(SKKN mới NHẤT) phân tích, định hƣớng nhằm rèn luyện kỹ năng tính góc giữa hai mặt phẳng cho học sinh trƣờng THPT quỳ châu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN TRƢỜNG THPT QUỲ CHÂU TRƢỜNG THPT THANH CHƢƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đề tài: “Phân tích, định hƣớng nhằm rèn luyện kỹ tính góc hai mặt phẳng cho học sinh trƣờng THPT Quỳ Châu” Lĩnh vực Đồng tác giả Tổ Điện thoại : Toán học : Nguyễn Hữu Văn, Hồng Thành Đạt : Tốn – Tin : 0898613455, 0339563456 Năm thực hiện: 2021 - 2022 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MỤC LỤC PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Tính đề tài 1.3 Khả ứng dụng triển khai đề tài 1.4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1.5 Phương pháp nghiên cứu PHẦN II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở khoa học 2.1.1 Cơ sở lý luận 2.1.2 Cơ sở thực tiễn 2.2 Phương hướng giải pháp 2.2.1 Phương pháp tính góc hai mặt phẳng Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa góc hai mặt phẳng Phương pháp 2: Sử dụng cách xác định góc hai mặt phẳng Phương pháp 3: Sử dụng cơng thức diện tích hình chiếu 13 Phương pháp 4: Sử dụng khoảng cách 17 Phương pháp 5: Sử dụng kết toán sau: 24 Phương pháp 6: Phương pháp tọa độ hóa 29 2.2.2 Tìm nhiều cách giải khác cho tốn tính góc 33 2.2.3 Ứng dụng giải tốn tính góc hai mặt phẳng 41 2.3 Thực nghiệm sư phạm 48 2.4.1 Mục đích thực nghiệm 48 2.4.2 Nội dung thực nghiệm 48 2.4.3 Tổ chức thực nghiệm 48 2.4.3.1 Đối tượng thực nghiệm 48 2.4.3.2 Thời gian thực nghiệm sư phạm 48 2.4.3.3 Tổ chức thực 49 2.4.3.4 Kết thực nghiệm 49 PHẦN III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 50 Kết luận 50 Kiến nghị 50 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý chọn đề tài Điều 7, khoản 2, Luật Giáo dục ghi: “Phương pháp giáo dục phải khoa học, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo người học; bồi dưỡng cho người học lực tự học hợp tác, khả thực hành, lòng say mê học tập ý chí vươn lên” Yêu cầu đổi phương pháp dạy học tích cực theo định hướng phát triển lực yêu cầu cần thiết giáo viên Trong trình dạy học mơn tốn trường trung học phổ thơng, chúng tơi nhận thấy tầm quan trọng việc rèn luyện tư thơng qua tốn hình học khơng gian Các tốn hình học khơng gian giai đoạn gần khai thác đa dạng.Trong kể đến tốn tính góc hai mặt phẳng Đây toán thường xuyên xuất đề thi học sinh giỏi đề thi THPT Quốc gia.Tuy nhiên, thực tế giảng dạy nhận thấy: Các em học sinh giải tốn cịn gặp nhiều khó khăn việc phân tích, định hướng để lựa chọn cho phương pháp giải toán cách phù hợp, thi hình thức trắc nghiệm địi hỏi mặt thời gian Vì vậy, chúng tơi lựa chọn đề tài “Phân tích, định hướng nhằm rèn luyện kỹ tính góc hai mặt phẳng cho học sinh trường THPT Quỳ Châu” nhằm giải khó khăn nói Từ đó, tạo hứng thú cho học sinh học chuyên đề góc hai mặt phẳng nói riêng chủ đề hình học khơng gian nói chung 1.2 Tính đề tài - Thứ nhất, đề tài trình bày sở lý luận sở thực tiễn vấn đề phát triển lực tư cho học sinh thơng qua việc tìm lời giải tốn tính góc hai mặt phẳng - Thứ hai, đề tài đưa phương pháp thường dùng để xác định tính góc hai mặt phẳng, đồng thời xây dựng hệ thống tập tương ứng với phương pháp, đưa số toán mức độ vận dụng, vận dụng cao tác giả tự xây dựng phân tích, định hướng nhằm rèn luyện tư cho học sinh giải tốn tính góc hai mặt phẳng hình học khơng gian - Thứ ba, đề tài xây dựng