TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO 7 ĐS7 CHUYÊN ĐỀ 1 – TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU PHẦN I TÓM TẮT LÍ THUYẾT A Tỉ lệ thức 1 Định nghĩa Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số Trong đó Các số hạng và được gọi là các ngoại tỉ, các số hạng và được gọi là trung tỉ 2 Tính chất a) Tính chất 1 (Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức) Nếu thì b) Tính chất 2 Nếu và thì ta có Như vậy trong tỉ lệ thức, ta có thể hoán vị các trung tỉ với nhau, hoán vị các ngoại tỉ với nhau, hoán vị cả trung tỉ với nhau,.
TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO ĐS7 CHUYÊN ĐỀ – TỈ LỆ THỨC TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT A Tỉ lệ thức a c a, b, c, d Q;b 0, d Định nghĩa: Tỉ lệ thức đẳng thức hai tỉ số b d Trong đó: Các số hạng a d gọi ngoại tỉ, số hạng b c gọi trung tỉ Tính chất: a) Tính chất 1: (Tính chất tỉ lệ thức) a c Nếu b d ad bc a c a b d c d b ; ; ; a , b , c , d b) Tính chất 2: Nếu ad bc ta có: b d c d b a c a Như tỉ lệ thức, ta hốn vị trung tỉ với nhau, hoán vị ngoại tỉ với nhau, hoán vị trung tỉ với nhau, ngoiạ tỉ với B Tính chất dãy tỉ số Tính chất dãy tỉ số a c a c ac ac b d bd bd +) b d a c e a c e ace a ce b d f b d f b d f (giả thiết tỉ số có nghĩa) +) b d f Chú ý: Khi ta nói số x, y , z tỉ lệ với số a, b, c , tức là: x y z a b c x : y : z a : b : c PHẦN II.CÁC DẠNG BÀI Dạng Tỉ lệ thức, tính chất dãy tỉ số I Phương pháp giải a c (b, d 0) Tỷ lệ thức: Là đẳng thức hai tỉ số b d a : b c : d Trong đó: a, b, c, d số hạng tỷ lệ thức - a d số hạng hay ngoại tỉ - b c số hạng hay trung tỉ Các số a d gọi ngoại tỉ; số b c gọi trung tỉ Tính chất tỉ lệ thức a c ad bc a) Tính chất 1: Nếu b d b) Tính chất 2: Nếu ad bc a c d b d c a b ; ; ; b d c a b a c d Trang Tính chất dãy tỉ số a c a c ac ac b d b d b d (giả thiết phân số có nghĩa) - Nếu b d - Mở rộng: a c e a c e ace ace b d f b d f b d f (giả thiết phân số có nghĩa) + Nếu b d f 246 4 246 0 ; Ví dụ: 6 (do khơng có nghĩa) nên tính chất khơng - Nâng cao: k1a k2 c k3e a c e k k + Nếu b d f k1b k 2d k3 f a c a b cd a b cd d ; a c + Nếu b d b (Tính chất gọi tính chất tổng hiệu tỉ lệ) x y z Chú ý: Khi có dãy tỉ số a b c , ta nói số x, y , z tỉ lệ với số a, b, c a b c , Ví dụ: Khi có dãy tỉ số ta nói số a, b, c tỉ lệ với số 2,3,5 Ta viết a : b : c : : a c +) Vì tỉ lệ thức đẳng thức nên có tính chất đẳng thức, từ tỉ lệ thức b d suy 2 k1a k2 c a c a c a c k1 , k2 ; k k k ; b d b d k1b k2 d b d 3 x y z x y z x y z x y z ; b c Từ a b c a b c a b c a II Bài toán a c ab cd (c d 0) Bài 1: Chứng minh b c d a a b c d Bài 2: Cho ( x y ) : ( x y ) : xy 1: : 30 Với x, y tính xy ? a 99 a100 100 a1 a2 99 99 Bài 3: Tìm số a1 ; a2 ; ; a100 , biết 100 a1 a2 a100 10100 2 3 Bài 4: Cho số a, b, c, d thỏa mãn b ac; c bd ; b c d Chứng minh a b3 c a 3 d b c d Bài 5: Cho (a b) : (b c) : (c a) : : 8; a b c 42 Hãy tìm c ? Trang a c Bài 6: Cho b d Chứng minh rằng: ab cd ac bd d d a) b b) c a b c d c c) a Bài 7.1: Cho Chứng minh rằng: a) b) 7.2) Với Bài 8: a) Nếu b) Với c) Nếu Bài 9: Cho Chứng minh Bài 10: Cho Chứng minh Bài 11: Cho , Các số thỏa mãn Chứng minh: Bài 12: Cho tỉ lệ thức: Chứng minh rằng: Bài 13: Cho số thỏa mãn: , Chứng minh rằng: Bài 14: Cho Chứng minh rằng: Bài 15: Cho tỉ lệ thức: Chứng minh rằng: (với điều kiện mẫu thức xác định) Bài 16: Cho Chứng minh rằng: Bài 17: Chứng minh rằng: Nếu Bài 16: Cho Chứng minh rằng: Bài 18: Cho Chứng minh rằng: Bài 19: Chứng minh rằng: Nếu Bài 20: Chứng minh rằng: Nếu có thỏa mãn chúng lập thành tỉ lệ thức Bài 21: Cho dãy Chứng minh rằng: Bài 22: Cho a, b dương thỏa mãn: Chứng minh Bài 23: Cho Chứng minh