Đang tải... (xem toàn văn)
Đề thi toán tại trường chất lượng cao
BẢNG ĐÁP ÁN 1.B 11.C 21.A 31.C 41.D 2.D 12.C 22.B 32.A 42.C 3.C 13.A 23.B 33.B 43.B 4.C 14.B 24.C 34.C 44.A 5.A 15.D 25.A 35.D 45.A 6.B 16.C 26.B 36.B 46.C 7.B 17.A 27.D 37.D 47.B 8.C 18.C 28.A 38.C 48.D 9.D 19.D 29.D 39.B 49.A 10.D 20.D 30.C 40.A 50.D HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT Câu 1: Tính bán kính mặt cầu có diện tích 16 A B C Lời giải Chọn B D S 4 R 16 R R Câu 2: Tính tổng nghiệm phương trình log x log x 1 log x 11 A B 5 C 6 Lời giải D Chọn D x x 5 Điều kiện: x x 1 x 1 x 11 x 11 log x log x 1 log x 11 log x x 1 log x 11 log x x log x 11 x x x 11 Câu 3: x x2 5x x 6 So sánh với điều kiện ta x Cho hàm số y f x có bảng biến thiên sau: Hàm số cho đạt cực đại điểm đây? A x B x 1 C x Lời giải Chọn C Câu 4: D x Trong không gian Oxyz , cho điểm M 1; 2;3 ; N 4; 2; 1 Tính độ dài đoạn thẳng MN A 10 B C Lời giải D Chọn C MN 1 1 3 2 Câu 5: Cho a số thực dương Viết biểu thức P A P a 11 30 a5 dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ 13 15 11 30 B P a a5 a C P a Lời giải D P a 11 15 Chọn A Ta có P Câu 6: a5 a a5 P a a a 5 a5 11 a 30 Với giá trị m đồ thị hàm số y x m 1 x mx đạt cực trị điểm x ? A m B m D m C m Lời giải Chọn B Ta có y ' x m 1 x m, y " x m 1 Để hàm số đạt cực trị điểm x y ' 1 m 1 m 1 m 2 y " 1 Câu 7: Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu S : x y z x y z Tính bán kính R mặt cầu S A R B R D R C R 16 Lời giải Chọn B Bán kính R mặt cầu S R a b c d Câu 8: 2 12 2 Kí hiệu z0 nghiệm phức có phần ảo dương phương trình z 16 z 17 Trên mặt phẳng tọa độ, điểm điểm biểu diễn số phức w iz0 ? 1 A M ;1 4 1 B M ; 2 C M ; Lời giải D M ;1 Chọn C i z 2 z nghiệm phức có phần ảo dương nên z i Ta có z 16 z 17 0 z i Suy w iz0 2i Điểm biểu diễn w iz0 M ; Câu 9: Cho hai số phức z1 3i z2 3i Tìm số phức z z1 z2 A z 6i B z 1 10i C z 11 Lời giải D z 3 6i Chọn D Ta có z z1 z2 3i 3i 3 6i Câu 10: Tìm phương trình đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y A x B y 3x x 3 Lời giải C y D x Chọn D Tập xác định D \ 3 Vì lim x 3 3x 3x nên đồ thị hàm số y có đường tiệm cận đứng x x 3 x 3 Câu 11: Thiết diện qua trục hình trụ hình vng có cạnh 2a Tính thể tích khối trụ theo a A a B 4 a C 2 a D a Lời giải Chọn B Vì thiết diện qua trục hình vng có cạnh 2a nên hình trụ cho có bán kính đáy R a đường cao h 2a Vậy thể tích khối trụ V R h 2 a Câu 12: Tính mơđun số phức z 1 2i A B C Lời giải D Chọn C Ta có z 1 2i 1 22 Câu 13 Đường cong hình vẽ bên đồ thị hàm số sau đây? A y x3 x B y x x C y x3 x D y x x Lời giải Chọn A Đồ thị hàm số có hai cực trị nên hàm số