(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh lớp 8 một số cách tìm đa thức một biến

MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các biện pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2.3.1.Tìm hiểu khái niệm đa thức và các kiến thức liên quan đến xác định đa thức 2.3.2 Tìm đa thức biết giá trị của đa thức 2.3.3.Tìm đa thức cách sử dụng điều kiện cho trước 2.3.4 Tìm đa thức cách sử dụng tính chất chia hết, chia có dư 2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHI 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị TÀI LIỆU THAM KHẢO Trang 2 2 3 3 4 10 12 14 15 15 15 17 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Ở các trường THCS dạy toán là hoạt động toán học Dạy toán là dạy suy nghĩ, dạy bợ óc của học sinh thành thạo các thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, tương tự hóa, đặc biệt hóa… phân tích và tổng hợp là nền tảng Đới với học sinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ ́u của hoạt đợng toán học để nắm kiến thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ kỹ xảo Hướng đổi mới phương pháp dạy học toán hiện (ở trường THCS) là tích cực hóa hoạt đợng học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển lực tự học, nhằm hình thành cho học sinh tư tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát hiện và giải quyết vấn đề, rèn luyện kỹ vận dụng kiến thức toán học vào hoạt động thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh Trong bối cảnh toàn ngành giáo dục và đào tạo nổ lực đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực chủ đợng của học sinh giáo viên phải nỗ lực tìm tịi cách thức phương pháp dạy học phù hợp với bài, phần kiến thức "Đa thức" là một lớp hàm số quan trọng nhất được đề cập đến chương trình giảng dạy và học tập của bộ môn toán hiện Việc tìm đa thức hay xác định đa thức là một lớp bài toán quan trọng lý thút đa thức Xác định đa thức có vai trị quan trọng là công việc việc tính giá trị của biểu thức, chứng minh đẳng thức và nhiều dạng toán khác Đối với học sinh lớp 8, nắm vững kiến thức về đa thức là cần thiết, tạo tiền đề việc mở rộng kiến thức về đa thức ở cấp học cao Với kinh nghiệm của bản thân xin đưa đề tài: " Hướng dẫn học sinh lớp số cách tìm đa thức biến" 1.2 Mục đích nghiên cứu - Hướng dẫn học sinh tìm đường giải, phát triển mở rợng bài toán tìm đa thức mợt biến; Giáo viên điều khiển quá trình hệ thớng bài tập từ dễ đến khó, chia mảng kiến thức xếp một cách lôgic theo cấp bậc nhận thức 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong đề tài này,tôi xin đưa mợt sớ dạng toán tìm, xác định đa thức thường gặp, hướng dẫn học sinh tìm tịi lời giải, rút kết luận cụ thể Xây dựng hệ thống bài tập giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng tạo cách giải sử dụng kiến thức đã học 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp tiếp cận vấn đề: Thông qua việc giảng dạy thực tế, tiếp xúc, trao đổi với nhiều