(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh lớp 8 giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG XƯƠNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Người thực hiện: Nguyễn Ngọc Duyên Chức vụ: Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Nguyễn Du SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HÓA, NĂM 2022 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 2.3.1 Tìm hiểu nội dung kiến thức liên quan 2.3.2 Xây dựng hệ thống bài tập giúp học sinh độc lập suy nghĩ và sáng tạo cách giải sử dụng kiến thức đã học A(x) = k 2.3.2.1 Dạng phương trình , với k số A( x ) = B ( x ) A( x) − B ( x ) = 2.3.2.2 Dạng phương trình (hoặc ) 10 A( x ) = B( x) 2.3.2.3 Dạng phương trình A( x) + B ( x ) = a 13 2.3.2.4 Dạng phương trình: (a ≥ 0) Một số dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối khác 14 2.3.2.5 2.4 Hiệu của sáng kiến kinh nghiệm đối với hoạt động giáo 16 dục, với thân, đồng nghiệp và nhà trường KẾT LUẬN, KIẾN NGHI 17 3.1 Kết luận 17 3.2 Kiến nghi 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO 20 DANH MỤC SKKN ĐÃ ĐƯỢC CÔNG NHẬN 21 Mở đầu 3 1.1 Lí chọn đề tài Hội nghi lần thứ Ban Chấp hành Trung ương Đảng Cộng sản Việt Nam (khoá XI) đã thông qua Nghi quyết số 29/NQ-TW ngày tháng 11 năm 2013 về đổi mới bản, toàn diện giáo dục và đào tạo đáp ứng yêu cầu công nghiệp hoá, hiện đại hoá điều kiện kinh tế thi trường đinh hướng xã hội chủ nghĩa và hội nhập quốc tế; Quốc hội đã ban hành Nghi quyết số 88/2014/QH13 ngày 28 tháng 11 năm 2014 về đổi mới chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thơng, góp phần đổi mới bản, toàn diện giáo dục và đào tạo Ngày 27 tháng năm 2015, Thủ tướng Chính phủ đã ban hành Quyết đinh số 404/QĐ-TTg phê duyệt Đề án đổi mới chương trình, sách giáo khoa giáo dục phổ thơng Giáo dục toán học góp phần hình thành và phát triển cho học sinh các phẩm chất chủ yếu, lực chung và lực toán học - biểu hiện tập trung của lực tính toán với các thành phần sau: tư và lập luận toán học, mơ hình hoá toán học, giải qút vấn đề toán học, giao tiếp toán học, sử dụng các công cụ và phương tiện học toán; phát triển kiến thức, kĩ then chốt và tạo hội để học sinh được trải nghiệm, vận dụng toán học vào thực tiễn Giáo dục toán học tạo lập sự kết nối các ý tưởng toán học, Toán học với thực tiễn, Toán học với các môn học và hoạt động giáo dục khác Chương trình mơn Toán được thiết kế theo cấu trúc tuyến tính kết hợp với “đồng tâm xoáy ốc” (đồng tâm, mở rộng và nâng cao dần) Môn Toán giúp học sinh nắm được cách có hệ thớng các khái niệm, ngun lí, quy tắc toán học cần thiết nhất cho tất mọi người, làm nền tảng cho việc học tập ở các trình độ học tập tiếp theo có thể sử dụng sớng ngày Mơn Toán cịn giúp cho học sinh có cái nhìn tương đới tổng quát về toán học, hiểu được vai trò và ứng dụng của toán học thực tiễn, ngành nghề có liên quan đến toán học để học sinh có sở đinh hướng nghề nghiệp, có khả tự tìm hiểu vấn đề có liên quan đến toán học suốt đời Để thực hiện được mục tiêu đó, trước hết phải biết áp dụng phương pháp dạy học hiện đại kết hợp với phương pháp dạy học truyền thống để bồi dưỡng cho học sinh lực tư sáng tạo, lực giải quyết vấn đề, rèn luyện thành nề nếp tư sáng tạo của người học, bước áp dụng các phương pháp tiên tiến, phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học, tăng cường và dành thời gian tự học và tự nghiên cứu cho học sinh Đồng thời thân giáo viên phải tìm phương pháp mới, khắc phục lới truyền thụ chiều, phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh các môn học Thông qua các môn