(SKKN 2022) một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh tiếp cận bài toán tỉ lệ trong hình học không gian lớp 11

1 Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Sự nghiệp Giáo dục Đào tạo nước ta đào tạo bồi dưỡng cơng dân Việt Nam có đủ phẩm chất, nhân cách lực để đáp ứng đòi hỏi nghiệp xây dựng phát triển đất nước Tốn học đóng vai trị to lớn việc rèn học sinh tư logic, rành mạch, điều giúp cho việc tiếp cận với lĩnh vực, tình thực tế trở nên dễ dàng Một phân mơn Tốn học cung cấp cho học sinh nhiều kĩ năng, đức tính, phẩm chất người lao động mơn hình học khơng gian lớp 11, 12 Hình học khơng gian mơn học có cấu trúc chặt chẽ, nội dung phong phú, môn học giúp học sinh phát triển trí tưởng tượng khơng gian, phát triển tư logic – khoa học Trong q trình giảng dạy, tơi nhận thấy nhiều học sinh chưa có hứng thú gặp khó khăn việc tiếp thu kiến thức hình học khơng gian, kết học tập mơn học chưa cao Vì để tạo hứng thú nâng cao kết học tập cho học sinh việc đổi phương pháp dạy học tăng cường sử dụng phương pháp dạy học tích cực phù hợp với nội dụng học nhân tố đóng vai trị quan trọng Qua 10 năm giảng dạy mơn tốn lớp 11, tơi nhận thấy việc tiếp thu kiến thức hình học khơng gian học sinh khó khăn, chọn đề tài ''Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh tiếp cận toán tỉ lệ hình học khơng gian lớp 11" 1.2 Mục đích nghiên cứu - Tìm phương pháp dạy thích hợp để nâng cao khả tiếp thu học sinh - Tăng cường hứng thú cho học sinh tiết học, đặc biệt tiết học hình học không gian - Nâng cao khả sử dụng kiến thức hình học khơng gian sống học sinh 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài tập trung vào tỉ lệ đoạn thẳng, diện tích hình, từ áp dụng việc tính tốn số tốn hình học khơng gian, nội dung kiến thức chủ yếu học kỳ chương lớp 11 1.4 Phương pháp nghiên cứu Để thực mục đích nhiệm vụ đề tài, q trình nghiên cứu, tơi sử dụng nhóm phương pháp sau: Nghiên cứu loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài Phương pháp quan sát (công việc dạy - học giáo viên HS) Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ Trang chun mơn,…) Phương pháp đàm thoại vấn (lấy ý kiến giáo viên HS thông qua trao đổi trực tiếp) Phương pháp thực nghiệm Nội dung 2.1 Cơ sở lý luận sáng kiến kinh nghiệm Chương trình tốn học kỳ lớp 11, tập trung vào phần tỉ lệ đoạn thẳng, tỉ lệ diện tích 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Phân môn hình học tốn phân mơn khó, đặc biệt với chun đề hình học khơng gian lại "món khó nuốt" với nhiều học sinh Các học sinh có kiến thức khơng đồng đều, điều kiện vùng nơng thơn khó khăn nên việc tự học, tự trau dồi kiến thức học sinh nhiều hạn chế Trong chương trình phổ thơng, thời lượng dạy hình học khơng gian cịn ít, thời lượng lý thuyết thực hành Với nhiều học sinh, từ bước ban đầu vẽ hình, xác định điểm… cịn sai sót Với tập