(SKKN 2022) Ứng dụng phương pháp tọa độ véc tơ vào việc giải các bài toán đại số

MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU I Lý chọn đề tài II Mục đích nghiên cứu III Nhiệm vụ nghiên cứu IV Đối tượng nghiên cứu V Phương pháp nghiên cứu PHẦN 2: NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM “ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ VÀO VIỆC GIẢI CÁC Trang 2 2 2 BÀI TỐN ĐẠI SỐ ” I Cơ sở lý luận II.Tình hình thực tế trước thực đề tài III Các dạng tốn phương pháp giải Tính chất Các dạng toán phương pháp giải Vấn đề 1: Dạng tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình a) Dạng tốn giải phương trình b) Bất phương trình c) Hệ phương trình Vấn đề : Dạng toán chứng minh bất đẳng thức Vấn đề : Bài toán cực trị PHẦN 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG PHẦN 4: KẾT QUẢ THỰC HIỆN PHẦN 5: KẾT LUẬN 3 3 4 10 11 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHẦN 1: MỞ ĐẦU I lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thông, nội dung kiến thức Tốn học trang bị cho học sinh khơng bao gồm khái niệm, định lí, qui tắc mà cịn kĩ phương pháp Vì vậy, hệ thống tri thức khơng có giảng lí thuyết mà cịn có tập tương ứng Dạy học giải tốn có vai trị đặc biệt dạy học tốn trường phổ thơng Các tốn phương tiện có hiệu khơng thể thay việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ kỹ xảo Hoạt động giải toán điều kiện để thực tốt mục đích khác dạy học Tốn Các tốn đại số nói chung đặc biêt tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, bất đẳng thức tồn cực trị nói riêng Là dạng tốn khó thường xun có đề thi học sinh giỏi tỉnh, đề thi đại học cao đẳng năm trước đề thi THPT Quốc Gia Sẽ có nhiều phương pháp giải dạng toán phương pháp tọa độ véc tơ phương pháp hay giúp ta giải toán cách nhanh gọn hiệu mà đơi phương pháp đại số giải khó khăn phức tạp Để giúp em học sinh có cách nhìn mẻ có thêm phương pháp giải tốn tơi mạnh dạn đưa ý tưởng “ ứng dụng phương pháp tọa độ véctơ vào việc giải toán đại số ” Với nội dung SKKN tơi tập trung trình bày phương pháp tọa độ vectơ vào việc giải số toán : - Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình - Giải tốn bất đẳng thức - Giải tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ II Mục đích nghiên cứu - Giúp học sinh hiểu sâu phương pháp tọa độ - Giúp học sinh thấy tầm quan trọng lý thuyết Véctơ phương pháp tọa độ - Giúp học sinh hứng thú việc tiệm cận với mơn học hình học giải tích III Nhiệm vụ nghiên cứu - Giúp học sinh rèn luyện kĩ ứng dụng phương pháp vecto phương pháp tọa vào giải tốn IV Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu - Học sinh lớp 10,12, học sinh dự thi học sinh giỏi, thi vào trường Đại học - Kiến thức phương pháp véctơ phương pháp tọa đô cấp học lớp10 cấp học lớp 12 phổ thông trung học Phạm vị nghiên cứu : - Hình học lớp 10 lớp 12 phổ thơng trung học - Sách giáo khoa tài liệu tham khảo luyện thi đại học, tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi V Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp nghiên cứu thơng qua thực tiễn giảng dạy PHẦN - NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIÊM “ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ VÀO VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ” I Cơ sở lý luận Khái niệm véctơ Các phép toán véctơ Tọa độ điểm tọa độ véctơ Phương pháp tọa độ mặt phẳng Phương pháp tọa độ không gian II Tình hình thực tế trước thực đề tài Trong đề thi đại học, đề thi học sinh giỏi lớp 12 tỉnh, toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình bất đắng thức, toán cực trị … Đa số học sinh cịn lúng túng giải tốn Học sinh chưa biết phối hợp cách khéo léo phương pháp : phương pháp đại số, phương pháp hình học, phương pháp tọa độ vectơ tọa độ điểm v.v…để giải Và phương pháp ứng dụng tọa độ vectơ vào việc giải toán đại số với em lạ, đa số học sinh ứng dụng khơng có ý tưởng giải tốn Phương pháp tọa độ vec tơ giúp ta giải toán đại số cách nhanh gọn , hiệu mà phương pháp đại số ta phải giải khó khăn phức tạp Từ thực tế trên, Sau Tôi xin trình bày phương pháp tọa độ vectơ vào việc giải toán đại số đặc biệt dạng tốn về: giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình chứng minh bất đẳng thức, tốn cực trị chương trình cấp trung học phổ thơng hành III Các dạng toán phương pháp giải Tính chất Tính chất 1: Bất đẳng thức tam giác Cho tam giác ABC có độ dài cạnh BC , CA, AB tương ứng a, b, c Ta ln có : + b  c  a  b  c hay AC  AB  BC  AC  AB + AB  ( xB  x A )  ( y B  y A )2 Như ta chọn A,B,C có tọa độ thích hợp để giải tốn Tínhrchất 2:r Bất đẳng thức vectơ uu r Cho u  (a; b), v  ( x; y ), w  (m; n) Ta có r r r r r r u +  v  uv  u  v r r dấu xảy u , v phương  ax = by r r uu r r r uu r + uvw  u  v  w a b y  x r r uu r  dấu xảy u , v , w phương   m  n  y x rr r r r r + u.v  u v , dấu xảy u , v hướng Chú ý : Tính chất mở rộng khơng gian Các dạng toán phương pháp giải Vấn đề : Dạng tốn giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình a) Dạng tốn giải phương trình Bài : Giải phương trình: x 1 x  3 x  x2  (1) Cách giải :Nếu ta giải phương pháp đại số ta phải giải phức tạp nên ta tìm cách giải khác đơn giản cách phương pháp véctơ r r Ta đặt u(x;1) va v( 1 x; 3 x) với điều kiện:  x  r r r  u v Khi : (1) có dạng: uv r r Nên theo định nghĩa tính chất vơ hương u va v phương => x 3 x  Giải phương trình ta hai nghiệm là: x  x  + x Bài : Giải phương trình: x 1 x2  8 x2  x2   Cách giải Ta giải phương pháp véc tơ sau : r r Ta đặt u(x;1) va v( 1 x2 ; 8 x2 ) với điều kiện:   x  rr r r uv Khi ta có : x 1 x  8 x  x  (vì:  u v ) 2 Mà x2   x2   nên phương trình vơ nghiệm Vậy phương trình cho vơ nghiệm Bài : Giải phương trình (4  x) x    x  85  57 x  13x  x (1) Cách giải : Ta có : (1)  (4  x) x    x  (5  x)( x  x  17)  7  (4  x) x    x  (5  x)   x   1 , x  2;     2 r r rr Xét u    x;1 , v  x  2;  x  u.v  (4  x) x    x r r Và u  (4  x)  1, v  ( x  2)  (7  x)   x rr r r r r 4 x  Khi (1)  u.v  u v  cos u , v   x2  2x  (4  x) (7  x)  x   x  Vậy phương trình có nghiệm x      Bài : Giải phương trình : x  x   x  x  10  29 (1) Cách giải : điều kiện x  R (1)  ( x  1)  22  ( x  1)  32  29 r r r r Đặt u  ( x  1; 2)  u  ( x  1)  22 ; v  (  x  1;3)  v  ( x  1)  32 r r r r Suy u  v  (2;5)  u  v  29 r r r r r r Như ( )  u  v  u  v  u, v hướng  3( x  1)  2( x  1)   x  5 Vậy phương trình có nghiệm x  Bài 5: Cho phương trình : x2  x   x2  x   m Tìm m để phương trình có nghiệm 3 4 1 Xét mặt phẳng Oxy ta lấy : A (  ;0 ); B ( ;0 ) M ( x; ) 2 uuuu r uuur 3 Khi đó: AM  (x  ; )  