Trường đại học Mở tpHCMMÔN HỌC: TOÁN TIN HỌC Nội dung file:Ôn tập các dạng bài tập, trong đó: Bài tập từng chương: bài tập được giao trong từng buổi học trong suốt khóa học được giải chi tiết từng loại bài (lời giải do sinh viên làm) Bài tập tổng ôn: đề bài dựa trên đề ôn cuối kì của giảng viên, có lời giải do sinh viên làm
TỐN TIN HỌC Ơn tập dạng tập Mục lục BÀI TẬP TỪNG CHƯƠNG Chương Chương Chương Chương 11 Chương 15 Chương 20 Chương 35 BÀI TẬP TỔNG ÔN 40 *Bài tập chương giải chi tiết loại bài, tập tổng ôn dựa đề ôn cuối kì giảng viên* BÀI TẬP TỪNG CHƯƠNG Chương BÀI 1: Khẳng định đúng: a, b, c, d BÀI 2: a) {1 + (−1)𝑛 | 𝑛 ∈ 𝑁} = {0; 2} b) {𝑛 + | 𝑛 ∈ {1, 2, 3, 5, 7}} = {2, 3, 4, 6, 8} 1 12 30 56 90 132 c) {1/(𝑛2 + 𝑛), 𝑛 ∈ 𝑁, 𝑛 𝑙à 𝑙ẻ 𝑣à 𝑛 ≤ 11} = { ; BÀI 3: a) b) c) d) e) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 = {1, 2, 3, 5} 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶 ) = {1, 2, 3, 4, 5} 𝐶 ∪ 𝐷 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 𝐶 ∩ 𝐷 = {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 = {4, 8} ; ; ; ; } f) 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶 ) = {1, 2, 3, 4, 5, 8} g) (𝐵 ∩ 𝐶 ) ∩ 𝐷 = ∅ h) 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷 = {1, 4, 8} i) (𝐴 ∪ 𝐵) ∩ 𝐶 ∩ 𝐷 = {1, 3, 4, 5, 8} BÀI 4: a) 𝐴 ∩ (𝐵 ∩ 𝐴 ) = (𝐴 ∩ 𝐴) ∩ 𝐵 = ∅ ∩ 𝐵 = ∅ b) (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷) = [(𝐴 ∪ 𝐴) ∩ 𝐵] ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷) = 𝐵 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷) = (𝐵 ∪ 𝐴) ∩ (𝐵 ∪ 𝐵) ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ (𝐵 ∪ 𝐷 ) = (𝐵 ∪ 𝐴) ∩ 𝐵 ∩ (𝐵 ∪ 𝐶) ∩ (𝐵 ∪ 𝐷 ) = 𝐵 c) 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ) = 𝐴 ∪ [(𝐵 ∪ 𝐴) ∩ (𝐵 ∪ 𝐵) ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)] = 𝐴 ∪ [(𝐵 ∪ 𝐴) ∩ Ω ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)] = [𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐴)] ∩ (𝐴 ∪ Ω) ∩ [𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)] = Ω ∩ Ω ∩ [𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶)] = 𝐴 ∪ (𝐵 ∪ 𝐶) d) 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷) = [ 𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷)] ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = [(𝐴 ∪ 𝐴) ∩ (𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷))] ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = [𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)] ∪ (𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = [(𝐴 ∪ 𝐴) ∩ (𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶))] ∪ (𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = 𝐴 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷) ∪ (𝐴 ∩ 𝐵) = [𝐴 ∪ (𝐴 ∩ 𝐵)] ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷) = [(𝐴 ∪ 𝐴) ∩ (𝐴 ∪ 𝐵)] ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷) = 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷) = 𝐴 ∪ [𝐵 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶 ∩ 𝐷)] ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = 𝐴 ∪ [(𝐵 ∪ 𝐵) ∩ (𝐵 ∪ (𝐶 ∩ 𝐷))] ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ (𝐶 ∩ 𝐷) ∪ (𝐵 ∩ 𝐶) = 𝐴 ∪ [𝐵 ∪ (𝐵 ∩ 𝐶)] ∪ (𝐶 ∩ 𝐷) = 𝐴 ∪ [(𝐵 ∪ 𝐵) ∩ (𝐵 ∪ 𝐶)] ∪ (𝐶 ∩ 𝐷) = 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶 ∪ (𝐶 ∩ 𝐷) = 𝐴 ∪ 𝐵 ∪ [(𝐶 ∪ 𝐶) ∩ (𝐶 ∪ 𝐷)] =𝐴∪𝐵∪𝐶∪𝐷 BÀI 5: a/ f (x) = / x Ánh xạ f đơn ánh ∀ 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑅, 𝑣à 𝑥1 ≠ 𝑥2 → 𝑓(𝑥1 ) ≠ 𝑓(𝑥2 ) Ánh xạ f khơng tồn ánh y= khơng tồn x Do ánh xạ f khơng phải toàn ảnh b/ f (x) = √𝑥 Ánh xạ f đơn ánh ∀ 𝑥1 , 𝑥2 ∈ 𝑅, 𝑣à 𝑥1 ≠ 𝑥2 → 𝑓(𝑥1 ) ≠ 𝑓(𝑥2 ) Ánh xạ f khơng tồn ánh Do ánh xạ f khơng phải tồn ảnh c/ f (x) = ±√(𝑥 + 1) Ánh xạ f khơng phải đơn ánh f (-1) = f (1) = ±√2 Ánh xạ f tồn ánh ∀𝑦 ∈ 𝑅, ∃𝑥 = ±√(𝑥 + 1) 𝑠𝑎𝑜 𝑐ℎ𝑜 𝑓(𝑥) = 𝑦 Do ánh xạ f khơng phải toàn ảnh BÀI TẬP TRONG SLIDE: Slide 16: Ánh xạ không đơn ánh: f: BA: 𝑓 (𝑏1 ) = 𝑎1 ; 𝑓(𝑏2 ) = 𝑎2 ; 𝑓 (𝑏3 ) = 𝑎2 Ánh xạ khơng tồn ánh: f: AC: 𝑓(𝑎1 ) = 𝑐2 ; 𝑓 (𝑎2 ) = 𝑐3 Slide 24: (𝑔°𝑓)−1 𝑙à á𝑛ℎ 𝑥ạ 𝑡ừ 𝐶 𝑣à𝑜 𝐴 𝑔−1 : 𝐶 → 𝐵; 𝑓 −1 : 𝐵 → 𝐴, 𝑑𝑜 đó: 𝑓 −1 °𝑔−1 𝑙à á𝑛ℎ 𝑥ạ 𝑡ừ 𝐶 𝑣à𝑜 𝐴 𝑁ê𝑛 (𝑔°𝑓)−1 = 𝑓 −1 °𝑔−1 Chương Bài 1: a/ 𝑅1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} Khơng có tính phản xạ: khơng có (3, 3) Khơng có tính đối xứng: khơng có (4, 3), (1, 4) Khơng có tính bắc cầu: khơng có (3, 1) b/ 𝑅2 = {(1,1), (1,2), (2,1)} Khơng có tính phản xạ: khơng có (2, 2) Có tính đối xứng Khơng có tính bắc cầu: khơng có (2, 2) c/ 𝑅3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)} Có tính phản xạ Có tính đối xứng Khơng có tính bắc cầu: khơng có (3, 1), (1, 3) d/ 𝑅4 = {(2,1), (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (4,3)} Khơng có tính phản xạ: khơng có (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) Khơng có tính đối xứng: khơng có (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 4), (2, 4), (3, 4) Có tính bắc cầu e/ 𝑅5 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3), (3,4), (4,4)} Có tính phản xạ Khơng có tính đối xứng: khơng có (2, 1); (3, 1); (4, 1); (3, 2); (4, 2); (4, 3) Có tính bắc cầu Bài 2: a/ C tập cố định E, xét