Thông tin tài liệu
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT ĐÔNG SƠN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC GIÚP HỌC SINH LỚP 12 GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TỐN MIN, MAX CỦA MƠ ĐUN SỐ PHỨC Người thực hiện: Nguyễn Tất Đảm Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn học THANH HĨA NĂM 2022 MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài .1 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu .1 1.4 Phương pháp nghiên cứu NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM .2 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Khái niệm số phức 2.1.2 Số phức liên hợp 2.1.3 Môđun số phức .2 2.1.4 Một số nhận xét 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các tính chất sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Bài toán 2.3.2 Các ví dụ .4 2.3.3 Bài tập tự luyện 10 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 10 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ .12 3.1 Kết luận 12 3.2 Kiến nghị 12 MỞ ĐẦU 1.1 Lí chọn đề tài Trong chương trình Tốn lớp 12 nay, tốn vận dụng, vận dụng cao phần số phức gây nhiều khó khăn cho học sinh Phần lớn học sinh cảm thấy chán nản, khó hiểu tiếp xúc với nội dung đòi hỏi nhiều kỹ Một khó khăn mà học sinh hay gặp phải cách đưa toán kiến thức quen thuộc, qua việc áp dụng tính chất hình học biết Nhưng toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ phần số phức, học sinh phải dựa tính chất hình vẽ để tìm lời giải nên gặp nhiều khó khăn Đây phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có tư sâu sắc, có khả tổng hợp kiến thức quy lạ quen, sử dụng véc tơ hình hình học Một tốn quan trọng tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức số phức, xuất hầu hết đề thi THPT quốc gia năm gần Thực tế cho thấy tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mơ đun số phức số học sinh làm phần không nhiều Đặc biệt mơn tốn sử dụng phương pháp thi trắc nghiệm việc đưa đáp số nhanh xác quan trọng cần thiết Đã có nhiều tài liệu đưa số phương pháp để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ biểu thức số phức Song phần lớn tài liệu lại chưa trình bày cách trực quan thơng qua tốn tổng qt để em học sinh giải dạng tốn cách nhanh chóng dễ dàng Do đó, gặp loại tốn nhiều học sinh lúng túng, đặc biệt số học sinh có học lực trung bình, khơng biết hướng giải Nhằm giúp em có thêm kiến thức, phát triển lực tư sáng tạo, gợi cho em hướng giải tốt gặp loại toán này, lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Sử dụng phương pháp hình học Giúp học sinh lớp 12 giải nhanh số toán min, max mô đun số phức” dạng viết nhỏ với hi vọng giúp em học sinh có hứng thú chủ đề 1.2 Mục đích nghiên cứu Trong viết này, muốn thông qua toán tổng quát sách giáo khoa để học sinh hiểu rõ chất phương pháp, từ tơi phát triển rộng thêm để học sinh áp dụng linh hoạt phần kiến thức vừa lĩnh hội Một thao tác quan trọng mà học sinh cần phải có vẽ hình Vì vậy, viết này, tập trung vào việc giúp học sinh quy toán toán tổng quát, giúp em làm cách nhanh xác 1.3 Đối tượng nghiên cứu Trong đề tài này, đối tượng nghiên cứu tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun số phức 1.4 Phương pháp nghiên cứu Trong q trình nghiên cứu tơi sử dụng phương pháp sau: - Phương