học, học sinh được phát triển toàn diện về lực trí tuệ, tư lơgic, phẩm chất đạo đức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, có óc phán đoán, phân tích tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa, hình thành nhân cách Một môn học mang lại hiệu dạy học cao là toán học 4 Dù đã trải qua hai nghìn năm toán học đã chứng tỏ đỉnh cao của trí tuệ của người, xâm nhập vào hầu hết các ngành khoa học và là nền tảng của nhiều lí thuyết khoa học quan trọng Ngày nay, với thời đại công nghiệp tiên tiến và sự phát triển vũ bão của cơng nghệ thơng tin vai trị của toán học ngày càng trở nên quan trọng và cần thiết bao giờ hết Quá trình dạy học ở trường THCS , việc bồi dưỡng kiến thức và phát triển tư cho học sinh là nhiệm vụ trọng tâm của người giáo viên Vì lí thời lượng chương trình và phải đáp ứng cách đại trà về kiến thức cho học sinh nên chương trình sách giáo khoa đáp ứng phần kiến thức Chính điều này đã hạn chế sự phát triển tư của em học sinh khá giỏi Vì vậy, quá trình dạy học, người giáo viên phải quan tâm đến hai vấn đề là đáp ứng kiến thức đại trà và phát triển tư cho học sinh khá giỏi Thơng thường, các em học sinh mới có khả giải quyết trực tiếp bài toán mà chưa có khả nhìn nhận bài toán từ góc độ khác nhau, mới giải quyết vấn đề cách rời rạc mà chưa có khả xâu chuỗi chúng lại với thành mảng kiến thức lớn Chính thế, việc rèn luyện và phát triển tư khái quát hóa, tương tự hóa là hết sức cần thiết đối với học sinh Việc làm này giúp các em tích lũy được nhiều kiến thức phong phú, khả nhìn nhận và phát hiện vấn đề nhanh, giải qút vấn đề có tính logic và hệ thớng cao Trong chương trình đại sớ THCS, việc giải phương trình chứa dấu giá tri tụt đới ở lớp mới có vài dạng Khi gặp phương trình được cho ở dạng khác gây cho học sinh nhiều khó khăn, thậm chí khơng có phương án giải Chính vậy việc nhận dạng, phân loại và có phương pháp giải cho dạng phương trình chứa dấu giá tri tuyệt đối, giúp cho học sinh đinh hướng và giải đươc các phương trình vậy là hết sức cần thiết Đó chính là lí chọn đề tài: "Hướng dẫn học sinh lớp giải phương trình chứa dấu giá tri tụt đới" 1.2 Mục đích nghiên cứu Bản thân tơi ln cớ gắng đúc rút, xâu chuỗi các kiến thức thu nhận được thành chủ đề với mong ḿn có thể giải quyết được lớp các bài toán điển hình về phương trình chứa dấu giá tri tụt đới Cụ thể là nhằm mục đích nâng cao chất lượng và hiệu của việc dạy học phần kiến thức giải phương trình chứa dấu giá tri tụt đới, trao đổi với giáo viên môn về phương pháp, giúp học sinh có thể lĩnh hội cách sâu sắc, triệt để nhất, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, phát triển tư cho học sinh và giúp các em có thêm kiến thức trang bi cho lớp học cao 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong đề tài này, đưa số nội dung kiến thức toán học mà học sinh có thể vận dụng vào việc giải phương trình chứa dấu giá tri tụt đới, đờng thời hệ thống lại các phương pháp thường dùng để giải phương trình chứa dấu giá tri tụt đới, gồm: - Các dạng toán và phương pháp giải - Các ví dụ minh họa cho phương pháp giải - Các bài tập rèn luyện kĩ 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp tiếp cận vấn đề: Thông qua việc giảng dạy thực tế, tiếp xúc, trao đổi với nhiều học sinh, từ tơi đưa được lượng kiến thức để học sinh dễ tiếp cận nhất - Phương pháp phân tích, tổng hợp: Trước vào cách giải cụ thể, thường đưa phân tích về loại bài tập Từ có thể khái quát hay tổng hợp lại phương pháp giải - Phương pháp nghiên cứu tài liệu: Tôi sử dụng nhiều nguồn tài liệu của các tác giả có uy tín sử dụng đề