định tính lại khó với đa số học sinh kết thường số không "đẹp" Do để dạy hình học khơng gian, giáo viên cần tận tình, chậm rãi có phương pháp phù hợp với đối tượng học sinh để nâng cao chất lượng dạy Đề tài phần nhỏ tốn định lượng: tính tốn, so sánh đại lượng hình học Thơng qua đề tài, tác giả hướng tới mục đích “đơn giản hóa” tốn hình học khơng gian, tìm hướng tiếp cận để nâng cao chất lượng Đồng thời, qua đề tài ''Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh tiếp cận toán tỉ lệ hình học khơng gian lớp 11", tác giả có mục đích phát triển số tốn từ tốn hình học phẳng 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Đề tài tập trung vào số toán có sử dụng tỉ lệ đoạn thẳng, diện tích hình Bằng cách đưa toán dẫn dắt từ mức độ bản, nâng dần độ khó để học sinh tiếp cận tốn dễ dàng Nội dung đề tài chủ yếu tập trung phần quan hệ song song lớp 11 Đề tài sử dụng để hỗ trợ tốn thể tích khối đa diện A TĨM TẮT LÝ THUYẾT Trong phần này, người viết nêu số định lý sử dụng đề tài Để đề tài cô đọng, người viết xin phép Trang lược bỏ chứng minh định lý Độc giả thấy chứng minh định lý mục tài liệu tham khảo Định lý Thales Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Định lý Menelauyt ABC M N P Cho tam giác Các điểm , , chia m n p AB BC CA đoạn thẳng , , theo tỉ số , , (đều mnp = 1 M N P khác ) Khi , , thẳng hàng Định lý: (về tỉ số đồng dạng) A′B′C ′ ABC Hai tam giác đồng dạng với theo tỉ số S ABC = k S A′B′C′ k diện tích B MỘT SỐ BÀI TỐN I Một số tốn sử dụng định lý Talet Phương pháp chung để xác định tỉ lệ xét riêng đoạn thẳng, hình … mặt phẳng, sử dụng định lý, tính chất hình học phẳng để tìm kết Tuy nhiên, việc xác định mặt phẳng cần xét tỉ lệ lúc đơn giản, cần có cách tiếp cận tốn từ đơn giản Xét toán sau: ABCD BC M Bài 1: Cho tứ diện Điểm trung điểm Điểm AN =2 (α) DN N AD M N thuộc cho Mặt phẳng qua , song song với Ta có AB Tính tỉ số (α) chia Lời giải M AC (α) điểm chung AB ⊂ ( ABC ) ( ABC ) ( ) ÔÔAB Mt khác nên (α) ( ABC ) giao tuyến đường thẳng AC M AB H qua , song song với , cắt Trang BD Áp dụng định lý Talet tam giác ABC (α) HA MB = =1 HC MC , suy ( ABD ) đường thẳng Lập luận tương tự, giao tuyến N AB BD K qua , song song với , cắt KB NA = =2 KD ND ABD Áp dụng định lý Talet tam giác , ta Đây toán thường gặp nhiều tài liệu Để giải toán 1, ta nên dẫn dắt toán sau: ABCD M Bài tập dẫn dắt 1: Cho tứ diện Điểm trung điểm AN =2 (α) BC N DN AD Điểm thuộc cho Mặt phẳng qua (α) ( ABC ) M N AB , song song với Giao tuyến N AB A đường thẳng qua song song với M AB B đường thẳng qua song song với MN C đường thẳng CD M D đường thẳng qua song song với Đáp án: Chọn B ABCD M Bài tập dẫn dắt 2: Cho tứ diện Điểm trung điểm AN =2 (α) BC N DN AD Điểm thuộc cho Mặt phẳng qua M N AB , song song với Thiết diện hình chóp cắt (α) A tam giác B tứ giác khơng có cặp cạnh song song C hình thang D hình bình hành Đáp án: Chọn C Cũng từ tập phát triển thành tập có độ khó lớn để kiểm tra khả tính tốn học sinh Trang Cho tứ diện ABCD có tất cạnh BC N a M AD Điểm trung điểm Điểm thuộc AN =2 (α) DN M N AB cho Mặt phẳng qua , song song với (α) Tính chu vi thiết diện hình chóp cắt 5 5  + 13  5 13  13  13   + ÷a  + ÷a  ÷a  + ÷a 6         A B C D Hướng dẫn: Bài tập phát triển 1: Sử dụng cách tính Bài 1, thiết diện cần tìm hình thang a a NH = AB = MH = AB = 3 MHNK 2 với , ∆ANH Áp dụng định lý cosin , ta có 13a NH = AN + AH − AN ×AH ×cos ·NAH = 13a MK = Tương tự Chọn D ABCD M Bài tập phát triển 2: Cho tứ diện Điểm trung điểm AN =2 (α) BC N DN AD Điểm thuộc cho Mặt phẳng M N AB qua , song song với Tính diện tích thiết diện (α) hình chóp cắt Trang 5 51a 144 A Hướng dẫn: B 51a 72 C 51a 72 D 51a 144 Sử dụng cách tính Bài 1, thiết diện cần tìm hình thang a a NH = AB = MH = AB = MHNK 3 2 với , ∆ANH Áp dụng định lý cosin , ta có 13a NH = AN + AH − AN ×AH ×cos ·NAH = 13a MK = Tương tự MHNK Tứ giác hình thang cân Chọn A Thêm tốn tính tỉ số hai đoạn thẳng ABCD M I N Bài 2: Cho tứ diện Các điểm , , trung AB AD DC BD K điểm cạnh , , điểm cạnh OI ( CMN ) O OK IK Xác định giao điểm Tính tỉ số Lời giải Trang ( ACD ) CM G AI giao điểm , suy ACD trọng tâm tam giác CN H BI H Tương tự, gọi giao điểm trọng tâm ∆BCD GI HI = = ⇒ GH //AB GA HB Do Trong Trong Khi ( IAB ) , gọi G , hai đường thẳng IK GH cắt O ∈ IK ⇒ O = IK ∩ ( CMN )  O ∈ GH , GH ⊂ CMN ( )  Tam giác IAB GH //AB ⇒ có OI GI HI = = = OK GA HB O □ ( IAB ) OI OK Việc xác định đoạn thẳng , thuộc mặt phẳng khơng khó, vấn đề lại xác định yếu tố song song để dùng định lý Talet Đối với này, tơi có dẫn dắt toán sau ABCD M I N Bài tập dẫn dắt 1: Cho tứ diện Các điểm , , DC G AD BD H trung điểm cạnh , , Các điểm , DAC DBC trọng tâm tam giác Xác định giao tuyến ( IAB ) ( CMN ) hai mặt phẳng GH AB A Đường thẳng B Đường thẳng GI HI C Đường thẳng D Đường thẳng Đáp án: A Trang ABCD M I K N Cho tứ diện Các điểm , , , lần G H AD DC BA BD lượt trung điểm cạnh , , , Các điểm , DAC DBC trọng tâm tam giác Giao tuyến ( IAB ) ( CMN ) hai mặt phẳng đường thẳng I A qua M B qua AB C song song với CD D song song với Đáp án: C Bài tập dẫn dắt 2: ABCD M I K N Cho tứ diện Các điểm , , , lần DC G AD BA BD H lượt trung điểm cạnh , , , Các điểm , DAC DBC trọng tâm tam giác Giao tuyến ( IAB ) ( CMN ) IAB hai mặt phẳng chia tam giác thành hai phần Tính tỉ số diện tích phần nhỏ phần lớn 1 9 A B C D Hướng dẫn: Bài tập phát triển 3: Cách giải Bài 2, với ý hai tam giác S IGH S IGH 1 = = S ABHG S IAB − S IGH đồng dạng theo tỉ số , Chọn C Trang IGH IAB ABCD I K Cho tứ diện Các điểm , , DC BA ABCD M N trung điểm cạnh , tứ diện Các điểm , DM DN = = DA DB DA DB thuộc , cho Xác định giao điểm OI ( CMN ) O OK IK Tính tỉ số 1 3 11 A B C D Chọn A Tỉ số hai đoạn thẳng khơng thuộc mặt phẳng mà "ẩn" giả