ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ CHƯƠNG IV §1 Dãy số có giới hạn 0 Định nghĩa thì (un (< ( Một số dãy có giới hạn 0 * Định lý 1 Hai dãy số (un) và (vn) Nếu (un( ( vn (n và limvn = 0 thì limun = 0 * Định lý 2 Nếu (q( < 1 thì limqn = 0 §2 Dãy số có giới hạn hữu hạn Định nghĩa limun = L ( lim(un – L) = 0 Định lý 1 Giả sử limun = L Khi đó a) lim(un( = (L( và b) Nếu un ( 0 (n thì L ( 0 và Định lý 2 Nếu limun = L, limvn = M và c là một hằng số Khi đó lim(un + vn) = L + M; lim[.]
ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO - GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ-CHƯƠNG IV §1 Dãy số có giới hạn 0: u n = ⇔ ∀ε > 0, ∃ n ∈ N ∀n ∈ N, n > n un < ε • Định nghĩa: lim n→∞ • Một số dãy có giới hạn 0: * lim = 0; n lim ; n lim = nk * Định lý 1: Hai dãy số (un) (vn) Nếu un ≤ ∀n limvn = limun = * Định lý 2: Nếu q < limqn = §2 Dãy số có giới hạn hữu hạn: • Định nghĩa: limun = L ⇔ lim(un – L) = • Định lý 1: Giả sử limun = L Khi đó: a) limun = L lim3 u n = L ; b) Nếu un ≥ ∀n L ≥ lim u n = L • Định lý 2: Nếu limun = L, limvn = M c số Khi đó: lim(un + vn) = L + M; lim(un - vn) = L - M; lim(un.vn) = L.M; lim lim(cun) = cL; un L = M (nếu M ≠ 0) u (1 - q n ) u1 = • Tổng cấp số nhân lùi vơ hạn: S = u1 + u1q + u1q + = lim 1- q 1- q Bài tập áp dụng: Dùng định nghĩa, chứng minh dãy sau có giới hạn 0: a với a số thực hữu hạn, k số tự nhiên hữu hạn nk 2n b) u n = ; c) u n = ; d) u n = n-2 3n + n + 2n + n Cho a > Chứng minh rằng: lim n = a 2n.sinn b) lim = Chứng minh a) lim n + - n = 0; n +1 a) u n = ( ) Ba dãy vn, un, wn thỏa ≤ un ≤ wn ∀n, limvn = L, limwn = L CMR: limun = L Biết limun = limun-1 = limun-2 = limun-k với k số hữu hạn CMR: Dãy un tăng (giảm) bị chặn (và bị chặn dưới) có giới hạn Chứng minh dãy sau có giới hạn 0: a) u n = 5n ; 3n + b) u n = nπ ; d) u n = n n+ n n + cos (- 1) n sinn + cosn ; 23 n + c) u n = (- 1) n - n +1 ; n +1 e) u n = n + - n + 1; Tìm giới hạn limun với: Giaovienvietnam.com 1 f) u n = n! nn ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO - GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ-CHƯƠNG IV a) u n = 2n + 3n - ; n - 6n e) u n = n + 3.4 n ; 2.3n + n b) u n = f) u n = n − 3n + 3n - n + 3.2 n − 3n ; n +1 + 3n +1 ( ; c) u n = n + 3cos3n - n + 2n ; d) u = ; n 2n - 6n + n + 2n + (- 2) n + 3n n + 3n - h) u = ; n (-2)n +1 + 3n +1 4n - n + n + 2n + b) lim = n n +3 g) u n = ) Chứng minh a) lim2 n + - n = 0; u = Cho dãy xác định bởi: u n u = u + n n +1 a) CMR: với n < un < u n +1 ≤ ; un b) Từ suy limun = u1 = 10 Cho dãy xác định bởi: u = u n n +1 n + a) CMR: với n < un u n +1 ≤ ; un b) Từ suy limun = 11 Tìm giới hạn dãy sau: 1 1 ; a) u n = + + + b) u n = + + + ; 3 n(n + 1) n +1 n +2 n +n 1.2 2.3 1 2.12 + 3.2 + + (n + 1).n ; c) u n = + + + d) u n = n(n + 1)(n + 2) n4 1.2.3 2.3.4 1 1 2n - e) u n = + + + ; f) + + + + n 2 2 n2 +1 n2 + n2 + n u1 = 10 12 Cho dãy xác định bởi: a) CMR: với n u n +1 = u n u -1 u n > n > u n +1 - 1; b) Tìm limun u = - Gọi (vn) dãy xác định = un + 18 13 Dãy xác dịnh bởi: u n +1 = u n - a) CMR: cấp số nhân lùi vơ hạn b) Tính tổng cấp số nhân (vn) tìm limun 1 14 CMR: dãy u n = 1 + n n n có giới hạn hữu hạn 1 n + 1 15 Đặt lim 1 + = e Tính giới hạn sau: lim n n -1 Giaovienvietnam.com n+2 ; 2 n −2 lim n +3 n +1 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO - GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ-CHƯƠNG IV §3 Dãy số có giới hạn vơ cực: u n = + ∞ ⇔ ∀M > 0, ∃ n ∈ N ∀n ∈ N, n > n un > M • lim n→∞ u n = − ∞ ⇔ ∀M < 0, ∃ n ∈ N ∀n ∈ N, n > n un < M • lim n→∞ • limun= + ∞ lim u = n Quy tắc Quy tắc Quy tắc Dấu L lim(unvn) Dấu L Dấu lim un limun limvn lim(unvn) limun +∞ +∞ +∞ +∞ + +∞ + + +∞ +∞ -∞ -∞ +∞ - -∞ + - -∞ -∞ +∞ -∞ -∞ + -∞ - + -∞ -∞ -∞ +∞ -∞ - +∞ - - +∞ Bài tập áp dụng: CMR: a) Nếu q > limqn = + ∞; n2 + - n2 + ( 3n + - n - ; n Tìm giới hạn: a) lim c) lim b) Nếu n u n = L > lim un = + ∞ ; b) lim n - 2n - n ) ( d) lim n n + n - n ; e) lim ) 2n - 11n + n2 - Cho hình vng cạnh a Nối trung điểm bốn cạnh ta hình vng nhỏ Lại làm hình vng Cứ tiếp tục Tìm giới hạn tổng diện tích tất hình vng tạo thành Tìm giới hạn sau: lim + a + a + + a n với a < b < 1 + b + b2 + + bn Tìm giới hạn: a) lim d) lim n n3 - ; 5n + n + + + + 2n ; 3n + n - b) lim ( (- 2) n + 3n ; (- 2) n +1 + 3n +1 e) lim ) c) lim n + n + - n ; - + - + + (2n - 1) - 2n 2n + Tìm giới hạn sau: a) lim ( ) n2 - n3 + n ; b) lim n2 +1 + n n2 + n - n ; c) lim 12 + 2 + 32 + + n ; 5n + n + CMR: dãy số sau có giới hạn tìm giới hạn đó: u1 = u = a) ; c) u n = u n ; b) u n +1 = + u n u n +1 = + u n Giaovienvietnam.com n ∑k k =1 ; d) 3 + + + + + ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO - GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ-CHƯƠNG IV §4 Giới hạn hàm số: = L ⇔ ∀ dãy (x ), limx = x ta có limf(x ) = L • Định nghĩa 1: xlimf(x) n n n →x Trong x0 ∈ (a, b), f(x) xác định (a, b) \ {x0}, xn ∈ (a, b) xn ≠ x0 = L ⇔ ∀ dãy (xn), limxn = +∞ có limf(xn) = L • Định nghĩa 2: limf(x) x →+∞ Trong f(x) xác định (a, +∞), xn ∈ (a, +∞) ∀n f(x) = L lim g(x) = M (L, M ∈ R) thì: • Định lý 1: Nếu lim x→x x→x 0 lim[f(x) ± g(x)] = L ± M; lim[f(x).g(x)] = L.M; x→ x0 x → x0 lim[c.g(x)] = cL; lim x→ x x→ x0 f(x) L = (M ≠ 0) g(x) M = L Khi đó: • Định lý 2: Giả sử limf(x) x →x lim f(x) = L ; lim3 f(x) = L ; Nếu f(x) ≥ ∀x ∈ J L ≥ lim f(x) = L x →x x →x x →x 0 Bài tập áp dụng: Tìm giới hạn sau: a) lim x3 - x2 + x -1 2(x + h) - 2x ; b) lim ; h→ x -1 h d) lim x- x+2 ; x +1 - x→ x→ 