thi vào trung học phổ thông ở năm học trước - Phương pháp thống kê, xử lí số liệu: Tôi thường xuyên khảo sát mức độ tiếp thu kiến thức của học sinh thông qua các bài tập nhanh Kết thu nhận được giúp điều chỉnh lượng kiến thức phương pháp truyền đạt tới các em cho hiệu cao nhất Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Quy luật của quá trình nhận thức từ trực quan sinh động đến tư trừu tượng Song quá trình nhận thức đạt hiệu cao hay khơng, có bền vững hay khơng cịn phụ thuộc vào tính tích cực, chủ động sáng tạo của chủ thể Đặc điểm của lứa tuổi thiếu niên là có xu hướng vươn lên làm người lớn, ḿn tự tìm hiểu, khám phá quá trình nhận thức Ở lứa tuổi học sinh trung học sở có điều kiện thuận lợi cho khả tự điều chỉnh hoạt động học tập và tự sẵn sàng tham gia vào các hoạt động khác Tuy nhiên nhược điểm của các em là chưa biết cách thực hiện nguyện vọng của mình, chưa nắm được các phương thức thực hiện các hình thức học tập mới Vì vậy cần có sự hướng dẫn, điều hành cách khoa học và nghệ thuật của các thầy cô Trong lý luận về phương pháp dạy học cho thấy: Trong môn toán sự thống nhất điều khiển của thầy và hoạt động học tập của trị có thể thực hiện được cách quán triệt quan điểm hoạt động, thực hiện dạy học toán hoạt động và hoạt động Dạy học theo phương pháp mới phải làm cho học sinh chủ động nghĩ nhiều hơn, làm nhiều hơn, tham gia nhiều quá trình chiếm lĩnh tri thức toán học Dạy học toán thông qua kiến thức phải dạy cho học sinh phương pháp tư Quan điểm này cho dạy toán là phải dạy suy nghĩ, dạy óc của học sinh thành thạo các thao tác tư phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá Trong phân tích tổng hợp có vai trị trung tâm Phải cung cấp cho học sinh có thể tự tìm tịi, tự phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kết quả, tìm được hướng giải quyết bài toán,… Hình thành và phát triển tư tích cực độc lập sáng tạo dạy học toán cho học sinh là quá trình lâu dài, thơng qua tiết học, thông qua nhiều năm học, thông qua tất các khâu của quá trình dạy học nội khoá ngoại khoá Toán học là môn khoa học tự nhiên mang tính trừu tượng cao, tính logic đờng thời mơn toán cịn là mơn cơng cụ hỗ trợ cho các môn học khác Với phân môn đại số là môn khoa học rèn luyện cho học sinh khả tính toán, suy luận logic, phát triển tư sáng tạo Nâng cao được lực tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo, linh hoạt cách tìm lời giải bài tập càng có ý nghĩa quan trọng Việc bồi dưỡng học sinh không đơn cung cấp cho các em số kiến thức thông qua việc làm bài tập làm càng nhiều bài tập khó, hay mà giáo viên phải biết rèn luyện khả sáng tạo Đối với phân môn đại số càng phải biết rèn luyện lực tư trừu tượng và phán đoán logic Trong thực tiễn dạy học, các bài tập tính toán, suy diễn, chứng minh thường chiếm số lượng rất lớn Hơn nữa, đặc thù môn, bài tập dạng này lại tập trung nhiều phân môn đại số Các bài toán giải phương trình chứa dấu giá tri tụt đới ln có vi trí xứng đáng chương trình dạy và học toán ở trường trung học sở Các bài toán này rất phong phú đa dạng, đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức, vận dụng cách hợp lí, nhiều khá độc đáo Vì vậy, các bài toán giải phương trình chứa dấu giá tri tuyệt đối thường xuyên xuất hiện sách giáo khoa, sách nâng cao của các khối lớp 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Bản thân sau nhiều năm giảng dạy môn toán có rút nhận xét là gặp các vấn đề toán có chất phát biểu ở dạng khác học sinh thường tỏ lúng túng và bế tắc Làm thế nào để học sinh hiểu rõ chất của loại toán trên, vận dụng kiến thức nào