(SKKN 2022) hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập nội dung nguyên hàm, tích phân và ứng dụng, bám sát theo đề thi minh hoạ kỳ thi tốt nghiệp THPT của bộ GDĐT năm 2022

I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mỗi nội dung chương trình tốn phổ thơng có vai trị quan trọng việc hình thành phát triển tư học sinh Trong trình giảng dạy, giáo viên phải giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ tạo thái độ động học tập đắn Thực tế dạy học cho thấy cịn có nhiều vấn đề cần phải giải học sinh học nội dung nguyên hàm, tích phân, đa số học sinh học nội dung cịn yếu, chưa hình thành kỹ năng, kỹ xảo q trình giải tốn Năm học 2021- 2022, năm học mà ngành giáo dục phải chịu ảnh hưởng nặng nề đại dịch covid 19, có nhiều trường phải tổ chức dạy học trực tuyến cho học sinh Việc em không học trực tiếp ảnh hưởng phần đến việc rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo giải tốn nói chung giải tốn ngun hàm, tích phân nói riêng Từ khó khăn đó, giáo viên cần phải quan tâm nữa, nỗ lực để hướng dẫn em tiếp cận kiến thức hình thành kỹ năng, kỹ xảo học nội dung nguyên hàm, tích phân Nội dung nguyên hàm, tích phân ứng dụng phần quan trọng đề thi tốt nghiệp THPT qua năm, thường có đến câu hỏi trắc nghiệm khách quan, đủ mức độ xuất đề thi Để tạo điều kiện thuận lợi cho em, đặc biệt nâng cao chất lượng hiệu ôn tập nội dung này, viết đề tài SKKN ‘‘Hướng dẫn học sinh lớp 12 ôn tập nội dung nguyên hàm, tích phân ứng dụng, bám sát theo đề thi minh hoạ kỳ thi tốt nghiệp THPT Bộ GD&ĐT năm 2022 ” Vì nội dung hay quan trọng chương trình giải tích lớp 12, đặc biệt đề thi tốt nghiệp THPT qua năm nên có nhiều tài liệu sách viết nội dung này, có nhiều thầy giáo học sinh say sưa nghiên cứu học tập Tuy nhiên việc đưa hướng tiếp cận quy lạ quen toán nhiều sách tham khảo chưa đáp ứng cho người đọc Đặc biệt qua năm việc đề BGD&ĐT có nhiều đổi mới, có nhiều dạng tốn Chính vậy, việc đưa sáng kiến kinh nghiệm cần thiết em học sinh, đặc biệt em học sinh thuộc trường THPT đóng địa bàn trung du miền núi Mục đích nghiên cứu Qua nội dung đề tài này, mong muốn cung cấp cho học sinh nắm cấu trúc mức độ đề thi tốt nghiệp THPT, cách tiếp cận toán, quy lạ quen, đồng thời giúp cho học sinh số kiến thức, phương pháp kỹ bản, để học sinh giải tốn ngun hàm tích phân, hình thành cho em thói quen tìm tịi, tích lũy rèn luyện tư sáng tạo, giải toán đời sống xã hội, chuẩn bị tốt đạt kết cao kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2022 Đối tượng nghiên cứu Trong đề tài này, tập trung nghiên cứu định nghĩa số tính chất nguyên hàm, tích phân, nghiên cứu câu hỏi tích phân dạng trắc nghiệm khách quan, nghiên cứu ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng vận dụng tốn thực tế đời sống xã hội Phương pháp nghiên cứu Trong phạm vi đề tài, sử dụng kết hợp phương pháp như: phương pháp thống kê - phân loại; phương pháp phân tích - tổng hợp - đánh giá; phương pháp vấn đáp - gợi mở, nêu ví dụ; phương pháp diễn giải số phương pháp khác phương pháp quy lạ quen, sử dụng máy tính để hổ trợ tìm đáp án câu hỏi trắc nghiệm khách quan II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Khi giải tập toán, người học phải trang bị kỹ suy luận, liên hệ cũ mới, toán làm toán Các tiết hướng dẫn học sinh giải tập phải thiết kế theo hệ thống chuẩn bị sẵn từ dễ đến khó, nhằm phát triển tư cho học sinh q trình giảng dạy, phát huy tính tích cực học sinh Hệ thống tập giúp học sinh tiếp cận nắm bắt kiến thức nhất, từ phát triển khả tư duy, khả vận dụng kiến thức học cách linh hoạt vào giải toán trình bày lời giải tốn, học sinh có hứng thú động học tập tốt Trong