hệ thống tập đưa phân tích, định hướng giúp học sinh tìm nhiều cách giải khác cho toán 1.3 Khả ứng dụng triển khai đề tài Đề tài có khả áp dụng triển khai cho học sinh trung học phổ thông: học sinh khá, HSG, học sinh ôn thi TN THPT thầy dạy Tốn THPT tham khảo 1.4 Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Học sinh khối 11 12 trường THPT Quỳ Châu - Các tốn góc hai mặt phẳng vấn đề liên quan đến góc khơng gian TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 1.5 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp điều tra, phân tích; phương pháp thực nghiệm PHẦN II NỘI DUNG 2.1 Cơ sở khoa học 2.1.1 Cơ sở lý luận Tư phạm trù triết học dùng để hoạt động tinh thần, đem cảm giác người ta sửa đổi cải tạo giới thông qua hoạt động vật chất, làm cho người ta có nhận tức đắn vật ứng xử tích cực với Tư phản ánh tích cực thực khách quan dạng khái niệm, phán đoán, lý luận,… Phát triển lực tư hình thành rèn luyện cho học sinh yếu tố tư gắn liền với việc hình thành phát triển cho học sinh thao tác tư duy, phẩm chất tư duy, kỹ tư Từ toán phương pháp tính góc hai mặt phẳng, học sinh tự tìm tịi lời giải phù hợp cao khai thác phát biểu thành toán 2.1.2 Cơ sở thực tiễn Qua thực tiễn, chúng tơi thấy: - Học sinh cịn yếu mơn Tốn kiến thức thụ động, máy móc, thiếu tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân, đặc biệt chủ đề hình học khơng gian - Chun đề góc hai mặt phẳng chuyên đề khó phải vận dụng nhiều kiến thức, địi hỏi học sinhphải phát huy tính tích cực, chủ động trí tưởng tượng cao Nhiều học sinh quan tâm đến kết quả, thường hài lòng với lời giải mà tìm tịi lời giải khác đồng thời mở rộng khai thác toán vừa giải 2.2 Phương hướng giải pháp 2.2.1 Phương pháp tính góc hai mặt phẳng Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng song song trùng ta nói góc hai mặt phẳng 0 Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa góc hai mặt phẳng Để sử dụng phương pháp này, cần xác định hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng +) Hướng ưu tiên sử dụng phương pháp: Trong đề có nhiều yếu tố vng góc với hai đường thẳng vng góc, đường thẳng vng góc với mặt phẳng, hai mặt phẳng vng góc với TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com +) Kinh nghiệm giải toán: Quan sát, phân tích dự đốn xem từ giả thiết tốn ta xác định dựng hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng hay khơng? Đặc biệt, cần nắm vững định lí nhớ số kết toán chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng, vận dụng linh hoạt để xác định đường vng góc với mặt phẳng Chúng tơi đưa định lý toán sử dụng nhiều sau đây: Định lí: Nếu hai mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến vng góc với mặt phẳng Bài tốn: (Ví dụ 1, sgk, trang 102) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác ABC vng B có cạnh SA vng góc với mặt phẳng  ABC  Gọi AH đường cao tam giác SAB Ta có kết sau: BC   SAB  , AH  SC S H C A B Ta xét số toán sau: Bài toán (Sáng tác) Cho tam giác OAB có cạnh AB  a Trên đường thẳng d qua điểm O vng góc với mặt phẳng  OAB  lấy điểm M cho OM  2a Gọi E, F hình chiếu vng góc A MB OB Gọi  góc hai mặt phẳng  AOM   AEF  Tính cos Phân tích: Trong tốn có nhiều yếu tố vng góc Nhận thấy mặt phẳng  AOM    OAB  nên dễ xác định đường thẳng vng góc với mặt phẳng  AOM  Lại có AF  MB nên dự đốn MB   AEF  Từ hướng tới sử dụng phương pháp xác định góc định nghĩa M F E O B N A Giải +) Ta