để giải, phương hướng chung để giải loại toán này thế nào? Việc trả lời cho các vấn đề này dễ dàng Bài toán giải phương trình chứa dấu giá tri tụt đới là phần kiến thức tương đới khó chứa đựng nhiều kiến thức tính chất của thứ tự với phép cộng và nhân, kiến thức về giải bất phương trình, …; đặc biệt là vận dụng vào giải quyết các bài tập ở mức độ tư cao Việc vận dụng lý thuyết đã được học sách giáo khoa vào giải bài tập cịn khó khăn nên sự sáng tạo vận dụng vào các bài tập có nội dung mở rộng, nâng cao nằm ngoài khả của học sinh là điều không tránh khỏi Tôi đơn cử ví dụ: x +1 + x + = Giải phương trình: (1) Rõ ràng dạng toán này, đa phần các em thấy rất quen thuộc, tương tự các bài giải phương trình nghiệm nguyên x +1 + x + = x +1 + x + = bài toán giải phương trình , nhiều khả dẫn đến sai lầm giải, x + = 0, x + = 2, chẳng hạn các em xét các trường hợp Thực tế việc giải phương trình (1) khơng phải khó khăn các em chưa có phương pháp giải nên để làm điều dễ dàng Qua khảo sát chất lượng ở lớp 8A2 năm 2021-2022 chưa triển khai chun để này có khoảng 30% học sinh giải (nhưng đa phần là các em làm cách chia thành nhiều trường hợp bỏ dấu giá tri tụt đới) Sau tơi nghiên cứu hướng dẫn học sinh theo chuyên đề này khoảng 94% sớ học sinh được giao đã xác đinh được hướng giải quyết bài toán và có khoảng 85 % các em làm được bài này Ngoài các em cịn có khả áp dụng vào giải số bài tập yêu cầu cao 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Tìm hiểu nội dung kiến thức liên quan: *) Định nghĩa: - Giá tri tuyệt đối của số thực: a nếu a ≥ a = −a nếu a p - Mở rộng thành giá tri tuyệt đối của biểu thức  A( x) nếu A( x) ≥ A( x) =   − A( x) nếu A( x) p *) Một số tính chất giá trị tuyệt đối: a ≥ ∀ - Tính chất 1: a a - Tính chất 2: =0 ⇔a=0 a ≤ ≤ a - Tính chất 3: a a −a - Tính chất 4: = a+b ≤ a + b - Tính chất 5: a − b ≤ a −b - Tính chất 6: - Tính chất 8: - Tính chất 9: a.b = a b a a = (b ≠ 0) b b *) Kiến thức bổ sung: Dấu của nhi thức bậc nhất Cho nhi thức: f(x) = ax + b ( a ≠ 0) b f(x) dấu với a x > - a b f(x) khác dấu với a x < - a 2.3.2 Xây dựng hệ thống tập giúp học sinh độc lập suy nghĩ sáng tạo cách giải sử dụng kiến thức học Trước tiên học sinh cần nắm được đinh nghĩa, các tính chất của giá tri tuyệt đối Làm các bài tập đơn giản với sự hướng dẫn của giáo viên Sau làm các bài tập nâng cao và bài tập đòi hỏi sự tư của học sinh Cần cho học sinh vận dụng các kiến thức về giá tri tuyệt đối (chủ yếu là đinh nghĩa về giá tri tuyệt đối của số, biểu thức) để đưa bài toán về bài toán khơng cịn chứa dấu giá tri tụt đới để có thể tiến hành các phép tính đại sớ quen thuộc Xuất phát từ kiến thức người ta phát triển thành yêu cầu giải phương trình chứa dấu giá tri tuyệt đối.Trong phạm vi kiến thức lớp cần hướng dẫn cho học sinh quan tâm tới dạng phương trình chứa dấu giá tri tụt đới, bao gờm: A(x) = k Dạng 1: Phương trình: , với k là số A(x) = B(x) Dạng 2: Phương trình: A(x) = B(x) Dạng 3: Phương trình: A( x) + B( x) = a (a ≥ 0) Dạng 4: Phương trình: Dạng 5: Một sớ dạng phương trình chứa dấu giá tri tuyệt đối khác Để học sinh tiếp cận và nắm vững các phương pháp giải ta cần hướng dẫn học sinh theo thứ tự cụ thể sau: A(x) = k 2.3.2.1 Dạng phương trình , với k số *) Phương pháp giải: Kiểm tra giá tri k +) k0, giải phương trình: A(x)=k A(x)=-k Đới chiếu với điều kiện nếu có của A(x) rời kết ḷn nghiệm Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: 2x − = a) x− b) x - = Lời giải:  2x − = 2x = x = 2x − = 1⇔  ⇔ ⇔  2x − = −1 2x = x = a) Ta có Vậy phương trình có tập nghiệm {2; 1} b) Điều kiện xác đinh