thiết đề Sau ví dụ S ABCD ABCD G Bài 3: Cho hình chóp có đáy hình bình hành SAD SAB M trọng tâm tam giác , tam giác Lấy điểm GM AB = AM AD AB cạnh cho Tính tỉ số Bài tập phát triển 4: Lời giải BC AD G ′ trung điểm đoạn thẳng , trọng tâm SBC tam giác SG SG ′ = = SJ SI Theo tính chất trọng tâm, ta có GG ′ SG SG ′ = = = ∆SGG ′ ∆SJI IJ SJ SI GG ′//JI Vì đồng dạng với nên Gọi I , J Trang Do GG ′ = BM = GG ′BM hình bình hành (vì MG = BG ′ = BN Suy Vì AD = BC tam giác SBC nên AB GG ′//MB ) MG BG ′ BN 3 = = = = AD BC 3BC ×2 □ S ABCD (mức độ 2) Cho hình chóp có đáy ABCD G SAD hình bình hành trọng tâm tam giác Lấy GG ′ AB = AM AB M AB điểm cạnh cho Tính tỉ số GG ′ GG ′ GG ′ GG ′ = = =1 = AB AB AB AB A B C D Chọn B BG ′ BC Trong tốn trên, tỉ số cần tìm thực tỉ số tam giác bị "ẩn" tính chất song song Việc dẫn dắt tốn nhỏ dẫn đến việc tính tỉ số đoạn thẳng tam giác Bài toán thiết diện dạng toán học sinh lớp 11 Sử dụng tỉ lệ để biện luận hình dạng thiết diện bắt buộc học sinh nắm vững cách tính tỉ lệ mặt phẳng, đồng thời phải tư trường hợp xảy khơng gian S ABCD ABCD Bài 4: Hình chóp có đáy hình thang với đáy AB = 3CD BC N M BD Điểm trung điểm , thuộc đoạn thẳng ( P) B D M N (không trùng với ) Mặt phẳng qua , song BN SD BD song với Xác định giá trị lớn để thiết diện ( P) hình chóp cắt tam giác Lời giải Bài tập dẫn dắt 3: Trang 10 Cho hình chóp S ABCD Trang 13 có đáy ABCD hình ( P) AB = 3CD M thang với đáy Điểm trung điểm Mặt phẳng ( SAD ) M qua song song với Thiết diện hình chóp cắt ( P) SAD Ψ Ψ hình Tỉ số diện tích tam giác 1 9 A B C D Hướng dẫn FMG MG //AD Thiết diện tam giác có , FN //SD FG //SA , FGN SAD Tam giác đồng dạng với theo tỉ số NM = NG , tỉ số Chọn B Các toán dẫn dắt giúp học sinh nắm trường hợp xảy thiết diện Việc tính tốn cịn lại nằm ( ABCD ) mặt phẳng , tốn cịn tính tốn hình học phẳng Ngồi việc xác định hình dạng thiết diện, diện tích thiết diện dạng tốn thường gặp S ABCD ABCD Bài tập dẫn dắt 2: Cho hình chóp có đáy hình (α) AB = 2CD M thang có cạnh đáy Mặt phẳng qua cạnh ( SAB ) AD song song với mặt phẳng Thiết diện hình chóp (α) cắt A tam giác B hình bình hành C hình thang D ngũ giác Chọn C S ABCD Bài tập dẫn dắt 3: (mức độ 3) Cho hình chóp có đáy (α) ABCD AB = 2CD hình thang có cạnh đáy Mặt phẳng Bài tập phát triển 5: M ( SAB ) AD qua cạnh song song với mặt phẳng Đặt DM =x (α) CD SC SD N AD Mặt phẳng cắt cạnh , , , PQ Q x P AB Tính tỉ số theo x 1− x x x 1− 2 A B C D Chọn A Các toán dẫn dắt để giải Bài S ABCD ABCD Bài 5: Cho hình chóp có đáy hình thang có S0 AB = 2CD SAB cạnh đáy Gọi diện tích tam giác Mặt phẳng (α) ( SAB ) M AD qua cạnh song song với mặt phẳng DM =x x AD Đặt Xác định để diện tích thiết diện hình chóp (α) SAB nửa diện tích Lời giải  M ∈ ( α ) ∩ ( ABCD )  ( α ) // ( SAB )  ( ABCD ) ∩ ( SAB ) = AB (α) ( ABCD ) nên giao tuyến BC N M AB đường thẳng qua , song song