KỸ THUẬT 6 xử lý bất ĐẲNG THỨC với các BIẾN bị CHẶN tên TỪNG KHOẢNG đoạn

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN 9 | 1 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT ĐẸP TIỆN T o á n H ọ c S ơ Đ ồ H Ữ U X Ạ T Ự N H IÊ N H Ư Ơ N Đ T ,Z A L O 0 9 4 5 9 4 3 1 9 9 KỸ THUẬT 6 XỬ LÝ BẤT ĐẲNG THỨC VỚI CÁC BIẾN BỊ CHẶN TÊN TỪNG KHOẢNG ĐOẠN A PHƯƠNG PHÁP Khi các biến bị chặn trên một đoạn, khoảng ta cần chú ý các cách đánh giá để chặn biến như sau + , ,m a b c n  thì Nếu cần đánh giá 2 2 2 , ,a b c theo , ,a b c ta dùng     20a m a n a m n a mn       Nếu cần đánh gái để tạo ra ab.

CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | KỸ THUẬT XỬ LÝ BẤT ĐẲNG THỨC VỚI CÁC BIẾN BỊ CHẶN TÊN TỪNG KHOẢNG ĐOẠN A.PHƯƠNG PHÁP Khi biến bị chặn đoạn, khoảng ta cần ý cách đánh giá để chặn biến sau: + m  a, b, c  n ab  n  a  b   n  a  n  b  n    Nếu cần đánh gái để tạo ab ta dùng   a  m  b  m   ab  m  a  b   m Nếu cần đánh giá đồng thời biến ta dùng: 3  a  m  b  m  c  m   abc  m  ab  bc  ca   m  a  b  c   m    3 abc  n  ab  bc  ca   n  a  b  c   n   a  n  b  n  c  n   2  a  b   a  b  + Ngoài cần ý: Nếu giả thiết a, b, c số thực không âm thì:  3  a  b   a  b  + Nếu biết a  b  c  p Trong số a, b, c giả sử a số lớn ta suy a  b  c  p  3a  a  p Sau chứng minh phát sinh điều kiện cuả biến ta quay lại để chặn biến nhằm tạo điều kiện: B.BÀI MINH HỌA Ví dụ Cho số thực a, b, c thỏa mãn:  a, b, c  a  b  c  a) Tìm GTLN, GTNN P  a  b2  c b) Tìm GTLN, GTNN P  a3  b3  c3 c) Tìm GTLN, GTNN P  a  b2  c  ab  bc  ca d) Biết a, b, c thỏa mãn:  a, b, c  a  b  c  Tìm GTLN, GTNN P  a3  b3  c3 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN Toán Học Sơ Đồ-HỮU XẠ TỰ NHIÊN HƯƠN-ĐT,ZALO 0945943199 Nếu cần đánh giá a , b2 , c theo a, b, c ta dùng:  a  m  a  n    a   m  n  a  mn | KỸ THUẬT TỐI ƯU BẤT ĐẲNG THỨC Lời giải a) Ta viết lại P   a  b  c    ab  bc  ca     ab  bc  ca  Ta cần đánh giá ab  bc  ca Thật từ giả thiết:  a, b, c  ta suy  a   b   c    abc   a  b  c    ab  bc  ca    ,   abc   abc  Cộng hai bất đẳng thức chiều theo vế với ý a  b  c  ta có:   ab  bc  ca    ab  bc  ca  Dấu đẳng thức xảy ba số a, b, c có số 2, số số Ta có:  a  b  c    ab  bc  ca   -Toán Học Sơ Đồ Suy ab  bc  ca  a  b  c 1 2 a  b    b  c    c  a    với a, b, c   2  Như  ab  bc  ca  Từ suy   P     P  Khi a  b  c  P  , (a; b; c) hoán vị số (0; 1; 2) P  b) Ta có bất đẳng thức sau: a  3a    a  1  a    với a  Tương tự ta có bất đẳng thức với b, c Suy a3  b3  c3   a  b  c    , dấu đẳng thức xảy a  b  c  Giả sử c số lớn số a, b, c suy a  b  c  3c  c  1, kết hợp với điều kiện đề ta suy  c  Ta có: a  b3   a  b     c   P    c   c  27  27c  9c   c  1 c    3 Do  c  nên  c  1 c    suy P  , dấu đẳng thức xảy (a; b; c) hoán vị số (0; 1; 2) c) Ta có: P    ab  bc  ca   , dấu đẳng thức xảy a  b  c  Ta có P    dấu đẳng thức xảy (a; b; c) hoán vị số (0; 1; 2) LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS VÀ THPT/ĐT,ZALO 0945943199| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | d) Từ giả thiết ta có:  a  1 b  1 c  1  abc   ab  bc  ca    a  b  c        a   b   c    abc   ab  bc  ca    a  b  c   27  abc   ab  bc  ca     cộng hai bất đẳng thức chiều ta suy ra: ab  bc  ca  11 ,  abc   ab  bc  ca   27   12  11  ab  bc  ca  12 Ta có biến đổi quen thuộc sau:  a  b  c   a  b3  c   a  b  b  c  c  a   a  b  b  c  c  a    a  b  c  ab  bc  