a. CMR nếu gof là đơn ánh thì f là đơn ánh
Theo giả thiết g0f là đơn ánh
x1, x2 A, x1 ≠ x2 (g0f) (x1) ≠ (g0f) (x2)
g [f (x1)] ≠ g [f (x2)] f (x1) ≠ f (x2)
f là đơn ánh
b. CMR nếu gof là toàn ánh thì g là toàn ánh
Theo giả thiết g0f là toàn ánh z C, AC là một toàn ánh x A, z = (g0f) (x) = g [f (x)] Đặt y = f (x) B: g (y) = z g là toàn ánh c. CMR nếu f và g là song ánh thì gof là song ánh
Theo giả thiết f và g là song ánh {∀𝑦 ∈ 𝐵, ∃! 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∀𝑧 ∈ 𝐶, ∃! 𝑦 ∈ 𝐵, 𝑐 = 𝑔(𝑥) ∀𝑧 ∈ 𝐶, ∃! 𝑥 ∈ 𝐴, 𝑧 = 𝑓(𝑥) gof là song ánh
d. Cho ví dụ gof là song ánh, nhưng f và g không là song ánh
{𝑓: đơ𝑛 á𝑛ℎ 𝑛ℎư𝑛𝑔 𝑘ℎô𝑛𝑔 𝑡𝑜à𝑛 á𝑛ℎ𝑔: 𝑡𝑜à𝑛 á𝑛ℎ 𝑛ℎư𝑛𝑔 𝑘ℎô𝑛𝑔 đơ𝑛 á𝑛ℎ → 𝑔𝑜𝑓 𝑙à 𝑠𝑜𝑛𝑔 á𝑛ℎ
fog = f [g (x)] = f (x + 2) = (x + 2)2 + 1 = x2 + 4x + 4 + 1 = x2 + 4x + 5 gof = g [f (x)] = g (x2 + 1) = x2 + 1 + 2 = x2 + 3
Bài 3: CMR quan hệ ℛ trên tập số thực R: x ℛ y sin2x + cos2y = 1 là quan hệ tương đương trên tập số thực R.
Xét tính phản xạ: x R sin2x + cos2x = 1 x ℛ x Có tính phản xạ
Xét tính đối xứng:
x, y R, x ℛ y
sin2x + cos2y = 1 (1 – cos2x) + (1 – sin2y) = 1 sin2y + cos2x = 1 y ℛ x Có tính đối xứng
Xét tính bắc cầu:
x, y, z R
{𝑥 ℛ 𝑦𝑦 ℛ 𝑧 → {sin2𝑥 + cos2𝑦 = 1
sin2𝑦 + cos2𝑧 = 1 → sin2𝑥 + cos2𝑧 = 1 → 𝑥 ℛ 𝑧 Có tính bắc cầu
Quan hệ ℛ là quan hệ tương đương
Bài 4: Cho quan hệ ℛ trên tập số thực R xác định bởi: x ℛ y x (x2 + 3x + 3) ≤ y (y2 + 3y + 3)
ℛ có phải là quan hệ thứ tự trên tập số thực R không?