học sinh, từ đưa được lượng kiến thức để học sinh dễ tiếp cận nhất - Phương pháp phân tích, tổng hợp: Trước vào cách giải cụ thể, thường đưa phân tích về loại bài tập - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tơi sử dụng nhiều nguồn tài liệu của các tác giả có uy tín sử dụng đề thi vào trung học phổ thông ở năm học trước - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Tôi thường xuyên khảo sát mức độ tiếp thu kiến thức của học sinh thông qua các bài tập nhanh Kết quả thu nhận được giúp điều chỉnh lượng kiến thức phương pháp truyền đạt tới các em cho hiệu quả cao nhất Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Trong hoạt đợng giáo dục hiện nay, địi hỏi học sinh cần phải tự học, tự nghiên cứu rất cao Mục đích cần đạt phải biến quá trình giáo dục thành quá trình tự giáo dục Như vậy, học sinh có thể phát huy được lực sáng tạo, tư khoa học, từ xử lý linh hoạt các vấn đề của đời sống xã hội.[1] Một phương pháp để học sinh đạt được điều đới với mơn toán là khích lệ các em sau đơn vị kiến thức cần khắc sâu, tìm tòi bài toán liên quan Làm được vậy nghĩa là các em say mê học tập, tự nghiên cứu đào sâu kiến thức.[1] 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Dạng toán tìm đa thức là dạng toán tương đới khó đới với với học sinh Trong chương trình toán lớp 7,8 chủ yếu học sinh nhận dạng đa thức, cộng trừ nhân chia đa thức nên thấy rất dễ dàng Nhưng thực tế các đề thi: câu cuối của đề thi học kỳ, đề thi học sinh giỏi học sinh khơng làm được nêu có dạng toán này Việc tìm xác định đa thức học sinh chưa chun sâu, hiểu mợt cách máy móc Dạng toán này học sinh gặp từ các lớp dưới với đa thức bậc nhất các em có thể làm được từ lớp ở lớp sang đa thức bậc hai, ba, bốn các em lúng túng, rối việc xử lí bài toán Với học sinh khá, giỏi các em lại thích tìm tịi, khám phá,có ham ḿn giải qút bài toán này Vấn đề đặt là các em không biết đâu và bài giải thế nào cho phù hợp Mảng kiến thức này đối với học sinh lớp là rất cần thiết Kết quả khảo sát: Khi nhắc đến bài toán " tìm đa thức mợt biến" nhiều em học sinh mơ hờ, áp dụng càng lúng túng Thậm chí bỏ qua cả bài dễ nhất Vì khơng biết là tìm xác định đa thức Ra đề khảo sát cho lớp 8A2,8A3: Sĩ số Giỏi Khá SL % SL % 8A2 45 3% 14 30 % 8A3 45 0 20% Trung bình SL % 22 49% 18 40% Yếu SL 18 % 18% 40% Qua trao đổi kinh nghiệm, dự giờ, khảo sát cho thấy: Học sinh gặp khó khăn dạng toán này 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3 Tìm hiểu khái niệm đa thức kiến thức liên quan đến xác định đa thức Để biết cách tìm và xác định đa thức trước hết học sinh phải hiểu rõ thế nào là đa thức Tính chất của đa thức và các định lý thường sử dụng Trước hết cho học sinh hiểu rõ khái niệm đa thức: Đa thức một biến bậc n là hàm số được xác định sau: Đa thức là một hàm số n n 1 P: R  R : P( x)  an x  an1 x   a1 x  a0 (ai  R, i  0,1, 2,3 n) a Khi a0 , a1 , a2 , an được gọi là hệ số của đa thức ( i là hệ số ứng với x i , i  0,1, , n ) Nếu an  ta gọi n là bậc của đa thức Khi an gọi là hệ sớ bậc cao nhất, a0 được gọi là hệ số tự của đa thức P( x) Nếu =0 i  0,1, 2, , n và a0  ta có bậc của đa thức Nếu ( i  0,1, 2, , n ) là các sớ ngun P( x) gọi là đa thức với hệ số nguyên Nếu ( i  0,1, 2, , n ) là các sớ hữu tỉ P( x) gọi là đa thức với hệ số hữu tỉ [4] Tiếp theo cần cho học sinh hiểu rõ khái niệm nghiệm đa thức: Nghiệm của đa thức: Nếu tại x=a, đa thức P(x) có giá trị ta nói a ( x=a) là mợt nghiệm của đa thức Đa thức bậc nhất P(x)=ax+b; a  a,b là các hệ số nguyên nếu có nghiệm b x=- a  Q Sớ nghiệm của một đa thức ( khác đa thức không) không vượt quá bậc của Chẳng hạn: Đa thức bậc nhất có mợt nghiệm, đa thức bậc hai khơng có quá hai nghiệm.[4] Và cung cấp cho học sinh kiến thức chia hết, chia có dư: Cho A và B là đa thức tùy ý của mợt biến (B  0), tờn tại nhất một cặp đa thức Q và R cho A= B.Q +R R=0 bậc của R nhỏ bậc của B Định lý Bezout: Số dư chia đa thức f(x) cho nhị thức x-a giá trị của đa thức f(x) tại x=a Từ suy ra: Đa thức f(x) chia hết cho x-a và f(a) = ( tức là và a là nghiệm của đa thức ấy).[2] Sau cung cấp kiến thức về đa thức, nghiệm của đa thức ta hướng dẫn học sinh một số cách tìm, xác định đa thức mợt biến 2.3.2.Tìm đa thức biết giá trị đa thức Bài 1: Tìm mợt đa thức bậc hai P(x) , cho biết: P(0)= 15 ; P(1) =12 ; P(2) = 24 HS dễ dàng làm dạng quen thuộc này: Cách 1: Ta có P(x) = ax2 +bx+c P(0)= a.02 +b.0 + c= 15 => c= 15 P(1)= a.12 +b.1+c =a+b+c =12 => a+b = -3 (1) P(2) = a.22 +b.2+ c= 4a+2b+c = 24 => 4a+ 2b= 9(2) Từ (1) => 2a+2b = - 6(3) 15 Lấy (2) -(3) vế với vế ta được a= 21 Thay vào (1) ta được b= 15 21 Vậy đa thức được xác định là P(x) = x2 + x+15 Cung cấp hướng dẫn HS làm cách Cách 2: Đặt P(x) = c+ b(x-0) + a (x-0)(x-1) Cho x=0 => P(0) =c => c=15 Cho x=1 => P(1) = 15+ b=> 15+b =12 => b=-3 => P (x) = 15-3x+ ax(x-1) Cho x=2 => P(2) = 15-3.2+ 2a => 15-6+2a = 24 15 => a= 15 => P(x) = 15-3x + x(x-1) 15 21 Rút gọn P(x) = x2 + x+15 Khi thực cách học sinh thấy phức tạp cách làm Tuy nhiên tiếp tục nghiên cứu toán xác định đa thức bậc cao ta thấy lợi phương pháp xét giá trị riêng hiệu Bài 2: Tìm đa thức bậc ba P(x) biết : P(0) =10; P(1) =12, P(2) =4; P(3) =1 Cách 1: Vì P(x) là đa thức bậc ba nên P(x) có dạng : P(x) = ax3 +bx2 +cx+d Ta có P(0) = d => d=10 P(1) = a+b+c+d => a+b+c +d = 12  a+b+c = (1) P(2) = a.23 +b.22 +c.2 +d = 8a+4b+2c+d => 8a+4b+2c +d=  8a+4b+2c =-6 (2) P(3) =a.33 +b.32 +c.3 +d= 27a+9b+3c+d => 27a+ 9b+3c +d =  27a+9b+3c = -9 (3) Từ (1)  2a+2b+2c =4 (4) Lấy (2) -(4) vế với vế ta được: 6a +2b= -10 (5) Từ (1)  3a+3b+3c =6 (6) Lấy (3)-(6) vế với vế ta được 24a +6b=-15 25 Từ Hs tiếp tục tính tính và hết quả tìm được là a= ; b= ; c=12; d=10 25 => P(x) = x - x2 +12 x +10 Đến toán xác định đa thức bậc ba, làm cách giúp học sinh lớp thuận lợi việc tính tốn Cách 2: Đặt P(x) = d+cx+bx(x-1) +ax(x-1)(x-2) Cho x=0 => P(0) =d => d=10 => P(x) = 10+cx+bx(x-1) +ax(x-1)(x-2) Cho x=1 => P(1) = 10+c=12 => c=2 => P(x) = 10 +2x + bx(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x=2 => P(2) = 10+ 4+2b=4 => b=-5 => P(x) = 10 +2x -5x(x-1) + ax(x-1)(x-2) Cho x= 3=> P(3) = 10+6-30+6a =1 => a= => P(x) =10 +2x -5x(x-1) + x(x-1)(x-2) Rút gọn ta được 25 P(x) = x3 - x2 +12 x +10 Bài 3: Cho P (x) = x4 +ax3 +bx2+cx +d Biết P(1)= 1; P(2) =4; P(3) =7; P(4) =10 Tìm P(x) Cách 1: Ta có P(1)= 1; P(2) =4; P(3) =7; P(4) =10 nên: a  b  c  d  8a  4b  2c  d  12    27a  9b  3c  d  74 64a  16b  4c  d  246 Giải ta tìm được a=-10; b=35; c=-47; d=22 P(x)= x4 -10x3 +35x2-47x +22 Đối với học sinh lớp giải hệ phương trình nhiều ẩn khó Vì ta hướng học sinh đến cách 2, Cách 2: Đặt P(x) =e+ d(x-1)+c(x-1)(x-2)+b (x-1)(x-2)(x-3) +a (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) Thay lần lượt các giá trị x=1,2,3,4 vào tính các hệ số của đa thức P(x) Đến đa thức bậc cao hơn, ta tìm đa thức cách xác định đa thức phụ Cách 3: Xác định đa thức phụ: Ta có P(1)= 1= 3.1-2 P(2)= 4= 3.2 -2 P(3)=7 = 3.3 -2 P(4) =10 = 4.3 -2 Kết quả các giá trị của P(1)= 1; P(2) =4; P(3) =7; P(4) =10 ứng với giá trị của đa thức 3x-2 Xét R(x) = P(x) - 3x +2 triệt tiêu tại x=1,2,3,4 => R(x) = = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) +3x -2 Vậy P(x)= x4 -10x3 +35x2-47x +22 Để xác định đa thức phụ ta tìm quy luật giá trị cho trước P(x) xác định thuật tốn: + Đặt R(x) = P(x) + h(x) h(x) đa thức có bậc nhỏ bậc P(x) đồng thời bậc h(x) nhỏ số giá trị biết P(x) + Xác định hệ số h(x) cách cho R(1) =R(2)=R(3)=R(4)=0 Nếu xác định theo cách sử dụng đa thức phụ ta cịn tính tốn giá trị đa thức dễ dàng Bài 3b: Cho P (x) = x4 +ax3 +bx2+cx +d Biết P(1)= 1; P(2) =4; P(3) =7; P(4) =10 Tính P(5); P(6); P(8) Từ câu 3a ta có: P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) +3x -2 P(5) =4!+3.5-2= 37 P(6)= 5!+ 3.6-2= 136 P(8) = 7!/3! + 3.8 -2= 862 Như vậy ta tính được giá trị của đa thức dễ dàng Bài 4: Cho P(x) = x5 + ax4 +bx3 +cx2 +dx+e Cho P(1)=2; P(2)=4; P(3) =6; P(4)=8; P(5) =10 a) Xác định P(x) b) Tính P(10); P(12) Cách 1: Thay vào tính Cách 2: Đặt P(x)= m+e(x-1)+d(x-1)(x-2)+c(x-1)(x-2)(x-3)+b(x-1)(x-2)(x-3)(x4) +(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) Thay lần lượt các giá trị giải tìm các hệ số của đa thức P(x) Cách 3: Sử dụng đa thức phụ: Xét P(1) =2.1=2 P(2)= 2.2 = P(3)= 2.3=6 P(5) = 2.5=10 Kết quả các giá trị của P(1)=2; P(2)=4; P(3) =6; P(4)=8; P(5) =10 ứng với giá trị của đa thức 2x Xét R(x) = P(x)- 2x triệt tiêu tại x=1;2;3;4;5 => R(x)= (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) => P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) +2x Vậy đa thức cần tìm là : P(x) = x5 -15x4+85x3-225x2 +276x-120 b) P(10) = 9!/4! +2.10= 15140 P(12)= 11!