ca   abc Từ ta có: P  216  18  ab  bc  ca   3abc  216  18  ab  bc  ca   3  ab  bc  ca   27  Hay P  135   ab  bc  ca   135  9.11  36 , hoán vị số (1; 2; 3) dấu đẳng thức xảy Vậy GTLN P 36 Ta có đánh giá quen thuộc: x3  y  xy  x  y  với x, y   x  y  z    x  y  z  Từ suy 23  a3  2a  a    a3  2a  4a  Suy P   a  b  c    a  b  c   24  2  a  b  c   24 Dấu đẳng thức xảy a  b  c  Vậy GTNN P 24 Ví dụ Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a  b  c  a) Tìm GTLN P  ab  bc  ca b) Tìm GTLN P  a b3   b c   c a  Lời giải | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN Toán Học Sơ Đồ-HỮU XẠ TỰ NHIÊN HƯƠN-ĐT,ZALO 0945943199 lại có ab  bc  ca  a  b  c | KỸ THUẬT TỐI ƯU BẤT ĐẲNG THỨC a) Giả sử b số nằm a, c  b  a  b  c    b2  ac  bc  ba  ab2  a 2c  abc  a 2b  ab  bc  ca  bc  abc  a 2b Suy ab  bc  ca  bc  2abc  a 2b  b  a  c   b   b  2 Ta chứng minh: b   b    b3  6b  9b     b  1  b    2 Dấu đẳng thức xảy (a; b; c) hoán vị số (0; 1; 2) b) Ta có: a3   Từ suy P    a  1  a  a  1  a2  2 ab  bc  ca   Dấu đẳng thức xảy (a; b; c) hoán  vị số (0; 1; 2) -Toán Học Sơ Đồ Ví dụ Cho số thực không âm a, b, c cho a  b  c  Tìm GTLN, GTNN a) Tìm GTLN, GTNN P  5a   5b   5c  b) Tìm GTLN P  2a  a   2b  b   2c  c  c) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a  b  c  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P  a b c   a 1 b 1 c 1 d) Cho a, b, c  a  b  c  Tìm gía trị lớn nhất, giá trị nhỏ P  3a   3b   3c  Lời giải  a  a  1  a  a   a) Do a, b, c  0, a  b  c  nên b  b  1   b  b nên ta có: c  c c c       P  a  4a   b  4b   c  4c   a  b  c   Dấu đẳng thức xảy (a; b; c) hoán vị số (1; 0; 0) LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS VÀ THPT/ĐT,ZALO 0945943199| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TỐN CHUN | Ta có  x2  y  z    x  y  z    x  y    y  z    z  x     x  y  z  2 2 Suy P2   5a   5b   5c    3.17  P  51 , dấu đẳng thức xảy abc P  2a  a   2b  b   2c  c   a  2a   b  2b   c  2c    a  b  c  3  Dấu đẳng thức xảy (a; b; c) hoán vị số (1; 0; 0) c) + Từ giả thiết ta suy ra:  a, b, c  dẫn tới  a    a a  dấu đẳng thức xảy a 1 a  a  Tương tự ta có bất đẳng thức cộng lại ta suy ra: P  1  a  b  c   Dấu đẳng thức xảy 2 có số 1, hai số + Tìm giá trị lớn nhất: Cách 1: Ta chứng minh: a 9a   Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a 1 16 a 9a     a  1 9a  1  16a  9a  6a     3a  1  , dấu đẳng thức xảy a 1 16 a  P , tương tự ta có bất đẳng thức cộng lại suy 3  9a   9b   9c  1  , dấu đẳng thức xảy a  b  c  16 1   Cách 2: Ta viết lại P       Ta có  a 1 b 1 c 1 1    a 1 b 1  b 1 c 1  c 1 a 1         a  1   b  1   c  1         a 1 b 1 c 1  b 1 a 1  c 1 b 1  a 1 c 1  | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN Toán Học Sơ Đồ-HỮU XẠ TỰ NHIÊN HƯƠN-ĐT,ZALO 0945943199 b) làm tương tự câu a ta có: | KỸ THUẬT TỐI ƯU BẤT ĐẲNG THỨC Theo bất đẳng thức Cô-si ta có: a 1 b 1   a  b  c  suy b 1 a 1 1  1       P       a  b  c  3   4 a 1 b 1 c 1  a 1 b 1 c 1  3a  1  d) Tìm max: Ta có  3a  3a  3a    3a   , dấu đẳng thức xảy 2 a  Tương tự ta có đánh giá với P 3b  1, 3c  suy 3a  3b  3c   a  b  c   15     , dấu đẳng thức xảy 4 4 a  b  c  Tìm min: Từ giả thiết ta suy  a, b, c  -Toán Học Sơ Đồ Đặt x  3a  1, y  3b  1, z  3c  suy x  y  z  12  x, y, z  10 Khi ta có: P  x  y  z Từ điều kiện   x  10   x 1  x  10   x    10  x  10   x x  10 10     10  x  10 Tương tự ta có bất đẳng