có:  AE  OB  AE   OMB   MB  AE  AE  MO  TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Lại có MB  AF  MB   AEF  +) Gọi N trung điểm OA  BN  OA  BN   OAN  1  2 Từ 1   suy     AOM  ,  AEF     BM ; BN  Do BN   OMA  BN  MN hay BMN vuông N Do   MBN Ta có: BN   cos   a , MB  OM  OB2  a BN 15  BM Bài tốn (Sáng tác) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a , tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Gọi E trung điểm AD , F hình chiếu vng góc E lên SD Tính cosin góc hai mặt phẳng  SBC   CEF  Phân tích: Ta nhận thấy  SAB    SBC  Vậy ta xác định đường thẳng vng góc với mặt phẳng  SBC  đường S thẳng nằm mặt phẳng  SAB  vng góc với đường thẳng SB Lại có, SD  EF nên dự đốn SD   CEF  Từ ta hướng tới sử dụng phương pháp xác định góc định nghĩa G K L F B C H A I E D Lời giải toán sau: Giải Gọi H trung điểm AB  SH  AB Mà  SAB    ABCD   SH   ABCD  Gọi K trung điểm SB  AK  SB 1 Vì BC  AB  SAB    ABCD  nên BC   SAB   BC  AK  2 Từ 1 ,    AK   SBC   3 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Gọi I giao điểm DH CE Ta có CDE  DAH  c  g  c   ECI  HDA  IEC  IDE  IEC  ECD  90  HD  CE Ta có:  HD  CE  CE   SHD   CE  SD  SH  CE   4 Mặt khác, SD  EF  SD   CEF  Từ  3 ,   suy  SBC ,CEF    SD, AK  Dựng hình chữ nhật SADG Khi SAB.DCG lăng trụ Gọi L trung điểm GC  DL / / AK  DL   SBC      SBC  ,  CEF    SD, AK    SD, DL    Xét SDL vuông L   SBC  ,  CEF    SD, AL   SDL Ta có: cos SDL  DL  AK  DL SD a a a , SH  , HD   SD  a 2 2 a DL  cos SDL    SD a Bài toán (HSG Lâm Đồng, năm học 2018-2019) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A' B ' C ' có AB  3, AA '  Gọi M , N , P trung điểm cạnh A ' B ', A ' C ' , BC Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng  AB ' C '  MNP  Phân tích:   AA ' P    AB 'C '  Nhận thấy  Ta cần xác định AA ' P  PMN         AA ' P    AB ' C '  a    AA ' P    PMN   b Từ đó, ta xác định hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com C A P B K A P H K N C' A' M I Q B' H A' I Q Vậy ta giải tốn phương pháp sử dụng định nghĩa Giải Gọi I , Q, K trung điểm MN , B ' C ' AA ' Ta có AP  PQ  QA '  A ' A  A ' AP  90o nên tứ giác APQA ' hình vng IPQ  KQA '  c  g  c   IPQ  KQA '  PI  QK 1 Ta có B ' C '   APQA '  B ' C '  QK mà MN / / B ' C '  MN  QK  2 Từ (1) (2) suy QK   MNP   3 Tứ giác APQA ' hình vng nên AQ  A ' P  4 Lại có B ' C '   APQA '  B ' C '  A ' P  5 Từ   ,  5  A ' P   AB ' C '  6 Từ  3 ,     AB 'C ' ,  MNP    A 'P, QK  Ta có: A ' P  , QK  , KA '/ / PQ , theo định lý Ta-lét: 2 HP HQ PQ     HP  A ' P  2 , HQ  QK  3 HA ' HK KA ' Áp dụng định lý cosin cho tam giác PHQ ta có: TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2      HP  HQ  PQ cos PHQ  HP.H Q 2 Vậy cos   AB ' C '  ,  MNP    2  32 2 10  10 Một số tập áp dụng: Bài Cho hình chóp S ABC với BAC  120 Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy SA  2BC Gọi M , N hình chiếu vng góc A cạnh SB, SC Tính góc hai mặt phẳng  ABC   AMN  Bài (Tạp chí tốn học tuổi trẻ số 535, tháng năm 2022) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Gọi H trung điểm AB , SH  SH   ABCD  Tính  góc hai mặt phẳng  SAC   SBC  ? Bài Cho hình chóp tứ giác S ABCD có mặt bên tam giác có 3a diện tích Gọi  P  mặt phẳng qua A vng góc với SC Tính góc hai mặt phẳng  P   ABCD  ? Phương pháp 2: Sử dụng cách xác định góc hai mặt phẳng cắt Giả sử        d , α a   a    , a  d  b   , b  d     Khi đó: d  ,     a,b b β Trong phương