Bài 24: Cho Chứng minh rằng: Bài 25: Chứng minh ta có: Bài 26: Biết ; Chứng minh Bài 27: Cho Chứng minh rằng: Bài 28: Cho số đôi khác Chứng minh rằng: Bài 29: Cho tỷ lệ thức Chứng minh Bài 30: Cho số hữu tỷ với b 0; d Chứng minh rằng: Bài 31: Nếu b 0; từ Bài 32 Cho Chứng minh rằng: Bài 33 Cho Chứng minh Dạng 2: Chứng minh dãy tỉ số Trang I Phương pháp giải Cách 1: Sử dụng định nghĩa Ví dụ: Cho Ta đặt thay vào biểu thức cần chứng minh Cách 2: Sử dụng phương pháp nhân chéo Để chứng minh ta chứng minh Cách 3: Áp dụng tính chất dãy tỷ số Ví dụ: Ta có II Bài tốn Bài 1: Cho Chứng minh Bài 2: Cho Chứng minh Bài 3: Cho Chứng minh rằng: Bài 4: Chứng minh với số thực khác và: Bài 5: Cho Chứng minh Với mẫu số khác Bài 6: Cho số thỏa mãn Chứng minh rằng: Bài 7: Cho dãy tỉ số Chứng minh Bài 8: Cho dãy tỉ số Chứng minh Bài 9: Cho Chứng minh: Bài 10: Cho Chứng minh: Bài 11: Cho Chứng minh: Bài 12: Cho Chứng minh: Bài 13: Cho Chứng minh Bài 14: Chứng minh Bài 15: Cho Chứng minh Bài 16: Cho tỷ lệ thức Chứng minh rằng: (với mẫu khác 0) Bài 17: Cho bốn số thỏa mãn: Chứng minh Bài 18: Trang Cho Chứng minh Bài 19: Cho Chứng minh rằng: Bài 20: Cho thỏa mãn Chứng minh rằng: Bài 21: Cho Chứng minh biểu thức sau có giá trị nguyên: Bài 22: Cho số dương Chứng minh Bài 23 Chứng minh : Nếu với Bài 24 Chứng minh rằng: Nếu thì: a) b) Bài 25 CMR: Nếu điều đảo lại có hay khơng? Bài 26 Cho Chứng minh Bài 27 Chứng minh rằng: Nếu Bài 28 Chứng minh rằng: Nếu đk: Bài 29 Chứng minh rằng: Nếu (1) Trong số khác thì: a b' b c' 1 ' ' Bài 30 Biết a b b c Chứng minh rằng: Dạng Tìm đại lượng chưa biết tỉ lệ thức I Phương pháp giải Phương pháp giải theo định nghĩa Có: Thay vào biểu thức cho để tìm Phương pháp sử dụng tính chất dãy tỷ số Ví dụ: đại lượng chưa biết II.Bài tốn Bài Tìm số biết rằng: Bài Cho tỷ lệ thức Tìm Bài Tìm biết rằng: Bài Cho đôi khác khác 0, biết số nguyên tố Tìm số Bài Số tổng ba số, biết ba số tỷ lệ với tổng bình phương chúng 24309 Hãy tìm số Bài Tìm biết : a) b) Bài Tìm biết : Trang a) b) Bài Tìm biết : a) b) Bài Tìm số biết chúng thỏa mãn đồng thời điều kiện sau Bài 10 Tìm số biết a) b) Bài 11 Tìm số biết a) b) Bài 12 Tìm số biết Bài 13 Tìm số biết a) b) Bài 14 Tìm số biết Bài 15 Tìm số biết Bài 16 Tìm , biết Bài 17 Tìm số biết Bài 18 Tìm biết Bài 19 Tìm ba số biết: Bài 20 Tìm biết: Bài 21 Tìm biết Bài 22 Tìm số tự nhiên M nhỏ có chữ số thỏa mãn điều kiện: biết: Bài 23 Tìm biết Bài 24 Tìm số dương, biết Bài 25 Tìm hai số khác 0, biết tổng, hiệu,tích hai số tỉ lệ với Bài 26 Tìm số biết Bài 27 Tìm biết Bài 28 Cho hai đại lượng hai giá trị , hai giá trị tương ứng y Tính biết Bài 29 Tìm hai số dương khác biết rằng: Tổng, hiệu tích chúng tỉ lệ nghịch với 35; 210 12 Bài 30 Tìm số tự nhiên có ba chữ số, biết số bội 18 chữ số tỷ lệ với 1; 2; Bài 31 Tìm số x, y, z biết Bài 32 Số A chia thành số tỉ lệ theo Biết tổng bình phương ba số Tìm số Bài 33: Tìm cặp số biết: Bài 34 Cho a b c 0; a 2012 Tính Dạng Tính giá trị biểu thức I Phương pháp giải Trang Cho thỏa mãn điều kiện đầu u cầu: Tính giá trị biểu thức Cách giải: Vận dụng kiến thức tỷ lệ thức để tìm mối quan hệ để tìm giá trị biểu thức cần tìm II Bài tốn Bài 1: Cho Tính Bài Cho Tính Bài Cho Tính giá trị biểu thức Bài Cho Tính Bài Cho số thỏa mãn Tính Bài Cho dãy tỉ số nhau: Tính giá trị biểu thức Bài Cho đơi khác thỏa mãn Tính giá trị biểu thức Bài Cho dãy tỉ số Tính giá trị biểu thức Bài Cho a , b , c thỏa mãn Tính giá trị biểu thức Bài 10 Cho Tính giá trị biểu thức Bài 11 Cho Tính giá trị biểu thức Bài 12 Cho khác nhau, thỏa mãn Tính giá trị biểu thức Bài 13 Cho số x,y,z,t thỏa mãn Và Tính giá trị biểu thức Bài 14 Cho Tính Bài 15 Cho Tính