thức cộng lại suy ra: P   10  x   10  y  10  z  10    12  10    10  10  18  10  Dấu đẳng thức xảy số x, y, z 1, số lại 10 , hay số a, b, c 0, số lại Cách làm khác: Ta cần tìm số m, n để: Hay 3a   ma  n cho dấu đẳng thức xảy a  a  3a   ma  n a  a  Cho a   n  , cho a  suy 10  3m   m  10  LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS VÀ THPT/ĐT,ZALO 0945943199|  CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | Ta chứng minh:  10   3a     a  Bình phương vế ta thu được:    11  10   10    11  10   10  11  3a     a    a     a    a  hay 9          10    10    10   Suy P    a     b     c   10  Dấu đẳng thức xảy 3       số x, y, z 1, số lại 10 , hay số a, b, c 0, số lại Ví dụ Cho số thực không âm a, b, c cho a  b2  c2  Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P  ab bc ca   2 Lời giải Áp dụng bất đẳng thức  Ax  By  Cz    A2  B  C  x  y  z  với x, y, z ta có: 2  ab bc ca  ab bc ca P            3 a  b  c 2  2    Lại có:  a  b  c   1   1  a  b2  c    a  b  c  P  3  P  27 dấu đẳng thức xảy a  b  c  Ta có: P  a  b  c   Lại có: a  bc    a  b  a  c   b  c b  a    c  a  c  b  a a  bc    a  b  a  c    a  b  a  c   a  Suy P2   a  b  c   ab  bc  ca   a  b  c  | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN bc Toán Học Sơ Đồ-HỮU XẠ TỰ NHIÊN HƯƠN-ĐT,ZALO 0945943199  11  10    a  a  3  , bất đẳng thức cuối  a    | KỸ THUẬT TỐI ƯU BẤT ĐẲNG THỨC Mặt khác a, b, c  0, a  b2  c    a, b, c  dẫn tới a 1  a   0, b 1  b   0, c 1  c    a  b  c  a  b  c  Vậy P   P  dấu đẳng thức xảy a, b, c hoán vị số (1; 0; 0) Ví dụ (Một số đánh giá quen thuộc) Cho số thực không âm a, b, c cho a  b2  c  k  Chứng minh a) k  2bc  2a  b  c  b)  a  b  c   2k 1  bc  -Toán Học Sơ Đồ c) a  b  c  2 abc  2k k Lời giải a) Ta có: k  2bc  a  b  c  2bc  a   b  c   2a  b  c  Dấu đẳng thức xảy a  b  k , c  a  c  k , b  b) Ta có:  a  b  c   k  2a  b  c   2bc Lại có: k  2bc  a   b  c   2a  b  c  suy  a  b  c   2k  4bc Ta chứng minh: 2 2k  4bc  2k 1  bc   k  2bc  k (1  bc)  kb 2c  2kbc  2bc   bc  kbc  2k    c) Ta có: 2     a  b  c  abc  a 1  bc   b  c   a   b  c   1  bc      k  k   k   k  2bc   2  b c  bc   k k  LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS VÀ THPT/ĐT,ZALO 0945943199| CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN |   Ta cần chứng minh:  k  2bc   b c  bc    2k  4b c  2bc  k   k k  Vận dụng 1) Tìm GTLN, GTNN P  a b c   biết a, b, c  0, a  b2  c   bc  ca  ab Lời giải 1  bc  Dẫn đến:   2bc  b c   2bc  a  b  c  2bc  a   b  c   2 2 2 a  b  c 2   bc  abc a 2a a b c     P  2     Dấu đẳng thức xảy  bc a  b  c a bc a bc a bc   ; ; 0  a; b; c  hoán vị số    b Ta có  bc    c2  1  a    a  1 2 2   a2  a 1  bc   a    3a  a3   Lại có: a  3a    a  1  a     3a  a  dẫn đến a 1  bc   a  a2  bc Suy P  a  b2  c dấu đẳng thức xảy (a; b; c) hoán vị số (1; 0; 0) Vậy GTLN P , giá trị nhỏ P 2) Choc số thực không âm a, b, c cho a  b2  c2  Tìm GTLN P  Toán Học Sơ Đồ-HỮU XẠ TỰ NHIÊN HƯƠN-ĐT,ZALO 0945943199 Ta có: a b c    bc  ca  ab Lời giải Ta có: a  b  c   2bc  2a  b  c    2bc  a   b  c    4bc  1  bc   1  bc  b c   bc  1 Suy bc   abc a 2a   Từ suy P  , dấu đẳng thức xảy  bc a  b  c a, b, c hoán vị số (1; 1; 0) .9 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN | KỸ THUẬT TỐI ƯU BẤT ĐẲNG THỨC Hoặc ta nhận xét: 1  bc  a2  b  c  a  b  c a  b2  c suy   bc   bc   2 2 a 2a   bc a  b  c a2 b2 c2   3) Cho a, b, c  