(SKKN mới NHẤT) phân tích, định hƣớng nhằm rèn luyện kỹ năng tính góc giữa hai mặt phẳng cho học sinh trƣờng THPT quỳ châu

NỘI DUNG

Cơ sở khoa học

Tư duy là khái niệm triết học phản ánh hoạt động tinh thần của con người, giúp chuyển đổi và cải tạo thế giới thông qua hành động vật chất Qua đó, tư duy giúp con người có nhận thức chính xác về sự vật và có những ứng xử tích cực đối với môi trường xung quanh.

Tư duy phản ánh tích cực hiện thực khách quan dưới dạng các khái niệm, sự phán đoán, lý luận,…

Phát triển năng lực tư duy cho học sinh bao gồm việc hình thành và rèn luyện bốn yếu tố cơ bản của tư duy Điều này liên quan đến việc giúp học sinh phát triển các thao tác tư duy, phẩm chất tư duy và kỹ năng tư duy cần thiết.

Học sinh có thể khám phá và tìm ra lời giải cho các bài toán liên quan đến góc giữa hai mặt phẳng, từ đó phát triển khả năng tư duy và sáng tạo bằng cách xây dựng những bài toán mới dựa trên những phương pháp đã học.

Qua thực tiễn, chúng tôi thấy:

Học sinh thường gặp khó khăn trong môn Toán, đặc biệt là trong chủ đề hình học không gian, do việc tiếp thu kiến thức một cách thụ động và máy móc Điều này dẫn đến sự thiếu hụt tính tích cực, độc lập và sáng tạo trong quá trình học tập.

Chuyên đề góc giữa hai mặt phẳng là một trong những chủ đề khó trong toán học, yêu cầu học sinh vận dụng nhiều kiến thức và phát huy tính tích cực, chủ động cùng trí tưởng tượng phong phú Nhiều học sinh thường chỉ chú trọng đến kết quả cuối cùng, hài lòng với lời giải của mình mà không tìm kiếm các phương pháp giải khác, dẫn đến việc chưa khai thác hết tiềm năng của các bài toán đã giải quyết.

Phương hướng và giải pháp

2.2.1 Phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó

Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì ta nói rằng góc giữa hai mặt phẳng đó bằng 0

Phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng bắt đầu bằng việc xác định hai đường thẳng vuông góc với các mặt phẳng đó.

Khi giải quyết các bài toán liên quan đến hình học không gian, ưu tiên sử dụng phương pháp phân tích các yếu tố vuông góc là rất quan trọng Điều này bao gồm việc nhận diện và làm việc với hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, cũng như hai mặt phẳng vuông góc với nhau.

Để giải toán hiệu quả, cần quan sát, phân tích và dự đoán khả năng xác định hoặc dựng hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng từ giả thiết bài toán Việc nắm vững định lý và các kết quả cơ bản về chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là rất quan trọng Đặc biệt, định lý cơ bản cho biết: nếu hai mặt phẳng vuông góc với nhau, thì bất kỳ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến sẽ vuông góc với mặt phẳng kia.

Bài toán: (Ví dụ 1, sgk, trang 102) Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng

 ABC  Gọi AH là đường cao của tam giác

SAB Ta có các kết quả sau: BC   SAB  ,

Ta xét một số bài toán sau:

Bài toán 1 (Sáng tác) Cho tam giác đều OAB có cạnh ABa Trên đường thẳng d đi qua điểm O và vuông góc với mặt phẳng  OAB  lấy điểm M sao cho

OM  a Gọi E F, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên MB và OB Gọi

 là góc giữa hai mặt phẳng  AOM  và  AEF  Tính cos 

Trong bài toán này, các yếu tố vuông góc đóng vai trò quan trọng Mặt phẳng \( (AOM) \) vuông góc với \( OAB \) giúp xác định đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \( (AOM) \) Hơn nữa, với điều kiện \( AF \perp MB \), có thể suy luận rằng \( MB \perp (AEF) \) Từ đây, phương pháp xác định góc theo định nghĩa sẽ được áp dụng.

Lại có MBAF  MB   AEF    1

+) Gọi N là trung điểm của OA

Từ   1 và   2 suy ra     AOM   , AEF     BM BN ; 

Do BN   OMA   BN  MN hay  BMN vuông tại N Do đó  MBN

BN  a , MB OM 2 OB 2 a 5 cos 15

Bài toán 2 yêu cầu sáng tác một hình chóp S ABCD, trong đó đáy ABCD là hình vuông với cạnh a Tam giác SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.

