Chuyen de toan logic roi rac - li thuyet to hop

Chuyên đề:Toán Logic& Rời rạc |1 Lê Trần Nhạc Long ( Ch Biờn) Trn Nguyn Quc Cng Chuyên đề Toán logic rời rạc Nng 1/2011 Chuyờn :Toỏn Logic& Ri rc |2 Lời nói đầu Thng đế có tất lời giải ngắn hay toán (P.Erdos) Hiện tốn lí thuyết tổ hợp ngày xa lạ với học sinh có xa lạ với nhiều bạn học sinh chun tốn, bạn cịn e ngại nhìn vào tốn “ dao to búa lớn” sao? Khơng hiểu hết đề hay khó q Điều khiến cho ngƣời tị mị ham học hỏi muốn lao vào Những toán tổ hợp làm cho ngƣời rèn tƣ cao, nhƣ câu hỏi IQ thú vị Có số tốn bạn nghĩ điều hiển nhiên mà chứng minh lại khó quá? Đó mấu chốt vấn đề tốn tổ hợp Để làm tốt toán đòi hỏi bạn tƣ cao, suy luận tinh tế , sắc bén Để đƣợc nhƣ yêu cầu bạn luyện tập Trong viết , xin đề cập đến số vấn đề sơ cấp phổ biến toán tổ hợp để mong phần truyền tải đến số bạn yêu toán dễ dàng tiếp cận e ngại với tốn tổ hợp Vì kiến thức cịn hạn hẹp nên có vài sai xót , mong bạn thông cảm Qua xin giới thiệu với bạn số website cho bạn yêu toán: w.w.w.diendantoanhoc.net;( Diễn đàn VMF) số diễn đàn khác nhƣ: w.w.w.mathscope.org ; w.w.w.mathlinks.ro ; w.w.w.math.vn… bạn học hỏi đƣợc nhiều kinh nghiệm tiếp xúc với bạn bè bốn phƣơng Cuối xin trân trọng cảm ơn anh Phạm Hy Hiếu ( Sinh viên đại học ngoại thƣơng Sài Gòn- Huy chƣơng bạc IMO 2009) , anh Võ Quốc Bá Cẩn (sinh viên Đaị học Y Dƣợc Cần Thơ) sửa chữa, đóng góp giúp tơi hồn thành viết này.Cảm ơn bạn đón đọc viết tơi Mọi ý kiến đóng góp xin gửi đựa chỉ: winwave1995@yahoo.com.vn liên hệ trực tiếp qua nick yahoo: winwave1995 Lê Trần Nhạc Long Chuyên đề:Toán Logic& Rời rạc |3 MỤC LỤC Lời nói đầu…………………………………………………………………………… Problem 1:Các tốn giải đồ thị Lê Trần Nhạc Long……………………………………………………………………… …… Problem 2:Các tốn giải tơ màu Lê Trần Nhạc Long………………………………………………………………………………………10 Problem 3: Nguyên lí bất biến, đơn biến Lê Trần Nhạc Long……………………………………………………………………………18 Problem 4: Nguyên lí cực hạn Trần Nguyễn Quốc Cường………………………………………………………… ………26 Problem 5: Nguyên lí Dirichlet ứng dụng Lê Trần Nhạc Long, Võ Quốc Bá Cẩn………………………………………………………41 Problem 6:Các tốn trị chơi Trần Nguyễn Quốc Cường……………………………………………………………………53 Problem 7:Giới thiệu định lí Ramsey-số Ramsey Lê Trần Nhạc Long…………………………………………………………………………….58 Một số tập tổng hợp……………………………………………………………… 60 Tài liệu tam khảo……………………………………………………………………….63 Chuyên đề:Toán Logic& Rời rạc |4 Problem 1: Lý thuyết đồ thị “Toán học người hai đỉnh nối với đoạn thẳng” Lê Trần Nhạc Long Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn –tp Đà Nẵng Lý thuyết đồ thị nói chung , đặc biệt đồ thị tơ màu đƣợc vận dụng để giải tốn khơng mẫu mực hiệu đặc biêt Tổ Hợp Đại Số Ta thể mối qua hệ giả thiết tốn khơng gian có khẳng định tƣơng ứng đồ thị tơ màu để có vận dụng gải hàng loạt toán đƣợc xét Và ta đến toán sau để hiểu rõ thêm lí thuyết đồ thị Ví dụ 1: phịng có người chứng minh tồn lại người đôi quen đôi không quen Giải: xét điểm mặt phẳng Chọn điểm ta dùng đoạn nối liền điểm thể quen và điểm nối nét đứt với không quen Bây ta xét điểm O,A,B,C,D,E lấy O làm tâm , Trong điểm lại , ta thấy ngƣời quen , khơng quen , hình theo ngun lí Dirichlet tồn đƣờng thẳng nét liền từ O đến điểm A,B,C,D,E đƣờng nối nét đứt Bây ta cần xét quen điểm A,B,C mà nối lại với ta đƣợc tam giác có đỉnh O => thỏa mãn tốn, khơng nối lại điểm A,B,C nối nét đứt điều phải chứng minh Vậy ln tìm đƣợc ngƣời đôi quen không quen Nhận xét: để lời giải ngắn gọn ta dùng thêm mệnh đề Đại số , A B  A B Bây câu hỏi đặt ta tổng qt tốn lên n ngƣời mà có k ngƣời đơi quen m ngƣời đôi không quen đƣợc không? Đáp án đƣợc trả lời phần sau Chun đề:Tốn Logic& Rời rạc |5 Ví dụ 2: có 17 nhà toán học viết thư cho , viết đề tài khác người phải viết thư cho người lại biết, cặp nhà toán học viết thư trao đổi đề tài