pháp này, chia làm loại sau: Loại 1: +) Xác định d        α S +) Xác định SH     với S    , H     Kẻ HI  d  SI  d Vậy  ,     SI , HI   SIH Loại 2: +) Xác định d        +) Xác định I  d +) Trong  dựng đường thẳng a  d I ;    dựng b  d I Khi đó: d I H β α a d I β b TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com  SADE  a  VSAED a3 ,  SADE SA  3 SE  SA2  AE  a , SSAE  SA AE  a SAE cân S  SC  DE  SC  SE  EC  2a  SSDE  SC.DE  2a a3 3 .a 15  Vậy sin    cos    sin   2 2.a 2a Cách sin   d  D,  SAE   S d  D, SE  Ta có:  DB  AE  DB   SAB    DB  SA  d  D,  SAB    DB  a Kẻ DH  SE  d  D, SE   DH SC.ED 4a Ta có DH SE  SC.ED  DH   SE 15 Vậy sin    cos  4 Cách Ta có:  SAB    SCD   SE Kẻ DH  SE (1)  BD  AB  BD   SAB   BD  SE Vì   BD  SA  SE   BDH   SE  BH (2) Tam giác ADE cạnh 2a  BD  a D H A C B E S A D H C B Từ 1 ,     SAB , SCD   BH , DH   DHB E 37 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com EHB  EAS  HB EB EB.SA a 4a   HB    HD  BH  BD  SA SE SE 5  cos  cos BHD  BH  DH Cách Ta có: BD   SAB  S Kẻ CH / / BD với H  AB  CH   SAB   SBH hình chiếu vng góc SCD Gọi M trung điểm AD Gọi I  MC  BD  IBHC hình chữ nhật a  BH  CI  a2 Ta có: SSBH  SA.BH  M D A I C B H  DC  AC  DC   SAC   CD  SC  SSCD  SC.CD , Lại có:   DC  SA AC  AD2  CD2  a , SC  SA2  AC  2a  SSCD  a Vậy cos   SSBH  SSCD Nhận xét: Nếu học sinh xác định giao tuyến SE sử dụng cơng thức S cos   SBE Việc tính tốn trở nên nhẹ nhàng SSDE Cách Ta có: BD   SAB  1 Kẻ AH  SC H  AH  CD  AH   SCD  Gọi F  AC  BD Kẻ FE / / AH  E  SC   FE   SCD    S H   Từ 1 ,     SAB  ,  SCD    FB, FE    FBC  FDA  g  g    BF  BD  FB FC BC    FD FA AD E D F A B C a 3 38 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com  FA  AB  BF  +) AH  SA AC SA2  AC  2a a  FC  3 a CFE  CAH  g  g   CF FE a a  EC  FC  FE     FE  CA AH +) SBC có BC  a , SB  a , SC  2a  cos SCB   BE  CE  CB  2CE.CB.cos ECB  Vậy cos   cos BFE  BF  EF  BE 2 BF EF a 2  Cách Dựng hình thang ADCE vng A E Dựng hệ trục tọa độ hình vẽ Khi đó: a  A  0;0;0  , E  ;0;0  , D  0;2a;0  ,   z S a a   a 3a  S  0;0; a  , B  ; ;0  , C  ; ;0  2 2     Gọi n1 , n2 véc tơ pháp tuyến hai mặt phẳng  SAB   SCD  Ta có: A D E C y B x a a  ; ;0  +) AS   0;0; a  , AB   2    a2 a2    AS , AB     ; ;0   n1  1; 3;0 2      a 3a  ; ; a  ; SD   0;2a; a  +) SC    2  39 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com  a2 a2    SC , SD     ;  ; a   n2  1; 3;2         Gọi    SAB  ,  SCD  , ta có: cos   cos n1 , n2  n1.n2 n1 n2  Cách Ngoài cách giải trên, sử dụng phương pháp dựng mặt phẳng song song sau: Gọi M , N trung điểm AD , SA Khi đó, MN / / SD BM / /CD ,  BMN  / /  SCD  Vậy  SAB, SCD   SAB, BMN  Từ tốn cho tốn: Cho hình chóp NABM có đáy ABM tam a giác cạnh a , NA   ABM  , NA    Tính cos  NAB  ,  NMB  S N D A M B C Đến đây, sử dụng phương pháp để giải toán Một số tập áp dụng Bài (Đề tham khảo năm 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A1B1C1 có AB  , AA1  Gọi M , N , P trung điểm cạnh A1B1 , AC 1 BC Tính cosin góc tạo hai mặt phẳng  AB1C1   MNP  Bài (Toán học tuổi trẻ, số 535, tháng năm 2022) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh Gọi H trung điểm AB , SH  SH   ABCD  Tính  góc  SAC   SBC  Bài (HSG Nam Định 2018-2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặt phẳng  ABC  , đáy ABC tam giác vuông cân B , AC  a Gọi G trọng tâm tam giác SAB K hình chiếu vng góc đỉnh A cạnh SC Gọi  góc hai mặt phẳng  