E là trung điểm của AD, F là hình chiếu vuông góc của E lên SD Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  CEF 

Chúng ta nhận thấy rằng đường thẳng SAB vuông góc với mặt phẳng SBC Do đó, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng SBC sẽ nằm trong mặt phẳng

Lại có, SDEF nên dự đoán

Từ đó ta hướng tới sử dụng phương pháp xác định góc bằng định nghĩa

Lời giải của bài toán như sau:

Gọi H là trung điểm của ABSH  AB

Mà  SAB    ABCD   SH   ABCD 

Gọi K là trung điểm của SBAK SB   1

Vì BCAB và  SAB    ABCD  nên BC   SAB   BC  AK   2

Gọi I là giao điểm của DH và CE Ta có CDE  DAH  c   g c 

ECI HDAIECIDE IECECD 90 HDCE

Mặt khác, SD  EF  SD   CEF    4

Từ    3 , 4 suy ra   SBC   , CEF     SD AK , 

Dựng hình chữ nhật SADG Khi đó SAB DCG là lăng trụ đều

Gọi L là trung điểm của GC DL/ /AK  DL   SBC 

 SBC , CEF   SD AK ,   SD DL , 

Xét SDL vuông tại L    SBC   , CEF     SD AL ,   SDL

Bài toán 3 từ HSG Lâm Đồng năm học 2018-2019 yêu cầu tính côsin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC') và mặt phẳng chứa các điểm M, N, P Trong đó, hình lăng trụ tam giác đều ABC có chiều dài cạnh AB = 2√3 và chiều cao AA' = 3 Điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC' và BC.

Từ đó, ta xác định được hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng

Vậy ta có thể giải bài toán bằng phương pháp sử dụng định nghĩa

Gọi , ,I Q K lần lượt là trung điểm của MN B C, ' ' và AA'

Ta có APPQQA' A A' 3và A AP' 90 o nên tứ giác APQA' là hình vuông

IPQ KQA c g c IPQ KQA PI QK

Ta có B C ' '   APQA '   B C ' '  QK mà MN / / ' ' B C  MN  QK   2

Từ (1) và (2) suy ra QK   MNP    3

Tứ giác APQA' là hình vuông nên AQ A P'   4

QK  2 , KA'/ /PQ, theo định lý Ta-lét:

HQ QK  Áp dụng định lý cosin cho tam giác PHQ ta có:

Một số bài tập áp dụng:

Bài 1 Cho hình chóp S ABC với BAC120 Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA2BC Gọi M N, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên các cạnh SB SC, Tính góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  AMN 

Bài 2 (Tạp chí toán học tuổi trẻ số 535, tháng 1 năm 2022) Cho hình chóp

S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1 Gọi H là trung điểm của AB

, SH 1 và SH   ABCD  Tính  là góc giữa hai mặt phẳng  SAC  và  SBC  ?

Bài 3 Cho hình chóp tứ giác đều S ABCD có các mặt bên là các tam giác đều có diện tích bằng

3 2 3 4 a Gọi   P là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với SC Tính góc giữa hai mặt phẳng   P và  ABCD  ?

Phương pháp 2: Sử dụng cách xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau

Trong phương pháp này, chúng ta chia làm 2 loại sau:

+) Trong  dựng đường thẳng ad tại I ; trong    dựng b  d tại I Khi đó: d b a β α d α β

Lưu ý: Để tính   a b , , thường thì ta xác định

A a , Bb sao cho tính được AI , BI, AB

Trường hợp đặc biệt của loại 2:

Xét một số bài toán sau đây:

Bài toán 1 (Khai thác giả thiết đề HSG tỉnh Nghệ An năm 2021- 2022) Cho hình hộp ABCD A B C D 1 1 1 1 có đáy ABCD là hình thoi, ABa, góc ABC60 0 ,

B A 1  ABCD Góc giữa B C 1 và  ABCD  bằng  sao cho cot 1

  2 Gọi M là trung điểm của CC 1 Tính góc giữa hai mặt phẳng  BA M 1  và  A B C D 1 1 1 1 

Ta xác định được giao tuyến BE 

Từ đây ta thấy thỏa mãn điều kiện phương pháp xác định góc loại 1

Ta có:   BA M 1   , A B C D 1 1 1 1      BA M 1   , ABCD   b a

+) B là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng  BA M 1  và  ABCD 

+) Trong mặt phẳng  ACC A 1 1 , kéo dài AC và A M 1 cắt nhau tại E

ACCEBCa ABBE   1

Lại có BE B A 1 BE  ABB A 1 1 BE BA 1   2

Gọi N  AB 1 A B 1  AB A B, 1   AB NB, NBA

+) AC là hình chiếu vuông góc của B C 1 trên mặt phẳng  ABCD  nên ta có:

Tam giác B AC 1 vuông tại A nên ta có: 1

Do đó NAB vuông cân tại A, suy ra NBA45

Nhận xét: i) Trong lời giải trình bày ở trên, nếu không phát hiện ABBE thì ta có thể giải quyết như sau:

Kẻ AH BENH BE

  Để tính AHN cần tính AH và có thể theo hướng:

S  AB AE và BE 2  AB 2  AE 2 2AB AE .cos60

Từ đó ta giải được bài toán ii) Có thể hướng dẫn học sinh xác định giao tuyến song song như sau:

Gọi H là trung điểm của CD, ta có:

NAHM là hình chữ nhật

 Mà B là điểm chung của hai mặt phẳng  BA M 1  và  ABCD 

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng d đi qua B và song song với AH MN,

 thỏa mãn điều kiện của phương pháp xác định góc loại 2 iii) Nếu gọi ,P Q lần lượt là trung điểm của AB và AA 1 Khi đó:

Khi đó, bài toán trở nên đơn giản hơn

Tiếp theo, chúng ta xét bài toán sau đây cần xác định giao tuyến bằng phương pháp dựng giao tuyến song song

Bài toán yêu cầu tính cosin góc giữa hai mặt phẳng GMN và ABCD trong hình chóp S ABCD, với đáy là hình vuông cạnh a Tam giác SAB là tam giác đều, nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy, và G là trọng tâm của tam giác này M và N là trung điểm của cạnh SC và SD, tương ứng.

Nếu xác định được một điểm chung I giữa hai mặt phẳng, thì giao tuyến của chúng sẽ là một đường thẳng đi qua điểm I và song song với các đường MN và CD.

Từ đó ta thấy bài toán thỏa mãn điều kiện trường hợp đặc biệt của phương pháp xác định góc loại 2 d

Gọi H là trung điểm của AB

  Gọi J là trung điểm của CD Trong mặt phẳng

 SCD  , gọi K là giao điểm của SJ và MN

Trong mặt phẳng  SHJ  , gọi E là giao điểm của HJ và KG

Vì MN / /CD nên giao tuyến của hai mặt phẳng  GMN  và  ABCD  là đường thẳng d đi qua điểm E và song song với CD MN,

Vì d SH d  SHJ  d KG d HJ

Do đó,   GMN   , ABCD     KE EJ , 

Gọi F là trung điểm của HJ KFEJ   KE EJ ,   KEF

Ngoài việc xác định giao tuyến giữa hai mặt phẳng, một phương pháp khác để tìm điểm chung thứ hai là xác định giao điểm của hai đường GN và DH.

Trong phương pháp này, bài toán cuối cùng chúng tôi trình bày là việc xác định giao tuyến bằng cách tìm hai điểm chung giữa hai mặt phẳng, hoặc xây dựng giao tuyến song song.

Bài toán 3 từ kỳ thi chuyên ĐH Vinh năm 2018 yêu cầu tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (AMC) và (SBC) trong hình chóp S ABCD, với đáy là hình vuông cạnh a và cạnh bên SA = 2a, vuông góc với mặt phẳng đáy Đặc biệt, M được định nghĩa là trung điểm của cạnh SD.

Phân tích: Ta thấy C là điểm chung thứ nhất của 2 mặt phẳng  ACM  và  SBC 

Hướng 1: Điểm chung thứ 2 là giao điểm của AM với mặt phẳng  SBC  d I

Chọn  SAD   AM , ta có S là điểm chung của hai mặt phẳng  SAD  và  SBC  ,

Trong không gian ba chiều, giao tuyến của hai mặt phẳng \( (SAD) \) và \( (SBC) \) là đường thẳng \( d \) đi qua điểm \( S \) và song song với đoạn thẳng \( AD \) và \( BC \) Trong mặt phẳng \( (SAD) \), khi kéo dài đoạn thẳng \( AM \), nó sẽ cắt đường thẳng \( d \) tại điểm \( E \), tạo thành điểm chung thứ hai.