a  b  c  Tìm GTLN P  a  bc  b  ca  c  ab  2 Lời giải Ta có:  2bc  a  b  c  2bc  a   b  c   2a  b  c    bc  a  b  c  Suy a   bc  a  a  b  c   a2 a  Suy P  , dấu đẳng thức xảy a   bc a  b  c -Toán Học Sơ Đồ (a; b; c) hoán vị số (1; 1; 0) Ví dụ a) Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a  4, b  5, c  a  b2  c  90 Tìm giá trị nhỏ biếu thức P  a  b  c b) Cho số thực a  2; b, c  cho 2a  b2  c2  69 Tìm giá trị nhỏ P  12a  13b  11c (Đề thi thử Archimes, 2018) c) Cho số thực a, b cho  a  b  biết a  b  10 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P  a  b2 d) Tìm số thực a,b,c thỏa mãn: a  b2  c  26; a  b  5; b  c  Lời giải a) Để đưa toán bất đẳng thức đối xứng ta đặt a  x  4, b  y  5, c  z  với x, y, z  Giả thiết toán trở thành:  x     y     z    90 hay 2 x  y  z  x  10 y  12 z  13 Nếu x  y  z  x  y  z  x  y  z  suy LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS VÀ THPT/ĐT,ZALO 0945943199| 10 | KỸ THUẬT TỐI ƯU BẤT ĐẲNG THỨC d) Đặt s  b  c  a   b, c  s  b thay vào điều kiện a  b2  c  26 ta thu được: 5  b  b   s  b   26  3b   s   b  s   Coi phương trình bậc b điều kiện để phương trình có nghiệm là: Δ    s  5   s  1   s  10s  14    s   s    (*), s   s  nên bất s   phương trình (*) tương đương với   2  s  , theo giả thiết s  suy s   s   b  4, a  1, c  Vậy  a, b, c   1;4;3  Ví dụ -Toán Học Sơ Đồ 1 1 a) Cho số thực  a, b  Tìm GTLN, GTNN P   a  b     a b b) Cho số thực a, b, c thỏa mãn  a, b, c  Tìm GTLN, GTNN P a  b2 b2  c2 c2  a   ab bc ac c) Cho số thực a, b, c thỏa mãn  a, b, c  Tìm GTLN, GTNN 1   P   a  b  c  3      a 1 b 1 c 1 d) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: 3a  3b  3c     3b  3c  3a  Lời giải a) Ta có: a  b  ab , Ta có: P   1  2  P  , dấu đẳng thức xảy a  b a b ab a b a  , đặt  t   t  b a b LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS VÀ THPT/ĐT,ZALO 0945943199| 12 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | Ta chứng minh: P    t   2t  5t     t   2t  1  Dấu đẳng t thức xảy a  2, b  a  1, b  Cũng làm theo cách: ab  suy a 2 1 1 1 1 1 1     a  b      2 a  b     a  b     a b a b a b a b b) Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: a  b2  2ab, b2  c  2bc, c  a  2ca suy P  , dấu đẳng thức xảy a  b  c Ta viết lại P  a b b c c a      , khơng tính tổng quát giả sử  a  b  c  thì: b a c b a c a b a  b  a    1  1      , tương tự ta có: c c b  c  b  c b c  b  c    1  1      a a b  a  b  a a c  1 Từ suy P      , để ý rằng:   nên P   t    , ta có: c c a  t 2t  5t   t   2t  1  1 2t       0, t t  t dấu đẳng thức xảy t   c  2a  2b Vậy GTLN P có số lần số cịn lại c) Đặt x  c  1, y  b  1, z  a  suy  x, y, z  Khi ta có: 1 1 x y y z x A   x  y  z          y x z x z x y z Vì x y   nên A  , dấu đẳng thức xảy x  y  z hay a  b  c y z Phần cịn lại làm câu a) Ta có: A  10 13 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN Toán Học Sơ Đồ-HỮU XẠ TỰ NHIÊN HƯƠN-ĐT,ZALO 0945943199  a  1 a     a  3a    a  | KỸ THUẬT TỐI ƯU BẤT ĐẲNG THỨC d) Đặt x  3a  1; y  3b2  1; z  3c2    x; y; z  Bất đẳng thức cần chứng minh trở x y z    , không tính tổng quát ta giả sử y số nằm x z ta có: y z x thành:  y  x  y  z    y  xz  Ta chứng minh: x y z x z y  xz y  x  z  x y x      hay      y z x z x yz yz y z z x z x z          x  z  x  z   bất đẳng thức cuối z x z x ln x   z x   x Dấu đẳng thức xảy (a; b; c) hoán vị số (1; 0; 0) Ví dụ a) Cho số