CHỦ ĐỀ 6 VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ( Dạng 1 Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương Đường thẳng đi qua điểm với vecto chỉ phương có Phương trình tham số Phương trình chính tắc là với điều kiện abc ≠ 0 Phương pháp giải ( Đường thẳng d có véctơ chỉ phương đã biết ( Đường thẳng d song song đường thẳng ∆, suy ra ( Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P), suy ra Ví dụ 1 Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm và trung điểm của BC với và là A B C D Lời giả.
CHỦ ĐỀ 6: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG Dạng Viết phương trình đường thẳng biết vectơ phương r Đường thẳng qua điểm M(x 0; y 0; z 0) với vecto phương u = (a; b;c) có: x = x + at - Phương trình tham số: y = y + bt (t ∈¡ ) z = z + ct - Phương trình tắc là: x − x y − y0 z − z0 = = với điều kiện abc ≠ a b c Phương pháp giải uur Đường thẳng d có véctơ phương u d biết uur uur Đường thẳng d song song đường thẳng ∆, suy u d = u ∆ uur uur Đường thẳng d vng góc với mặt phẳng (P), suy u d = n P Ví dụ 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm A(1; −2; 3) trung điểm ; ; −3) C(2; 3; 5) BC với B(21 A x −1 y + z − = = −2 B x − y − z −1 = = −2 D x −1 y + z − = = 2 x −1 y + z − = = −2 Lời giải r uuuu r x − y − z −1 ; ) ⇒ u = AM = (1; 4; −2) ⇒ d : = = Trung điểm BC M(2; 21 Chọn C −2 C ; ); B( −2; 3; 5);C( 4; 0; −7) Điểm M thuộc cạnh Ví dụ 2: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; −12 BC cho SABM = 2SACM Phương trình đường thẳng AM là: A x y +1 z − = = −3 B C x − y −1 z + = = 2 −5 D Ta có SABM x y +1 z − = = 2 x y +1 z − = = 2 Lời giải uuuu r uuuu r = 2SACM M thuộc cạnh BC nên BM = 2MC uuuu r ⇔ (x M + 2; y M − 3; z M − 5) = 2(4− x M ; − y M ; −7− z M ) ⇒ M(21 ; ; −3) ⇒ AM = (2; 2; −5) Phương trình dường thẳng AM là: x − y −1 z + = = Chọn C 2 −5 Dạng Viết phương trình đường thẳng biết cặp vectơ pháp tuyến uur r uur r r u d ⊥ a r r Nếu đường thẳng d có cặp vectơ pháp tuyến a b tức uur r u d = a; b u d ⊥ b Một số trường hợp thường gặp: uur uuu r uuur Đường thẳng d vng góc hai đường thẳng ∆1 ∆2, suy u d = u ∆1 ; u ∆2 uur uur uur Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) (Q), suy u d = n P ; n Q uur uur uur Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) vng góc với thường thẳng ∆, suy u d = n P ; u ∆ uur uur uur Đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q), suy u d = n P ; n Q uur uur uur Đường thẳng d nằm mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng ∆, suy u d = n P ; u ∆ Ví dụ 1: Trong khơng gian Oxyz, cho đường thẳng d : x + y −1 z − = = mặt phẳng (P): x − y − z − = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A(1;1; −2) , song song với mặt phẳng (P) vng góc với đường thẳng d Lời giải uur uuur uur uuur uur ∆ / /(P) u ∆ ⊥ n (P) ⇒ uur uur ⇒ u ∆ = n (P) ; u d = (2;5; −3) Do ∆ ⊥ d u ∆ ⊥ u d Suy phương trình đường thẳng ∆ x −1 y −1 z + = = −3 Ví dụ 2: Trong không gian toạ độ Oxyz, cho (P) : x + y + z + = 0, (Q) : x − y + z − = điểm A(1; −2;3) Phương trình đưới phương trình đường thẳng qua A, song song với (P) (Q)? x = −1 + t A y = z = −3 − t x = B y = −2 z = − 2t x = + 2t C y = −2 z = + 2t x = + t D y = −2 z = − t Lời giải uur uuur uuuu r Đường thẳng cần tìm song song với (P) (Q) nên u d = n (p) ; n (Q) = 2(1;0; −1) x = −1 + t Do d: y = Chọn A z = −3 − t Ví dụ 3: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm A(-1;0;2) song song với hai mặt phẳng (P) : 2x − 3y + 6z + = (Q) : z + y − 2z + = x = −1 A y = 2t z = − t x = B y = 2t z = − t x = −1 C y = 2t z = −2 + t Lời giải uur n P = (2; −3;6) uur uur ⇒ n P ; n Q = (0;10;5) Ta có uur n Q = (1;1; −2) x = −1 D y = 2t z = + t uur uur Đường thẳng d qua A(-1;0;2) nhận n P ; n Q = (0;10;5) VTCP x = −1 ⇒ d : y = 2t ( t ∈¡ z = + t ) Chọn D Ví dụ 4: Cho mặt phẳng (P) : 4x − y − z − = đường thẳng d : x −1 y +1 z = = Phương trình đường −2 thẳng qua A(1;2;3) song song với (P) đồng thời vng góc với d là: A x −1 y − z − = = −2 B x −1 y − z − = = −2 D x −1 y − z − = = 2 x −1 y − z − = = −2 −1 Lời giải uur uur uur uur uuur Ta có: u d = (2; −2;1); n (p) = (4; −1; −1) Suy u ∆ = u d ; n P = (3;6;6) = 3(1; 2; 2) C Do ∆ : x −1 y − z − = = Chọn B 2 Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;3;2); B(1;2;1); C(1;1;3) Viết phương trình tham số đường thẳng qua ∆ trọng tâm G tam giác ABC vng góc với mặt phẳng (ABC) x = − 3t A ∆ : y = + t z = x = − 3t B ∆ : y = − 2t z = − t x = C ∆ : y = + 2t z = − t x = − 3t D ∆ : y = z = Lời giải 1+1+1 xG = = + +1 = ⇒ G(1; 2; 2) Giả sử G(x G ; y G ; z G ) Khi đó: y G = +1+ =2 z G = uuur uuur uur uuur uuur Ta có: AB = (0; −1; −1); AC = (0; −2;1) ⇒ u ∆ = AB; AC = ( −3;0;0) = −3(1;0;0) x = − 3t uur Đường thẳng qua G nhận u ∆ vtcp ⇒ ∆ : y = Chọn D z = Ví dụ 6: Trong khơng gian toạ độ Oxyz cho điểm M (-1;1;3) hai đường thẳng ∆: x −1 y + z −1 x +1 y z = = ;∆': = = Phương trình phương trình đường thẳng qua 1 −2 M, vng góc với ∆ ∆’? x = −t A y = + t z = + t x = −1 − t B y = − t z = + t x = −1 − t C y = + t z = + 3t x = −1 − t D y = + t z = + t Lời giải uu r uur Các vtcp ∆ ∆’ là: u1 = (3; 2;1); u = (1;3; −2) ⇒ vtcp đường thẳng cần tìm là: r uu r uur u = u1 ; u = ( −7;7;7) = 7( −1;1;1) Chọn D Ví dụ 7: Trong khơng gian toạ độ Oxyz, cho điểm A ( 1; −2;3) hai mặt phẳng (P) : x + y + z + = 0, (Q) : x − y + z − = Phương trình phương trình đường thẳng qua A, song song với (P), (Q)? x = A y = −2 z = − 2t x = −1 + t B y = z = −3 − t x = + 2t C y = −2 z = + 2t x = + t D y = −2 z = − t Lời giải uu r uur Các vtpt (P) (Q) : n1 = (1;1;1); n = (1; −1;1) , vtcp đường thẳng cần tìm là: r uu r uur u = n1 ; n = (2;0; −2) = 2(1;0; −1) Chọn D Ví dụ 8: Cho đường thẳng d1 : x y +1 z −1 x +1 y z + = = = = d : Phương trình đường thẳng qua −1 −1 4 A ( −2;3;0 ) vng góc với d1 d ? A x + y −3 z = = B x + y −3 z = = −3 C x −2 y+3 z = = D x + y −3 z = = −2 Lời giải uur uuu r u d ⊥ n d d ⊥ d1 ⇒ uur uuu r Gọi d đường thẳng cần tìm Ta có: d ⊥ d u d ⊥ u d2 r uuu r uuu r x + y −3 z = = Chọn D Khi u = u d1 ; u d2 = (3; −6;12) = 3(1; −2; 4) ⇒ d : −2 Dạng 3: Lập phương trình đường thẳng d’ qua A cắt d vng góc với ∆ (hoặc song song với (P)) Phương pháp giải uuur uuur uur Giả sử d’ cắt d điểm B, gọi tọa độ điểm B ∈ d theo tham số, ta có AB ⊥ ∆ ⇒ AB.u ∆ = ⇒ tọa độ điểm B, phương trình đường thẳng cần tìm AB uuur uuur uuur uuur Chú ý: Trong trường hợp d’//(P) ta có AB ⊥ n (P) ⇒ AB.n (P) = Ví dụ 1: Trong khơng gian tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) đường thẳng ∆ : x −1 y +1 z = = Lập −1 phương trình đường thẳng d qua M, cắt vng góc với ∆ Lời giải uur Ta có: u ∆ = (2;1; −1) Gọi H(1 + 2t; −1 + t; − t) ∈ ∆ giao điểm d ∆ uuuu r uur uuuu r uur uuuu r Suy MH = (2t − 1; t − 2; − t) , MH ⊥ u ∆ ⇒ MH.u ∆ = ⇔ 2(2t − 1) + (t − 2) − (− t) = ⇔ t = Do d ≡ MH : uur ⇒ u d = (1; −4; −2) 3 x − y −1 z = = −4 Ví dụ 2: Cho điểm A ( 1; 2; −1) đường thẳng d : x − y −1 z − = = Phương trình đường thẳng qua A cắt 2 vng góc với d là: A x −1 y − z +1 = = −2 B x y z +1 = = −2 C x −1 y − z +1 = = 2 D x y z −1 = = −2 Lời giải uuur Gọi H(2 + 2t;1 + t;3 + 2t) ∈ d ⇒ AH = (1 + 2t; t − 1; + 2t) uuur uur x y z −1 Ta có: AH.u d = 4t + + t − + 4t + = ⇔ t = −1 ⇒ H(0;0;1) ⇒ AH : = = Chọn D −2 Ví dụ 3: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2018] Trong không gian tọa độ, cho điểm A(1;2;3) đường thẳng d: x − y −1 z + = = Đường thẳng qua A, vng góc với d cắt Ox có phương trình : −2 x = −1 + 2t A y = 2t z = 3t x = + t B y = + 2t z = + 2t x = −1 + 2t C y = −2t z = t x = + t D y = + 2t z = + 2t Lời giải Gọi ∆ đường thẳng cần tìm, ta có B = ∆ ∩ Ox ⇒ B(x;0;0) uuur uur Khi AB = (x − 1; −2; −3), u d = (2;1; −2) uuur uur uuur Do ∆ ⊥ d ⇒ AB.u d = 2(x − 1) − + = ⇔ x = −1 ⇒ B(−1;0;0) ⇒ AB(−2; −2; −3) x = −1 + 2t Vậy ∆ : y = 2t Chọn A z = 3t Ví dụ 4: Cho đường thẳng d : góc cắt d x −1 y z +1 = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A(1;0; 2) , vuông 1 A ∆ : C x −1 y z − = = 1 x −1 y z − = = 2 B x −1 y z − = = 1 −1 D x −1 y z − = = −3 Lời giải Gọi H(1 + t; t; −1 + 2t) ∈ d hình chiếu điểm A đường thẳng d uuur uur uuur uuur Ta có : AH = (t; t; t − 3) suy AH.u d = t + t + 4t − = ⇔ t = ⇒ H(2;1;1); AH = (1;1; −1) Suy ∆ ≡ AH : x −1 y z − = = Chọn B 1 −1 Ví dụ 5: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2;1;0) đường thẳng ∆: x −1 y +1 z = = Phương trình tham số đường thẳng d qua điểm M, cắt vng góc với ∆ −1 x = + t A d : y = − 4t z = −2t x = − t B d : y = + t z = t x = + t C d : y = −1 − 4t z = 2t x = + 2t D d : y = + t z = − t Lời giải Giả sử d cắt vng góc với ∆ H(1 + 2t; −1 + t; − t) ∈ ∆ uuuu r uuuu r uur uuuu r Khi đó: MH = (2 t − 1; t − 2; − t) , MH ⊥ ∆ ⇒ MH.u ∆ = 2(2 t − 1) + t − + t = ⇔ 6t = ⇔ t = uuuu r uuuu r ⇒ MH = ; − ; − ÷⇒ u MH = (1; −4; −2) 3 3 x = + t Vậy d : y = − 4t Chọn A z = −2t Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1;2;3) mặt phẳng (P) : 2x + y − 4z + = Đường thẳng (d) qua điểm A, song song với mặt phẳng (P), đồng thời cắt trục Oz Viết phương trình tham số đường thẳng (d) x = + t A y = + 6t z = + t x = t B y = 2t z = + t x = + 3t C y = + 2t z = + t x = − t D y = + 6t z = + t Lời giải uuur Giả sử đường thẳng cắt trục Oz B(0;0;a) Ta có AB = (−1; −2;a − 3) uuur uur Mà d song song với (P) ⇒ AB.n P = ⇔ 2.