/6! +2.10= 55460 Nhận xét: Để tìm đa thức biết giá trị có nhiều cách giải Trên cách giải: Cách 1: Thay giá trị tính trực tiếp hệ số Cách 2: Tìm đa thức cách xét giá trị riêng Cách 3: Tìm đa thức cách sử dụng đa thức phụ Tùy em vận dụng tính tốn linh hoạt để tốn trở nên đơn giản Sau hiểu cách làm học sinh tự tin vận dụng sáng tạo toán Bài tập vận dụng: 1.Xác định đa thức bậc hai P(x) biết: P(0) =21; P(1)=80; P(2) =1983 Xác định đa thức bậc ba P(x) biết P(0)=4; P(1)= 12; P(2) =15; P(3)= -16 Cho đa thức P(x)= x5 + ax4 +bx3 +cx2 +dx+e Cho P(1)=-1; P(2)=2; P(3) =7; P(4)=14 a) Xác định P(x) b) Tính P(9); P(10) Cho P(x) =x5 +ax4 + bx3+ cx2 +dx+ 132005 Biết P(1)=8; P(2)=11; P(3)=14; P(4)=17 a)Tìm P(x) b) Tính P(x) với x=11;12;13;14;15, Sáng tạo: Yêu cầu HS tự đề tìm đa thức bậc bốn cho biết giá trị đa thức Sau giải tốn vừa tìm 2.3.3.Tìm đa thức cách sử dụng điều kiện cho trước Ở dạng ta biết số điều kiện cho trước nên dựa vào điều kiện để xác định đa thức Bài 1: Tìm đa thức P(x) và Q(x) biết: P(x) +Q(x)= x2 +1 và P(x) - Q(x) =2x 1 1 2 HS tự tìm P(x) = x + x+ ; Q(x) = x -x + Bài 2: Cho đa thức bậc bốn P(x) thỏa mãn: P(-1)=0 và P(x) -P(x-1) = x(x+1)(2x+1) Xác định đa thức P(x) Suy giá trị của tổng S=1.2.3 + 2.3.5+ +n(n+1)(2n+1) [3] Hướng dẫn: Cho x=0 suy P(0)- P(-1) = mà P(-1)=0 Vậy P(0) =0 Cho x lần lượt các giá trị x=-2;x=1; x=2 ta nhận được: P(-2) =0; P(1)= 6; P(2)= 36 Đặt P(x) =e+ d( x+2)+c(x+2)(x+1)+ b(x+2)(x+1)x+a(x+2)(x+1)x(x-1) Thay lần lượt các giá trị vào tính e=0; d=0; c=0;b=1; a= P(x)= x(x+1)2(x+2) Ta có P(x)-P(x-1) = x(x+1)(2x+1) Cho x lần lượt các giá trị 1;2;3; ;n ta có: P(1) -P(0)=1.2.3 P(2) -P(1) = 2.3.5 P(n)-P(n-1)= n.(n+1)( 2n+1) => P(n) -P(0) = 1.2.3+2.3.5+ + n(n+1)(2n+1) Do S= P(n) = n(n+1)2(n+2) Bài 3: Xác định tất cả các đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện: P(x+1) = P(x) + 2x +1,  x  R Lời giải Cách 1: Giả sử đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện của bài toán, tức là: 10 P(x+1) = P(x) + 2x +1,  x  R Suy  x  R ta có: P(x +1)+x2 = P(x) +x2+ 2x +1,  x  R  P(x+1) - (x+1)2 = P(x) - x2,  x  R Đặt Q(x) = P(x) - x2, Q(x+1) = Q(x),  x  R Cho x = 0, 1, 2, , ta nhận được: Q(0) = Q(1) = Q(2) = … = Q(n) =…,  n  N Suy Q(x) = a với a số với mọi x => P(x) = x2 + a, với a là số tùy ý Thử lại, ta thấy P(x) = x2 +a, a tùy ý, thỏa mãn điều kiện bài toán Vậy đa thức cần tìm là đa thức có dạng P(x) = x2 +a, a tùy ý Cách 2:  n  N*, ta có: P(n) – P(n-1) = 2n - Suy P(n) = P(0) + +3 +…+(2n -1) = P(0) + n 2,  n  N*,mà P(0) = a ( a là sớ) Do P(x) = x2 + a ( a là số tùy ý) B Bài 4: Cho m là sớ ngun dương nhỏ 30 Có giá trị của m để đa thức m2 + mx+72 là tích của hai đa thức bậc nhất với hệ số nguyên? Hướng dẫn: Gọi a và b là sớ ngun Ta có (x+a)(x+b)= x2 +mx+72  x2 + (a+b)x+ab = x2 +mx+72 Đồng nhất thức a+b=m; a.b =72 Dễ thấy a,b phải dấu, m>0 nên a,b là các sớ ngun dương Khơng mất tính tổng quát ta giả sử a  b Ta có bảng sau: a b 72 36 24 m 73 38 27 Vì mP(1) =an +an-1 +an-2 + a0 =19 P(19) = an.19n + an-1.19n-1+ +a1.19 +a0=85 Xét P(19)-P(1) = an(19n-1)+ an-1 (19n-1-1)+ +a1( 19-1)=66 Vế trái chia hết cho 18, vế phải không chia hết cho 18, vô lí Chứng tỏ điều giả sử là