Chứng minh có nhà tốn học viết thư cho trao đổi đề tài Giải: tƣ tƣởng nhƣ toán trên.chọn 17 điểm mặt phẳng đặt tên OA1 , OA2 , , OA6 Và điểm ta dùng màu đỏ nối hai điểm trao đổi đề tài thứ , màu xanh đề tài thứ vàng đề tài thứ Giả sử cạnh đƣợc tô nhiều màu đỏ theo nguyên lí Dirichlet 16 cạnh có cạnh đƣợc tơ màu đỏ giả sử cạnh OA1 , OA2 , , OA6 sáu điểm có điểm đƣợc nối với màu đỏ tạo than tam giác màu đỏ có đỉnh O tức có ngƣời trao đổi đề tài Bây xét điểm khơng có điểm đƣợc nối với màu đỏ phải nối với màu xanh vàng theo ví dụ ln tồn điểm điêm đƣợc nối màu xanh màu vàng.Vậy tốn đƣợc chứng minh  Ví dụ 3:(ví dụ khơng mang tính đồ thị mà dựa vào tư tưởng nó) Trong nhóm gồm 2n+1 người , với n người tồn người 2n+1 người quen n người Chứng minh a) Có n+1 người đội quen b) Tồn người quen hết tất người Giải: a) Ta quy nạp: rõ có ngƣời quen , giả sử có k ngƣời đơi quen (k ≤ n ) tồn ngƣời quen k ngƣời theo giả thiết => có k+1 ngƣời đơi quen Do tồn n+1 ngƣời đôi quen b) Xét n ngƣời cịn lại câu a tồn ngƣời n+1 ngƣời quen n ngƣời suy ngƣời quen tất ngƣời lại Chuyên đề:Toán Logic& Rời rạc |6 BÀI TẬP: Bài 1.1:(TST Hong Kong 1999) Các học sinh phát kiểm tra , môn , n (n≥ 3)môn học Biết với môn học có học sinh đạt điểm tối ưu ,cịn với hai mơn tùy ý có học sinh đạt điểm tối ưu cho môn hai mơn Hãy xác định n bé cho từ điều kiện suy có học sinh đạt điểm tối ưu cho mơn n mơn học (ĐS:8) Bài 1.2:Có trường học, trường học có n học sinh Một học sinh có tổng số người quen từ hai trường học n+1 Chứng minh chọn trường học sinh cho học sinh đôi quen Bài 1.3:trong phịng có người, người ln tìm người quen người khơng quen Chứng minh nhóm người ngồi quanh bàn tròn cho người quen hai người ngồi cạnh Bài 1.4: Trong phịng có người , biết người có người quen Chứng minh rằng, tìm người mà người số quen Bài 1.5:(Trần Nam Dũng-Preparation VMO-2010) Cho 2010 tập hợp, tập hợp chứa 45 phần tử Biết hợp hai tập hợp chứa 89 phần tử Hỏi hợp tất tập hợp nói chứa phần tử? LỜI GIẢI CÁC BÀI TẬP DÙNG ĐỒ THỊ Bài 1.1:(TST Hong Kong 1999) Các học sinh phát kiểm tra , môn , n (n≥ 3)môn học Biết với mơn học có học sinh đạt điểm tối ưu ,cịn với hai mơn tùy ý có học sinh đạt điểm tối ưu cho mơn hai mơn Hãy xác định n bé cho từ điều kiện suy có học sinh đạt điểm tối ưu cho môn n môn học Giải: Ta biểu thị học sinh điển mặt phẳng cho khơng có điểm thẳng hàng , hai học sinh đạt điểm tối ƣu cho mơn ta nối hai điểm tƣơng ứng lại với Nhƣ mơn ta có tam giác Vì hai mơn ln có học sinh đạt điểm tối ƣu cho môn nên hai tam giác ln có chung đỉnh Ta có nhận xét sau: tam giác có chung đỉnh tất tam giác có ching đỉnh Thật khơng tam giác thứ có chung đỉnh với tam giác tạo thành tứ giác => vơ lí! Bây xét tam giác có chung đỉnh với tam giác cịn lại theo ngun lí Dirichlet tồn đỉnh tam giác chọn có chung Chun đề:Tốn Logic& Rời rạc |7 n  2 đỉnh với   tam giác khác Theo nhận xét ta cần    n  2 n  2 1      n  Vậy n nhỏ        Bài 1.2:Có trường học, trường học có n học sinh Một học sinh có tổng số người quen từ hai trường học n+1 Chứng minh chọn trường học sinh cho học sinh đôi quen Giải: Trong trƣờng ta chọn học sinh có số ngƣời quen k (k ≤ n) nhiều với hai trƣờng kia.Giả sử ngƣời A quen k học sinh trƣờng thứ Khi quen n-k+1 học sinh trƣờng thứ 3.Xét học sinh B trƣờng số nằm số ngƣời quen A, B quen ngƣời học sinh C trƣờng thứ nằm k ngƣời quen A A,B,C ngƣời cần tìm Cịn B quen C khơng nằm k ngƣời quen A B quen không n-k học sinh trƣờng thứ => B quen khơng (n+1)-(n-k)=k+1 học sinh trƣờng Mà theo cách chọn k k số lớn => mâu thuẫn tốn đƣợc chứng minh Bài 1.3:trong phịng có người, người ln tìm người quen người không quen Chứng minh nhóm người ngồi quanh bàn tròn cho người quen hai người ngồi cạnh Giải: Chun đề:Tốn Logic& Rời rạc |8 xét ngƣời điểm Mặt phẳng ngƣời điểm ko thẳng