Bài 16 Cho khác thỏa mãn Tính Trang Bài 17 Cho Tính Bài 18 Tính giá trị biểu thức A, biết Bài 19 Tính , biết có quan hệ: Bài 20 Cho Tính giá trị : Bài 21 Cho Tính Bài 22 Cho Tính Bài 23 Cho x, y, z số khác đồng thời thỏa mãn Bài 24 Cholà số thực thỏa mãn Tính giá trị biểu thức Bài 25 Cho tỉ lệ thức Tính giá trị tỉ số Bài 26 Cho số khác Tính Biết thỏa mãn: Bài 27 Cho số thực thỏa mãn Tính giá trị biểu thức Bài 28 Cho thỏa mãn Tính giá trị biểu thức Dạng Áp dụng tỷ lệ thức để giải toán thực tế (Toán chia tỉ lệ) I Phương pháp giải Bước 1: Sử dụng chữ (biến số) để đặt đại lượng chưa biết đặt điều kiện ẩn Bước 2: Lập dãy tỷ số tìm điều kiện Bước 3: Tìm đại lượng chưa biết (giải phương trình) Bước 4: So sánh với điều kiện kết luận tốn II Bài tập Bài : Tìm số có ba chữ số, biết số bội chữ số xếp theo thứ tự tăng dần tỷ lệ với 1, 2, Bài : Độ dài ba cạnh tam giác tỷ lệ với 2, 3, Hỏi ba chiều cao tương ứng với ba cạnh tỷ lệ với số Bài Một ô tô từ đến Sau nửa quãng đường ô tô tăng vận tốc thêm 20% Do tơ đến sớm dự định 10 phút Tính thời gian tô từ đến Bài Ba đường cao tam giác Tìm , biết số nguyên dương Bài 5: Ba máy xay xay thóc Số ngày làm việc máy tỷ lệ với Số làm việc máy ngày tỷ lệ với Công suất máy tỷ lệ nghịch với Hỏi máy xay thóc? Trang Bài 6: Lớp 7B có học sinh chia làm tổ Nếu tổ thêm học sinh, tổ bớt học sinh, tổ thêm học sinh số học sinh tổ 1, 2, tỷ lệ nghịch với 15, 20, 12 Tìm số học sinh tổ? 7: Một cửa hàng có ba bao gạo, tổng khối lượng ba bao gạo kg , giá tiền kg Bài gạo ba bao gạo Sau ngày bán hàng hàng lại bao thứ nhất, bao thứ hai bao thứ ba Số tiền bán ba bao thứ nhất, thứ hai, thứ ba tỷ lệ với Tính xem ngày cửa hàng bán kg gạo bao? Bài : Ba bể nước có tất lít nước, sau rút bớt lượng nước bể 1, lượng nước bể lượng nước bể lượng nước lại bể Hỏi lúc đầu bể chứa lít nước? Bài : Tìm ba số tự nhiên, biết tỷ số số thứ với số thứ hai 3: , tỷ số số thứ thứ ba 6: 13 BCNN ba số 7176 Bài 10 : Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc , cạnh thứ ba vật chuyển động với vận tốc , cạnh thứ tư vật chuyển động với vận tốc Hỏi độ dài cạnh hình vng m , biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 118 giây? Bài 11 : Hãy tìm tất số có hai chữ số biết tổng, hiệu, tích chữ số số ba số nguyên dương tỉ lệ với 35: 210: 12 Bài 12 : Tìm hai số hữu tỉ a,b biết hiệu a b thương a b lần tổng a b Bài 13 : Tìm phân số có tổng chúng , tử chúng tỉ lệ với 3; 4; mẫu só tương ứng chúng tỉ lệ với 5; 1; Bài 14 : Số M chia làm số tỉ lệ với , tìm số M biết rẳng tổng bình phương ba số ? Bài 15 : Ba lớp mua số gói tăm từ thiện, lúc đầu số gói tăm dự định chia cho ba lớp với tỉ lệ sau chia theo tỉ lệ nên có lớp nhận nhiều gói Tính tổng số gói tăm mà ba lớp mua? Bài 16 : Trong kì thi HSG trường, ba bạn Tài, Trí, Đức giáo thưởng 100 000đ Số tiền thưởng phân chia tỉ lệ với số điểm mà bạn đạt được, biết số điểm Tài so với số điểm Trí, số điểm Đức 25% tổng số điểm hai người Tính số tiền bạn thưởng? Bài 17 : Ba đơn vị xây dựng chung cầu hết 340 triệu, đơn vị thứ có xe cách cầu 1,5km, đơn vị thứ hai có xe cách cầu 3km, đơn vị thứ có xe cách cầu km Hỏi đơn vị phải trả bao nhiều tiền cho việc xây cầu biết số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ đơn vị tới cầu ? Bài 18 : Cho có góc tỉ lệ với Các góc ngồi tương ứng tỉ lệ với số nào? Trang HSG T7 – CĐ2 - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN, TỈ LỆ NGHỊCH PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT: 1.