ABC   AGK  Tính cos , biết a khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng  KBC  40 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.2.3 Ứng dụng giải tốn tính góc hai mặt phẳng đề thi Học sinh giỏi đề thi trắc nghiệm Bài toán (Học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc, Năm học 2021-2022, Tự luận) Cho hình chóp S ABCD có SA vng góc với đáy, ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính AC Gọi M , N hình chiếu vng góc điểm A lên hai đường thẳng SB SD Biết SA  a , BD  a góc BAD  600 Tính cosin góc hai mặt phẳng  AMN   ABCD  Phân tích: Trong tốn này, ta tìm thấy S đường vng góc với mặt phẳng N  ABCD  SA Lại có, M , N hình chiếu A lên cạnh SB, SD , giả thiết quen thuộc liên tưởng tới toán M Tuy nhiên, để vận dụng D A tốn cần phải tìm thêm yếu tố vng góc mặt đáy Điều hồn tồn giải giả thiết C ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn B đường kính AC Từ ta xác định đường thẳng vng góc với mặt phẳng  AMN  Vì vậy, ta giải toán phương pháp sử dụng định nghĩa Giải Tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính AC nên AB  BC AD  DC +) BC  AB, BC  SA  BC   SAB   BC  AM ; +) AM  BC, AM  SB  AM   SBC   AM  SC ; +) CD  SA, CD  AD  CD   SAD   CD  AN ; +) AN  SD, AN  CD  AN   SCD   AN  SC ; SC  AM  SC   AMN  Do  AMN , ABCD   SA, SC  Do AC đường kính đường trịn ngoại tiếp ABCD nên đường trịn có bán AC BD a AC    a  AC  2a kính Xét tam giác ABD có: 2 2sin ABD 2sin 60 41 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Tam giác SAC vuông A nên SC  SA2  AC  a  4a  a  cos ASC  SA 1   cos  SA, SC   SC 5   Vậy cos  AMN  ,  ABCD   Sau toán tương tự: Bài (HSG Tỉnh Đồng Tháp, năm học 2021-2022) Cho hình chóp S ABCD có SA   ABCD  , SA  AB , ABCD tứ giác nội tiếp đường trịn đường kính AC , ACB  60 Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên SB , SD Tính tang góc hợp hai mặt phẳng  AHK   ABCD  A B C D Bài toán (HSG Tỉnh Quảng Nam, năm học 2021-2022) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình thang vng A B , AB  BC , AD  AB Biết SA vng góc với mặt phẳng đáy  ABCD  , SA  2a VS ABCD  3a3 Gọi  góc  SCD   ABCD  Tính tan  A tan   B tan   C tan   D tan   Phân tích: S A B A M B C D D C Giao tuyến hai mặt phẳng  SCD   ABCD  CD Lại có SA   ABCD  , từ ta thấy thỏa mãn điều kiện phương pháp xác định góc loại Giải +)  SCD    ABCD   CD +) Gọi M trung điểm AD , đó: 42 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com MCD vuông cân M  MCD  45 , MAC vuông cân M  ACM  45 1  ACD  90 , hay AC  CD Ta có: CD  AC  CD   SAC   SC  CD  CD  SA  2   Từ 1 ,       SCD  ,  ABCD    AC , SC   SCA Theo giả thiết, ta có: VS ABCD AD  BC  AB AB  AB  AB SA AB 1    SA.S ABCD  SA  SA  3 2  AB  2VS ABCD 2.3a3   3a  AB  a SA 2a  AC  AB2  AC  a Tam giác SAC vng A , ta có: tan   tan SCA  Vậy tan   SA  AC Chọn C Bài toán Cho lăng trụ đứng tam giác ABC A' B ' C ' có cạnh đáy a , cạnh bên 2a Trên cạnh AA ' , BB ' , CC ' lấy điểm M , N , a 3a Tính cosin góc  hai P cách mặt đáy  ABC  khoảng , a , 2 mặt phẳng  MNP   ABC  A B C 13 Phân tích: D 15 C' A' Dễ nhận thấy ABC hình chiếu vng góc MNP mặt phẳng  ABC  Vậy ta giải tốn theo hướng sử dụng cơng S thức: cos   ABC S MNP B' P K M N H I C A B 43 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Giải Nhận thấy hình chiếu vng góc tam giác MNP mặt phẳng  ABC  tam giác ABC Gọi H trung điểm NB Gọi I , K nằm đoạn CP cho CI  IK  KP Áp dụng định lí