bậc ba Loại đáp án B D Lim f x nên hệ số a dương Chọn A x Câu 14 Với a, b số thực dương tuỳ ý thoả mãn log a 3log b 2, mệnh đề sau đúng? A a 5b B a 25b3 C a 25b Lời giải D a 10b3 Chọn B log a 3log b log a log b3 log a a 52 a 25b b b Câu 15 Gọi x1 , x2 x1 x2 nghiệm phương trình log 21 x 5log x Tính T B T A T 37 C T Lời giải x2 x1 D T Chọn D Điều kiện: x log 21 x 5log x log 32 x 5log x x 32 log x log x x Vì x1 x2 nên x1 32 , x2 33 Vậy T x2 33 x1 32 Câu 16 Kí hiệu H hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y x 1 e x , trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình H xung quanh trục Ox B V 2e A V 2e C V e D V e Lời giải Chọn C x 1 e x x 1 V x 1 e dx 4 x 1 e x dx x 1 2x 2x 2x 4 x 1 e x 1e dx 4 x 1 e e x dx 0 20 1 2x 1 4 e 4 1 e e 2 4 0 Câu 17: Hàm số sau nghịch biến ? A y 5 x C y B y 2023x x D y e 1 x Lời giải Chọn A Ta có y 5 x y 5 x ln 0, x Suy hàm số y 5 x nghịch biến Câu 18: Tìm giá trị lớn hàm số f x sin x cos x A Chọn C B C Lời giải D Ta có f x sin x cos x sin x 4 Ta có 1 sin x sin x f x 4 4 k 2 max f x sin x x k 2 x 4 12 Câu 19: Trong không gian Oxyz , vectơ vectơ phương đường thẳng x t d : y 2t , t ? z 3t A a2 4;1;6 B a4 4; 1; 6 C a3 1; 2;3 D a1 1; 2; 3 Lời giải Chọn D Đường thẳng d có vectơ phương a1 1; 2; 3 Câu 20: Biết F x x nguyên hàm hàm số f x Tính 1 f x dx 32 A 26 B C D 10 Lời giải Chọn D Ta có 1 f x dx x x 10 Câu 21: Cho hình nón có bán kính đáy r độ dài đường sinh l Tính diện tích xung quanh hình nón A 15 B 10 C 30 D 5 Lời giải Chọn A Diện tích xung quanh hình nón S xq rl 15 Câu 22: Có số tự nhiên có ba chữ số đơi khác lấy từ tập hợp A 1; 2;3; 4;5;6 ? A C36 B A 36 C 36 D P6 Lời giải Chọn B Số số tự nhiên có ba chữ số đơi khác lấy từ tập hợp A A 36 Câu 23: Trong không gian Oxyz , cho ba điểm M 1;0;0 , N 0; 3;0 P 0;0; Viết phương trình mặt phẳng MNP A x y z 1 B x y z 1 3 C x y z 3 x y z 1 3 Lời giải D Chọn B Phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn Câu 24: Biết f x dx 1 x y z 1 3 f x dx , tính 1 4e B 4e8 A 2e8 2x f x dx C 2e8 Lời giải D 2e8 Chọn C Ta có f x dx 1 4e 1 Do 2x f x dx f x dx nên 4 0 f x dx f x dx e x dx 3 f x dx 2e x 3.1 2e8 Câu 25: Cho hàm số f x có bảng biến thiên sau: Hàm số cho đồng biến khoảng đây? A 1; B 1; C ; 1 D 0;1 Lời giải Chọn A Hàm số cho đồng biến khoảng khoảng 1; 1; Vậy hàm số đồng biến khoảng 1; Câu 26: Cho số phức z thoả mãn i z z i 8 19i Tìm phần ảo z A 2 B C Lời giải Chọn B Đặt z a bi a, b Ta có: i a bi a bi i 8 19i 2a b a 2b i 4a 4b i 8 19i 2a b a 6b 8 19i 2a b 8 a a 6b 19 b D Vậy phần ảo z Câu 27: Cho hình lập phương ABCD ABC D cạnh a Tính số đo góc hai đường