Giá trị tương lai của một dòng tiền đơn

GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA MỘT DÒNG TiỀN ĐƠN Trong phần này, chúng tôi giới thiệu giá trị thời gian kết hợp với dòng tiền đơn hay đầu tư một lần Chúng tôi diễn tả mối quan hệ giữa đầu tư ban đầu hay giá trị hiện tại (PV), là giá trị mà thu được một tỷ suất lợi tức (lãi suất cho mỗi giai đoạn) biểu thị là r, và giá trị tương lai của nó (FV), là giá trị mà sẽ nhận được sau N năm hoặc khoảng thời gian kể từ ngày hôm nay Ví dụ sau đây sẽ làm rõ khái niệm này Giả sử bạn đầu tư 100 (PV = 100) vào một tài.

GIÁ TRỊ TƯƠNG LAI CỦA MỘT DÒNG TIỀN ĐƠN Trong phần này, giới thiệu giá trị thời gian kết hợp với dòng tiền đơn hay đầu tư lần Chúng diễn tả mối quan hệ đầu tư ban đầu hay giá trị (PV), giá trị mà thu tỷ suất lợi tức (lãi suất cho giai đoạn) biểu thị r, giá trị tương lai (FV), giá trị mà nhận sau N năm khoảng thời gian kể từ ngày hơm Ví dụ sau làm rõ khái niệm Giả sử bạn đầu tư $100 (PV = $100) vào tài khoản ngân hàng mà trả lãi 5% hàng năm Vào cuối năm thứ nhất, bạn có $100 cộng với lãi thu được, 0.05 × $100 = $5, tổng cộng $105 Để thức hóa ví dụ giai đoạn này, định nghĩa thuật ngữ sau: PV = giá trị khoản đầu tư FVN = giá trị tương lai khoản đầu tư sau N khoảng thời gian kể từ ngày hôm R = lãi suất cho giai đoạn Đối với N = 1, biểu cho giá trị tương lai lượng PV là: FV1 = PV (1+r) FV1 = PV (1+r) Đối với ví dụ này, tính giá trị tương lai sau năm kể từ hôm FV1 = $100(1.05) = $105 Bây giả sử bạn định đầu tư số tiền ban đầu $100 hai năm với lãi suất thu ghi có vào tài khoản bạn hàng năm (lãi kép hàng năm) Vào cuối năm thứ (đầu năm thứ hai), tài khoản bạn có $105, số tiền bạn để lại ngân hàng thêm năm Như vậy, với số tiền ban đầu 105$ (PV = $105), số tiền vào cuối năm thứ hai $105(1.05) = $110.25 Lưu ý 5.25$ tiền lãi thu năm thứ hai 5% số tiền đầu tư vào đầu năm Một cách khác để hiểu ví dụ để ý số tiền đầu tư vào đầu năm bao gồm số tiền gốc ban đầu $100 mà bạn đầu tư cộng với $5 tiền lãi kiếm năm Trong năm thứ hai, lần số tiền gốc ban đầu lại thu lãi, lãi mà thu năm Bạn thấy số tiền đầu tư gốc ban đầu tăng lên nào: Đầu tư gốc ban đầu $100.00 Lãi năm thứ thứ ($100 × 0.05) 5.00 Lãi năm thứ hai dựa số tiền đầu tư gốc ban đầu ($100 × 0.05) 5.00 Lãi năm thứ hai dựa số tiền lãi thu năm thứ (0.05 ×$5.00 lãi lãi) Tổng cộng 0.25 $110.25 $5 tiền lãi mà bạn kiếm giai đoạn dựa đầu tư gốc ban đầu $100 gọi lãi đơn (tỷ lệ lãi suất nhân với vốn ban đầu) Vốn ban đầu lượng tiền ban đầu đem đầu tư Trong khoảng thời gian hai năm, bạn kiếm $10 lãi đơn Phần trả thêm $0.25 mà bạn có vào cuối năm lãi mà bạn thu từ lãi năm $5 mà bạn đem tái đầu tư Lãi kiếm dựa lãi cung cấp nhìn sơ lược tượng gọi lãi kép Mặc dù lãi thu dựa số tiền đầu tư ban đầu quan trọng tỷ lệ lãi suất định tức cố định tỷ lệ từ giai đoạn qua giai đoạn khác Lãi kép kiếm tiền lãi tái đầu tư có ý nghĩa to lớn nhiều so với lãi suất định, tăng tỷ lệ định giai đoạn Giá trị lãi kép gia tăng độ lớn lãi suất Ví dụ $100 đầu tư ngày hôm trị giá khoảng $13,150 sau 100 năm lãi kép hàng năm mức 5%, trị giá $20 triệu lãi kép hàng năm khoảng thời gian tỷ lệ 13% Để xác minh số 20 triệu, cần công thức chung để xử lý lãi kép cho số lượng khoảng thời gian Công thức tổng quát sau liên kết giá trị khoản đầu tư ban đầu với giá trị tương lai sau thời gian N: FVN = PV(1+r)N Trong r lãi suất công bố kỳ N số kỳ lãi kép Trong ví dụ ngân hàng, FV2 = $100(1 + 0.05)2 = 110.25 $ Trong ví dụ đầu tư 13%, FV100 = $100(1.13)100 = $20,316,287.42 Điểm quan trọng cần nhớ việc sử dụng phương trình giá trị tương lai lãi suất công bố r, số kỳ lãi kép, N, phải tương thích Cả hai biến phải xác định đơn vị thời gian Ví dụ, N định hàng tháng, r nên mức lãi suất tháng, unannualized Một dòng thời gian giúp theo dõi phù hợp đơn vị thời gian tỷ lệ lãi suất thời kì Trong dịng thời gian, chúng tơi sử dụng số thời gian t để đại diện cho thời điểm khoảng thời gian định từ ngày hôm Vì vậy, giá trị số tiền dành cho đầu tư ngày hơm nay, kí hiệu t = Bây suy thời điềm N thời kì kể từ ngày hơm t = N Dịng thời gian hình cho thấy mối quan hệ Hình 1: Mối quan hệ đầu tư ban đầu, PV, giá trị tương lai nó, FV Trong hình 1, có vị trí đầu tư ban đầu, PV, t = Sử dụng phương trình 2, chuyển giá trị tại, PV, đến thời điểm t = N cách nhân vào hệ số (1 + r)N Hệ số gọi hệ số giá trị tương lai Chúng ta biểu thị giá trị tương lai dòng thời gian FV, vị trí t = N Giả sử giá trị tương lai nhận xác sau 10 kỳ kể từ ngày hôm (N = 10) Giá trị tại, PV, giá trị tương lai, FV, tách thời gian thông qua hệ số (1 + r)10 Tóm lại giá trị giá trị tương lai tách thời gian có hệ quan trọng:  Chúng ta cộng số tiền chúng biểu thị thời điểm  Đối với mức lãi suất cho trước (nhất định), giá trị tương lai tăng lên với số lượng thời kỳ  Đối với số lượng thời kỳ cho trước (nhất định), giá trị tương lai tăng lên với lãi suất Để hiểu rõ khái niệm này, xem xét ba ví dụ minh họa làm để áp dụng công thức giá trị tương lai VÍ DỤ Giá trị tương lai khoản tiền trả lần tiền mặt tạm thời tái đầu tư mức tương tự Bạn người may mắn trúng số triệu $ sau nộp thuế Bạn đầu tư số tiền vào chứng tiền gửi năm năm (CD) định chế tài địa phương CD hứa hẹn trả lãi 7% năm với lãi kép hàng năm Định chế bạn tái đầu tư lãi tỷ lệ suốt thời gian tồn CD Bạn có tiền sau năm tiền bạn giữ lại để đầu tư mức lãi suất 7%/năm năm mà khơng có rút tiền? Giải pháp: để giải vấn đề này, tính tốn giá trị tương lai số tiền đầu tư triệu $, sử dụng giá trị sau phương trình 2: PV = $5,000,000 r = 7% = 0,7 N=5 FVN = PV(1 + r)N = $5,000,000(1.07)5 = $5,000,000(1.402552) = $7,012,758.65 Vào cuối năm thứ năm, bạn có $7,012,758.65 nếu tiền bạn giữ lại để đầu tư mức lãi suất 7%/năm mà khơng có rút tiền Trong hầu hết ví dụ đọc, lưu ý hệ số ghi lại sáu chữ số thập phân, tính tốn thực phản ánh độ xác cao Ví dụ, số 1.402552 làm tròn từ 1.40255173 (hiện tính tốn với tám chữ số thập phân độ xác thực máy tính bảng tính) Kết cuối chúng tơi phản ánh số chữ số thập phân cao thực máy tính bảng tính3 Chúng ta giải vấn đề giá trị thời gian tiền bảng hệ số lãi suất Giải pháp sử dụng bảng hệ số lãi suất nói chung xác kết thu cách sử dụng máy tính bảng tính, đó, người thực hành thích máy tính bảng tính VÍ DỤ Giá trị tương lai khoản tiền trả lần mà tiền mặt tạm thời Một định chế đưa đề nghị với bạn hợp đồng với ba điều khoản sau: khoản đầu tư ¥ 2.500.000 định chế hứa hẹn trả cho bạn lần sáu năm kể từ mức lãi suất 8% hàng năm Số tiền tương lai bạn nhận được? Giải pháp: sử dụng liệu sau phương trình để tìm giá trị tương lai: PV = ¥2,500,000 r = 8% = 0.08 N=6 FVN = PV(1 + r)N = ¥2,500,000(1.08)6 = ¥2,500,000(1.586874) = ¥3,967,186 Bạn mong đợi để nhận ¥ 3.967.186 sau sáu năm kể từ Ví dụ thứ ba vấn đề phức tạp giá trị tương lai để minh họa tầm quan trọng việc theo dõi lịch thời gian VÍ DỤ Giá trị tương lai khoản tiền trả lần Một nhà quản lý quỹ hưu trí ước tính cơng ty tài trợ ơng đóng góp 10 triệu $ năm năm tới Tỷ lệ lợi tức kế hoạch tài sản ước tính mức 9% năm Người quản lý quỹ hưu trí muốn tính tốn giá trị tương lai khoản đóng góp 15 năm kể từ bây giờ, ngày mà quỹ phân phối cho người hưu Giá trị tương lai gì? Giải pháp: cách định vị giá trị đầu tư ban đầu, PV, t = 5, tính tốn giá trị tương lai đóng góp cách sử dụng liệu sau phương trình 2: PV = 10 triệu $ r = 9% = 0.09 N = 10 FVN = PV(1+ r)N = $10,000,000(1.09)10 = $10,000,000(2.367364) = $ 23,673,636.75 Vấn đề trơng giống hai ví dụ trước, khác khía cạnh quan trọng: thời gian Từ quan điểm ngày hơm (t = 0), lượng tiền tương lai $23,673,636.75 sau 15 năm tương lai Mặc dù giá trị tương lai 10 năm kể từ giá trị nó, giá trị 10 triệu $ không nhận năm năm Hình Giá trị tương lai khoản tiền trả lần, đầu tư ban đầu khơng phải t = Như hình cho thấy, theo quy ước kí hiệu ngày hơm t = kí hiệu khoảng thời gian cách cộng cho kỳ Khoản đóng góp thêm 10 triệu $ nhận năm năm, đó, kí hiệu t = xuất hình Giá trị tương lai đầu tư 10 năm sau kí hiệu t = 15, có nghĩa là, 10 năm sau nhận đóng góp 10 triệu $ t = Dịng thời gian hữu ích đối phó với vấn đề phức tạp hơn, đặc biệt vấn đề liên quan đến nhiều dòng tiền Trong phần sau đọc này, thảo luận làm để tính tốn giá trị hơm 10 triệu $ nhận sau năm năm kể từ Đến thời điểm này, sử dụng phương trình Giả sử người quản lý quỹ hưu trí Ví dụ nhận $6,499,313.86 hôm từ nhà tài trợ cơng ty Số tiền có giá trị vào cuối năm năm? Nó có giá trị vào cuối 15 năm? PV = $6, 499,313.86 r = 9% = 0.09 N=5 FVN = PV(1 + r)N = $6,499,313.86(1.09)5 = $6,499,313.86(1.538624) = $10,000,000 mốc năm Và PV = $6,499,313.86 r = 9% = 0.09 N = 15 FVN = PV(1 + r)N = $6, 499,313.86(1.09)N = $6, 499,313.86(3.642482) = $23,673,636.74 mốc 15 năm Những kết làm mà giá trị ngày hôm khoảng 6,5 triệu $ trở thành 10 triệu $ sau năm 23,67 triệu $ sau 15 năm 3.1 Tần số lãi kép Trong phần này, xem xét việc đầu tư mà trả lãi nhiều lần năm Ví dụ, nhiều ngân hàng đề nghị tỷ lệ lãi suất hàng tháng ghép lãi 12 lần năm Theo thỏa thuận vậy, họ phải trả lãi lãi tháng Thay báo tỷ lệ lãi suất định kỳ hàng tháng, định chế tài thường báo mức lãi suất hàng năm mà gọi lãi suất công bố hàng năm lãi suất công bố Chúng biểu thị mức lãi suất công bố hàng năm rs Ví dụ, ngân hàng bạn CD đặc biệt trả 8% lãi ghép hàng tháng Lãi suất công bố hàng năm lãi suất hàng tháng nhân với 12.4 Tỷ lệ quy ước định giá cách chặt chẽ (1 + 0,0067)12 = 1.083, khơng phải 1.08; số hạn (1 + rs) khơng có nghĩa hệ số giá trị tương lai lãi kép trả thường xuyên so với hàng năm Với nhiều thời kỳ lãi kép năm, công thức giá trị tương lai thể FVN = PV (1 + )mN Trong rs lãi suấtcông bố hàng năm nêu, m số kỳ lãi kép năm, N viết tắt số năm Lưu ý phù hợp lãi suất sử dụng, r s / m, số kỳ lãi kép, mN Tỷ lệ định kỳ, rs / m, lãi suất công bố hàng năm chia cho số kỳ lãi kép năm Số lượng kỳ lãi kép, mN, số kỳ lãi kép năm nhân với số năm Tỷ lệ định kỳ, rs/ m, số lượng thời kỳ lãi kép, mN, phải tương thích VÍ DỤ Giá trị tương lai khoản tiền trả lần với lãi kép hàng quý Tiếp tục với ví dụ CD, giả sử ngân hàng cung cấp cho bạn CD với thời hạn hai năm, tỷ lệ lãi suất công bố hàng năm 8% lãi ghép hàng quý đặc biệt cho phép tái đầu tư mức lãi suất, bạn định đầu tư $10,000 CD có giá trị đến hạn? Để tránh lỗi làm tròn số sử dụng máy tính tài chính, chia cho 12 sau nhấn %i phím, thay nhập đơn giản 0,67%, chúng tơi có (1 + 0,08/12)12 = 1,083000 Giải pháp: tính tốn giá trị tương lai với phương trình sau: PV = $10,000 rs = 8% = 0.08 m=4 rs/ m = 0.08/4 = 0.02 N=2 mN = 4(2) = thời kì lãi suất FVN = PV (1 + )mN = $10,000(1.02)8 = $10,000(1.171659) = $11,716.59 Lúc đến hạn, CD có giá trị $11,716.59 Công thức giá trị tương lai phương trình khơng khác cơng thức giá trị tương lai phương trình Đơn giản cần nhớ lãi suất sử dụng lãi suất thời kì số mũ số thời kì lãi suất hay lãi kép VÍ DỤ Giá trị tương lai khoản tiền trả lần với lãi kép hàng tháng Một ngân hàng Úc đề nghị trả cho bạn 6% lãi kép hàng tháng Bạn định đầu tư triệu $ Úc cho năm Giá trị tương lai số tiền đầu tư bạn toán lãi tái đầu tư mức 6%? Giải quyết: sử dụng phương trình để tìm giá trị tương lai khoản đầu tư năm sau: PV = A$1,000,000 rs= 6% = 0.06 m = 12 rs/ m = 0.06/12 = 0.0050 N=1 mN = 12(1) = 12 thời kỳ lãi suất FVN = PV (1 + )mN = $A1,000,000(1.005)12 = $A1,000,000(1.061678) = $A1,061,677.81 Nếu bạn trả 6% với lãi kép hàng năm, số tiền tương lai A$1.000.000 (1,06) = A$1.060.000 thay A$1,061,677.81 với lãi kép hàng tháng 3.2 Lãi kép liên tục Cuộc thảo luận trước kỳ lãi kép minh họa cho lãi kép rời rạc, có nghĩa lãi suất tín dụng sau lượng thời gian rời rạc trôi qua Nếu số kỳ lãi kép năm trở nên vơ hạn, lãi gọi lãi kép liên tục Nếu muốn sử dụng công thức giá trị tương lai với lãi kép liên tục, cần phải tìm giá trị giới hạn hệ số giá trị tương lai tức cho m → ∞ (kỳ lãi kép nhiều vô hạn năm) phương trình Biểu thị cho giá trị tương lai khoản tiền N năm với lãi kép liên tục là: FVN = PV Hệ số số siêu việt e ≈ 2.7182818 mũ rsN Hầu hết máy tính tài có chức ex VÍ DỤ Giá trị tương lai khoản tiền trả lần với lãi kép liên tục Giả sử khoản đầu tư $10,000 thu 8% lãi kép liên tục năm Chúng ta tính tốn giá trị tương lai với phương trình sau: PV = $10,000 rs= 8% = 0.08 N=2 FVN = PV = $10,000e0.08(2) = $10,000(1.173511) = 11,735.11 Với mức lãi suất tương tự sử dụng lãi kép liên tục, khoản đầu tư $10.000 tăng đến $11,735.11 hai năm, so với $11,716.59 cách sử dụng lãi ghép hàng quý Ví dụ Như bảng cho thấy, tất sáu trường hợp có mức lãi suất cơng bố hàng năm 8%, chúng có khác số lượng la cuối cùng, nhiên, khác biệt tần số lãi kép Với lãi kép hàng năm, số lượng cuối $1,08 Lãi ghép thường xuyên kết số tiền cuối lớn Số lượng $ cuối với lãi kép liên tục số tiền tối đa mà thu với tỷ lệ lãi suất công bố hàng năm 8% Bảng Ảnh hưởng tần số lãi kép lên giá trị tương lai Tần số rs/ m mN Hàng năm Bán niên 8% / = 8% 8% / = 4% 1×1=1 2×1=2 Hàng quý 8% / = 2% 4×1=4 Hàng tháng 8% / 12 = 0.6667% 12 × = 12 Hàng ngày 8% / 365 = 0.0219 % 365 × = 365 Liên tục Giá trị tương lai $1 $1.00(1.08) = $1.08 $1.00(1.04)2 = $1.081600 $1.00(1.02)4 = $1.082432 $1.00(1.006667)12 = $1.083000 $1.00(1.000219)365 = $1.083278 $1.00e0.08(1) = $1.083287 Bảng khoản đầu tư $1 thu 8.16% lãi ghép hàng năm tăng lên giống với giá trị tương lai lúc cuối năm khoản đầu tư 1$ thu 8% lãi ghép năm Kết dẫn đến phân biệt lãi suất công bố hàng năm lãi suất thực hàng năm (EAR)5 Đối với 8% lãi suất công bố hàng năm với lãi ghép bán niên, EAR 8.16% 3.3 lãi suất công bố lãi suất hiệu Lãi suất công bố hàng năm không đưa giá trị tương lai trực tiếp, cần cơng thức cho EAR Với mức lãi suất công bố hàng năm 8% lãi ghép bán niên, nhận tỷ lệ lãi suất định kỳ 4% Trong suốt trình năm, khoản đầu tư $1 tăng lên $1(1.04)2 = $1.0816, minh họa Bảng Tiền lãi thu khoản đầu tư $1 $0,0816 tương ứng với tỷ lệ lãi suất thực hàng năm 8.16% Tỷ lệ lãi suất thực hàng năm tính sau: EAR = (1 + tỷ lệ lãi suất định kì)m – Tỷ lệ lãi suất định kỳ tỷ lệ lãi suất cơng bố hàng năm chia cho m, mà số thời kỳ lãi kép năm Sử dụng ví dụ trước, giải EAR sau: (1.04)2 -1 = 8.16 % Khái niệm EAR mở rộng cho lãi kép liên tục Giả sử có tỷ lệ lãi kép liên tục 8% Chúng ta tìm EAR tương tự cách tìm hệ số giá trị tương lai tương ứng Trong trường hợp này, khoản đầu tư $1 tăng lên đến $1e 0,08(1.0) = $1,0833 Lãi thu năm tương ứng với lãi suất hiệu hàng năm 8,33% lớn EAR 8,16% với lãi ghép bán niên lãi suất ghép thường xuyên Với lãi kép liên tục, giải tỷ lệ lãi suất thiệu hàng năm sau: EAR = - Chúng ta giữ lại cơng thức cho EAR với lãi kép rời rạc liên tục để tìm lãi suất định kỳ mà tương ứng với lãi suất hiệu cụ thể hàng năm Giả sử muốn tìm tỷ lệ lãi suất định kỳ tương ứng cho tỷ lệ lãi suất hiệu hàng năm cho trước 8,16% với lãi ghép bán niên Chúng ta sử dụng phương trình để tìm tỷ lệ lãi suất định kỳ: 0.0816 = (1 + lãi suất định kì)2 – 1.0816 = (1 + lãi suất định kì)2 (1.0816)1/2 – = lãi suất định kì (1.04) – = lãi suất định kì 4% = lãi suất định kì Để tính lãi kép liên tục (lãi suất công bố hàng năm với lãi kép liên tục) tương ứng với lãi suất hiệu 8.33%, thấy lãi suất thỏa mãn phương trình 6: 0.0833 = - 1.0833 = Để giải phương trình này, lấy logarit tự nhiên hai bên (Nhớ lại log tự nhiên ln = rs .) Vì vậy, ln1.0833 = rs, kết rs = 8% Chúng ta thấy lãi suất công bố hàng năm 8% với lãi kép liên tục tương đương với EAR 8,33%  ... = 0), lượng tiền tương lai $23,673,636.75 sau 15 năm tương lai Mặc dù giá trị tương lai 10 năm kể từ giá trị nó, giá trị 10 triệu $ không nhận năm năm Hình Giá trị tương lai khoản tiền trả lần,... giá trị tương lai Chúng ta biểu thị giá trị tương lai dòng thời gian FV, vị trí t = N Giả sử giá trị tương lai nhận xác sau 10 kỳ kể từ ngày hôm (N = 10) Giá trị tại, PV, giá trị tương lai, FV,... thức giá trị tương lai với lãi kép liên tục, cần phải tìm giá trị giới hạn hệ số giá trị tương lai tức cho m → ∞ (kỳ lãi kép nhiều vơ hạn năm) phương trình Biểu thị cho giá trị tương lai khoản tiền