Pytago ta tính được: MN  a a , MP  a , NP  2 Suy SMNP S a2 Vậy cos   ABC  Chọn A  SMNP Bài tốn Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình thoi, ABC  60 SABC hình chóp có tất cạnh a Gọi M trung điểm SD Tính sin góc tạo hai mặt phẳng  MAC   SBC  ? A B C D Phân tích: Gọi N trung điểm SC, P  AM  BN Ta có:  MAC    SBC   CP Mặt khác, S P  MAC , SBC    PAC , PBC  N Ở ta thấy xuất hình chóp P ABC Mà đỉnh hình chóp có vị trí xác định nên ta tính đại lượng: VP ABC , CP, SPBC , SBAC Do đó, ta giải tốn theo hướng sử dụng công thức 3V CP sin   PABC 2S PBC S PAC M B C H A Giải : Gọi N trung điểm SC , ta có: MN / / AB, MN  D AB Kéo dài AM BN cắt P   AMC    SBC   CP M trung điểm AP , N trung điểm BP  SBCP SADP hình bình hành     Gọi    MAC  ,  SBC    PAC  ,  PBC  Khi đó: sin   3VPABC PC 2S PAC S PBC 44 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Gọi H trọng tâm tam giác ABC  SH   ABCD  Ta có: SH  S PBC  S SBC a a3 a2 , S ABC   VSABC  S ABC SH  3 12 a2 , PC  SB  a   AC  BD  AC   SBD   AC  SB Mà SB / / PC  AC  PC Mặt khác,  AC  SH   S PAC a2 3V PC  AC.CP  Vậy sin   PABC Chọn B  2 2S PAC S PBC Nhận xét: Chúng ta giải tốn phương pháp xác định giao tuyến song song sau: +) Gọi I  AC  BD Khi MI / / SB , giao tuyến hai mặt phẳng  MAC   SBC  đường thẳng qua C S song song với MI , SB K +) Từ đây, ta kẻ CK  SB K M  IK  SD B Lại có: CI  MI H Khi đó, tam giác CKI vng I nên: I KI A D sin   CK Như vậy, việc tạo MI / / SB điểm mấu chốt phương pháp d C Bài toán (HSG Lâm Đồng 2018) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A' B ' C ' có AB  3, AA '  , Gọi M , N , P trung điểm cạnh A ' B ', A ' C ' , BC Tính cơsin góc tạo hai mặt phẳng  AB ' C '  MNP  A 10 10 B 10 C D 10 Phân tích: Do ABC A ' B ' C ' hình lăng trụ tam giác nên có nhiều yếu tố vng góc Mà điểm hai mặt phẳng  MNP   AB ' C ' có vị trí xác định, ta gắn hình lăng trụ vào hệ tọa độ ta dễ dàng tìm n MNP  , n AB ' C ' Từ ta giải tốn phương pháp tọa độ hóa 45 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Giải Gọi I , O, J trung điểm cạnh B ' C ', MN , AP Ta có MN / / B ' C ' A' I  B 'C '  MN  A' I Gắn hình lăng trụ tam giác ABC A ' B ' C ' hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ Khi ta có:       A  0;  ;3  , B '   3; ;0  , C '  3; ;0  ,             M   ;0;0  , N  ;0;0  , P  0; ;3        z C A P J B x N C' A' M O I y B' Gọi n1 n2 véc tơ pháp tuyến mặt phẳng  AB ' C '  MNP  Ta có n1   AB ', AC '   0;1;1 , n2   MN , MP    0;  2;1 cos  AB ' C ' ,  MNP    cos  n1; n2   Vậy cos  AB ' C ' ,  MNP     1 02  12  12 02   2   12  10 Chọn A 10 Nhận xét: Chúng ta dựng hệ trục tọa độ với gốc điểm I với trục chứa đường thẳng IA ' , IB ' IP Bài tốn (SGD Ninh Bình, 2021-2022) Cho hình chóp tứ giác S ABCD Một mặt cầu  J  ( J S phía với  ABCD  tiếp xúc với  ABCD  A , đồng thời tiếp xúc với mặt cầu nội tiếp hình chóp Một mặt phẳng  P  qua J BC Gọi  góc  P   ABCD  Tính tan  biết đường chéo thiết diện hình chóp cắt  P  cắt vng góc với SA, SD A B C D Phân tích: Giao tuyến hai mặt phẳng  P   ABCD  BC Vì  J  tiếp xúc với  ABCD   A  nên JA   ABCD   JA / / SO  J   SAC  46 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Gọi M  JC  SA d  M ,  ABCD    sin   d  M , BC  Giải Gọi I , r tâm bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S ABCD Gọi R bán kính mặt cầu  J  S J M N F I D A Vì  J  tiếp xúc với  ABCD   A  E O nên JA   ABCD   JA / / SO B  J   SAC  C Gọi