(SKKN 2022) Giúp học sinh cách khai thác, phát triển và mở rộng từ một bài toán cơ bản

MỤC LỤC Mở đầu …………………… Trang 1.1 Lí chọn đề tài …………………… Trang 1.2 Mục đích nghiên cứu …………………… Trang 1.3 Đối tượng nghiên cứu …………………… Trang 1.4 Phương pháp nghiên cứu …………………… Trang Nội dung sáng kiến kinh nghiệm …………………… Trang 2.1 Cơ sở lý luận …………………… Trang 2.2 Thực trạng …………………… Trang 2.3 Nội dung đề tài …………………… Trang 2.4 Hiệu sáng kiến kinh …………………… Trang 12 nghiệm …………………… Trang 12 Kết luận, kiến nghị Tài liệu tham khảo ……… …………………… Trang 14 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 2 Trong giảng dạy mơn tốn, ngồi việc giúp học sinh nắm kiến thức bản, việc phát huy tính tích cực học sinh để khai thác thêm toán từ toán bản, đồng thời biết ứng dụng toán đơn giản vào việc giải toán phức tạp điều cần thiết cho công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Chúng ta biết toán dù có khó, phức tạp đến đâu lời giải đưa chuỗi hữu hạn bước suy luận đơn giản, việc giải toán phức tạp đưa việc áp dụng, tiền đề toán đơn giản Nên việc thường xuyên khai thác toán nâng dần mức độ khó cách nâng cao dần khả suy luận logic học sinh Chính vậy, để giúp học sinh dễ dàng nhận toán cũ, đưa toán từ lạ quen Tơi xin trình bày đề tài: "Giúp học sinh cách khai thác, phát triển mở rộng từ tốn bản" 1.2 Mục đích nghiên cứu - Cung cấp kiến thức phương pháp tự học cho học sinh học mơn Tốn - Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động học sinh Khơi dậy tính sáng tạo giải tốn học sinh - Phát triển lực tự học, biết liên kết mở rộng tốn từ giúp em hình thành phương pháp giải - Giúp học sinh hứng thú học tập đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi 1.3 Đối tượng nghiên cứu Phương pháp hình thành tính tích cực, tự giác, biết liên kết mở rộng toán, bồi dưỡng lực tự học học sinh 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong trình nghiên cứu làm sáng kiến sử dụng phương pháp nghiên cứu sau đây: - Nghiên cứu qua tài liệu: Nâng cao phát triển toán 8, –Vũ Hữu Bình Chuyên đề Bất đẳng thức – Võ Quốc Bá Cẩn Tuyển tập đề thi vào lớp 10 - Nghiên cứu qua thực hành giải tập học sinh - Nghiên cứu từ thực tế giảng dạy NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Để rèn luyện kỹ giải tốn cho học sinh, ngồi việc trang bị tốt hệ thống kiến thức rèn luyện kỹ giải tập, nhiệm vụ người thầy việc cung cấp kiến thức, rèn luyện kỹ cho học sinh cịn có nhiêm vụ quan trọng rèn luyện lực tư cho học sinh trình giảng dạy Nếu sau toán, người thầy hướng dẫn học sinh khai thác sâu kết Từ tìm chuỗi tốn từ dễ đến khó khơng rèn luyện lực tư sáng tạo cho học sinh mà gây hứng thú làm cho học trở nên hấp dẫn hơn, giúp cho kiến thức học sinh có tính hệ thống, mở rộng sâu Trong trình giảng dạy trường 3 bồi dưỡng học sinh giỏi, nhận thấy biện pháp hữu hiệu để bồi dưỡng lực tư theo định hướng đổi phương pháp