Hệ phương trình từ các kì thi học sinh giỏi

Trang 1

PHƯƠNG TRèNH, HỆ PHƯƠNG TRèNH (Trong cỏc kỡ thi chọn học sinh giỏi cỏc trường, cỏc tỉnh)

Phần 1 Một số bài toỏn cũ

1 (THPT Chu Văn An, Hà Nội)







2 (THPT chuyờn Lờ Quý Đụn)

 2 2  1 2

xy

xy 2x y 6 y 2x 0

    











3 (Hà Nội – Armsterdam, chọn đội tuyển lớp 10)

Giải hệ phương trỡnh







4 (Bắc Giang, 08-09)

x x y 9 x(y x ) 7





 



5 (THPT chuyờn Lờ Quý Đụn, Bà Rịa Vũng Tàu, 08-09)

6 (Hà Nội TST, 02-03)

Giải hệ phương trỡnh sau:

3 3 2 3 2

sin sin sin







7 (Hà Nội, 03-04)

Giải cỏc phương trỡnh sau:

1.2cosx+sin19x-5 2 sin 21x3 2 sin10x

2.32x540x310x 30

8 (Hà Nội, 04-05)

Giải phương trỡnh:

) ( 4 9 3 ) ( sin

cos

2 2

2 3

2 2

2



x x

x







9 (Hà Nội, 05-06)

Giải hệ phương trình:

2

1 y

2x y 1 (1 2x y)(1 12x 2005y ) 0

2004 2.2005 2006 0









Trang 2

10 (Hà Nội, 06-07)

Giải các phương trình sau:

1 15x511x328 1 3 x

4x1 1x 2x 2x 1

11 (Hà Nội TST, 06-07)























0 y x

y x 2 y

2 y x

y 2 x x

2 2

12 (Hà Nội, 08-09)

Giải phương trình:  2  3  3

2 1 1x  1x  1x 5x

13 (Chuyên Hạ Long, Quảng Ninh)































|

| 1

|

| 1 log

|

| 3

|

| 1

|

| 1 log

|

| 3

|

3 3

x

x x

y

y y

x

14 (Nam Định, 02-03)

a Giải hệ phương trình:

x y 1 2x y 2x y x y







b Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: (4m - 3) x3 +(3m - 4) 1 x 1 - m

15 (Nam Định, 01-02)

Tìm tất cả các cặp số (x;y) thỏa mãn:

x

y y

x

sin

1 2000 sin 2000 sin

1 sin

sin

1

16 (Nam Định 08-09)

2

z 2xyz 1 3x y 3y x 1 x y







17 (Nghệ An TST, 06-07)

Giải phương trình

(a  4)x + ax = 2(a  2)x với hằng số a > 4

18 (Nghệ An, bảng B, 2008)

(3 9 160 800)] 1

8





x



19 (Quảng Nam, 07-08)

Giải hệ phương trình

Trang 3

2 2 2







20 (Hải Dương)







21 (Olympic đồng bằng sông Cửu Long, lần XV)

y z 4y 6y z 4y z 0

z x 4z 6z x 4z x 0







21 (Bình Phước, 08-09, vòng 2)

2

4 1 x  1 3x2 1 x  1 x

23 (Hải Phòng, chọn HSG không chuyên, 08-09)

Cho hệ phương trình sau

2 cos x x

y tan y 1







 Chứng minh rằng hệ đã cho có duy nhất nghiệm thoả mãn 0 < x < y <1

24 (Nghệ An TST 08-09)

a Giải hệ phương trình

2

y x 3

2 z 2 y y 1

x z 4x 0

  



  





  



b Giải phương trình

16x 24x 12x 3 x

25 (Olympic sinh viên toàn quốc)

26 (Kĩ sư tài năng Bách khoa 1999)

Chứng minh rằng phương trình: a.cosx + b.sin2x + c.cos3x = x có nghiệm trên [; ], a, b, c  R

Trang 4

3 3 3 3

x y 2y 2

y z 2z 2

z t 2t 2

t x 2x 2

   



  





  



  



Phương trình x3 – ax2 + 4 = 0, (a là tham số) có bao nhiêu nghiệm?