quan hệ ℛ tập P(E): A ℛ B A C = B C Có tính phản xạ Có tính đối xứng Khơng có tính phản đối xứng Có tính bắc cầu b/ Quan hệ ℛ Z: x ℛ y x+y chẵn Có tính phản xạ (x+x= 2x: chẵn x ℛ x) Có tính đối xứng (x+y: chẵn y+x: chẵn y ℛ x) Khơng có tính phản đối xứng Có tính bắc cầu 𝑥ℛ y 𝑥 + 𝑦 = 2𝑘 { →{ → 𝑥 + 𝑧 = 2(𝑘 + 𝑙 − 𝑦) → 𝑥ℛ z 𝑦ℛ z 𝑦 + 𝑧 = 2𝑙 c/ Quan hệ ℛ Z: x ℛ y x-y lẻ Khơng có tính phản xạ (x-x=0: chẵn) Có tính đối xứng (x-y: lẻ y-x: lẻ y ℛ x) Khơng có tính phản đối xứng Khơng có tính bắc cầu 𝑥ℛ y 𝑥−𝑦=𝑘 { →{ → 𝑥 − 𝑧 = 𝑘 + 𝑦 + 𝑙 − 𝑦 = 𝑘 + 𝑙: 𝑐ℎẵ𝑛 (𝑙ẻ + 𝑙ẻ = 𝑐ℎẵ𝑛) 𝑦ℛ z 𝑦−𝑧 =𝑙 d/ Quan hệ ℛ ZxZ: (a,b) ℛ (c,d) a c Có tính phản xạ (a a (a, b) ℛ (a, b)) Khơng có tính đối xứng Lấy (1, 3), (2, 3) ZxZ (1, 3) ℛ (2, 3) (1 2) Khơng có (2, 3) ℛ (1, 3) (2 > 1) Khơng có tính phản đối xứng Lấy (2, 3), (2, 5) ZxZ (2, 3)ℛ(2, 5) { 𝑛ℎư𝑛𝑔 (2,3) ≠ (2,5) (2,5)ℛ(2,3) Có tính bắc cầu ∀ (𝑎, 𝑏), (𝑐, 𝑑 ), (𝑒, 𝑓) ∈ 𝑍𝑥𝑍 (𝑎, 𝑏)ℛ (c, d) 𝑎≤𝑐 { →{ → 𝑎 ≤ 𝑒 → (𝑎, 𝑏)ℛ(e, f) (𝑐, 𝑑 )ℛ (e, f) 𝑐≤𝑒 e/ Quan hệ ℛ Z: x ℛ y 𝑥 + 𝑦 chẵn Có tính phản xạ (𝑥 + 𝑥 = 2𝑥 : 𝑐ℎẵ𝑛 → 𝑥ℛx) Có tính đối xứng (𝑥 + 𝑦 : 𝑐ℎẵ𝑛 → 𝑦 + 𝑥 : 𝑐ℎẵ𝑛 → 𝑦ℛx) Khơng có tính phản đối xứng Có tính bắc cầu 𝑥ℛ y 𝑥 + 𝑦 = 2𝑘 { →{ → 𝑥 + 𝑧 = 2(𝑘 + 𝑙 − 𝑦): 𝑐ℎẵ𝑛 → 𝑥ℛ z 𝑦ℛ z 𝑦 + 𝑧 = 2𝑙 f/ Quan hệ ℛ R: x ℛ y x = y Có tính phản xạ (|𝑥| = |𝑥| → 𝑥ℛx) Có tính đối xứng (|𝑥| = |𝑦| → |𝑦| = |𝑥 | → 𝑦ℛx) Khơng có tính phản đối xứng Có tính bắc cầu |𝑥| = |𝑦| 𝑥ℛ y { →{ → |𝑥| = |𝑧| → 𝑥ℛ z 𝑦ℛ z |𝑦| = |𝑧| g/ Quan hệ ℛ R: x ℛ y sin2 𝑥 + cos2 𝑦 = Có tính phản xạ (sin2 𝑥 + cos 𝑥 = → 𝑥ℛ x) Có tính đối xứng sin2 𝑥 + cos2 𝑦 = ↔ (1 − cos2 𝑥 ) + (1 − sin2 𝑦) = ↔ sin2 𝑦 + cos 𝑥 = → 𝑦ℛ x Khơng có tính phản đối xứng Có tính bắc cầu 𝑥ℛ y sin2 𝑥 + cos 𝑦 = { →{ → sin2 𝑥 + cos2 𝑧 = → 𝑥ℛ z 𝑦ℛ z sin 𝑦 + cos 𝑧 = Chương Bài 1: a/ 𝑝 → [(¬𝑞𝑟)¬𝑠][¬𝑠 → (¬𝑟𝑝)] (∗) 𝑝 → (1) (2) { (∗) ≡ 𝑇 → (1) (2) ≡ 𝑇 𝑝=𝑇 →{ (1) ≡ 𝑇 → ¬𝑠 = 𝑇 → 𝑠 = 𝐹 (2) ≡ 𝑇 → ¬𝑟𝑝 = 𝑇 → ¬𝑟 = 𝑇 → 𝑟 = 𝐹 (1) ≡ 𝑇 𝑚ặ𝑡 𝑘ℎá𝑐: { → ¬𝑞 = 𝑇 → 𝑞 = 𝐹 𝑟=𝐹 b/ CMR: (p ( p q)) p q tương đương logic (p (p q)) = p (p q) = (p p) (p q) = F (p q) = p q Bài 2: a (𝑝 𝑞) (𝑝 𝑞) ≡ (𝑝 𝑞) (𝑝 𝑞) ≡ 𝑝 𝑞 𝑝 𝑞 ≡ (𝑝 𝑝) (𝑞 𝑞) ≡ 𝑇 𝑇 ≡ 𝑇 b (𝑝 𝑞) 𝑝 ≡ ¬(𝑝𝑞) 𝑝 ≡ ¬𝑝 ¬𝑞 𝑝 ≡ 𝑇 ¬𝑞 ≡ 𝑇 c 𝑝 (𝑝 𝑞) ≡ ¬𝑝 (𝑝 𝑞) ≡ 𝑇 𝑞 ≡ 𝑇 d 𝑝 (𝑝 𝑞) ≡ ¬𝑝 → (¬𝑝 𝑞) ≡ 𝑝 (¬𝑝 𝑞) ≡ 𝑇 𝑞 ≡ 𝑇 e (𝑝 𝑞)(𝑝 𝑞) ≡ (𝑝 𝑞)(¬𝑝 𝑞) ≡ ¬(𝑝 𝑞) (¬𝑝 𝑞) ≡ ¬𝑝 ¬𝑞 ¬𝑝 𝑞 ≡ ¬𝑝 𝑇 ≡ 𝑇 f (𝑝 𝑞) 𝑝 ≡ (𝑝 → 𝑞) 𝑝 ≡ ¬𝑝 𝑞 𝑝 ≡ 𝑇 𝑞 ≡ 𝑇 g (𝑝 𝑞) 𝑞 ≡ (𝑝 → 𝑞) ¬𝑞 ≡ ¬𝑝 𝑞 ¬𝑞 ≡ ¬𝑝 𝑇 ≡ 𝑇 Bài 3: a (¬𝑝 (𝑝 𝑞)) ¬𝑞 ≡ (¬𝑝 (¬𝑝 𝑞)) ¬𝑞 ≡ ¬𝑝 → ¬𝑞 ≡ 𝑝 ¬𝑞 b (¬𝑞 (𝑝 𝑞)) ¬𝑝 ≡ (¬𝑞 (¬𝑝 𝑞)) ¬𝑝 ≡ [(¬𝑞 ¬𝑝) (¬𝑞 𝑞)] → ¬𝑝 ≡ [(¬𝑞 ¬𝑝) 𝐹 ] → ¬𝑝 ≡ ¬(𝑞 𝑝) → ¬𝑝 ≡ (𝑞 𝑝) ¬𝑝 ≡ 𝑞 𝑇 ≡ 𝑇 Bài 4: a ¬𝑝 ↔ 𝑞 