạ < a < bí # 1) = bạ +b Đặt r= a ~ bq thì a=bq#r
và bất đẳng thức trên cho ta 0 <r<b Điều phải chứng mình
b) Tính duy nhất Giả sử tổn tại hai cặp số q, r và q) r` sao cho
Trang 38a=bg+r, 0<r<b, Từ đó suy ra
bạ+r=bq'+r
Giả sử q' < q, khi đó tổn tại m € N sao cho q= q' + m
Thay vao dang thức trên ta được Đ( +m) +r= bạ + hay r` = bm +r Vì r'< b, nên đẳng thức trên chỉ xảy ra khi m = 0 Khi đó q = q` và do đồ r = r, Vậy cặp số q, r tổn tại duy nhất 2 Định nghĩa Số q và r thoả mãn đẳng thức a=bq+r, 0<r<b
được gọi tương ứng là thương (hay thương hụÐ) và dư trong phép
chia của a cho b
Việc tìm q và r gọi là thực hiện phép chia có dư của a cho Ð
Chủ ý Khi r = 0 thì phép chia có dư trở thành phép chia hết Như vậy, phép chia hết là trường hợp đặc biệt của phép chia có dư
VI LUỸ THỪA 1 Định nghĩa s) Giả sử a,n € N.n # 0 Đặt 2.8 ) nlan
a" doc 1a a lug thita n; a goi li cd 8, n gọi là số mũ của luỹ thừa
Trang 392 Tính chất
“Từ định nghĩa trên và tính chất giao hoán, kết hợp của phép nhân,
ta suy ra các tính chất sau của luỹ thừa: « ah = anh, * (An) = anh, ôâ (ab)"=a",b"; BD gy
5 (2) & (di a chia hét cho)
§6 CAC HE THONG GHI SO
im cach ghi Iai
Cùng với việc phát minh ra các con số, con ngườ
chúng Cách ghi số hiện nay do người Hindu (Ấn Độ) phát minh vào thế
ki VII va IX, sau đó được người Ẩrập truyền sang châu Âu; vì thế gọi là
chữ số Hindu ~ Ärập (hay chữ số Ảrập) Trước đó có nhiều cách ghỉ số
khác nhau, Ta hãy tìm hiểu một vài cách ghỉ số cổ
| MOT VAI HỆ THỐNG GHI SỐ cổ 1 Hệ ghỉ số Ai Cập
© Ai Cặp đã có một nền văn minh rất sớm Bằng chứng còn lại
của nền văn minh dó cho tới ngày nay là các Kim tự tháp vĩ dại và
Trang 40thức Toán học vững chắc
Người Ai Cập đã có một hệ thống ghi số từ khoảng 3400 năm
trước công nguyên Hệ ghi số này gồm bảy kí hiệu có giá trị tương ứng
như sau:
Kihiệu ghi so Ai Cap: I) 2 REESE
Số Ảrập tuong tng: 1 10 100 1000 10000 100000 1000000
TTừ 7 kí hiệu trên, các số được ghi theo nguyên tắc cộng tính:
giá trị của số bằng tổng giá trị các kí hiệu có mặt trong số đó
Ví dụ:
x > EF EF (\ ||= r000000 + 100000 + 10000 +
10000 + 10 + 1+1= 1120019
2 Hệ ghi số Babilon
Hệ thống ghi số Babilon cũng được ra dời cùng trong khoảng
thời gian ra đời của hệ thống ghỉ số Ai Cap Hệ thống này chỉ dùng
hai kí hiệu sau:
Kí hiệu ghi số Babilon: Y_ < Số Ảrập tương ứng: 1 10
"Từ hai kí hiệu đó, các số được ghi theo hộ cơ số 60 Các số từ 1
đến 59 được ghi theo nguyên tắc cộng tính Ví dụ:
<<<YY =10+10+10+1+1=32
Các số từ 60 trở lên được ghi theo từng hàng, giữa từng, hàng có một khoảng cách Kể từ phải sang trái, mỗi kí hiệu ở hàng sau có 8Ì1á trị bằng 60 lẫn giá trị của nó ở hàng trước đó Giá trị của mỗi hàng
vẫn tính theo nguyên tắc cộng tính như đã nói
Ví dụ: