LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN

PHẦN 1: XÁC SUẤT 1 1.1. Xác suất điều kiện, Cộng và nhân xác suất, Công thức đầy đủ và Bayes 1 1.2. Kỳ vọng, phương sai, Mod, Median 2 1.3. Luật phân phối của biến ngẫu nhiên (Nhi thức, Chuẩn) 4 1.4. Liên hệ giữa các luật phân phối. 5 1.5. Cho 4 ví dụ liên quan đến kiến thức trên. 6 PHẦN 2: THỐNG KÊ 9 2.1. Bài toán số 1: 9 2.2. Bài toán số 2: 12 PHẦN 3: VẬN DỤNG 15 3.1. Xác suất 15 3.2. Thống kê 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO I

TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TP HỒ CHÍ MINH BÀI THI KẾT THÚC HỌC PHẦN Môn thi: LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Họ tên sinh viên: MSSV: Lớp học phần: THÔNG TIN BÀI THI Bài thi có: (bằng số): …25… trang (bằng chữ): …Hai mươi lăm… trang TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGÂN HÀNG TPHCM BỘ MƠN TỐN KINH TẾ  BÀI TIỂU LUẬN HỌC PHẦN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Sinh viên thực MSSV Lớp học phần GVHD : : : : TP Thủ Đức, ngày 17 tháng 11 năm 2022 MỤC LỤC MỤC LỤC I PHẦN 1: XÁC SUẤT 1.1 Xác suất điều kiện, Cộng nhân xác suất, Công thức đầy đủ Bayes 1.2 Kỳ vọng, phương sai, Mod, Median 1.3 Luật phân phối biến ngẫu nhiên (Nhi thức, Chuẩn) 1.4 Liên hệ luật phân phối 1.5 Cho ví dụ liên quan đến kiến thức PHẦN 2: THỐNG KÊ -9 2.1 Bài toán số 1: 2.2 Bài toán số 2: 12 PHẦN 3: VẬN DỤNG 15 3.1 Xác suất 15 3.2 Thống kê - 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO - I PHẦN 1: XÁC SUẤT 1.1 Xác suất điều kiện, Cộng nhân xác suất, Công thức đầy đủ Bayes 1.1.1 Xác suất điều kiện 𝑃 (𝐴 ⁄𝐵 ) = 𝑃(𝐴𝐵 ) 𝑃 (𝐵 ) (𝑃(𝐵) ≠ 0) Chú ý: 𝑃 (𝐵 ⁄𝐴 ) = 𝑃(𝐴̅⁄𝐵) = − 𝑃(𝐴⁄𝐵) 𝑃(𝐴𝐵 ) 𝑃 (𝐴 ) 1.1.2 Cộng nhân xác suất, 1.1.2.1 Công thức cộng A B hai biến cố ngẫu nhiên 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴𝐵) A B xung khắc: 𝐴𝐵 = ∅ 𝑃(𝐴 + 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) Tổng quát: Nếu biến cố đơi xung khắc thì: 𝑃(𝐴1 + 𝐴2 + +𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝐴1 ) + 𝑃(𝐴2 )+ +𝑃(𝐴𝑛 ) Hệ quả: 𝑃(𝐴̅) = − 𝑃(𝐴); 𝑃(𝐴) = − 𝑃(𝐴̅) 1.1.2.2 Cơng thức nhân Cơng thức xác suất tích: 𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴)𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑃(𝐵)𝑃(𝐴/𝐵) Nếu A B độc lập thì: 𝑃(𝐴𝐵) = 𝑃(𝐴) 𝑃(𝐵) Tổng quát: 𝑃(𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐴2 /𝐴1 )𝑃(𝐴3 /𝐴1 𝐴2 ) … 𝑃(𝐴𝑛 /𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛−1 ) Hệ A1, A2, …, An, độc lập hồn tồn với 𝑃(𝐴1 𝐴2 … 𝐴𝑛 ) = 𝑃(𝐴1 )𝑃(𝐴2 )𝑃(𝐴3 ) … 𝑃(𝐴𝑛 ) 1.1.3 Công thức đầy đủ Bayes Cho {A1, A2,…, An } hệ đầy đủ biến cố phép thử Biến cố A xảy biến cố Giả sử, ta biết P(Ai) P(A/Ai), với i = 1,n 1.1.3.1 Cơng thức đầy đủ Khi đó, xác suất biến cố A tính theo cơng thức: 𝑛 𝑃(𝐴) = ∑ 𝑃(𝐴𝑖 ) 𝑃(𝐴/𝐴𝑖 ) 𝑖=1 1.1.3.2 Công thức Bayes Khi đó, xác suất biến cố Ai với điều kiện biến cố A xảy tính theo cơng thức: 𝑃(𝐴𝑗 /𝐴) = 𝑃(𝐴𝑗 )𝑃(𝐴/𝐴𝑗 ) 𝑛 ∑𝑖=1 𝑃(𝐴𝑖 )𝑃(𝐴/𝐴𝑖 ) 1.2 Kỳ vọng, phương sai, Mod, Median 1.2.1 Kỳ vọng Ký hiệu: 𝐸(𝑋) 1.2.1.2 Biến ngẫu nhiên liên tục 1.2.1.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc +∞ 𝑛 𝐸𝑋 = ∫ 𝑥 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 𝐸𝑋 = ∑(𝑥𝑖 𝑝𝑖 ) 𝑖=1 −∞ 1.2.1.3 Tính chất 𝐸 (𝑘 ) = 𝑘, 𝑘: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝐸 (𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 + 𝑐 ) = 𝑎𝐸 (𝑋 ) + 𝑏𝐸 (𝑌) + 𝑐, 𝑎, 𝑏, 𝑐: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Nếu X Y biến độc lập 𝐸 (𝑋𝑌) = 𝐸 (𝑋 ) 𝐸(𝑌) 1.2.2 phương sai Ký hiệu: V(X) 𝑉 (𝑥) = 𝐸 (𝑋 ) − (𝐸𝑋)2 1.2.2.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 1.2.2.2 Biến ngẫu nhiên liên tục +∞ 𝑛 𝐸 (𝑋 ) = ∑(𝑥𝑖 𝑝𝑖 ) 𝐸(𝑋 ) = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑖=1 −∞ 𝑉 (𝑥) = 𝐸 (𝑋 ) − (𝐸𝑋 )2 𝑉 (𝑋 ) = 𝐸 (𝑋 ) − (𝐸𝑋 )2 𝑛 +∞ = ∑(𝑥𝑖 𝑝𝑖 ) − (𝐸𝑋 )2 = ∫ 𝑥 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 − (𝐸𝑋 )2 𝑖=1 −∞ 1.2.2.3 Tính chất 𝑉 (𝑘 ) = 0, 𝑘: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑉 (𝑘𝑋 ) = 𝑘 𝑉(𝑋), 𝑘: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 𝑉 (𝑋 + 𝑘 ) = 𝑉(𝑋), 𝑘: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡 Nếu X Y độc lập: 𝑉 (𝑋 + 𝑌) = 𝑉 (𝑋 ) + 𝑉(𝑌) 1.2.3 Mod Mod (Giá trị tin nhất): Mod(X) giá trị X mà xác suất lớn Chú ý:Mod(X) nhận nhiều giá trị khác 1.2.3.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑀𝑜𝑑 (𝑋 ) = 𝑥𝑖 ⟺ 𝑃(𝑋 = 𝑥𝑖 ) 𝑚𝑎𝑥 1.2.3.2 Biến ngẫu nhiên liên tục 𝑀𝑜𝑑 (𝑋 ) = 𝑥𝑖 ⟺ 𝑓(𝑥𝑖 ) 𝑚𝑎𝑥 1.2.4 Median Median (Trung vị): điểm chia đôi phân phối xác suất biến ngẫu nhiên Chú ý: Med(X) nhận nhiều giá trị khác 1.2.4.1 Biến ngẫu nhiên rời rạc 𝑀𝑒𝑑 (𝑋 ) = 𝑥𝑖 ⟺ 𝐹(𝑥𝑖 ) ≤ ≤ 𝐹(𝑥𝑖+1 ) 1.2.4.2 Biến ngẫu nhiên liên tục +∞ 𝑀𝑜𝑑 (𝑋 ) = 𝑥𝑖 ⟺ ∫ 𝑓 (𝑥)𝑑𝑥 = 0,5 −∞ 1.3 Luật phân phối biến ngẫu nhiên (Nhi thức, Chuẩn) 1.3.1 Luật phân phối Nhi thức Thực phép thử n lần độc lập -Trong lần thử, ta quan tâm đến biến cố A (xảy hay khơng xảy ra) với p = P(A) số không đổi, không phụ thuộc vào phép thử Gọi X: số lần biến cố A xảy Khi đó: X