thẳng AB CC A 60 B 90 D 45 C 30 Lời giải Chọn D Ta có: AB, CC AB, BB ABB 45 ( tam giác ABB vng cân B) Câu 28: Cho hàm số f x có bảng xét dấu đạo hàm sau: Hàm số có điểm cực trị? A B C Lời giải D Chọn A Câu 29: Cho hàm số f x cos x Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A f x dx 2sin x C C f x dx sin x C B f x dx 2sin x C D f x dx sin x C Lời giải Chọn D Ta có f x dx cos x dx sin x C Câu 30: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng P : x y z điểm I 1;1;0 Phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc với mặt phẳng P A ( x 1) ( y 1) z 16 B ( x 1) ( y 1) z C ( x 1) ( y 1) z D ( x 1) ( y 1) z 16 Lời giải Chọn C Điều kiện tiếp xúc R d I , P 2.1 2.0 22 12 2 Vậy phương trình mặt cầu ( x 1) ( y 1) z Câu 31: Tìm tập xác định D hàm số y log x A D 2; 2 B D \ 2; 2 C D 2; D D 0; Lời giải Chọn C Hàm số cho xác định x 2 x Vậy D 2; Câu 32: Trong không gian Oxyz , cho điểm A 3; 5; 1 Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng xOy A P 3; 5; B N 0;0; 1 C M 0;0;1 D Q 3; 5;0 Lời giải Chọn A Hình chiếu vng góc điểm A lên mặt phẳng xOy P 3; 5; Câu 33: Tìm giá trị nhỏ hàm số y x A y 6 B y 2;4 2;4 đoạn 2; 4 x 25 C y 2;4 Lời giải D y 2;4 13 Chọn B Ta có y ' x tmdk 0 x x 3 13 y 3 y y 2 25 y 4 2;4 Câu 34: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB 3a AD 4a Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng ABCD SA a Tính thể tích khối chóp S.ABCD A 12 5a B 5a 3 C 5a Lời giải Chọn C 1 Ta có VS ABCD S ABCD SA 3a.4a.a 5a dvtt 3 D 5a 3 Câu 35: Cho cấp số cộng un có u3 17 d 2 Tìm u1 A 19 B 21 C 19 Lời giải D 21 Chọn D Ta có cơng thức u3 u1 2d 17 u1 2 17 u1 21 x 1 t Câu 36 Trong không gian Oxyz , cho hai đường thẳng d1 : y 2t z t x t d : y 2t Viết z 4 t phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng xOy cắt hai đường thẳng d1 , d x 2 t A y 2t z x 2 t B y 2t z x 3 2t C y 9t z x 3 t D y 3t z Lời giải Chọn B Ta có mặt phẳng xOy có VTPT k 0;0;1 Giả sử d1 A A 1 t ;3 2t ; t d B B t ;1 2t ; 4 t AB 1 t t ;2t 2t 2; t t VTCP Vì xOy AB.k t t t t Mặt khác, A A xOy t 0; t A 1;3;0 , B 2;9;0 , AB 3;6;0 Câu 37 Cho khối lăng trụ tam giác ABC ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Cạnh bên AA 2a tạo với mặt phẳng đáy góc 450 Tính thể tích khối lăng trụ ABC ABC a3 A a3 B 12 a3 C Lời giải Chọn D a3 D Gọi H hình chiếu vng góc A lên ABC AAH 450 Ta có: sin 45 AH AH AA.sin 450 2a a AA a2 a3 V B.h a 4 Câu 38 Số giá trị nguyên dương tham số m để bất phương log x 1 log 13 x x m nghiệm với số thực x trình 2 A B C D Lời giải Chọn C Ta có: log x 1 log 13 x x m 0, x log x 1 log 13 x x m 0, x 13 x x m 12 x x m 1 0, x x2 x2 