𝑣à 𝑝 ↔ ¬𝑞 ¬𝑝 ↔ 𝑞 ≡ (¬𝑝 → 𝑞) (𝑞 → ¬𝑝) ≡ (¬𝑞 → 𝑝) (𝑝 → ¬𝑞) ≡ (𝑝 → ¬𝑞) (¬𝑞 → 𝑝) ≡ 𝑝 ↔ ¬𝑞 b ¬(𝑝 ↔ 𝑞)𝑣à ¬𝑝 ↔ 𝑞 ¬(𝑝 ↔ 𝑞) ≡ ¬[(𝑝 → 𝑞) (𝑞 → 𝑝)] ≡ ¬[(¬𝑝 𝑞) (¬𝑞 𝑝)] ≡ ¬[((¬𝑝 𝑞) ¬𝑞) ((¬𝑝 𝑞) 𝑝)] ≡ ¬[(¬𝑝 ¬𝑞) (𝑞 𝑝)] ≡ ¬[¬(𝑝 𝑞) (𝑞 𝑝)] ≡ (𝑝 𝑞) ¬(𝑞 𝑝) ≡ (𝑝 𝑞) (¬𝑞 ¬𝑝) ≡ (¬𝑝 → 𝑞)(𝑞 → ¬𝑝) = ¬𝑝 ↔ 𝑞 Bài 5: (¬𝑝 𝑞) → (𝑟 𝑠) (gt) ¬(𝑟 𝑠) (4, 5) 𝑟 → 𝑡 (gt) ¬(¬𝑝 𝑞) (1, 6) ¬𝑡 (gt) 𝑝 ¬𝑞 (7) (𝑟 𝑠) → 𝑟 (hằng đúng) 𝑝 (8) đpcm ¬𝑟 (2, 3) Bài 6: a c 𝑝→𝑞 ¬𝑞 ¬𝑟 ¬𝑝 ¬𝑟 ¬𝑝 ¬(𝑟 𝑝) (gt) (gt) (gt) (1, 2) (3, 4) (5) đpcm 𝑝→𝑞 𝑟 → ¬𝑞 𝑟 ¬𝑞 ¬𝑝 (gt) (gt) (gt) (2, 3) (1, 4) đpcm 𝑝 → (𝑞 → 𝑟 ) ¬𝑞 → ¬𝑝 𝑝 𝑞 𝑞→𝑟 𝑟 (gt) (gt) (gt) (2, 3) (1, 3) (4, 5) đpcm b d 𝑝 𝑞 (gt) 𝑝 → (𝑟 𝑞) 𝑟 → (𝑠 𝑡 ) ¬𝑠 𝑝 𝑟 𝑞 𝑟 𝑠𝑡 𝑡 (gt) (gt) (gt) (1) (2, 5) (6) (3, 7) (4, 8) đpcm e 𝑝 → (𝑞 → 𝑟) 𝑝 𝑠 𝑡 → 𝑞 (gt) (gt) (gt) ¬𝑠 𝑝 𝑞→𝑟 𝑡→𝑟 ¬𝑟 → ¬𝑡 (gt) (2, 4) (1, 5) (3, 6) (7) đpcm 𝑝𝑞 ¬𝑝 𝑟 ¬𝑟 ¬𝑝 𝑞 (gt) (gt) (gt) (2, 3) (1, 4) đpcm f Bài 7: 𝑝→𝑟 ¬𝑝 → 𝑞 𝑞→𝑠 ¬𝑟 ¬s ¬𝑠 ¬𝑞 𝑝 (gt) (gt) (gt) (gt phản chứng) (4) (3, 5) (2, 6) Bài 8: P (x, y): “x ước y” a b c d e f g h p (2, 3) p (2, 6) y, p (1, y) x, P (x, x) y,x, p (x, y) y,x, p (x, y) x,y, (p (x, y) p(y, x)) (x = y) x,y,z, (p (x, y) p(y, z)) p (x, z) a/ Đúng e/ Đúng b/ Đúng f/ Sai c/ Đúng g/ Đúng d/ Đúng h/ Đúng 𝑟 ¬𝑟 10 𝑟¬r ≡ false (1, 7) (4) Theo chứng minh phản chứng ¬𝑟 → 𝑠 Bài 9: a b c d ∃𝑥 𝑃(𝑥): có số sv học lớp tiếng ngày tuần ∀𝑥 𝑃(𝑥): tất sv học lớp tiếng ngày tuần ∃𝑥 ¬𝑃(𝑥): có số sv khơng học lớp tiếng ngày tuần ∀𝑥 ¬𝑃(𝑥): tất sv khơng học lớp tiếng ngày tuần Bài 10: P(x): x nói tiếng Anh a b c d Q(x): x biết ngôn ngữ C++ ∃𝑥 𝑃(𝑥) Q(x) ∃𝑥 𝑃(𝑥) ¬Q(x) ∀𝑥 𝑃(𝑥) Q(x) ¬(∃𝑥 𝑃(𝑥) Q(x)) = ∀𝑥 ¬𝑃(𝑥) ¬Q(x) Bài 11: a Tất sinh viên tin học phải học mơn tốn tin học A(x) câu: “x sinh viên tin học” B(x) câu: “x học mơn tốn tin học” ∀𝑥 𝐴(𝑥) B(x) b Có sinh viên lớp có máy vi tính C(x) câu: “x có máy tính” ∃𝑥 𝐶(𝑥) c Tất sinh viên lớp học mơn tin học D(x) câu: “x học mơn tin học” ∀𝑥 𝐷(𝑥) d Mỗi sinh viên lớp nhà ký túc xá E(x) câu: “x nhà kí túc xá” ∀𝑥 𝐸(𝑥) a Tìm dạng nối rời tắc f = 𝑥𝑦𝑧𝑡̅ + 𝑥̅ 𝑦𝑧𝑡̅ + 𝑥̅ 𝑦𝑧𝑡 + 𝑥𝑦̅𝑧̅𝑡 + 𝑥𝑦𝑧̅𝑡 + 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅𝑡 + 𝑥𝑦𝑧̅𝑡̅ + 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅𝑡̅ b Tìm công thức đa thức tối tiểu f Biểu diễn biểu đồ Karnaugh: B1: Xác định tế bào lớn: 𝑦𝑧𝑡̅ 𝑥̅ 𝑦𝑧 𝑥𝑧̅𝑡 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅ 𝑦̅𝑧̅𝑡 𝑥𝑦𝑡̅ 𝑥𝑦𝑧̅ B2: Chọn ô thuộc tế bào lớn nhất: Ô (2; 3) thuộc tế bào lớn 𝑥̅ 𝑦𝑧 Ô (4; 4) thuộc tế bào lớn 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅ Chọn phủ f : 𝑥̅ 𝑦𝑧 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅ B3: Ta có: Ơ (3; 1) thuộc tế bào lớn: 𝑥𝑧̅𝑡 𝑣à 𝑦̅𝑧̅𝑡 𝑁ế𝑢 𝑐ℎọ𝑛 𝑥𝑧̅𝑡 𝑝ℎủ 𝑘í𝑛 𝑓1 = 𝑥̅ 𝑦𝑧 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅ 𝑥𝑧̅𝑡 (1) 𝑁ế𝑢 𝑐ℎọ𝑛 𝑦̅𝑧̅𝑡 𝑝ℎủ 𝑘í𝑛 𝑓2 = 𝑥̅ 𝑦𝑧 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅ 𝑦̅𝑧̅𝑡 (2) Ô (1; 2) thuộc tế bào lớn: 𝑦𝑧𝑡̅ 𝑣à 𝑥𝑦𝑡̅ Từ (1) chọn o 𝑥𝑦𝑡̅ 𝑝ℎủ 𝑘í𝑛 𝑓: 𝑥̅ 𝑦𝑧 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅ 𝑥𝑧̅𝑡 𝑥𝑦𝑡̅ o 𝑦𝑧𝑡̅ 𝑐ℎư𝑎 𝑝ℎủ 𝑘í𝑛 𝑓 Từ (2) chọn o 𝑥𝑦𝑡̅ 𝑐ℎư𝑎 𝑝ℎủ 𝑘í𝑛 𝑓 o 𝑦𝑧𝑡̅ 𝑐ℎư𝑎 𝑝ℎủ 𝑘í𝑛 𝑓 B4: f1 f2 đơn giản nên có đa thức tối tiểu: ̅𝒚𝒛 𝒙 ̅𝒚 ̅𝒛̅ 𝒙𝒛̅𝒕 𝒙𝒚𝒕̅ 𝒇=𝒙 c Vẽ mạch tổng hợp hàm Boole f tương ứng với công thức tối tiểu f câu b Chương Bài 1: Tìm khung tối thiểu đồ thị G với trọng số sau: Chọn đỉnh tùy ý ban đầu A, đỉnh A có đỉnh kề B, E, F Chọn cạnh AB đưa vào khung có trọng số nhỏ (1) Xét đỉnh A B Chọn cạnh kề với đỉnh với trọng số nhỏ đỉnh C (2) Tiếp theo xét đỉnh A, B, C Chọn đỉnh C với cạnh CD có trọng số nhỏ (3) Tiếp tục ta khung AB, BC, CD, BE, EF Ta khung tối tiểu T sau: Tổng trọng số khung tối tiểu T: + + + + = 18 Bài 2: Cho đồ thị G = (V, E), V = {a, b, c, d, e, f, g, h, i}, biểu diễn theo danh sách đỉnh liền kề sau: ĐỈNH ĐỈNH KỀ a b, d b a, c, d, e c b, f d a, b, e, g e b, d, f, h f c, e, h, i g d, h h e, f, g, i i f, h a Vẽ đồ thị G b Tìm chu trình Euler đồ thị G có Ta thấy: đồ thị G liên thông đỉnh G có bậc chẵn Có chu trình Euler: A – D – G – H – I – F – H – E – F – C – B – E – D – B – A Bài 3: Có môn thi cần xếp lịch Giả sử môn học đánh số từ đến 6, cặp mơn thi sau có chung sinh viên: 2, 3, 4, 5, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 6, Hãy xếp lịch thi cho: số đợt thi sinh viên khơng bị trùng lịch thi Dùng thuật tốn Welch-Powell để tô màu đồ thị Đỉnh Bậc Màu I II II 4 III III I Như ta dùng màu tô đồ thị tương ứng tổ chức đợt thi cho môn thi để sinh viên không bị trùng lịch Đợt thi I II III Môn thi 1, 2, 4, Bài 4: Dùng thuật toán Dijkstra, tìm đướng ngắn từ A đến F đồ thị sau Ta có: bước lặp o Bước 0: V = {A, B, C, D, E, F}; S = o Bước 1: gán cho đỉnh A L(A) = gán cho đỉnh lại Trong đỉnh không thuộc S = {A} kề với A có đỉnh B C Ta có: L(B) = {, L(A) + w(AB)} = {, + 4} = L(C) = {, L(A) + w(AC)} = {, + 2} = Ta có L(C) nhỏ nên C S S = {A, C} Trong đỉnh không thuộc S mà kề với C có đỉnh B, D, E: L(B) = {4, L(C) + w(CB)} = {4, + 1} = L(E) = {, L(C) + w(CE)} = {, 12} = 12 L(D) = {, L(C) + w(CD)} = {, + 8} = 10 Ta có L(B) nhỏ nên B S S = {A, C, B} Trong đỉnh không thuộc S mà kề với B D: L(D) = {10, L(B) + w(BD)} = {10, + 5} = D S S = {A, C, B, D} Trong đỉnh kề với D mà không thuộc