thực a, b, c thỏa mãn: a, b  0, c  a  b  c  Chứng minh rằng: -Toán Học Sơ Đồ 6  a  b  c    abc   a  b  b) Cho số a, b thỏa mãn  Tìm GTLN, GTNN P  a  b2  ab a  b  ab   c) Cho số thực a, b, c, d thay đổi thỏa mãn:  a, b, c, d  Tìm GTLN P a b c d    bcd  acd  abd  abc  Lời giải a) P    a  b  c    abc   6   a  b  c    ab  bc  ca     abc     1  ab  bc  ca   abc  Từ giả thiết suy c    a  b    a  b    a, b  Suy  a  1 b  1 c  1   abc  a  b  c   ab  bc  ca     ab  bc  ca   abc Nên P    abc   abc     a b c   , dấu đẳng thức xảy abc    a  1 b  1 c  1   c  0, a  b  b  0, a  c  a  b  c   LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS VÀ THPT/ĐT,ZALO 0945943199| 14 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | a  b   x b) Đặt a  b   x với x  Ta cần tìm x để hệ  có nghiệm a  b  ab   a  b   x a  b   x  Ta biến đổi giả thiết thành:  Do  a  b   4ab nên ta có: 2  a  b    ab ab    x   2  x 2    x   3   x    Vậy  P   2  x   , x  3; y   P  Khi x  y  x  y  1 P  c) Vì  a, b, c, d   abc   abcd   P  abcd abcd  Do 1  a 1  b   a  b   ab    a  b  c  d   ab  cd    abcd 1  c 1  d    c  d   cd  ab  cd   abcd   abcd 1  ab 1  cd    Vậy P   abcd 1  abcd    , a  0, b  c  d  P  Vậy GTLN P  abcd  abcd Ví dụ a) Cho số thực x, y, z  thỏa mãn: x  y  z  xyz  Tìm GTLN P  xy  yz  zx b) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a  b  c  Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  a  b2  c  abc c) Cho số thực không âm a, b, c cho a3  b3  c3  3abc  Tìm GTNN P  a  b2  c d) Cho số thực a, b, c  1 thỏa mãn: a  b2  c2  Tìm GTLN, GTNN P  a  b3  c Lời giải a) Cách 1: Giả sử x số lớn ta có: x  y  z  3x, xyz  x3 Từ giả thiết ta có: 15 | TÀI LIỆU WORD TỐN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN Toán Học Sơ Đồ-HỮU XẠ TỰ NHIÊN HƯƠN-ĐT,ZALO 0945943199 | KỸ THUẬT TỐI ƯU BẤT ĐẲNG THỨC  x  y  z  xyz  3x  x3  x3  3x     x  1  x  x     x  Ta có: P  xy  yz  zx  x  x  y  z   yz  x  x   xyz   yz  x    x     yz 1  x   Vậy GTLN P 4, đẳng thức xảy x  0; y  z  hoán vị Cách 2: Gọi x số nhỏ Nếu yz  xy  yz  zx  Nếu yz  xyz  x ta có:  x  y  z  xyz  x  y  z  x   x  y  x  z   x  xy  yz  zx  x  P  P Suy P  -Toán Học Sơ Đồ b) Giả sử c  a, b, c   a  b  c  3c  c  Từ giả thiết ta có:  ab  3  c  c   0; 1 Ta có: P    c   c  ab   c  2   c  0  ab    c3  3c  18   P  2c  6c  Với  4 2  c   + Ta có: 16 c  3c  18    c  1  c    16    , dấu đẳng thức xảy a  b  c     4 + Do  c   c  c  1  dẫn tới 2c  6c   2c  c  1  4c   dấu đẳng thức xảy c  0, ab  0, a  b  c  abc  hay c  0, a  3, b  c  0, a  0, b  Kết luận: GTNN P 4, GTLN P Có thể tìm GTNN P theo cách: Trong số a  1, b  1, c  tồn số dấu Giả sử a  1, b  dấu, suy  a  1 b  1   ab  a  b    c Suy  2P   a  b2   2c  2c.ab   a  b   2c  2c   c     c   2c  2c   c  2  c  2c    c  1   suy P  LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS VÀ THPT/ĐT,ZALO 0945943199| 16 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | c) Từ giả thiết ta  a  b  a   a  b  c  ab  bc  ca   hay a  b2  c   ab  bc  ca   a  b  c     ab  bc  ca  abc abc   a  b2  c2   2   a  b  c  Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta abc Do ta  a  b  c    a  b  c  Vậy GTNN P Đẳng thức xảy a  b3  c3  3abc     a  b  c    a  b  0; c   a  c  0, b    a  1, b  c  d) Với số thực a  1 ta có  a  1 a     a  3a    a  3a  , dấu đẳng thức xảy a  1 a  Áp dụng vào tốn ta có: P  a3  b3  c3   a  b  c   12  15 dấu đẳng