Về các phương trình kane của hệ nhiều vật

Nguyễn hữu Dĩnh giáo dục đào tạo trờng đại học bách khoa hà nội - luận văn thạc sĩ khoa học ngành : học kỹ thuật Cơ học kỹ thuật Về phơng trình kane hệ nhiều vật Nguyễn hữu dĩnh 2005 - 2007 Hà Nội 2007 Hà Nội 2007 giáo dục đào tạo trờng đại học bách khoa hà nội - luận văn thạc sĩ khoa học Về phơng trình kane hệ nhiều vật ngành : học kỹ thuật m số: 62.52 02 01 Ngun h÷u dÜnh Ng−êi h−íng dÉn khoa häc : GS TSKH Nguyễn Văn Khang Hà Nội 2007 Mục lơc Lời nói đầu Ch−¬ng Các phơng trình kane hƯ nhiỊu vËt Các vận tốc riêng điểm vận tốc góc riêng vật rắn 1.1 Các vận tốc riêng điểm 1.2 C¸c vËn tèc góc riêng vật rắn 1.3 C¸c thÝ dơ ¸p dơng 11 1.4 Hình chiếu véctơ vận tốc riêng điểm trục toạ độ 16 1.5 Hình chiếu véctơ vận tốc góc riêng vật rắn trục toạ độ 17 Lực hoạt động suy rộng lực quán tính suy rộng 19 2.1 Lực hoạt động suy rộng hệ vật rắn 19 2.2 Lực quán tính suy rộng vật rắn 20 ThiÕt lËp c¸c phơng trình Kane cho hệ nhiều vật 31 3.1 Các phép biến đổi chung 31 3.2 Các phơng trình Kane cho hệ nhiều vật rắn hôlônôm 33 3.3 Các phơng trình Kane cho hệ nhiều vật rắn phi hôlônôm 33 Chơng 36 áp dụng phơng trình kane thiết lập phơng trình vi phân chuyển động số mô hình hệ nhiều vật 36 Chơng 81 áp dụng phơng trình kane thiết lập phơng trình vi phân hệ phi hôlônôm 81 KÕt luËn 87 Tµi liƯu tham kh¶o 88 Phô lôc 90 Danh mục hình vẽ Hình Vận tốc riêng điểm Hình Vận tốc góc riêng vật rắn Hình Chứng minh vận tốc góc vật rắn Hình Thí dụ xác định vận tốc riêng điểm toạ độ Descartes Hình Thí dụ xác định vận tốc riêng điểm toạ độ cực Hình Xác định vận tốc riêng khối tâm vận tốc riêng thành cho lắc kép Hình Xác định vận tốc riêng khối tâm vận tốc riêng thành cho rôbốt phẳng khâu Hình Hình chiếu véctơ vận tốc góc riêng vật rắn trục toạ độ Hình Tìm lực suy rộng cho thẳng đồng chất Hình 10 Tìm lực quán tính suy rộng cho lắc vật lý đơn Hình 11 Tìm lực quán tính suy rộng cho rôbốt phẳng khâu Hình 12 Tìm lực quán tính suy rộng cho rôbốt phẳng khâu Hình 13 Phơng trình Kane cho lắc toán học kép Hình 14 Phơng trình Kane cho lắc vật lý Hình 15 Phơng trình Kane cho rôbốt tay máy hai bậc tự Hình 16 Phơng trình Kane cho rôbốt tay máy cực hai bậc tự Hình 17 Phơng trình Kane cho mô hình học Hình 18 Biểu diễn lực hoạt động hình 17 Hình 19 Phơng trình Kane cho mô hình rôbốt khâu không gian Hình 20, Hình 21 Biểu diễn vận tốc điểm Hình 22, Hình 23 Biểu diễn gia tốc điểm Hình 24 Phơng trình Kane cho vật rắn phi hôlônôm Lời nói đầu Ngày với phát triển mạnh mẽ ngành cơng nghệ thơng