của phương trình là x ≠ x−1  x = −2  x =2  x − = 2x  x = −2  x− = 2⇔  ⇔ ⇔ ⇔ x = x 3x =  x − = −2  x − = −2x   x (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình có tập nghiệm { ; -2} *) Bài tập đề nghi: Giải các phương trình sau: a) b) 2x − = − x − 12 = c) 6d) 0,5 x = 12 1− 5x + 1 −3= x−4 A( x) = B( x) A( x) − B( x) = 2.3.2.2 Dạng phương trình (hoặc ) *) Phương pháp giải: - Đặt điều kiện để A(x) và B(x) xác đinh (nếu cần)  A(x) = B(x) ⇔ ⇒ A(x) = B(x) A(x) = − B(x)  - Khi nghiệm x - Kiểm tra điều kiện, từ đưa kết luận nghiệm cho phương trình Ví dụ 2: Giải các phương trình sau: 5x + = x − a) x2 − x + − x =0 x+1 b) Lời giải a) Biến đổi tương đương phương trình:  x = − 5x + = x − 5x − x = −3−  5x + = x − ⇔  ⇔ ⇔ 5x + = −x + 5x + x = − x =  10 − ; Vậy phương trình có tập nghiệm { } b) Điều kiện xác đinh của phương trình là x ≠ -1 x2 − x + x2 − x + − x = 0⇔ =x x+1 x+1 Biến đổi tương đương phương trình:  x2 − x +  x+1 = x  x2 − x + = x(x + 1) 2x = ⇔ ⇔ ⇔ x − x + = − x(x + 1) x − x+ 2x = −2 (v« nghiƯm)  = − x  x + ⇔ x=1 (Thỏa mãn điều kiện xác đinh) Vậy phương trình có tập nghiệm {1} 3x − 2m x − Ví dụ 3: Giải phương trình: = , với m là tham số Lời giải Biến đổi tương đương phương trình: 2m−  x=  3x − 2m= x − 3x − x = 2m− 3x − 2m = x − ⇔  ⇔ ⇔ 3x − 2m= −x + 3x + x = 2m+  x = 2m+  2m − 2m + ; } Vậy phương trình có tập nghiệm { *) Bài tập đề nghi: Giải các phương trình sau: a) b) c) 2x −1 = 2x + x − = − 5x x2 −1 −2 − x+2 =0 x +1 x − 7m = x + 9m d) (m là tham số) A( x) = B ( x) 2.3.2.3 Dạng phương trình *) Phương pháp giải: Điều kiện A(x), B(x) có nghĩa (nếu có) Cách giải 1: - Điều kiện B(x) ≥0 - Giải trường hợp: A(x) = B(x) A(x) = - B(x) - Đối chiếu các nghiệm của phương trình với điều kiện rời kết ḷn nghiệm 11 Cách giải 2: - Nếu A(x) ≥ 0: + Giải phương trình A(x) = B(x) + Đới chiếu giá tri tìm được với điều kiện để lấy nghiệm - Nếu A(x) < 0: + Giải phương trình -A(x) = B(x) + Đới chiếu giá tri tìm được với điều kiện để lấy nghiệm x + + 3x = Ví dụ 4: Giải phương trình sau: Lời giải: x + = −3x + Cách 1: Viết lại phương trình dưới dạng Với điều kiện - 3x + ≥ ⇔ - 3x ≥ - ⇔ x ≤ Khi phương trình được biến đổi:  (thỏa mãn điều kiện) x =  x + = −3x +  ⇔ ⇔  x + = 3x −  x = (không thỏa mãn điều kiện) x + = −3x +  Vậy phương trình có tập nghiệm { } Cách 2: Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Nếu x + ≥ ⇔ x ≥ -4 Phương trình đã cho có dạng: x + + 3x = ⇔ 4x = ⇔ x = (thoả mãn điều kiện) -Trường hợp 2: Nếu x + < ⇔ x < - Phương trình đã cho có dạng: -x - + 3x = ⇔ 2x = ⇔ x = (không thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình có tập nghiệm { } Lưu ý 1: Qua ví dụ em học sinh thấy hai cách giải có độ phức tạp Vậy trường hợp cách hiệu cách ngược lại? Khi B(x) biểu thức đa thức có bâc lớn ta nên sử dụng cách sử dụng cách việc tìm x thoả mãn điều kiện B(x) ≥ phức tạp Khi biểu thức trị tuyệt đối dạng phức tạp khơng nên sử dụng cách gặp khó khăn việc giải bất phương trình A(x) ≥ A(x) < 12 Tuy nhiên học sinh khắc phục cách không giải điều kiện mà thực bước biến đổi phương trình sau thử lại điều kiện mà không đối chiếu Ví dụ 5: Giải các bất phương trình: x + = x2 + x a) x2 − 2x + = 2x b) Hướng dẫn giải: a) (Nên giải theo cách 2) -Trường hợp 1: Nếu x + ≥ ⇔ x ≥ -1 Giải phương trình x + = x2 + x được nghiệm x = ± (thoả mãn điều kiện) -Trường hợp 2: Nếu x + < ⇔ x < -1 Giải phương trình - x - = x2 + x được nghiệm x = -1 (khơng thoả mãn điều kiện) Vậy phương trình có tập nghiệm { ± 1} b) (Nên giải theo cách 1) Viết lại phương trình dưới dạng: x2 − 2x = 2x − Ta có: với điều kiện 2x - ≥ ⇔ 