S E, F: L(E) = {12, L(D) + w(DE)} = {12, + 2} = 10 L(F) = { , L(D) + w(DF)} = { , + 6} = 14 Ta có L(E) nhỏ nên E S S = {A, C, B, D, E} Trong đỉnh kề với E mà không thuộc S F: L(F) = {14, L(E) + w(EF)} = {14, 10 + 3} = 13 Vậy đường ngắn từ A đến F A, C, B, D, E, F với độ dài 13 BÀI TẬP TỔNG ÔN Bài 1: Cho hai ánh xạ f: A B; g: B C a CMR gof đơn ánh f đơn ánh Theo giả thiết g0f đơn ánh x1, x2 A, x1 ≠ x2 (g0f) (x1) ≠ (g0f) (x2) g [f (x1)] ≠ g [f (x2)] f (x1) ≠ f (x2) f đơn ánh b CMR gof tồn ánh g tồn ánh Theo giả thiết g0f toàn ánh x A, z = (g0f) (x) = g [f (x)] Đặt y = f (x) B: g (y) = z g toàn ánh c CMR f g song ánh gof song ánh Theo giả thiết f g song ánh { ∀𝑦 ∈ 𝐵, ∃! 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 = 𝑓 (𝑥) ∀𝑧 ∈ 𝐶, ∃! 𝑦 ∈ 𝐵, 𝑐 = 𝑔(𝑥) ∀𝑧 ∈ 𝐶, ∃! 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑧 = 𝑓(𝑥) gof song ánh z C, AC tồn ánh d Cho ví dụ gof song ánh, f g không song ánh { 𝑓: đơ𝑛 á𝑛ℎ 𝑛ℎư𝑛𝑔 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡𝑜à𝑛 á𝑛ℎ → 𝑔𝑜 𝑓 𝑙à 𝑠𝑜𝑛𝑔 á𝑛ℎ 𝑔: 𝑡𝑜à𝑛 á𝑛ℎ 𝑛ℎư𝑛𝑔 𝑘ℎô𝑛𝑔 đơ𝑛 á𝑛ℎ Bài 2: Tìm fog gof với f(x) = x2+1 g(x) = x + hàm từ R đến R fog = f [g (x)] = f (x + 2) = (x + 2)2 + = x2 + 4x + + = x2 + 4x + gof = g [f (x)] = g (x2 + 1) = x2 + + = x2 + Bài 3: CMR quan hệ ℛ tập số thực R: x ℛ y sin2x + cos2y = quan hệ tương đương tập số thực R Xét tính phản xạ: x R sin2x + cos2x = x ℛ x Có tính phản xạ Xét tính đối xứng: x, y R, x ℛ y sin2x + cos2y = (1 – cos2x) + (1 – sin2y) = sin2y + cos2x = y ℛ x Có tính đối xứng Xét tính bắc cầu: x, y, z R 𝑥ℛ𝑦 sin2 𝑥 + cos 𝑦 = →{ → sin2 𝑥 + cos2 𝑧 = → 𝑥 ℛ 𝑧 Có tính bắc 𝑦ℛ𝑧 sin 𝑦 + cos 𝑧 = cầu { Quan hệ ℛ quan hệ tương đương Bài 4: Cho quan hệ ℛ tập số thực R xác định bởi: x ℛ y x (x2 + 3x + 3) ≤ y (y2 + 3y + 3) ℛ có phải quan hệ thứ tự tập số thực R khơng? Xét tính phản xạ: x R x (x2 + 3x + 3) ≤ x (x2 + 3x + 3) x ℛ x Có tính phản xạ Xét tính đối xứng: Lấy 1, R (12 + + 3) ≤ (22 + 3*2 + 3) ℛ (vì 26) Khơng có ℛ (vì 26 7) Khơng có tính đối xứng Xét tính phản đối xứng: Lấy R (22 + 3*2 + 3) ≤ (22 + 3*2 + 3) = Có tính phản xứng Xét tính bắc cầu: x, y, z R 𝑥ℛ𝑦 𝑥 (𝑥 + 3𝑥 + 3) ≤ 𝑦(𝑦 + 3𝑦 + 3) { →{ 𝑦ℛ𝑧 𝑦(𝑦 + 3𝑦 + 3) ≤ 𝑧(𝑧 + 3𝑧 + 3) → 𝑥 (𝑥 + 3𝑥 + 3) ≤ 𝑧(𝑧 + 3𝑧 + 3) → 𝑥 ℛ 𝑧 Có tính bắc cầu Quan hệ ℛ quan hệ thứ tự tập số thực R Bài 5: Cho quan hệ đồng dư theo modun tập số nguyên Z a CMR quan hệ đồng dư theo modun quan hệ tương đương Xét quan hệ đồng dư mod Z: a ℛ b (a – b) chia hết cho Xét tính phản xạ: a R (a – a) ⋮ a ℛ a Có tính phản xạ Xét tính đối xứng: a, b R, a ℛ b (a – b) ⋮ (b – a) ⋮ b ℛ a Có tính