với , cắt Vì Trang 14 (α) ( SAD ) MQ //SA Q ∈ SD , ; giao Tương tự, giao tuyến (α) ( SBC ) NP //BC P ∈ SC tuyến , S ABCD (α) Thiết diện hình chóp cắt hình thang MNPQ MN PQ AB CD có hai đáy , (cùng song song với , ) MQ BC J I AD Gọi giao điểm , giao điểm NP S I J Khi , , thẳng hàng JQP JMN SAB Dễ dàng nhận thấy tam giác , đồng dạng với MN IM ID + DM DA + xDA x + = = = = AB IA DA DA Ta có S JMN  x +  = ÷ S SAB   Suy PQ PQ CD MN SQ CD MN AM AB MN = × × = × × = × × AB CD MN AB SD MN AB AD MN AB = AD − DM 1 × = (1− x) AD 2 S JPQ Suy Suy S SAB 1  =  (1− x)  2  2 1 S MNPQ = S JMN − S JPQ =  ( x + 1) − ( − x )  ×S SAB 4  1 1 2 ( x + 1) − ( − x ) = ⇒ x = 4 2 x Ta cần tìm dương để □ Đối với học sinh khối 11, hình lăng trụ khái niệm Các toán hình lăng trụ nên tiếp cận nhẹ nhàng, nâng dần mức độ ABC A′B ′C ′ I J K Bài tập dẫn dắt 4: Cho hình lăng trụ Gọi , , lần ABB′A′ ACC ′A′ BCC ′B′ lượt tâm hình bình hành , , Tìm Trang 15 giao tuyến hai mặt phẳng AI A đường thẳng AK C đường thẳng Chọn C ( ABC′) ( ACB′) B đường thẳng AJ ′ AA D đường thẳng ABC A′B ′C ′ (mức độ 2) Cho hình lăng trụ Gọi G, G ′ ∆ABC ∆A′B ′C ′ trọng tâm tam giác Ba ( ABC′ ) ( BCA′) ( CAB′) giao tuyến hai ba mặt phẳng , , O GG′ A đồng quy thuộc B đôi song song ( A′B′C ) O C đồng quy thuộc D trùng Chọn A ABC A′B ′C ′ Bài tập dẫn dắt 6: (mức độ 3) Cho hình lăng trụ Gọi G, G ′ ∆A′B ′C ′ ∆ABC trọng tâm tam giác Ba ( ABC′ ) ( BCA′) ( CAB′) giao tuyến hai ba mặt phẳng , , OG O OG ′ đồng quy Tính tỉ số 3 A B C D Chọn D Bài tập dẫn dắt 5: G, G′ ABC A′B ′C ′ Cho hình lăng trụ Gọi trọng ∆A′B ′C ′ ∆ABC tâm tam giác Chứng minh mặt ( ABC ′) , ( BCA′) ( CAB′) O phẳng có điểm chung đoạn OG GG ′ OG ′ Tính Lời giải Bài 6: Trang 16 Gọi I,K hai tâm hình bình hành  ( A′BC ) ∩ ( B′AC ) = CI   ( B′AC ) ∩ ( C ′AB ) = AK ABB′A′ BCC ′B ′ Ta có CI , AK ∆B′AC Do hai đường trung tuyến tam giác nên O ∆B′AC O chúng cắt trọng tâm tam giác , suy ( ABC ′) , ( BCA′) , ( CAB′) điểm chung ba mặt phẳng E, E′ G, G′ BC B′C ′ Gọi trung điểm AE , A′E ′ GG ′//EE ′ nằm đoạn AG AO = = ⇒ OG //EE ′//GG ′ ⇒ O ∈ GG ′ AE AK Mặt khác 1 OG ′ = GG ′ ⇒ OG = EK = EE = ′ ′ ( AEE A ) 3 OG ′ Trong mặt phẳng ta có Để giải tốn trên, tơi dùng số tập dẫn dắt ABC A′B′C ′ I Bài tập dẫn dắt 7: Cho hình lăng trụ Gọi trung BC M AI ( α ) M điểm trung điểm mặt phẳng qua (α) AC ′ B′C song song với đường thẳng , Tính tỉ số chia cạnh ′ CC Trang 17 A Chọn D B C Cho hình lăng trụ Bài tập dẫn dắt 8: BC AI D ABC A′B ′C ′ (α) Gọi I trung M trung điểm mặt phẳng qua AC ′ B′C song song với đường thẳng , Thiết diện lăng trụ điểm M (α) A tam giác B hình bình hành C hình thang D ngũ giác Chọn D Yếu tố song song sử dụng tốn làm việc tính tốn trở nên đơn giản Chỉ cần thay đổi yếu tố song song, tốn trở nên khó khăn Việc tính tốn lúc khơng cịn đơn giản Một số định lý giúp việc tính tỉ lệ nhanh chóng định lý