phân loại một số dạng toán về ma trận

Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận” Trang bìa GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 1 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp ĐHSP Toán - Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận” Mục lục GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 2 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp ĐHSP Toán - Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận” Lời cảm ơn Trước tiên cho em gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Trần Mạnh Hùng là người trực tiếp hướng dẫn em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Chính nhờ sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy cùng với các tài liệu thầy cung cấp giúp em có thể hoàn thành tốt đề tài này. Cũng xin cho em gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong nhà trường và đặc biệt là các thầy cô giáo trong Khoa Toán - Tin đã góp ý để hoàn thiện đề tài. Các thầy cô giáo đã dạy giỗ em trong suốt thời gian hoàn thành khóa học của mình. Em cũng xin được cảm ơn các anh chị khóa trước, các bạn bè xung quanh, gia đình và tất cả mọi người xung quanh em, luôn động viên giúp đỡ em trong những khó khăn, chính nhờ sự động viên không nhỏ đó giúp bản thân em ngày càng cố gắng học tập và hoàn thành tốt khóa học của mình. Một lần nữa em xin cảm ơn tất cả quý thầy cô giáo đã dạy dỗ em trong suốt thời gian ngồi trong ghế nhà trường, chính sự dạy dỗ đó em học được rất nhiều điều bổ ích cho chuyên nghành của mình và trong cuộc sống. Em xin cảm ơn! Người thực hiện Tạ Minh Thanh GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 3 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp ĐHSP Toán - Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận” PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết Toán học là một phần của cuộc sống. Sự ứng dụng của Toán học đóng vai trò ngày càng quan trọng đối với khoa học kỹ thuật. Chính vì sự quan trọng đó các trường Đại học và Cao đẳng, hầu như đối với các ngành đào tạo, Toán học được đưa vào từ những năm đầu. Trong đó nội dung chủ yếu là Toán học cao cấp, và nội dung cốt lõi Toán học cao cấp chính là ma trận, ma trận được xây dựng như nội dung cơ sở, nền móng của Toán học cao cấp. Mô hình khai sinh ra của lý thuyết toán tử xuất phát từ việc nghiên cứu ma trận. Mặc dù từ ma trận chỉ được “ James Sylvester ” nhắc đến từ những năm 1980. Các phương pháp về ma trận đã được sử dụng trên 2000 năm trước. Cái mà chúng ta vẫn gọi như phép tối giản Gauss, thực chất bắt nguồn từ cuốn sách Toán 9 của Hàn Quốc, Trung Quốc. Cũng giống như vậy, mặc dù Carl Friedrich Gass đã đưa ra khái niệm “ Định thức” ở thế kỷ XIX, tuy nhiên định thức đã từng được dự báo hàng thế kỷ trước đó, và được sử dụng năm 1963 ở Nhật Bản. Hầu như các nhà Toán học trên thế giới rất quan tâm đến nội dung này của Toán học cao cấp, nó thu hút rất nhiều nhà nghiên cứu Toán lao vào tìm hiểu và nghiên cứu. Trị riêng và chéo hóa ma trận được khám phá vào năm 1926, sau đó nhiều phép Toán đa dạng về ma trận ra đời. Các dạng Toán về ma trận trong Đại số góp phần rất lớn trong giải tích Toán học và đây cũng là chủ đề được nhiều nhà khoa học chuyên nghành Toán quan tâm. Khái niệm ma trận trong đại số được giảng dạy trong chương trình Toán đại cương của hầu hết các trường Đại học – Cao đẳng. Đây cũng là nội dung quy định của Hội Toán học Việt Nam trong kỳ thi Olympic Toán học sinh viên toàn quốc. Không những thế Ma trận cũng được xem như nội dung chính của Olympic Toán sinh viên toàn quốc và Quốc tế (IMC). Hơn nữa là sinh viên đã từng tham gia Olympic Toán sinh viên toàn quốc và nhận được sự hướng dẫn của thầy Trần Mạnh Hùng là người trực tiếp ôn GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 4 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp ĐHSP Toán - Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận” luyện cho kỳ thi do đó có điều kiện được tìm hiểu sâu Olympic Toán, nên bản thân xem như đây là một lợi thế. Với tất cả các lý do trên đã gợi ý cho em chọn và nghiên cứu đề tài “Phân loại các dạng Toán về ma trận”. 2. Mục đích nghiên cứu Từ những lý do trên em đã chọn đề tài với những mục đích sau: - Hệ thống lại lý thuyết một cách tổng quát về ma trận để xây dựng và phân loại các dạng Toán về ma trận. - Đưa ra các phương pháp giải phong phú của một bài Toán ma trận. - Xây dựng hệ thống bài tập, phân loại được các dạng Toán và tìm hướng giải chúng. - Thông qua tìm hiểu nghiên cứu giúp bản thân có cái nhìn tổng quan về các bài toán trong đề thi Olympic Toán sinh viên mà em đã tham gia. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu. - Đối tượng nghiên cứu : Lý thuyết về ma trận, sử dụng nội dung cốt lõi của lý thuyết để phân loại các dạng Toán. - Phạm vi nghiên cứu: Các dạng Toán về ma trận, tập trung chủ yếu là các bài Toán được trích ra từ đề thi Olympic Toán sinh viên toàn quốc và Quốc tế. 4. Phạm vi nghiên cứu. - Từ quan điểm liên quan để rút ra, phân loại được các dạng Toán. - Hệ thống hóa, sáng tạo phương pháp giải các bài toán trong kỳ thi Olympic Toán sinh viên. GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 5 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp ĐHSP Toán - Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận” 5. Phương pháp nghiên cứu. - Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc tài liệu liên quan đến nội dung ma trận, tìm hiểu từ các đề thi Olympic Toán sinh viên của Việt Nam và Thế giới. - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm của bản thân, các bạn học, anh chị xung quanh để tổng hợp và hệ thống hóa kiến thức vấn đề nghiên cứu đầy đủ và khoa học kết hợp với đưa ra các ví dụ cụ thể để minh họa chi tiết - Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên để hoàn thành về mặt nội dung cũng như hình thức của khóa luận tốt nghiệp. GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 6 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp ĐHSP Toán - Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận” PHẦN II: NỘI DUNG I. ĐỊNH THỨC MA TRẬN 1. Khai triển theo dòng hoặc cột. Cơ sở của phương pháp này là định lý Laplace cho 1 ≤ k ≤ n. Xét hai bộ số 1 ≤ i 1 < < i k ≤ n và 1 ≤ j 1 < < j k ≤ n. Ma trận gồm các phần tử nằm trên giao của các dòng 1 ≤ j 1 < < j k ≤ n và các cột 1 ≤ i 1 < < i k ≤ n của ma trận A được gọi là ma trận con cấp k và được kí hiệu là A(i 1 , .,i k , j 1 , ., j k ). Còn định thức của nó được gọi là định thức con hay milnor. Ma trận con nằm trên giao của các dòng và cột còn lại được gọi là ma trận con bù của A(i 1 , .,i k ; j 1 , ., j k ) và được kí hiệu là A(i 1 , .,i k ; j 1 , ., j k ). Định thức |A(i 1 , .,i k ; j 1 , ., j k )| Được gọi là định thức con bù của |A(i 1 , .,i k ; j 1 , ., j k )| trong A, còn (−1) S(i, j ) |A(i 1 , .,i k ; j 1 , ., j k )| được gọi là phần bù đại số của |A(i 1 , .,i k ; j 1 , ., j k )| trong đó S(i, j) = (i 1 + + i k ) + ( j 1 + + j n ) Định lý (Khai triển Laplace) - Giả sử đã chọn ra k dòng (tương ứng cột) trong một định thức cấp n (1 ≤ k ≤n), khi đó định thức đã cho bằng tích của tất cả các định thức con cấp k lấy ra từ k dòng (tương ứng cột) đó với phần bù đại số của chúng, tức là : |A| = ∑ 1≤j 1 < j k ≤n    A(i 1 , .,i k ; j 1 , ., j k )|(−1) S(I,J)    . | A(i 1 , .,i k ; j 1 , ., j k ) | |A| = ∑ 1≤i 1 < i k ≤n    A(i 1 , .,i k ; j 1 , ., j k )|(−1) S(I,J)    . | A(i 1 , .,i k ; j 1 , ., j k ) | Trên thực tế khai triển Laplace hay được vận dụng cho một dòng hay cột chứa nhiều 0. GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 7 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp ĐHSP Toán - Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận” Hệ quả (Khai triển Laplace theo dòng thứ i hay cột thứ j) A = (−1) i+1 a i1 |A i1 |+ (−1) i+2 a i2 |A i2 |+ + (−1) i+n a in |A in | = (−1) j+1 a 1 j |A 1 j |+ (−1) j+2 a 2 j |A 2 j |+ + (−1) j+n a n j |A n j | Bài toán 1: Để tính định thức của ma trận tam giác trên (tương ứng dưới), ta chỉ việc thực hiện liên tiếp khai triển Laplace theo cột (dòng) thứ nhất.         a 11 a 12 a 13 a 1n 0 a 21 a 23 a 2n 0 0 a 23 a 3n . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 a nn         = a 1       a 22 a 23 2n 0 a 33 a 3n . . . . . . . . . . 0 0 a nn       = a 11 a 22 a nn         a 11 0 0 0 a 21 a 22 0 0 a 31 a 32 a 33 0 . . . . . . . . . . . . . a n1 a n2 a n3 a nn         = a 11       a 22 0 0 a 32 a 33 0 . . . . . . . . . . a n2 a n3 a n3       = = a 11 a 22 a nn Bài toán 2. Tính định thức ma trận A vuông cấp n trên trường số thực R A =           a b b b b −b a b b b −b −b a b b −b −b −b a b −b −b −b −b a           Giải. Đặt ∆ n = det A. Nhân cột thứ n cho 1 rồi cộng vào cột thứ nhất ta được: GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 8 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp ĐHSP Toán - Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận” ∆ n =               a b b b b −b a b b b −b −b a b b −b −b −b a b −b −b −b −b a               =               a + b b b b b 0 a b b b 0 −b a . b b . . . . . 0 −b −b a b a −b −b −b −b a               Khai triển Laplace theo cột thứ nhất ta được ∆ n+1 = (a + b)               a b b b b −b a b b b −b −b a b b −b −b −b a b −b −b −b −b a               +(−1) (n+1) (a −b)               b b b b b a b b b b −b −b b b b . −b −b −b b b −b −b −b a b               Do đó: ∆ n+1 = (a + b)∆ n−1 + (−1) (n+1) (a −b)∆. Trong đó: ∆ =          b b b b a b b b . −b −b a b          =             b b b b a −b 0 0 0 −2b a −b 0 0 −2b −2b a −b 0             Khai triển Laplace theo cột thứ n −1 (cột cuối) ta nhận được ∆ = (−1) n b(a −b) n−2 thay vào ∆ n và rút gọn ta được. GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 9 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp ĐHSP Toán - Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp:“Phân loại một số dạng Toán về ma trận” ∆ n = (a + b)∆ n−1 −b(a −b) n−1 . Ta chứng minh bằng quy nạp rằng ∆ n = 1 2 [(a + b) n + (a −b) n ] Thật vậy, rõ ràng ∆ 1 = a = 1 2  (a + b) 1 + (a −b) 1  . Giả sử đúng với n-1 tức là ∆ n−1 = 1 2  (a + b) n−1 + (a −b) n−1  Ta chứng minh đúng với n . ∆ 1 = (a + b)∆ n−1 −b(a −b) n−1 = (a + b) 1 2 [(a + b) n + (a −b) n ] −b(a −b) n−1 = 1 2  (a + b) n + (a −b) n−1 (a + b −2b)  = 1 2 [(a + b) n + (a −b) n ] Vậy định thức của ma trận đó cho detA = 1 2 [(a + b) n + (a −b) n ] Bài toán 3. Tính định thức của ma trận sau D =             1 2 3 n −2 n −1 n 2 3 4 n −1 n n 3 4 5 n n n . n n n n n n             Giải:Lấy tất cả các dòng từ dòng 2 trở đi, trừ đi dòng thứ nhất ta được: D =             1 2 3 n −2 n −1 n 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 1 0 . n −1 n −2 n −3 2 1 0             Khai triển theo cột cuối cùng ta được: GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 10 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp ĐHSP Toán - Lý K50 [...]... về ma trận 1 y1 |C| = 0 0 1 y2 0 0 1 y3 0 0 1 yn 0 =0 0 ⇒ |A| = |B|.|C| = 0 GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 32 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp ĐHSP Toán - Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp: Phân loại một số dạng Toán về ma trận II MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO Định nghĩa 1: Ma trận I vuông cấp n được gọi là ma trận đơn vị nếu I.A = A.I = A với ∀A ∈ R Định nghĩa 2: Cho A là ma trận vuông cấp n trên trường K Ta bảo A là ma. .. Toán - Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp: Phân loại một số dạng Toán về ma trận Bài toán 1: Tính định thức 1 2 3 1 x+1 3 D(x) = 1 2 x + 1 1 2 3 n n n x+1 1 2 3 1 x+1 3 D(x) = 1 2 x + 1 1 2 3 n n n x+1 Giải Ta biết rằng Là một ma trận bậc tối đa là n − 1, vì mỗi số hạng trong định nghĩa của đa thức là một tích a1π(1) a2π(2) anπ(n) đều có thừa số thứ nhất là một hằng số. .. Toán - Lý K50     = αI  Khóa luận tốt nghiệp: Phân loại một số dạng Toán về ma trận Bài toán 1: Ma trận vuông A được gọi là ma trận đường chéo nếu các phần tử ngoài đường chéo của nó bằng 0, tức là ai j = 0 nếu i = j Khi đó, A thường được ký hiệu là diag(a11 , a12 , , anm ) Tìm điều kiện để một ma trận đường chéo khả nghịch, và khi đó hãy tìm ma trận nghịch đảo của nó Giải Cho diag(a1 , a1 , ... Trong đó Ai j là ma trận con nhận được từ A bằng cách bỏ đi dòng i và cột j (Ai j được gọi là ma trận con bù của ai j ) Giả sử |A| = 0 khi đó   D11 D21 Dn1   1  D12 D22 Dn2   A−1 =   |A|    D1n D2n Dnn GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 33 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp ĐHSP Toán - Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp: Phân loại một số dạng Toán về ma trận Bài toán 1: Tìm ma trận nghịch đảo của... GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 34 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp ĐHSP Toán - Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp: Phân loại một số dạng Toán về ma trận Bài toán 3 Cho a1 , a2 , a3 , a4 ∈ R, chứng minh rằng ma trận   1 + a2 −a2 −a3 a4 1  a 1 + a2 a4 a3    2 1 A= Khả nghịch  2  a3 a4 1 + a1 a2  −a4 −a3 a2 1 + a2 1 Tìm A−1 Giải Gọi At là ma trận chuyển vị của ma trận A Khi đó   1 + a2 a2 a3 −a4 1 + a2 −a2 −a3 a4... chỉ số như vậy không tồn tại thì định thức bằng 0 GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 14 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp ĐHSP Toán - Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp: Phân loại một số dạng Toán về ma trận 1b Lần lượt trừ dòng j ≥ 2 đi tích của dòng thứ 1 (của ma trận mới) với ai1 /a11 2 Tại bước k, 2 ≤ k < n lặp lại bước 1 đối với ma trận con cấp n − k + 1 ở góc phải bên dưới cùng 3 Tối đa sau n − 1 bước ta sẽ được ma trận. .. Th.s Trần Mạnh Hùng 0 0 0 0 0 0 = n + 1 = 0(n ∈ N) 1 0 −n n + 1 19 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp ĐHSP Toán - Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp: Phân loại một số dạng Toán về ma trận Bài toán 7 Cho a0 , d là các số thực, dãy {a0 , a1 , , an } lập thành cấp số cộng, công sai d Tính định thức của ma trận   a0 a1 a2 an−1 an   a0 a1 an−2 an−1   a1    a2 a1 a0 an−3 an−2   A=  ... 1 C2 1 2 1 D = C3 C3 n−1 Cn−2 Cn n GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 18 0 0 0 1 Cn 0 0 0 =1 1 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp ĐHSP Toán - Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp: Phân loại một số dạng Toán về ma trận Bài toán 6 Cho A là ma trận thực thỏa mãn A = (a(i j) m×n = Tính định thức ma trận A Giải Xét 2 −1 1 det A = ±1 1 (−1)|i− j| khi i = j 2 khi i = j −1 1 ±1 1 2 −1 1 ±1 −1 2 ±1 1 1 ±1 2... D2 − β D1 n D2 − αD1 n α + β α(α − β ) β (β − α) Thay số ta được: 5n+1 − 1 Dn = 4 GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 29 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp ĐHSP Toán - Lý K50 Khóa luận tốt nghiệp: Phân loại một số dạng Toán về ma trận 5 Sử dụng đa tuyến tính Sử dụng đa tuyến tính ta có thể đưa về tính một định thức thành tích tổng của các định thức đơn giản hơn Bài toán 1 : Nếu viết các dòng của định thức x + a1 a2 a3... trình này có chung ma trận hệ số Do đó khi giải hệ phương trình theo phương pháp Gauss (tức là đưa vế trái về ma trận tam giác), tốt nhất ta xem về phải như một vector tham số Bằng cách đó ta chỉ cần biến đổi vế trái một lần cho tất cả n hệ phương trình Cách này đặc biệt hữu hiệu khi ma trận A có cấp bé, hoặc có dạng tam giác GVHD: Th.s Trần Mạnh Hùng 35 SVTH: Tạ Minh Thanh Lớp ĐHSP Toán - Lý K50   . thuyết một cách tổng quát về ma trận để xây dựng và phân loại các dạng Toán về ma trận. - Đưa ra các phương pháp giải phong phú của một bài Toán ma trận. -. riêng và chéo hóa ma trận được khám phá vào năm 1926, sau đó nhiều phép Toán đa dạng về ma trận ra đời. Các dạng Toán về ma trận trong Đại số góp phần rất