hàng tạo thành ngũ giác lồi ABCDE ta thể đƣờng đƣợc nối liền quen nét đứt ko quen ngƣời ta chứng minh hình điều cần chứng minh ta ngƣời quen với ngƣời ngồi cạnh giả sử ngƣời lại quen với ngƣời đối diện giải sử nhƣ A quen B E mà A quen C Tam giác ACE thỏa mãn đề nhƣng ABC ko ko có ngƣời ko quen cách sếp nhƣ để thỏa nãm yêu cầu toán Bài 1.4: a) Trong phịng có người , biết người có người quen Chứng minh rằng, tìm người mà người số quen Giải: Trên mặt phẳng ta lấy điểm điểm đƣợc tô màu đỏ thể quen màu xanh thể khơng quen có trƣờng hợp xảy TH1: tồn điểm có chung đỉnh với cạnh màu xanh ,giả sử cạnh OA1 , OA2 , OA3 , OA4 ngƣời có hai ngƣời quen nên điểm OA1 , OA2 , OA3 , OA4 , khổng thể nối với cạnh xanh chings phải nối với màu đỏ => điểm lập thành tứ giác có cạnh đƣờng chéo màu đỏ , ngƣời đơi quen TH2:nếu tồn điểm có chung đỉnh với khơng q cạnh màu xanh , theo ngun lí Dirichlet tồn đỉnh đầu mút hai cạnh màu xanh , ví dụ H, suy phải đầu mút cạnh , mà theo ví dụ đỉnh chứa cạnh tồn đỉnh nối với màu đỏ khơng tồn điểm nối với mà xanh ( giả thiết) , nhƣ điểm hợp với H thành tứ giác có cạnh đƣớng chéo nối với thành cạnh màu đỏ => điểm cần tìm Bài 1.5:(Trần Nam Dũng-Preparation VMO-2010) Cho 2010 tập hợp, tập hợp chứa 45 phần tử Biết hợp hai tập hợp chứa 89 phần tử Hỏi hợp tất tập hợp nói chứa phần tử? Giải: Do hợp hai tập hợp chứa 89 phần tử nên giao hai tập hợp chứa phần tử Ta chọn tập hợp A0 gồm 45 phần tử : X  {x1 , x2 , , x45} Do 2009 tập hợp lại, tập hợp chứa phần tử A0 nên theo nguyên lí Dirichlet suy có phần tử X (giả sử x1) nằm  2009   45    45 tập hợp Đặt 45 tập hợp A1 , A2 , … , A45   Chuyên đề:Toán Logic& Rời rạc |9 Suy x1 nằm 46 tập hợp (bao gồm 45 tập hợp A1 , A2 , … , A45 tập hợp A0) Ta chứng minh tất tập hợp lại x1 phản chứng : giả sử tồn tập hợp B không chứa x1 (B nằm số 2010 tập hợp xét khác A0 , A1 , A2 , … , A45 ) Lần lƣợt xét giao B với A0 , A1 , A2 , … , A45 : | B  A0 | b0 ; | B  A1 | b1 ; … ; | B  A45 | b45 Nhận thấy tập hợp Ai (i  0,1, 2, , 45) có chung phần tử x1 khơng có chung phần tử khác, từ phần tử bi (i  0,1, 2, , 45) đôi phân biệt Vậy B có 46 phần tử (vơ lí) Điều giả sử vơ lí nên tất tập hợp 2010 tập xét chứa x1 Do hợp của tất tập hợp xét có : (2010.45-2009) phần tử Chuyên đề:Tốn Logic& Rời rạc | 10 Problem 2: Tơ màu “Tốn học mn màu” Tơ màu mang khái niệm biểu diễn tƣơng tự nhƣ đồ thị nhƣng mang tính trừu tƣợng hơn, tơ màu khơng tơ màu mà đánh số hay đặt khái niệm cho tính chất toán Bây ta đến với tốn sau Ví dụ 1: ( Kiểm tra 15’-10A2-LQĐ 2010)Cho hình chữ nhật 3×7 chia thành 21 ô Mỗi ô tô màu xanh đỏ chứng minh ln tồn hình chững nhật khơng tầm thường có đỉnh tơ màu Giải: Cách 1: ( Lê Trần Nhạc Long) Ta giả sử số ô đƣợc tô màu đỏ nhiều số ô đƣợc tô màu xanh , theo ngun lí Dirichlet có 11 đƣợc tô màu đỏ Bây ta xét cách tô màu đỏ Nếu tồn cột có đƣợc tơ màu số màu cịn lại theo ngun lí Dirichlet tồn cột có đƣợc tơ màu cột có tơ màu đỏ cột có tơ màu đỏ tạo thành hình chữ nhật cần tìm Do ta xét cột có nhiều đƣợc tơ màu đỏ, theo ngun lí Dirichlet có cột có đƣợc tơ màu đỏ Xét theo hang ngang ta có  cách tơ cho cột mà ta lại có cách tơ nên theo ngun lí Dirichlet có cách tơ trùng hai cách tô nàylà hai cột tạo thành hình chữ nhật có đỉnh đƣợc tơ màu Chun đề:Tốn Logic& Rời rạc | 49 Khi đƣờng tròn đƣợc chia thành cung suy số đỉnh đa giác phải số ngun lần 3, điều vơ lí 1981 khơng chia hết cho Vậy dây cung có độ dài có hai dây cung khơng có chung đỉnh tạo thành hình thang (đpcm) Bài 5.4:(Trần Quốc Anh) Cho số thực a,b,c, thỏa mãn a  b  c  Chứng minh rằng: a2 b2 c2   1 6a  4a  6b  4b  6c  4c  1  1  1  Giải: Theo nguyên lí Dirichlet ba số  a   ,  b   ,  c   có hai số 3  3  3  cụng dấu Khơng tính tổng quát giả sử 1     1   b    c   Ta đƣợc :  b   c    Khi đó: 3 3  3    2  1   b  c   b  