pháp điều tra giáo dục - Phương pháp quan sát sư phạm - Phương pháp phân tích tổng hợp lý thuyết - Phương pháp phân loại hệ thống hóa lý thuyết NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Khái niệm số phức Một số phức biểu thức dạng a bi , a, b ¡ số i thỏa mãn i 1 Kí hiệu số phức z viết z a bi i đơn vị ảo, a phần thực b phần ảo số phức z a bi 2.1.2 Số phức liên hợp Số phức liên hợp z a bi a, b ¡ z Tức z a bi 2.1.3 Môđun số phức Môđun số phức z a bi a, b ¡ số a bi ký hiệu là số thực khơng âm kí hiệu z Tức z a bi a, b ¡ a b z z.z a b 2.1.4 Một số nhận xét + Cho hai số phức z1 z2 Khi ta có z1 z2 z1 z2 z1 z2 uuuu r + Nếu điểm M biểu diễn số phức z OM biểu diễn số phức z + Nếu điểm M biểu diễn số phức z , điểm N biểu diễn số phức z ' uuuu r uuur uuuu r uuur z z ' OM ON , z z ' OM ON + Cho ba điểm A, B, C ta ln có AB BC BC Đẳng thức xảy B nằm đoạn AC 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Thực trạng dạy học số phức lớp 12 nói chung tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mơ đun số phức nói riêng trường THPT thể số điểm sau: Thứ nhất: Đối với giáo viên, để giúp học sinh nắm vững lý thuyết vận dụng lý thuyết vào giải toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun số phức thường cần nhiều thời gian công sức Trong năm gần đây, đề thi THPT Quốc Gia, toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun số phức xuất nội dung khó, có tính phân loại cao dạng hình thức thi trắc nghiệm nên nội dung khó, rộng, gây khó khăn cho học sinh Vì nên nhiều giáo viên cịn có tâm lý ngại dạy tốn Thứ hai: Đối với học sinh, để làm tốt toán giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun số phức đòi hỏi em phải nắm kiến thức đẳng thức, vẽ đường tròn, đường thẳng khả tư trừu tượng, quan sát hình biểu diễn, tổng hợp, phân tích kiện Trong đó, học sinh chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm nên em ngại phải suy nghĩ hay đầu tư sâu tự luận Đối với hầu hết học sinh, chí số học sinh giỏi cịn có tâm lý chán nản học tốn giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun số phức Thứ ba: Bài “giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun số phức” sách giáo khoa lớp 12 chương trình khơng đề cập nên học sinh khó tiếp thu, cảm thấy lúng túng, nên đâu áp dụng để giải toán Từ thực trạng để công việc đạt hiệu hơn, muốn chia sẻ với em học sinh đồng nghiệp sáng kiến nhỏ với mục đích giúp em nắm vững thuật tốn để đáp ứng cách thức thi trắc nghiệm theo xu hướng Việc làm nghĩ cần thiết phù hợp với yêu cầu giáo dục giai đoạn 2.3 Các tính chất sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Bài toán Bài 1: Cho đường trịn tâm I bán kính R, A điểm nằm ngồi đường trịn, M điểm đường trịn Khi MaxAM AI R , AM AI R Lời giải Ta có AM R AM MI AI AM AI R , AM AI R M nằm A I hay M C Mặt khác AM AI IM AI R , MaxAM AI R I nằm A M hay M B Bài 2: Cho đường tròn C tâm I bán kính R đường thẳng d khơng cắt Các điểm M , N nằm C d Khi MN d I , d R Lời giải Ta có NM R NM MI NI IH NM HI R , NM HI R d I , d R M K , N H với H hình chiếu vng góc I d Bài 3: Cho hai đường trịn C tâm I bán kính R đường tròn C ' tâm J bán kính R ' ( hai đường trịn nằm ngồi nhau) Các điểm M , N nằm C C ' Khi MaxMN IJ R R ' , MN IJ R R ' Lời giải Ta có MN R R ' IM MN NJ IJ MN IJ R R ' , MN