thức xảy có hai số 2, số -1 Từ giả thiết ta suy 1  a, b, c  Ta có: a  3a  a  a  3  Sủy a P   a  b  c   27 , dấu đẳng thức xảy có số 3, hai số Ví dụ 10 a) Cho số thực x, y, z thỏa mãn: x  y  z  Chứng minh 1  x3  y  z  3xyz  b) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a  b2  c  abc  Tìm GTLN, GTNN P  ab  bc  ca  abc c) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a  b  c  Tìm GTLN, GTNN P  1  4ab   1  4bc   1  4ac  2 17 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN Toán Học Sơ Đồ-HỮU XẠ TỰ NHIÊN HƯƠN-ĐT,ZALO 0945943199 1 2  a  b  c    a  b  c  abc abc abc | KỸ THUẬT TỐI ƯU BẤT ĐẲNG THỨC d) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a  b2  c  a b2  b2 c  c a  Tìm GTLN, GTNN P  a  b  c Lời giải a) Ta có:  x  y  z  3xyz    x  y  z   x  y  z  xy  yz  zz  1  2t 1  t  với 2 2 t  xy  yz  zx Do xy  yz  zx  x  y  z  nên t  1  x, y, z  nên  x  1 y  1 z  1   xyz  x  y  z  xy  yz  zx     xy  yz  zx     xyz  xy  yz  zx  x  y  z     x  1 y  1 z  1  Ta có: 1  2t 1  t   1  2t   t   t   suy P  đpcm 27 Bài tập tương tự: Cho số thực a, b,c cho a  b2  c2  -Toán Học Sơ Đồ Chứng minh: a  b3  c3  abc  2 b) Từ giả thiết suy có số  , giả sử  c  Ta có: P  a  b  c   bc 1  a   , dấu đẳng thức xảy  a; b; c    2; 0;  hoán vị Từ giả thiết suy tồn số b, c thỏa mãn:  b  1 c  1  hay bc  b  c  Ta có  a  b2  c2  abc  a  2bc  abc hay bc   a    a  bc   a Từ ta có: P  a  b  c    c  abc   c  a 1  bc  b  c    a 1  b 1  c   đẳng thức   xảy a  b  c   a; b; c   0; 2; hốn vị c) Từ giả thiết ta có:  a  b  c  a  b  ab  4ab  suy 0  4ab  Suy 1  4ab   1  4bc   1  4ca   , dấu đẳng thức xảy có hai số 0, 2 số Ta có: P  1  4ab   1  4bc   1  4ca     ab  bc  ca   16  a 2b  b c  c a  Ta chứng minh P  2 25  Q  ab  bc  ca   a b  b c  c a   27 27 LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS VÀ THPT/ĐT,ZALO 0945943199| 18 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | Để ý rằng: ab  2a b  ab  Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 81 1  2a b  ab     ab    với ab Từ suy 81 9  2 a  b  c   Q   ab  bc  ca   , lại có ab  bc  ca  suy  suy Q  81 27 27 27 3 d) Ta có: a b2   2ab, b2 c   2bc, c a   2ca   a  b  c  a b   b c   c a   a  b  c   ab  bc  ca    a  b  c  Vậy P  , dấu đẳng thức xảy a  b  c  Ta chứng minh: P  hay P   a  b  c    a  b  c   ab  bc  ca   Theo giả thiết ta có: a  b  c    a b  b c  c a  ta quy toán chứng minh:   a b  b c  c a    ab  bc  ca     ab  bc  ca    a b  b c  c a   Theo giả thiết ta có:  a  b2  c  a b2   b2 c  c a  a  b2  a b2   2ab  2ab  4ab  ab  dẫn tới 2ab  a b  ab   ab   suy đpcm Ví dụ 11 a) Tìm GTLN, GTNN P   x   x   x b) Cho số thực x, y thỏa mãn: x  x   y   y Tìm GTLN, GTNN P  x  y c) Cho số thực x thỏa mãn:  x  Tìm GTLN, GTNN P  x  x    x  x  d) Tìm GTLN, GTNN biểu thức P  x   x  x   x  Lời giải a) Đặt  x  a,  x  b  a, b  0, a  b4  Khi ta có: P  a  b  ab 19 | TÀI LIỆU WORD TỐN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN Tốn Học Sơ Đồ-HỮU XẠ TỰ NHIÊN HƯƠN-ĐT,ZALO 0945943199 đpcm Dấu đẳng thức xảy a  b  c  | KỸ THUẬT TỐI ƯU BẤT ĐẲNG THỨC Ta có bất đẳng thức sau:  x  y    x  y  Thật vậy, BĐT cần chứng minh có dạng: 2  x  y    x  y     x  y   Dấu xảy x  y 2 Áp dụng vào toán ta có:  a  b    a  b2   2.2   a  b  Mặt khác ta có: 4ab   a  b   22   ab  Vậy P  Dấu xảy a  b   x  Ta có a  b  a  b  2a b   a  b   a  b  Do a  b  a  b  2ab   a  b    a  b  Như