2x ≥ ⇔ x ≥  x2 − 2x = 2x − x − 2x = 2x − ⇔   x − 2x = −2x +  x = (thỏa mãn điều kiện) ⇔  x = −2 (không thỏa mãn điều kiện) Vậy phương trình có tập nghiệm {2} Lưu ý 2: Đối với số dạng phương trình đặc biệt khác ta có cách giải khác phù hợp chẳng hạn phương pháp đặt ẩn phụ x − = x2 − 2x + Ví dụ 6: Giải phương trình Lời giải: Viết lại phương trình dưới dạng: (x2 − 2x + 1) − x − + = ⇔ (x − 1)2 − x − + = x −1 Đặt = t ( t ≥ 0) Khi ta có phương trình: t2 - 4t +3 = ⇔ t2 - t - 3t +3 = ⇔ t(t - 1) - 3(t - 1) = ⇔ (t - 1)(t - 3) = ⇔ t = (thỏa mãn) t = (thỏa mãn) x−1 - Với t = ta được =3 13  x − 1=  x =  x − 1= − ⇔  x = −  ⇔ x−1 - Với t = ta được =1  x − 1=  x =  x − 1= −1⇔  x =  ⇔ Vậy phương trình có tập nghiệm {4; -2; 2; 0} *) Bài tập đề nghi: Giải các phương trình: a) b) c) d) + x = −4 x + x − = ( x − 3) x − 3x + = 3x − x − − x + x − (4 + x) x = 2.3.2.4 Phương trình: A( x) + B( x) = a (a ≥ 0) A( x) + B( x) = 2.3.2.4.1 Phương trình *) Phương pháp giải: Ta giải phương trình: A(x)=0 và B(x)=0 Nghiệm của phương trình đã cho là giao các nghiệm của phương trình này Ví dụ 7: Giải phương trình: |x+3|+|x2+x| =0 Lời giải: |x+1| +|x2+x| = |x+1| = và |x2+x| =0 + Với |x+ 1| = => x+1 = x= -1 + Với |x2+x|= => x2+ x = x(x+1) = x = x+ = x = x = -1 Vậy tập nghiệm của phương trình là {-1} A( x) + B( x) = a 2.3.2.4.2 Phương trình (a>0) *) Phương pháp giải: Thông thường ta lập bảng xét dấu các biểu thức A(x), B(x) để bỏ dấu giá tri tuyệt đối Ngoài ra, ở số bài ta có thể sử dụng các bất đẳng thức chứa dấu giá tri tuyệt đối, bất đẳng thức cosi, … Ví dụ 8: Giải phương trình: Lời giải: Ta có: x-1=0  x=1 x-4=0  x=4 Lập bảng xét dấu: x x −1 + x − = [1] 14 x-1 + + x-4 + Xét khoảng giá tri của x: - Xét x4, ta được phương trình: x-1+x-4=3  x=4 (loại) Vậy tập nghiệm của phương trình là ≤ x ≤ x+1 + =2 x+1 Ví dụ 9: Giải phương trình Lời giải: Điều kiện xác đinh của phương trình là x ≠ -1 Ta có thể lựa chọn hai cách sau: x+1 Cách 1: Đặt t = điều kiện t > + t = ⇔ t2 − 2t + 1= ⇔ t = Khi phương trình ⇔ t (thỏa mãn điều kiện) x+1  x + 1=  x = ⇔ = 1⇔ x + = ⇔  ⇔ x + 1= −3 x = −4 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình có tập nghiệm {-4; 2} Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có: VT = x+1 x+1 + x+1 x+1 ≥ =2 x+1 + =2 x+1 Ta thấy dấu xảy (tức là ) x+1  x + 1=  x = = ⇔ = (x + 1)2 ⇔  ⇔ x+1 x + 1= −3  x = −4 (thỏa mãn ĐKXĐ) Vậy phương trình tập nghiệm {-4; 2} Ví dụ 10: Giải phương trình: |x - 2021| + |x - 2022|=1 Lời giải: ≥ x − 2021 + 2022 − x = Ta có: |x - 2021| + |x - 2022|=|x - 2021| + |2022-x| Dấu “=” (x-2021)(2022-x) ≥  2021 ≤ x ≤ 2022 Vậy phương trình có tập nghiệm {x/2021 ≤ x ≤ 2022} *) Bai tõp nghi 15 Giải phơng trình sau: a) x−2 + x−3 = b) x + + x − = 10 c) d) x2 −1 + x = x2 − x +1 + x2 − x − = 2.3.2.5 Một số dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối khác 2.3.2.5.1 Phương trình chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 11 : Giải phương trình : x − + x + − x − = 2022 Hướng dẫn giải : Ta lập bảng xét dấu : x -2 x+1 - x+2 - x-3 - - 0 + + + + + - - Xét các khoảng giá tri : - Nếu x ≤ −2 : Phương trình vô nghiệm 2025 - Nếu -2 < x < : x − = 2022  x= (loại) 2027 - Nếu ≤ x < : x − = 2022  x= (loại) - Nếu x ≥ : Phương trình vơ nghiệm Kết ḷn: Phương trình vơ nghiệm *) Bài tập đề nghi : Giải các phương trình sau : a) x − − x − + x − = [2] x +1 + x + + x + = 4x b) [3] 2.3.2.5.2 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối lồng Ví dụ 12: Giải phương trình : ||4-x|+|x-9||=5 + 16 Hướng dẫn giải: (Trước tiên ta áp dụng phương pháp giải dạng 1) ||4-x|+|x-9||=5 =>|4-x|+|x-9| = |4-x|+|x-9|=-5 - Xét |4-x|+|x-9| = (Đây phương trình dạng 4) Lập bảng xét dấu và giải ta được 4≤x ≤ - Xét |4-x|+|x-9|=-5 Điều này không xảy |4-x|+ |x – 9|≥ Vậy tập nghiệm của phương trình là {x/ 4≤x ≤ 9} *) Bài tập đề nghi: Giải các phương trình sau: a) b) c) x −1 = x +1 [4] x − − + − = 10 2x − − + x +1 = [5] [6] 2.3.2.5.3 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối bậc cao Ví dụ 13: Giải phương trình x − x + = [7] Lời giải: Đặt t = x ≥0 , ta được phương trình t − 3t + = ⇔ t − t − 2t + =0 ⇔ t (t − 1)(t + 1) − 2(t − 1) = ⇔ (t − 1)(t + t − 2) =0 ⇔ (t − 1) (t + 2) =0 (t − 1)2 = t = ⇔ ⇔ t = −2 t + = Với t=-2, không thỏa mãn điều kiện Với t = 1, ta có: = x ⇔ x = ±1 Vậy phương trình có tập nghiệm là : S = {-1;1} *) Bài tập đề nghi: x + 100 x = x + 100 Giải phương trình: 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau ý tưởng của đề tài này được thực hiện, thấy thu được nhiều kết khả quan: 17 Đối với thân, đồng nghiệp và nhà trường: Tôi cảm thấy đã có cái nhìn sâu sắc và xun śt về các dạng toán giải phương trình chứa dấu giá tri tuyệt đối ; thấy được lợi ích của cho học sinh áp dụng vào giải bài tập và làm bài kiểm tra, bài thi Bản thân đã tạo cho giáo trình riêng để có thể giảng dạy học sinh Bên cạnh đó, đờng nghiệp có thể sử dụng để tham khảo kiến thức, phương pháp cách có hiệu Đối với hoạt động giáo dục: - Xây dựng niềm tin cho học sinh về việc có thể giải quyết loại bài tập mà đa phần học sinh ban đầu cảm thấy sợ và nghĩ là loại toán khó khơng thể làm được - Từ việc giải quyết được lớp các bài toán giải phương trình chứa dấu giá tri tụt đới, học sinh có hội tiếp cận với các loại toán khó khác ở các lớp học cao - Tạo cho học sinh có thói quen giải phương trình với các bước làm cụ thể đã nêu - Rèn luyện tính linh hoạt vận dụng các kiến thức liên quan vào giải toán, làm phong phú và đa dạng hoá các bài tập có liên quan, càng tăng thêm ý nghĩa về loại toán này Ngoài ra, khai thác triệt để, sâu sắc, phong phú nội dung toán học nói chung về phương diện ứng dụng vào các bài tập đã tạo hệ thống các bài tập phong phú, hấp dẫn học sinh, giúp cho việc rèn luyện kĩ của các em được vững Giải phương trình chứa dấu giá tri tụt đới là nội dung hẹp, đã được nhiều người đề cập đến và đối với học sinh bài toán giải phương trình chứa dấu giá tri tụt đới là bài toán khó bổ trợ cho sự rèn luyện, phát triển lực tư sáng tạo và trí thông minh của học sinh Mỗi bài toán về giải phương trình chứa dấu giá tri tụt đới đều có phương pháp riêng Trong khn khổ của đề tài, mới đưa số cách giải phương trình chứa dấu giá tri tụt đới mà tơi đúc rút được qua việc giải bài tập, qua nghiên cứu các tài liệu, qua quá trình giảng dạy và trao đổi với các đờng nghiệp Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện đề tài cịn có thiếu sót Rất mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo, các bạn đồng nghiệp để đề tài được hoàn thiện hơn, góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy và học tập của giáo viên và học sinh Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Trên là nội dung đã nghiên cứu và biên soạn trước hết nhằm củng cố và xếp có hệ thớng các kiến thức về dạng toán "giải phương 18 trình chứa dấu giá tri tuyệt đối" với số dạng tiêu biểu thường gặp chương trình đại sớ nhằm mục đích bời dưỡng thêm kiến thức cho các em học sinh khá giỏi về dạng toán nâng cao thường gặp các đề thi Xét khía cạnh hệ thống kiến thức chương trình toán THCS là vấn đề lớn, địi hỏi người học phải có tính sáng tạo, có tư tớt và kỹ vận dụng lý thút cách linh hoạt Chính lẽ đó, quá trình