Xét tính phản xạ:
x R x (x2 + 3x + 3) ≤ x (x2 + 3x + 3) x ℛ x Có tính phản xạ
Xét tính đối xứng:
Lấy 1, 2 R (12 + 3 + 3) ≤ 2 (22 + 3*2 + 3) 1 ℛ 2 (vì 7 26) Không có 2 ℛ 1 (vì 26 7) Không có tính đối xứng
Xét tính phản đối xứng:
Lấy 2 R 2 (22 + 3*2 + 3) ≤ 2 (22 + 3*2 + 3) và 2 = 2 Có tính phản xứng
Xét tính bắc cầu:
{𝑥 ℛ 𝑦𝑦 ℛ 𝑧 → {𝑥(𝑥2 + 3𝑥 + 3) ≤ 𝑦(𝑦2+ 3𝑦 + 3) 𝑦(𝑦2+ 3𝑦 + 3) ≤ 𝑧(𝑧2+ 3𝑧 + 3)
→ 𝑥(𝑥2+ 3𝑥 + 3) ≤ 𝑧(𝑧2+ 3𝑧 + 3) → 𝑥 ℛ 𝑧 Có tính bắc cầu Quan hệ ℛ là quan hệ thứ tự trên tập số thực R
Bài 5: Cho quan hệ đồng dư theo modun 4 trên tập số nguyên Z
a. CMR quan hệ đồng dư theo modun 4 là quan hệ tương đương
Xét quan hệ đồng dư mod 4 trên Z: a ℛ b (a – b) chia hết cho 4
Xét tính phản xạ: a R (a – a) ⋮ 4 a ℛ a Có tính phản xạ Xét tính đối xứng: a, b R, a ℛ b (a – b) ⋮ 4 (b – a) ⋮ 4 b ℛ a Có tính đối xứng Xét tính bắc cầu: a, b, c R {𝑎 ℛ 𝑏 𝑏 ℛ 𝑐 → { (a – b) ⋮ 4 (b – c) ⋮ 4 → (𝑎 − 𝑐) = 𝑎 − 𝑏 + 𝑏 − 𝑐 ⋮ 4 → 𝑎 ℛ 𝑐 Có tính bắc cầu
Quan hệ đồng du theo mod 4 là quan hệ tương đương
b. Tìm tất cả lớp tương đương của quan hệ đồng dư theo modun 4 trên tập Z
Xét quan hệ đồng dư mod 4 trên Z 𝑙ớ𝑝 0̅ = {… , −8, −4, 0, 4, 8, … } 𝑙ớ𝑝 1̅ = {… , −7, −3, 1, 5, 9, … }
𝑙ớ𝑝 2̅ = {… , −6, −2, 2, 6, 10, … } 𝑙ớ𝑝 3̅ = {… , −5, −1, 3, 7, 11, … }
Bài 6: Xét xem các mđ sau có phải là hằng đúng không?
a. (¬p (p → q)) → ¬q ≡ (¬p (¬p q)) → ¬q ≡ ¬p → ¬q ≡ p ¬q b. (¬q (p → q)) → ¬p ≡ (¬q (¬p q)) → ¬p ≡ ((¬q ¬p) (¬q q)) → ¬p ≡ ((¬q ¬p) F) → ¬p ≡ ¬(q p) → ¬p
≡ q p ¬p ≡ q T ≡𝐓 Bài 7: CMR: (¬𝒑 𝐪) → (𝒓 𝐬) 𝒓 → 𝒕 ¬𝒕 𝒑 1 (¬p q) → (r s) (giả thiết) 2 r → t (giả thiết) 3 ¬t (giả thiết) 4 (r s) → r (hằng đúng) 5 ¬r (2, 3, MT) 6 ¬(r s) (4, 5, MT) 7 ¬(¬p q) (1, 6, MT) 8 p ¬q (7) 9 p (8, Simp) đpcm
Bài 8: Khảo sát 60 người cho thấy 25 người đọc báo N, 26 người đọc báo T, 26 người đọc báo F. Cũng có 9 người đọc cả hai báo N và F, 11 người đọc cả hai báo N và T, 8 người đọc cả hai báo T và F và 8 người không đọc báo nào cả. Dùng giản đồ Venn để tính: a. Tính số người đọc cả 3 báo Gọi: N: tập hợp người đọc báo N |N| = 25 T: tập hợp người đọc báo T |T| = 26 F: tập hợp người đọc báo F |F| = 26 |𝑁 ∪ 𝑇 ∪ 𝐹| = |𝑁| + |𝑇| + |𝐹| − |𝑁 ∩ 𝑇| − |𝑁 ∩ 𝐹| − |𝑇 ∩ 𝐹| + |𝑁 ∩ 𝑇 ∩ 𝐹| → 60 − 8 = 25 + 26 + 26 − 11 − 9 − 8 + |𝑁 ∩ 𝑇 ∩ 𝐹| → |𝑵 ∩ 𝑻 ∩ 𝑭| = 𝟑
b. Tính số người chỉ đọc báo N, T, F tương ứng
Gọi: n, t, f lần lượt là người chỉ đọc báo N, T, F
𝑡 = |𝑇| − |𝑇 ∩ 𝐹| − |𝑇 ∩ 𝑁| + |𝑁 ∩ 𝑇 ∩ 𝐹| = 26 − 8 − 11 + 3 = 10 𝑓 = |𝐹| − |𝐹 ∩ 𝑇| − |𝐹 ∩ 𝑁| + |𝑁 ∩ 𝑇 ∩ 𝐹| = 26 − 8 − 9 + 3 = 12 Bài 9: Tìm cách chia 10 hòn bi cho 5 đứa trẻ trong các trường hợp sau:
a. Không có hạn chế nào cả
Gọi xi là số bi đứa trẻ i được chia x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 10 (*) 𝐶̅̅̅̅̅ = 𝐶510 1410 =𝟏𝟎𝟎𝟏 𝒄á𝒄𝒉 b. Đứa trẻ lớn nhất được ít nhất 2 hòn. đặ𝑡 {𝑡 𝑡𝑖 = 𝑥𝑖 5 = 𝑥5− 2 → 𝑥5 = 𝑡5+ 2 (∗) → 𝑡1+ 𝑡2+ 𝑡3+ 𝑡4+ 𝑡5+ 2 = 10 → 𝐶̅̅̅̅ = 𝐶58 128 =𝟒𝟗𝟓 𝒄á𝒄𝒉
c. Mỗi đứa trẻ được ít nhất một hòn.