Đại lượng tỉ lệ thuận a Định nghĩa: Nếu đại lượng liên hệ với đại lượng theo cơng thức: lệ ta nói tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ Chú ý: Nếu tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ tỉ lệ thuận với theo hệ số b Tính chất: *; * ; ; … Đại lượng tỉ lệ nghịch a Định nghĩa: Nếu đại lượng liên hệ với đại lượng theo công thức hay ( số khác 0) ta nói tỉ lệ nghịch với theo hệ số tỉ lệ Chú ý: Nều tỉ lệ nghịch với theo hệ số tỉ lệ nghịch với theo hệ số b Tính chất: * * ; ; … Chú ý : + Nếu tỉ lệ thuận với ta có : ax = by = cz Û + Nều tỉ lệ nghịch với ta có: x y z = = 1 a b c + Đại lượng tỉ lệ thuận với đại lượng theo hệ số tỉ lệ ( ), đại lượng tỉ lệ thuận với đại lượng theo hệ số tỉ lệ (), tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ + Đại lượng tỉ lệ nghịch với đại lượng theo hệ số tỉ lệ ( ), đại lượng tỉ lệ nghịch với đại lượng theo hệ số tỉ lệ (), tỉ lệ thuận với theo hệ số tỉ lệ PHẦN II DẠNG BÀI TỐN CĨ LỜI VĂN DẠNG I: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ THUẬN A PHƯƠNG PHÁP GIẢI Bước 1: Xác định tương quan tỉ lệ thuận đại lượng Trang 10 PP: Để kiểm tra điểm có thuộc đồ thị hàm số hay không ta thay giá trị x y vào đồ thị hàm số, đẳng thức điểm thuộc đồ thị hàm số ngược lại Ví dụ: Cho y = 2x + 1; điểm sau có thuộc đồ thị hàm số khơng: A(1;3);B(3;2) Giải: Thay tọa độ điểm A(1;3) vào đồ thị ta được: 3=2.1+1 (luôn đúng) Vậy điểm A(1;3) thuộc đồ thị Thay tọa độ điểm B(3;2) vào đồ thị ta được: 2=2.3+1(vơ lí) Vậy B(3;2) khơng thuộc đồ thị Bài Đồ thị hàm số y = ax qua điểm A(4;2) a) Xác định hệ số a b) Cho B(- 2;- 1);C (5;3) Không cần biểu diễn B C mặt phẳng tọa độ, cho biết điểm A, B, C có thẳng hàng khơng? Dạng 5: Cách lấy điểm thuộc đồ thị vẽ đồ thị hàm số y = ax, y = ax + b , đồ thị hàm trị tuyệt đối toán liên quan Phương pháp: - Để lấy điểm thuộc đồ thị ta cho giá trị x tinh y ngược lại -Để vẽ đồ thị Ta lấy điểm mà đồ thị hàm số qua( Bằng cách cho giá trị x để tìm y) nối điểm đồ thị hàm số - Với đồ thị hàm số y = ax ,, ta lấy điểm nối với gốc tọa độ Chú ý: Đường thẳng đường thẳng song song Ox cắt Oy a Đường thẳng x = b đường thẳng song song Oy cắt Ox b Bài 1: Cho hàm số y = 2x + m | x | a) Xác định m, biết đồ thị hàm số qua điểm A(1;1) b) Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm câu a Bài 2: a) Vẽ đồ thị hàm số y =∣ 2x | b) Tính diện tích hình tam giác giới hạn đồ thị hàm số y =∣ 2x | y = Bài 3: Cho hai hàm số y = f (x) =∣ 2x | y = g(x) = a) Vẽ hệ trục tọa độ Oxy đồ thị hai hàm số b) Dùng đồ thị tìm giá trị x cho | 2x |< y y2 Bài 4: ( đ) cho hàm số y = 2x Biết giá trị hàm số tương ứng với x ;x x x = 5;y1 = y giá trị biến số Tính ? Bài 5: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đồ thị hàm số y = ax đường thẳng OM với x0 - M(- 3;2) Điểm N ( x0;y0 ) thuộc đồ thị hàm số Tính y0 + - y = x y = x Chứng minh hai đồ thị vng góc với Bài 6: Xét hàm số Trang 69 A(- 1;- 2);B( ;1);C (1;2) Bài 7: Trong mặt phẳng Oxy Cho Chứng minh rằng: A; B; C thẳng hàng Bài 8: Một người xe máy đoạn đường AB = 60km Khởi hành từ A với vận tốc không đổi B Trong mặt phẳng tọa độ , trục hoành trục thời gian, trục tung trục quãng A( ;15); B(1;30);C ( ;45) đường Ta ghi nhận điểm: a) Tính vận tốc xe? b) Nếu người khởi hành từ A lúc 8h đến B lúc giờ? Bài 9: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy Tìm tập hợp điểm có tọa độ x,y nguyên thỏa mãn điều kiện sau: a) x(y - 1) = b) (x - 2) ×(y + 1) = 2 c) (x + 2) + (y - 3) = Bài 10 Vẽ đồ thị hàm số y =| x | Bài 11 Cho hàm số y = (2 m + 1)x a) Xác định m để đồ thị hàm số qua điểm A(- 1;1) b) Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm DẠNG 6: Xác định công thức hàm số thỏa mãn điều kiện Phương pháp: Trong biểu thức có chứa giá trị chưa biết f (a) , thay giá trị x cho tìm giá trị f (a) Bài 1: Xác định công thức hàm số f (x) trường hợp sau a) f (x) thỏa mãn: b) f (x) thỏa mãn: f (x) + 3f (- 1) = x + Bài 2: Xác định công thức hàm số f (x) biết với x Ỵ ¡ DẠNG 7: Các dạng toán chứng minh liên quan đến hàm số Phương pháp: Thay giá trị đặc biệt để xuất yêu cầu toán Dạng cần linh hoạt toán cụ thể f ( x1 + x2) = f ( x1 + x2 ) Bài 1: Cho hàm số y = f (x) xác định với Q có tính chất với x1, x2 ? Q) Chứng minh f (- x) = - f (x) f(1) = 0; (- 1) = Bài 2: Cho hàm số y = f (x) = ax + bx + c Chứng minh a c hai số đối BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho hàm số y = f (x) = 4x - a Tính b Tìm x để f (x) = - Trang 70 c Chứng tỏ với x R f (x) = f (- x) y = f ( x ) Bài 2: Viết công thức hàm số biết y tỷ lệ thuận với x theo hệ số tỷ lệ a Tìm x để f (x) = - b Chứng tỏ x1 > x2 Bài 3: Viết cơng thức hàm số y = f (x) biết y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số a = 12 a.Tìm x để f (x) = 4; f (x) = b.Chứng tỏ f (- x) = - f (x) Bài 4: Cho hàm số y = f (x) = kx (k số, k 0) Chứng minh rằng: a) f (10 x) = 10 f (x) b) c) f ( x1 + x2) = f ( x1) + f ( x2 ) f ( x1 - x2 ) = f ( x1) - f ( x2 ) Bài 5: Đồ thị hàm số y = ax qua điểm A(4;2) a Xác định hệ số a vẽ đồ thị hàm số b Cho B(- 2, - 1);C (5;3) Không cần biểu diễn B C mặt phẳng tọa độ, cho biết ba điểm A, B, C có thẳng hàng khơng? Bài 6: Vẽ đồ thị hàm số Bài 7: Cho đồ thị hàm số y = 2x có đồ thị (d) a) Hãy vẽ (d) b) Các điểm sau thuộc (d) : M (- 2;1);N (2;4);P (- 3,5;7);Q(1;3) ? Bài 8: Cho hàm số y = x a) Vẽ đồ thị (d) hàm số b) Gọi M điểm có tọa độ (3;3) Điểm M có thuộc (d) khơng? Vì sao? c) Qua M kẻ đường thẳng vng góc với (d) cắt Ox A Oy B Tam giác OAB tam giác gì? Vì sao? m; f (m); f( (m)) Bài 9: Cho hàm số f (x) = x - x + Chứng minh với số nguyên tố đôi ĐS7 CHUYÊN ĐỀ – ĐỒNG DƯ THỨC VÀ BÀI TOÁN CHIA HẾT PHẦN I TĨM TẮT LÍ THUYẾT I Định nghĩa aMb (a N;, b N;* ) Nếu a bq Nếu hai số nguyên a b có số dư phép chia cho số tự nhiên m a b mod m ta nói a đồng dư với b theo mơđun m, có đồng dư thức: Ví dụ: + Chú ý: Trang 71 II Một số tính chất A Tính chất đồng dư Tính chất phản xạ: a a mod m Tính chất đối xứng: Tính chất bắc cầu: a b modm b a modm a b modm , b c mod m a c mod m Cộng , trừ vế: a b (mod m) a c b d (mod m) c d (mod m) Hệ quả: a) a b modm a c b c mod m b) a b c mod m a c b modm c) a b modm a km b mod m a b (mod m) ac bd (mod m) c d (mod m) Nhân vế : Hệ quả: a ) a b mod m ac bc modm (c ¢) b) a b modm an bn modm Có thể nhân (chia) hai vế môđun đồng dư thức với số nguyên dương a b mod m ac bc mod mc Chẳng hạn: 11 mod4 22 mod8 ac bc (mod m) a b (mod m) (c, m) =1 16 (mod 7) (mod 7) (2, 7) =1 Chẳng hạn : p1 Định lí Fermat: Cho p số nguyên tố (a, p) a 1(mod p) B Tính chất chia hết Nếu a chia hết cho m n , m, n hai số nguyên tố a chia hết cho mn Nếu tích a.b chia hết cho c, (b,c) a chia hết cho c Trang 72 Với p số nguyên tố Nếu a.b chia hết cho p a chia hết cho p b chia hết cho p n 1 nhận hai số dư Khi chia n 1số nguyên dương liên tiếp cho n n 1 số ngun liên tiếp, ln có số chia hết cho n Trong n a; b d tồn hai số nguyên x; y cho: ax by d Nếu n n Với a; b Z ; a b n số tự nhiên: a b Ma b Trong n số nguyên liên tiếp ( n 1) có số chia hết cho n Lấy n 1 số nguyên ( n 1) đem chia cho n phải có hai số chia cho n có số dư; (Theo ngun lí Đirichlet) m 10 Tìm m chữ số tận số A tìm số dư chia A cho 10 2002 Bài : Chứng minh rằng: 4chia hết cho 31 5555 2222 Bài 9: Chứng minh rằng: 2222 5555 chia hết cho 4n1 Bài 10: CMR: 4n1 Bài 11: CMR: 4n1 23 5(với n N ) chia hết cho 7M 11 với n N Bài 12: CMR: Nếu c số nguyên dương: a b (modm) ac bc(modc.m) Bài 13: Chứng minh định lý Fermat nhỏ: Giả sử p số nguyên tố bất kỳ, với số p tự nhiên n ta có n nchia hết cho p Dạng Dùng đồng