12 x x m 0, x a 12 m 4 24 12m m m Câu 39: Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để số chọn có chữ số đơi khác nhau, đồng thời phải có mặt chữ số chữ số A 125 B 150 3600 Lời giải C Chọn B Số số tự nhiên có chữ số 9.105 Do n 900000 D 25 81 Gọi biến cố A : “các chữ số số đơi khác phải có mặt chữ số chữ số ” Gọi số tự nhiên có số có dạng abcdef , a, b, c, d , e, f 0;1; ;9 Xếp vị trí chữ số có cách; xếp vị trí cho chữ số có cách; chữ số cịn lại có A84 cách Suy n A 5.5 A84 42000 Vậy P A 42000 900000 150 Câu 40: Tập hợp tất giá trị thực tham số m để phương trình x m.2 x 3m có hai nghiệm trái dấu khoảng (a; b) Tính a b A B 3 Lời giải C D Chọn A x m.2 x 3m (1) Đặt t x ; phương trình (1) thành: f (t ) t mt 3m (2) YCBT phương trình (2) có hai nghiệm t1 , t2 thỏa t1 t2 2m 1 f (1) 5 S m m m ;2 3 P 3m m 5 a ; b Vậy a b 3 Câu 41: Trên tập hợp số phức, xét phương trình z z m ( m tham số thực) Có giá trị nguyên m thuộc đoạn 10;10 để phương trình có hai nghiệm phân biệt z1 , z2 thoả mãn z1 z2 ? A 21 B 19 C 17 Lời giải Chọn D Ta có z z m z 1 m D 18 1 Trường hợp 1: m 1 m Suy phương trình 1 có hai nghiệm thực phân biệt z1 z2 z1 z2 Do z1 z2 (không thoả mãn) z1 z2 z1 z2 1 m Trường hợp 2: m m 1 Suy phương trình 1 có hai nghiệm thực phức z1 i m z2 i m Do z1 z2 i m i m 2i m 2i m 12 m 12 2 m (luôn đúng) m Do thoả mãn m 1 Mà m thuộc đoạn 10;10 m 10; 9; ; 2; 2; ;9;10 Vậ có 18 giá trị nguyên m thuộc đoạn 10;10 thoả mãn Câu 42: Tìm tất giá trị thực tham số m để hàm số y x m 1 x m nghịch biến khoảng 1;3 A m ;10 B m ;10 C m ; 2 D m ; Lời giải Chọn C Ta có y 4 x m 1 x Hàm số y x m 1 x m nghịch biến khoảng 1;3 y 0, x 1;3 4 x3 m 1 x 0, x 1;3 m x 1, x 1;3 Xét g x x với x 1;3 có g x x 0, x 1;3 Do m g 1 Vậy m ; 2 Câu 43: Cho hàm số y f x có đồ thị hình vẽ bên Tìm số nghiệm thực âm phương trình f f x A B C Lời giải D Chọn B f x 1 f f x f x + Phương trình f x 1 có nghiệm thực âm x 2 + Phương trình f x có nghiệm thực âm x a, 2 a 1 Vậy phương trình cho có nghiệm thực âm Câu 44: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục, nhận giá trị dương nửa khoảng 1; , f x f 1 1, x 1; Tính f x A B C 2 Lời giải D Chọn A f x f x xC x2 x Với x , ta có: Suy f x x f 1 12 1 C 1 C C x f x x x 3 f x x x 3 , f x 0, x 1; Vậy f Câu 45: Cho hàm số y f x có đạo hàm liên tục có đồ thị hình vẽ Có giá trị nguyên tham số m để hàm số y f x x m có điểm cực trị? B A C 3 Lời giải D Chọn A Ta có y 3 x 3 f x x m , x 1 x 1 y 3 x 3 f x x m x x m m x x x3 3x m m x3 3x Xét hàm số g x x3 x, h x x3 x có đồ thị hàm số hình vẽ sau 2 m Do dựa vào đồ thị ta suy yêu cầu tốn 2 m Vì m m 1, 0, 2,3 x x x Câu 