c       a  3   Bất đẳng thức cần chứng ,inh tƣơng đƣơng với 1  1  b2 c2 a2         6b  4b    6c  4c   6a  4a  Hay là: (2b  1)2 (2c  1) 2a   6b2  4b  6c  4c  6a  4a  2 Sử dụng bất đẳng thức Cauchy  Schwarz ta đƣợc (2b  1)  (2c  1) VT  (6b2  4b  1)  (6c  4c  1)  2a 3(b  c )  2a  Chuyên đề:Toán Logic& Rời rạc  2a 2 1        a    2a    9    | 50 6a  9a  6a  Do cần chứng minh 6a 2a  9a  6a  6a  4a  Đẳng thức thu gọn lại thành 2a (3a  1)2 0 (9a  6a  2)(6a  4a  1) Bất đẳng thức hiển nhiên Đẳng thức xảy a  b  c  , a  b  c = Bài 5.5:(Lê Trần Nhạc Long) Trong đường trịn bán kính ta tơ 2011 điểm Chứng minh tồn đường trịn đơn vị nằm có tâm nằm miền đường tròn lớn, chứa 288 điểm 2011 điểm Giải: Nếu bạn nhìn kĩ giống với VMO 2011- ngày thứ Và ta giải nhƣ sau: Xét đƣờng trịn có tâm trùng với tâm đƣờng trịn lớn Khi xét thêm đƣờng trịn có tâm nằm đƣờng trịn tâm đƣờng trịn lập thành lục giác có cạnh Ta xét tam giác có cạnh bị phủ đƣờng trịn đơn vị có tâm nằm đỉnh Tƣơng tự ví dụ ta đƣợc đpcm! Bài 5.6 Trong mặt phẳng cho n - giác lồi có tọa độ đỉnh số nguyên (n > 4) a) CMR cạnh đa giác cịn có điểm ngun khác b) CMR bên đa giác cịn có điểm nguyên khác Giải: a) b) Chia tập điểm nguyên thành loại: Loại I = (ch; ch), loại I = (ch; lẻ), loại III = (lẻ; ch), loại IV = (lẻ; lẻ) Vì n > nên có đỉnh suy có hai điểm có loại trung điểm hai điểm có tọa độ nguyên Xét đa giác A, B, C, D, E Khi ta có ngũ giác lồi ABCDE điểm nằm ABCDE nằm đa giác Theo câu a, giả sử điểm có tọa độ nguyên I trung điểm AB Ta thấy BA cạnh mà đƣờng chéo.Xét AB cạnh ta lại có ngũ giác lồi ZBCDE , ngũ giác có tọa độ đỉnh ngun, theo câu a ta có đpcm Chun đề:Tốn Logic& Rời rạc | 51 Bài 5.7:Bên tam giác ABC cạnh đặt điểm CMR tồn điểm có khoảng cách nhỏ 0,5 Giải: Ta chia tam giác ABC thành tam ( cách vẽ đƣờng trung bình) Ta dễ thấy tam giác có cạnh 0,5 Rõ ràng với điểm tồn tam giác chứa điểm điểm hiển nhiên có khoảng cách nhỏ 0,5 Đây toán dễ , với tư tưởng bạn thử làm toán sau: (Đề thi vào lớp 10 Amserdam 2005-2006) Cho hình vng ABCD 2005 đường thẳng đồng thời thỏa mãn hai điều kiện 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối diện hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ số diện 0,5 Chứng minh 2005 đường thẳng có 502 đường đồng quy ( gợi ý: xét hai trục đối xứng hình vng khơng đƣờng chéo , điểm xảy đồng quy điểm nằm trục đối xứng đƣờng tròn tâm tâm hình vng bán kính phần sáu cạnh) Bài 5.8: (Vơ địch Cộng hịa Czech 1998) Cho X tập hợp gồm 14 số nguyên dương phân biệt Chứng minh có số nguyên dương k ≤ có hai tập k phần tử a1, a2 , ak  , b1, b2 , , bn  Rời X cho: 1     a1 a2  ak  1      b1 b2  1  bk  1000 Giải: Xét C14  3423 tập 7- phần tử X Tổng nghịch đảo phần tử 1 tập rõ ràng không vƣợt     2, , nên buộc phải thuộc số nửa khoảng:      2599 2600  ;   ,  1000 ; 1000  , ,  1000 ; 1000    1000 1000     Theo nguyên lí Dirichlet, tồn hai tập khác có tổng nghịch đảo phần tử thuộc nửa khoảng Loại bỏ khỏi hai tập phần tử chung ( hai tập có 7- phần tử khác có tối đa phần tử chung), ta thu đƣợc hai tập có k- phần tử ( với k số nguyên dƣơng k ≤ 7), thỏ mãn yêu cầu tốn , hai tập nằm khoảng , mà hiệu số lớn khoảng số nhỏ khoảng bé Vậy toán đƣợc chứng minh 1000 Bài 5.9: (Putnam 1993) Cho dãy gồm 19 số nguyên dương không vượt 93 dãy số nguyên gồm 93 số nguyên dương không vượt 19 Chứng minh từ hai dãy số ta trwchs hai dãy có tổng số hạng Chuyên đề:Toán Logic& Rời rạc | 52 Giải: Thực đƣa dạng tổng quát sau đây: Cho hai số nguyên m,n (m,n ≥ 2) dãy số Dãy thứ gồm n số nguyên dương không vượt n , dãy thứ hai gồm m số nguyên dương không vượt n Chứng minh từ dãy số cho, ta trích dãy cho tổng số hạng hai dãy Tơi đƣa lời giải cho tốn tổng quát, thay Đặt hai dãy số tƣơng ứng a b với  a1  a2   an  m  b1  b2   bm  n p q i 1 i 1 Đặt x p   ( p  1, n); y p   bi (q  1, m), Khơng tính tổng qt, giả sử xn  ym với p tồn f ( p) : q số nhỏ mà x p  yq (1) Xét n số y f (1)  x1 , y f (2)  x2 , , y f ( n)  xn , n số có số ta có đpcm Nếu j, y f  j   x j  n (2) ta có y f  j   n  f  j   Do  2  y f  j 1  b f  j   x j  n  y f  j 1  x j  n  b f  j   mâu thuẫn với (1) Vậy ta cần xét trƣờng hợp n số   n Theo nguyên lí Dirichlet tồn k  l cho y f  k   xk  y f l   xl  y f  k   y f l   x f  k   x f l   Đó điều phải chứng minh f k   i  f  l  1 k bi   a j jl 1 Chuyên đề:Toán Logic& Rời rạc | 53 Problem 6: Các tốn trị chơi Trong tốn trị chơi thường yêu cầu xác định chiến thuật để người chơi thắng Đôi chiến thuật áp dụng cho trường hợp có trường hợp riêng có người thắng khác Trên thực tế tốn trị chơi phần lĩnh vực bất biến , tức ta cần chiến thuật để đại lượng không thay đổi để đến chiến thắng Bốc kẹo Ví dụ 1: Trên bàn có đống kẹo gồm 2011 2012 viên kẹo người chơi trò chơi Họ bốc số kẹo từ đống người bốc viên kẹo cuối bàn người thắng Giải: Ta thấy để chiến thắng trạng thái số kẹo bàn đống (0;0) đống cân Và trạng thái bàn (2011;2012), ta tìm chiến thuật mà ngƣời thắng tạo đƣợc trạng thái a, đối thủ phá vỡ trạng thái ngƣời thắng lại đƣa đƣợc trạng thái a Nhƣ nói trạng thái thắng đống 0;0 cân ngƣời bốc viên để trạng thái số kẹo bàn (2011;2011), đến lƣợt ngƣời thứ bốc dĩ nhiên trạng thái cân phá vỡ Sau ngƣời thứ đƣa số kẹo đống Vậy sau ngƣời bốc số kẹo đống không nên chắn phải thua Tƣơng tự nhƣ số kẹo ban đầu bàn đống ngƣời ngƣời có chiến thuật thắng Ví dụ 2: Trên bàn có 100 viên kẹo người chơi bốc (1;2;k) viên kẹo Hai người bốc kẹo, người bốc viên kẹo cuối người thua Giải: Ban đầu có 100 viên kẹo ngƣời thứ đảm bảo “an tồn” cho tránh bị thua cách bốc để lại 99 viên số lẻ Sau ngƣời thứ bốc ngƣời thứ ln có chiến thuật để bốc cho số kẹo sau bốc số lẻ nên khơng thể thua Vai trị k tốn mang tính chất phụ họa nhƣng với tốn sau tốn trở nên khác hẳn cà khó nhiều Ví dụ 3: Cho 2011 viên kẹo bàn Hai người chơi trò chơi họ bốc số kẹo (1;2;6) Hỏi người có chiến thuật thắng? Giải: Thật bất biến , tự dƣng ta tìm cách giải bất ngờ nhƣ Với toán nhƣ , cách giải “khơng hay” nhƣng “ hiệu quả” giải khơng thể tìm đƣợc đại lƣợng bất biến đâu Chuyên đề:Toán Logic& Rời rạc | 54 Bài ban đâu ta không 2011 viên kẹo mà bắt đầu với số kẹo nhỏ Giả sử ban đầu bàn có n viên kẹo Nếu n=1,2,3 rõ ràng ngƣời thứ có chiến thuật thắng ( ta gọi đơn giản “ngƣời thứ thắng”) Với n =3 ngƣời thứ hai thắng ngƣời thứ bộc viên tƣơng ứng với ngƣời thứ hai bốc viên để thắng Với n = ngƣời thứ thắn cách bốc viên kẹo đẩy ngƣời thứ hai vào thua Tƣơng tự với n= ngƣời thứ thắng Với n=7 ngƣời thứ hai thắng ba cách bốc ngƣời thứ (1,2,6) dẫn đến thắng cho ngƣời thứ hai ( tƣơng ứng cìn 6,5,1 viên kẹo bàn), n=8 ngƣời thứ thắng… Bằng cách lí luận tƣơng tự ta có bảng sau: n 10 11 12 13 14 15 16 17 KQ 1 1 1 1 1 Từ kết bảng ta có thher dự đốn đƣợc người thứ thắng n có số dư ,2 ,4 ,5 ,6 phép chia cho , người thứ hai thắng n có số dư ,3 phép chia cho Sau dự đốn ta tìm cách chứng minh chặt chẽ dự đốn quy nạp tốn học Đặt n  7k  r với r  1, 2, ,6,7 ta chứng minh dự đoán quy nạp theo k Với k  mệnh đề đƣợc kiểm chứng qua bảng Xét n  7(k  1)  r với r  1, 2, ,6,7 Nếu r  1, 2,6 ngƣời thứ bốc 1,2,6 viên để đƣa trƣờng hợp bàn 7k  viên kẹo thua cho ngƣời thứ hai theo giả thiết quy nạp ngƣời thứ thắng Nếu r  ngƣời thứ có cách bốc + Bốc viên ,cịn 7(k  1)  viên thắng cho ngƣời thứ hai ( ta vừa chứng minh trên) + Bốc viên , 7(k  1)  viên thắng cho ngƣời thứ hai ( chứng minh trên) + Bốc viên, 7k  viên thắng cho ngƣời thứ hai ( theo giả thiết quy nạp) Nhƣ trƣờng hợp ngƣời thứ thua Nếu r  4,5 , ngƣời thứ bốc tƣơng ứng ,2 viến để đƣa trƣờng hợp 7(k  1)  thua cho ngƣời thứ hai ngƣời thứ thắng Cuối , tƣờng hợp r  , ngƣời thứ có cách bốc +Bốc viên ,còn 7(k  1)  