dư để tìm số dư phép chia I Phương pháp giải - Với hai số ngun a m, m ln có cặp số nguyên q, r cho a mq r, r m Để tìm số dư r phép chia a cho m ta cần tìm r cho a r (mod m) 0 r m n k - Tìm số dư phép chia tổng a b cho m: Phương pháp : Tìm số dư A B cho m: + Tìm số dư r1 phép chia A cho m + Tìm số dư r2 phép chia B cho m + Tìm số dư r phép chia r1 r2 cho m: + r số dư phép chia tổng A B cho m Giải thích : + Khi A chia cho m dư r1 , ta viết: A mk1 r1, k1 ¥ Trang 73 + Khi B chia cho m dư r2 , ta viết: B mk2 r2 , k2 ¥ A B m k1 k2 r1 r2 + Khi đó: Vậy số dư phép chia A B cho m số dư phép chia tổng r1 r2 cho m - Tìm số dư phép chia hiệu an bk , an bk cho m: A B : Phương pháp: Tìm số dư A B cho m + Tìm số dư r1 phép chia A cho m + Tìm số dư r2 phép chia B cho m + Tìm số dư r phép chia r1 r2 cho m: Nếu r1 r2 số dư cần tìm r r1 r2 r r1 r2 m Nếu r1 r2 số dư cần tìm Nếu r1 r2 , hiệu A B chia hết cho m.Tức r Giải thích: + Khi A chia cho m dư r1 , ta viết: A mk1 r1, k1 ¥ + Khi B chia cho m dư r2 , ta viết: B mk2 r2 , k2 ¥ + Khi đó: A B m k1 k2 r1 r2 Vậy số dư phép chia A B cho m số dư phép chia hiệu r1 r2 cho m n k - Tìm số dư phép chia tích a b cho m: Phương pháp: Tìm số dư A.B cho m: + Tìm số dư r1 phép chia A cho m + Tìm số dư r2 phép chia B cho m + Tìm số dư r phép chia r1.r2 cho m + r số dư phép chia tích A.B cho m Giải thích : + Khi A chia cho m dư r1 , ta viết: A mk1 r1, k1 ¥ + Khi B chia cho m dư r2 , ta viết: B mk2 r2 , k2 ¥ + Khi đó: A.B mk1 r1 mk2 r2 mk r1.r2, k ¥ Vậy số dư phép chia A.B cho m số dư phép chia tích r1.r2 cho m II Bài tốn 100 Bài : Tìm số dư cho 13 2004 Bài : Tìm số dư 2004 chia 11 2005 Bài : Tìm số dư chia A 1944 cho Trang 74 1000 1001 Bài : Chứng minh số A 1và B 1đều bội số Bài : Tìm số dư phép chia 1532 1cho 2003 Bài : Tìm dư phép chia cho 13 70 50 Bài 7: Tìm dư phép chia cho 12 776 777 778 Bài : Tìm số dư A 776 777 778 chia cho chia cho 5? 2005 2005 Bài 9: Tìm số dư A chia cho 11 chia cho 13 2004 Bài 10: Cho A a) Tìm số dư A chia cho 100 b) Tìm số dư A chia cho 1000 93 Bài 11: Tìm số dư chia 3012 1cho 13 Bài 12: Bạn Thắng học sinh lớp 6A viết số có hai chữ số mà tổng chữ số 14 Bạn Thắng đem số chia cho số dư 4, chia cho 12 số dư a) Chứng minh bạn Thắng làm sai phép tính chia b) Nếu phép chia thứ cho phép chia thứ hai cho 12 có số dư ? Hãy tìm số bị chia 94 Bài 13 Tìm số dư chia 92 cho 15 30 Bài 14 Tìm số dư phép chia 1234 cho 2014 200 Bài 15 Tìm số dư phép chia 2014 cho 2016 2014 Bài 16 Tìm số dư phép chia 1234 cho 2014 2014 Bài 17 Tìm số dư phép chia số A 1993 cho 25 52 Bài 18 Tìm số dư phép chia 12 21 cho 2014 2013 2014 Bài 19 Tìm số dư phép chia 2013 2014 cho 2023 24 12 Bài 20 Tìm số dư phép chia 19 15 cho 2004 50 40 Bài 21 Tìm số dư phép chia cho 2014 2013 Bài 22 Tìm số dư phép chia 2014 2013 cho 2023 20 18 Bài 23 Tìm số dư phép chia 15 23 cho 2011 2013 2014 Bài 24 Tìm số dư phép chia 2013 2014 cho 2023 10 10 10 10 10 10 Bài 25 Tìm số dư phép chia A 10 10 10 10 10 cho 17 17 17 17 Bài 26 Tìm số dư phép chia A 2014 cho 17 Trang 75 Dạng Tìm n chữ số tận lũy thừa I.Phương pháp giải n Tìm 1; hay chữ số tận số có dạng a trường hợp đặc biệt phép chia có n dư, tìm dư phép chia a cho 10;100 hay 1000 n Bài toán tổng quát Tìm chữ số tận a : n * Nếu a có chữ số tận , , a có chữ số tận 0, 1, 5hoặc * Nếu a có chữ số tận 2,3hoặc , ta có nhận xét sau * Với k N 24k mod10 34k mod10 74k mod10 Do đó: n a/ Để tìm chữ số tận a với a có số tận 2, 3, ta lấy n chia cho Giả r 0; 1; 2; 3 sử n 4k r với - Nếu - Nếu a mod10 an 2n 24k 6.2r mod10 a mod10 haya mod10 an 24kr ar mod10 n Bài tốn tổng qt Tìm chữ số tận a : Ta có nhận xét sau : 220 76 mod100 320 01 mod100 65 