M  JC  SA Hai mặt phẳng  P   SAD  có chung điểm M BC / / AD  giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng MN / / AD ( N  SD ) Do đó, thiết diện hình chóp S ABCD cắt  P  tứ giác BCNM Ta có: sin   d  M ,  ABCD   d  M , BC  Đặt độ dài cạnh hình vng ABCD Đặt SO  x  x   Ta có: SE  x2   SSCD  x  AO   SA  x  ; 3V x  Stp   x   r  IO  S ABCD  Stp  x2  AC  2 , AMC  AOS  AM  AO AC  SA x2   MC  Tam giác ACJ vuông A , đường cao AM : 2x x2  1  2  JA  R  2 AM JA AC x x x  x2  1  IJ  R  r   Mặt khác, AJIO hình thang vuông A, O nên: IJ  OA2   JA  IO  4  x  2    x 1 x 1   2 Từ 1 ,   ta có: 47 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 4  4  x x 2      2  x 1 x 1   x 1 x 1   16  x2   AM  2   x2    x  , MC  2S AM MC  d  M ,  ABCD    AMC   AC AC 25 Ta có: AB SA   cos SAB   SA  BM  AM  AB  AM AB.cos SAB  MN  SM 46 AD  SA 25 39  BC  MN   d  M , BC   MB    tan    sin     25 13   Chọn C 2 2.3 Thực nghiệm sư phạm 2.4.1 Mục đích thực nghiệm Kiểm tra tính hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.2 Nội dung thực nghiệm Thực theo nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.4.3 Tổ chức thực nghiệm 2.4.3.1 Đối tượng thực nghiệm Chúng chọn đối tượng thực nghiệm học sinh lớp 12A1 (năm học 20202021), 12D (năm học 2020-2021) trường THPT Quỳ Châu Chúng tơi tìm hiểu kỹ nhận thấy trình độ chung mơn tốn lớp 12A1, 12D (2020-2021) 12A1, 12D (2021-2022) tương đương Trên sở đó, chúng tơi lấy lớp 12A1, 12D (2021-2022) làm lớp đối chứng 2.4.3.2 Thời gian thực nghiệm sư phạm Thực nghiệm tiến hành từ ngày 20/02/2021 đến 20/05/2021 với số tiết dạy 15 tiết/ lớp, có kiểm tra Phần lớn số tiết giảng dạy tiết luyện tập, tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn thi THPT quốc gia 48 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com 2.4.3.3 Tổ chức thực Ở lớp dạy thực nghiệm: - Dạy theo nội dung sáng kiến luyện tập, tự chọn, bồi dưỡng học sinh giỏi - Quan sát hoạt động học tập học sinh xem em có phát huy tính tích cực, tự giác có phát triển tư sáng tạo hay không - Tiến hành kiểm tra sau thực nghiệm - Cho em giải tốn tính góc hai mặt phẳng đề thi thức đề thi thử THPT Quốc gia, TNTHPT Quốc gia đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh thành phố nước Ở lớp đối chứng: - Giáo viên thực quan sát hoạt động học tập học sinh lớp đối chứng Giáo viên giảng dạy tập nội dung sáng kiến kinh nghiệm không theo hướng sáng kiến - Tiến hành đề kiểm tra lớp thực nghiệm 2.4.3.4 Kết thực nghiệm Khi trình thực nghiệm bắt đầu, nhìn chung có nhiều em học sinh cịn e ngại tốn hình học khơng gian, đặc biệt tốn tính góc hai mặt phẳng Quan sát chất lượng trả lời câu hỏi, giải tập dừng lại mức độ nhận biết thơng hiểu, số giải tốn vận dụng Qua q trình giảng dạy quan sát diễn biến tiết học thực nghiệm đối chứng lớp học, chúng tơi nhận thấy rằng, lớp thực nghiệm, nhìn chung em tích cực, chủ động hơn, học tập sơi nổi, có linh hoạt hơn, có định hướng việc phân tích tìm lời giải cho tốn tính góc hai mặt phẳng Còn lớp đối chứng, hoạt động học tập bị động, chưa tích cực, việc tìm lời giải cho tốn cịn gặp nhiều khó khăn Nhiều em lớp thực nghiệm giải nhiều tốn tính góc hai mặt phẳng đề thi thức đề thi thử THPT Quốc gia, đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh, thành phố nước sau em học theo nội dung sáng kiến Đa số học sinh có hứng thú với hình học khơng gian, đặc biệt tốn liên quan đến chủ đề góc Qua kì thi