Cho phương trình:  1 x  x3 x 1 x  m(1), m là tham số

a Giải phương trình (1) khi m =1

b Tìm m để (1) có nghiệm

30 (Thanh Hoá TST, 08-09)

Giải bất phương trình

2

3  (x 4).3  1

31 (Đồng Nai, 08-09)

1 2 sin x  1 2cos x  1 3

32 (Thái Bình 03-04)

Giải và biện luận phương trình

x 2ax 2 2x 4ax a 2 2

3   3    x 2axa

3 2







b Giải phương trình với 0 < a < 1

a Giải các phương trình

1 5sin x cos 2x 2 cos x 0 2.2007 2006 2005 2004

b Tìm m để hệ sau có nghiệm

a Giải phương trình

cos 2x 1

2

2   cos2x log 3cos2x 1

b Tìm giá trị nhỏ nhất của a để hệ có nghiệm

Trang 5

36 (Olympic Miền Trung và Tây Nguyên)

37 (Quảng Nam 06 – 07)

a Giải các phương trình sau trên tập số thực :

a)

2

3

1 5

5

9 x log ( 2 3)3 x x log (2  1 2)0

b) x( 2  x2  2 )  x2  2

b Giải hệ phương trình

2 2







38 (Huế)

Giải hệ phương trình:

x + log y = ylog 3 + log x xlog 72 + log x = 2y + log y







39 (Huế 00 – 01)

 

2

x 2x 1 2x 1

16  2.4  0

40 (Huế 06-07, vòng 2)

x y

ln x 2 ln y 2 3



 





41 (Huế 08-09)

a (Dành cho học sinh chuyên)

Tìm các cặp số thực x y;  sao cho:

8

xy







b (Dành cho học sinh không chuyên)

2

log 3log log

3 log log

4 y

x

x y















42 (Hà Tĩnh TST, 07-08)

Giải hệ

x - 8x = y + 2x

x - 3y = 6







43 (Cần Thơ TST, 08-09)

a (vòng 1) Giải phương trình sau trên R

2







Trang 6

b (vòng 2) Tìm tất cả các nghiệm thực của phương trình

x 5x 10  6024x5x

44 (Tp Hồ Chí Minh, 04-05, vòng 1)

2 2

2

3

4x 2 2y 15 a

4y 2 2x 15

b 9x 12x 2 3x 8

c x 4x 5x 6 7x 9x 4







45 (Tp.HCM, 03-04, vòng 1)

Giải hệ phương trình sau

46 (Tp.HCM, 02-03, vòng 2)

b Giải phương trình

47 (Tp.HCM, 01-02, vòng 1)

1 Giải các phương trình

a

b

2 (đề đề nghị) Giải hệ phương trình

48 (Tp.HCM, 96-97, vòng 2)

49 (Thanh Hoá, 01-02)

1 Giải phương trình

x

x log cos xsin x log cos xcos 2x 0

2 Giải phương trình sau với x 0; 2:

x 2x 1 x 2x 1 1 2 1

50 (Thanh Hoá, 02-03)

51 (Thanh Hoá, 03-04, bảng B)

1 Giải các phương trình

2

a sin x sin x sin x cos x 1

b.log x log ( x 2)

2 Xác định số nghiệm x0;2 của phương trình 2sin x 2cos x  

Trang 7

52 (Thanh Hoỏ, 05-06, bảng B)























2 log

log log

2 log log

log

2 log log

log

16 16

4

9 9

3

4 4

2

x y

z

z x

y

z y

x

53 (Thanh Hoỏ, 07-08)

1 Giải phương trỡnh

2 Giải hệ phương trỡnh







54 (Hà Tĩnh, TST, 09-10)

x 207x  x 9

55 (Thanh Hoỏ, 05-06, đề nghị)

1

x

x x x

x

1 2

1







2 logcos xsin x log sin x cos x

(1cos x) (1 sin x)

3 (7 + 5 2 )cosx - (17 + 12 2 )cos x3 = cos3x

3

x - 3x + 1 = - x + x + 1

5 cosx + cos2x + cos3x + cos4x =

-2 1

6 x3 log3x5log5x3 x2

7 3 tgx1(sin x + 2cos x)=5(sin x +3cos x)

8 log22 x + x.log7(x + 3)= log2x [

2

x

+ 2.log7(x + 3)]

9 Giải phương trình (sin)x

+ (tan)x

= ()x

(với x là tham số, 0 < x <

2



)

10 Giải bất phương trỡnh 2 2

2

2x + 1 2x - 6x + 2 log

(x -1)



11 Giải phương trỡnh  2x y 1 2x y 2x y 1

y 4x 1 ln(y 2x) 0(2)







56 (Hải Dương, 08-09)

x

5 y

5 z

5

5 2y 1 2 log 4y 1

5 2z 1 2 log 4z 1

5 2x 1 2 log 4x 1











57 (???) Giải phương trỡnh

58 (Khỏnh Hoà, 08-09)