tin địi hỏi phải sử dụng công nghệ thông tin để giải vấn đề kỹ thuật Động lực học hệ nhiều vật mơn học có vai trò quan trọng việc xây dựng mơ hình cho nhiều tốn, chẳng hạn rơbốt cơng nghiệp, động lực hệ ơtơnơm, tầm thường… Do địi hỏi phải lựa chọn phương pháp thích hợp để thiết lập phương trình chuyển động số mơ hình Cho đến có hai phương trình hay sử dụng để thiết lập phương trình động lực học phương trình Lagrănge Newton-Euler Trong luận văn này, đề cập đến thiết lập phương trình Kane cho số mơ hình học cho hệ vật rắn hôlônôm hệ vật rắn phi hơlơnơm Trong q trình tính tốn có hỗ trợ phần mềm Maple để tính toỏn Việc nghiên cứu tính chất động lực hệ học có vai trò quan trọng tÝnh to¸n, thiÕt kÕ c¸c hƯ kü tht Hai toán đặt ta phải xây dựng mô hình tính toán động lực học cho mô hình Trong luận văn này, đa số mô hình rôbốt công nghiệp Từ thiết lập phơng trình vi phân chuyển động mô hình Các phương trình động lực học rơbốt đóng vai trò quan trọng thiết kế vận hành thiết bị Trong thiết kế, phương trình động lực học sử dụng để tiến hành mô nhằm mục tiêu kiểm tra khả làm việc robot Ví dụ, đáp ứng thiết bị với chế độ tải khác nhau, hay phẩm chất tương đối (chất lượng) việc thực sơ đồ điều khiển, nghiên cứu cơng cụ mơ Khi xem xét q trình vận hành rơbốt, phương trình động lực học dùng để tính tốn lực mơ men cần để dịch chuyển thành phần thiết bị thiết bị chấp hành để nhận chuyển động khâu chấp hành cuối mong muốn Do địi hỏi phải biết phương trình động lực học Trong luận văn này, trình bày cách thiết lập phương trình chuyển động cho số mơ hình rơbốt cơng nghiệp phương trình Kane Luận văn gồm ba chương phần phụ lục: Chương Cơ sở lý thuyết phương trình kane cho hệ nhiều vật rắn hôlônôm phi hôlônôm: Các vận tốc riêng điểm vận tốc góc riêng vật rắn, Cách xác định lực hoạt động suy rộng lực qn tính suy rộng, thiết lập phương trình Kane cho hệ nhiều vật Chương Xây dựng số mơ hình học, từ sử dụng phương trình Kane cho hệ nhiều vật rắn hôlônôm để thiết lập phương trình vi phân chuyển động cho mơ hình Chương 3.Thiết lập phương trình vi phân chuyển động cho hệ vật rắn phi hơlơnơm phương trình Kane Phụ lục phần chương trình phần mềm Maple tính toỏn cỏc thớ d Trong trình thực hiện, thời gian trình độ ngời viết hạn chế nên Luận văn tránh khỏi khiếm khuyết Kính mong thầy giúp đỡ, dẫn để có điều kiện sửa chữa, hoàn thiện Nhân đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS TSKH Nguyễn Văn Khang bảo tận tình, toàn diện, từ phơng pháp nghiên cứu tới nội dung học thuật luận văn Bên cạnh