đối xứng Xét tính bắc cầu: a, b, c R { (a – b) ⋮ 𝑎ℛ𝑏 →{ → (𝑎 − 𝑐 ) = 𝑎 − 𝑏 + 𝑏 − 𝑐 ⋮ → 𝑎 ℛ 𝑐 (b – c) ⋮ 𝑏ℛ𝑐 Có tính bắc cầu Quan hệ đồng du theo mod quan hệ tương đương b Tìm tất lớp tương đương quan hệ đồng dư theo modun tập Z Xét quan hệ đồng dư mod Z 𝑙ớ𝑝 0̅ = {… , −8, −4, 0, 4, 8, … } 𝑙ớ𝑝 2̅ = {… , −6, −2, 2, 6, 10, … } 𝑙ớ𝑝 1̅ = {… , −7, −3, 1, 5, 9, … } 𝑙ớ𝑝 3̅ = {… , −5, −1, 3, 7, 11, … } Bài 6: Xét xem mđ sau có phải khơng? a (¬p (p → q)) → ¬q ≡ (¬p (¬p q)) → ¬q ≡ ¬p → ¬q ≡ p ¬q b (¬q (p → q)) → ¬p ≡ (¬q (¬p q)) → ¬p ≡ ((¬q ¬p) F) → ¬p ≡ ((¬q ¬p) (¬q q)) → ¬p ≡ ¬(q p) → ¬p ≡ q p ¬p ≡qT≡𝐓 Bài 7: CMR: (¬𝒑 𝐪) → (𝒓 𝐬) 𝒓→𝒕 ¬𝒕 𝒑 (¬p q) → (r s) r→t ¬t (r s) → r ¬r ¬(r s) ¬(¬p q) p ¬q p (giả thiết) (giả thiết) (giả thiết) (hằng đúng) (2, 3, MT) (4, 5, MT) (1, 6, MT) (7) (8, Simp) đpcm Bài 8: Khảo sát 60 người cho thấy 25 người đọc báo N, 26 người đọc báo T, 26 người đọc báo F Cũng có người đọc hai báo N F, 11 người đọc hai báo N T, người đọc hai báo T F người không đọc báo Dùng giản đồ Venn để tính: a Tính số người đọc báo Gọi: N: tập hợp người đọc báo N |N| = 25 T: tập hợp người đọc báo T |T| = 26 F: tập hợp người đọc báo F |F| = 26 |𝑁 ∪ 𝑇 ∪ 𝐹 | = |𝑁| + |𝑇| + |𝐹 | − |𝑁 ∩ 𝑇| − |𝑁 ∩ 𝐹 | − |𝑇 ∩ 𝐹 | + |𝑁 ∩ 𝑇 ∩ 𝐹 | → 60 − = 25 + 26 + 26 − 11 − − + |𝑁 ∩ 𝑇 ∩ 𝐹 | → |𝑵 ∩ 𝑻 ∩ 𝑭| = 𝟑 b Tính số người đọc báo N, T, F tương ứng Gọi: n, t, f người đọc báo N, T, F 𝑛 = |𝑁| − |𝑁 ∩ 𝐹 | − |𝑁 ∩ 𝑇| + |𝑁 ∩ 𝑇 ∩ 𝐹 | = 25 − − 11 + = 𝑡 = |𝑇| − |𝑇 ∩ 𝐹 | − |𝑇 ∩ 𝑁| + |𝑁 ∩ 𝑇 ∩ 𝐹 | = 26 − − 11 + = 10 𝑓 = |𝐹 | − |𝐹 ∩ 𝑇| − |𝐹 ∩ 𝑁| + |𝑁 ∩ 𝑇 ∩ 𝐹 | = 26 − − + = 12 Bài 9: Tìm cách chia 10 hịn bi cho đứa trẻ trường hợp sau: a Khơng có hạn chế Gọi xi số bi đứa trẻ i chia x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 10 (*) 10 10 ̅̅̅̅̅ 𝐶 = 𝐶14 = 𝟏𝟎𝟎𝟏 𝒄á𝒄𝒉 b Đứa trẻ lớn nhất đặ𝑡 { 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 𝑡5 = 𝑥5 − → 𝑥5 = 𝑡5 + (∗) → 𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3 + 𝑡4 + 𝑡5 + = 10 → ̅𝐶̅̅58̅ = 𝐶12 = 𝟒𝟗𝟓 𝒄á𝒄𝒉 c Mỗi đứa trẻ đặ𝑡 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖 − → 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖 + (∗) → 𝑦1 + + 𝑦2 + + 𝑦3 + + 𝑦4 + + 𝑦5 + = 10 → ̅𝐶̅̅55̅ → 𝐶95 = 𝟏𝟐𝟔 𝒄á𝒄𝒉 Bài 10: Có cách chia ván hết 52 cho người chơi Gọi xi số người thứ i chia X1 + x2 + x3 + x4 = 52 (*) ̅̅̅̅̅ 𝐶452 = 𝑪𝟓𝟐 𝟓𝟓 𝒄á𝒄𝒉 Bài 11: Cho phương trình: x1 + x2 + x3 + x4 = 19 với xi ≥ i (i=1, 2, 3, 4) Tìm số nghiệm nguyên phương trình 19 19 ̅̅̅̅̅ 𝐶 = 𝐶22 = 𝟏𝟓𝟒𝟎 𝒏𝒈𝒉𝒊ệ𝒎 Bài 12: Tìm số nghiệm ngun khơng âm bất phương trình: x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 