Trang 8

1

x

x x x

x

1 2

2 1 1







59 (Tiền Giang, đề nghị Olympic ĐBSCL 2008)

3

x  x  x  x  x

60 (Vĩnh Long, đề nghị Olympic ĐBSCL 2008)

Giải phương trình log3x133x123x42 log2x1

Trang 9

Phần 2 Một số bài toán cập nhật

Đề thi chọn đội tuyển các trường và các tỉnh năm học 2010-2011

Tổng hợp : huynhcongbang – www.mathsope.org

1.Giải hệ phương trình

3 3 3

3 12 50

12 3 2

27 27

   



  



  



(Trường THPT Phan Chu Trinh, Đà Nẵng; USA TST 2009)

2 Giải hệ phương trình

2 2





 (Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, đề chọn đội dự tuyển)

3x 2x 2 3x x 2x 1 2x 2x 2 (Trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội, đề chọn đội dự tuyển)

2

1 1

3log ( 2 6) 2log ( 2) 1

e

y











 (Trường THPT Cao Lãnh, Đồng Tháp, đề chọn đội tuyển 11)

5 Giải hệ phương trình:

3

2 2 1 2 1 2 3 2

4 2 2 4 6

( x ) x ( y ) y





   



(Trường THPT chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)

6 Giải phương trình:

2sin2x3 2sinx 2cosx 5 0

(Trường THPT chuyên Lê Khiết, Quảng Ngãi)

7.Giải hệ phương trình sau:

2

1 1 3 3

x









   



(Đề chọn đội tuyển trường Chuyên Lê Quý Đôn – Bình Định)

3 3

7

x x y y y x x y x

x y x







Trang 10

(Đề thi chọn HSG tỉnh Hưng Yên)

2 2 3

2

3

x y





 (Đề kiểm tra đội dự tuyển trường THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội)

2

5 9 7 15 3

8 18 18 18 84 72 24 176

(x ) (y ) (y )(x z )

        



     





(Đề chọn đội tuyển THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội)

3 3 3







 (Đề Chọn đội tuyển ĐHKHTN HN, vòng 1, ngày 2,

http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=13730 )

(Đề chọn HSG tỉnh Quảng Ninh, bảng A)

2 2

2x y 2 y 1





 (Đề chọn HSG thành phố Hà Nội)

y x 2y x y x 0





 (Đề thi chọn đội tuyển dự thi HSG quốc gia tỉnh Quảng Bình)

4

x y 6xy x z 5xz

5

z y 6zy x y 5xy

6

x z 5xz y z 4yz









 (Chọn đội tuyển PTNK Tp.HCM)

Trang 11

2 2

2

2x y 3xy 4x 9y





 (Chọn đội tuyển Nha Trang – Khánh Hoà,

2z x y 1 x y

y z 1 2xy 2xz 2yz y(3x 1) 2x (x 1)



     





(Chọn đội tuyển KHTN, vòng 3, ngày 2,



 (Chọn học sinh giỏi tỉnh Bình Định,

19

1 Giải phương trình :  2 1 2 1

2 Tìm các giá trị của tham số m sao cho bất phương trình sau có nghiệm

x 3x  1 m x x 1 (Chọn học sinh giỏi tỉnh Quảng Ninh, bảng A,





 (Chọn học sinh giỏi tỉnh Đồng Tháp,

y x 2x y x 18 2





 (THPT chuyên Hùng Vương, Gia Lai,

22 Giải hệ sau

2





 (Chọn học sinh giỏi tỉnh Khánh Hoà,

23 Giải các hệ phương trình sau

Trang 12

3 2

a)











 (Chọn học sinh giỏi tỉnh Long An, vòng 1,

24

1 Giải phương trình trên tập số thực

x5 – x4 – x3 – 11x2 + 25x – 14 = 0

   3    3

sin x sin 3x cos 3x cos x  0 (Chọn học sinh giỏi tỉnh Đồng Nai,

x2 x 1  x 3 4 x 1  1 (Chọn học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Long,

26

2

x2 7x 2 x 1  x 8x7 1

2 Giải hệ phương trình nghiệm thực

3

2 2x y 3 2x y





 (Chọn học sinh giỏi tỉnh Vĩnh Phúc)

27 Giải hệ phương trình trên tập số thực

4

2 2





 (Chọn học sinh giỏi tỉnh Đồng Nai,

28

1 Giải phương trình x2 4x 3 x5

2 Giải phương trình x3 x2 3x 1 2 x2 trên [-2;2]

(Chọn học sinh giỏi tỉnh Long An, vòng 2,

x xy y y 7y 13x 8 2y x(3x 3y 1)