chân thành cảm thầy cô môn Cơ ứng dụng, Trờng Đại học Bách khoa Hà Nội đà dành thời gian xem xét cho ý kiÕn chØ dÉn rÊt thĨ, bỉ sung cho phần hạn chế luận văn Đồng thời, xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp trờng Đại học Kỹ thuật Công nghiệp Thái Nguyên giúp đỡ tạo điều kiện để tác giả hoàn thành đợc luận văn Chơng Các phơng trình kane hệ nhiều vật Các phơng trình Kane đợc thiết lập vào năm 60 kỷ 20, nhng sớm có vị trí nghiên cứu động lực học hệ nhiều vật Trong giai đoạn này, trớc hết giới thiệu khái niệm vận tốc riêng điểm vận tốc góc riêng vật rắn, sau trình bày biểu thức tính lực hoạt động suy rộng lực quán tính suy rộng Trên sở khái niệm thiết lập khái niệm thiết lập phơng trình động lực Kane cho hệ p vật rắn Các vận tốc riêng điểm vận tốc góc riêng vật rắn 1.1 Các vận tốc riêng điểm Xét hệ gồm p vật rắn tuỳ ý Giả sử vị trí hệ đợc xác định m toạ độ suy rộng q1, q2, …,qm Nãi chung m lín h¬n sè bËc tù hệ Giả sử p điểm thuộc vật rắn B hệ(hình 1) Vị trí điểm p đợc r xác định vectơ định vị r p z P rP r B y R x H×nh rp rp r = r ( t , q1 , q , , q m ) (1.1) r Đạo hàm theo thời gian vectơ r p hệ quy chiếu R, ta đợc R r vp = R r r r d r p R ∂r p m ∂r p +∑ = q& k ∂ ∂t dt q k =1 k (1.2) Trong đoạn ®Ĩ thu gän ta ký hiƯu R r r vp = vp , R r r a p = a p Bây ta đa vào ký hiệu míi r v pt = R r r ∂r p ∂r p r p , v q& k = ∂t ∂q k (1.3) Víi ký hiƯu trªn, biĨu thøc trªn cã thĨ viÕt l¹i d−íi d¹ng rp rp m rp v = v t + ∑ v q& k q& k (1.4) k =1 Định nghĩa r Vectơ v pt đợc gọi vận tốc riêng theo biến t điểm P hệ quy r chiếu R Vectơ v qp& k (k=1 m) đợc gọi vectơ vận tốc riêng theo biến q k điểm p hệ quy chiếu R Phơng trình (1.2) biểu diễn phơ thc tun tÝnh cđa vËn tèc R r v p vµo vËn tèc suy réng q& k Tõ phơng trình ta dễ dàng suy biểu thức r v qp& k = r r ∂v p R ∂ r p = ∂q k ∂q& k R (1.5) 1.2 Các vận tốc góc riêng vật rắn r Giả thử B vật rắn hệ nhiều vật Lấy c r véctơ tuỳ ý vật rắn B(Hình 2) Véctơ c hàm toạ độ suy rộng q1 , q , , q m vµ t z r c B R y x Hình Gọi M điểm tiếp xúc cầu mặt phẳng xy Điều kiện lăn không trợt r r r r vM = vC + ω× u = (1) r r Trong vận tốc góc cầu, u = CM Vậy vận tốc khối tâm C cầu r r r r v C = x& C e1(1) + y& C e 2(1) + z& C e3(1) r e1(1) = ωx r e 2(1) ωy r e3(1) ωz a Tõ ®ã ta cã x& C − aω y = , y& C + a x = (2) Theo phơng trình ®éng häc cña Euler ta cã ω x = ϕ& sin θ sin ψ + θ& cos ψ (3) ωy = −ϕ& sin θ cos ψ + θ& sin ψ Thế (3) vào (2) ta nhận đợc phơng trình liên kết phi hôlônôm x& C + a& sin cos ψ − aθ& sin ψ = (4) y& C + aϕ& sin θ sin ψ + aθ& cos