Hướng 2: Gọi N là trung điểm của

SC, khi đó MN / /AB, 1

Kéo dài AM và BN cắt nhau tại

E, suy ra E là điểm chung thứ hai

Hướng 3: Dựng giao tuyến song song

Gọi O ACBDMO/ /SB

Vậy giao tuyến của 2 mặt phẳng là đường thẳng đi qua C và song song với MO SB,

Tuy nhiên, để dễ dàng trong tính toán, chúng ta nên dựng hình bình hành SBCE

Từ đây ta thấy thỏa mãn điều kiện của phương pháp xác định góc loại 1 hoặc loại

Ta có C là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng  AMC  và  SBC 

Gọi N là trung điểm của SC, ta có: / / , 1

Thực nghiệm sư phạm

Kiểm tra tính hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Thực hiện theo nội dung của sáng kiến kinh nghiệm

Chúng tôi chọn đối tượng thực nghiệm là học sinh lớp 12A1 (năm học 2020-

2021), 12D (năm học 2020-2021) trường THPT Quỳ Châu

Chúng tôi đã tiến hành nghiên cứu kỹ lưỡng và nhận thấy trình độ môn toán của các lớp 12A1, 12D trong năm học 2020-2021 và 2021-2022 tương đương nhau Dựa trên kết quả này, lớp 12A1, 12D (2021-2022) được chọn làm lớp đối chứng cho nghiên cứu.

2.4.3.2 Thời gian thực nghiệm sư phạm

Thực nghiệm diễn ra từ 20/02/2021 đến 20/05/2021, với tổng cộng 15 tiết dạy cho mỗi lớp, bao gồm 2 bài kiểm tra Đa phần thời gian giảng dạy được tập trung vào các tiết luyện tập, tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi và ôn thi THPT quốc gia.

2.4.3.3 Tổ chức thực hiện Ở lớp dạy thực nghiệm:

- Dạy theo nội dung sáng kiến trong các giờ luyện tập, tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi

Quan sát hoạt động học tập của học sinh giúp đánh giá mức độ phát huy tính tích cực và tự giác của các em, đồng thời xác định khả năng phát triển tư duy sáng tạo trong quá trình học.

- Tiến hành 2 bài kiểm tra sau khi thực nghiệm

Chúng tôi cung cấp cho học sinh các bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng từ các đề thi chính thức và đề thi thử THPT Quốc gia, cũng như đề thi tuyển sinh học sinh giỏi tại các tỉnh và thành phố trên toàn quốc Ở lớp đối chứng, việc giải quyết những bài toán này giúp củng cố kiến thức và kỹ năng cần thiết cho kỳ thi.

Giáo viên tiến hành quan sát hoạt động học tập của học sinh trong lớp để so sánh với giáo viên giảng dạy các bài tập có nội dung tương tự trong sáng kiến kinh nghiệm, nhưng không tuân theo phương pháp của sáng kiến đó.

- Tiến hành cùng một đề kiểm tra như lớp thực nghiệm

Khi bắt đầu quá trình thực nghiệm, nhiều học sinh thường cảm thấy e ngại với các bài toán hình học không gian, đặc biệt là bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng Chất lượng trả lời các câu hỏi và giải bài tập chủ yếu chỉ đạt mức độ nhận biết và thông hiểu, trong khi chỉ một số ít học sinh có khả năng giải quyết các bài toán vận dụng.

Qua quá trình giảng dạy và quan sát các tiết học thực nghiệm và đối chứng, chúng tôi nhận thấy rằng lớp thực nghiệm thể hiện sự tích cực và chủ động hơn, với hoạt động học tập sôi nổi và linh hoạt Các em đã có những định hướng rõ ràng trong việc phân tích và tìm lời giải cho bài toán tính góc giữa hai mặt phẳng Ngược lại, lớp đối chứng vẫn còn hoạt động học tập bị động, chưa đủ tích cực, và gặp nhiều khó khăn trong việc tìm lời giải cho các bài toán.

Nhiều học sinh lớp thực nghiệm đã thành công trong việc giải quyết các bài toán về tính góc giữa hai mặt phẳng trong các đề thi chính thức và đề thi thử THPT Quốc gia, cũng như các đề thi chọn học sinh giỏi trên toàn quốc Sau khi được học theo nội dung của sáng kiến, hầu hết học sinh đã tăng cường sự hứng thú với hình học không gian, đặc biệt là các bài toán liên quan đến chủ đề góc.

Trong kỳ thi TNTHPT Quốc gia năm học 2021, học sinh lớp 12A1 và 12D đã có sự tiến bộ rõ rệt nhờ vào chương trình bồi dưỡng Nhiều em đã giải quyết thành công các bài toán hình học không gian ở mức độ vận dụng và vận dụng cao, với nhiều học sinh đạt điểm từ 8 trở lên, trong đó có em đạt 9,6 điểm môn Toán.

Căn cứ vào kết quả thực nghiệm trên, bước đầu có thể thấy được một kết quả khả quan khi áp dụng đề tài vào dạy học.