sai, chứng tỏ không tồn tại bất kỳ đa thức với hệ số mà P(1) =19 và P(19) =85 Tìm, xác định đa thức biết trước điều kiện nhiều Sau làm xong ví dụ em vận dụng tự tìm đề bài, tự giao đề cho Thay đổi kiện em sáng tạo cho tốn Bài tập vận dụng: 1 Xác đinh đa thức P(x) thoả mãn: P(x) + 2P( x ) = x với mọi x  Xác định đa thức P(x) biết P(x)+x P(x) =x+1với mọi x Cho f(x) = ax3 + bx2 +cx+d với a là số nguyên dương và f(5) - f(4) =2019 Chứng minh f(7)-f(2) là hợp số Cho hàm số F(x)= ax3 + bx2+cx+d ( a,b,c,d là các số nguyên) Chứng minh không thể tồn tại đồng thời F(7) = 53 và F(3) =35 Sáng tạo: Yêu cầu HS tự đề tìm đa thức với điều kiện cho trước đa thức Sau giải tốn vừa tìm 2.3.4 Tìm đa thức cách sử dụng tính chất chia hết, chia có dư Ở dạng giáo viên cần lưu ý cho học sinh: với A B đa thức tùy ý biến (B  0), tồn cặp đa thức Q R cho A= B.Q +R R=0 bậc R nhỏ bậc B Bài 1: Tìm đa thức dư chia x7 +x5 +x3+1 cho x2 -1 Cách 1: Tách ở đa thức bị chia đa thức chi hết cho đa thức chia Ta có: x7 +x5 +x3 +1 = x7 -x + x5 -x + x3 -x + 3x+1 = x(x6 -1)+x(x4 -1) +x(x2 -1) + (3x+1) Vậy dư chia x7 +x5 +x3+1 cho x2 -1 là 3x+1 12 Cách 2: Xét giá trị riêng Gọi thương của phép chia là Q(x), dư là ax+b Ta có: x7 +x5 +x3 +1 = (x+1)(x-1)Q(x)+ ax+b với mọi x Lấy x=1 => a+b =4(1) Lấy x=-1=> -2=-a +b(2) Từ (1) và (2) suy a=3; b=1 Chốt kiến thức: Khi xác định đa thức dư ta lưu ý bậc đa thức dư nhỏ đa thức chia Ở chia cho x -1 đa thức dư có dạng ax+b; Nếu đa thức chia bậc đa thức dư có dạng ax +bx+c Từ học sinh hiểu nguyên tắc tìm đa thức dư Bài 2: Tìm đa thức P(x) biết P(x) chia cho x-3 dư 7, P(x) chia cho x-2 dư 5, P(x) chia cho (x-2)(x-3) được thương là 3x và cịn dư [2] Hướng dẫn: Trước hết ta tìm dư chia P(x) cho (x-2)(x-3) Xét P(x) = (x-3)A(x)+7 (1) P(x) = (x-2) B(x) +5(2) Cách 1: Xét P(x) = 3x(x-2) (x-3) + ax+b (3) Từ (1) (2) (3) cách cho x=2, x=3 ta tìm được a=2; b=1 Dư của phép chia P(x) cho (x-2)(x-3) là 2x+1; Do P(x) = 3x(x-2)(x-3) +2x+1 = 3x3 -15x2 +20+1 Cách 2: Từ (1) suy : (x-2)P(x)= (x-2)(x-3)A(x) +7(x-2) (4) Từ (2) suy ra: (x-3)P(x) = (x-2)(x-3)A(x)+ 7(x-2) (5) Lấy (4) trừ (5) ta được P(x)= (x-2)(x-3)[A(x)-B(x)]+ 2x+1 Khi chia P(x) cho (x-2)(x-3) dư là 2x+1 Do P(x) = 3x(x-2)(x-3) +2x+1 = 3x3 -15x2 +20+1 Bài 3: Tìm đa thức P(x) bậc ba biết chia P(x) cho (x-1); (x-2); (x-3) đều được số dư là và P(1) =-18 [3] Lời giải 13 Tìm đa thức phụ Theo định lý Bezout ta có P(1) =P(2)=P(3) =6 Đặt G(x)=P(x)+ax2+bx+c Tìm a,b,c để G(1) = G(2) =G(3) =0  a, b, c là nghiệm hệ 0=6+a+b+c 0=6+4a+2b +c 0=6+9a+3b +c Giải hệ được a = b = 0; c = -6 Nên G(x)=P(x) - với G(1) = G(2) = G(3) = Xác đinh P(x) bậc P(x) = nên bậc G(x) = Và G(x) M (x-1); (x-2); (x-3)  G(x)= n(x-1)(x-2)(x-3) ở n là hệ sớ của x3 của đa thức P(x)  P(x) = n(x-1)(x-2)(x-3)+6 Mặt khác P(-1)=-18  n=1  P(x)=x3-6x2+11x Bài 4: Cho đa thức P(x) = x5 + x4 - 9x3 + ax2 +bx + c Biết P(x) chia hết cho (x - 2)(x + 2)(x + 3) Hãy tìm đa thức ấy Lời giải Vì P(x) M(x - 2)(x + 2)(x + 3) nên P(x) M(x - 2), P(x) M(x + 2), P(x) M(x + 3) Theo định lý Be'zout suy 2; -2; -3 là các nghiệm của đa thức , ta có P(2) = P(-2)= P(-3) = 4a  2b  c  24 a  1   4a  2b  c  56  b  20   Ta có: 9a  3b  c  81 c  12 Vậy đa thức phải tìm là P(x) = x5 + x4 - 9x3 - x2 +20x - 12 Nhận xét: Nắm quy tắc làm dạng toán em chinh phục tốn tìm đa thức dư, đa thức chia đa thức bị chia dễ dàng Bài tập vận dụng: Đa thức f(x) nếu chia cho x –1 được số dư 4, nếu chia cho x-3 được sớ dư 14 Tìm đa thức dư của phép chia f(x) cho (x – 1)(x –3) Tìm các số a,b,c cho ax3 +bx2 +c chia hết cho x+2, chia cho x2 -1 dư x+5 Tìm phần dư phép chia đa thức: P(x) = x50 + x49+ x + cho đa thức x2 - 14 Cho đa thức P(x) có hệ số nguyên Biết P(0); P(1) là các số lẻ Chứng minh đa thức P(x) khơng có nghiệm ngun Sáng tạo: Yêu cầu HS tự đề tìm đa thức dư với đa thức bị chia bậc 10, đa thức chia bậc hai Sau tự giải tốn 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau ý tưởng của đề tài này được thực hiện, thấy thu được nhiều kết quả khả quan: Đối với bản thân, đồng nghiệp và nhà trường: Tơi cảm thấy có thể hướng dẫn học sinh lớp biết định hướng để tìm đa thức mợt biến và cịn có thể tìm tịi sáng tạo bài toán mới Với lượng bài tập không quá lớn, học sinh đủ suy ngẫm để tìm cách làm của riêng mình, khơng sinh khơng bị choáng ngợp bởi câu hỏi ta đã giúp học sinh tự tin làm được điều mà bản thân học sinh có thể tự làm được Thấy được lợi ích của cho học sinh áp dụng vào giải bài tập và làm bài kiểm tra, bài thi Bản thân đã tạo cho mợt giáo án riêng để có thể giảng dạy học sinh Bên cạnh đó, đờng nghiệp có thể sử dụng để tham khảo kiến thức, phương pháp mợt cách có hiệu quả Đối với hoạt động giáo dục: - Hướng dẫn học sinh ba dạng toán xác định đa thức một biến, học sinh hứng thú học, đam mê tìm tịi khả của mình, kích thích khả khám phá của các em Từ giúp các em tìm tịi, mở rợng dạng toán khó tạo mối quan hệ các mạch kiến thức việc dạy toán theo hướng đổi mới phương pháp giảng dạy Kết quả:Sau đã áp dụng chuyên đề: So với lúc ban đầu đã có sự tiến bợ rõ rệt, bản thân thấy học sinh yêu thích môn học hơn, thích khám phá các dạng toán khó Ra đề khảo sát cho lớp 8A2,8A3: Sĩ số Giỏi Khá Trung bình Yếu SL % SL % SL % SL % 8A2 45 14 30% 22 49% 21 8A3 45 11% 18 40% 17 38% 11% Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 15 Trong các phương pháp học cớt lõi là phương pháp tự học Nếu rèn luyện cho người học có được phương pháp, kĩ năng, thói quen, ý chí tự học tạo cho họ lịng ham học, khơi dậy nợi lực vớn có người, kết quả học tập được nhân lên gấp bội Với lượng bài tập không quá nhiều đối với học sinh, một thời gian ngắn giáo viên đã hướng dẫn học sinh học sinh phương pháp suy luận, dự đoán, chứng minh một số dạng toán xác định đa thức Học sinh tìm được niềm vui toán học Dạy cho HS phương pháp phân tích, suy luận, vận dụng các kiến thức đã học vào giải toán, giúp người học phát huy được khiếu, lúc người