1- 1- x ; x→ 3x e) lim x +1 - x2 + x +1 ; x c) lim x→ f) lim x→ - x +1 x +3-2 ; Tìm giới hạn sau: x - 3x + a) lim ; x →2 (x - 2) 2x - 3x + b) lim ; x→1 x - x - x + 3x - 5x + c) lim ; x → +∞ x2 - ( x - 1) (7x + 2) (3x + 1)(5x + 3) ; e) lim ; x→ - ∞ x → + ∞ ( x - 1)( x + 1) (2x + 1) d) lim Tính A = xlim → +∞ f) lim x→ +∞ ( x - 4x - x ) a x m + a 1x m-1 + + a m b x p + b1x p-1 + + b p Tìm giới hạn sau: x - 2x + b) lim ; x → - x + 2x x3 -1 a) lim ; x → x - 2x + Chứng minh rằng: lim x→ c) lim x→ x- x+2 ; 4x + - sinx = x Tìm giới hạn sau: sin5x ; x→ x a) lim - cos7x ; x→ x2 b) lim cosx - cos3x ; x→ sin x c) lim d) limπ - tanx x → cos x §5 Giới hạn bên: Giaovienvietnam.com 4 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO - GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ-CHƯƠNG IV limf(x) = L ⇔ ∀ dãy (x ), x ∈ (x , b), limx = x n n n x→x + • Định nghĩa 1: limf(xn) = L limf(x) = L ⇔ ∀ dãy (x ), x ∈ (a, x ,), limx = x n n n x→x − • Định nghĩa 3: limf(xn) = L ∃ limf(x), limf(x) x → x 0− x → x 0+ * Nhận xét: limf(x) = L ⇔ = limf(x) = L x → x0 limf(x) x → x 0− x → x 0+ • Giới hạn vơ cực: = ± ∞, limf(x) = ∞ * Các định nghĩa limf(x) nêu tương tự x→x x→x ± * Nhận xét cho giới hạn vô cực Bài tập áp dụng: Tìm giới hạn sau: a) lim + x → (-1) x2 + ; x +1 b) lim x → (-1) − x2 + ; x +1 c) lim+ x →2 2x + ; x−2 d) lim − x→2 2x + x−2 Tìm giới hạn sau: x + 3x + ; x → (-1) x +1 - x2 Cho hàm số f(x) = 1 x - a) lim + b) lim − x→0 x- x 2x + x c) lim+ x →1 x3 -1 ; x2 −1 d) lim− x→ 1- x3 x −1 x < x = Tìm giới hạn sau (nếu có) x > limf(x); x→2 + limf(x); limf(x) x→2 − x→2 Cho thấu kính hội tụ có tiêu điểm F, F’ với FF’ = 2f Gọi d, d’ khoảng cách từ vật, từ ảnh tới thấu kính a) Thiết lập hàm số ϕ(d) ϕ (d); b) Tìm lim d→f + limϕ (d) ; d→f − limϕ (d) giải thích ý nghĩa d → +∞ Tìm giới hạn sau: 2x + 5x + a) lim + ; x → (-1) x +1 x3 -1 b) lim + x2 -1 x →1 ; c) lim x →1 − x3 -1 x2 -1 Ta gọi phần nguyên số thực x số nguyên không vượt x ký hiệu [x] Hãy vẽ đồ thị hàm số y = [x] tìm giới hạn sau (nếu có) limf(x); x →5 + limf(x); x →5 − limf(x) x →5 §6 Vài quy tắc tìm giới hạn vơ cực: Giaovienvietnam.com 5 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO - GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ-CHƯƠNG IV f(x) = + ∞ • Định lý: xlim →x lim x → x0 = f(x) Quy tắc Quy tắc f(x) x → x g(x) limf(x) Dấu L limf(x) +∞ + +∞ + + +∞ +∞ - -∞ + - -∞ -∞ + -∞ - + -∞ -∞ - +∞ - - +∞ x → x0 Dấu L Dấu g(x) x → x0 lim Bài tập áp dụng: Tìm giới hạn sau: x2 + a) lim ; x → -2 (x + 2) x2 + b) lim − ; x → (-1) x + - x2 c) lim ; x → x − 2x d) lim x → -∞ 2000x - x Tìm giới hạn sau: - x2 a) lim ; x → -2 (x + 2) x2 -1 b) lim ; x → x + 4x - x + 3x - d) lim x → -∞ 4x + - x2 c) lim ; x → x + 3x Tìm giới hạn sau: 1 1 a) lim − ; x → -2 x ( x − 2) b) lim x→0 x2 + ; x + 4x c) lim x →0 ; x − 3x d) lim x → +∞ x − 3x 4x - Tìm giới hạn: a) lim x →1 x + x2 + + xn - n x -1 x Biết lim (1 + x ) = e Tìm giới hạn: x→0 x x 1 a) lim 1 + ; x → +∞ x 1 b) lim 1 − ; x → +∞ x xsin Tìm giới hạn a) xlim → +∞ 2x -x c) 1 lim 1 − ; x → +∞ x d) x + 3 lim x → +∞ x -1 x+2 Tìm giới hạn sau: a) lim x→0 cos3x - cos5x ; x2 b) lim x →0 cos3x - cos5x ; x(sin5x - sin7x) lim x→0 cos3x - cos10x cosx - cos8x Tìm giới hạn sau: a) limπ x→ sinx - cosx ; - tanx ( ) b) lim sin x + - sin x ; x → +∞ π π sin + x sin + 2x - 6 6 c) lim x→0 sinx §7 Các dạng vơ định: Giaovienvietnam.com 6 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO - GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ-CHƯƠNG IV ∞ , , 0.∞, ∞ - ∞ Nguyên tắc ∞ Trong chương trình, ta xét dạng vơ định chung để tìm giới hạn dạng phải khử dạng vô định Bài tập áp dụng: Tìm giới hạn sau: x + -3 ; x-2 a) lim x→2 b) lim x→2 x+2 -2 ; x + -3 2x + - x + sin x c) lim x→0 Tìm giới hạn sau: a) limπ x→ sin3x ; - 2cosx b) lim x → +∞ x + 2x + + 2x 4x + - x + ; c) lim x →1 x + - - x2 x -1 Tìm giới hạn sau: a) lim x→0 tanx - sinx ; xsin x b) lim x→0 2sinx - sin2x ; x3 c) lim x →0 1- cosx sin x Tìm giới hạn sau: a) lim 3x - 5x - 3x + ; - x + 3x - x - b) lim c) lim x + 3x + x + ; 3x + 9x + 2x + 6x d) lim e) lim - 2x + 5x + 6x + ; 4x + 14x + 14x + f) lim x→2 x → -3 x → -1 x →1 x→0 i) lim x →0 x2 + x +1 x x → +∞ ( h) lim x3 + ; ) x + x2 + + xn - n ; x -1 k) lim x→0 ( x + - x ); p) lim x ( 8x - - 4x + ) r) lim x ( 4x + + 2x ) m) lim x→+∞ ) x + 2x + - x ; ( x + - 2x + ; 5x - 6x x→0 3 x →-∞ q) lim x x + - x ; x → +∞ 10x + - x + - 15x - ; x - 3x + x→2 (2x - 3) (5x + 3) (6x + 6) l) lim ; x → + ∞ (3 - 2x) (6 − 3x) (7 - 2x) n) lim 2x + + 5x + - 3x + - ; x + 3x x →0 - 2x + ; 3x + - - g) lim x + - - x2 ; x4 -1 x →-∞ Tìm giới hạn sau: a) lim x→2 (x - x - 2) 20 ; (x - 12x + 16)10 b) lim x →1 x100 - 2x + ; x 50 - 2x + c) §8 Hàm số liên tục: Giaovienvietnam.com 7 lim x→+∞ x+ x+ x x +1 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO - GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ-CHƯƠNG IV Hàm số liên tục điểm: Hàm số f(x) xác định (a; b) x0 ∈ (a; b) = f(x ) • f(x) liên tục điểm x0 ⇔ limf(x) x→x • Hàm số khơng liên tục x0 gọi lại gián đoạn điểm x0 Hàm số liên tục khoảng: • Hàm số f(x) có xác định J f(x) liên tục J ⇔ f(x) liên tục ∀x0 ∈ J • Hàm số f(x) xác định [a; b], f(x) liên tục [a; b] f(x) liên tục = f(a), limf(x) = f(b) (a; b) xlimf(x) →a x→b + − • Định lý 1: Các hàm số đa thức, phân thức, rhức hàm số lượng giác liên tục tập xác định chúng Tính chất hàm số liên tục: Định lý 2: f(x) xác định [a; b] Nếu f(a) ≠ f(b) ∀M nằm f(a) f(b), ∃ c ∈ (a; b) f(c) = M Hệ quả: f(x) liên tục [a; b] f(a)f(b) < ∃ c ∈ (a; b) f(c) = Ý nghĩa hình học hệ quả: f(x) liên tục [a; b] f(a)f(b) < đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục hồnh điểm có hồnh độ c ∈ (a; b) Bài tập áp dụng: Xét liên tục hàm số f(x) x = x0 cho tập R x3 -1 a) f(x) = x - 3 3x x a) f(x) = x 1 x ≠ , x = 1; x = x ≠ , x = 0; x = 1 - cosx x ≠ b) f(x) = x - , x = 0; 1 x = sinx + x b) f(x) = x 2 x ≠ , x = 0; x = x2 -1 x ≥ , x = Tìm a để f(x) liên tục x = Vẽ đồ thị f(x) a) f(x) = a 3x + a x < 2sinx + cosx x < π π b) f(x) = Asin x + ≤ x < Tìm A, B để f(x) liên tục R 6 π π x ≥ − Bcos x + 6 Chứng minh phương trình: a) x4 – 5x + = có nghiệm x0 ∈ (0; 1) b) x3 + 3x2 – = có nghiệm phân biệt c) x3 + ax2 + bx + c = với 4a + 8b + 21c + = ln có N0 x0 ∈ [-1; 0,5] Bài tập ôn tập chương IV: Giaovienvietnam.com 8 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO - GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ-CHƯƠNG IV Tìm giới hạn sau: a) u n = n + 2n + - n b) u n = n - 4n + ; n + 3n + c) u n = 27n + 8n + - 3n d) u n = 2n - 3n + ; 2n − e) u n = 4n + 4n + - 4n + 1; f) u n = g) u n = 8n + 7n + - 4n + 1; h) u n = (-4) n + + 5n + ; (-4) n + + 5n + i) u n = 9n + 3n + + 8n + 6n + - 5n; k) u n = 1 + + + ; 1.4 2.5 n.(n + 3) l) u n = cos n + - cos n + 1; m) u n = n + 2n + 2n - 4n + Tìm giới hạn sau: a) lim x→0 c) lim x→0 sinx ; x +9 -3 + x - cosx ; x2 sinax sinbx d) lim - cos2009x ; x.sinx x →0 π -x e) limπ ; - cotx x→ 2007n 2sin n + 2008n 3cos n 3n 2009 + 7n 2010 b) lim x →0 ; (ab ≠ 0); + sin2x - - sin2x ; 3x f) lim x →0 Giải phương trình: 2x + + x - x + x - x + + (- 1) n x n + = 16 ( x < 1) Xét tính liên tục hàm số sau: a) f(x) = 2x - 8x + 11 ; x + 4x + 8x + 8x + b) f(x) = 3sin x + cos x + 4cosx - Chứng minh phương trình: a) sinx – x + = 0; b) m(x – 1)(x – 2) + (2x – 3)x3 = ln có nghiệm ∀m; c) atan2x + btanx + c = có nghiệm khoảng kπ ; d) ax3 + bx2 + cx + c = với π + kπ , k ∈ Z a b c + + = ln có nghiệm x0 ∈ (0; 1); 12 Chứng minh phương trình x4 – x – = ln có N0 x0 ∈ (1; 2) x0 > Giaovienvietnam.com 9 ... +∞ +∞ + +∞ + + +∞ +∞ -? ?? -? ?? +∞ - -? ?? + - -? ?? -? ?? +∞ -? ?? -? ?? + -? ?? - + -? ?? -? ?? -? ?? +∞ -? ?? - +∞ - - +∞ Bài tập áp dụng: CMR: a) Nếu q > limqn = + ∞; n2 + - n2 + ( 3n + - n - ; n Tìm giới hạn: a) lim c) lim... Tính giới hạn sau: lim n n -1 Giaovienvietnam.com n+2 ; 2 n −2 lim n +3 n +1 ĐẠI SỐ & GIẢI TÍCH 11 NÂNG CAO - GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ, HÀM SỐ-CHƯƠNG IV §3 Dãy số có giới hạn. .. 5x + - 3x + - ; x + 3x x →0 - 2x + ; 3x + - - g) lim x + - - x2 ; x4 -1 x ? ?-? ?? Tìm giới hạn sau: a) lim x→2 (x - x - 2) 20 ; (x - 12x + 16)10 b) lim x →1 x100 - 2x + ; x 50 - 2x + c) §8 Hàm số liên