76 mod100 74 01 mod100 Mà 76n 76 mod100 , n 5n 25 mod100 , n * Suy kết sau với k ¥ a20k 00 mod 100 a20k 01 mod100 nếu a mod 10 a ; ; ; 9 mod 10 Trang 76 a20k 25 mod 100 a20k 76 mod 100 nếu a mod 10 a 2; 4; 6; mod 10 n Vậy để tìm chữ số tận a ta lấy số mũ n chia cho 20 n Bài toán tổng quát Tìm chữ số tận a Ta có : a mod10 001 mod10 a ; ; ; mod10 625 mod10 a mod10 376 mod10 a ; ; ; mod10 a100k 000 mod103 a100k a100k a100k 3 n Để tìm chữ số tận a , ta tìm chữ số tận số mũ n Bài tốn tổng qt Tìm bốn, năm, sáu chữ số tận số Để tìm bốn, năm, sáu chữ số tận số ta tìm dư số cho 10000, 100000, 1000000 II.Bài toán n Bài toán tổng quát Tìm chữ số tận a 2002 Bài 1.Tìm chữ số hàng đơn vị số 17 1983 1917 Bài Chứng minh 0,3(1983 1917 ) số nguyên 4n1 Bài Chứng minh 3M 11 với số tự nhiên n Bài Tìm chữ số tận số 2006 Bài Tìm chữ số hàng đơn vị N 103 2014 Bài Tìm chữ số tận 4567 Bài Tìm chữ số hàng đơn vị 1242014 234 900 Bài Tìm chữ số hàng đơn vị 125 67 2014 2014 Bài Tìm chữ số hàng đơn vị 124 4567 2014 100 Bài 10 Tìm chữ số hàng đơn vị 332211 78 12 2016 Bài 11 Tìm chữ số tận B 2014 2014 2014 2014 Bài 12 Hỏi số sau số nguyên phân số: a) A 0,7 20012004 20032006 Trang 77 b) B 0,3 19831983 19171917 2015 2011 2015 Bài 13 Chứng minh rằng: A 2015 3.2011 2018 chia hết cho 10 n Bài tốn tổng qt Tìm chữ số tận a : 2003 Bài 1.Tìm hai chữ số tân 2 30 Bài 2.Tìm hai chữ số tận S 1 3 Bài Tìm chữ số hàng chục, hàng trăm số 232005 Bài Tìm chữ số hàng chục số 232008 1999 2000 2001 Bài Tìm hai chữ số tận A 123 Bài Tìm chữ số hàng chục 1234 Bài Tìm chữ số tận số: 2004 a) A 99 b) B 1999 2000 2001 Bài Tìm hai chữ số tận số 10 Bài a) Tìm chữ số tận 1000 b) Tìm hai chữ số tận n Bài tốn tổng qt Tìm chữ số tận a 2005 Bài Tìm chữ số hàng trăm số 23 Bài 2.Tìm chữ số hàng đơn vị, hàng chục hàng trăm số tự nhiên: 2010 A 29 2007 Bài 3.Tìm chữ số hàng trăm : P 29 540 Bài 4.Tìm chữ số hàng trăm, hàng chục, hàng đơn vị 314 Bài tốn tổng qt Tìm bốn, năm, sáu chữ số tận số 52009 Bài 1.Tìm chữ số tận 2013 Bài Tìm chữ số tận 21 Bài Tìm sáu chữ số tận số B Dạng Phương trình nghiệm ngun, tốn số ngun tố, số phương I.Phương pháp giải Trang 78 - Vận dụng tính chất: aMm; bMm a bMm Nếu a b mod m c d mod m thì: a c b d modm II.Bài tốn Bài Giải phương trình nghiệm ngun 3x 17y 159 1 Bài Tìm nghiệm nguyên phương trình 2x 13y 156 2 Bài Giải phương trình nghiệm nguyên 23x 53y 109 9x y2 y * Bài Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 1 2 3 4 11879 Bài Giải phương trình nghiệm nguyên sau: x Bài Tìm x, y nguyên dương thoả mãn: x 3x 1 y 1 x x y * 30 x y Bài Giải phương trình nghiệm nguyên sau: 19 1890 1975 2013 2y1 Bài Tìm số nguyên dương x, y biết: x x 1 Bài 10 Chứng minh số sau số nguyên tố a)A 22014 2005 b)A 22 2n1 Bài 11 Số A 5 N* số nguyên tố hay hợp số n Bài 12 Chứng minh rằng: Các số có dạng 4n1 A 32 n N * số nguyên tố Bài 13 Chứng minh rằng: Nếu p số nguyên tố không ước số nguyên a ap1 1(mod p) Bài 14 Chứng minh số sau không số phương: 2 a) A 1992 1993 1994 2 2 b) B 1992 1993 1994 1995 100 100 100 c) C 1 94 1994 19 199 1994 Bài 15 Chứng minh số A 1 19 93 1993 khơng số phương 4n 4n 4n 4n Bài 16 Chứng minh A 2012 2013 2014 2015 số phương với số nguyên dương n (Đề thi vào lớp 10 chuyên trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh 2015 - 2016) Trang 79 Bài 17 Tìm số nguyên dương n để biểu thức sau số phương: B n n Dạng Sử dụng dấu hiệu, tính chất phép chia tập hợp số nguyên I.Phương pháp giải Sử dụng * Dấu hiệu chia hết cho 2;3;5;9 n n n n n n n n * Chữ số tận ;3 ;4 ;5 ;6 ;7 ;8 ;9 * Tính chất chia hết tổng II.Bài toán Bài Chứng minh rằng: Với số nguyên dương n : 3n2 2n2 3n 2n chia hết cho 10 2004 2003 Bài Chứng tỏ rằng: A 75(4 4 1) 25 số chia hết cho 100 m n p (1) Bài Cho n, m N p số nguyên tố thoả mãn: m1 = p * Chứng minh : p n Bài 1998 a) Số A 10 có chia hết cho khơng? Có chia hết cho khơng ? 