trình giảng dạy nội dung nguyên hàm tích phân cho học sinh lớp 12 trường THPT Thạch Thành 2, thấy kỹ giải tốn học sinh cịn yếu, đặc biệt tốn vận dụng tích phân Do đó, q trình giảng dạy, giáo viên cần phải cho học sinh tiếp cận toán cách dễ dàng, quy lạ quen; giáo viên cần phải thiết kế trình tự giảng hợp lý để giảm bớt khó khăn việc giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kĩ năng, kĩ xảo lĩnh hội lĩnh kiến thức mới, xây dựng kỹ làm tập trắc nghiệm khách quan, từ đạt kết cao kiểm tra, đánh giá kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2022 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Nội dung nguyên hàm, tích phân phần kiến thức tương đối khó với học sinh nói chung, học sinh trường miền núi nói riêng Học sinh nhanh quên không vận dụng kiến thức học vào giải toán Trong kỳ thi tốt nghiệp THPT từ năm 2017 đến nay, nội dung đưa hình thức trắc nghiệm khách quan gắn liền với vấn đề thực tế đời sống xã hội Với tình hình ấy, để giúp học sinh định hướng tốt q trình giải tốn ngun hàm, tích phân, người giáo viên cần tạo cho học sinh thói quen cách tiếp cận tốn, khai thác yếu tố đặc trưng tốn để tìm lời giải, đặc biệt việc hình thành cho học sinh kỹ quy lạ quen, kỹ sử dụng máy tính bỏ túi, kỹ đọc hiểu tốn ứng dụng tích phân Đối với học sinh lớp 12, trường THPT Thạch Thành 2, học nội dung nguyên hàm tích phân, hầu hết em dừng lại việc nắm kiến thức bản, giải toán mức độ nhận biết thông hiểu, phần lớn em chưa biết vận dụng kiến thức, kỹ để áp dụng vào toán mức độ cao phức tạp hơn, đặc biệt tốn thực tế Chính vậy, tơi viết đề tài nhằm hỗ trợ thêm cho giáo viên hướng dẫn học sinh giải tốn ngun hàm, tích phân với cách tiếp cận dễ hơn, giúp học sinh có điều kiện hồn thiện phương pháp rèn luyện tư sáng tạo thân, chuẩn bị tốt cho kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2022 Các biện pháp thực 3.1 Một số kiến thức cần nhớ Tham khảo sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao – Nhà xuất Giáo dục Việt Nam 3.2 Các nội dung NỘI DUNG 1: NGUYÊN HÀM Câu 1: (Đề MH 2022) Trên khoảng ( 0;+∞ ) , họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = x A ∫ C ∫ 52 B ∫ f ( x ) dx = x + C 2 12 D ∫ f ( x ) dx = x + C 3 12 f ( x ) dx = x + C 2 52 f ( x ) dx = x + C Phân tích: Đây câu hỏi thuộc mức độ nhận biết, học sinh cần nhớ công thức bảng nguyên hàm hàm số thường gặp giải xα +1 α ngay, cụ thể cơng thức ∫ x = + C , α ≠ −1, khó khăn mà học sinh gặp phải α +1 câu hỏi việc α khơng ngun, phải thực phép tính phức tạp, lúc giáo viên cần hướng dẫn em cách sử dụng máy tính cầm tay để tính tốn Để rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo hình thành thói quen cho học sinh làm dạng câu hỏi Lời giải Chọn C 2 52 Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ x dx = x + C Nhận xét: Khi dạy học sinh dạng câu hỏi này, hầu hết em nắm cách giải Để giúp học sinh giải tốt hơn, đặc biệt việc rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo, phát triển thêm số câu hỏi sau MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN 3 Câu 1.1: Trên khoảng (0; +∞ ) , họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x − A C ∫ 14 f ( x)dx = x + C ∫ f ( x)dx = x + C − 74 B ∫ f ( x)dx = x + C 7 − 74 D ∫ f ( x)dx = x + C Câu 1.2: Họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x A C ∫ f ( x)dx = 43 x +C ∫ f ( x)dx = x +C B ∫ D ∫ 43 x +C 3 −2 f ( x)dx = − x + C f ( x)dx = Câu 1.3: Trên khoảng (0; +∞ ) , họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = A − x +C B +C x C − x x +C x D x +C x +1 Câu 1.4: Trên khoảng (0; +∞ ) , họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x − 32 f ( x ) dx = − x − x −2 + C ∫ ∫ 3 −3 C ∫ D ∫ f ( x)dx = − x − x −2 + C x+2 Câu 1.5: Trên khoảng (0; +∞ ) , họ nguyên hàm hàm số f ( x) = x 1 3 A ∫ f ( x)dx = x − x + C B ∫ f ( x)dx = x + x + C 3 1 3 C ∫ f ( x)dx = x + x + C D ∫ f ( x) dx = x + x + C A − 2 x − x −2 + C −3 f ( x)dx = − x + x −2 + C f ( x)dx = B Câu 2: (Đề MH 2022) Cho hàm số f ( x ) = + sin x Khẳng định đúng? A ∫ f ( x ) dx = x − cos x + C B ∫ f ( x ) dx = x + sin x + C C ∫ f ( x ) dx = x + cos x + C D ∫ f ( x ) dx = cos x + C Phân tích: Cũng giống câu hỏi 1, câu hỏi thuộc mức độ nhận biết, học sinh cần nhớ công thức bảng nguyên hàm hàm số thường gặp giải được, cụ thể công thức ∫ dx = ∫1dx = x + C xα +1 ∫ x = α + + C , α ≠ −1 sin kxdx = − cosx + C , k ≠ ∫ k cos kxdx = sinx + C , k ≠ ∫ k ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx , k ≠ α ∫  f ( x ) ± g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx ± ∫ g ( x ) dx , với f , g hai hàm số liên tục K Lời giải Chọn A Ta có ∫ f ( x ) dx = ∫ ( + sin x ) dx = ∫1dx + ∫ sin xdx = x − cos x + C MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN Câu 2.1: Cho hàm số f ( x ) = − cos x Khẳng định đúng? A ∫ f ( x ) dx = x + sin x + C B ∫ f ( x ) dx = x − sin x + C C ∫ f ( x ) dx = x − cos x + C D ∫ f ( x ) dx = sin x + C Câu 2.2: Cho hàm số f ( x ) = − cos x Khẳng định đúng? A ∫ f ( x ) dx = x + sin x + C B ∫ f ( x ) dx = x − sin x + C C ∫ f ( x ) dx = 2sin x + C D ∫ f ( x ) dx = x + sin x + C Câu 2.3: Hàm số F ( x ) = x + sin x nguyên hàm hàm số đây? A f ( x ) = + cos x C f ( x ) = − cos x D f ( x ) = x + cos x B f ( x ) = x − cos x Câu 2.4: Họ nguyên hàm hàm số f ( x ) = 3x + sin x A x + cos x + C C x − cos x + C B x + sin x + C D x3 − sin x + C Câu 2.5: Cho hàm số f ( x ) = x − 3sin x Khẳng định đúng? ∫ f ( x ) dx = x C ∫ f ( x ) dx = x A − 3cos x + C + cos3x + C ∫ f ( x ) dx = x D ∫ f ( x ) dx = x B + 3cos x + C − cos3 x + C NỘI DUNG 2: TÍCH PHÂN ∫ Câu 3: (Đề MH 2022) Nếu f ( x ) dx = bằng? A ∫ g ( x ) dx = −2 B −5 ∫  f ( x ) + g ( x )  dx C D Phân tích: Đối với câu này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất b b b a a a tích phân ∫  kf ( x ) ± lg ( x )  dx = k ∫ f ( x ) dx ± l ∫ g ( x ) dx , với k , l ≠ Lời giải Chọn C 5 2 Ta có ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = + ( −2 ) = MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN ∫ Câu 3.1: Nếu −2 ∫  f ( x ) + g ( x )  dx = −2 A B −5 ∫ Câu 3.2: Nếu f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = −1 A 11 −1 B −11 ∫ g ( x ) dx −2 C f ( x ) dx = −2 D −9 ∫  f ( x ) + 3g ( x )  dx −1 C 19 D C π + D π Câu 3.3: Biết F ( x ) = sin x nguyên hàm hàm số f ( x ) ¡ Giá trị π ∫ ( + f ( x ) ) dx A π − Câu 3.4: Cho ∫ A 10 Câu 3.5: Nếu B f ( x ) dx = ∫ π f ( x ) dx = , B −3 ∫ f ( x ) dx C 2 1 D ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = −2 ∫  f ( x ) − g ( x )  dx A −6 B C D −5 Câu 4: (Đề MH 2022) Nếu ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx A B C 18 D 12 Phân tích: Đối với dạng câu hỏi này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh áp dụng b tính chất tích phân b ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx , với k ≠ , ( a < b ) a em a giải được, nhiên để giúp học sinh rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo giáo viên yêu cầu học sinh làm thêm số câu phát triển Lời giải Chọn A 5 2 Ta có ∫ f ( x ) dx = 3∫ f ( x ) dx = 3.2 = MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN Câu 4.1: Nếu f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx ∫ 0 A 36 Câu 4.2: Nếu B 12 3 −2 −2 B 2021 2021 2020 2020 4041 ∫ f ( x ) dx = Giá trị ∫ Câu 4.3: Biết 4041 Câu 4.4: Cho ∫ f ( x ) dx = B C D −5 f ( x ) dx 