có phân phối nhị thức, ký hiệu: 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝) Trong đó: X = {0, 1, 2, …, n) Nếu 𝑿~𝑩(𝒏, 𝒑) ta có: 𝑃(𝑋 = 𝑘 ) = 𝐶𝑛𝑘 𝑝𝑛 𝑞𝑛−𝑘 Trong đó: 𝑘 = 0, 1, 2, … 𝑛; 𝑞 =1−𝑝 Tính chất: 𝜇 = 𝐸 (𝑋 ) = 𝑛𝑝 𝜎 = 𝑉 (𝑋 ) = 𝑛𝑝𝑞 𝑛 𝑝 − 𝑞 ≤ 𝑀𝑜𝑑 (𝑋 ) ≤ 𝑛 𝑝 + 𝑞 1.3.2 Luật phân phối Chuẩn Biến ngẫu nhiên liên tục X gọi có phân phối chuẩn với kỳ vọng 𝜇 phương sai 𝜎 , ký hiệu 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 ), hàm mật độ có dạng: 𝑓 (𝑥 ) = 𝜎√2𝜋 (𝑥−𝜇)2 𝑒 2𝜎2 , ∀𝑥 ∈ ℝ Đặc biệt, X ~ N(0,1) ta nói X có phân phối chuẩn tắc (phân phối Gauss) Hàm Laplace 𝜑(𝑥) hàm số xác định bởi: 𝜑 (𝑥 ) = 𝑥 √2𝜋 −𝑡 ∫ 𝑒 𝑑𝑡 , ∀𝑥 ∈ ℝ Tính chất hàm Laplace hàm lẻ: 𝜑(−𝑥) = −𝜑(𝑥) Chú ý x > 4,09 lấy 𝜑(𝑥) = 0,5 Cơng thức tính xác suất theo phân phối chuẩn: 𝑃 (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 ) = 𝜑 ( 𝑏−𝜇 𝑎−𝜇 ) )−𝜑( 𝜎 𝜎 1.4 Liên hệ luật phân phối Liên hệ phân phối nhị thức 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝) phân phối chuẩn 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 ) 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝) − − − 𝑘ℎ𝑖 𝑛𝑝 ≥ 𝑣à 𝑛𝑞 ≥ − −−→ 𝑋~𝑁(𝜇, 𝜎 ) Với 𝜇 = 𝑛 𝑝; 𝜎 = √𝑛 𝑝 𝑞 𝑃 (𝑋 = 𝑘 ) ≈ 𝑃 (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏 ) = 𝜑 ( 𝑘−𝜇 𝑓( ) 𝜎 𝜎 𝑏 − 𝜇 − 0.5 𝑎 − 𝜇 − 0.5 )−𝜑( ) 𝜎 𝜎 Chú ý: Các biến có (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏), (𝑎 < 𝑋 < 𝑏), (𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) đưa dạng (𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏): (𝑎 ≤ 𝑋 ≤ 𝑏) = (𝑎 ≤ 𝑋 < 𝑏 + 1) (𝑎 < 𝑋 < 𝑏) = (𝑎 + ≤ 𝑋 < 𝑏) (𝑎 < 𝑋 ≤ 𝑏) = (𝑎 + ≤ 𝑋 < 𝑏 + 1) 1.5 Cho ví dụ liên quan đến kiến thức 1.5.1 Ví dụ Xác suất điều kiện, Cộng nhân xác suất, Công thức đầy đủ Bayes Lô thứ chứa sản phẩm loại I sản phẩm loại II Lô thứ hai chứa sản phẩm loại I sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiên từ lô một, sản phẩm bỏ vào lơ sau lấy từ lô sản phẩm Xác suất lấy sản phẩm khác loại từ lô hai ? Lô 1: sp loại 1, sp loại 2; Lô 2: sp loại 1, sp loại 2; Gọi A1 lấy sp loại từ lô 1; Gọi A2 lấy sp loại từ lô 1; 𝐶51 P(𝐴1 ) = = 𝐶9 𝑃(𝐴2 ) = − = 9 Gọi B lấy sản phẩm khác loại Lấy sản phẩm loại I từ lô => Lô 2: sp loại 1, sp loại 𝐶71 × 𝐶41 28 𝑃(𝐵|𝐴1 ) = = 55 𝐶11 Lấy sản phẩm loại II từ lô => Lô 2: sp loại 1, sp loại 𝑃(𝐵|𝐴2 ) = 𝐶61 × 𝐶51 = 11 𝐶11 Xác suất lấy sp khác 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐴1 ) × 𝑃(𝐵|𝐴1 ) + 𝑃(𝐴2 ) × 𝑃(𝐵|𝐴2 ) = 28 52 × + × = 55 11 99 1.5.2 Ví dụ Kỳ vọng, phương sai, Mod, Median Cho bảng số liệu bán hàng năm người Gọi x số hàng bán năm X Số ngày Xác suất 18 0,05 60 0,167 120 0,333 150 0.417 12 0.033 N = 360 a Tính trung bình số hàng bán bán ngày 12 EX = × 0,05 + × 0,167 + × + × +4× 30 = 2,2167 Tổng 360 b Tính phương sai số hàng bán bán ngày 𝐸 (𝑋 ) = 02 × 0,05 + 12 × 0,167 + 22 × + 32 × + 42 × = 5,78367 12 30 VX= 𝐸 (𝑋 ) − (𝐸𝑋)2 = 5,78367 − (2,2167)2 = 0,8699 c Tính số hàng có nhiều khả bán ngày 𝐹 (𝑋 = 3) = 0,417 = 𝑀𝑎𝑥 Mod X= d Tính trung vị 𝑃(𝑋 < 2) = 0.217 ≤ 0,5; 𝑃(𝑋 < 3) = 0.55 ≥ 0,5 ⟹ 𝑀𝑒𝑑𝑋 = 1.5.3 Ví dụ Luật phân phối biến ngẫu nhiên (Nhi thức, Chuẩn) Phân phối nhị thức Một thi có 10 câu hỏi, câu hỏi có đáp án có đáp án Sinh viên A trả lời cách chọn ngẫu nhiên đáp án Gọi A= “trả lời câu hỏi” 𝑃 (𝐴 ) = ⟹ 𝑃(𝐴̅) = 5 Gọi X số câu trả lời 10 câu 𝑋 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 𝑋~𝐵(10; 0,2) a Tính xác suất sinh viên A trả lời câu hỏi ( P(X ≥ 1) = − 𝑃(𝑋 = 0) = − 𝐶10 0,2)0 × (0,8)10 = 0,89 b Tìm số câu trả lời nhiều khả Mod X= k 10 × 0,2 − 0,8 ≤ 𝑘 ≤ 10 × 0,2 + 0,8 =≫ 1,2 ≤ 𝑘 ≤ 2,8 =≫ 𝑘 = c Tìm số câu trả lời trung bình 𝐸𝑋 = 𝑛𝑝 = 10 × 0,2 = d Tìm phương sai số câu trả lời 𝑉𝑋 = 𝑛𝑝𝑞 = 10 × 0,2 × 0,8 = 1,6 2.2 Bài tốn số 2: Năm 2021, cơng ty A tiến hành khảo sát mức tiêu thụ sản phẩm công ty (sản phẩm) số hộ gia đình (hộ) thành phố thu bảng số liệu sau: (Sản phẩm /năm) 0-2 2-4 4-6 6-8 (số hộ) 86 126 120 68 2.2.1 Tính tổng số hộ mà cơng ty A khảo sát, tính trung bình độ lệch chuẩn số lượng sản phẩm mà hộ sử dụng: 𝑛 = 86 + 126 + 120 + 68 = 400 (hộ) 𝑥̅ = 86 1+126 3+120 5+68.7 400 𝑠=√ = 3,85 (Sản phẩm/năm) 86 (1−3,85)2 +126 (3−3,85)2 +120 (5−3,85)2 +68 (7−3,85)2 400−1 = 2,0168 2.2.2 Với độ tin cậy 95%, ước lượng khoảng cho số lượng sản phẩm trung bình tính năm 𝜑 (𝑧𝛼 ) = − 𝛼 95% = = 0,475 → 𝑧𝛼 = 1,96 2 ⟹ 𝜀 = 𝑧𝛼 𝑠 √𝑛 = 1,96 2,0168 √400 = 0,1977 (Sản phẩm/năm) ⟹ (3,85 − 0,1977; 3,85 + 0,1977) ⟹ (3,6523; 4,0477) Vậy số lượng sản phẩm trung bình hộ năm từ 3,6523 đến 4,0477 12 2.2.3 Giả sử số khách hàng sử dụng từ 2-4 sản phẩm năm khách hàng tiềm phát triển thành khách hàng quen thuộc công ty Hãy ước lượng tỷ lệ khách hàng với độ tin cậy 95% 𝑓= 𝑚 126 = = 0,315 𝑛 400 𝜑 (𝑧𝛼 ) = − 𝛼 95% = = 0,475 → 𝑧𝛼 = 1,96 2 ⟹ 𝜀 = 𝑧𝛼 √𝑓.