(−1) + 1.(−2) − 4(a − 3) = ⇔ a = ⇒ B(0;0; 2) x = t uuur Khi AB = (−1; −2; −1) ⇒ AB : y = 2t Chọn B z = + t Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2;3) hai đường thẳng d1 : x −2 y+2 z−3 x −1 y −1 z +1 = = ;d : = = Viết phương trình đường thẳng ∆ qua A, vng góc −1 −1 với d1 cắt d2: A ∆ : C x −1 y − z − = = −3 x −1 y − z − = = B x −1 y − z − = = −5 D x −1 y − z − = = −3 −5 Lời giải uur Gọi (P) mặt phẳng qua A(1; 2;3) vng góc với d1 ⇒ n P = (2; −1;1) ⇒ (P) : 2x − y + z − = Khi gọi B = (P) ∩ d Tọa độ điểm B nghiệm hệ PT sau: x = 2x − y + z − = x − y − z + ⇔ y = −1 ⇒ B(2; −1; −2) −1 = = z = −2 uuur Đường thẳng cần lập đường thẳng AB: qua A(1; 2;3) có vecto phương u AB = (1; −3; −5) ∆ ≡ AB : x −1 y − z − = = đường thẳng cần tìm Chọn D −3 −5 Chú ý: Đối với tốn viết phương trình đường thằng ∆ nằm mặt phẳng (P), đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d ta làm sau : Bước 1: Tìm giao điểm A d mặt phẳng (P) uur uuur u ∆ ⊥ n (P) uur uuur uur uur Bước 2: Do uur uur ⇒ u ∆ = n (P) ; u d , dường thẳng cần tìm qua A có vectơ phương u ∆ u ∆ ⊥ u d Ví dụ 8: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + 2y + z − = đường thẳng có phương trình d : x +1 y z + = = Phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P), đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d là: A ∆ : C x −1 y −1 z −1 = = −1 −3 x −1 y −1 z −1 = = B x −1 y + z −1 = = −1 D x + y + z −1 = = −1 Lời giải Gọi M = (∆) ∩ (d ) ⇒ M ∈ d ⇒ M (2t − 1; t ;3t − 2) Mà M ∈ ( P ) ⇔ 2t − + 2t + 3t − − = ⇔ t = ⇒ M (1;1;1) uur uuur u∆ ⊥ n( P ) uu r uuur uu r x −1 y −1 z −1 = = Ta có uur uu Chọn A r ⇒ u∆ = n( P ) ; ud = (5; −1; −3) ⇒ phương trình ∆ : −1 −3 u∆ ⊥ ud Ví dụ 9: [Đề thi THPT Quốc gia năm 2018] Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + y − z + = đường thẳng có phương trình d : x +1 y z + = = Phương trình đường thẳng ∆ −1 nằm mặt phẳng (P), đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d là: x = −1 + t A y = −4t z = −3t x = + t B y = −2 + 4t z = + t x = + t C y = −2 − 4t z = − 3t x = + 2t D y = −2 + 6t z = + t Lời giải Gọi M = (∆) ∩ (d ) ⇒ M ∈ d ⇒ M (−1 + 2t ; −t ; −2 + 2t ) Mà M ∈ ( P ) ⇔ (−1 + 2t ) + (−t ) − (−2 + 2t ) + = ⇒ t = ⇒ M (3; −2; 2) uur uuur x = + t u∆ ⊥ n( P ) uu r uuur uu r Ta có uur uu r ⇒ u∆ = n( P ) ; ud = (−1; 4;3) ⇒ phương trình ∆ : y = −2 − 4t Chọn C u∆ ⊥ ud z = − 3t Ví dụ 10: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x −1 y − z − = = mặt phẳng (α) : x + y − z − = Đường thẳng nằm (α) , đồng thời vng góc cắt d A x −5 y− z −5 = = −2 B x+2 y+4 z+4 = = −3 −1 C x−2 y−4 z−4 = = −2 D x −1 y −1 z = = −2 Lời giải Gọi d’ đường thẳng cần tìm, gọi A = d ∩ (α ) ⇒ A ∈ d ' x = + t Ta có d : y = + 2t (t ∈¡ ) ⇒ A(t + 1; 2t + 2; t + 3) z = + t Mà A ∈ (α ) ⇒ (t + 1) + (2t + 2) − (t + 3) − = ⇔ t = ⇒ A(2; 4; 4) uu r ud = (1; 2;1) uu r uuur ⇒ ud ; n(α ) = (−3; 2; −1) VTCP d’ Lại có uuur n(α ) = (1;1; −1) Kết hợp với d’ qua ⇒ A ( 2; 4; ) ⇒ d : x−2 y−4 z−4 x−5 y −2 z −5 = = ⇔ = = Chọn A −3 −1 −2 Dạng 4: Lập phương trình đường thẳng ∆ cắt d1 d2 đồng thời song song với d (hoặc vng góc với (P), qua điểm M) Phương pháp giải Giả sử ∆ cắt d1 d2 A B, ta tham số hóa điểm A ∈ d1 ; B ∈ d theo ẩn t u uur uur uuur uur Do ∆ / /d ⇒ u ∆ = k.u d ⇔ AB = k.u d ⇒ t; u ⇒ tọa độ điểm A,B Phương trình đường thẳng cần tìm AB Chú ý: uuur uuur Trường hợp: ∆ ⊥ (P) ⇒ AB = k.n (P) ⇒ t u uuuu r uuur Trường hợp: ∆ qua điểm M ⇒ M, A, B thẳng hàng ta giải MA = k.MB ⇒ t; u k Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d vng góc với mặt phẳng x = −1 + t x −1 y +1 z = = d : y = −1 (P): (P) : x + y + z − = đồng thời cắt hai đường thẳng d1 : −1 z = − t Lời giải Lấy M ∈ d1 ⇒ M (1 + 2t ; −1 − t ; t ); N ∈ d ⇒ N (−1 + u; −1; −u ) uuuu r Suy MN = ( u − 2t − 2; t; −u − t ) u= uuuu r uuur u − 2t − t −u − t −3 −2 = = ⇔ ⇒ M ; ; ÷ Do d ⊥ (P) ⇒ MN = k.n (P) ⇒ 1 5 5 t = − y+ z+ Phương trình đường thẳng d là: 5= 5= d1 : 1 x− Ví dụ 2: phương trình đường thẳng d qua A(1; −1;1) biết d cắt hai đường d1 : x −1 y + z +1 = = −2 x = − t d2 : y = t z = 3t Lời giải Gọi B (1 + 2u; −3 − u; −1 + 2u ) ∈ d1 C (2 − t; t ;3t ) ∈ d uuur uuur Ta có: AB = ( 2u; u − 2; 2u − ) ; AC = (1 − t; t + 1;3 t − 1) 2u = k (1 − t ) 2u − k + kt = u = uuur uuur Do A, B, C thẳng hàng nên AB = k AC ⇒ u − = k (t + 1) ⇔ u − k − kt = ⇔ k = −1 2u − = k (3t − 1) 2u + k − 3kt = kt = −1 x = uur Suy u = 0; t = ⇒ u d = (0;1;1) ⇒ d : y = −1 + t z = + t Ví dụ 3: Trong khơng gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : x −3 y−3 z +2 x − y +1 z − = = = = d : −1 −2 −3 mặt phẳng (P) : x + 2y + 3z − = Đường thẳng vuông góc với (P) cắt d1 d2 có phương trình A x −1 y +1 z = = B x − y − z −1 = = C x −3 y −3 z + = = D x −1 y +1 z = = Lời giải Giả sử đường thẳng d cắt d1, d2 M , N ⇒ M (1 − t1 ;3 − 2t1 ; −2 + t1 ), N(5 − t ; −1 + 2t2 ; + t2 ) uuuu r uur Ta có MN = ( t1 − 3t2 + 2; 2t1 + 2t2 − 4; −t1 + t2 + ) nP = ( 1; 2;3) t − 3t2 + = k t1 = uuuu r uur M (1; −1;0) Mà d vng góc với (P) nên MN = k nP ⇒ 2t1 + 2t − = 2k ⇔ t = ⇒ N (2;1;3) −t + t + = 3k k = uuuu r x −1 y +1 z MN = (1; 2;3) ⇒ d : = = Chọn A Ví dụ 4: Phương trình đường thằng song song với đường thẳng d : x −1 y + z = = cắt hai đường thẳng 1 −1 d1 : x +1 y +1 z − x −1 y − z − = = = = d : −1 −1 A x +1 y +1 z − = = −1 −1 B x −1 y z −1 = = 1 −1 C x −1 y − z − = = 1 −1 D x −1 y z −1 = = −1 Lời giải Gọi A(−1 + 2t; −1 + t; − t) ∈ d1; B(1 − u; + u;3 + 3u ) ∈ d uuur Khi đó: AB = ( − u − 2t ;3 + u − t ;1 + 3u + t ) Do AB / /d ⇒ d : t = − u − 2t + u − t + 3u + t x −1 y z −1 = = ⇔ ⇒ A(1;0;1) ⇒ ( ∆) : = = 1 −1 1 −1 u = −1 Chọn B Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d1, d2 có phương trình x = −1 + 2t x y −1 z + = = y = + t (t ∈¡ ) Phương trình đường thẳng vng góc với (P) : 7x + y − 4z = −1 z = cắt hai đường thẳng d1, d2 A x y −1 z + = = −4 B x − y z +1 = = −4 r ur r uu r Ta có: u1 = (1; 2; 2) ⇒ u1 = u = (1; 2; −2) ⇒ u2 = r r r r r Do u1.u = > ⇒ u d = u1 + u = (2; 4;0) = 2(1; 2;0) x = + t Phương trình đường phân giác d góc nhọn tạo ∆1 ∆2 là: y = + 2t(t ∈¡ ) Chọn D z = Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc khoảng cách Phương pháp giải r Giả sử đường thẳng cần lập có véc tơ phương u d = (a; b;c), a + b + c ≠ Đường thẳng d song song với (P) vng góc với ∆ uu r uuu r ud n(P) = ⇒ F (a; b; c) = ⇒ a = f (b; c) Khi ta có uu r uur ud u∆ = Từ liệu góc, khoảng cách ta phương trình đẳng cấp bậc hai theo ẩn a, b, c Thay a = f(b,c) vào phương trình này, giải b = m.c b = n.c Chọn c = 1, từ tìm giá trị tương ứng a b ⇒ phương trình mặt phẳng (P) cần lập Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc hai phương trình có dạng x x x Ax + Bxy + Cy = ⇔ A ÷ + B ÷+ C = ⇒ = t ⇔ x = t y y b y 2 Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, lập phương trình đường thẳng ∆ qua điểm A(−9;0;0) , nằm mặt phẳng (P) : x + 2y − 2z + = tiếp xúc với mặt cầu có phương trình (S) : x + y + z − 4x + 2y − = Lời giải r Đường thẳng ∆ có véc tơ phương u d = (a; b;c), (a + b + c > 0) Mặt cầu (S) : x + y + z − 4x + 2y − = có tâm I(2; −1;0), R = r r r Do ∆ ∈ ( P ) ⇔ u ∆ n P = ⇔ a + 2b − 2c = ⇒ a = 2c − 2b ⇒ u ∆ = (2c − 2b; b; c) uur r uur Ta có AI = (11; −1;0) AI , u = (−c; −11c;9 b + c) uur r AI , u c + 121c + (9b + 2c) =R⇔ =3 Điều kiện để ∆ tiếp xúc với (S): d ( I ; ∆) = r u (2c − 2b) + b + c ⇔ 81b + 36bc + 126c = 9(5b − 8bc + 5c ) ⇔ c + 12bc + 4b = ⇔ (3c + 2b) = ⇔ 3c + 2b = ⇒ b = 3;c = −2 r x +9 y z = = Suy u = (−10;3; −2) , phương trình đường thẳng ∆ −10 −2 x = + 3t x − y +1 z = = Ví dụ : Cho hai đường thẳng d : y = −3 + t d ' : Phương trình đường thẳng thuộc −2 z = − 2t mặt phẳng chứa d d’ đồng thời cách hai đường thẳng A x −3 y + z −2 = = −2 B x +3 y−2 z−2 = = −2 C x +3 y−2 z+2 = = −2 D x −3 y −2 z −2 = = −2 Lời giải r Dễ thấy d//d’ , đường thẳng ∆ cần tìm cách d d’ nên ∆//d ⇒ u ∆ = (3;1; −2) Đường thẳng d qua điểm A(2; −3; 4) , đường thẳng d’ qua điểm B(4; −1;0) Trung điểm AB là: I(3; −2; 2) r x −3 y+2 z −2 = = Khi ∆ qua I(3; −2; 2) có VTCP : u ∆ = (3;1; −2) nên ∆ : Chọn A −2 Ví dụ : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho mặt cầu (S) : (x + 1) + (y − 1) + z = điểm A(1;0; −2) Phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) A tạo với trục Ox góc α cho cosα = là: 10 A ∆ : x −1 y z + = = −8 B ∆ : x −1 y z + = = −5 C ∆ : x +1 y z − = = −8 D ∆ : x +1 y z − = = Lời giải r Gọi u ∆ = (a; b;c), (a + b + c ≠ 0) vectơ phương đường thẳng ∆ Mặt cầu (S) có tâm I(−1;1;0) Vì đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) A nên: uur uur IA(2; −1; −2) ⊥ u ∆ ⇔ 2a − b − 2c = ⇔ b = 2a − 2c (1) Mặt khác đường thẳng ∆ tạo với trục Ox góc α với cosα = a a +b +c 2 = nên 10 ⇔ b = 89a − c (2) 10 Từ (1) (2) ta có phương trình 85a + 8ac − 5c = (3) Với c = 0, suy a = 0, b = (không thỏa mãn) a a a a Với c ≠ , ta có (3) ⇔ ÷ + − = ⇔ = = − c 17 c c c Với a x −1 y z + = , ta chọn a = 1, c = ⇒ b = −8 Suy phương trình ∆ : = = c −8 Với a x −1 y z + = − , ta chọn a = 5, c = −17 ⇒ b = 44 Suy phương trình ∆ : = = c 17 44 −17 Chọn A Ví dụ 4: Trong khơng gian tọa độ cho mặt cầu (S) : (x − 1) + (y + 2) + z = điểm M(2;0; −2) Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (S) M tạo với mặt phẳng (P) : x + y − = góc 30o : x = A d : y = t z = −2 + t x = B d : y = t z = −2 − t x = C d : y = − t z = −2 + t x = D d : y = − t z = −2 − t Lời giải r Gọi u d = (a; b;c), (a + b + c ≠ 0) vectơ phương đường thẳng d Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2;0) Vì đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) M nên: uuu r uur Ta có: IM = (1; 2; −2) ⊥ u d ⇔ a + 2b − 2c = ⇔ a = 2c − 2b Mặt khác đường thẳng d tạo với mặt phẳng (P) góc 30o nên: uu r uuur o Ta có: sin 30 = cos ud ; n( P ) = ( ) a+b a +b +c 2 = 2c − b 5b + 5c − 8bc 2 = b = c ⇔ 2(b − 2c) = 5b + 5c − 8bc ⇔ 3b = 3c ⇔ b = − c x = Với b = c chọn b = c = 1; a = ta có: d : y = t z = −2 + t x = + 4u Với b = - c chọn b = −1; c = 1; a = ta có: d : y = − u Chọn A z = −2 + u Ví dụ : Trong khơng gian tọa độ cho mặt cầu x + y + z − 4x + 2y + 6z − 12 = đường thẳng (d) : x = + 2t; y = 4; z = + t Phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) điểm M(5;0;1) ∆ tạo với d góc ϕ cho cosϕ = x = − 3t A y = −5t z = − t là: x = + 3t B d : y = 5t z = − t x = + 3t C d : y = −5t z = − t x = − 3t D d : y = −5t z = + t Lời giải Ta có (S) : (x − 2) + (y + 1) + (z + 3) = 26 ⇒ (S) có tâm I(2; −1; −3) bán kính R = 26 uuu r uu r IM = (3;1; 4), u1 = (2;0;1) VTCP d r Giả sử u = (a; b; c) VTCP đường thẳng ∆, (a + b + c ≠ 0) uuu r uur Do ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) M ⇒ IM ⊥ u ⇔ 3a + b + 4c = ⇔ b = −3a − 4c (1) Mà góc đường thẳng ∆ đường thẳng d ϕ uu r uur u1.u uu r uur 2a + c 1 ⇒ cos u1 , u = cosϕ ⇔ uu ⇔ = r uur = (2) 2 7 u1 u a +b +c ( ) Thay (1) (2) ta 2a + c = a + (3a + 4c) + c a = −3c ⇔ 7(4 a + 4ac + c ) = 5( a + 9a + 24 ac + 16 c + c ) ⇔ 22 a + 92ac + 78c = ⇔ a = − 13 c 11 2 2 2 2 x = + 3t Với a = −3c , a + b + c ≠ ⇒ c ≠ Chọn c = −1 ⇒ a = 3; b = −5 ⇒ ∆ : y = −5t z = 1− t x = + 3t 13 Với a = − c chọn c = −11 ⇒ a = 13; b = ⇒ ∆ : y = 5t Chọn C 11 z = − 11t Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng vng góc chung đường thẳng chéo Phương pháp giải Giả sử lập phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng d1; d2 Ta thực sau: Chuyển đường d1 d2 dạng tham số t u Tham số hóa điểm A ∈ d1 B ∈ d theo ẩn t u uu r uur uuur uur ud ⊥ ud AB.ud d ⊥ d1 t 1 ⇔ uu Do d đường vng góc chung d1; d2 nên r uur ⇔ uuur uur → u d ⊥ d ud ⊥ ud2 AB.ud2 Phương trình đường thẳng cần tìm AB Ví dụ : Viết phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 d2 biết x = + t x = d1 : y = d : y = − 2u z = −5 + t z = + 3u Lời giải r r Vectơ phương đường thẳng d1 d2 u d1 = (1;0;1) u d2 = (0; −2;3) uuur Gọi A(1 + t;0; −5 + t) ∈ d1 B(0; − 2u;5 + 3u) ∈ d suy AB(−1 − t; − 2u;10 + 3u − t) uu r uur uuur uur ud ⊥ ud AB.ud d ⊥ d1 1 ⇔ uu r uur ⇔ uuur uur Do d đường vng góc chung d1; d2 nên d ⊥ d ud ⊥ ud AB.ud2 −1 − t + 10 + 3u − t = −2t + 3u = −9 t = A(4;0; −2) uuur ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ⇒ AB = (4; −6; −4) −8 + 4u + 30 + 9u − 3t = −3t + 13t = −22 u = −1 B(0;6; 2) Phương trình đường thẳng AB là: d : x−4 y z+2 = = −3 −2 Ví dụ : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz cho hai đường thẳng d1 : d2 : x − y −1 z − = = −1 x y − z −1 = = Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 d2 là: −1 x = A y = − t z = + t x = + 2t B d : y = + t z = − t x = C d : y = + t z = + t x = − t D d : y = + t z = + t Lời giải r r Vectơ phương đường thẳng d1 d2 u d1 = (2; −1;1) u d2 = (1; −1;1) uuuu r Gọi M(2 + 2t;1 − t; + t) ∈ d1; N(u; − u;1 + u) ∈ d ⇒ MN = (u − 2t − 2;3 − u − t; −1 + u − t) uuuu r uur MN ud = 2(u − 2t − 2) + u + t − + u − t − = u = ⇔ ⇔ ⇔ M (2;1; 2); N (2; 2;3) r uur Khi uuuu u − 2t − + u + t − + u − t − = t = MN ud2 = x = uuuu r Suy MN(0;1;1) ⇒ MN : y = + t Chọn C z = + t Ví dụ : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxỵz cho hai đường thẳng d1 : d2 : x + y + z −1 = = 1 x + y −1 z + = = Phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng chéo d1 d2 −4 −1 qua điểm điểm sau A A(3;1; −4) B B(1; −1; −4) C C(2;0;1) D D(0; −2; −5) Lời giải r r Vectơ phương đường thẳng d1 d2 u d1 = (2;1;1) u d2 = (−4;1; −1) Gọi M(−1 + 2t; −2 + t;1 + t) ∈ d1; N( −2 − 4u;1 + u; −2 − u) ∈ d uuuu r ⇒ MN = (−4u − 2t − 1; u − t + 3; −u − t − 3) uuuu r uur MN ud = −8u − 4t − + u − t + − u − t − = u = −1 M (1; −1; 2) ⇔ ⇔ ⇔ r uur Khi uuuu 16u + 8t + + u − t + + u + t + = t = N (2;0; −1) MN ud2 = x = + t uuuu r Suy MN(1;1; −3) ⇒ MN : y = −1 + t ⇒ A(3;1; −4) ∈ MN Chọn A z = − 3t Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng ∆ hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng (P) Phương pháp giải Cách 1: - Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa d vng góc với (P) uuur uu r uuur Khi n(α ) = ud ; n( P ) - Bước 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ = (α ) ∩ ( P) Cách 2: Lấy điểm A ∈ d , tìm tọa độ hình chiếu H A d, ∆ qua H uur uuur uur uuur uu r uuur Do ∆ ⊥ (α ) ∆ ⊂ ( P ) ⇒ u∆ = n( P ) ; nα = n( P ) ; ud ; n( P ) Chú ý: Trong trường hợp d cắt (P) ta lấy điểm A = d ∩ ( P ) Ví dụ : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, viết phương trình hình chiếu đường d: x −1 y − z +1 = = mặt phẳng (P) : x − y + z − = −1 −1 Lời giải Gọi A(1 − t; + t; −1 − t) = d ∩ (P) ⇒ A ∈ (P) ⇒ − t − − 2t − − t − = ⇒ t = − uu r uuur uu r uuur 7 1 Suy A ; ; − ÷và u∆ = n( P ) ; ud ; n( P ) = [ (1; −1;1);(1;0; −1) ] = (1; 2;1) 4 4 Vậy ∆: 1 y− z+ 4= 2= x− Ví dụ : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, viết phương trình hình chiếu đường d: x − y +1 z − = = mặt phẳng (P) : 2x + y − 3z + = Lời giải Gọi A(2 + t; −1 + t;3 + 2t) = d ∩ (P) ⇒ A ∈ (P) ⇒ + 2t − + t − − 6t + = ⇒ t = −1 uu r uuur uu r uuur Suy A ( 1; −4;1) u∆ = n( P ) ; ud ; n( P ) = [ (2;1; −3);(−11;7; −5) ] = (16; 43; 25) Vậy ∆ : x −1 y + z −1 = = 16 43 25 Ví dụ : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, phương trình phương trình hình chiếu đường thẳng d : x = + 31t A y = + 5t z = −2 − 8t x + y +1 z = = mặt phẳng (P) : x − 3y + 2z + = −1 x = − 31t B y = + 5t z = −2 − 8t x = + 31t C y = + 5t z = −2 − 8t x = + 31t D y = + 5t z = − 8t Lời giải Gọi A(−3 + t; −1 + t; − t) ∈ d , cho A ∩ (P) ⇒ −3 + 2t + − 3t − 2t + = ⇔ t = ⇒ A(1;1; −2) ∈ ∆ uu r uuur uu r uuur Lại có u∆ = n( P ) ; ud ; n( P ) = [ (1; −3; 2);(−1; −5; −7) ] = (31;5; −8) x = + 31t Vậy ∆ : y = + 5t Chọn D z = − 8t Ví dụ : Trong khơng gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, phương trình phương trình hình chiếu đường x −1 y + z − = = mặt phẳng (Oxy)? x = + t x = + t A y = − 3t B y = −2 + 3t z = z = x = + 2t C y = −2 + 3t z = x = + t D y = −2 − 3t z = Lời giải Ta có: (Oxy): z = 0, điểm A(1; −2;3), B(3;1; 4) ∈ d Gọi A’ hình chiếu A lên (Oxy) ⇒ A '(1; −2;0) Gọi B’ hình chiếu B lên (Oxy) ⇒ B'(3;1;0) x = + 2t uuur ⇒ AB(2;3;0) Phương trình đường thẳng hình chiếu là: y = −2 + 3t Chọn C z = BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x −1 y +1 z ; ; 0) = = điểm A(21 −1 Phương trình đường thẳng qua A, vng góc cắt đường thẳng ∆ có phương trình x = 2+ t A y = 1− 4t z = 2t x = −2+ t B y = 1− 4t z = 2t x = 2+ t C y = 1− 4t z = −2t x = 2+ t D y = −1− 4t z = 2t Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) : x + y − z − = 0, (Q) : x + 3y − 12 = đường thẳng d : x −1 y + z +1 = = Viết phương trình mặt phẳng (R) chứa đường thẳng d giao −1 tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) A (R) : 15x + 11y − 17z − 10 = B (R) : x + 2y− z − 1= C (R) : x + 2y− z + = D (R) : x + y − z = Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d : x −1 y z + = = mặt phẳng −3 (P) : x + 2+ z + 3= Viết phương trình đường thẳng (∆) nằm (P), cắt (d) vng góc với (d) A ∆ : x+3 y+2 z−4 = = −7 B ∆ : x+3 y+2 z+4 = = −7 C ∆ : x −3 y+2 z−4 = = −5 D ∆ : x −4 y+7 z−7 = = −5 Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : d2 : x −7 y−3 z−9 = = −1 x − y −1 z −1 = = Tìm phương trình đường vng góc chung (d1), (d2) −7 A x −7 y−3 z−9 = = B x −7 y−3 z−9 = = 1 C x −7 y−3 z−9 = = D x −7 y−3 z−9 = = x = 1+ t Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : y = 2+ t Đường thẳng d qua z = 13− t A(01 ; ; −1) cắt vng góc với đường thẳng ∆ Phương trình sau phương trình đường thẳng d? x = 5t ' A d : y = 1+ 5t ' z = −1+ 8t ' x = t ' B d : y = 1+ t ' z = −1+ 2t ' x = C d : y = 5+ t ' z = 10− t ' x = 5+ 5t ' D d : y = 6+ 5t ' z = 9+ 8t ' Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng d1 : d2 : x −1 y z + = = −1 x +1 y −1 z − = = Đường vng góc chung d1 d2 cắt d1, d2 A B Tính diện tích −1 S tam giác OAB A S = B S = C S = D S = Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : x + 2y + z − = đường thẳng d: x +1 y z + = = Viết phương trình tắc đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (P), đồng thời cắt vng góc với đường thẳng d A x + y −1 z − = = 1 B x − y +1 z + = = 1 C x −1 y −1 z −1 = = −1 −3 D x +1 y +1 z +1 = = −1 −3 x −1 y +1 z = = −1 r Gọi d đường thẳng qua điểm M, cắt vng góc với ∆ Tìm vecto phương u đường thẳng ; ; 0) đường thẳng ∆ : Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(21 d r A u = (−3; 0; 2) r B u = (2; −12 ; ) r C u = (0; 31 ; ) r D u = (1; −4; −2) Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng đường thẳng d có phương trình (P) : x + 2y − 3z + = 0và d : x +2 y−2 z = = Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng 1 −1 (P), vng góc cắt đường thẳng d x = −1− t A ∆ : y = 2− t z = −2t x = −3− t B ∆ : y = 1− t z = 1− 2t x = −3+ t C ∆ : y = 1− 2t z = 1− t x = −1+ t D ∆ : y = 2− 2t z = −2t Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) đường thẳng d : Viết phương trình đường thẳng qua A, vng góc cắt với d A x −1 y z − = = 1 B x −1 y z − = = 1 −1 C x −1 y z − = = 2 D x −1 y z − = = −3 x −1 y z +1 = = 1 Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x − y − z −1 = = mặt phẳng 1 (α) : x + y + z − 1= Gọi d đường thẳng nằm (α) đồng thời cắt đường thẳng ∆ trục Oz Một vec tơ phương d r A u = (2; −1; −1) r B u = (1; −2; 1) r C u = (12 ; ; −3) r D u = (11 ; ; −2) Câu 12: Cho mặt phẳng (P) có phương trình x + 2y + 3z − = 0và đường thẳng d : x +1 y + z +1 = = Viết phương trình đường thẳng d’ hình chiếu vng góc d lên mặt phẳng (P) A d ' : x −1 y −1 z −1 = = 1 B d ' : x +1 y +1 z − = = 1 −1 C d ' : x −1 y z − = = 1 −1 D d ' : x y z−2 = = −1 −1 Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d : x y −1 z + = = , mặt phẳng 2 (P) : 2x + y + 2z − 5= 0và điểm A(11 ; ; −2) Phương trình tắc đường thẳng ∆ qua A, song song với mặt phẳng (P) vng góc với d A ∆ : x −1 y −1 z + = = 2 −3 B ∆ : x −1 y −1 z + = = −2 C ∆ : x −1 y −1 z + = = −2 D ∆ : x −1 y −1 z + = = 2 Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (α) : x + 2y+ z − = đường thẳng d: x +1 y z + = = Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng (α), đồng thời cắt vuông góc với đường thẳng d A x −1 y −1 z −1 = = −1 −3 B x +1 y + z −1 = = −1 C x −1 y +1 z −1 = = −1 D x −1 y −1 z −1 = = Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng d : x y z−2 = = điểm N(3; −2; 3) Viết 1 −1 phương trình đường thẳng ∆ qua N, cắt vng góc với d A ∆ : x − y + 3− z = = −1 B ∆ : x y z−2 = = −1 C ∆ : x −3 y+2 z−3 = = −3 D ∆ : x −6 y+4 z−4 = = −2 x = 2+ 3t Câu 16: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho A(4; −2; 3), ∆ : y = , đường thẳng d qua A cắt z = 1− t vuông góc với ∆ có vecto phương r A vectơ a = (5; 21 ; 5) r C vectơ a = (10 ; ; 3) r B vectơ a = (4; 31 ; 2) r D vectơ a = (−21 ; 5; −6) ; ; 4) Một mặt phẳng (α) qua M cắt tia Ox, Câu 17: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho M(12 Oy, Oz A, B, C tương ứng cho thể tích khối chóp O.ABC 36, với điểm O gốc tọa độ Mặt phẳng (ABC) cắt đường thẳng (∆) : A I(−2; 2; 2) x y−4 z−4 = = điểm I Tọa độ I 1 ; ; 3) B I(−13 C I(0; 4; 4) ; ; 5) D I(15 LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN x = + 2t uuur Câu 1: B = d ∩ ∆ : y = −1 + t ⇒ B (2t + 1; t − 1; −t ) ⇒ AB = (2t − 1; t − 2; −t ) z = −t uu r uuu r uur uuur Ta có u∆ = (2;1; −1), d ⊥ ∆ ⇔ AB.u∆ = ⇔ 2(2 t − t ) + t − + t = ⇔ t = ⇒ AB = ; − ; − ÷ 3 3 x = + t r ⇒ u = (1; −4; −2) VTCP d ⇒ d : y = − 4t Chọn C z = −2t Câu 2: Gọi d’ giao tuyến hai mặt phẳng (P), (Q) y − z − = z = ⇔ ⇒ A(0; 4; 2) ∈ d' ⇒ A(0; 4; 2) ∈ ( R) Cho x = ⇒ 3 y − 12 = y = Đường thẳng d qua B (1; −2; −1), C(4; −3;1) ⇒ B, C ∈ ( R) uuur uuur uuur AB = (1; −6; −3) ⇒ AB AC = ( −15; −11;17) VTPT (R) Ta có uuur AC = (4; −7; −1) r ⇒ n = (15;11; −17) VTPT (R) Mà (R) qua A(0; 4; 2) ⇒ ( R) :15 x + 11( y − 4) − 17( z − 2) = ⇔ 15 x + 11 y − 17 z − 10 = Chọn A x = + 2t ⇒ A(2t + 1; t ; −3t − 2) Câu 3: Gọi A = ∆ ∩ d ⇒ A = (P) ∩ d mà ⇒ d : y = t z = −2 − 3t Ép cho A ∈ ( P ) ⇔ 2t + + 2t − 3t − + = ⇔ t = −2 ⇒ A(−3; −2; 4) uu r ud = (2;1; −3) uu r uur ⇒ ud nP = (7; −5;3) VTCP ∆ Ta có uur nP = (1; 2;1) Mà ∆ qua A ⇒ ∆ : x+3 y +2 z −4 x−4 y +5 z −7 = = ⇔ = = Chọn D −5 −5 Câu 4: Gọi AB đoạn vng góc chung A ∈ d1 ; B ∈ d uuu r ⇒ A(7 + a;3 + 2a;9 − a), B(3 − 7b;1 + 2b;1 + 3b) ⇒ AB = ( −a − 7b − 4; −2a + 2b − 2; a + 3b − 8) AB ⊥ d1 (− a − 7b − 4) + 2( −2a + 2b − 2) − (a + 3b − 8) = ⇔ ⇔a=b=0 Ta có AB ⊥ d − 7( − a − b − 4) + 2( − a + b − 2) + 3( a + b − 8) = uuur r ⇒ AB = (−4; −2; −8) ⇒ u = (2;1; 4) VTCP AB x −7 y −3 z −9 = = Chọn A uuur Câu 5: Gọi B = d ∩ ∆ ⇒ B (t + 1; t + 2;13 − t ) ⇒ AB = (t + 1; t + 1;14 − t ) uu r uuur uur Ta có u∆ = (1;1; −1), d ⊥ ∆ ⇔ AB.u∆ = ⇔ t + + t + + t − 14 = ⇔ t = Mà AB qua A(7;3;9) ⇒ AB : uuur r ⇒ AB = (5;5;10) VTCP d ⇒ u = (1;1; 2) VTCP d x = t ' Mà d qua A ⇒ d : y = + t ' Chọn B z = −1 + 2t ' uuu r Câu 6: Ta có B (b − 1;7b + 1;3 − b), A(2a + 1; −a; a − 2) ⇒ BA = (2a − b + 2; − a − 7b − 1; a + b − 5) AB ⊥ d1 2(2a − b + 2) − (− a − 7b − 1) + (a + b − 5) = ⇔ ⇔a=b=0 Ép cho (2a − b + 2) + 7(−a − 7b − 1) − (a + b − 5) = AB ⊥ d uuu r uuu r r uuur A(1;0; −2) uuu ⇒ OA.OB = (2; −1;1) ⇒ S = OA.OB = Chọn C 2 B (−1;1;3) Câu 7: Gọi A = ∆ ∩ d ⇒ A = ( P) ∩ d ⇒ A(2t − 1; t ;3t − 2) Mà A ∈ ( P) ⇔ 2t − + 2t + 3t − − = ⇔ t = ⇒ A(1;1;1) uur nP = (1; 2;1) uur uu r ⇒ nP ; ud = (5; −1; −3) VTCP ∆ r Ta có uu ud = (2;1;3) x −1 y −1 z −1 = = Chọn C −1 −3 uuur Câu 8: Gọi B = d ∩ ∆ ⇒ B (2t + 1; t − 1; −t ) ⇒ MB = (2t − 1; t − 2; −t ) Mà ∆ qua A ⇒ ∆ : uu r uuur uu r Ta có u∆ = (2;1; −1), d ⊥ ∆ ⇔ MB.u∆ = ⇔ 4t − + t − + t = ⇔ t = uuur r ⇒ MB = ; − ; − ÷là VTCP d ⇒ u = (1; −4; −2) VTCP d Chọn D 3 3 Câu 9: Gọi A = ∆ ∩ d ⇒ A = ( P) ∩ d ⇒ A(t − 2; t + 2; −t ) Mà A ∈ ( P ) ⇔ t − + 2t + + 3t + = ⇔ t = −1 ⇒ A(−3;1;1) uur nP = (1; 2; −3) uur uu r ⇒ nP ud = (1; −2; −1) VTCP ∆ r Ta có uu ud = (1;1; −1) x = −3 + t Mà ∆ qua A ⇒ ∆ : y = − 2t Chọn C z = 1− t uuu r Câu 10: Gọi B = d ∩ ∆ ⇒ B (t + 1; t ; 2t − 1) ⇒ AB = (t ; t ; 2t − 3) uu r uuur uu r Ta có u∆ = (1;1; −1), d ⊥ ∆ ⇔ AB.ud = ⇔ t + t + 4t − = ⇔ t = uuur x −1 y z − ⇒ AB = ( 1;1; −1) VTCP ∆ ⇒ ∆ : = = Chọn B 1 −1 Câu 11: Gọi A = d ∩ ∆; B = d ∩ Oz ⇒ A, B ∈ (α ) A(a + 2; a + 2; 2a + 1) ⇒ a + + a + + 2a + − = ⇔ a = −1 ⇒ A(1;1; −1) Ta có B (0;0; b) ⇒ + + b − = ⇒ B(0;0;1) uuu r ⇒ BA = ( 1;1; −2 ) VTCP d Chọn D → M (2t − 1;3t − 2; 2t − 1) Câu 12: Gọi M = d ∩ ( P ) , M ∈ d Do 2t − + 2(3t − 2) + 3(2t − 1) − = ⇔ t = ⇒ M (1;1;1) Gọi N ( −1; −2; −1) ∈ d Và H hình chiếu N (P) x = −1 + a Phương trình đường thẳng NH y = −2 + 2a z = −1 + 3a uuuur Vì H = NH ∩ ( P ) suy H (0;0; 2) Ta có MH = ( −1; −1;1) x = 1− t Vậy phương trình đường thẳng MH y = − t Chọn B z = 1+ t r uuur uu r uuur ∆ / /(P) uur uu ⇒ u∆ = ud ; n( P ) = (−2; −2;3) Câu 13: Ta có u∆ = (1; 2; 2), n( P ) = (2;1; 2) Vì ∆ ⊥ d Mặt khác ∆ qua A(1;1; −2) → ∆ : x −1 y −1 z + = = Chọn A 2 −3 Câu 14: Gọi phương trình đường thẳng cần tìm ∆ M = d ∩ ∆ ⇒ M ∈ ( P ) Ta có M (−1 + 2t ; t; −2 + 3t ) mà M ∈ ( P ) ⇒ −1 + 2t + 2t − + 3t = ⇔ t = ⇒ M (1;1;1) r uuur uu r ∆ ⊂ (α ) uu ⇒ u∆ = n(α ) ; ud = (5; −1; −3) Lại có ∆ ⊥ d x −1 y −1 z −1 = = Chọn A −1 −3 uuuu r Câu 15: Gọi M = d ∩ ∆ ⇒ M (t ; t ; − t ) ⇒ MN = (3 − t ; −2 − t ;1 + t ) uu r uur Vì d ⊥ ∆ ⇒ ud u∆ = ⇔ 1.(3 − t ) + 1.(−2 − t ) + (−1).(1 + t ) = ⇔ t = Vậy phương trình đường thẳng ∆ uuuu r x −3 y + z −3 = = Do MN = (3; −2;1) ⇒ Phương trình ∆ : Chọn D −2 uuur Câu 16: Gọi B = d ∩ ∆ ⇒ B (2 + 3t ; 4;1 − t ) ⇒ AB = (3t − 2;6; −2 − t ) uuur uu r Vì d ⊥ ∆ suy AB.u∆ = ⇔ 3.(3t − 2) + 0.6 + (−1)(−2 − t ) = ⇔ t = uuur r 12 Do AB = (− ;6; − ) = (−2;15; −6) Vậy a = (−2;15; −6) Chọn D 5 Câu 17: Gọi A( a;0;0), B(0; b;0), C (0;0; c) ⇒ ( ABC ) : Thể tích khối chóp O.ABC VO ABC = x y z + + =1 a b c OA.OB.OC abc = = 36 ⇔ abc = 216 6 Ta có M (1; 2; 4) ∈ (ABC) ⇒ = + + ≥ 33 ⇔ abc ≥ 33.8 = 216 a b c abc a = x y z Dấu xảy = = = ⇒ b = ⇒ ( ABC ) : + + = a b c 12 c = 12 t t+4 t+4 + =1⇔ t = Gọi I (t ; t + 4; t + 4) ∈ ∆ mà I = ∆ ∩ (ABC) ⇒ + 12 Vậy I (0; 4; 4) Chọn C ... D z = Dạng 6: Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc khoảng cách Phương pháp giải r Giả sử đường thẳng cần lập có véc tơ phương u d = (a; b;c), a + b + c ≠ Đường thẳng d song... Dạng 7: Viết phương trình đường thẳng vng góc chung đường thẳng chéo Phương pháp giải Giả sử lập phương trình đường vng góc chung hai đường thẳng d1; d2 Ta thực sau: Chuyển đường d1 d2 dạng. .. pháp giải Cách 1: - Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (α ) chứa d vng góc với (P) uuur uu r uuur Khi n(α ) = ud ; n( P ) - Bước 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ = (α ) ∩ ( P) Cách 2: Lấy