dạy học Bộ Giáo Dục Đào tạo: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo học sinh, phù hợp với đặc điểm chung lớp học, mơn học ”(Trích “Một số vấn đề đổi phương pháp dạy học trường THCS"- Bộ Giáo dục Đào tạo) 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua năm giảng dạy, bồi dưỡng học sinh giỏi tham khảo học hỏi đồng nghiệp nhận rằng: - Kiến thức bất đẳng thức phần kiến thức khó học sinh - Học sinh làm tập không liên kết với tốn cũ Từ cảm thấy khó khăn phần kiến thức bất đẳng thức - Khơng học sinh thực chăm học chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu học tập chưa cao - Nhiều học sinh chưa biết cách khai thác phát triển toán, sáng tạo toán nên khơng phát huy hết tính tích cực, độc lập, sáng tạo thân Trước vận dụng sáng kiến kết thi học sinh giỏi điểm số mơn tốn thi vào lớp 10 cịn chưa cao Sáng kiến xin góp phần nhỏ để giải thực trạng qua việc đề cập đến cách giải số tập bất đẳng thức cách đưa toán bất đẳng thức 2.3 Nội dung đề tài: Bài toán bản: A= x+ x Cho Tìm giá trị nhỏ của: Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương x x ta có: A= x+ 1 ≥ x = x x x= ⇔ x =1 x Dấu “=” xảy Vậy A = x=1 Phân tích tìm hướng phát triển tốn: Xuất phát từ toán thay đổi điều kiện x>0 thành x ≥ liệu có ảnh hưởng đến kết tốn hay khơng? Ta có tốn sau: A= x+ x Bài 1: Cho Tìm giá trị nhỏ Sai lầm thường gặp: 4 1 ≥ x =2 x x Ta có: Vậy A = Phân tích sai lầm: Nhiều học sinh khơng để ý đến dấu “=” có xảy hay khơng Và nhìn thấy đánh giá A m vội vàng kết luận A = m mà qn dấu “=” có xảy hay khơng Quay tốn A =2 khơng xảy theo đề Vậy dấu “=”khơng xảy “2” khơng phải giá trị nhỏ A Phân tích tìm hướng giải đúng: Ở tốn cần ý đến điểm rơi Điểm rơi bất đẳng thức giá trị biến dấu “=” bất đẳng thức xảy Dự đốn điểm rơi: Đối với tốn có điều kiện biến cực trị thường đạt vị trí biên Đối với tốn dự đốn điểm rơi x=3 Chúng ta khơng thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số x x dấu “=” khơng xảy Vì cần tách x x để áp dụng bất đẳng thức Cauchy dấu “=” xảy Ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số x a x với a số Câu hỏi đặt hệ số a bao nhiêu? 1 x=a ⇒ 3=a ⇒ a=9 x Tại điểm rơi x=3 Vậy ta có cách tách sau: A=x+  9 8 10 =  x+ ÷- ≥ x − = 2.3 − = x  x x x 3 x= ⇔ x=3 x Dấu “=” xảy 10 Vậy A = x=3 Tương tự ta tách sau: 1 1 1 8 10 A= x+ =  x+ ÷+ x ≥ x + = + = x 9 x 9 x 3 Phân tích tìm hướng phát triển tốn: Bây tăng số biến cho toán từ biến lên hai biến, ba biến…thì ta có số toán sau (Bài 1.2 đến 1.3): 1 A= x+y+ + x y Bài 2: Cho x, y>0; x+y ≤ Tìm giá trị nhỏ A= x+ 5 Phân tích tốn: Biểu thức A biểu thức đối xứng nên dấu “=” xảy x=y= x=y x+y = Từ ta dự đốn điểm rơi:  1  1 A=  x+ ÷+  y+ ÷  x  y Biến đổi biểu thức A trở thành: Bài toán trở thành hai toán nhỏ thuộc dạng 1.1 x, y, z>0; x+y+z ≤ Tìm giá trị nhỏ Bài 3: Cho 1 A= x+y+z+ + + x y z Phân tích tốn: Biểu thức A biểu thức đối