(1−𝑓) √𝑛 = 1,96 √0315 0,685 √400 = 0,0455 ⟹ (0,315 − 0,0455; 0,315 + 0,0455) ⟹ (0,2695; 0,3605) Vậy tỷ lệ khách hàng tiềm từ 0,2695 đến 0,3605 2.2.4 Với độ tin cậy 95%, ước lượng khoảng cho độ phân tán số lượng sản phẩm hộ sử dụng năm 𝛼 = 0,025 → 𝜒2 = 𝜒 (399;0,025) = 456,2361; 𝜒1 = 𝜒 (399;0,975) = 345,5511 − 𝛼 = 95% → (𝑛 − 1) 𝑠 = (400 − 1) 2,0168 = 1622,925414 ( 1622,925414 1622,925414 ; ) ⟹ (3,5572; 4,6966) 456,2361 345,5511 2.2.5 Một giám đốc bán hàng nhận định số lượng sản phẩm trung bình hộ sử dụng năm nhiều sản phẩm Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định nhận định Gọi: 𝐻0 = 𝜇 ≤ 4; 𝐻1 = 𝜇 > 𝜑(𝑧𝛼 ) = 0.5 − 𝛼 = 0,45 → 𝑧𝛼 = 1,645 𝑧= 𝑥̅ − 𝜇 3,85 − √𝑛 = √400 = −1,4875 𝑠 2,0168 𝑧 = −1,4875 ≤ 𝑧𝛼 = 1,645 ⟹ Chấp nhận H0; Bác bỏ H1 Vậy với mức ý nghĩa 5%, chưa có đủ sở để kết luận số lượng sản phẩm trung bình hộ sử dụng năm nhiều sản phẩm 13 2.2.6 Một nhà đầu tư muốn đầu tư vào công ty với điều kiện tỷ lệ khách hàng tiềm lớn 25% Với mức ý nghĩa 5%, cho biết người có nên đầu tư hay không Gọi: 𝐻0 = 𝑝 ≤ 0,3 𝐻1 = 𝑝 > 0,3 𝜑(𝑧𝛼 ) = 0.5 − 𝛼 = 0,45 → 𝑧𝛼 = 1,645 𝑧= 𝑓 − 𝑝0 √𝑝0 (1 − 𝑝0 ) √𝑛 = 0,315 − 0,25 √0,25 (1 − 0,25) √400 = 3,0022 𝑧 = 3,0022 ≥ 𝑧𝛼 = 1,645 ⟹ Bác bỏ H0, chấp nhận H1 Vậy với mức ý nghĩa 5%, có đủ sở để kết luận tỷ lệ khách hàng tiềm lớn 25% nhà đầu tư nên đầu tư vào công ty 2.2.7 Một khảo sát tương tự công ty vào năm 2020 225 hộ thu mức tiêu thụ trung bình hộ 3,4444 sản phẩm/năm, độ lệch chuẩn 1,9314 lít/năm Với mức ý nghĩa 5%, cho biết mức tiêu thụ sản phẩm trung bình hộ hai năm 2020 2021 có khác hay không? Gọi: 𝐻0 = 𝜇2021 = 𝜇2020 𝐻1 = 𝜇2021 ≠ 𝜇2020 𝜑 (𝑧𝛼 ) = 1−𝛼 𝑧= = 95% = 0,475 → 𝑧𝛼 = 1,96 𝑥̅2021 − 𝑥̅2020 𝑠2 𝑠2 √( 2021 + 2020 ) 𝑛2021 𝑛2020 = 3,85 − 3,4444 2,01682 1,93142 √( + ) 400 225 = 2,48 |𝑧| = 2,48 > 𝑧𝛼 = 1,96 ⟹ Bác bỏ H0, chấp nhận H1 Vậy với mức ý nghĩa 5%, có đủ sở để kết luận mức tiêu thụ sản phẩm trung bình hộ hai năm 2020 2021 khác 14 PHẦN 3: VẬN DỤNG 3.1 Xác suất 3.1.1 Ví dụ Xác suất điều kiện, Cộng nhân xác suất, Công thức đầy đủ Bayes Lô thứ chứa sản phẩm loại I sản phẩm loại II Lô thứ hai chứa sản phẩm loại I sản phẩm loại II Lấy ngẫu nhiên từ lô một, sản phẩm bỏ vào lơ sau lấy từ lơ sản phẩm Xác suất lấy sản phẩm khác loại từ lô hai ? 𝑃 (𝐵 ) = 52 = 0.5253 99 3.1.2 Ví dụ Kỳ vọng, phương sai, Mod, Median Cho bảng số liệu bán hàng năm người : Gọi x số hàng bán năm X Số ngày Xác suất 18 0,05 60 0,167 120 0,333 15 150 0.417 12 0.033 Tổng 360 N (Vaid) = 360 a EX (𝑀𝑒𝑎𝑛) = 2,2167 b VX(𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒) = 0,872 c Mod X (Mode)= d 𝑀𝑒𝑑𝑋 (𝑀𝑒𝑑𝑖𝑎𝑛) = 3.1.3 Ví dụ Luật phân phối biến ngẫu nhiên (Nhi thức, Chuẩn) Phân phối nhị thức Một thi có 10 câu hỏi, câu hỏi có đáp án có đáp