4041 C 1 0 D C −3 B 2 −1 −1 ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = −1 Tính 17 A I = B I = Câu 5: (Đề MH 2022) Nếu ∫ f ( x ) dx = A 20 2021 2020 ∫ g ( x ) dx = , ∫  f ( x ) − g ( x )  dx A −8 Câu 4.5: Cho D ∫ f ( x ) dx = −2 ∫ f ( x ) dx A −6 A C B 10 D 12 I = ∫  x + f ( x ) − 3g ( x )  dx −1 C I = D I = 11 ∫  f ( x ) + x  dx = C 18 D 12 Phân tích: Khi gặp câu hỏi dạng này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh áp dụng tính chất tích phân, ngồi học sinh cần phải biết giải số tích phân đơn giản b b a b a ∫ kf ( x ) dx = k ∫ f ( x ) dx , với k ≠ , ( a < b ) b b a a ∫ kf ( x ) ± lg ( x )  dx = k ∫ f ( x ) dx ± l ∫ g ( x ) dx , với k , l ≠ a Lời giải 3 1 2 Chọn B Ta có: ∫  f ( x ) + x  dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ xdx = + x = + − = 10 MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN Câu 5.1: Cho A 5 2 ∫ f ( x ) dx = 10 Kết ∫ 2 − 3x − f ( x )  dx −51 B −131 2 Câu 5.2: Cho ∫  f ( x ) − x  dx = Khi A C −291 D 51 2 ∫ f ( x ) dx C −3 B Câu 5.3: Cho hai tích phân −2 −2 D −1 ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = Tính I= ∫  f ( x ) − g ( x ) − 1 dx −2 A I = 27 Câu 5.4: Nếu B I = ∫ f ( x)dx = 10 ∫  f (2 x) + A 24 ∫ f (3x + 1)dx = 10 A −20 D I = 13 x  dx B 19 Câu 5.5: Nếu C I = −11 C 26 D 10 ∫ [ f ( x) − x ] dx B −4 C − 80 D Nhận xét: Như vậy, thông qua câu hỏi từ đến 5, ta nhận thấy rằng, câu hỏi thuộc mức độ nhận biết thông hiểu, phù hợp với việc lấy kết để xét tốt nghiệp THPT Chính vậy, dạy cho học sinh câu hỏi mức độ này, giáo viên yêu cầu em cần nhớ cơng thức tính ngun hàm số tích phân đơn giản thường gặp, cần nhớ số tính chất nguyên hàm tích phân Giáo viên hướng dẫn học sinh biết quy câu hỏi từ lạ thành quen giải chi tiết số câu minh hoạ này, để từ yêu cầu em tự làm câu hỏi phát triển, em có lực học giỏi, giáo viên cho em tiếp cận với câu hỏi mức độ cao dạng câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = 12 x + 2, ∀x ∈ ¡ f ( 1) = Biết F ( x ) nguyên hàm f ( x ) thỏa mãn F ( ) = , F ( 1) A −3 B C D Câu 6: (Đề MH 2022) Phân tích: Đây câu hỏi thuộc mức độ vận dụng, địi hỏi học sinh phải có kiến thức tổng hợp, phải có cách nhìn bao qt, biết vận dụng linh hoạt kiến thức nguyên hàm tích phân, từ em quan sát thấy mối liên hệ giả thiết yêu cầu tốn Giáo viên hướng dẫn học sinh thực theo bước sau B1: Tìm hàm số f ( x ) Ta có f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ ( 12 x + ) dx = x + x + C Vì f ( 1) = ⇔ 4.1 + 2.1 + C = ⇔ C = −3 Do f ( x ) = x + x − B2: Tìm hàm số F ( x ) Ta lại có F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + x − 3) dx = x + x − 3x + C1 F ( ) = ⇔ 04 + 02 − 3.0 + C1 = ⇔ C1 = Do F ( x ) = x + x − 3x + B3: Tính F ( 1) Vậy F ( 1) = + − 3.1 + = Lời giải Chọn B Ta có f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ ( 12 x + ) dx = x + x + C Vì f ( 1) = ⇔ 4.1 + 2.1 + C = ⇔ C = −3 Do f ( x ) = x + x − 3 Ta lại có F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( x + x − 3) dx = x + x − 3x + C1 F ( ) = ⇔ 04 + 02 − 3.0 + C1 = ⇔ C1 = Do F ( x ) = x + x − 3x + Vậy F ( 1) = + − 3.1 + = Nhận xét: Thực tế giảng dạy câu hỏi dạng trường THPT Thạch Thành 2, có nhiều học sinh ban đầu chưa giải được, sau giáo viên hướng dẫn, em bước biết cách giải, biết cách vận dụng linh hoạt kiến thức tổng hợp để áp dụng vào giải toán Để giúp học sinh rèn luyện thêm kỹ kỹ xảo, giáo viên yêu cầu học sinh làm thêm số câu phát triển MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN Câu 6.1: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = −20 x + x, ∀x ∈ ¡ f ( −1) = Biết F ( x ) nguyên hàm f ( x ) thỏa mãn F ( 1) = , F ( ) A −17 B −1 C −15 D −74 