38 33 b) Chứng minh rằng: A 36 41 chia hết cho Bài Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: 24m4 1 n2 Chứng minh rằng: mnM5 a, b Z Bài a) Chứng minh rằng: 3a 2bM17 10a bM17 a, b,c Z b) Cho đa thức f (x) ax bx c CMR f (x) chia hết cho với giá trị x a, b,c chia hết cho n n 2 Chứng minh 2n hợp số Bài Cho số nguyên tố II.Bài toán A n 2n 7 7n 7 M6 Bài Chứng minh với số tự nhiên n ta có : Bài Cho số nguyên a không chia hết cho Chứng minh: A 4a 3a 5M6 11 Bài Tìm tất số nguyên dương n cho: n 9n 2M 4n2 1M5 chia hết cho 13 Bài Chứng minh có vơ số tự nhiên n cho Trang 80 13, n N A 32n 3n 1M Bài Chứng minh nM n Bài Tìm tất số tự nhiên n để 1M7 A n n2 n2 M5, n Z Bài Chứng minh rằng: B a15 a25 an5 Bài Cho A a1 a2 an , Chứng minh rằng: A BM30 Lời giải Bài Chứng minh Lời giải n;6 n 1M24,n Z 2n n Bài 10 Tìm số tự nhiên n để: 1M7 Bài 11 Cho hai số tự nhiên m, n thỏa mãn: 24m 1 n Chứng minh rằng: mnM5 Lời giải 2 Bài 12 Tìm tất số nguyên x cho : x 8x 2xMx 2 Bài 13 Cho hai số tự nhiên a, b Chứng minh rằng: 5a 15ab b M49 3a bM7 Lời giải 2 Bài 14 Cho a, b số nguyên dương cho a b chia hết cho tích a.b a2 b2 A ab Tính giá trị biểu thức: m , n Bài 15 Cho hai số nguyên tố Hãy tìm ước số chung lớn hai số A m n 2 B m n 2n 10a b, b 10 Bài 16 Cho số tự nhiên n , Chứng minh rằng: abM6 5 5 S n M 1 3 n Bài 17 Cho số tự nhiên n , Chứng minh rằng: p 1 1 , p, q Z 1979 q 1319 Bài 18 Cho Chứng minh pM a1, a2 , a3, an 1; 1 , n N * Bài 19 Cho Chứng minh rằng: nM4 , thỏa mãn: a1a2 a2a3 a3a4 ana1 , 7 ab a b M Bài 20 Tìm hai số nguyên dương a, b cho: An Bn M A B ,n An Dạng Sử dụng tính chất a b a B M A B ,n lẻ 7 b7 M77 n I.Phương pháp giải Sử dụng tính chất II.Bài toán An Bn M A B ,n lẻ, An Bn M A B ,n n n n n Bài Chứng minh A 2005 60 1897 168 M2004,n N A 5n 5n 6n 3n 2n M91 n N Bài Cho , CMR : Trang 81 2n n n1 17 Bài Cho n N , Chứng minh rằng: 19 M 3 3 Bài Chứng minh rằng: M2 Bài Chứng minh rằng: 6n 6n Bài Chứng minh rằng: M35,n N n 5n 26.5n 82n1M59 Bài CMR với số tự nhiên ta có : 2n 15 Bài Chứng minh rằng: 14M n n n Bài Chứng minh rằng: A 20 16 1M323,n N nn n2 n 1M n 1 ,n Bài 10 Chứng minh rằng: 2n1 n Bài 11 Chứng minh rằng: M7,n N mn m4 n4 M30,m,n N Bài 12 Chứng minh rằng: n Bài 13 Chứng minh rằng: A 63M72, n N, n n số chẵn n n n Bài 14 Tìm giá trị n để: A 20 16 1M323 2n 4n1 Bài 15 Tìm số tự nhiên n để A M25 a a 1 b 1 M 192 Bài 16 Cho a, b hai số phương lẻ liên tiếp, Chứng minh rằng: 2 Bài 17 Cho ba số nguyên dương a, b,c thỏa mãn: a b c Chứng minh rằng: abcM60 Bài 18 Chứng minh rằng: 36n 60n 24M24 Dạng Sử dụng phương pháp quy nạp không hoàn toàn tập hợp số nguyên I.Phương pháp giải + Chứng minh toán với n nhỏ + Giả sử toán với n k + Chứng minh toán với n k 1thì kết luận II.Bài tốn n * Bài Chứng minh A 16 15n 1M225,n N 3n Bài Chứng minh rằng: A 26n 27M676,n 2n 15,n N* Bài Chứng minh rằng: A 1M HẾT Trang 82 Trang 83 ... 6: Tính tổng: Bài 7: Tính tổng: Trang 38 a) b) Bài 8: Tính tổng N=1.99+2.98+3. 97+ …+ 97. 3+98.2+99.1 Bài 9: Tính tổng Bài 10: Tính tổng tự nhiên a, ( 10 chữ số 9) b, (10 số 1) Bài 11: Tính tổng tự... gọn tổng A gồm phân số mà mẫu số sau gấp mẫu số trước số m không đổi, ta lấy II Bài toán Bài Tính tổng : Bài Tính tổng: Bài Thu gọn tổng sau: a, D = b, E = Bài Tính tổng: Bài Tính tổng Bài. .. số trường hợp cụ thể: Các số có tận 01,25 ,76 nâng lên lũy thừa nào( khác 0) tận 01,25 ,76 Các số có tận 01 Các số có tận 76 Số có tận 76 II .Bài tốn Bài 7: Tìm hai chữ số tận số: a) b) Bài 8: Tìm