đặ𝑡 𝑦𝑖 = 𝑥𝑖− 1 → 𝑥𝑖 = 𝑦𝑖+ 1
Bài 10: Có bao nhiêu cách chia ván bài hết bộ bài 52 lá cho 4 người chơi. Gọi xi là số lá bài người thứ i được chia
X1 + x2 + x3 + x4 = 52 (*) 𝐶̅̅̅̅̅ =452 𝑪𝟓𝟓𝟓𝟐 𝒄á𝒄𝒉
Bài 11: Cho phương trình: x1 + x2 + x3 + x4 = 19 với xi ≥ i (i=1, 2, 3, 4). Tìm số nghiệm nguyên của phương trình
𝐶419
̅̅̅̅̅ = 𝐶2219 =𝟏𝟓𝟒𝟎 𝒏𝒈𝒉𝒊ệ𝒎
Bài 12: Tìm số nghiệm nguyên không âm của bất phương trình: x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 10 {𝑥1+ 𝑥𝑥2+ 𝑥3+ 𝑥4 ≤ 10
𝑖 ≥ 0 (1, 4̅̅̅̅̅) ↔ {𝑥1+ 𝑥2+ 𝑥𝑥3𝑖+ 𝑥≥ 04+ 𝑥5 = 10
Số nghiệm phương trình là bộ (a1, a2, a3, a4, a5) không kể thứ tự và cho phép lặp → 𝒔ố 𝒑𝒉ầ𝒏 𝒕ử: 𝑪̅̅̅̅̅ = 𝑪𝟓𝟏𝟎 𝟏𝟒𝟏𝟎 = 𝟏𝟎𝟎𝟏
Bài 13: Cho hệ thức truy hồi: an=3an-1 - 2an-2 với a0 = 5, a1 = 8
a. Tìm công thức biểu diễn an theo n.
Ta có:
Phương trình đặc trưng: 𝑟2− 3𝑟 + 2 = 0 → [𝑟𝑟1 = 2 2 = 1
Nghiệm tổng quát dạng: 𝑎𝑛 = 𝛼1𝑟1𝑛+ 𝛼2𝑟2𝑛 = 𝛼12𝑛+ 𝛼2
Thay điều kiện ban đầu vào nghiệm tổng quát:
𝑣ớ𝑖 𝑎0 = 5, 𝑎1 = 8: {𝛼1+ 𝛼2 = 5
2𝛼1+ 𝛼2 = 8 → {𝛼𝛼12 = 3= 2
Vậy nghiệm của hệ thức truy hồi: 𝐚𝐧 = 𝟑 ∗ 𝟐𝐧 + 𝟐
b. Tìm n tối thiểu để an ≥ 100 3 ∗ 2𝑛+ 2 ≥ 100 → 2𝑛 ≥100 − 2 3 ≈ 32,6 → 2𝑛 > 32 → 2𝑛 > 25 → 𝒏 > 𝟓
Bài 14: Cho hàm Boole theo 4 biến f (x, y, z, t) xác định bởi: f -1 (1) = {1110, 0110, 0111, 1001,1101, 0001, 1100, 0000}
a. Tìm dạng nối rời chính tắc f.