IJ R R ' M C , N D Mặt khác MN MI IJ JN R IJ R ' , MaxMN IJ R R ' M B, N A 2.3 Các ví dụ Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn i z 7i Gọi M , m giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ z Tính giá trị biểu thức M m Lời giải Cách (thường gặp) Ta có i z 7i z 4i 4i z z 4i 5 z z z i z i z z Do M 6, m Vậy M m Cách ( sử dụng hình học) Ta có i z 7i z 4i Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm đường trịn tâm I 3;4 , bán kính R Suy M Max z OB OI R , m z OA OI R Vậy M m 2 3i z Gọi M , m giá trị 2i lớn nhất, giá trị nhỏ z Tính giá trị biểu thức M m Lời giải Cách (thường gặp) 2 3i z 1 1 z i 1 Ta có Ta có 2i i z z i 1 z z z i z i z z Do M 2, m Vậy M m Cách ( sử dụng hình học) 2 3i z z i Do tập hợp Ta có 2i điểm biểu diễn số phức z nằm đường tròn tâm I 0; 1 , bán kính R Suy M Max z OA R , m z OO Vậy M m Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn z 3i Tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ , với z i Lời giải Cách (thường gặp) Ta có z 3i z 3i z 3i 2i 13 13 2i 2i i i 13 13 Vậy Max 13 1,min 13 Cách ( sử dụng hình học) Ta có z 3i z 3i 2i Do tập hợp điểm biểu diễn số phức z nằm đường tròn tâm I 3; 2 , bán kính R Suy Max OA OI R 13 , OB OI R 13 Vậy Max 13 1, 13 Bài 4: Cho hai số phức z1 , z2 có mơdun lớn nhỏ thỏa mãn z 4i Tính z1 z2 Lời giải Cách (thường gặp) Gọi M biểu diễn số phức z Ta có z 4i 2 z z 4i z z 4i z 4i z 4i z z 5 4i 2i ; Do z z z2 4i Max z z z1 4i 6i ; 4i Vậy z1 z2 8i Cách ( sử dụng hình học) biểu diễn số phức z Ta có 2 z 4i M C : x y Gọi M tâm I 2,4 bán kính R z1 OI R 5, z2 OI R Gọi A, B giao điểm đường thẳng OI với đường trịn C , Từ hình vẽ suy A, B biểu diễn z2 , z1 Vì I trung điểm AB nên z1 z2 4i 8i Vậy z1 z2 8i Bài 5: Cho hai số phức z , w thoả mãn w i 2, z iw Gọi z1 , z2 số phức mà z nhỏ lớn Tính giá trị biểu thức z1 z2 Lời giải Cách (thường gặp) Ta có w i iw z z z 3 z z z z z z Do z z z1 3 1 ; Max z z z2 3 5 ; Vậy z1 z2 Cách ( sử dụng hình học) Ta có w i iw z suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn C tâm I 3;0 , bán kính R Từ hình vẽ suy z z z1 1 , max z z z2 6 Khi z1 z2 Vậy z1 z2 Nhận xét: Cách thường gặp đòi hỏi học sinh phải nắm vững bất đẳng thức, nhiên đại đa số học sinh khó khăn gặp phải sử dụng bất đẳng thức Mặt khác đánh giá việc xảy đẳng thức nhiều học sinh gặp khó khăn Để khắc phục nhược điểm đưa cách vẽ hình sử dụng tính chất hình học Bài 6: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 2i 3, z2 2i z2 4i Tính giá trị nhỏ z1 z2 Lời giải Gọi z2 x yi, x, y R , từ z2 2i z2 4i x 2 y 2 x 2 y 4 y Gọi điểm M , N biểu diễn số phức z1 , z2 Khi M nằm đường tròn (C ) : x y tâm I 0;2 bán kính R , N nằm đường thẳng d : y z1 z2 MN Để z1 z2 nhỏ độ dài MN nhỏ Từ hình vẽ suy MN d I , d R Vậy z1 z2 2 Bài 7: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 z1 i 1, z2 i Tính giá trị nhỏ z1 z2 Lời giải 2 Gọi z1 x yi, x, y R , từ z1 z1 i x y x y 1 x y Gọi M , N biểu diễn số phức z1 , z2 Khi N nằm đường tròn 2 (C ) : x y 1 tâm I 4;1 , bán kính R , M nằm đường thẳng d : x y , suy z1 z2 MN Để z1 z2 nhỏ độ dài MN nhỏ Từ hình vẽ suy MN d I , d R 5 5 Bài 8: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 , iz2 Tìm giá trị nhỏ P z1 z2 Lời giải Từ iz2 z2 2i 2 z2 4i Gọi M biểu diễn số phức z1 , M C : x y tâm