xứng nên dự đoán điểm rơi: x=y=z=  1  1  1 A=  x+ ÷+  y+ ÷+  z+ ÷  x  y  z Biến đổi biểu thức A trở thành: Bài toán trở thành ba toán nhỏ thuộc dạng 1.1 Phân tích tìm hướng phát triển tốn: Biểu thức toán dạng đối xứng, ta thay biểu thức dạng đối xứng biểu thức dạng bất đối xứng ta có số tốn sau (từ 1.4 đến 1.7): A= x+y+ + 2x y Bài 4: Cho x, y > 0; x+y ≥ Tìm giá trị nhỏ Phân tích tốn: Dự đốn điểm rơi: x=1; y=2 Chúng ta phân tích cách tách biểu thức A để ghép thành b “ax” “ x ” dựa vào điểm rơi sau:  ax=  2x ⇒ a.1= ⇒ a= ⇒ 2  =1  2x Tại x=1  by=  y ⇒ ⇒ b.2=1 ⇒ b= 2 = =1  y Tại y=2 Ta có cách tách sau : A= x+y+ x  y 2 + =  + ÷+  + ÷+ ( x+y ) 2x y  2x   y  x   ; ÷ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai cặp số  2x  với đánh giá x+y ≥ ta có Amin = x=1; y=2 y 2  2;y÷   Kết hợp A= 3x+2y+ + x y Bài 5: Cho x, y > 0; x+y ≥ Tìm giá trị nhỏ Phân tích tốn: Dự đốn điểm rơi: x=2; y=4  6  8 A= 3x+2y+ + =  3x+ ÷+  2y+ ÷ x y  x  y Bài toán trở thành hai toán nhỏ thuộc dạng 1.1 Chú ý tách số hạng dựa vào điểm rơi Kết Amin = 19 x=2 ; y=4 Bài 6: Cho x, y, z > 0; x+2y+3z ≥ 20 Tìm giá trị nhỏ của: A= x+y+z+ + + x 2y z Phân tích tốn: Dự đốn điểm rơi: x=2; y=3; z=4 Tách số hạng dựa vào điểm rơi ta  3    4 A= x+y+z+ + + =  x+ ÷+  y+ ÷+  z+ ÷ x 2y z  x   2y   z  Bài toán trở thành ba toán nhỏ thuộc dạng 1.1 Đến tách số hạng áp dụng bất đẳng thức Cauchy dễ dàng tìm Amin = 13 x=2; y=3; z=4 Bài 7: Cho x, y > 0; 2x+3y ≤ Tìm giá trị nhỏ 2002 2017 + +2996x-5501y x y Phân tích tốn: Dự đốn điểm rơi: x= ; y=1 Ta có cách tách sau:  2002 2017  2002   2017 A= + +2996x-5501y =  +8008x ÷+  +2017y ÷-2506 ( 2x+3y ) x y  x   y  A= 7 Đến cách áp dụng bất đẳng thức Cauchy đánh giá 2x+3y ≤ dễ dàng tính Amin = 2018 x= ; y=1 Phân tích tìm hướng phát triển tốn: Ở toán biểu thức cho dạng tường minh toán ban đầu gồm hai hạng tử dạng “ax ” “ b/x” Bây ta thay biểu thức dạng tường minh biểu thức khuyết “ax” ta có tốn sau : 2020 x, y > 0; x+y= 2019 Tìm giá trị nhỏ của: Bài 8: Cho 2019 A= + x 2019y Phân tích tốn: Để ghép đối xứng giống dạng toán ban đầu cần thêm vào “ax” “by” Để xác định hệ số “a”; “b” ta có phân tích sau: 2019 2019 2019 =ax ⇔ x= + ax ≥ 2019a x a x Dấu “=” b 1 + by ≥ =by ⇔ y= 2019y 2019 Dấu “=” 2019y 2019b Căn vào giả thiết a, b cần thỏa mãn dấu “=” xảy sau:  2019 2020 + =  a 2019b 2019 ⇒  a =  b a=b=2019 Ta có cách thêm bớt sau:   2019   A=  +2019x ÷+  + 2019y ÷-2019 ( a+b )  x   2019y  2020 x+y= 2019 ta tìm Đến sử dụng bất đẳng thức Cauchy giả thiết Amin=2020 x=1; y= 2019 Phân tích tìm hướng phát triển tốn: Kết hợp đổi biến đánh giá giả thiết để tìm điều kiện biến Từ đưa dạng 1.1 Ta có số tốn sau (Bài 1.9 đến 1.15): A= a+b+ a+b Bài 9: Cho a, b > 0; 4ab-a-b=2 Tìm giá trị nhỏ của: 8 Phân tích toán: Đặt a+b=x (x>0) đưa toán dạng 1.1 Vấn đề ta cần tìm điều kiện sát biến x: ≤ a+b - ( a+b ) ( ) Từ giả thiết 2=4ab – (a+b) ⇒ x - x - ≥ ⇒ ( x - ) ( x+1) ≥ ⇒ x ≥ (vì x>0) Bài tốn trở thành: Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ A=x+ x Giải tương tự 1.1 ta Amin= x=2 Phân tích tìm hướng phát triển toán: Ở toán 1.9 giữ nguyên biểu thức A, ta thay điều kiện biến 1 + ≤1 4ab-a-b=2 thành a b+1 ta có toán sau : 1 a, b > 0; + ≤1 A=a+b+ a b+1 Tìm giá trị nhỏ của: a+b Bài 10: Cho Phân tích toán: A=x+ x đưa toán dạng Đặt a+b=x (x>0) 1.1 Vấn đề cần tìm điều kiện sát biến x: Từ giả thiết 1 ≤ + ≤ 1⇒ ≤ ⇒ a+b+1 ≥ ⇒ a+b ≥ ⇒ x ≥ a+b+1 a b+1 a+b+1 Bài toán trở thành: Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ A=x+ x Dự đoán điểm rơi: x=3 10 Giải tương tự 1.1 ta Amin = a=2; b=1 A= ab+ ab Bài 11: Cho a, b > 0; a+b ≤ Tìm giá trị nhỏ Phân tích tốn: Chỉ cần sử dụng phép đổi biến: ab = x ta dễ dàng đưa 1.1 Vấn đề đặt cần tìm điều kiện biến “x” 1 ab ≤ a+b ≤ ⇒ ab ≤ ⇒ < x ≤ 4 Từ giả thiết ta có: 9 0 0; a ≥ 2b Tìm giá trị nhỏ Phân tích toán: a +b2 a b A= = + ab b a Tách biểu thức A thành: a =x Chỉ cần sử dụng phép đổi biến: b ta dễ dàng đưa toán 1.1 a a ≥ 2b ⇒ ≥ ⇒ x ≥ b Tìm điều kiện x: từ Bài toán trở thành: Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ A=x+ x Giải tương tự 1.1 tìm Amin = a=2b Phân tích tìm hướng phát triển toán: Ở toán 1.12 ta thay điều kiện biến a, b > 0; a ≥ 2b thành a, b > 0; ab+4 ≤ 2b ta có tốn sau: a +2b A= ab Bài 13: Cho a, b > 0; ab+4 ≤ 2b Tìm giá trị nhỏ của: Phân tích tốn: Dự đốn điểm rơi: a =1; b=4 a +2b a b A= = +2 ab b a Biến đổi: a =x Đặt b (x>0) ta đưa toán dạng 1.1 Vấn đề cần tìm điều kiện sát biến x: 10 10 b2 b2 a 1 ab+4 ≤ 2b ≤ +4 ⇒ ab ≤ ⇒ ≤ ⇒ x ≤ 4 b 4 Từ giả thiết x≤ Tìm giá trị nhỏ Bài toán trở thành: Cho A=x+ x 33 Giải tương tự 1.1 ta Amin = a=1; b=4 2a +b − 2ab A= ab Bài 14: Cho a, b > 0; a ≥ 2b Tìm giá trị nhỏ Phân tích toán: 2a +b -2ab 2a b A= = + -2 ab b a Tách biểu thức A thành: a =x Đổi biến: b a a ≥ 2b ⇒ ≥ ⇒ x ≥ b Tìm điều kiện x: Ta dễ dàng đưa dạng toán 1.1 sau: A=2x+ − x Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ Giải tương tự 1.1 tìm Amin = a=2b ab A= a -2ab+3b2 Bài 15: Cho a, b > 0; 2a ≤ b Tìm giá trị lớn của: Phân tích toán: a 2a ≤ b ⇒ ≤ b Từ giả thiết Chia tử mẫu biểu thức A cho “ab” ta được: ab A= = a -2ab+3b a +3 b -2 b a a =x x≤ 2) Đặt b ( 10 11 Bài toán trở thành: Cho A== x+ -2 x x≤ 11 Tìm giá trị nhỏ của: Ta xử lý mẫu tương tự 1.1 từ tìm Amin= b=2a Phân tích tìm hướng phát triển tốn: Dựa vào nhận dạng toán ban đầu: hai hạng tử nghịch đảo Ta đưa số tốn mà biểu thức có chứa b hạng tử dạng “ax” “ x ” sau (từ 1.16 đến 1.22): Bài 16: Cho a, b, c > Tìm giá trị nhỏ của: a b a b+c c+a a+b + + + + + b+c c+a a+b a b c Phân tích tốn: Vì A biểu thức đối xứng nên dự đoán điểm rơi: a=b=c Ghép nghịch đảo tương tự 1.1 ta có: a b a b+c c+a a+b A= + + + + + b+c c+a a+b a b c  a b+c   b c+a   c a+b   a b   b c   c a   = + + + ÷+  ÷+  ÷+  + ÷+  + ÷+  + ÷  b+c