ψ = Hay q& + aq& sin q cos q − aq& sin q = q& + aq& sin q sin q + aq& cos q = So sánh với công thức giả sử có s liên kết phi hôlônôm tuyến tính 82 (5) m ∑ a jk q& k + a j0 = (j = 1, 2, , s) k =1 Ta thu ®−ỵc a11 = 1, a12 = 0, a13 = asinq5cosq4 = asinθcosψ (6) a14 = 0, a15 = - asinq4 = -asinψ, a21 = 0, a22 = a23 = asinq5sinq4 = asinθsinψ, a24 = 0, a25 = acosq4 = acos Biểu thức động cầu có dạng ( ) ( 1 T = m x& C2 + y& C2 + I x ω2x + I y ω2y + I z ω2z 2 ) Do gi¶ thiết cầu đồng chất nên Ix = Iy = Iz =I Do ®ã ( ) ( 1 T = m x& C2 + y& C2 + I ω2x + ω2y + ω2z 2 ) (7) Tõ c¸c phÐp quay Euler ta cã ω x = ϕ& sin θ sin ψ + θ& cos ψ (8) ωy = −ϕ& sin θ cos ψ + θ& sin ψ ωz = ψ& + ϕ& cos θ ThÕ (8) vµo (7) ta thu đợc ( ) ( 1 T = m x& C2 + y& C2 + I ϕ& + θ& + ψ& + 2ϕ& ψ& cos θ 2 Ta cã vËn tèc khèi t©m C vận tốc góc cầu r r r v C = x& C e1(1) + y& C e 2(1) r r r r ω = ωx e1(1) + ω y e 2(1) + ωz e3(1) 83 ) (9) Vận tốc riêng r r v Cx& C = e1(1) r r v Cy& C = e 2(1) r v Cθ& = r v Cψ& = r v Cϕ& = Gia tèc cđa khèi t©m C r r r a C = &x& C e1(1) + &y& C e 2(1) Lực quán tính mômen quán tính ( r r r r F* = − ma C = − m &x& C e1(1) + &y& C e 2(1) ) r 1) r (1) 1) r (1) 1) r (1) m*C = m (Cx e1 + m (Cy e + m (Cz e3 1) & − (I − I )ω2 ω3 = Iω &1 m (Cx = I1ω 1) & − (I − I1 )ω3ω1 = Iω &2 m (Cy = I 2ω 1) & − (I1 − I )ω1ω2 = Iω &3 m (Cz = I 3ω Trong ®ã &1 = ϕ && sin θ sin ψ + &θ& cos ψ + ϕ& θ& cos θ sin ψ + ϕ& ψ & sin θ cos ψ − θ& ψ& sin ψ ω & = −ϕ && sin θ cos ψ − ϕ& θ& cos θ cos ψ + ϕ& ψ& sin θ sin ψ + &θ& sin ψ + θ& ψ& cos ψ ω &3 =ψ && + ϕ && cos θ − ϕ& θ& sin θ ω r r && sin θ sin ψ + &θ& cos ψ + ϕ& θ& cos θ sin ψ + ϕ& ψ& sin θ cos ψ − θ& ψ& sin ψ )e1(1) + m*C = I(ϕ r && sin θ cos ψ − ϕ& θ& cos θ cos ψ + ϕ& ψ& sin θ sin ψ + &θ& sin ψ + θ& ψ& cos ψ )e 2(1) + + I(− ϕ r && + ϕ && cos θ − ϕ& θ& sin θ)e3(1) + I(ψ Lùc qu¸n tÝnh suy rộng ứng với toạ độ suy rộng r r r r Q*ϕ = v ϕ& F* + ωϕ& T * 84 ⎡ ⎛ϕ && sin θ sin ψ + &θ& cos ψ + ϕ& θ& cos θ sin ψ + ⎞⎤ ⎟⎥ − Q*ϕ = sin θ sin ψ ⎢I⎜⎜ ⎟ & & & & sin cos sin + ϕ ψ θ ψ − θ ψ ψ ⎠⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ ⎡ ⎛− ϕ && sin θ cos ψ − ϕ& θ& cos θ cos ψ + ϕ& ψ& sin θ sin ψ + ⎞⎤ ⎟⎥ + ⎜ − sin θ cos ψ ⎢I⎜ ⎟ & & & ⎢⎣ ⎝ + θ sin ψ + θψ& cos ψ ⎠⎥⎦ && + ϕ && cos θ − ϕ& θ& sin θ) + cos θ I(ψ [ ] && + Iψ && cos θ − Iθ& ψ & sin θ = I(ϕ && + ψ && cos θ − θ& ψ & sin θ) Q*ϕ = Iϕ r r r r Q*θ = v Gθ& F* + ωθ& T * Q*θ ⎡ ⎛ψ && sin θ sin ψ + &θ& cos ψ + ϕ& θ& cos θ sin ψ + ⎞⎤ ⎜ ⎟⎥ + = cos ψ ⎢I⎜ ⎟ & ⎢⎣ ⎝ + ϕ& ψ& sin θ cos ψ − θψ& sin ψ ⎠⎥⎦ ⎡ ⎛− ϕ && sin θ cos ψ − ϕ& θ& cos θ cos ψ + ϕ& ψ & sin θ sin ψ + ⎞⎤ ⎟⎥ + sin ψ ⎢I⎜⎜ ⎟ & & & & + θ ψ + θ ψ ψ sin cos ⎠⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ & sin θ) Q*θ = I(&θ& + ϕ& ψ && + ϕ && cos θ − ϕ& θ& sin θ) Q*ψ = −I(ψ Q *x& C = −m&x& C Q *y& C = m&y& C Lực hoạt động r r F a = mge3(1) Lực hoạt động suy rộn ứng với toạ độ suy rộng r r r r Q ϕ = v ϕG& F a + ωϕ& M a = , Q ψ = Q = Qx = Phơng trình Kane cho hệ liên kết không hôlônôm 85 Qy = s Q k + Q*k + ∑ µ ja jk = j=1 hay Q*ϕ + Q ϕ + µ1a 13 + µ a 23 = && + ψ && cos θ − θ& ψ & sin θ) + µ1a sin θ cos ψ + µ a sin θ sin ψ = I(ϕ (10) Q *θ + Q θ + µ1a 15 + µ a 25 = I(&θ& + ϕ& ψ& sin θ) − µ1a sin ψ + µ a cos ψ = (11) Q*ψ + Q ψ + µ1a 14 + µ a 24 = && + ϕ && cos θ − ϕ& θ& sin θ) = I(ψ (12) Q*x C + Q x C + µ1a 11 + µ a 21 = m&x& C = µ1 (13) Q*yC + Q yC + µ1a 12 + µ a 22 = m&y& C = (14) Cuối ta thu đợc phơng trình vi phân (10), (11), (12), (13), (14), ta có phơng trình liên kết phi hôlônôm (4) Nh ta có hệ phơng trình vi phân cđa Èn lµ x C , yC, ϕ, ψ, θ , µ1, µ2 86 KÕt ln ViƯc thiÕt lËp phơng trình động lực học cho số mô hình học quan trọng kỹ thuật, chẳng hạn rôbốt công nghiệp Khi thit k, hnh rơbốt phương trình động lực học sử dụng để tiến hành mô nhằm mục tiêu kiểm tra khả làm việc rôbốt Khi xem xét q trình vận hành rơbốt, phương trình động lực học dùng để tính tốn lực mơ men cần để dịch chuyển thành phần thiết bị thiết bị chấp hành để nhận chuyển động khâu chấp hành cuối mong muốn Do địi hỏi phải biết phương trình ng lc hc ú Một số báo cho thấy hiệu tính toán đợc nâng lên rõ rệt sử dụng phơng trình Kane để hình thành phơng trình động lực học cho rôbốt Nội dung luận văn đợc trình bày ba chơng Chơng đa sở lý thuyết phơng trình Kane hệ nhiều vật Các vận tốc riêng điểm vận tốc góc riêng vật rắn, Cách xác định lực hoạt động suy rộng lực quán tính suy rộng, Các phơng trình Kane cho hệ nhiều vật rắn hôlônôm phơng trình Kane cho hệ nhiều vật rắn phi hôlônôm Chơng hai xây dựng số mô hình học số mô hình rôbốt công nghiệp cụ thể, từ áp dụng phơng trình Kane hệ nhiều vật rắn hôlônôm để thiết lập phơng trình vi phân chuyển động cho mô hình học Chơng ba áp dụng phơng trình Kane cho hệ nhiều vật rắn phi hôlônôm để xây dựng phơng trình vi phân chuyển động cho hệ phi hôlônôm Trong trình tính toán, thiết lập phơng trình vi phân chuyển động có trợ giúp phần mềm Maple để tính toán 87 Tài liệu tham khảo Tiếng việt Nguyễn Văn Khang: Động lùc häc hƯ nhiỊu vËt NXB Khoa häc vµ kü thuật, Hà Nội 2007 Nguyễn Văn Khang: Cơ sở Cơ học kỹ thuật NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội 2005 Nguyễn Văn Đạo: Cơ học giải tích NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội 2001 Phan Nguyên Di, Nguyễn Văn Khang, Đỗ Sanh: ổn định chuyển ®éng kü thuËt NXB Khoa häc vµ Kü thuËt, Hà Nội 1986 Đào Huy Bích, Phạm Huyễn: Cơ học lý thuyết NXB Đại học Quốc gia, Hà Nội 2002 Nguyễn Văn Khang: Dao động kỹ thuật NXB Khoa häc vµ Kü tht, Hµ Néi 2005 Ngun Thiện Phúc: Rôbốt công nghiệp NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 2002 Đinh Văn Phong: Phơng pháp số Cơ học NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 1999 Đỗ Sanh: Cơ học lý thuyết NXB Giáo dục, Hà Nội 1998 10 Phạm Huy Điển: Tính toán, lập trình giảng dạy toán học Maple NXB Khoa häc vµ Kü thuËt, Hµ Néi 2004 11 Phan Nguyên Di, Nguyễn Văn Khang: Tính toán dao động máy NXB khoa học Kỹ thuật, Hà Nội 1991 88 TiÕng Anh 12 T R Kane, D A Levinson: Dynamics/ Theory and Applications McGraw – Hill, New York 1985 13 T R Kane, D A Levinson: The Use of Kane’s Dynamical Equations in Robotics The int Journal of Robotics Res 2(1983), No.3, pp 3-21 14 Waterloo Maple Inc.: Maple 9.5 Online Help 2004 89 Phụ lục Đoạn chơng trình chạy phần mềm Maple tính toán thí dô ThÝ dô 11 > restart; with(linalg): with(LinearAlgebra): with(PDEtools): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the assigned name GramSchmidt now has a global binding > declare(q[1](t),q[2](t),prime=t): > vantocriengvC1_q1:=1/2*l1*(-sin(q[1])*e1+cos(q[1])*e2): > vantocriengvC1_q2:=0: > e1r:=cos(q[1])*e1+sin(q[1])*e2: > e10:=-sin(q[1])*e1+cos(q[1])*e2: >vantocriengvC2_q1:=l1*e10+1/2*l2*cos(q[2])*e101/2*l2*sin(q[2])*e1r: >vantocriengvC2_q2:=1/2*l2*sin(q[2])*e1r+1/2*l2*cos(q[2])*e10: >aC1:=1/2*l1*diff(q[1](t),t$2)*e101/2*l1*diff(q[1](t),t)^2*e1r: >aC2:=(l1*diff(q[1](t),t$2)+1/2*l2*cos(q[2])*diff(q[1](t),t$2 )1/2*l2*sin(q[2])*diff(q[1](t),t)*diff(q[2](t),t)+1/2*l2*cos(q [2])*diff(q[2](t),t$2)1/2*l2*sin(q[2])*diff(q[2](t),t)^2)*e10(l1*diff(q[1](t),t)+1/2*l2*cos(q[2])*diff(q[1](t),t)+1/2*l2*c os(q[2])*diff(q[2](t),t))*diff(q[1](t),t)*e1r- 90 (1/2*l2*sin(q[2])*diff(q[2](t),t$2)+1/2*l2*cos(q[2])*diff(q[2 ](t),t)^2+1/2*l2*sin(q[2])*diff(q[1](t),t$2)+1/2*l2*cos(q[2]) *diff(q[1](t),t)*diff(q[2](t),t))*e1r(1/2*l2*sin(q[2])*diff(q[2](t),t)+1/2*l2*sin(q[2])*diff(q[1]( t),t))*diff(q[1](t),t)*e10: > Lucquantinh1:=-m1*aC1: > Lucquantinh2:=-m2*aC2: > momenquantinh1:=-1/12*m1*l1^2*diff(q[1](t),t$2)*e3: >momenquantinh2:=1/12*m2*l2^2*(diff(q[1](t),t$2)+diff(q[2](t),t$2))*e3: > vantocgocriengB1_q1:=e3: > vantocgocriengB1_q2:=0: > vantocgocriengB2_q1:=e3: > vantocgocriengB2_q2:=e3: >Lucquantinhsuyrong1:=vantocriengvC1_q1*Lucquantinh1+vantocgo criengB1_q1*momenquantinh1+vantocriengvC2_q1*Lucquantinh2+van tocgocriengB2_q1*momenquantinh2: > Q1:=expand(Lucquantinhsuyrong1): >Q11:=subs({diff(q[1](t),t$2)=q1dd,diff(q[2](t),t$2)=q2dd,dif f(q[1](t),t)=q1d,diff(q[2](t),t)=q2d,q[1]=q1,q[2]=q2},Q1): > coeff(Q11,e1^2): #simplify(%,trig); > tg1:=combine(%,trig): > coeff(Q11,e2^2): > tg2:=combine(%,trig): > coeff(Q11,e3^2): > tg3:=combine(%,trig): > Q13:=tg1+tg2+tg3: > Q_q1:=combine(%,trig); 91 > Luchoatdong1:=-m1*g: > Luchoatdong2:=-m2*g: > Ngauluchoatdong1:=L1*e3: > Ngauluchoatdong2:=L2*e3: >Luchoatdongsuyrong1:=Luchoatdong1*vantocriengvC1_q1+Ngauluch oatdong1*vantocgocriengB1_q1+Luchoatdong2*vantocriengvC2_q1+N gauluchoatdong2*vantocgocriengB2_q1: >Q2:=expand(Luchoatdongsuyrong1): >Q22:=-1/2*m1*l1*g*cos(q1)-m2*l1*g*cos(q1)1/2*m2*l2*cos(q1)*cos(q2)*g+1/2*m2*l2*sin(q1)*sin(q2)*g+L1: > Q_q11:=combine(%,trig); > Phuongtrinh1:=Q_q1+Q_q11=0: > combine(%,trig); 92 >Lucquantinhsuyrong2:=vantocriengvC1_q2*Lucquantinh1+vantocgo criengB1_q2*momenquantinh1+vantocriengvC2_q2*Lucquantinh2+van tocgocriengB2_q2*momenquantinh2: > Q3:=expand(Lucquantinhsuyrong2): >tg4:=subs({diff(q[1](t),t$2)=q1dd,diff(q[2](t),t$2)=q2dd,dif f(q[1](t),t)=q1d,diff(q[2](t),t)=q2d,q[1]=q1,q[2]=q2},Q3): > coeff(tg4,e1^2): > tg5:=combine(%,trig): > coeff(tg4,e2^2): > tg6:=combine(%,trig): > coeff(tg4,e3^2): > tg7:=combine(%,trig): > Q14:=tg5+tg6+tg7: > Q_q2:=combine(%,trig); >Luchoatdongsuyrong2:=Luchoatdong1*vantocriengvC1_q2+Ngauluch oatdong1*vantocgocriengB1_q2+Luchoatdong2*vantocriengvC2_q2+N gauluchoatdong2*vantocgocriengB2_q2: > Q4:=expand(Luchoatdongsuyrong2): >Q22:=-1/2*m1*l1*g*cos(q1)-m2*l1*g*cos(q1)1/2*m2*l2*cos(q1)*cos(q2)*g+1/2*m2*l2*sin(q1)*sin(q2)*g+L1: > combine(%,trig): > Q_q22:=-1/2*m2*l2*g*cos(q1+q2)+L2; > Phuongtrinh2:=Q_q2+Q_q22=0: > combine(%,trig); 93 ThÝ dô 12 > restart; with(linalg): with(LinearAlgebra): with(PDEtools): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected Warning, the assigned name GramSchmidt now has a global binding > declare(q[1](t),q[2](t),prime=t): > e1r:=cos(q[1])*e1+sin(q[1])*e2: > e10:=-sin(q[1])*e1+cos(q[1])*e2: > aC1:=a1*diff(q[1](t),t$2)*e10-a1*diff(q[1](t),t)^2*e1r: >aC2:=diff(q[2](t),t$2)*e1r+2*diff(q[1](t),t)*diff(q[2](t),t) *e10+q[2]*diff(q[1](t),t$2)*e10-q[2]*diff(q[1](t),t)^2*e1r: > Lucquantinh1:=-m1*aC1: > Lucquantinh2:=-m2*aC2: > Ngaulucquantinh1:=-Ic1*diff(q[1](t),t$2)*e3: > Ngaulucquantinh2:=-Ic2*diff(q[1](t),t$2)*e3: > vantocriengvC1_q1:=a1*(-sin(q[1])*e1+cos(q[1])*e2): > vantocriengvC1_q2:=0: > vantocriengvC2_q1:=q[2]*(-sin(q[1])*e1+cos(q[1])*e2): > vantocriengvC2_q2:=cos(q[1])*e1+sin(q[1])*e2: >Lucquantinhsuyrong1:=Lucquantinh1*vantocriengvC1_q1+Ngaulucq uantinh1*e3+Lucquantinh2*vantocriengvC2_q1+Ngaulucquantinh2*e 3: 94 > Q1:=expand(Lucquantinhsuyrong1): >Q11:=subs({diff(q[1](t),t$2)=q1dd,diff(q[2](t),t$2)=q2dd,dif f(q[1](t),t)=q1d,diff(q[2](t),t)=q2d,q[1]=q1,q[2]=q2},Q1): > coeff(Q11,e1^2): > tg1:=combine(%,trig): > coeff(Q11,e2^2): > tg2:=combine(%,trig): > coeff(Q11,e3^2): > tg3:=combine(%,trig): > Q13:=tg1+tg2+tg3: > Q_q1:=combine(%,trig); > Luchoatdong1:=-m1*g: > Luchoatdong2:=-m2*g+F*e1r: > Ngauluchoatdong1:=L1*e3: > Ngauluchoatdong2:=0: > vantocgocriengB1_q1:=e3: > vantocgocriengB1_q2:=0: > vantocgocriengB2_q1:=e3: > vantocgocriengB2_q2:=e3: >Luchoatdongsuyrong1:=Luchoatdong1*vantocriengvC1_q1+Ngauluch oatdong1*vantocgocriengB1_q1+Luchoatdong2*vantocriengvC2_q1+N gauluchoatdong2*vantocgocriengB2_q1: > Q2:=expand(Luchoatdongsuyrong1): > Q_q11:=-m1*g*a1*cos(q1)-m2*g*cos(q1)*q2+L1; > Phuongtrinh1:=Q_q1+Q_q11=0; 95 >Lucquantinhsuyrong2:=vantocriengvC1_q2*Lucquantinh1+vantocgo criengB1_q2*Ngauluchoatdong1+vantocriengvC2_q2*Lucquantinh2+v antocgocriengB2_q2*Ngauluchoatdong2: > Q3:=expand(Lucquantinhsuyrong2): >tg4:=subs({diff(q[1](t),t$2)=q1dd,diff(q[2](t),t$2)=q2dd,dif f(q[1](t),t)=q1d,diff(q[2](t),t)=q2d,q[1]=q1,q[2]=q2},Q3): > coeff(tg4,e1^2): > tg5:=combine(%,trig): > coeff(tg4,e2^2): > tg6:=combine(%,trig): > coeff(tg4,e3^2): > tg7:=combine(%,trig): > Q14:=tg5+tg6+tg7: > Q_q2:=combine(%,trig); >Luchoatdongsuyrong2:=Luchoatdong1*vantocriengvC1_q2+Ngauluch oatdong1*vantocgocriengB1_q2+Luchoatdong2*vantocriengvC2_q2+N gauluchoatdong2*vantocgocriengB2_q2: > Q4:=expand(Luchoatdongsuyrong2): > Q_q22:=-m2*g*sin(q1)+F; > Phuongtrinh12:=Q_q2+Q_q22=0; 96 ... lập phơng trình Kane cho hƯ nhiỊu vËt 31 3.1 Các phép biến đổi chung 31 3.2 Các phơng trình Kane cho hệ nhiều vật rắn hôlônôm 33 3.3 Các phơng trình Kane cho hệ nhiều vật rắn phi... trình Kane cho hệ nhiều vật Chương Xây dựng số mơ hình học, từ sử dụng phương trình Kane cho hệ nhiều vật rắn hơlơnơm để thiết lập phương trình vi phân chuyển động cho mơ hình Chương 3.Thiết lập phương. .. đợc luận văn Chơng Các phơng trình kane hệ nhiều vật Các phơng trình Kane đợc thiết lập vào năm 60 cđa thÕ kû 20, nh−ng sím cã mét vÞ trí nghiên cứu động lực học hệ nhiều vật Trong giai đoạn