thắng cho ngƣời thứ hai, (chứng minh trên) Chuyên đề:Toán Logic& Rời rạc | 55 + Bốc viên , 7(k  1)  thắng cho ngƣời thứ hai ( chứng minh trên) Vậy trƣờng hợp ngƣời thứ thua Nhƣ dự đoán ta đƣợc chứng minh hoàn toàn 2011 chia dƣ nên theo lí luận ngƣời thứ có chiến thuật thắng Ví dụ 4: Trên bàn có đống kẹo gồm 2010 2011 kẹo người bốc kẹo cho chọn đống bốc họ phải bốc số kẹo ước đống Ai người bốc viên kẹo cuối người thắng Giải: Ngƣời thứ bốc đống 2010 số kẹo bên số lẻ Do dù ngƣời thứ hai bốc số kẹo bên khác tính chẵn lẻ Và ngƣời thứ tiếp tục bốc kẹo đống chẵn đƣa trạng thái (lẻ;lẻ) Nhƣ sau ngƣời thứ bốc khơng có đống hết Do phải đến thời điểm ngƣời thứ bốc hết số kẹo đống ngƣời thứ việc bốc số kẹo lại đống lại chiến thắng Ở lại đến với đại lƣợng bất biến chẵn lẻ ta tổng qt tốn với đống kẹo chẵn lẻ Các bạn dựa vào để giải toán với đống kẹo (4k+2;4l+2) Ví dụ 5: Có 2010 viên sỏi Hai người chơi thay phiên bốc sỏi, lượt người chơi qyền bốc lượng sỏi lũy thừa với số mũ tự nhiên 2(1;2;3; ) Ai bốc viên sỏi cuối người chiến tháng Giả sử người chới người thông minh Hỏi người chiến thắng? Giải: ta có 2010 chia hết cho để ý số kẹo sau số lần bốc bội nhƣ 6,12,18,24 ngƣời thứ ln thắng ngƣời thứ bốc số kẹo cho tổng số kẹo ngƣời thứ ngƣời thứ sau lƣợt bội sau số lần bốc số kẹo cịn lại bội "nhỏ" tức nằm số 24,18,12,6 Vậy ngƣời thứ có chiến thật thắng Nếu ngƣời thứ bốc số kẹo lũy thừa chẵn chả ngƣời thứ bốc số kẹo lũy thừa lẻ ( ngƣợc lại) để bảo toàn số kẹo bội Viết số, tơ màu Ví dụ 6: Hai người chơi trị chơi Ban đầu bảng có số 1,2,3,4 Mỗi lần thực người thứ cộng vào số cạnh đơn vị, người thứ hai đổi chỗ số cạnh Hai người thay phiên thực hiện, số người thứ thắng Hỏi người thứ hai có cách ngăn người thứ thắng hay không? Giải: Câu trả lời ngƣời thứ hai ngăn cản ngƣời thứ chiến thắng.Ta thấy sau thao tác ngƣời thứ thực khoảng cách số lớn số nhỏ Chuyên đề:Toán Logic& Rời rạc | 56 thấp Và số nhỏ chắn phải số (có thể sau lần đầu nâng lên 2), số lớn 4(có thể nâng lên 5) ngƣời thứ hai cần để số số cạnh số 1, lần sau dịch chuyển số vị trí cịn lại tráo đổi cho khoảng cách số đầu chênh đơn vị chúng tăng số lớn tăng nên Ví dụ 7: Trên bảng có số Hai người chơi trị chơi, bảng có số n người xóa số viết vào số n+d với d ước n bé n Ai người viết lên bảng số lớn 2011 trước người thua Hỏi người có chiến thuật thắng? Giải: Đầu tiên bảng có số ngƣời thứ việc cộng thêm vào số để đƣợc số lẻ Do sau ngƣời thứ hai thực bảng lại số chẵn Cứ nhƣ sau ngƣời thứ hai thực số bảng đạt đến 2011 ngƣời thứ viết vào số n+1 nên số khơng thể 2011 nhƣ ngƣời thứ chiến thắng Ví dụ 8: Hai người chơi trị chơi tơ màu lên bảng hình chữ nhật m×n Đánh số cột từ đến m hàng từ đến n Hai người thay phiên tô màu ô lượt tơ người họ khơng tô ô hàng,cùng cột đường chéo với ô người tô liền trước Hai người dùng màu trắng đen Giả sử họ ln tơ kín bảng.Nếu sau tơ, tồn hình vuống 2×2 thuộc hình chữ nhật có số trắng lẻ người thứ thắng Hỏi người thứ hai có ngăn người thứ thắng khơng? Giải: Trong ví dụ ngƣời thứ ln thắng Chú ý ngƣời thứ lần đầu tơ (1;1) ngƣời thứ đƣợc tô ô đỉnh hỉnh chữ nhật Và điều thật thú vị dựa vào đỉnh ngƣời thứ thắng mà khơng cần quan tâm đến cách tô ô khác Thật nhƣ ngƣời thứ tơ đỉnh có ô màu trắng ô màu đen tồn hình vng thỏa mãn đề Ý tƣởng rõ ràng ta phản chứng giả sử tất 2x2 có số chẵn màu trắng Đánh số cột đến m hàng đến n Xét ô (1;i) (tức hàng cột i) (1;i+1) tổng số ô trắng ô với ô (2;i) (2;i+1) số chẵn, ô (2;i)+(2;i+1)+(3;i)+(3;i+1) số chẵn nên suy (1;i)+(1;i+1)+(3;i)+(3;i+1) số chẵn nhƣ ta suy (1;i)+(1;i+1)+(n;i)+(n;i+1) số chẵn Xét đỉnh màu trắng nằm cột vs bên cạnh có tổng trắng số chẵn suy ô cạnh ô màu, tiếp tục nhƣ ô cạnh ô lại màu, dẫn đến cuối hàng màu, điều vơ lí trắng đen Chuyên đề:Toán Logic& Rời rạc | 57 Bài toán thú vị chỗ khơng cần q