a   c+a b   a+b c   b a   c b   a c   15 Đến áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta tìm A mi n = A= a=b=c Bài 17: Cho a, b > 0; ab=1 Tìm giá trị nhỏ của: A=a +3a+3b+b + 2 a +b +1 Phân tích tốn: Vì A biểu thức đối xứng nên điểm rơi là: a=b=1 Ghép nghịch đảo tương tự 1.1 ta có: Amin Đến áp dụng bất đẳng thức Cauchy dễ dàng tìm = 11 a=b=1 ( a +1) a A= + a +1 2a Bài 18: Cho Tìm giá trị nhỏ của: Phân tích toán: 11 12 12 Dự đoán điểm rơi là: a=1 Ghép nghịch đảo tương tự 1.1 ta có:  a a +1  ( a +1)  a a +1   9  A=  + + = + ÷  ÷+  a+ ÷ 4a  a +1 4a   a +1 4a   4a  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dễ dàng tìm A a = 2 a+b ) ( a+b ) ( A= 2 + a +b ab Bài 19: Cho Tìm giá trị nhỏ của: Phân tích tốn: Dự đốn điểm rơi là: a=b a+b ) ( ab ≤ Ta thấy: Khi : ( a+b ) A= ( a+b ) ≥ a +b2 a +b + ( a+b ) + ab ( a +b ) ( a+b ) 2 ( a+b ) = 11 =2 a +b +2ab ( a+b ) a +b + = 2 + +2 a +b ab a +b ab 2 +2 Đến toán quay dạng toán ban đầu ( a+b ) = ( a +b2 ) a +b a+b ) ( Nhẩm thấy điểm rơi a=b Nên áp dụng bất đẳng thức Cauchycho hai số dương ( a+b ) ; ( a +b ) a +b2 ( a+b ) dễ dàng tìm Amin = a = b Bài 20: Cho a, b, c > 0; a+b+c=3 Tìm giá trị nhỏ của: ab+bc+ca A=a +b2 +c2 + a b+b 2c+c2a Phân tích tốn: 2 Dồn biến đưa biến a +b +c a+b+c=3 ⇒ ( a+b+c ) =9 ⇒ ab+bc+ca=9- ( a +b +c ) Từ a+b+c=3 ⇒ ( a +b +c ) = ( a+b+c ) ( a +b +c ) Từ ⇒ ( a +b +c ) =a +b3 +c3 +a 2b+a 2c+b 2a+b 2c+c 2a+c 2b ( ) 2 2 2 Mà a +ab ≥ 2a b ; b +bc ≥ 2b c ; c +a c ≥ 2ac 12 (1) 13 13 ⇒ ( a +b +c ) ≥ ( a b+b 2c+ac ) ⇒ a b+b 2c+ac ≤ a +b +c ( ) A ≥ a +b +c + 2 Từ (1) (2) ta có Đặt a +b +c = x Khi 2 A ≥ x+ 9- ( a +b +c2 ) ( a +b2 +c2 ) 9-x =x+ 2x 2x Vấn đề cần tìm điều kiện sát biến x: Từ giả thiết áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpxki ta có: 32 = ( a+b+c ) ≤ a +b +c ⇒ a +b +c ≥ ⇒ x ≥ ( ) Bài toán trở thành: Cho x ≥ Tìm giá trị nhỏ B=x+ 2x Dự đoán điểm rơi: x=3 Giải tương tự 1.1 ta Amin= a= b=c=1 1 A= + + a,b,c>0; a+b+c=1 16a 4b c Bài 21: Cho Tìm giá trị nhỏ của: Phân tích tốn 1 2 1  A= + + a +b = ( a+b+c )  + + ÷ 16a 4b c  16a 4b c  a   c a   c b  21  b = + ÷+  + ÷+  + ÷+  16a 4b   16a c   4b c  16 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: b a c a c b + ≥ + ≥ + ≥1 16a 4b ; 16a c ; 4b c 49 A = a= ;b= ;c= 16 7 Từ tìm Bài 22: Cho độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng: a b c + + ≥3 b+c-a c+a-b a+b-c Phân tích tốn: 13 14 14  y+z a= b+c-a=x>0    z+x c+a-b=y>0 ⇒  b= a+b-c=z>0    x+y c= Sử dụng phép đổi biến: y+z z+x x+y  x y   y z   z x   + + =  + +  + ÷+  + ÷ 2x 2y 2z  y x ÷   z y   x z  Khi VT=  x y y z z x ≥  + + ÷=  y x z y x z a b c + + ≥3 b+c-a c+a-b a+b-c Vậy 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm: Trên số toán minh họa cho phương pháp bồi dưỡng cho học sinh cách giải số dạng tập nhiệt học mà nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm dạy bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi vào lớp 10 So sánh đối chứng với kết chưa vận dụng sáng kiến Tôi thấy học sinh đạt điểm số cao hẳn so với trước Qua việc áp dụng sáng kiến nhận thấy khắc phục nguyên nhân nêu phần thực trạng: - Học sinh nêu vấn đề tự giải vấn đề Từ học sinh tích cực, chủ động, sáng tạo học tập - Bước đầu xây dựng cho học sinh phong cách nghiên cứu, tìm tịi, phát kiến thức mới, điều hay qua tập Các em thực hưởng niềm vui tìm điều hay qua tốn - Rèn cho em tính kiên trì khơng chịu lùi bước trước khó khăn, khơng chán nản trước tập khó - Góp phần nâng cao kiến thức đổi phương pháp dạy học cho thân Kết luận: Như vậy, từ toán gốc đơn giản, cách vận dụng khai thác triệt để kết chứng minh ta phát biểu chứng minh số toán mới, nhằm củng cố hệ thống lại kiến thức, dạng tập cách giải tập bất đẳng thức Để vận dụng có hiệu định phát triển tư học sinh, giáo viên cần biết hướng dẫn học sinh phân tích tốn, tìm phát biểu kết tương đương, thay đổi hình thức phát biểu toán, nêu toán tổng quát, kết toán đặc biệt Trên số suy nghĩ việc làm thực trình giảng dạy Tơi nhận thấy tốn, dạng tốn giới thiệu có hệ thống, có liên hệ 14 15 15 chặt chẽ với việc tiếp thu em có hiệu Việc khai thác toán giúp em phát triển lực tư duy, phát triển ngôn ngữ, hướng em đến độc lập tư duy, sáng tạo có khả tự học; tạo thói quen phân tích tốn để định hướng phương pháp giải cách quy “lạ” “quen”; khai thác triệt để kết toán giải để tạo tốn Tơi nghĩ điều người giáo viên cần quan tâm, tìm tịi tích luỹ để chất lượng dạy học ngày nâng cao Hệ thống tập khai thác đề tài phù hợp với việc dạy bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi vào lớp 10 Trong phạm vi đề tài không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tơi mong nhận trao đổi góp ý đồng nghiệp Tơi xin chân thành cảm ơn XÁC NHẬN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Hoằng Hóa , ngày 08 tháng năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết khơng chép nội dung người khác Người thực Lê Đăng Thành TÀI LIỆU THAM KHẢO 15 16 12345- 16 Nâng cao phát triển Toán 8, Tác giả: Vũ Hữu Bình Chuyên đề Bất đẳng thức Tác giả: Võ Quốc Bá Cẩn Tuyển tập tạp chí Tốn tuổi thơ số Nhà Xuất giáo dục Tuyển tập đề thi vào lớp 10 Các loại tài liệu khác 16 ... sáng tạo giải tốn học sinh - Phát triển lực tự học, biết liên kết mở rộng toán từ giúp em hình thành phương pháp giải - Giúp học sinh hứng thú học tập đặc biệt bồi dưỡng học sinh giỏi 1.3 Đối... sinh cách khai thác, phát triển mở rộng từ tốn bản" 1.2 Mục đích nghiên cứu - Cung cấp kiến thức phương pháp tự học cho học sinh học mơn Tốn - Hình thành tính tích cực, tự giác, chủ động học sinh. .. mơn tốn, ngồi việc giúp học sinh nắm kiến thức bản, việc phát huy tính tích cực học sinh để khai thác thêm toán từ toán bản, đồng thời biết ứng dụng toán đơn giản vào việc giải toán phức tạp điều