P  , dấu xảy a  0, b  a  2, b  b) Điều kiện x, y  6  x  y  -Toán Học Sơ Đồ Từ giả thiết ta có:    x  y   x  y   x  y   24   x  y   x  y     x  y    x  y  Dấu xảy x6  y6  x  y  12  ( x  6)( y  6)  x  y  12  x   y  Hay x  y  Vậy GTLN P x  y  Đặt x   a, y   b  a, b  0; a  b  a  b  12 P  a  b2  12  a  b Từ giả thiết ta có: a  b   a  b   2ab  12  a  b   a  b   12 (do a, b  ) Hay  a  b 2   a  b   12    a  b  3 a  b     a  b   P  Dấu xảy a  4, b  a  0, b  tức x  10, y  6 y  10, x  6 c) Đặt   a, b  x   b  x  suy  2 a  b  11  x  a, Biểu thức P có dạng P   a  3 b   b  3 a  ab  a  b    a  b  Đặt a  b  t từ giả thiết ta có:  a  b   2ab  11  4ab  2t  22   a  b   t  t  22 2 Mặt khác ta có: LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS VÀ THPT/ĐT,ZALO 0945943199| 20 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN |          a  a   a       b b 0 b     b   a  24  3 24   11  24     a  b Hay a  b  2  , 2   t  22 Ta có: P  2ab  a  b    a  b    t  11 t  6t  t  t  17  Từ ta có:       17   2    10  P  , dấu đẳng thức  xảy a  3, b  a  8, b   x  x  Ta có: P  22  P  11 5 22 x dấu đẳng thức xảy a  b  2 Cách khác: Ta có:  x  P  x  x    x  x   x    x   Dấu đẳng thức xảy x  x  Ta có: p   x  x    x  x    x   x     x   x  3  x   x  8  x  x  3  Hay P  75   x  x  5x  x  x 5  x   P  75  8  x  x  3  1 Theo bất đẳng thức AM-GM ta có:  x   x  25 ,2 8  x  x  3   x  x   11 nên: 25 275 22 , dấu đẳng thức xảy  x  x  10  P 2 x   x hay x  5 22 Vậy GTNN P , GTLN P 2 d) Điều kiện  x  Ta có  x  9 x   x  9 x    x   x  suy   x   x  , dấu đẳng thức xảy x  x  , theo bất đẳng thwucs AM-GM ta có: x   x   x   x    x  9 x 21 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN   18 hay Toán Học Sơ Đồ-HỮU XẠ TỰ NHIÊN HƯƠN-ĐT,ZALO 0945943199  2P  2   2   | KỸ THUẬT TỐI ƯU BẤT ĐẲNG THỨC x   x  dấu đẳng thức xảy x   x  x  , đặt t  x   x t2  t  t  2t  10   t  1 x 9  x   Ta có P  t  ,   2 2  t     t  suy  t       t  1    10  19  2   P  10   2    t  1  19  nên 2 9  P  Vậy GTLN P x  x  , GTNN P 9 x  2 C.MỘT SỐ BÀI MỞ RỘNG KHÁC 1) Cho số thực không âm a, b thỏa mãn: a  b  Tìm GTLN, GTNN P  a b 1  b a 1 -Toán Học Sơ Đồ Lời giải Tìm GTLN: Ta có  b  1  b 1 b  b3   b 1  dấu đẳng thức xảy 2 2 b  Tương tự ta có: P 2  a  b  3  b  a  3   suy P  2   6  a 1  2 a3 2  2ab  3a  3b  , lại có 4ab   a  b   4 ab  Từ 2 , dấu đẳng thức xảy a  b  Tìm GTNN: ta có P  a  b  1  b2  a  1  2ab Do a, b   2ab  a  1b  1  ab  a  b   a  b2  2ab  a  1b  1  a  1 b  1  , kết hợp với a  b  ta suy P  2ab  a  b   a  b    P  , dấu đẳng thức xảy a  0, b  a  2, b  Kết luận GTLN P 2 , GTNN P LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS VÀ THPT/ĐT,ZALO 0945943199| 22 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | 2) Cho số thực a, b, c  Chứng minh 1 4ab 4ac 4ca      9 2a  2b  2c  1  ab  bc  ca Lời giải Đặt P  1 4ab 4ac 4ca      2a  2b  2c  1  ab  bc  ca Vì a, b    a  1 b  1   ab   a  b Ta có  a  1   a  2a  suy  ab  1  1 4ab 4  , lại có , tương tự ta có đánh giá với   4  4 2a  a  ab  ab  ab ab biểu thức lại vế trái suy ra: P  1 1      12      a b c ab bc ca Từ  a  b   4ab bất đẳng thức Cauchy ta có: 1 suy    ab  a  b 2 a b Toán Học Sơ Đồ-HỮU XẠ TỰ NHIÊN HƯƠN-ĐT,ZALO 0945943199 1 1  4 1       12        4      12 2 2 a b c  a  b b  c c  a  a  b ab bc ca b  c  c  a  Ta có:  a  b  b  c   c  a 2 nên suy P  Dấu đẳng thức xảy a  b  c  3) Cho số thực a, b  thỏa