AM  x2  x  BM  (x  ; )  BM  x2  x  2 2 Áp dụng tích chất vectơ ta có: AM  BM  AB  với M  m  Cách giải : Ta có: x2  x   x2  x   (x  )2   (x  )2  Thì ln tồn M để AM  BM  m nên để phương trình cho có nghiệm m  với m  phương trình ln có nghiệm b) Bất phương trình Bài 1: Giải bất phương trình : 2( x  3)  x   x   x  (1) Cách giải : Điều kiện : x  (1)  ( x  3)2  ( x  1)  x   x  r r r r Đặt u  ( x  3; x  1)  u  ( x  3)  ( x  1) , v  (1;1)  v  r r rr Suy u.v  x   x  u v  ( x  3)  ( x  1) r r u v  ( x  3)  ( x  1) r r rr r r (1)  u v  u.v  u, v hướng  x   x  giải phương trình ta nghiệm x  nghiệm bất phương trình x  Bài : Giải bất phương trình x   2x   50  3x  12 (1) 50 Cách giải : ĐK:  x  r r Đặt u  ( x  1; 2x  3; 50  3x ), v  (1;1;1) r r Ta có: u  48  v  r r rr Áp dụng đẳng thức vectơ u v  u.v ta có bất phương trình (1) ln thỏa mãn 50 x Vậy nghiệm (1) c) Hệ phương trình  x  y  Bài : Giải hệ phương trình   x   y   Đối với ngồi cách giải thơng thường đặt ẩn phụ, ta sử dụng phương pháp véc tơ sau: Điều kiện : x  0, y  r r u  x ; , v Xét     3y;  r r r r u Theo bất đẳng thức véc tơ :  v  u  v  3x   y   ( 3x  y )  (2 7)  3x   y   r r ( 3x  y  ) Dấu xảy u v hướng  x  y Thế vào phương trình (1) hệ ta x  y  Vậy hệ có nghiệm (3;3)  x  x  y   x  y  x  y   y  18 Bài : Giải hệ phương trình   x  x  y   x  y  x  y   y  2  x  x  y   Điều kiện :   y  x  y   (I)  x  y  r r  u  x ;3 , v   y;3 Theo bất đẳng thức véc tơ :   (I)  xét  x   y   10 r r r r u  v  u  v  x   y   ( x  y )  36  x   y   10 (do x  y  r r ) Dấu xảy u v hướng  x  y  ( Thõa mãn điều kiện) Vậy hệ có nghiệm (4;4)  x 12  y  y (12  x )  12 (1) Bài : Giải hệ phương trình  (2)  x  x   y  Cách giải : Điều kiện :  y  12, x  r   r Xét u  x; (12  x ) , v   12  y ; y  phương trình (1) có dạng rr r r r r u.v  u v  u , v hướng nên (1)  x y  (12  x ) 12  y  y  12  x , x  thay vào phương trình (2) Ta có : x3  x   10  x  x  x   2( 10  x  1)  ( x  3)( x  x  1)  2(9  x ) 10  x   2( x  3)   ( x  3)  x  x    10  x    x    x  x   2( x  3)  0(VN )  10  x  Với x= suy y = 3.Vậy hệ có nghiệm (x;y) = (3;3) 4  x  y  z  Bài : Giải hệ phương trình :  2  x  y  z  Cách giải : Gọi ( x0 ; yr0 ; z0 ) nghiệm tùy ý hệ có Xét hai vectơ sau r 2 không gian : u  ( x0 ; y0 ; z0 ), v  (1;1; 2) r r rr u  x0  y0  z0  1, v  , ta có u.v  x0  y0  z0  rr r r u.v Mặt khác : cos(u , v)  r r   (vô lý ) u.v Vậy hệ cho vô nghiệm Vấn đề : Dạng toán chứng minh bất đẳng thức Bài : cho a;b;c số thực Chứng minh: (a  c)2  b  ( a  c)  b  a  b Cách giải : Trênurmặt phẳng Oxy ta rđặtr r u  (a  c; b) v  (a  c; b) suy : u  v  (2a;2b) r r r r Ta có : u  v  u  v nên (a  c)  b  ( a  c)  b  a  b ( đpcm) Qua ta nhận thấy biến c không tham gia nhiều vào q trình chứng minh nên ta thay c biểu thức khác phức tạp tạo tốn cực trị tập giải bình thường  a  b  1 ab Bài : Cho a,b  R Chứng minh:   1 a2 1 b2     Cách giải :Ta thấy biểu thức mẫu có dạng độ dài véctơ nên ta nghĩ tới phương pháp véctơ Và tử có ab nên ta dùngrvéctơ không gian r Xét mặt phẳng Oxyz, ta đặt u  (1; a;0) va v  (1; b;0) r r Ta có u  1 a2 va v  1 b2 , Mà 1 ab r r  cos(u; v) 1 a2 1 b2 1 ab Nên Suy ra: 1 a2 1 b2 r r  sin(u; v), 1 a2 1 b2 r r r r r r a b  cos(u; v).sin(u; v)  sin2(u; v), 1 a2 1 b2  1 ab  a  b  1 a   1 b  a b  r r 1 sin2(u; v)  