Lời giải Chọn A Ta có f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ ( −20 x + x ) dx = −5 x + 3x + C Với f ( −1) = ⇒ −5 ( −1) + ( −1) + C = ⇒ C = 4 Do f ( x ) = −5 x + 3x + 4 Ta lại có F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( −5 x + 3x + ) dx = − x + x + x + C ' Với F ( 1) = ⇒ −1 + + 4.1 + C ' = ⇒ C ' = −1 Do F ( x ) = − x + x + x − Vậy F ( ) = −2 + + 4.2 − = −17 Câu 6.2 Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ' ( x ) = sin x + cos x, ∀x ∈ ¡ f ( ) = −2 π   Biết F ( x ) nguyên hàm f ( x ) thỏa mãn F ( π) = , F  ÷ 2 A B −1 C −2 D Lời giải Chọn D Ta có f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = ∫ ( 4sin x + cos x ) dx = −2 cos x + sin x + C Với f ( ) = −2 ⇒ −2.cos 2.0 + sin + C = −2 ⇒ C = Do f ( x ) = −2 cos x + sin x Ta lại có F ( x ) = ∫ f ( x ) dx = ∫ ( −2cos x + sin x ) dx = − sin x − cos x + C ' Với F ( π ) = ⇒ − sin 2π − cos π + C ' = ⇒ C ' = Vậy F ( x ) = − sin x − cos x + 2 Câu 6.3: Cho f ( x ) nguyên hàm hàm số f ′ ( x ) = x − x + 3, ∀x ∈ ¡ f ( ) = Biết F ( x ) nguyên hàm f ( x ) thỏa mãn F ( 1) = , giá trị F ( ) 10 A B 89 12 C D 11 Lời giải Chọn B x3 Ta có: f ( x ) = − x + 3x + C f ( x ) nguyên hàm hàm số f ' ( x ) có f ( ) = ⇒ C = x3 x x3 − x + 3x + ⇒ F ( x ) = − + x + x + C1 12 1 −5 Mà F ( 1) = ⇒ − + + + C1 = ⇒ C1 = 12 4 x x 89 ⇒ F ( x ) = − + x2 + 2x − ⇒ F ( 2) = 12 12 π π F  ÷ = − sin π − cos + = 2 Câu 6.4: Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f ′ ( x ) = 12 x + 2, ∀x ∈ ¡ f ( 1) = Biết Vậy f ( x ) = F ( x ) nguyên hàm f ( x ) thỏa mãn F ( ) = , F ( 1) 19 12 17 A B C D 21 21 21 Lời giải Chọn B 2 Ta có f ′ ( x ) = 12 x + 2, ∀x ∈ ¡ ⇒ f ( x ) = ∫ ( 12 x + ) dx = x + x + C Vì f ( 1) = ⇔ 4.1 + 2.1 + C = ⇔ C = −3 Khi f ( x ) = x + x − ⇒ f ( x ) = x + x − Vì F ( x ) nguyên hàm f ( x ) nên x + x − 3x + C Lại có F ( ) = ⇔ C = suy F ( x ) = x + x3 − 3x + Khi F ( 1) = + − + = 21 Câu 6.5: Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( ) = f ' ( x ) =  f ( x )  với x ≠ Biết F ( x ) nguyên hàm f ( x ) thoả mãn F ( ) = Khi F ( 3) F ( x ) = ∫ ( x + x − 3) dx = D F ( 3) = ln − C F ( 3) = ln + B F ( 3) = ln + A F ( 3) = − ln + Lời giải Chọn A 11 Ta có f ' ( x ) =  f ( x )  ⇔ f '( x) =2  f ( x )  f '( x) −1 −1 Do ta có ∫  f x  dx = f ( x) + C1 ∫ 2dx = x + C2 Suy f ( x) = x + C  ( ) Mặt khác f ( ) = nên ta có C = −2 Vậy f ( x) = − 2x − 1 F ( x) = ∫ − dx = − ln x − + C 2x − 2 F ( ) = ⇒ C = ⇒ F ( x ) = − ln x − + F ( 3) = − ln + NỘI DUNG 3: ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN Câu 7: (Đề MH 2022) Cho hàm số f ( x ) = 3x + ax + bx + cx + d , với a, b, c, d ∈ ¡ có ba điểm cực trị −2, −1,1 Gọi y = g ( x ) hàm số bậc hai có đồ thị qua ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = f ( x ) y = g ( x ) 500 36 2932 2948 A B C D 81 405 405 Phân tích: Xuất đề thi minh hoạ BGD năm 2022, rõ ràng câu hỏi mang tính chất vận dụng cao Đây dạng tốn ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, địi hỏi học sinh ngồi yếu tố biết tính ngun hàm, tích phân chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối mà phải vận dụng kiến thức liên quan đến đồ thị hàm số yếu tố hình học khác Khi gặp dạng tốn này, u cầu học sinh phải phân tích kỹ giả thiết toán, phải vận dụng linh hoạt kiến thức tổng hợp để giải u cầu tốn Ngồi cách tiếp cận toán theo cách trên, giáo viên hướng dẫn học sinh tiếp cận tốn theo hướng sau + Bước 1: Tìm công thức hàm số y = f ' ( x ) Ta có f ' ( x ) = 12 x + 3ax + 2bx + c Vì f ' ( −2 ) = 0, f ' ( −1) = 0, f ' ( 1) = nên ta có hệ phương trình 12 −96 + 12a − 4b + c = a =   −12 + 3a − 2b + c = ⇔ b = −6 12 + 3a + 2b + c = c = −24   Do f ' ( x ) = 12 x + 24 x − 12 x − 24 + Bước 2: Tìm cơng thức hàm số y = f ( x ) Ta có f ( x ) = ∫ f ' ( x ) dx = 3x + x − x − 24 x + C + Bước 3: Tìm cơng thức hàm số y = g ( x ) Vì y = g ( x ) hàm số bậc hai có đồ thị qua ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) nên g ( x ) = −7 x − 16 x + + Bước 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y = f ( x ) y = g ( x) Ta có f ( x ) − g ( x ) = 3x + x + x − x − S= ∫ −2 f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ 3x + x + x − x − dx = −2 36 Lời giải Chọn B Ta có f ' ( x ) = k ( x + ) ( x − 1) = k ( x + x − x − )  x x3 x  − − x ÷+ C Suy f ( x ) = k  +   Kết hợp giả thiết suy k = 12 Do f ( x ) = 3x + x − x − 24 x + C Khi đó, ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) A ( −2;8 + C ) , B ( −1;13 + C ) , C ( 1; −19 + C ) Khơng giảm tính tổng qt, chọn C = ta A ( −2;8 ) , B ( −1;13) , C ( 1; −19 ) (khi tịnh tiến đồ thị lên trên, xuống theo phương Oy diện tích khơng thay đổi) Vì y = g ( x ) hàm số bậc hai có đồ thị qua ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) nên g ( x ) = −7 x − 16 x + 4 Ta có f ( x ) − g ( x ) = 3x + x + x − x − S= ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ 3x −2 −2 + x + x − x − dx = 36 13 Nhận xét: Trong trình giảng dạy câu hỏi thuộc mức độ vận dụng vận dụng cao trường THPT Thạch Thành 2, hầu hết học sinh ban đầu chưa giải được, sau giáo viên hướng dẫn chi tiết, số em bước biết cách giải, biết cách vận dụng kiến thức tổng hợp để áp dụng vào giải toán MỘT SỐ CÂU PHÁT TRIỂN Câu 7.1: Cho hàm số f ( x ) = 3x + ax + bx + cx + d , với a, b, c, d ∈ ¡ có ba điểm cực trị −2, −1,1 Gọi g ( x ) = mx + nx + px + q , với m, n, p, q ∈ ¡ hàm số đạt cực trị điểm −2 có đồ thị qua ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = f ( x ) y = g ( x ) 87 81 79 78 A B C D 5 5 Lời giải Chọn A Vì y = g ( x ) hàm số đạt cực trị điểm −2 (trùng cực trị f ( x ) ) có đồ thị qua ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) nên phương trình f ( x ) − g ( x ) = có nghiệm −2 (kép); −1;1 Suy f ( x ) − g ( x ) = ( x + ) S= (x − 1) ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ 3( x + ) ( x −2 2 −2 − 1) dx = 87 Câu 7.2: Cho hàm số f ( x ) = 3x + ax + bx + cx + d , với a, b, c, d ∈ ¡ có ba điểm cực trị −2; −1 Gọi g ( x ) = mx + nx + px + q , với m, n, p, q ∈ ¡ hàm số đạt cực trị hai điểm −2 , có đồ thị qua hai điểm cực trị với hoành độ −2 đồ thị hàm số y = f ( x ) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = f ( x ) y = g ( x ) 175 243 258 132 A B C D 10 10 Lời giải Chọn B Vì g ( x ) hàm số đạt cực trị điểm −2 , (trùng với cực trị f ( x ) ) có đồ thị qua hai điểm cực trị với hoành độ −2 đồ thị hàm số y = f ( x ) nên phương trình f ( x ) − g ( x ) = có nghiệm −2 (kép); (kép) Suy f ( x ) − g ( x ) = ( x + ) ( x − 1) Vậy diện tích hình phẳng cần tìm 2 14 S= ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ 3( x + ) ( x − 1) −2 2 dx = −2 243 10 Câu 7.3: Cho hàm số f ( x ) = 3x + ax + bx + cx + d , với a, b, c, d ∈ ¡ có ba điểm cực trị −1;1 Gọi g ( x ) = mx + nx + px + q , với m, n, p, q ∈ ¡ hàm số đạt cực trị −1;1 có đồ thị qua hai điểm cực trị có hồnh độ −1;1 đồ thị hàm số y = f ( x ) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường y = f ( x ) y = g ( x ) 15 36 2932 16 A B C D 16 405 15 Lời giải Chọn D Vì g ( x ) hàm số đạt cực trị điểm −1;1 (trùng cực trị f ( x ) ) có đồ thị qua ba điểm cực trị đồ thị hàm số y = f ( x ) nên phương trình f ( x ) − g ( x ) = có nghiệm −1 (kép); (kép) Suy f ( x ) − g ( x ) = ( x − 1) S = ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = −1 ∫(x −1 ( x + 1) = ( x − 1) − 1) dx = 2 16 15 2 Câu 