mãn: a  b  Tìm GTNN, GTLN P  a b  b 1 a 1 Lời giải Từ giả thiết a, b   ab  , lại có 4ab   a  b    ab  1 Vậy  ab  , ta viết lại 4 a  b  a  b  a  b   2ab  a  b  2ab    ab  P     2 a  b  ab  a  b  ab   2ab  ab  ab Vì  ab  1          4    1    1    1    12   ab bc ca ab  bc  ca  6 suy   ab        , từ suy  P   ab 4  ab 23 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN | KỸ THUẬT TỐI ƯU BẤT ĐẲNG THỨC Khi a  b  P P  , a  1, b  a  0, b  P  Vậy GTLN P 1, GTNN 4) Cho số thực dương a, b thỏa mãn: a  b  4ab a, b  Tìm GTLN P  a  b2 Lời giải Ta có P  a  b   a  b   2ab  16a b  2ab Với số thực a, b ta có:  a  b   4ab  16a b  4ab   4ab  4ab  1  a, b   4ab   ab  Từ giả thiết a, b    a  1 b  1   ab   a  b    -Toán Học Sơ Đồ  ab  4ab    ab  1 ta có:  ab  Ta biến đổi P sau: P   4ab  1 3ab  1  4a b  5ab    10  1  Dấu đẳng thức xảy 9 a   1 10  b  hay a  1, b  a  , b  Vậy GTLN P  3 ab  , a  b  4ab  5) Cho số thực không âm a, b thỏa mãn điều kiện a  b  2ab  Tìm GTLN GTNN biểu thức P  a3  b3 Lời giải Ta có bất đẳng thức sau: Với x, y  x3  y  xy  x  y  Chứng minh x3  y  xy  x  y    x  y  x  y   Dấu đẳng thức xảy x  y Trở lại toán ta có: a3   a  a  1  a  a, b3   b  b  a  b3  a  b  a  b  , lại có a  b2  2ab suy a3  b3  a  b  2ab   , dấu đẳng thức xảy a  b  LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS VÀ THPT/ĐT,ZALO 0945943199| 24 CHUYÊN ĐỀ HSG VÀ TOÁN CHUYÊN | Từ giả thiết ta suy a  b  , ta có P  a  b3  a  b3  3ab  a  b    a  b   33  27 , dấu đẳng thức xảy a  3, b  a  0, b  6) Cho số thực không âm a, b, c thỏa mãn điều kiện a  b  c   ab  bc  ca   Tìm ab bc ca   2 2 a b b c c  a2 Lời giải ab  a  b  ab  a  b2 Ta có: a b 2  ab 2ab ab Tương tự ta thu bất đẳng thức  2 2 a b a  b2 bc ca   2ab 2bc 2ca   ab suy P          2  2 b c c a  b c c  a2  a b a b Mặt khác ta có: Tốn Học Sơ Đồ-HỮU XẠ TỰ NHIÊN HƯƠN-ĐT,ZALO 0945943199 GTNN biếu thức P   a  b  b  c  c  a  2ab 2bc 2ca 2ab 2bc 2ca Q    1 1 1    3 2 2 2 a b b c c a a b b c c a a  b2 b  c2 c  a2 a  b a b 2  b  c  b c 2  c  a  c a 2  2a  b  c a b c 2 2  2  ab  bc  ca  a b c 2  Suy P  2 thức xảy a  b, c  hoán vị Vậy GTNN P 7) Cho số thực không âm x, y, z thỏa mãn: x  y  z  Tìm GTLN, GTNN P  x  xy  y  y  yz  z  z  zx  x Lời giải Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: x  y  xy suy x  xy  y  x  xy  y  x  y  x  xy  y  xy   x  y  suy 25 | TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS , THPT CHẤT - ĐẸP - TIỆN , dấu đẳng | KỸ THUẬT TỐI ƯU BẤT ĐẲNG THỨC P   x  y    y  z    z  x    x  y  z   12 , dấu đẳng thức xảy x  y  z  Từ giả thiết x, y, z   xy  10 xy  x  xy  y  x  10 xy  y   x  y    x  y  dấu đẳng thức xảy số x, y 0, Từ suy P   x  y  z   , dấu đẳng thức xảy khi có hai số 0, số -Toán Học Sơ Đồ Toán Học Sơ Đồ LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN THCS VÀ THPT/ĐT,ZALO 0945943199| 26 ... Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: a 1 16 a 9a     a  1 9a  1  16a  9a  6a     3a  1  , dấu đẳng thức xảy a 1 16 a  P , tương tự ta có bất đẳng thức cộng... Học Sơ Đồ-HỮU XẠ TỰ NHIÊN HƯƠN-ĐT,ZALO 0945943199 đpcm Dấu đẳng thức xảy a  b  c  | KỸ THUẬT TỐI ƯU BẤT ĐẲNG THỨC Ta có bất đẳng thức sau:  x  y    x  y  Thật vậy, BĐT cần chứng minh... Đồ-HỮU XẠ TỰ NHIÊN HƯƠN-ĐT,ZALO 0945943199 b) làm tương tự câu a ta có: | KỸ THUẬT TỐI ƯU BẤT ĐẲNG THỨC Theo bất đẳng thức Cơ-si ta có: a 1 b 1   a  b  c  suy b 1 a 1 1  1     