46: Cho hàm số f x Tính x 2 x A B f ln x ln x dx x e e Lời giải C D Chọn C Đặt t ln x dt Đổi cận dx x e 1 x t e I e e 1 1 f ln x ln x dx t f t dt td f t t f t 1 f t dt f 1 f 1 f t dt x 1 1 1 1 Ta có f 1 12 ; f 1 1 ; 1 f t dt f x dx f x dx f x dx x 1 1 1 I f 1 f 1 f t dt 1 1 2 1dx x x 1dx Câu 47: Trong không gian P : 3x z Oxyz , cho hai mặt phẳng mặt phẳng Q : 3x z 12 Gọi S mặt cầu qua gốc tọa độ O tiếp xúc với hai mặt phẳng P Q Biết S thay đổi tâm ln nằm đường trịn C có r tâm H a; b; c , bán kính r Tính T 25 a c 6 A Chọn B Ta có P // Q R B 18 d P ; Q D 43 C Lời giải 12 32 02 4 2 Lấy A 0;0; B 0;0; 3 thuộc hai mặt phẳng P Q Gọi E mặt phẳng song song cách P Q E nhận n 3;0; 4 qua trung điểm AB E : x z x 3t Gọi d đường thẳng vng góc với P Q qua gốc tọa độ O d : y z 4t Khi H d E H 3t ;0; 4t E 3.3t 4t t Ta có r R HO 8 H ;0; 25 25 25 8 4 T 25 18 25 25 25 Câu 48: Cho hàm số f x ax bx3 cx dx e với a, b, c, d , e số thực Đồ thị hai hàm số y f x y f x cắt điểm có hai điểm M , N (tham khảo hình vẽ) Biết diện tích miền gạch chéo Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y f x y f x A B 64 C 32 Lời giải D 16 Chọn D Ta có f x ax bx3 cx dx e f x 4ax 3bx 2cx d f x 12ax 6bx 2c Ta có f 1 f 1 12a 6b 2c 12a 6b 2c b Với b ta có f x f x 4ax3 12ax 2cx d 2c Mặt khác, gọi x k nghiệm cịn lại phương trình f x f x , đó: f x f x 4a x k x 1 x 1 4a x k x 1 4ax3 4kax 4ax 4ka 4ka 12a k f x f x 4a x 3 x 1 x 1 1 1 1 Ta có S f x f x dx 4a x 3 x 1 x 1 dx a Khi diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y f x y f x S 2 x 3 x 1 x 1 dx 16 1 z2 z1 số thực 2i Câu 49 Cho số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 i , z2 z2 i Tìm giá trị nhỏ biếu thức P z1 z2 A B C 5 Lời giải D Chọn A Đặt z1 a bi; z2 c di với a, b, c, d z1 i a 1 b 1 a b 2a 2b (1) 2 z2 z2 i c d c 1 d 1 c d c d 2 z z z z z2 z1 số thực z2 z1 1 2i 1 2i z2 z1 2i 2i 2i z2 z1 2iz2 2iz1 z2 z1 2iz2 2iz1 2di 2bi 4ci 4ai 2a b 2c d Thay c d vào ta d 2a b c 2a b P z1 z2 a bi 2a b 1 2a b i a b 1 2a 2b 2 a b 1 Ta có a b a b 1 1 a b Kết hợp với (1) ta a b a b a b a b Vậy P 5 Giá trị nhỏ P z1 0; z2 2i Câu 50: Cho hình lăng trụ đứng ABC ABC có đáy tam giác ABC vuông cân A , cạnh BC 2a Góc mặt phẳng ABC mặt phẳng BCC B 60 Tính thể tích khối lăng trụ A a3 B a3 C Lời giải a3 D 4a Chọn D ABC vuông cân A , cạnh BC 2a nên AB AC 2a Gọi M trung điểm BC AM BC AM BCC B AM a Hạ AH BC , ta dễ dàng có BC AHM nên góc mặt phẳng ABC mặt phẳng BCC B AHM 60 góc Vậy ta có HM a Hạ BK BC BK HM 2a Xét tam giác vng BBC có BK đường cao nên 1 1 2 2 2 BB BK BC 8a 8a 4a Vậy BB 2a Thể tích khối lăng trụ cho VABC ABC BB.S ABC 2a 2a 4a