Đó đpcm 2 Bài : Chứng minh : a  2a   a  2a   (1) Cách giải : (1)  (a  1)2  22  (a  1)2  22  r r r r Đặt a  (1  a; 2), b  (a  1; 2)  a  b  (2; 4) r r r r Ta có : (a  1)  2  (a  1)  2  a  b  a  b  (đpcm) r r Dấu xảy : a; b hướng 1-a = a+1  a = Bài : Cho a,b,c > ab + bc + ca = abc Chứng minh a  2b b2  2c c  2a    ab bc ca Cách giải : r 1 2 r r 1  uu 1 r r uu r 1 2 1 2  Chọn u   ; ; v   ; ; w  a ; c   u  v  w  a  b  c ; a  b  c   b a  c b      Ta có ; 2 2 2 r r uu r r r uu r 1   1   1  2 1 1 u  v  w  u  v  w                       b  a   c   b   a   c  a b c   a  2b b  2c c  2a    ( đpcm ) ab bc ca Dấu xảy : a = b = c = 5 x  2; y  2; z  Bài : Chứng minh x   y   z   3, x, y, z   , x  y  z  r r Cách giải : Xét hai vectơ : u   1;1;1 v    r r Ta có u  3, v  5( x  y  z )   rr u.v  x   y   z  rr r r Áp dụng bất đẳng thức u.v  u v ta có x   y   z   3, x, y, z   r r Dấu xảy : u   1;1;1 , v  x  2; y  2; z  hướng    5y  5x  5z    x yz2 1 2 Bài : Chứng minh s inx   s in x + s inx  s in x  3, x  r r 2 u  sin x ;1;  sin x v Cách giải : Xét hai vectơ :  1;  sin x ;sin x rr r r Áp dụng bất đẳng thức u.v  u v ta có     sinx   s in x + sinx  s in x  sin x    sin x    sin x  sin x  3, x r r 2 u  sin x ;1;  sin x v Dấu xảy :  1;  sin x ;sin x     hướng sin x  sin x  sin x      sin x   sin x    x   k sin x 2  sin x sin x  2 Vấn đề : Bài toán cực trị Bài 1: Tìm giá trị lớn hàm số y  x    x Cáchr giải : ĐK:  x  3r Đặt u  ( x  1;  x ), v  (1;2) r r rr r r Ta có: u  v  áp dụng bất đẳng thức u.v  u v ta y  x    x  10 Suy max y  10 x    x  x  Bài : Tìm giá trị nhỏ biểu thức A  ( x  1)  y   x  ( y  1)  1, x, y r r r r Cách giải : Xét hai vectơ : u  ( x  1; y; 2), v  ( x;  y  1;1)  u  v  (1; 1;3) r r r r Do a  b  a  b ta có : A  ( x  1)2  y   x2  ( y  1)2   11 r r Dấu xảy : u  ( x  1; y; 2), v  ( x;  y  1;1) hướng x 1 y 2 Tức :  x   y    x   , y   Vậy A đạt giá trị nhỏ 11 x   , y   3 Bài :Tìm giá trị nhỏ hàm số : f (x)  a2  x2  a2  (c  x)2 a c tham số Cách giải : Ta thấy có có tổng bình phương nên ta nghĩ đên phương pháp véctơ r ur Xét mặt phẳng Oxy đặt u  (a; x) va v  (a; c  x) r r r r Khi u  v  a2  x2  a2  (c  x)2 u v  4a2  c2 r r r r u Áp dụng tính chất:  v  u v  a2  x2  a2  (c  x)2  4a2  c2 r ur c u  ( a ; x ) Dấu xảy v  (a; c  x) hướng nên c  x  x  x  c Vậy GTNN hàm số f(x) 4a2  c2 x  x 1 y 1 z    Bài :Cho hai điểm A (1;1;0), B (3;-1;4) đường thẳng  d  : 1 Tìm điểm M đường thẳng  d  cho MA  MB đạt giá trị nhỏ Cách giải : Do điểm M đường thẳng  d  , ta có : M  1  t ;1  t; 2  2t  Khi : MA  (2  t )2  t  (2  2t )2  6t  12t  MB  (4  t )  (t  2)  (6  2t )  6t  36t  56 Khi 2  1     2 MA  MB  6t  12t   6t  36t  56   (t  1)     (3  t )     3 3      r   r   Xét hai vectơ u   t  1; , v  3  t;  3 3   r r r r Ta có MA  MB  u  v  u  v  2     r   r   u  t  1; Dấu xảy khi  , v  3  t ;  hướng 3 3   t 1    t   M (1; 1; 2) Vậy điểm M cần tìm : M (1; 1; 2) 3t PHẦN 3: BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài 1: Giải phương trình x  x   x  12 x  25  x  12 x  29 Bài 2: Giải phương trình cos x   cos x  cos x  cos x  Bài 3: Giải phương trình x  x   x  x  13  Bài 4: Giải bất phương trình Bài 5: Giải hệ phương trình Bài 6: Giải hệ phương trình 54 x  5 x        x  y  10 x  24  y  24  14 x   y 1  x6  y4  Bài 7: Chứng