Menelauyt Định lý khơng có sách giáo khoa bản, có sách tập nhiều tài liệu tham khảo khác II Một số toán sử dụng định lý Menelauyt Với toán dùng định lý Menelauyt, tơi thường dẫn dắt hình học phẳng MA =x ABC MB M ∈ AB Bài tập dẫn dắt 1: Cho tam giác , điểm thỏa , PA HB =y =z P ∈ AC PC H ∈ BC HC I điểm thỏa thỏa giao điểm IA IH AH MP Tính tỉ số Trang 18 Sau số ví dụ M I K AD DC Bài 7: Cho , , trung điểm cạnh , , ABCD N BN = ND AB BD tứ diện Điểm thuộc cạnh cho OI ( CMN ) O OK IK Xác định giao điểm Tính tỉ số Lời giải Vì G trọng tâm ∆SAC nên IG = IA IBC Sử dụng định lý Menelauyt tam giác ba điểm IH BN DC IH ND × × =1⇒ = = C H N HB ND CI HB BN , , ta ( IAB ) GH P AB Trong mặt phẳng , gọi giao điểm IAB Sử dụng định lý Menelauyt tam giác ba điểm IH BP AG BP × × =1⇒ =1 HB PA GI PA P H G , , ta IKB Tiếp tục sử dụng định lý Menelauyt tam giác O P H ba điểm , , ta IH BP KO OI IH BP 3 × × =1⇒ = × = × = HB PK OI OK HB PK 2 S ABCD ABCD Bài 8: Cho hình chóp với đáy hình thang, đáy CD = AB SCD SBC M N Gọi , trọng tâm tam giác Trang 19 Gọi K giao điểm với mặt phẳng Lời giải I , trung điểm CD ( AMN ) Trang 20 BC Tính tỉ số N , SM SN = = SCD SBC MN //IJ SI SJ trọng tâm tam giác nên ( ABCD ) AC IJ L Trong mặt phẳng , gọi giao điểm ( SAC ) ( SIJ ) SL Giao tuyến hai mặt phẳng , giao điểm SL MN H ( SAC ) SC K AH Trong mặt phẳng , gọi giao điểm CL CJ = = IJ BCD CO CB Vì đường trung bình nên , với O = AC ∩ BD CA = AL Suy SLC Áp dụng định lý Menelauyt với tam giác ba điểm A, H , K thẳng hàng ta SK CA LH SK AL HS × × =1⇔ = × = ×2 = KC AL HS KC CA LH 3 III Một số kết đặc biệt Gọi J SC SK SC Vì M S ABCD O Hình chóp có đáy hình bình hành tâm Mặt ( P) SA SB SC SD SO H M K N I phẳng cắt , , , , , , , , SA SC SB SD SO + = + =2 SH SK SM SN SI Bài 9: Chứng minh: SO HK MN I Ta có đường thẳng , , đồng quy SAC Xét tam giác AA′//HK CC ′//HK kẻ , kẻ ∆OCC ′ = ∆OAA′ A′O = OC ′ Suy , SA SA′ SO − A′O SC SC ′ SO + OC ′ = = = = SH SI SI SK SI SI Ta có , SA SC SO − A′O + SO + OC ′ SO + = =2 SH SK SI SI Do Từ A Trang 21 Tương tự SB SD SO + =2 SM SN SI (đpcm) S ABCD ABCD AD //BC Bài 10: Cho hình chóp , đáy hình thang ( ABCD M ) Gọi điểm di động bên hình thang Qua SA SB M vẽ đường thẳng song song với , cắt ( SBC ) ( SAD ) N P mặt phẳng theo thứ tự N P a) Nêu cách dựng điểm , SM MB + SA SB b) Chứng minh khơng đổi MNP M c) Tìm tập hợp điểm cho diện tích tam giác lớn Lời giải N P * Dựng điểm , I = AM ∩ BC E = BM ∩ AD Gọi , SI = ( SAI ) ∩ ( SBC ) SE = ( SBE ) ∩ ( SAD ) Khi , M ∈ ( SAI ) d1 SA M Gọi đường thẳng qua song song , nên ( SAI ) d1 d1 N nằm mặt phẳng , suy giao điểm ( SBC ) d1 SI giao điểm ( SAD ) d2 M Tương tự giao điểm đường thẳng qua song d2 SB SE song giao điểm với MN MP + SA SB * Chứng minh không đổi Trang 22 Xét tam giác SAI ta có MN //SA , suy MN IM = SA IA MP EM = SB EB MP //SB , ta có , suy ABCD Xét hình thang , ta có: IM BI IM BI IM BI = ⇒ = ⇒ = MA AE MA + IM AE + BI IA AE + BI Xét tam giác SBE EM EA EM EA EM EA = ⇒ = ⇒ = MB BI MB + EM BI + EA EB BI + EA Suy MN MP IM EM BI EA BI + EA + = + = + = =1 SA SB IA EB AE + BI BI + EA BI + EA MNP M * Tìm tập hợp điểm cho diện tích tam giác có giá trị lớn 1 · · S MNP = MN ×MP ×sin PMN = MN ×MP ×sin ASB 2 sin ·ASB S MNP MN ×MP Vì số nên lớn lớn Ta có MN MP MN MP 1= + ≥2 × ⇒ MN ×MP ≤ SA ×SB SA SB SA SB MN ×MP = MN MP IM AM SA ×SB ⇔ = ⇔ = ⇔ MI = MA SA SB IA AI ⇔M ABCD nằm đường trung bình hình thang 1 max S MNP = × ×SA ×SB ×sin ·ASB = SSAB 4 Vậy ABCD ⇔ M Tập hợp đường trung bình hình thang S ABC O Bài 11: Cho hình chóp Gọi điểm bên tam O SA giác Qua dựng đường thẳng song song với , SB SC SBC SAB A′ B′ C ′ , cắt mặt , theo thứ tự , , Trang 23 OA′ OB′ OC ′ + + SA SB SC a) Chứng minh tổng có giá trị khơng đổi O ABC di động bên tam giác O OA′ ×OB′ ×OC ′ b) Xác định vị trí điểm để tích đạt giá trị lớn Lời giải A′ B′ C ′ * Đầu tiên, xác định vị trí , , ( SAE ) AO BC O E Gọi giao điểm Trong mặt phẳng , từ SA SE A′ B′ kẻ đường thẳng song song với , cắt Các điểm , C′ xác định tương tự OA′ OB′ OC ′ + + SA SB SC * Chứng minh có giá trị khơng đổi OA′ EO = SAE SA EA Áp dụng định lí Ta-lét vào tam giác ,ta có OB ′ MO OC ′ KO = = SB MB SC KC M = OB ∩ AC Tương tự, ta có: , , K = OC ∩ AB , ′ OA OB′ OC ′ EO MO KO + + = + + SA SB SC EA MB KC Suy ABC OI AH Dựng đường cao tam giác đường cao OBC tam giác , ta có: Trang 24 ABC Diện tích tam giác Diện tích tam giác SOBC OI = S ABC AH Suy ra: Mặt khác OBC S ABC = : SOBC = : AH ×BC OI ×BC ( 1) OI EO = AH EA OI //AH ( 2) nên có SOBC EO = S ABC EA ( 1) ( 2) Từ suy ra: MO SOAC KO SOAB = = MB S ABC KC S ABC Tương tự, ta có: , OA′ OB′ OC ′ EO MO KO SOBC + SOAC + SOAB S ABC + + = + + = = =1 SA SB SC EA MB KC S ABC S ABC Vậy * Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có OA′ OB′ OC ′ OA′ ×OB′ ×OC ′ SA.SB.SC 1= + + ≥ 33 ⇒ OA′ ×OB′ ×OC ′ ≤ SA SB SC SA ×SB ×SC 27 OA′ ×OB′ ×OC ′ = SA ×SB ×SC OA′ OB ′ OC ′ EO MO KO ⇔ = = = ⇔ = = = 27 SA SB SC EA MB KC ⇔ SOBC = SOAC = SOAB = S ABC ⇔O Vậy ABC trọng tâm tam giác SA ×SB ×SC max ( OA′ ×OB′ ×OC ′) = 27 đạt O ABC trọng tâm tam giác 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Đề tài kiểm nghiệm năm học giảng dạy lớp 11, học sinh đồng tình đạt kết quả, nâng cao khả giải tốn hình Các em hứng thú học tập hơn, lớp có hướng dẫn kỹ em học sinh với mức học trung bình, trở lên có kỹ giải tập khó khơng cịn Trang 25 sợ hình khơng gian Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt Cụ thể lớp khối 11 sau áp dụng sáng kiến vào giảng dạy số HS hiểu có kỹ giải dạng tốn nói trên, kết qua kiểm tra thử sau:năm học 2021-2022, lớp thực dạy áp dụng theo sáng kiến kinh nghiệm lớp 11B1, lớp học tương đương không áp dụng sáng kiến kinh nghiệm lớp 11B6, sau làm kiểm tra thu kết sau : Năm học Lớp Tổng