TNTHPT Quốc gia năm học 2021, em lớp 12A1 lớp 12D bồi dưỡng theo nội dung sáng kiến có tiến rõ rệt, có nhiều em giải tốn hình học khơng gian mức độ vận dụng vận dụng cao, có nhiều em đạt điểm từ trở lên mơn Tốn, có học sinh đạt 9,6 điểm 49 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com Căn vào kết thực nghiệm trên, bước đầu thấy kết khả quan áp dụng đề tài vào dạy học PHẦN III KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ Kết luận Trong trình nghiên cứu, chúng tơi ln trăn trở tìm cách để rèn luyện cho học sinh có định hướng giải loại tốn Bên cạnh đó, chúng tơi ln tìm tịi phương pháp cố gắng đưa phân tích, định hướng phù hợp Chúng tham khảo nhiều nguồn tài liệu khác nhau, đề thi học sinh giỏi tỉnh, thành phố, đề thi thử THPT, sách, báo, kênh thông tin từ đồng nghiệp, từ mạng internet,… để nghiên cứu, hình thành hoàn thiện đề tài Qua việc nghiên cứu đề tài, nhận thấy: - Đối với thân: Bản thân phần rèn luyện lực chuyên môn, nắm vững phương pháp tính góc hai mặt phẳng Xây dựng chun đề dạy học nhằm rèn luyện cho học sinh tư duy, giải tốn góc, đồng thời rèn luyện cho học sinh kỹ tư chủ đề hình học khơng gian - Đối với học sinh: Việc học theo định hướng giúp cho học sinh khơng cịn e ngại tốn hình học khơng gian Các em rèn luyện lực giải vấn đề Tốn học thơng qua việc biết phân tích lựa chọn giải pháp thích hợp cho tốn Có cách tiếp cận có kỹ tốt giải tốn liên quan đến góc hai mặt phẳng Học tập tích cực, chủ động, linh hoạt đặc biệt góp phần phát triển lực tư sáng tạo cho em, nhiệm vụ quan trọng việc dạy học môn tốn trường phổ thơng Kiến nghị Đề tài có khả áp dụng cho học sinh khối 11 12 trường THPT Đặc biệt q trình dạy chủ đề góc không gian Chúng xin cam đoan nội dung đề tài tác giả thực báo cáo Dù có nhiều cố gắng, song đề tài chúng tơi khơng tránh khỏi thiếu sót mang sắc thái chủ quan tác giả Để đề tài hồn thiện thực có giá trị, ứng dụng rộng rãi thực tiễn dạy học, chúng tơi mong nhận góp ý, chia sẻ thầy cô đồng nghiệp Chúng xin chân thành cảm ơn! 50 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bộ Giáo dục Đào tạo, Sách Giáo khoa Hình học 11, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2006 [2] Bộ Giáo dục Đào tạo, Sách Bài tập Hình học 11, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2006 [3] Bộ Giáo dục Đào tạo, Sách Giáo khoa Hình học 12, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2006 [4] Bộ Giáo dục Đào tạo, Sách Bài tập Hình học 11, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2006 [5] Đề thi Học sinh giỏi cấp tỉnh tỉnh thành nước [6] Đề thi minh họa đề thi thức kỳ thi TNTHPT Quốc gia từ năm 2018 đến [7] Đề thi thử TNTHPT Quốc gia nước từ năm 2018 đến [8] Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ [9] Các nhóm diễn đàn giáo viên mơn Tốn Internet 51 TIEU LUAN MOI download : skknchat@gmail.com ... tài ? ?Phân tích, định hướng nhằm rèn luyện kỹ tính góc hai mặt phẳng cho học sinh trường THPT Quỳ Châu? ?? nhằm giải khó khăn nói Từ đó, tạo hứng thú cho học sinh học chuyên đề góc hai mặt phẳng. .. pháp tính góc hai mặt phẳng Định nghĩa: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng song song trùng ta nói góc hai mặt phẳng 0 Phương pháp 1: Sử dụng định. .. xây dựng phân tích, định hướng nhằm rèn luyện tư cho học sinh giải tốn tính góc hai mặt phẳng hình học khơng gian - Thứ ba, đề tài xây dựng hệ thống tập đưa phân tích, định hướng giúp học sinh tìm