10 { 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 ≤ 10 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 10 { ↔ 𝑥𝑖 ≥ 𝑥𝑖 ≥ (̅̅̅̅̅ 1, 4) Số nghiệm phương trình (a1, a2, a3, a4, a5) không kể thứ tự cho phép lặp 𝟏𝟎 → 𝒔ố 𝒑𝒉ầ𝒏 𝒕ử: ̅̅̅̅̅ 𝑪𝟏𝟎 𝟓 = 𝑪𝟏𝟒 = 𝟏𝟎𝟎𝟏 Bài 13: Cho hệ thức truy hồi: an=3an-1 - 2an-2 với a0 = 5, a1 = a Tìm cơng thức biểu diễn an theo n Ta có: 𝑟1 = 𝑟2 = Nghiệm tổng quát dạng: 𝑎𝑛 = 𝛼1 𝑟1𝑛 + 𝛼2 𝑟2𝑛 = 𝛼1 2𝑛 + 𝛼2 Thay điều kiện ban đầu vào nghiệm tổng quát: 𝛼 =3 𝛼 + 𝛼2 = 𝑣ớ𝑖 𝑎0 = 5, 𝑎1 = 8: { →{ 𝛼2 = 2𝛼1 + 𝛼2 = 𝐧 Vậy nghiệm hệ thức truy hồi: 𝐚𝐧 = 𝟑 ∗ 𝟐 + 𝟐 Tìm n tối thiểu để an ≥ 100 ∗ 2𝑛 + ≥ 100 → 2𝑛 > 32 100 − → 2𝑛 > 25 → 2𝑛 ≥ ≈ 32,6 →𝒏>𝟓 Phương trình đặc trưng: 𝑟 − 3𝑟 + = → [ b Bài 14: Cho hàm Boole theo biến f (x, y, z, t) xác định bởi: f -1 (1) = {1110, 0110, 0111, 1001,1101, 0001, 1100, 0000} a Tìm dạng nối rời tắc f = 𝑥𝑦𝑧𝑡̅ + 𝑥̅ 𝑦𝑧𝑡̅ + 𝑥̅ 𝑦𝑧𝑡 + 𝑥𝑦̅𝑧̅𝑡 + 𝑥𝑦𝑧̅𝑡 + 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅𝑡 + 𝑥𝑦𝑧̅𝑡̅ + 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅𝑡̅ b Tìm cơng thức đa thức tối tiểu f Biểu diễn biểu đồ Karnaugh: B1: Xác định tế bào lớn: 𝑦𝑧𝑡̅ 𝑥̅ 𝑦𝑧 𝑥𝑧̅𝑡 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅ 𝑦̅𝑧̅𝑡 𝑥𝑦𝑡̅ 𝑥𝑦𝑧̅ B2: Chọn ô thuộc tế bào lớn nhất: Ô (2; 3) thuộc tế bào lớn 𝑥̅ 𝑦𝑧 Ô (4; 4) thuộc tế bào lớn 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅ Chọn phủ f : 𝑥̅ 𝑦𝑧 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅ B3: Ta có: Ơ (3; 1) thuộc tế bào lớn: 𝑥𝑧̅𝑡 𝑣à 𝑦̅𝑧̅𝑡 𝑁ế𝑢 𝑐ℎọ𝑛 𝑥𝑧̅𝑡 𝑝ℎủ 𝑘í𝑛 𝑓1 = 𝑥̅ 𝑦𝑧 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅ 𝑥𝑧̅𝑡 (1) 𝑁ế𝑢 𝑐ℎọ𝑛 𝑦̅𝑧̅𝑡 𝑝ℎủ 𝑘í𝑛 𝑓2 = 𝑥̅ 𝑦𝑧 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅ 𝑦̅𝑧̅𝑡 (2) Ô (1; 2) thuộc tế bào lớn: 𝑦𝑧𝑡̅ 𝑣à 𝑥𝑦𝑡̅ Từ (1) chọn o 𝑥𝑦𝑡̅ 𝑝ℎủ 𝑘í𝑛 𝑓: 𝑥̅ 𝑦𝑧 𝑥̅ 𝑦̅𝑧̅ 𝑥𝑧̅𝑡 𝑥𝑦𝑡̅ o 𝑦𝑧𝑡̅ 𝑐ℎư𝑎 𝑝ℎủ 𝑘í𝑛 𝑓 Từ (2) chọn o 𝑥𝑦𝑡̅ 𝑐ℎư𝑎 𝑝ℎủ 𝑘í𝑛 𝑓 o 𝑦𝑧𝑡̅ 𝑐ℎư𝑎 𝑝ℎủ 𝑘í𝑛 𝑓 B4: f1 f2 đơn giản nên có đa thức tối tiểu: ̅𝒚𝒛 𝒙 ̅𝒚 ̅𝒛̅ 𝒙𝒛̅𝒕 𝒙𝒚𝒕̅ 𝒇=𝒙 c Vẽ mạch tổng hợp hàm Boole f tương ứng với cơng thức tối tiểu f câu b Bài 15: Có mơn thi cần xếp lịch Giả sử môn học đánh số từ đến 7, cặp mơn thi sau có chung sinh viên: 2, 3, 4, 5, 6, 3, 4, 5, 6, 4, 5, 6, 7, 5, 6, 7, Hãy xếp lịch thi cho: số đợt thi sinh viên khơng bị trùng lịch thi Dùng thuật tốn Welch-Power để tơ màu đồ thị Đỉnh Bậc Màu I II III IV 4 V V IV Như vậy, dùng màu tô đồ thị tương ứng tổ chức đợt thi cho môn thi để SV không bị trùng lịch Đợt thi I II III IV Môn thi 1, V 4, ... tốn tin học A(x) câu: “x sinh viên tin học? ?? B(x) câu: “x học mơn tốn tin học? ?? ∀