(Chọn học sinh giỏi tỉnh Tp Hồ Chí Minh,

Trang 13

2

x 2x 2x 2x 1 (x x)

x



(Chọn đội dự tuyển tỉnh Hà Tĩnh, vòng 1,

31 Giải hệ phương trình sau

2 x 1 2x 2 y 1 2y 4 10x 1

x y z 2xz 2yz x y 1 0







(Chọn đổi dự tuyển tỉnh Hà Tĩnh, vòng 2,

2

1 5 57 25





 (Chọn đội dự tuyển Nghệ An, ngày 2,

Lời nhắn

Nguyên văn bởi namdung, 27-09-2010, 06:01 PM, #1,

http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=13643

“Nh ằm giúp các bạn có th êm nh ững góc nh ìn khác nhau v ề đề thi của các trường, các tỉnh, có th êm tài li ệu để ôn tập, đồng thời thấy tự tin hơn trước những b ài toán khó và l ạ, chúng tôi tiếp tục tổ chức sưu tầm, giải và bình lu ận đề thi chọn học sinh giỏi của các trường v à các t ỉnh năm 2010 -2011 [ ] Cách th ức thực hiện hết sức đơn giản, các bạn tham gia giải v à g ửi b ài v ề cho tôi theo địa chỉ:

trannamdung@ovi.com Tôi s ẽ tổ ng h ợp lại v à chuy ển cho bạn canvqb để chuyển sang Latex.

K ết quả cuối c ùng chúng ta s ẽ có một cuốn E -book dành cho t ất cả các bạn y êu toán.”

Tải “Lời giải và Bình luận đề thi các tỉnh và các trường đại học năm 2009 – 2010” (Trần Nam

Dũng chủ biên) : http://www.vnmath.com/2010/01/loi-giai-va-binh-luan-e-thi-cac-tinh-va.htm

P/S: Các bạn cũng có thể post trực tiếp lời giải (và bình luận nếu có thể) trực tiếp lên MS

http://forum.mathscope.org/showthread.php?t=13643

Chân thành cảm ơn./

Trang 14

Phần 3 Một số bài toán trên các diễn đàn toán học

(mathscope.org, diendantoanhoc.net, maths.vn, diendan3t.net,

truongtructuyen.vn, boxmath.vn, math.vn)

1(1)

1











2(1)

3







3(1)

2

3 2

2 2

3

2xy

x 2x 9 2xy

y 2y 9











4(1)

2 2

y(x y) 2x 7y 2







5(1)

x 6x y 9xy 4y 0







3 3

2x 9y (x y)(2xy 3)







7(1)

3 3

2 2

1 3x y

x y













8(1)

x 4y y 16x

y 1 5(x 1)







9(1)

3 3

(xy 1) 2y (9 5xy)

xy(5y 1) 1 3y

  







10(3)







3 2x y x y x 1 2x y









12(3)

2

7x xy 1 2xy 1

y 1 3x 2x







y 1 2x y 3x

1 4x y 5x







2









15(3)

2 2 2

x y 1 2y

 







16(3)

2 2

2







17(2)

x 3xy 2y x y 6 0

x xy 2y 8x 10y 12 0

     







2 2







19(2)

2x x y 7

xy x y 3

  





  



20(2)

2

2 2

6x 3xy x 1 y

x y 1

   





 



21(2)

x 2y y x 1 2x 2y







2







23(4) x y + 2y x = 3x 2x - 1

y x + 2x y = 3y 2y -1







24(4)

2 2

xy 3 xy 4 7 x y

Trang 15

25(4)    

2

1 2

33 4









x y x z 20

z x z x 15











27(4)

3 3 3 3

(x + 3y + 4z + t) = 27(x + y + z + t )

x + y + z + t = 93







28(1)4sin x 21 sin x cos(xy)2y 0

29(1) 6x 8x 27x 1   1 0 30

4 4

2y 2x

x 2y









31

x = y + z

y = z + x

z = x + y











32 3 81x - 8 = x - 2x +3 2 4x - 2

3

2

5 3

1 3

x (y z)

y (z x) 3

z (x y)

  











35(2) 2.11x 18x 4 (2x x 3x 5 )x 36(2) 2x+1= x + 1 + 4x

37(2) x 1  x32 (x 1)(x 23x5)  2x

38(2) x 1  x32 (x 1)(x 23x5) 2x

39(2) 3x  2x x3x2 4x 1 40(2)

2

2x

5x 3 2 3

Định dạng
Số trang	15
Dung lượng	435,3 KB