học có tính sáng tạo, có tư tớt và kỹ vận dụng lý thút mợt cách linh hoạt Chính lẽ đó, quá trình giảng dạy, người giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu bản chất và cách vận dụng Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú học tập, tôn trọng suy nghĩ, ý kiến và sáng tạo của các em Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic các bài khác 3.2 Kiến nghị - Đối với GV: Cần cung cấp kiến thức một cách hệ thống cho học sinh, đưa hệ thống bài tập rõ ràng, mạch lạc, lôgic và tăng dần khả tư sáng tạo cho HS -Đối với tổ chuyên môn: Tổ chức chuyên đề khai thác " Hướng dẫn học sinh lớp số cách tìm đa thức biến" để góp ý xây dựng tạo hiệu quả cao giảng dạy Trên là một số kinh nghiệm nhỏ của bản thân quá trình dạy học khai thác tổ chức : "Hướng dẫn học sinh lớp số cách tìm đa thức biến" Rất mong nhận được sự trao đổi và góp ý của đờng nghiệp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Quảng Xương, ngày 06 tháng 04 năm 2022 ĐƠN VI Tơi xin cam đoan là SKKN của viết, không chép nội dung của người khác Người thực Nguyễn Quỳnh Lê 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Những vấn đề chung đổi giáo dục trung học sở ( Nguyễn Hải Châu, Phạm Đức Quang, Nguyễn Thế Thạch- Nhà xuất bản Giáo dục) [2] Nâng cao phát triển tốn tập (Vũ Hữu Bình - Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam) [3] 23 chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp ( Nguyễn Văn Vĩnh- Nguyễn Đức Đồng -Nhà xuất bản giáo dục) [4] Sách giáo viên, sách giáo khoa toán 7, toán8 17 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ và tên tác giả: Nguyễn Quỳnh Lê Chức vụ và đơn vị công tác:Trường THCS Nguyễn Du- Quảng Xương TT Tên đề tài SKKN " Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh khai thác bài toán về đường trung bình của tam giác, của hình thang ” “ Tổ chức hướng dẫn học sinh lớp suy luận phân tích Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Cấp Tỉnh C 2014-2015 Cấp Tỉnh C 2017-2018 Cấp huyện B 2019-2020 C 2020-2021 để giải một số dạng toán về tam giác cân” " Hướng dẫn học sinh sử dụng định lí Fermat giải bài toán chứng minh chia hết" "" Hướng dẫn học sinh giải bài toán tìm điểm cớ định Cấp Tỉnh hình học 9" PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG XƯƠNG TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU 18 19 ... trực tiếp hệ số Cách 2: Tìm đa thức cách xét giá trị riêng Cách 3: Tìm đa thức cách sử dụng đa thức phụ Tùy em vận dụng tính tốn linh hoạt để toán trở nên đơn giản Sau hiểu cách làm học sinh tự tin... kiến thức: Khi xác định đa thức dư ta lưu ý bậc đa thức dư nhỏ đa thức chia Ở chia cho x -1 đa thức dư có dạng ax+b; Nếu đa thức chia bậc đa thức dư có dạng ax +bx+c Từ học sinh hiểu nguyên tắc tìm. .. tìm đa thức với điều kiện cho trước đa thức Sau giải tốn vừa tìm 2.3.4 Tìm đa thức cách sử dụng tính chất chia hết, chia có dư Ở dạng giáo viên cần lưu ý cho học sinh: với A B đa thức tùy ý biến