án Sinh viên A trả lời cách chọn ngẫu nhiên đáp án Gọi A= “trả lời câu hỏi” 𝑃 (𝐴 ) = ⟹ 𝑃(𝐴̅) = 5 Gọi X số câu trả lời 10 câu 𝑋 = 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 𝑋~𝐵(10; 0,2) a Tính xác suất sinh viên A trả lời câu hỏi ( P(X ≥ 1) = − 𝑃(𝑋 = 0) = − 𝐶10 0,2)0 × (0,8)10 = 0,89 b Mod X (Mode)= c 𝐸𝑋 (𝑀𝑒𝑎𝑛) = d 𝑉𝑋 (𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒) = 1,6 16 Phân phối chuẩn Bài 2: Lãi suất (%) đầu tư vào dự án năm biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với trung bình tổng thể 0.15% vào độ lệch chuẩn 0.05% Gọi X lãi suất đầu tư X~𝑁(0.15, 0.052 ) a Tính khả đầu tư vào dự án có lãi 15% =≫ 𝑃(15% < 𝑋 < +∞) = 0.5 b Tính khả đầu tư vào dự án không bị lỗ =≫ 𝑃(0% < 𝑋 < +∞) = 0.9987 3.1.4 Ví dụ Liên hệ luật phân phối Một đội quân có 300 người lính tập bắn súng với xác suất bắn trúng 40% X: số người bắn trúng bia ; A: bắn trúng bia P(A) = 0,4 X~B(300; 0,4) với n=300; p=0,40; q=0,60 ⟹ 𝑋~𝑁(120; 72) Số người bắn trúng bia khoảng từ 150 đến 170 𝑃(150 ≤ 𝑋 ≤ 170) = 0,0003 17 3.2 Thống kê 3.2.1 Bài Năm 2021, người ta lấy mẫu sản lượng sữa giống bị nơng trường ngày thu bảng số liệu sau: (lít/ngày) 10 12 14 (số bò) 40 96 168 64 32 3.2.1.1 Tính số lượng bị, trung bình độ lệch chuẩn lượng sữa ngày 𝑛 = 400 (con bò) 𝑠 = 4,433 𝑥̅ = 9,76 (lít/ngày) 𝑠 = 2,106 (lít/ngày) 3.2.1.2 Với độ tin cậy 95%, ước lượng khoảng cho sản lượng sữa trung bình bị ngày 𝑥̅ = 9,76 (lít/ngày) ⟹ (𝐿𝑜𝑤𝑒𝑟 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑; 𝑈𝑝𝑝𝑒𝑟 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑) ⟹ (9,55; 9,97) Vậy lượng sữa trung bình bị ngày từ 9,55 đến 9,97 lít 18 3.2.1.3 Giả sử Bị có sản lượng sữa từ 12 lít/ngày trở lên bò đạt tiêu chuẩn Ước lượng khoảng cho tỉ lệ bò đạt tiêu chuẩn với độ tin cậy 95% 𝑓 = 0,24 ⟹ (𝐿𝑜𝑤𝑒𝑟 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑; 𝑈𝑝𝑝𝑒𝑟 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑) ⟹ (0,1980; 0,2820) Vậy tỷ lệ bò cho sản lượng sữa đạt chuẩn từ 0,1980 đến 0,2820 3.2.1.4 Với độ tin cậy 95%, ước lượng khoảng cho độ phân tán sản lượng sữa bò ngày 𝑠 = 4,433 ⟹ (𝐿𝑜𝑤𝑒𝑟 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑; 𝑈𝑝𝑝𝑒𝑟 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑) ⟹ (3,86998; 4,99698) Vậy độ phân tán sản lượng sữa bò ngày từ 3,868 đến 4,99698 19 3.2.1.5 Giám đốc vận hành nơng trại cho sản lượng sữa trung bình ngày 10 lít Hãy kiểm định lời giám đốc nói hay sai với mức ý nghĩa 5% Gọi: 𝐻0 = 𝜇 = 10 𝐻1 = 𝜇 ≠ 10 