I1 4,0 bán kính R1 , gọi N biểu diễn số Vậy z1 z2 phức 2z2 , N C ' : x y tâm I 0,4 bán kính R2 , P z1 z2 z1 2 z2 MN Để P nhỏ MN nhỏ Từ hình vẽ suy MN IJ R1 R2 Vậy P Bài 9: Xét số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 iz2 Tính giá trị lớn z1 z2 6i Lời giải Từ iz2 z2 2i 2 z2 4i Gọi M biểu diễn số phức z1 , M C : x y tâm I1 4,0 bán kính R1 , Gọi N biểu diễn số phức 2z2 N C ' : x y tâm I 0,4 bán kính R2 , z1 z2 z1 2 z2 MN Từ hình vẽ suy IJ R1 R2 MN IJ R1 R2 MN Đặt z1 z2 , H điểm biểu diễn số phức Khi tập hợp điểm H phần giới hạn hai đường tròn tâm O bán kính R1 đường trịn tâm O bán kính R2 Từ hình vẽ suy z1 z2 6i lớn z1 z2 6i R2 Vậy Max z1 z2 6i Bài tập tự luyện Bài 1: Cho số phức z thoả mãn z 4i w z i Tính giá trị lớn w Đáp số : 130 Bài 2: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1i , z2 iz1 Tính giá trị nhỏ z1 z2 Đáp số : Bài 3: Cho số phức z thoả mãn z z Tính P z z Đáp số : P Bài 4: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 i z2 iz1 Tính giá trị nhỏ m biểu thức z1 z2 2 Đáp số: Bài 5: Cho số phức z thỏa mãn z z max z 2i a b Tính ab Đáp số: a b Bài 6: Cho số phức z thoả mãn z Gọi M , m GTLN, GTNN z 2i z Tính M m Đáp số: 6250 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Để thấy rõ vai trò, ý nghĩa tác động khác lên qua trình lĩnh hội kiến thức, phát triển lực tư sáng tạo, hình thành kĩ học sinh giáo viên không sử dụng sử dụng đề tài, tiến hành kiểm nghiệm sau: Tôi tiến hành kiểm tra cho lớp 12A1(Lớp khối A) 12A3(Lớp khối A) có kết sau: + Trước hướng dẫn Với lớp 12A1(tổng số 43), lớp khối A năm học 2020-2021, lớp có nhiều học sinh tiếp thu nhanh có ý thức học tập: Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 11,6 10 23,2 20 46,5 11,6 7,1 Với lớp 12A3 (tổng số 44), lớp khối A năm học 2020-2021, Phần đa em tiếp thu chậm có kết sau: Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 0 11,36 20 46,5 15 34,8 7,34 + Sau hướng dẫn: 10 Sau dạy xong chủ đề: “Sử dụng phương pháp hình học Giúp học sinh lớp 12 giải nhanh số toán min, max mô đun số phức”, cho học sinh làm kiểm tra 15 phút sau: Đề bài: Bài 1(3đ): Cho số phức z thoả mãn z 4i w z i Tính giá trị lớn w Bài 2(4đ): Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 , z2 2i Tìm giá trị nhỏ P z1 z2 Bài 3(3đ): Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1 2i 2, z2 i z2 2i Tính giá trị nhỏ z1 z2 Kết lớp 12A1: ( Tổng số học sinh :43) Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL 12 27,9 20 46,5 20,9 4,7 % Kết lớp 12A3: ( Tổng số học sinh :44) Giỏi Khá TB Yếu Kém SL % SL % SL % SL % SL % 18,0 20 45 12 27 6,9 3,1 Qua bảng trên, thấy kết học tập lớp 12A1 12A3 sau học xong chủ đề có thay đổi rõ rệt Khi chưa áp dụng phương pháp mà tơi trình bày trên, lớp 12A1 lớp học tốt có em đạt giỏi, 10 em đạt cịn lại trung bình, yếu , Sau áp dụng phương pháp có tới 12 em đạt điểm giỏi 20 em đạt điểm Số lượng khá, giỏi chiếm tới 74,4% Đối với 12A3, tiến không 12A1 qua so sánh ta thấy, trước hướng dẫn phương pháp có học sinh đạt điểm khá, phần đa cịn lại trung bình yếu Sau áp dụng phương pháp này, có tới học sinh đạt điểm giỏi, 20 học sinh đạt điểm khá, số lượng học sinh đạt điểm khá, giỏi, trung bình tăng lên, số lượng học sinh đạt điểm yếu, giảm xuống Đã có tới 60,7% học sinh đạt điểm khá, giỏi chứng tỏ em tiếp thu vận dụng tốt phương pháp này, giúp em rút ngắn thời gian tính tốn độ xác cao Trong q trình truyền đạt, tơi cảm thấy em hào hứng say mê hơn, khơng cịn cảm thấy sợ hải hay chán nản dẫn đến bỏ lần trước Giờ đây, làm đề tổng hợp, với loại tập khoảng cách em đón nhận dành khoảng thời gian hợp lý để đầu tư tìm hướng giải không khoanh tù mù trước Như vây, thành công bước đầu quan trọng cách làm cải thiện chất lượng học tập học sinh tạo hứng thú, say mê học sinh học phần kiến thức 11 Với cách làm tơi vừa trình bày trên, giáo viên cần phân tích hướng giải gợi mở vấn đề cho học sinh, học sinh chủ động phát điểm mấu chốt tốn để đưa tốn phức tạp toán đơn giản III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mơ đun số phức chương trình giải tích 12 nói chung đa dạng, phong phú phức tạp Để áp dụng sáng kiến kinh nghiệm thân có hiệu vào đối tượng học sinh, giúp học sinh tính tốn nhanh trắc nghiệm yêu cầu người dạy người học phải khơng ngừng học hỏi tìm kiếm tri thức Riêng em học sinh phải ln cố gắng, chăm rèn luyện phát triển tư suy luận logic, phân tích vấn đề khái qt hố vấn đề, từ giải vấn đề cách khoa học, nhanh gọn bắt kịp với xu hướng học Trong khn khổ viết mình, tơi xin mạnh dạn đưa số toán tính giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ mô đun số phức với cách sử dụng tinhs chất hình học giúp học sinh đưa toán cho toán Từ đó, giúp em giải tốn cách dễ dàng nhanh làm trắc nghịêm Kiến thức khoa học nói chung kiến thức tốn học nói riêng phong phú đa dạng Do đó, viết khơng thể tránh khỏi thiếu sót Kính mong góp ý đồng nghiệp độc giả để sáng kiến kinh nghiệm hoàn thiện Kiến nghị Đối với giáo viên :Trong học, cần thường xuyên kiểm tra học sinh định nghĩa, định lí, tính chất trọng tâm chương IV sách giáo khoa giải tích 12 Trong học sinh làm tập, giáo viên cần quan sát đến chỗ ngồi em, đọc nháp em để định hướng, giúp đỡ, tháo gỡ khó khăn chỉnh sửa sai lầm làm Chuyên đề nên giảng dạy tiết tự chọn Đối với nhà trường: Trong buổi họp tổ chuyên môn, giáo viên tổ chọn chủ đề mà giáo viên cịn gặp khó khăn giảng dạy học sinh lúng túng, chưa biết cách để làm tập để trao đổi kinh nghiệm giảng dạy hệ thống tập hay lớp buổi họp XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 20 tháng 05năm 2022 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Ký ghi rõ họ tên Nguyễn Tất Đảm 12 TÀI LIỆU THAM KHẢO -Sách giáo khoa giải tích 12 nâng cao- Nhà xuất giáo dục -Sách tập giải tích 12 nâng cao- Nhà xuất giáo dục -Tổng hợp đề thi đại học môn toán từ năm 2010 đặc biệt tập trắc nghiệm theo hướng đổi thi Nguồn internet -Nguồn: Tailieu: text.123doc.org -Nguồn: http://tailieu.vn 13 ... dạy xong chủ đề: ? ?Sử dụng phương pháp hình học Giúp học sinh lớp 12 giải nhanh số toán min, max mô đun số phức? ??, cho học sinh làm kiểm tra 15 phút sau: Đề bài: Bài 1(3đ): Cho số phức z thoả mãn... đề tài sáng kiến kinh nghiệm: ? ?Sử dụng phương pháp hình học Giúp học sinh lớp 12 giải nhanh số tốn min, max mơ đun số phức? ?? dạng viết nhỏ với hi vọng giúp em học sinh có hứng thú chủ đề 1.2 Mục... hiệu số phức z viết z a bi i đơn vị ảo, a phần thực b phần ảo số phức z a bi 2.1.2 Số phức liên hợp Số phức liên hợp z a bi a, b ¡ z Tức z a bi 2.1.3 Mô? ?un số phức Mô? ?un số
Ngày đăng: 08/06/2022, 10:24
Xem thêm:
