Chuyên đề về Nhị thức Newton - Giáo viên Việt Nam

Nhị thức Newton Toán 11 Giaovienvietnam Nhị thức Newton I Tóm tắt lí thuyết về nhị thức Newton 1 Tổ hợp là gì? Định nghĩa Giả sử tập A cơ n phần tử Mỗi tập con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho Kí hiệu là số tổ hợp chập k của n phần tử Ta có định lí, số các tổ hợp chập k của n phần tử đã cho Tính chất chập k của n phần tử Tính chất 1 Tính chất 2 Công thức pascal 2 Nhị thức Newton Định lí Với và với mọi cặp số ta có 3 Hệ quả Hệ quả Từ hệ quả trên ta rút được n[.]

Giaovienvietnam Nhị thức Newton I Tóm tắt lí thuyết nhị thức Newton Tổ hợp gì?  Định nghĩa: Giả sử tập A n phần tử Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k n phần tử cho Ck   k  n Ta có  Kí hiệu: n số tổ hợp chập k n phần tử định lí, số tổ hợp chập k n phần tử cho Cnk  -  n  1  n  2  n  3  n  k  1 n!  k! k! n  k ! Tính chất chập k n phần tử: C k  Cnn k ,  k  n  Tính chất 1: n  Tính chất 2: Cơng thức pascal Nhị thức Newton Cnk Cnk11  Cnk1  Cnk *  a,b ta có: Định lí: Với n ¥ với cặp số  a b n n   Cnkan kbk  Cn0an  Cn1an1b Cn2an 2b2   Cnn1a1bn1  Cnnbn k Hệ  1 x Hệ quả: - n  Cn0  xCn1  x2Cn2   xnCnn Từ hệ ta rút kết sau đây: 2n  Cn0  Cn1  Cn2   Cnn Cn0  Cn1  Cn2  Cn3    1 Cnn  n Nhận xét  a b Trong khai triển Newton - n có tính chất sau: Gồm n + phần tử Số mũ a giảm từ n đến số mũ b tăng từ đến n Tổng số mũ a b số hạng n Cnk  Cnn k ,  k  n Các hệ số có tính đối xứng k b k k T  Cn a b Số hạng tổng quát: k1 Giaovienvietnam Chú ý: T1  T01  Cn0an  Số hạng thứ T  Tk11  Cnk1an k1bk1  Số hạng thứ k: k II Bài tập ví dụ minh họa nhị thức Newton Ví dụ 1: Viết khai triển theo cơng thức nhị thức Newton:  a 2b a b  a  10  1  x x  c  Hướng dẫn giải a Khai triển Newton  a 2b 5 5   C5ka5 k  2b   C5ka5k.2k.bk k k k  C50a5  C51a4 2b  C55 32b5 b Khai triển Newton  a 2  a 2b   6 a   C6ka6 k k  2  C60a6  C61a5  C62a4.2   C66   k c Khai triển Newton 10 10 10 1 k  1 k 10 k  1 k 10 k  k x   C x  C x  C10  1 x10 2k        10 10 k x x k k   x  k0 10 k k  1 2x Ví dụ 2: Tìm hệ số x khai triển biểu thức Hướng dẫn giải Ta có: f  x   1 2x 10 10 10 10 k   C10 110k  2x  Cnk. 2 xk k k k k Số hạng chứa x khai triển ứng với k = Khi hệ số số hạng chứa x : C10  2  15360 n  2  x  x  biết Ví dụ 3: Tìm hệ số khơng chứa x khai triển sau:  rằng: Cnn1  Cnn2  78, x  Hướng dẫn giải Giaovienvietnam Cnn1  Cnn2  78,n  Ta có:  n! n!   78  n  1 !(n  n  1)!  n  2 ! n   2 !  n! n!   78  n  1 !(1)!  n  2 ! 2 ! n n  1 n  12 TM   78  n2  n  156     n  13 L  Do biểu thức khai triển  n 12 12  2 k x   C12 x3    x k  12 k   C12 x36 4k  2   12 k k k 12 k  2 k 36 3k        2    C12.x  x  k  x k k Số hạng không chứa x ứng với k: 36  4k   k  9 C12  2  112640 Số hạng không chưa x là: 20  1  2x   x Ví dụ 4: Xét khai triển:  a Viết số hạng thứ k + khai triển b Số hạng khai triển không chứa x c.Xác định hệ số x khai triển Hướng dẫn giải 20 k 20 20 20 k    1 k k 20 k 20 2k  2x     C20  2x    C20 x x k   x  k Số hạng không chứa x khai triển ứng với k là: 20  2k   k  10 Số hạng không chứa x khai triển là: 10 10 C20 Số hạng chứa x khai triển ứng với k là: 20  2k   k  C 212 Vậy số hạng chứa x khai triển có hệ số là: 20 Ví dụ 5: Tính tổng:  1 Cn 1 1 S  Cn0  cn1  Cn3  Cn4   2 n  1 n Giaovienvietnam Hướng dẫn giải  1 Cn  1 1 S   Cn0  cn1  Cn3  Cn4     n n   Ta có:  1  1  k Vì k  k n C k k 1  S 2 n  1 Cnk11 n   1 k k k1 n1 C  k k 1  n1     1 Cn1  Cn1   2 n  1  k0  2 n  1 III Bài tập tự luyện Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:  1 2x a 20 11  1  x  3x   b  c   x  4x   n  2m d 30  1  3x  x   Bài 2: Xét khai triển  a Tìm số hạng không chứa x khai triển b Hệ số số hạng chứa x khai triển c Số hạng thứ 11 khai triển Bài 3: Tính tổng: S  C20n  C22n  C24n  C26n   C22nn Bài 4: Tổng hệ số nhị thức Newton khai triển 2n  1 x 3n 64    2nx  2nx   Số hạng không chứa x khai triển  Bài 5: Tìm số nguyên dương bé n cho khai triển  1 x n có hai hệ số liên tiếp có tỉ số 7:15  ...Giaovienvietnam Chú ý: T1  T01  Cn0an  Số hạng thứ T  Tk11  Cnk1an k1bk1  Số hạng thứ k: k II Bài tập ví dụ minh họa nhị thức Newton Ví dụ 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton: ... Cn1   2 n  1  k0  2 n  1 III Bài tập tự luyện Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:  1 2x a 20 11  1  x  3x   b  c   x  4x   n  2m d 30  1  3x ... 11 khai triển Bài 3: Tính tổng: S  C20n  C22n  C24n  C26n   C22nn Bài 4: Tổng hệ số nhị thức Newton khai triển 2n  1 x 3n 64    2nx  2nx   Số hạng không chứa x khai triển  Bài