7.4: Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + g ( x ) = mx + nx , với a, b, c, m, n ∈ ¡ có đồ thị cắt điểm có hồnh độ −1;1 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số 37 9 37 A B C D 12 Lời giải Chọn D Do hàm số f ( x) g ( x) có đồ thị cắt điểm có hồnh độ −1; 1; , nên f ( x) − g ( x) hàm số bậc ba Suy ta có: f ( x) − g ( x) = k ( x + 1)( x − 1)( x − 2) Mặt khác ta có: f (0) − g (0) = ⇒ k = ⇒ f ( x) − g ( x) = 2( x + 1)( x − 1)( x − 2) = x − x − x + 2 −1 −1 Vậy ta có diện tích S = ∫ f ( x) − g ( x) dx = ∫ x − x − x + dx −1 = ∫ (2 x − x − x + 4)dx − ∫ (2 x − x − x + 4)dx = 16 37 + = 6 15 Câu 7.5: Cho Cho hai hàm số f ( x ) g ( x ) liên tục ¡ hàm số f ' ( x ) = ax3 + bx + cx + d , g ' ( x ) = qx + nx + p với a, q ≠ có đồ thị hình vẽ Biết diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = f ' ( x ) y = g ' ( x ) 10 f ( ) = g ( ) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = f ( x ) y = g ( x ) A B 15 C 16 D 16 Lời giải Chọn B Đặt h( x ) = f ( x ) − g ( x) ⇒ h′( x) = f ′( x) − g ′( x) Xét phương trình hồnh độ giao điểm: f ′ ( x ) = g ′ ( x ) ⇔ f ′ ( x ) − g ′ ( x ) = (*) Vì hai đồ thị y = f ′( x) y = g ′( x) cắt điểm có hồnh độ 0; 1; nên phương trình (*) có nghiệm x = 0; x = x = Do đó, ta có: h′( x) = f ′( x) − g ′( x) = kx( x − 1)( x − 2) ( k ≠ ) Ta có diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = f ′( x) y = g ′( x) : S = ∫ f ′( x) − g ′( x)dx = k ∫ x ( x − 1) ( x − ) dx − k ∫ x ( x − 1) ( x − ) dx = k Theo đề: S = 10 Do đó: k = 20 ⇒ h '( x) = 20 x ( x − 1)( x − 2)  x4  ⇒ h( x ) = ∫ 20 x ( x − 1)( x − 2)dx = 20∫ ( x − 3x + x ) dx = 20  − x + x ÷+ C   Vì f (2) = g (2) ⇒h(2) = f (2) − g (2) = ⇒ C = Do đó: h( x) = x − 20 x3 + 20 x Xét phương trình hồnh độ giao điểm: f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) − g ( x ) = x = ⇔ h( x ) = ⇔ x − 20 x + 20 x = ⇔  x = 16 Diện tích hình phẳng cần tìm 2 0 ⇒ S = ∫ f ( x ) − g ( x )dx = ∫ h ( x )dx = ∫ x − 20 x + 20 x dx = 16 3.3 Bài tập tham khảo π  Câu Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = sin x + cos x thoả mãn F  ÷ = 2 A F ( x ) = cos x − sin x + B F ( x ) = − cos x + sin x + C F ( x ) = − cos x + sin x − D F ( x ) = − cos x + sin x + Câu Cho F ( x ) nguyên hàm hàm số f (x) = ex + 2x thỏa mãn F ( 0) = Tìm F ( x ) A F ( x) = 2ex + x2 − B F ( x) = ex + x2 + 2 C F ( x) = ex + x2 + D F ( x) = ex + x2 + 2 Câu Cho 1 0 ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = ∫  f ( x ) − g ( x )  dx A −3 Câu Cho π ∫ f ( x ) dx = Tính A I = Câu 5: Cho C −8 B 12 D π I = ∫  f ( x ) + 2sin x  dx B I = + π C I = 2 −1 −1 −1 D I = + π ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = −1 Tính I = ∫  x + f ( x ) − 3g ( x )  dx A I = 11 B I = 17 D I = 1− D C I =  π Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục  0;  thỏa mãn  2 π  π  f ( x ) = f ′ ( x ) − 2cos x Biết f  ÷ = , tính giá trị f  ÷ 2 3 A +1 B −1 C 17 Câu Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 1;2] thỏa mãn f ( 1) = f ( x ) − ( x + 1) f ′ ( x ) = xf 2 ( x ) , ∀x ∈ [ 1;2] Giá trị ∫ f ( x ) dx A + ln B − ln C − ln 2 D + ln 2 Kết thực 4.1 Kết vận dụng thân Sau Bộ GD ĐT phát hành thức đề minh hoạ, kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2022, tiến hành viết đề tài này, sau tơi thực giảng dạy lớp 12A1, trường THPT Thạch Thành 2, năm học 2021-2022 Trong trình học theo đề tài này, học sinh thực thấy tự tin có niềm đam mê, yêu thích nội dung nguyên hàm tích phân Kết nhiều học sinh tích cực tham gia giải tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức , nhiều em vận dụng tốt toán cụ thể Qua kiểm tra nội dung thi học kỳ 2, cuối học kỳ 2, kỳ thi KSCL môn