số 2021-2022 11B6 11B1 42 42 Điểm trở lên Số Tỷ lệ lượng 20 4% 45% Điểm từ đến Số lượn Tỷ lệ g 15 36% 20 45% Điểm Số Tỷ lệ lượng 25 60% 10% 01 giải học sinh giỏi cấp tỉnh (khối 11 thi với lớp 12 năm học 2021-2022) Như vậy, thấy phương pháp có hiệu cao Theo tơi dạy phần tốn hình học khơng gian dạng tốn tỉ lệ giáo viên cần định hướng dẫn dắt học sinh tiếp cận mạch kiến thức từ dễ đến khó rõ dạng tốn cách giải tương ứng để học sinh nắm tốt Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận Hình học khơng gian phân mơn khó với đa số học sinh, khó khăn việc tính tốn đại lượng liên quan Việc nâng cao chất lượng mơn học cần giáo viên có kinh nghiệm giảng dạy, có đam mê với cơng việc tận tình với học sinh Đề tài giúp học sinh biết quy lạ quen, có góc nhìn tổng quan, biết áp dụng kiến thức học để giải tình khác Đề tài nêu phương pháp để dẫn dắt toán tỉ lệ hình học khơng gian Đề tài mở hướng để giúp học sinh tiếp cận tốt tốn tính tỉ lệ thể tích – dạng toán thường xuyên gặp kỳ thi Tốt nghiệp Trung học phổ thông năm gần Dù cố gắng nghiên cứu đúc kết số kết quả, nhiên thời gian nghiên cứu áp dụng hạn chế nên đề tài chắn nhiều thiếu sót Rất mong đồng nghiệp độc giả góp ý để đề tài hồn thiện Đồng thời tác giả mong muốn cấp lãnh đạo, đồng nghiệp nghiên cứu chỉnh lý, bổ sung bất cập triển khai có hiệu số ý tưởng đề tài, nhằm nâng cao chất lượng dạy Trang 26 học 3.2 Kiến nghị Sở giáo dục đào tạo tổ chức buổi tập huấn chuyên đề để giáo viên có hội trao đổi, học hỏi lẫn Ban giám hiệu nhà trường quan tâm, động viên, khuyến khích, tạo điều kiện để chuyên đề ứng dụng thực tế nhiều Giáo viên thường xuyên trao đổi, dự để học hỏi, tìm biện pháp dạy học phù hợp Ln quan tâm học sinh, nắm bắt khó khăn học sinh để giúp em học tập tốt Trang bị thêm thiết bị, đồ dùng dạy học hỗ trợ dạy học phân mơn hình học khơng gian Trên đề tài sáng kiến trình giảng dạy Xin cảm ơn Ban giám hiệu, tổ mơn Tốn , cơng đồn, đồn TNCS Hồ Chí Minh trường THPT Thạch Thành giúp đỡ tơi hồn thành đề tài Rất mong góp ý cấp lãnh đạo ngành, đồng nghiệp để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn./ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 21 tháng năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Trương Thị Tuyến Trang 27 ... gian, tìm hướng tiếp cận để nâng cao chất lượng Đồng thời, qua đề tài ' 'Một số kinh nghiệm hướng dẫn học sinh tiếp cận tốn tỉ lệ hình học khơng gian lớp 11" , tác giả có mục đích phát triển số tốn... dẫn đến việc tính tỉ số đoạn thẳng tam giác Bài toán thiết diện dạng toán học sinh lớp 11 Sử dụng tỉ lệ để biện luận hình dạng thiết diện bắt buộc học sinh nắm vững cách tính tỉ lệ mặt phẳng, đồng... kinh nghiệm lớp 11B6, sau làm kiểm tra thu kết sau : Năm học Lớp Tổng số 2021-2022 11B6 11B1 42 42 Điểm trở lên Số Tỷ lệ lượng 20 4% 45% Điểm từ đến Số lượn Tỷ lệ g 15 36% 20 45% Điểm Số Tỷ lệ