trình định mang tính bất biến nhƣ toán mà cần quan tâm đến vài vị trí đặc biệt định Trên thực tế suy nghĩ tìm lời giải cho cách tơ từ giả thiết điều khó!! Chun đề:Tốn Logic& Rời rạc | 58 Problem 7: Giới thiệu sơ lƣợc định lí Ramsey-số Ramsey “ Thượng đế tạo số tự nhiên, tất loại số khác cơng trình sáng tạo người” Như nói ví dụ phần ta tổng quát Trong phần với kiến thức lớp 10 ta thể ngôn ngữ quen thuộc sơ lược vài trường hợp định lí:(ta thể ngơn ngữ “quen nhau”) số người nhỏ cho số chừng người bất kỳ, tồn m người đôi quen n người đôi không quen nhau” “Chừng người R(m,n)-số Ramsey Và ta có tính chất số Ramsey nhƣ sau: Hệ quả: R  m, n   R  m 1, n   R  m, n 1  m  n  2 m 1  R  m, n      Cm n 2  m 1  R  m, n   R(n, m) Các đẳng đƣợc chứng minh qua số trƣờng hợp bảng sau: m, n 10 1 1 1 1 1 2 10 3 14 18 23 28 36 40–43 4 18 25 35–41 49–61 56–84 73–115 92–149 5 14 25 43–49 58–87 80–143 101–216 125–316 143–442 6 18 35–41 58–87 102–165 113–298 127–495 169–780 179–1171 7 23 49–61 80–143 113–298 205–540 216–1031 233–1713 289–2826 8 28 56–84 101–216 127–495 216–1031 282–1870 317–3583 317-6090 9 36 73–115 125–316 169–780 233–1713 317–3583 565–6588 580–12677 10 10 40–43 92–149 143–442 179–1171 289–2826 317-6090 580–12677 798–23556 Chuyên đề:Toán Logic& Rời rạc | 59 Định lí Ramsey chứng minh từ lâu người ta chưa xác định số R(m,n) theo ngơn ngữ tốn học khơng phải mà dùng khái niệm tơ màu, mà cịn mở rộng cho R(m,n,r) với kiến thức để dễ hiểu ta nên đưa ngôn ngữ Các toán số trường hợp định lí Ramsey ví dụ , 1.4 , Với tư tưởng cách dùng đồ thi bạn giải với số R(4,4) ; R(4;5) Và để kết thúc viết xin dành tặng bạn đọc số tập tổng hợp sau: Chuyên đề:Toán Logic& Rời rạc | 60 Một số tập tổng hợp Bài 1: Cho đa giác n cạnh mặt phẳng tọa độ với đỉnh nguyên độ dài cạnh nguyên Chứng minh chu vi đa giác số chẵn Bài 2: (Olympic 30/4 2010 lớp 10) Trong môn thi đấu thể thao có x HCV đƣợc phát n ngày Ngày thứ ngƣời ta phát HCV số HC lại Ngày thứ hai, ngƣời 10 ta phát HC số HC lại Tƣơng tự, ngày thứ k ngƣời ta phát k HC với 10  k  n Vào ngày cuối cùng, n $n$ HC để phát Hỏi mơn thể thao có HC đƣợc phát ngày? Bài 3: Cho hình (T) nhƣ sau: Hỏi phủ kín hình vng 10x10 hình khơng? Bài 4: Trên mặt phẳng có n điểm (n>3) mà khơng có điểm thẳng hàng khơng có điểm nằm đƣờng tròn Chứng minh tồn đƣờng tròn qua điểm n điểm mà chứa điểm điểm cịn lại? Bài 5: Trên ô bảng kẻ ô vuông 8x8 có ghi số , số tích số hàng số cột ô Lấy khơng có nằm hàng nằm cột Chứng minh tích số nằm không đổi Bài 6:Cho số lƣợng 2k số +1 -1 Từ ta nhận đƣợc số cách : Mỗi số nhân với số , số cuối nhân với số Với số lặp lại thao tác liên tục Chứng minh cuối ta có nhận đƣợc có số +1 đƣợc khơng? Bài 7: Cho số điểm màu đỏ màu xanh Một số chúng nối với thành đọa thẳng Ta nói điểm gọi đặc biệt nửa điểm lại nối với có màu khác với màu Nếu tồn điểm đặc biệt ta chọn điểm đặc biệt tơ lên màu khác Chứng minh sau hữu hạn bƣớc khơng cịn điểm đặc biệt Bài 8: Trên mặt phẳng cho N điểm , từ chúng nối với thành đoạn thẳng Biết từ điểm không xuất phát 11 đoạn thẳng Chứng minh điểm tơ màu cho đoạn thẳng có đầu mút màu khơng vƣợt N Bài 9: Cho n ( n ≥ 2) học sinh đứng thành hàng dọc để tập thể dục sau lần thầy giáo thổi cịi có học sinh đổi chỗ cho Hỏi sau số lẻ lần thầy giáo thổi còi học sinh có trở lại trạng thái ban đầu khơng? Chun đề:Tốn Logic& Rời rạc | 61 Bài 10: (Nam Tƣ, 75) Trong hội nghị ngƣời quen khơng có ngƣời quen chung , cịn có ngƣời khơng quen nhau có ngƣời quen chung Chứng minh hội này, tất ngƣời có số ngƣời quen chung Bài 11: (Bungari,79) Trên tờ giấy kẻ ô vuông đánh dấu n ô Chứng minh từ chúng n ln nhận đƣợc khơng ô vuông đôi không tiếp xúc với ( ô vuông đƣợc coi tiếp xúc với có đỉnh chung) Bài 12: (Nam từ , 74) Trên bàn cờ kích thƣớc × có quân cờ trắng đứng hàng ngang thứ quân cờ đen nằm hàng ngang thứ tám Các đấu thủ lần lƣợt ( trắng trƣớc) cách di chuyển quân cờ theo hàng dọc vài phía trƣớc hay phía sau Khơng đƣợc phép bỏ qn khỏi bàn, hay vào có qn đối phƣơng đứng , nhảy qua Ngƣời thua ngƣời khơng có nƣớc Bài 13 Một bảng vng vơ hạn có quân cờ đứng thành hàng tạo thành hình chữ nhật 3k × n Có trị chơi theo nguyên tắc sau: quân cờ nhay qua quân cờ bên cạnh ( theo chiều dọc chiều ngang ) vào ô trống , sau quân cờ bị nhảy qua ta lấy khỏi bàn cờ Chứng minh bảng không lại quân cờ Bài 14: Cho trƣớc đa diện lồi với n ≥ mặt, mà từ đỉnh no có cạnh Hai ngƣời chơi trò chơi nhƣ sau: Mỗi ngƣời lần lƣợt viết tên lên từ mặt cịn trống Để thắng ngƣời chơi cần viết tên lên mặt có đỉnh chung Chứng minh tồn cách chơi mà ngƣời thứ thắng Bài 15* : Số lơn xe đặt bàn cờ 3n × 3n để cho xe bị ăn không nhiều xe lại Bài 16: Trong thành phố “ Hữu Nghị” có tất 10.000 cơng dân Cứ ngƣời dân bạn nhau, kẻ thù Hằng ngày không nhiều ngƣời cãi với bạn làm lành với kẻ thù Mặt khác ngƣời dân làm bạn với Chứng minh sau số ngày tất ngƣời bạn Hỏi số ngày cần phải có ? Bài 17: ( HSG lớp 9- Vĩnh Phúc ,2010) Mỗi ô vuông đơn vị bảng kích thƣớc 10x10 (10 dịng, 10 cột) đƣợc ghi số nguyên dƣơng không vƣợt 10 cho hai số ghi hai chung cạnh hai ô chung đỉnh bảng hai số nguyên tố Chứng minh có số đƣợc ghi 17 lần Bài 18: CMR: n  tồn tập hợp gồm n số nguyên dƣơng cho tổng số chia hết hiệu chúng Bài 19: Chứng minh với cách chia tập {1,2,3, ,3n} thành lớp phần tử, chọn đƣợc từ lớp số cho số chọn tổng số lại Bài 20: Giả sử có cách chia số 1, 2,3, , 100 thành lớp CMR: Tồn vài lớp mà lớp có số phân biệt a, b, c, d mà a  b  c  d số phân biệt e, f , g cho e  f  2g Chuyên đề:Toán Logic& Rời rạc | 62 Bài 21: Trong lấy ý kiến vấn đề, ngƣời đƣợc hỏi ghi vào phiếu trả lời sẵn cách để nguyên phủ định câu trả lời tƣơng ứng với vấn đề nêu.Chứng minh với 1153 ngƣời đƣợc hỏi ln tìm đƣợc 10 ngƣời trả lời giống hệt Bài 22: Cho 36 số ngun, tích số số số nguyên âm Chứng tỏ tích 36 số cho số nguyên dƣơng Bài 23: (VMO-2010) Cho bảng 3×3 , n số nguyên dƣơng cho trƣớc, tìm số cách tô màu không nhƣ tô ô n màu Hai cách tô đƣợc gọi nhƣ cách nhận đƣợc từ cách phép quay tâm Bài 24: Ngƣời ta dùng màu để tô tất đỉnh thất giác cho đỉnh đƣợc tô màu hai đỉnh kề đƣợc tô màu khác Hai cách tô thỏa mãn điều kiện đƣợc gọi nhƣ cách tơ màu nhận đƣợc từ cách tơ màu qua phép quay tâm thất giác Hỏi có cách quay đơi khơng nhƣ nhau? Bài 25: Cho 12 đa giác Tại A12 , ngƣời ta ghi dấu " " , tất đỉnh lại, đỉnh ngƣời ta ghi dấu " " Cho phép thay đổi dấu theo quy tắc sau: Mỗi lần lấy dấu ta giác cân, không cân thay dấu dấu ngƣợc lại Hỏi nhờ việc thực liên tiếp số hữu hạn lần phép thay dấu nói đa giác ban đầu, ta nhận đƣợc đa giác A1 A2 A12 mà đỉnh A1 ghi dấu " " , tất đỉnh khác ghi dấu " " Chuyên đề:Toán Logic& Rời rạc Tài liệu tham khảo:  w.w.w.diendantoanhoc.net  w.w.w.mathscope.org  Lí thuyết tổ hợp ( Ngơ Thế Phiệt)  Tuyển tập toán từ thi Trung Quốc  Các đề thi vô địch Tốn 19 nước ( có Việt Nam)  Vietnamese IMO Team Training camp 2010 ( Trần Nam Dũng)  Nguyên lí Dirichlet ứng dụng ( Tài liệu Mathscope)  Đơn biến, bất biến ứng dụng ( Trần Nam Dũng) | 63 ... 1+ 1-2 =0 -2 -2 -2 1 1 -2 -2 -2 1 1 -2 -2 -2 Nếu ta bỏ ô đƣợc đánh số tổng cịn lại hình vng : 9× (-2 )+2 4-9 =-3 nhƣng qn Tri-mi-no lại phủ hết tất ô nên phải có tổng Vơ lí! Cịn ta bỏ đƣợc đánh số -2 tổng... đề:Tốn Logic& Rời rạc | 13 Cách 2: ta nhiều cách đánh số khác ví dụ nhƣ sau: cột lẻ hang lẻ ta đánh -2 ô cột chẵn hang chẵn ta đánh quân tri-mi-no láy lên ô -2 ,1,1 qn Tri-mi-no có tổng 1+ 1-2 =0 -2 -2 ... B có phần tử 0,1 -1 Thật x nằm khoảng (0;1) (-1 ;0) số x2  x   x2  x  nằm khoảng (-1 ;1) Dẫn đến vơ lí Ta có tập thỏa mãn đề bài: {-1 ;1},{1}, {-1 },{0 ;-1 ;1} Chuyên đề :To? ?n Logic& Rời rạc | 41