thi tốt nghiệp THPT năm học 2021-2022 sở GD ĐT Thanh Hoá lần 2, tơi nhận thấy nhiều em có tiến rõ rệt đạt kết tốt Cụ thể sau G SL 15 % 33,3 Lớp 12A1 năm học 2021-2022 Sĩ số 45 K TB Y SL % SL % SL % 25 55,6 11,1 0 Kém SL % 0 4.2 Triển khai trước tổ môn Tôi đưa đề tài tổ để trao đổi, thảo luận rút kinh nghiệm Đa số đồng nghiệp tổ đánh giá cao vận dụng có hiệu quả, tạo hứng thú cho học sinh giúp em hiểu sâu, nắm vững chất tạo thói quen sáng tạo nghiên cứu học tập Và nay, kinh nghiệm tổ thừa nhận có tính thực tiễn tính khả thi Hiện nay, tiếp tục xây dựng thêm nhiều ý tưởng, tăng cường thêm câu hỏi phát triển, để giúp học sinh trường THPT Thạch Thành học tập nội dung cách tốt đạt kết cao kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2022 tới III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận 18 Trong dạy học giải tập tốn nói chung dạy học giải tập toán nguyên hàm, tích phân nói riêng, việc xây dựng tốn riêng lẻ thành hệ thống theo trình tự logic có đặt phương pháp quy trình giải tốn giúp học sinh dễ dàng tiếp cận với nội dung học, đồng thời phát triển tư học toán tạo niềm vui hứng thú học toán Việc chọn trình tự tập phân dạng giúp học sinh dễ tiếp thu thấy toán nên áp dụng kiến thức cho phù hợp Mỗi câu đề thi minh hoạ năm 2022 BGD&ĐT, phát triển thành câu hỏi tương tự, để học sinh hiểu sâu sắc cách làm, để từ làm tập mang tính tương tự dần nâng cao Tuy nhiên, cịn số học sinh khơng tiến từ lớp dưới, sức ỳ lớn chưa có động cơ, hứng thú học tập Do giải pháp hàng vạn giải pháp để giúp phát triển tư duy, sáng tạo học sinh Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng toán, thể tốn từ học sinh vân dụng linh hoạt kiến thưc bản, phân tích tìm hướng giải, đâu bắt đầu quan trọng để học sinh khơng sợ đứng trước tốn khó mà tạo tự tin, gây hứng thú say mê mơn tốn, từ tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Đề tài phát triển xây dựng thành hệ thống đề thành sách tham khảo cho học sinh giáo viên Rất mong đóng góp ý kiến đồng nghiệp để đề tài đầy đủ hoàn thiện Kiến nghị Đối với tổ chuyên môn: Cần có nhiều buổi họp thảo luận nội dung nguyên hàm, tích phân, đặc biệt ứng dụng tích phân Đối với trường: Trong dạy học giải tập toán, giáo viên cần xây dựng giảng thành hệ thống tập có phương pháp quy trình giải toán Đối với ngành giáo dục: Phát triển nhân rộng đề tài có ứng dụng thực tiễn cao, đồng thời viết thành sách tham khảo cho học sinh giáo viên XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hoá, ngày 20 tháng năm 2022 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN Hiệu trưởng viết, khơng chép nội dung người khác NGƯỜI THỰC HIỆN Nguyễn Sỹ Thạc TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 SGK giải tích 12 - NXB Giáo dục, Bộ Giáo dục đào tạo Sách BT giải tích 12 - NXB Giáo dục, Bộ Giáo dục đào tạo Bồi dưỡng giải tích 12 Đề thi MH đề thi CT Bộ GD&ĐT từ năm 2017- 2022 Phương pháp giải toán tích phân - NXB Đại Học Quốc gia Hà Nội Bộ đề TNKQ luyện thi tốt nghiệp THPT từ năm 2017 - NXB Giáo dục 20 ... tạo Bồi dưỡng giải tích 12 Đề thi MH đề thi CT Bộ GD&ĐT từ năm 2017- 2022 Phương pháp giải tốn tích phân - NXB Đại Học Quốc gia Hà Nội Bộ đề TNKQ luyện thi tốt nghiệp THPT từ năm 2017 - NXB Giáo... Sau Bộ GD ĐT phát hành thức đề minh hoạ, kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2022, tiến hành viết đề tài này, sau tơi thực giảng dạy lớp 12A1, trường THPT Thạch Thành 2, năm học 2021 -2022 Trong trình học. .. kiến thức học cách linh hoạt vào giải tốn trình bày lời giải tốn, học sinh có hứng thú động học tập tốt Trong trình giảng dạy nội dung nguyên hàm tích phân cho học sinh lớp 12 trường THPT Thạch