= 𝑥𝑦𝑧𝑡̅ + 𝑥̅𝑦𝑧𝑡̅ + 𝑥̅𝑦𝑧𝑡 + 𝑥𝑦̅𝑧̅𝑡 + 𝑥𝑦𝑧̅𝑡 + 𝑥̅𝑦̅𝑧̅𝑡 + 𝑥𝑦𝑧̅𝑡̅ + 𝑥̅𝑦̅𝑧̅𝑡̅
Biểu diễn biểu đồ Karnaugh:
B1: Xác định các tế bào lớn:
𝑦𝑧𝑡̅ 𝑥̅𝑦𝑧 𝑥𝑧̅𝑡 𝑥𝑦𝑧̅
𝑥̅𝑦̅𝑧̅ 𝑦̅𝑧̅𝑡 𝑥𝑦𝑡̅
B2: Chọn ô trên chỉ thuộc 1 tế bào lớn duy nhất: Ô (2; 3) chỉ thuộc 1 tế bào lớn duy nhất 𝑥̅𝑦𝑧 Ô (4; 4) chỉ thuộc 1 tế bào lớn duy nhất 𝑥̅𝑦̅𝑧̅ Chọn phủ f là : 𝑥̅𝑦𝑧 𝑥̅𝑦̅𝑧̅ B3:Ta có: Ô (3; 1) thuộc 2 tế bào lớn: 𝑥𝑧̅𝑡 𝑣à 𝑦̅𝑧̅𝑡 𝑁ế𝑢 𝑐ℎọ𝑛 𝑥𝑧̅𝑡 𝑝ℎủ 𝑘í𝑛 𝑓1 = 𝑥̅𝑦𝑧 𝑥̅𝑦̅𝑧̅ 𝑥𝑧̅𝑡 (1) 𝑁ế𝑢 𝑐ℎọ𝑛 𝑦̅𝑧̅𝑡 𝑝ℎủ 𝑘í𝑛 𝑓2 = 𝑥̅𝑦𝑧 𝑥̅𝑦̅𝑧̅ 𝑦̅𝑧̅𝑡 (2) Ô (1; 2) thuộc 2 tế bào lớn: 𝑦𝑧𝑡̅ 𝑣à 𝑥𝑦𝑡̅ Từ (1) nếu chọn o 𝑥𝑦𝑡̅ 𝑝ℎủ 𝑘í𝑛 𝑓: 𝑥̅𝑦𝑧 𝑥̅𝑦̅𝑧̅ 𝑥𝑧̅𝑡 𝑥𝑦𝑡̅ o 𝑦𝑧𝑡̅ 𝑐ℎư𝑎 𝑝ℎủ 𝑘í𝑛 𝑓 Từ (2) nếu chọn o 𝑥𝑦𝑡̅ 𝑐ℎư𝑎 𝑝ℎủ 𝑘í𝑛 𝑓 o 𝑦𝑧𝑡̅ 𝑐ℎư𝑎 𝑝ℎủ 𝑘í𝑛 𝑓
B4:f1 và f2 đơn giản như nhau nên có 2 đa thức tối tiểu: 𝒇 = 𝒙̅𝒚𝒛 𝒙̅𝒚̅𝒛̅ 𝒙𝒛̅𝒕 𝒙𝒚𝒕̅
c. Vẽ mạch tổng hợp của hàm Boole f tương ứng với một công thức tối tiểu nào đó của f trong câu b
Bài 15: Có 7 môn thi cần xếp lịch. Giả sử các môn học được đánh số từ 1 đến 7, và các cặp môn thi sau có chung sinh viên: 1 và 2, 1 và 3, 1 và 4, 1 và 5, 1 và 6, 2 và 3, 2 và 4, 2 và 5, 2 và 6, 3 và 4, 3 và 5, 3 và 6, 3 và 7, 4 và 5, 5 và 6, 5 và 7, 7 và 2. Hãy xếp lịch thi sao cho: số đợt thi là ít nhất và các sinh viên không bị trùng lịch thi.
Dùng thuật toán Welch-Power để tô màu đồ thị
Đỉnh 2 3 5 1 4 6 7 Bậc 6 6 6 5 4 4 3 Màu I II III IV V V IV
Như vậy, dùng 5 màu tô đồ thị tương ứng tổ chức 5 đợt thi cho 7 môn thi để SV không bị trùng lịch
Đợt thi Môn thi
I 2
II 3
III 5