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 (𝑆𝑖𝑔 (2 𝑡𝑎𝑖𝑙𝑒𝑑 )) = 0,023 < 𝛼 = 0,05 ⟹ Bác bỏ H0, Chấp nhận H1 Vậy với mức ý nghĩa 5%, có đủ sở sản lượng sữa bị trung bình ngày khác 10 lít 3.2.1.6 Một người quản lý nông trại báo cáo tỷ lệ số bò cho sản lượng đạt chuẩn nhiều 25% Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định báo cáo người quản lý Gọi: 𝐻0 = 𝑝 ≥ 0,25 𝐻1 = 𝑝 < 0,25 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 (𝑆𝑖𝑔 (2 𝑡𝑎𝑖𝑙𝑒𝑑 )) = 0,640 > 𝛼 = 0,05 ⟹ Chấp nhận H0 Vậy với mức ý nghĩa 5%, chưa đủ sở để kết luận tỷ lệ bỏ cho sản lượng đạt chuẩn lớn 0,25% 20 3.2.1.7 Một điều tra tương tự vào năm 2020 100 bị thấy có 20 bò đạt tiêu chuẩn Với mức ý nghĩa 5%, coi tỉ lệ bị đạt tiêu chuẩn hai năm 2011 2012 khác biệt hay không? Kiểm định Levene 𝐻0 : 𝜎 2021 = 𝜎 2020 𝐻1 : 𝜎 2021 = 𝜎 2020 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 (𝑆𝑖𝑔) = 0,77 > 𝛼 = 0,05 ⟹ Chấp nhận H0, Bác bỏ H1 Vậy với mức ý nghĩa 5%, ta kiểm định phương sai tổng thể nên chọn dòng Equal variances assumed Gọi: 𝐻0 = 𝑝2021 = 𝑝2020 𝐻1 = 𝑝2021 ≠ 𝑝2020 𝑧 (𝑡) = −0,846 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 (𝑆𝑖𝑔 (2 − 𝑡𝑎𝑖𝑙𝑒𝑑 )) = 0,398 > 𝛼 = 0,05 ⟹ Chấp nhận H0, Bác bỏ H1 Vậy với mức ý nghĩa 5%, chưa đủ sở để kết luận tỷ lệ bò cho sản lượng đạt chuẩn năm 2020 năm 2021 khác 21 3.2.2 Bài 2: Năm 2021, công ty A tiến hành khảo sát mức tiêu thụ sản phẩm công ty (sản phẩm) số hộ gia đình (hộ) thành phố thu bảng số liệu sau: (Sản phẩm /năm) 0-2 2-4 4-6 6-8 (số hộ) 86 126 120 68 3.2.2.1 Tính tổng số hộ mà cơng ty A khảo sát, tính trung bình độ lệch chuẩn số lượng sản phẩm mà hộ sử dụng: 𝑛 (𝑉𝑎𝑖𝑑) = 400 (hộ) 𝑠 (𝑉𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑐𝑒) = 4,068 𝑥̅ (𝑀𝑒𝑎𝑛) = 3,85 (Sản phẩm/năm) 𝑠 (𝑆𝑡𝑑 𝐷𝑒𝑣𝑖𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛) = 2,017 3.2.2.2 Với độ tin cậy 95%, ước lượng khoảng cho số lượng sản phẩm trung bình tính năm 𝑥̅ (𝑀𝑒𝑎𝑛) = 3,85 (Sản phẩm/năm) ⟹ (𝐿𝑜𝑤𝑒𝑟 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑; 𝑈𝑝𝑝𝑒𝑟 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑) ⟹ (3,65; 4,05) Vậy số lượng sản phẩm trung bình hộ năm từ 3,65 đến 4,05 22 3.2.2.3 Giả sử số khách hàng sử dụng từ 2-4 sản phẩm năm khách hàng tiềm phát triển thành khách hàng quen thuộc công ty Hãy ước lượng tỷ lệ khách hàng với độ tin cậy 95% 𝑓 (𝑀𝑒𝑎𝑛) = 0,315 ⟹ (𝐿𝑜𝑤𝑒𝑟 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑; 𝑈𝑝𝑝𝑒𝑟 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑) ⟹ (0,2693; 0,3607) Vậy tỷ lệ khách hàng tiềm từ 0,2693 đến 0,3607 3.2.2.4 Với độ tin cậy 95%, ước lượng khoảng cho độ phân tán số lượng sản phẩm hộ sử dụng năm 𝑠 (𝑀𝑒𝑎𝑛) = 4,068 ⟹ (𝐿𝑜𝑤𝑒𝑟 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑; 𝑈𝑝𝑝𝑒𝑟 𝐵𝑜𝑢𝑛𝑑) ⟹ (3,6837; 4,4517) 23 3.2.2.5 Một giám đốc bán hàng nhận định số lượng sản phẩm trung bình hộ sử dụng năm nhiều sản phẩm Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định nhận định Gọi: 𝐻0 = 𝜇 ≤ 4; 𝐻1 = 𝜇 > 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 (𝑆𝑖𝑔 (2 − 𝑡𝑎𝑖𝑙𝑒𝑑 )) = 0,138 > 𝛼 = 0,05 ⟹ Chấp nhận H0; Bác bỏ H1 Vậy với mức ý nghĩa 5%, chưa có đủ sở để kết luận số lượng sản phẩm trung bình hộ sử dụng năm nhiều sản phẩm 3.2.2.6 Một nhà đầu tư muốn đầu tư vào công ty với điều kiện lả tỷ lệ khách hàng tiềm lớn 25% Với mức ý nghĩa 5%, cho biết người có nên đầu tư hay không? Gọi: 𝐻0 = 𝑝 ≤ 0,25; 𝐻1 = 𝑝 > 0,25 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 (𝑆𝑖𝑔 (2 𝑡𝑎𝑖𝑙𝑒𝑑 )) = 0,005 < 𝛼 = 0,05 ⟹ Bác bỏ H0, chấp nhận H1 Vậy với mức ý nghĩa 5%, có đủ sở để kết luận tỷ lệ khách hàng tiềm lớn 25% nhà đầu tư nên đầu tư vào công ty 24 3.2.2.7 Một khảo sát tương tự công ty vào năm 2020 225 hộ thu mức tiêu thụ trung bình hộ 3,4444 sản phẩm/năm, độ lệch chuẩn 1,9314 lít/năm Với mức ý nghĩa 5%, cho biết mức tiêu thụ sản phẩm trung bình hộ hai năm 2020 2021 có khác hay không? Kiểm định Levene 𝐻0 : 𝜎 2021 = 𝜎 2020 ; 𝐻1 : 𝜎 2021 ≠ 𝜎 2020 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 (𝑆𝑖𝑔) = 0,092 > 𝛼 = 0,05 ⟹ Chấp nhận H0; Bác bỏ H1 Vậy với mức ý nghĩa 5%, ta kiểm định phương sai tổng thể nên chọn dòng Equal variances assumed Gọi: 𝐻0 = 𝜇2021 = 𝜇2020 ; 𝐻1 = 𝜇2021 ≠ 𝜇2020 𝑝 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 (𝑆𝑖𝑔 (2 𝑡𝑎𝑖𝑙𝑒𝑑 )) = 0,015 < 𝛼 = 0,05 ⟹ Bác bỏ H0, chấp nhận H1 Vậy với mức ý nghĩa 5%, có đủ sở để kết luận mức tiêu thụ sản phẩm trung bình hộ hai năm 2020 2021 khác 25 Tài liệu tham khảo Bài luận tham khảo tài liệu slide Lý thuyết xác suất thống kê số tập giảng viên TS Trần Thị Thu Hương, trường Đại học Ngân hàng TP.HCM I ... PHẦN LÝ THUYẾT XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ TOÁN Sinh viên thực MSSV Lớp học phần GVHD : : : : TP Thủ Đức, ngày 17 tháng 11 năm 2022 MỤC LỤC MỤC LỤC I PHẦN 1: XÁC... 3.1 Xác suất 15 3.2 Thống kê - 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO - I PHẦN 1: XÁC SUẤT 1.1 Xác suất. .. kiện, Cộng nhân xác suất, Công thức đầy đủ Bayes 1.1.1 Xác suất điều kiện