minh x, y, z  ¡ *  ta có x  xy  y  x  xz  z  y  yz  z  3( x  y  z ) Bài 8: Chứng minh a, b, c, d  ¡ ta có ( a  c )  (b  d )  a  b  c  d Bài 9: Chứng minh x, y  ¡ ta có : Bài 10: Chứng minh a, b, c, x, y, z  ¡ ( x  y )(1  xy )  (1  x )(1  y ) ta có a  b  c  x2  y  z  (a  x )2  (b  y )2  (c  z )2 Bài 11: Tìm GTLN hàm số f (x, y)  x2  4y2  6x   x2  4y2  2x  12y  10  2008 10 Bài 12: Tìm GTNN hàm số f ( x, y )  x  y  x  12 y  37  x  y  x  y  18 Bài 13: Tìm GTLN hàm số f ( x)  ( x  6)  100  ( x  1)  Bài 14: Tìm GTNN hàm số f ( x)  x  px  p  x  2qx  2q ( p  q) PHẦN 4: KẾT QUẢ THỰC HIỆN Quá trình vận dụng sáng kiến kinh nghiệm thân đạt số kết khả quan, tích cực Qua lần kiểm tra – đánh giá, thấy tỉ lệ số học sinh giải tốn khó ngày tăng Từ học sinh chưa biết đến phương pháp vectơ biết ứng dụng kết hợp nhiều phương pháp để giải tập Kinh nghiệm tơi giúp em học sinh có thêm phương pháp giải tốn , giúp em có cách nhìn tổng quan trước lựa chọn phương pháp giải toán Giúp em học sinh linh hoạt việc giải tốn khó Các em khơng cịn lúng túng, e dè, lo ngại giải tập phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tập cực trị Đó nguyên nhân đến kết tương đối khả quan đợt khảo sát vừa qua Cụ thể: - Khi chưa áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 5.0 – 6.4 3.5 – 4.9 0.0 – 3.4 Tổng 8.0 – 10.0 6,5 – 7,9 Lớp Số SL % SL % SL % SL % SL % 12A1 42 2,4 4,8 10 23,8 11 26,2 18 42,8 Tổng 42 Trên TB: 13 chiếm 31% - Khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Tổng 8.0 – 10.0 6,5 – 7,9 Lớp Số SL % SL % 12A1 42 7,1 12 28,6 Tổng 42 5.0 – 6.4 SL % 15 35,7 Trên TB: 31 chiếm 71,4% Dưới TB 29 chiếm 69% 3.5 – 4.9 SL % 10 23,8 0.0 – 3.4 SL % 4,8 Dưới TB: 13 chiếm 28,6% PHẦN 5: KẾT LUẬN Việc sử dụng phương pháp tọa độ vectơ vào toán đại số phương pháp hay đem lại cho học sinh cách giải Phương pháp tọa độ vectơ thường áp dụng để giải toán đề thi đại học thi học sinh giỏi Qua 11 chuyên đề này, học sinh sẻ có nhiều kĩ kinh nghiệm việc giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình tốn bất đẳng thức nói riêng giải tốn đại số nói chung Đề tài tơi hẳn khơng thể trách khỏi thiếu xót Rất mong q thầy cơ, đơng nghiệp đọc đóng góp ý kiến cho tôi, để đề tài hoàn thiện Xin chân trọng cảm ơn! TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa lớp 10, lớp 12 THPT Nguồn internet Đề thi học sinh giỏi trường sở giáo dục nước 4.Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số - Phạm Trọng Thư XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hoá, ngày 15 tháng 05 năm 2022 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Đức Huy 12 ... NGHIÊM ? ?ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ VECTƠ VÀO VIỆC GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ” I Cơ sở lý luận Khái niệm véctơ Các phép toán véctơ Tọa độ điểm tọa độ véctơ Phương pháp tọa độ mặt phẳng Phương pháp tọa. .. phương pháp ứng dụng tọa độ vectơ vào việc giải toán đại số với em lạ, đa số học sinh khơng biết ứng dụng khơng có ý tưởng giải toán Phương pháp tọa độ vec tơ giúp ta giải toán đại số cách nhanh... có cách nhìn mẻ có thêm phương pháp giải tốn tơi mạnh dạn đưa ý tưởng “ ứng dụng phương pháp tọa độ véctơ vào việc giải toán đại số ” Với nội dung SKKN tơi tập trung trình bày phương pháp tọa độ