giảng dạy, người giáo viên cần: - Chuẩn bi chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu chất và cách vận dụng - Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú học tập, tôn trọng suy nghĩ, ý kiến sáng tạo của các em - Cần thường xuyên kiểm tra, đánh giá kết học tập, bổ sung thiếu sót kip thời, dạy sâu, dạy và kết hợp nhuần nhuyễn, logic các bài toán khác 3.2 Kiến nghị Trong nhiều năm qua, nhà trường đã nhận được sự quan tâm đạo sát và chăm lo về mọi mặt đặc biệt là công tác chuyên môn Song để thành cơng và hoàn thành tớt được nhiệm vụ xin đề xuất với ngành số vấn đề sau: Thường xuyên tổ chức hội thảo, tập huấn về chuyên đề, đặc biệt là nhưững chuyên đề về: Đổi mới PPDH môn Toán; Nâng cao chất lượng bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Toán; Để góp phần đổi phương pháp giáo dục việc tìm chân lý tốn học khơng dừng chân lý mà quan trọng phải thấy giá trị chân lý đó, nhằm nâng cao chất lượng dạy học theo hướng phát huy tích cực học sinh Mặc dù cố gắng, xong hẳn không tránh khỏi sai sót nội dung hình thức, mong nhận ý kiến đóng góp để chuyên đề tơi thêm hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 19 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VI Quảng Xương, ngày 06 tháng 04 năm 2022 Tôi xin cam đoan là SKKN của viết, khơng chép nội dung của người khác Người thực Nguyễn Ngọc Duyên 20 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Bài tập nâng cao chuyên đề toán (trang 87) (Bùi Văn Tuyên - NXB Giáo dục) [2] Bài tập nâng cao chuyên đề toán (trang 88) (Bùi Văn Tuyên - NXB Giáo dục) [3] Nâng cao phát triển tốn - Tập (trang 33) (Vũ Hữu Bình - NXB Giáo dục) [4] Nâng cao phát triển tốn - Tập (trang 34) (Vũ Hữu Bình - NXB Giáo dục) [5] Tài liệu chuyên toán THCS tập (trang 46) (Tôn Thân - NXB Giáo dục) [6] Tài liệu chuyên toán THCS tập (trang 46) (Tôn Thân - NXB Giáo dục) [7] Nâng cao phát triển toán - Tập (trang 33) (Vũ Hữu Bình - NXB Giáo dục) ………………… 21 DANH MỤC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM NGÀNH GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN, TỈNH VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ và tên tác giả: Nguyễn Ngọc Duyên Chức vụ và đơn vi công tác: Trường THCS Nguyễn Du TT Tên đề tài SKKN Nguyên tắc Dirichlet và số bài toán ứng dụng Phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên Ứng dụng nguyên lí Dirichlet chứng minh hình học Giúp học sinh lớp học tớt đinh lí Pytago Cấp đánh giá xếp loại (Ngành GD cấp huyện/tỉnh; Tỉnh ) Cấp tỉnh Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) B 2005 Cấp huyện C 2010 Cấp huyện B 2012 Cấp tỉnh B 2014 Năm học đánh giá xếp loại 22 Vận dụng đinh lí Vi-et để giải Cấp tỉnh số bài toán về bất đẳng thức Hướng dẫn học sinh lớp tìm Cấp huyện GTLN, GTNN của biểu thức C 2017 B 2019 Hướng dẫn học sinh giải phương trình bậc cao Hướng dẫn học sinh tìm lời giải bài toán chứng minh hình học lớp Cấp tỉnh C 2020 Cấp tỉnh C 2021 ... số dạng phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối khác 2.3.2.5.1 Phương trình chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 11 : Giải phương trình : x − + x + − x − = 2022 Hướng dẫn giải : Ta lập bảng... 2.3.2.4.1 Phương trình *) Phương pháp giải: Ta giải phương trình: A(x)=0 và B(x)=0 Nghiệm của phương trình đã cho là giao các nghiệm của phương trình này Ví dụ 7: Giải phương trình: ... tập đề nghi : Giải các phương trình sau : a) x − − x − + x − = [2] x +1 + x + + x + = 4x b) [3] 2.3.2.5.2 Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối lồng Ví dụ 12: Giải phương trình : ||4-x|+|x-9||=5